klotoid

(1)

K K

0 0

do

doğğru ru R yar R yar ııçaplçaplıı dodoğğruru daire

daire E

Eğğrilik rilik

Yay Yay Uzunlu Uzunluğğuu L Lii 1/R 1/R B B CC L Lii K K 0 0 A A DD Daire Daire Geçi

Geçişş EEğğrisirisi Geçi

Geçişş EEğğrisirisi 1/R

1/R BÖLÜM 4

BÖLÜM 4 4.

4. BBİİRLERLEŞŞTTİİRME ERME EĞĞRRİİLERLERİİ

Bir yolun aliyman k

Bir yolun aliyman kıısmsmıında enda eğğrilik 1/R=0 drilik 1/R=0 dıır. Aliymandan R yar r. Aliymandan R yar ııçaplçaplıı daireye geçildidaireye geçildiğği zaman ei zaman eğğrilikrilik

1/R de

1/R değğerini alerini alıır ve er ve eğğriliriliğğin kurb boyunca bu dein kurb boyunca bu değğeri sabit kaleri sabit kalıır. Kurp çr. Kurp çııkkıışşıında aliymana girildinda aliymana girildiğğindeinde

e

eğğrilik yine srilik yine sııf f ıır olur. Böylece kurba girir olur. Böylece kurba girişş ve çve çııkkıışşta bir kesinlik meydana gelir.ta bir kesinlik meydana gelir.

Ş

Şekil 50. Doekil 50. Doğğru ve daire yayru ve daire yayıındanda ŞŞekil 51.Doekil 51.Doğğru, klotoid ve daire yayru, klotoid ve daire yayıındanda

e

eğğrilik rilik fonksiyonu fonksiyonu eeğğrilik fonksiyonurilik fonksiyonu Araçlar

Araçlar ıın süratli kullann süratli kullanııldldıığğıı otobanlarda bu durum sakotobanlarda bu durum sakııncalncalııddıır. Çünkü araç aliymanda hiçbir yanr. Çünkü araç aliymanda hiçbir yan

kuvvetin etkisinde olmamas

kuvvetin etkisinde olmamasıına kar na kar şşıın, kurba girdiğn, kurba girdiğindeinde P P

==

((mvmv22))// R R merkezkaç kuvvetin etkisindemerkezkaç kuvvetin etkisinde

kal

kalıır. Burada m aracr. Burada m aracıın kütlesi, v aracn kütlesi, v aracıın hn hıızzıı ve R kurbun yar ve R kurbun yar ııçapçapııddıır. Kurplarda merkezkaç kuvvetininr. Kurplarda merkezkaç kuvvetinin

etkisini azaltmak için ya v h

etkisini azaltmak için ya v hıızzııazaltazaltııllıır ya da R yar r ya da R yar ııçapçapııbüyütülür. Bu da yolun hbüyütülür. Bu da yolun hıız esprisine terstir.z esprisine terstir.

Merkezkaç kuvvetini etkisiz duruma getirmek için yola enine e

Merkezkaç kuvvetini etkisiz duruma getirmek için yola enine eğğim “Dever” verilir. Bu eim “Dever” verilir. Bu eğğim birden bireim birden bire verilmez. Yolun belli bir k

verilmez. Yolun belli bir kıısmsmıından bandan başşlayarak yavalayarak yavaşş yavayavaşş artartıır r ııllıır. Aliymanda sr. Aliymanda sııf f ıır olan er olan eğğrilikten, 1/Rrilikten, 1/R

de

değğerine ulaerine ulaşşma ve istenilen dever dema ve istenilen dever değğerine varmak için aliymanla R yar erine varmak için aliymanla R yar ııçaplçaplıı kurp araskurp arasıına, ena, eğğriliriliğğii

yava

yavaşş yavayavaşş artan bir eartan bir eğğri yerleri yerleşştirilir. Bu etirilir. Bu eğğriye “Birleriye “Birleşştirme Etirme Eğğrisi” denir. Birlerisi” denir. Birleşştirme etirme eğğrisine geçirisine geçişş kurbu veya rakortman kurbu

kurbu veya rakortman kurbu da denilmektedir.da denilmektedir. R yar

R yar ııçaplçaplııkurp ile geçikurp ile geçişş kurbu birlekurbu birleşştirme noktastirme noktasıında aynnda aynıı dodoğğruya teruya teğğettirler. Geçiettirler. Geçişş eeğğrisi olarak;risi olarak;

•• KlotoidKlotoid

•• LemniskatLemniskat

•• Kubik spiral ve benzerleriKubik spiral ve benzerleri

•• Sinüsoid kullanSinüsoid kullanıılmaktadlmaktadıır.r.

4.1 KLOTO 4.1 KLOTOİİDD Geçi

Geçişş eeğğrisi olarak en çok kullanrisi olarak en çok kullanıılan bir elan bir eğğridir. Denklemiridir. Denklemi L L.. R R

==

AA22 olup, L geçiolup, L geçişş eeğğrisi uzunlurisi uzunluğğu ile Ru ile R

kurb yar

kurb yar ııçapçapıınnıın çarpn çarpıımmıı bir A saybir A sayııssıınnıın karesine en karesine eşşittir. A’ ya kurbun parametresi denilmektedir. A=1ittir. A’ ya kurbun parametresi denilmektedir. A=1

olarak al

olarak alıınnıırsa bu klotoide birim klotoid denir. Uygulamada klotoid cetvelleri kullanrsa bu klotoide birim klotoid denir. Uygulamada klotoid cetvelleri kullanıılmaktadlmaktadıır. Bur. Bu

cetvellerden baz

cetvellerden bazıılar lar ıı birim klotoide göre hazbirim klotoide göre hazıırlanrlanıır ve esas klotoide geçmek için uzunluklar A iler ve esas klotoide geçmek için uzunluklar A ile

çarp

çarpııllıır. Açr. Açıılar aynlar aynıı kalkalıır. Ayr r. Ayr ııca geçica geçişş eeğğrisinin herhangi bir noktasrisinin herhangi bir noktasıına kadar olan uzunluna kadar olan uzunluğğunun ounun o

noktadaki e

noktadaki eğğrilik yar rilik yar ııçapçapıınnıın çarpn çarpıımmıı parametrenin karesine eparametrenin karesine eşşittir. Örneittir. Örneğğin geçiin geçişş eeğğrisinin herhangi bir risinin herhangi bir

noktadaki yar

noktadaki yar ııçapçapııρρii, o noktaya kadar olan uzunluk L, o noktaya kadar olan uzunluk Liiise klotoidin denklemi,ise klotoidin denklemi,

2 2

.. AA L

L ρ ρ _ii

==

(1)(1)

(2)

Kb Kb y y Ks Ks R R RCos RCosττ RSin RSinττ σ σ _∆_∆R_R L L S S Tk Tk ττ ττ Ym Ym Y Y x x Xm Xm Tu Tu S S 0 0 55 A=6 A=6 A=8 A=8 A=10 A=10 Ş

Şekil 52. ekil 52. Klotoidin Elemanlar Klotoidin Elemanlar ıı ŞŞekil 53. ekil 53. Klotoidin parametreleKlotoidin parametrelerinin derinin değğiişşmesimesi

Bir klotoidin

Bir klotoidin elemanlaelemanlar r ıışşunlardunlardıır:r:

A

A :Parametre:Parametre M

M :Dairenin :Dairenin merkezimerkezi R

R :Klotoid :Klotoid ile ile kurbun, kurbun, ortak ortak noktasnoktasııKs deki eKs deki eğğrilik yar rilik yar ııçapçapıı

Kb

Kb :Klotoidi:Klotoidin n babaşşlanglangııccıı(Aliyman sonu)(Aliyman sonu)

Ks

Ks :Klotoidin :Klotoidin sonu sonu (Kurbun (Kurbun babaşşlanglangııccıı))

L

L :Klotoidin :Klotoidin boyuboyu ∆

∆R R :Rakordman :Rakordman paypayıı

Xm,Ym :Daire merkezinin koordinatlar Xm,Ym :Daire merkezinin koordinatlar ıı

X,Y

X,Y :Ks’nin :Ks’nin dik dik koordinatlar koordinatlar ıı

Tk :K

Tk :Kıısa tesa teğğetet

Tu

Tu :Uzun :Uzun teteğğetet σ

σ, , S S :Ks’nin:Ks’ninıışşıınsal koordinatlar nsal koordinatlar ıı

ττ :Ks noktas:Ks noktasıındaki tendaki teğğetin açetin açııssıı

Klotoidin elemanlar

Klotoidin elemanlar ııaaşşaağğııdaki edaki eşşitliklerden itliklerden hesaplanhesaplanabilir,abilir,

R R .. L L A A22

==

R ve L

R ve L proje mühendisi taraf proje mühendisi taraf ıından takdir edilir.ndan takdir edilir.

.... .... A A 42240 42240 L L A A 336 336 L L A A 6 6 L L Y Y ,, A A 3456 3456 L L A A 40 40 L L --L L X X 10 10 11 11 6 6 7 7 2 2 3 3 8 8 9 9 4 4 5 5

−−

==

++

==

.. R R 2 2 L L

ρρ

==

ττ

−−

==

ττ

++

==

RSin RSin X X X X RCos RCos Y Y Y Y M M M M

ττ

==

ττ

−−

==

−−

==

∆

Sin Sin // Y Y T T )) Cos Cos 1 1 (( R R Y Y R R Y Y R R k k M M ₍₂₎₍₂₎ X X Y Y Arctg Arctg Y Y X X S S YCot YCot X X T T 2 2 2 2 u u

==

σ

++

==

ττ

−−

==

(3)

Örnek: Örnek: A=600, R=4

A=600, R=400 olarak veril00 olarak verilmektedir. Klotoidmektedir. Klotoidin asal elemin asal elemanlar anlar ıınnııhesaplayhesaplayıınnıız.z.

6 6 .. 80 80 861 861 .. 431 431 689 689 .. 480 480 218 218 .. 308 308 42240 42240 L L 336 336 L L 6 6 L L Y Y m m 792.768 792.768 3456 3456 40 40 L L --L L X X radyan radyan 1.125 1.125 6197 6197 .. 71 71 .. 2 2 900 900 // 10 10 11 11 6 6 7 7 2 2 3 3 8 8 9 9 4 4 5 5 2 2

==

−−

==

∆

==

−−

==

++

==

−−

==

++

==

R R Y Y R R RSin RSin X X X X RCos RCos Y Y Y Y m m A A A A A A A A L L A A R R L L m m R R A A L L M M M M M M g g τ τ τ τ τ τ ρ ρ τ τ 6060 6060 .. 23 23 576 576 .. 850 850 476 476 .. 645 645 604 604 .. 341 341 // g g U U K K S S YCot YCot X X T T Sin Sin Y Y T T

==

−−

==

σ σ τ τ τ τ Görüldü

Görüldüğğü gibi klotoidin elemanlar ü gibi klotoidin elemanlar ıınnıın hesabn hesabıı zaman alzaman alııccııddıır. Bu nedenle klotoid cetvellerir. Bu nedenle klotoid cetvelleri

haz

hazıırlanmrlanmıışşttıır. Cetveller genellikle birim klotoide göre hazr. Cetveller genellikle birim klotoide göre hazıırlanrlanıır. Bu cetveller hazr. Bu cetveller hazıırlanrlanıırken;rken;

X=Ax, L=Al X=Ax, L=Al Y=Ay, R=Ar Y=Ay, R=Ar al

alıınnıır. Açr. Açıılar aynlar aynıı kalmaktadkalmaktadıır. Yukar r. Yukar ııdaki örnedaki örneğğe göre birim klotoid için haze göre birim klotoid için hazıırlanan cetvellerle geçirlanan cetvellerle geçişş

kurbu üzerinde 100 m aral

kurbu üzerinde 100 m aralııklarla alklarla alıınan noktalar nan noktalar ıın koordinatlar n koordinatlar ıınnıın hesabn hesabııaaşşaağğııda gösterilmida gösterilmişştir.tir.

Ş Şekil 54.ekil 54. L L 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 88 I=L/A I=L/A 0.166 0.166 - - - - - - 0.833 0.833 - - 1.1661.166 x=Klotoid x=Klotoid 0.1666635 0.1666635 - - - - - - 0.8233423 0.8233423 - - 1.11377811.1137781 Y=cet.de Y=cet.de 0.0007716 0.0007716 - - - - - - 0.0956232 0.0956232 - - 0.25603300.2560330 X=Ax X=Ax 99.998 99.998 199.938 199.938 299.532 299.532 398.029 398.029 494.005 494.005 585.173 585.173 668.268 668.268 739.060739.060 Y=Ay Y=Ay 0.463 0.463 3.707 3.707 12.486 12.486 29.525 29.525 57.374 57.374 98.228 98.228 153.620 153.620 223.991223.991 Örne

Örneğğin, 1 noktasin, 1 noktasıınnıın koordinatlar n koordinatlar ıı

X=600 * X=600 * 0.1666635=99.998 m 0.1666635=99.998 m , Y=600 , Y=600 * 0.0007716=0.463 * 0.0007716=0.463 mm K K BB T TK K

(4)

şşeklinde hesaplaneklinde hesaplanıır. Geçir. Geçişş kurbu üzerindeki 2,3,….,8 noktalar kurbu üzerindeki 2,3,….,8 noktalar ıınnıın koordinatlar n koordinatlar ıı da benzer da benzer şşekildeekilde

hesaplan

hesaplanıır. X, r. X, Y’ler bulunduktan sonra koordinaY’ler bulunduktan sonra koordinatlara göre aplikasyon itlara göre aplikasyon işşlemi yaplemi yapıılabilir.labilir.

Bir klotoidin tayini genellikle grafik olarak yap

Bir klotoidin tayini genellikle grafik olarak yapıılmaktadlmaktadıır. Bunun için planda çizilen güzergah üzeriner. Bunun için planda çizilen güzergah üzerine

çe

çeşşitli ölçek ve A parametre deitli ölçek ve A parametre değğerlerine göre hazerlerine göre hazıırlanmrlanmıışş klotoidklotoid şşablonlar ablonlar ıı oturtulur. Klotoidin çeşşitlioturtulur. Klotoidin çe itli

noktalar

noktalar ıında, o noktadaki enda, o noktadaki eğğrilik yar rilik yar ııçaplar çaplar ııyazyazııllııddıır. Ayr r. Ayr ııca aynca aynıışşablon üzerinde uygun gelen klotoidinablon üzerinde uygun gelen klotoidin

parametresi parametre olarak, klotoidin bitece

parametresi parametre olarak, klotoidin biteceğği yere rastlayan noktadaki yar i yere rastlayan noktadaki yar ııçap ise kurp yar çap ise kurp yar ııçapçapıı

olarak al olarak alıınnıır.r.

Ş

Şekil 55. Klotoidekil 55. Klotoid şşablonuablonu Klotoidin hesapla tayininde klotoidin ba

Klotoidin hesapla tayininde klotoidin bağğlanacalanacağğıı kurbun yar kurbun yar ııçapçapıına ve geçina ve geçişş eeğğrisinin uzunlurisinin uzunluğğunauna

göre yukar

göre yukar ııdaki hesap idaki hesap işşlemleri uygulanlemleri uygulanıır.r.

Klotoidle ilgili e

Klotoidle ilgili eşşitlikler aitlikler aşşaağğııdakidaki şşekilde elde ekilde elde edilmektededilmektedir.ir.

Ş

Şekil 56. Bir klotoidekil 56. Bir klotoid şşekli ve eekli ve eğğriliriliğğii Sabit Sabit LR LR rB rB L L B B R R r r

==

::

→

==

1 1 :: 1 1

veya klotoidin parametresi A ile tan

veya klotoidin parametresi A ile tanıımlanmlanıırsa,rsa, 2

2

.. L L_ii

==

AA

ρ

ρ yazyazıılabilir. Bir dairenin R yar labilir. Bir dairenin R yar ııçapçapııgibi bir klotoidin de A gibi bir klotoidin de A parametresi en önemli elemanparametresi en önemli elemanııddıır.r.

A=a=1 al

A=a=1 alıınnıırsa buna birim klotoid denir.rsa buna birim klotoid denir.

Ş

Şekil 57. Bir klotoidinekil 57. Bir klotoidin şşekliekli R R A A L L B B x x r r _Y_Y E E B B LL 1/r 1/r 1/R 1/R E E Y Y MM tt T Tuu X XEE X XK K x x E E F F ττEE _R_R S S N N σ σ PP∆∆R R TTK K X X ττEE

(5)

y y dy dy dx dx db db x x O O dt dt r r ττ ττ E

Eğğrilik, Yay Uzunlurilik, Yay Uzunluğğu, Koordinatlar u, Koordinatlar Herhangi bir noktada klotoidin e

Herhangi bir noktada klotoidin eğğriliriliğğii B B A A RL RL B B r r 22 1 1 1 1

==

B=L için B=L için L L A A R R 22 1 1 1 1

==

şşeklindedir.eklindedir. ττ klotoidin teklotoidin teğğet açet açııssııddıır.r. ŞŞekildenekilden

dB=r.d dB=r.d ττ yaz

yazıılabilir. Buradan,labilir. Buradan,

RL RL B B r r

==

1 1 Ş

Şekil 58. Klotoid parçasekil 58. Klotoid parçasıı

B.dB=R.L.d B.dB=R.L.d ττ İİntegral alntegral alıınaraknarak

τ τ L L R R B B .. 2 2 2 2

==

yaz

yazııllıır. r. Herhangi bir Herhangi bir noktaya kanoktaya kadar yay uzudar yay uzunlunluğğuu

τ τ RL RL B B

==

±±

22 olur. olur. E Eğğrilik,rilik,

τ τ τ τ 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 _A_A A A r r RL RL r r RL RL RL RL r r

==

herhangi bir noktadaki yar herhangi bir noktadaki yar ııçapçap

(6)

τ τ 2 2 RL RL r r

==

dur. Di

dur. Diğğer taraftaner taraftan

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ d d rSin rSin dBSin dBSin dY dY d d rCos rCos dBCos dBCos dX dX

==

integral al

integral alıınnıırsa;rsa;

∫∫

==

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ 0 0 0 0 d d ,, d

d Y Y rSinrSin rCos

rCos X

X

r yerine de

r yerine değğeri konulursaeri konulursa

∫∫

==

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ 0 0 0 0 d d 2 2 Y Y ,, d d 2 2 Sin Sin RL RL Cos Cos RL RL X X ... ... ... ... !! 4 4 !! 2 2 1 1 ... ... ... ... !! 5 5 !! 3 3 4 4 2 2 5 5 3 3

++

−−

++

−−

==

++

−−

++

−−

==

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ Cos Cos Sin Sin

Klotoidin herhangi bir noktas

Klotoidin herhangi bir noktasıınnıın koordinatlar n koordinatlar ıı













++

−−

==













++

−−

==













++

−−

==













++

−−

==

1320 1320 42 42 3 3 1320 1320 42 42 3 3 2 2 216 216 10 10 1 1 216 216 10 10 1 1 2 2 5 5 3 3 5 5 3 3 4 4 2 2 4 4 2 2 τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ii ii L L RL RL Y Y L L RL RL X X (3) (3) elde edilir. elde edilir.













++

≅≅

22 ₂₂44 ₂₂ 20 20 1 1 2 2 R R LL X X RL RL X X τ τ alalıınaraknarak













−−

++

==

33 ₂₂44 ₂₂ 66₃₃ ₃₃ 336 336 40 40 3 3 1 1 6 6 R R LL X X L L R R X X RL RL X X Y Y veya veya













−−

++

==

33₂₂ 44₄₄ 66 ₆₆ 336 336 40 40 3 3 1 1 6 6 AA X X A A X X A A X X Y Y yaz

yazıılabilir. Elabilir. Eğğri üzerinde herhangi bir ri üzerinde herhangi bir noktadanoktada

rB=RL rB=RL dir. Bir e

dir. Bir eğğrinin denklemi B= f (rinin denklemi B= f (ττ)) şşeklinde ise bu eeklinde ise bu eğğri herhangi bir noktadaki eri herhangi bir noktadaki eğğrilik yar rilik yar ııçapçapıı

τ τ d d dB dB r r

==

şşeklindedir. Klotoidde,eklindedir. Klotoidde,

(7)

RL RL d d dB dB B B

==

τ τ

olur. Bunun integrali al

olur. Bunun integrali alıındndıığğıında,nda,

sabit sabit RL RL B B

++

==

τ τ 2 2 2 2 bulunur. B s

bulunur. B sııf f ıır oldur olduğğundaunda ττ=0 olur ve integrasyon sabiti s=0 olur ve integrasyon sabiti sııf f ıırdrdıır. Er. Eğğri denklemiri denklemi

τ τ 2 2 RL RL B B

==

e

eğğrinin son noktasrinin son noktasıı içiniçin

τ τ R R A A L L

==

yaz

yazıılabilir. Bu balabilir. Bu bağğııntntııve LR=Ave LR=A22babağğııntntııssııdikkate aldikkate alıınarak R, L, A, ττ arasnarak R, L, A, arasıındanda

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R R A A A A L L R R L L A A R R R R A A L L A A L L L L A A R R

==

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ (4) (4) dir. Ayr dir. Ayr ııcaca τ τ τ τ 2 2 2 2 2 2 _RL_RL L L _R_R A A

==

ba

bağğııntntııssıı yazyazıılabilir. Y ve X elabilir. Y ve X eşşitliklerindeitliklerinde

2 2 2 2 2 2 A A L L

==

τ

τ yerine konulursa önce verilen (0) eyerine konulursa önce verilen (0) eşşitliklerindekiitliklerindeki

klotoidin herhangi bir noktas

klotoidin herhangi bir noktasıınnıın koordinatlar n koordinatlar ıı

8 8 9 9 4 4 5 5 3456 3456 40 40 AA L L A A L L L L X X

==

−−

++

(5)(5) 10 10 11 11 6 6 7 7 2 2 3 3 42240 42240 336 336 6 6 AA L L A A L L A A L L Y Y

==

−−

++

(6)(6) e

eşşitlikleri elde edilir. Ancak bu eitlikleri elde edilir. Ancak bu eşşitliklerden hesaplama zaman alitliklerden hesaplama zaman alııccııddıır. r. Bu Bu nedenle nedenle (3) (3) eeşşitlikleriitlikleri

ye

(8)

Te

Teğğet Açet Açııssıı, Te, Teğğet, Rakordman Payet, Rakordman Payıı

Ş

Şekil 59. Klotoidekil 59. Klotoid

r = R al r = R alıınaraknarak 11 22 τ τ 22τ τ 22τ τ ₂₂ 11 22τ τ A A A A RL RL RL RL RL RL r

r

==

eeşşitliitliğğinde yerine konulursa;inde yerine konulursa;

2 2 2 2 2 2 1 1 A A RL RL R R τ τ τ τ

==

yaz

yazıılabilir. Telabilir. Teğğet açet açııssııiçin;için;

2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 A A A A L L L L

==

τ τ (7)(7) ve buradan, ve buradan, τ τ R R L L

==

22 τ τ 2 2 L L R R

==

yaz

yazııllıır.r. ŞŞekil 59’ danekil 59’ dan ∆∆R rakordman payR rakordman payıı,,

( (

_E_E

))

E

E R R CosCos

Y Y R R

==

−−

τ τ

∆

11 (8)(8)

(9)

R R L L Y Y _E_E

6 6 2 2

≅≅

veve ₂₂ 2 2 8 8 1

1

−−

CosCosτ τ _E_E

≈≈

LL ((τ τ _E_Enin küçük denin küçük değğerleri için)erleri için)

)) (( ,, 24 24 8 8 6 6 2 2 2 2 2 2 R R L L L L L L R R L L R R

==

−−

==

<<

∆

(9)(9) Daire merkezinin

Daire merkezinin koordinatlakoordinatlar r ıı,,

R R R R Y

Y _M_M

==

++

∆

;;

X

_M_M

==

X

_E_E

−−

R

Sin

τ τ _E_E (10)(10) elde edilir.

elde edilir. Klotoidin di

Klotoidin diğğer elemanlar er elemanlar ıı

K Kıısa tesa teğğet :et : E E E E K K Sin Sin Y Y T T τ τ

==

(11)(11) Uzun te

Uzun teğğet:et: T T _U_U

==

X X _E_E

−−

Y Y _E_ECot Cot τ τ _E_E (12)(12)

Normal:

Normal: _k_k _E_E

E E E

E _T_T_Tan_Tan

Cos Cos Y Y N N τ τ τ τ

==

(13)(13) E E E E E E k k U

U T T N N X X Y Y TanTan

T T T

T

==

++

22

++

22

==

++

τ τ (14)(14)

e

eşşitlikleri ile elde edilmektedir. Bu eitlikleri ile elde edilmektedir. Bu eşşitliklerde T, klotoidin baitliklerde T, klotoidin başşlanglangııç F noktasç F noktasıına olan uzunluktur (na olan uzunluktur (ŞŞekilekil

59). 59).

Simetrik Geçi

Simetrik GeçişşEEğğrisi Klotoid Elemanlar risi Klotoid Elemanlar ıınnıın Hesabn Hesabıı

Daire yay

Daire yayıınnıın her iki taraf n her iki taraf ıında klotoid uzunluklar nda klotoid uzunluklar ıı eeşşitse buna simetrik geçiitse buna simetrik geçişş eeğğrisi denilmektedir.risi denilmektedir.

A

Aşşaağğııda simetrik geçida simetrik geçişş eeğğrisine ait bir örnek verilmektedir.risine ait bir örnek verilmektedir.

Ş

(10)

Örnek: Örnek: A=

A= 150 150 m, m, R R = = 350 350 m,m, γγ = = 6060 00 (66,6667 grad) olarak verildi(66,6667 grad) olarak verildiğğine göre, klotoidin elemanlar ine göre, klotoidin elemanlar ıınnıı

hesaplay hesaplayıınnıız.z. Çözüm: Çözüm: m m R R A A L L 6464..286286 2 2

==

radyan radyan L L 09184 09184 .. 0 0 2 2

==

τ τ grad grad 847 847 .. 5 5 200 200

==

π π τ τ τ τ m m R R L L R R 00..492492 24 24 2 2

==

≅≅

∆

m m A A X X 6464..232232 216 216 10 10 1 1 2 2 4 4 2 2

==













++

−−

==

τ τ τ τ τ τ m m A A Y Y 11..967967 1320 1320 42 42 3 3 2 2 5 5 3 3

==













++

−−

==

τ τ τ τ τ τ τ τ

( (

CosCos

))

mm R R Y Y R

R

==

_E_E

−−

11

−−

_E_E

==

00..492492

∆

τ τ 492 492 .. 350 350 ;; 134 134 .. 32 32

==

−−

==

_E_E _E_E _M_M

M

M X X R R SinSin mm Y Y

X X τ τ m m Sin Sin Y Y T T E E E E K K

==

2121..446446 τ τ m m Tan Tan Y Y Y Y X X T T E E E E E E E E U U

==

−−

==

4242..876876 τ τ m m Tan Tan R R R R X X T T _M_M 234234..490490 2 2 )) ((

++

∆

==

++

==

γ γ

( (

))

R R mm b b grad grad 302302..233233 200 200 2 2

==

−−

==

γ γ τ τ π π

Simetrik Olmayan Bir Geçi

Simetrik Olmayan Bir GeçişşEEğğrisirisiİİçin Eleman Hesabçin Eleman Hesabıı

Daire yay

Daire yayıınnıın iki taraf n iki taraf ıındaki geçindaki geçişş eeğğriliriliğği farkli farklıı uzunluklarda ise bu tür euzunluklarda ise bu tür eğğrilere simetrik olmayan geçirilere simetrik olmayan geçişş

e

(11)

Ş

Şekil 61. Simetrik olmayan geçiekil 61. Simetrik olmayan geçişş eeğğrisirisi

Örnek : Örnek : T T 11== 87.25 m87.25 m γγ= 32.20 grad= 32.20 grad A A11=120 m=120 m R = 200 m R = 200 m A A22= ?= ? Çözüm : Çözüm :

•• A = 120 alA = 120 alıınarak anarak aşşaağğııdaki dedaki değğerler bulunur.erler bulunur.

L

L11=72.00 m=72.00 m

ττ11=0,1800 rad,=0,1800 rad, ττ11= 11.459 grad= 11.459 grad ∆ ∆R R 11=1.079 m=1.079 m X X 11=71.767 m=71.767 m Y Y 11=4.310 m=4.310 m X X M1M1=35.961 m=35.961 m T T K1K1=24.075 m=24.075 m T T U1U1=48.081 m=48.081 m

(12)

•• 2.Te2.Teğğet üzerine M noktaset üzerine M noktasıınnıın koordinatlar n koordinatlar ıı::

(

T T X X

)

SinSin

(

R R R R

)

CosCos mm R

R R

R

++

∆

₂₂

==

₁₁

−−

_M_M₁₁ γ γ

++

∆

₁₁ γ γ

==

200200..752752

( (

R R R R

))

SinSin T T X X CosCos mm X X T T ₂₂

−−

_M_M₂₂

==

++

∆

₁₁ γ γ

−−

(( ₁₁

−−

_M_M₁₁)) γ γ

==

5252..120120 ••

∆

R R₂₂

==

0.7522 al0.7522 alıınarak,narak,

( (

R R R R

))

R R mm L L₂₂

≅≅

2424

++

66

∆

₂₂

∆

₂₂

==

6060..117117 m m RL RL A A₂₂

==

₂₂

==

109109..651651 grad grad rad rad 99..561561 1503 1503 .. 0 0 2 2

==

τ τ X X 22= 59.981 m= 59.981 m Y Y 22= 3.007 m= 3.007 m X X M2M2 = 30.036 m= 30.036 m T T K2K2 = 20.068 m= 20.068 m T T U2U2= 40.096 m= 40.096 m T T 22= 82.593 m= 82.593 m 18 18 .. 11 11 )) (( ₁₁

++

₂₂

==

g g

−−

τ τ τ τ γ γ b b= 35.101 m= 35.101 m Toplam uzunluk 167.218 m Toplam uzunluk 167.218 m Klotoid Hesab

Klotoid Hesabıına Ait Bir Sayna Ait Bir Sayıısal Örneksal Örnek

Verilenler Verilenler Te

Teğğet (X ekseni)et (X ekseni) P

P11, P, P22, M noktas, M noktasıınnıın koordinatlar n koordinatlar ııve Rve R

Ko Koşşul: Yul: YMM> > R R (( R R > > 00)) NN NN Y(m) Y(m) X(m)X(m) 1 62488.65 99244.63 1 62488.65 99244.63 2 62913.55 98962.80 2 62913.55 98962.80 M 62580.36 98246.33 M 62580.36 98246.33 R = 780 m R = 780 m İİstenenler:stenenler: L, A,L, A,ττ, X, XEE, Y, YEE, T, TKK, T, TUU, T, T

(13)

Ş

Şekil 62. Klotoidekil 62. Klotoid Çözüm Çözüm 2842 2842 .. 137 137 2 2 1 1 g g t t

==

S S ₁₁22

==

509509..871871mm 1680 1680 .. 194 194 1 1 g g M M t t

==

S S ₁₁ M M

==

10021002..504504 mm 7117 7117 .. 27 27 2 2 g g M M t t

==

S S M M ₂₂

==

790790..155155 mm m m t t t t Cos Cos S S p p

==

₁₁ M M (( ₁₁M M

−−

₁₁22))

==

628628..235235 m m t t t t Cos Cos S S q

q

==

₂₂ M M (( ₁₁22

−−

₂₂M M ))

==

−−

118118..364364 (Dik aya(Dik ayağğııddıışşta kalta kalııyor)yor)

Kontrol Kontrol 2 2 1 1 S S q q p p

−−

==

( ( ))

S S p p

( ( ))

S S qq mm Y Y _M_M

==

₁₁ M M 22

−−

22

==

_M_M22 22

−−

22

==

781781..239239 m m R R Y Y R R

==

_M_M

−−

==

11..239239

∆

m m R R R R L L

==

2424

∆

==

152152..313313 m m RL RL A A

==

344344..680680 2157 2157 .. 6 6 097637 097637 .. 0 0 2 2 g g R R L L

₌₌

==

τ τ m m L L X X _E_E 152152..168168 216 216 10 10 1 1 4 4 2 2

==













++

−−

==

τ τ τ τ

(14)

m m RSin RSin X X X

X _M_M

==

_E_E

−−

τ τ _E_E

==

7676..132132

m m A A X X A A X X A A X X Y

Y E E E E E E E E 44..957957 336 336 40 40 3 3 1 1 6 6 66 6 6 4 4 4 4 2 2 3 3

==













−−

++

==

m m Sin Sin Y Y T T E E E E K K

==

5050..850850 τ τ m m Tan Tan Y Y Y Y X X T T E E E E E E E E U U

==

−−

==

101101..560560 τ τ m m Tan Tan R R R R X X T T _M_M 152152..654654 2 2 )) ((

++

∆

==

++

==

γ γ m m Cos Cos Y Y N N E E E E

==

₄₄_..₉₈₁₉₈₁

==

τ τ Geçi

Geçişş eeğğrisinin barisinin başşlanglangııccıı OO

==

p p

−−

X X _M_M

==

552552..102102 mm

P

P22’ ye göre X de’ ye göre X değğeri,eri,

m m S S X X p p O

O

==

−−

_M_M

−−

₁₁22

==

4242..231231 ;; E E

==

X X _E_E

++

OO

==

194194..400400 mm m m q q M M

==

−−

==

118118..364364 ;; P P _N_N

==

T T

++

OO

==

194194..885885mm Kesin A, R

Kesin A, Rminmin ve Yaklave Yaklaşşıık Olarak Verilen A Parametre Dek Olarak Verilen A Parametre Değğerleriyle Simetrik Olmayan Tepeerleriyle Simetrik Olmayan Tepe

Klotoidi Klotoidi

Ş

(15)

Verilenler Verilenler R

Rminmin, A, A11,, ≈≈ A A22,, γγ

İİstenenstenen

Her iki parça için

Her iki parça için klotoidin elemanlaklotoidin elemanlar r ıı, te, teğğet uzunluklar et uzunluklar ııTT11ve Tve T22

Çözüm Çözüm A

A11 ve ve RRminmin değdeğerleri yarderleri yardıımmııyla ilk klotoid parçasyla ilk klotoid parçasıınnıın elemanlar n elemanlar ıınnıın bulunmasn bulunmasıı,, ττ11 dedeğğerininerinin

hesaplanmas

hesaplanmasııyla, tepe klotoidine teyla, tepe klotoidine teğğet açet açıılar lar ıınnıın toplamn toplamııteteğğet kesim açet kesim açııssıına ena eşşittir, böyleceittir, böylece 2 2 1 1 τ τ τ τ γ γ

==

++

ya daya da τ τ ₂₂

==

γ γ

−−

τ τ ₂₂

Klotoidin ikinci parças

Klotoidin ikinci parçasııiçin bulunaniçin bulunan τ τ ₂₂açaçııssııalalıınarak, Rnarak, Rminmindedeğğerleriyle L, A deerleriyle L, A değğerleri hesaplanerleri hesaplanıır. Ter. Teğğetet

uzunluklar uzunluklar ıı,,

(

)

(

γ γ

)

τ τ

−−

==

++

200200 2 2 2 2 1 1 1 1 Sin Sin Sin Sin T T T T Z Z K K K K

(

)

(

γ γ

)

τ τ

−−

==

++

200200 1 1 2 2 1 1 2 2 Sin Sin Sin Sin T T T T Z Z K K K K γ γ γ γ SinSin Sin Sin((200200

−−

))

==

( (

))

γ γ τ τ Sin Sin T T T T Sin Sin Z Z 22 K K 11 K K 22 1 1

++

==

( (

))

γ γ τ τ Sin Sin T T T T Sin Sin Z Z 11 K K 11 K K 22 2 2

++

==

1 1 1 1 1 1 T T Z Z T T

==

_L_L

++

( (

))

γ γ τ τ Sin Sin T T T T Sin Sin T T T T K K K K L L 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1

++

==

( (

))

++

==

elde edilir. elde edilir. Örnek: Örnek: Verilenler Verilenler γ γ = 19.7205 grad= 19.7205 grad A A11= 75 m= 75 m A A22≈≈ 90 m90 m R R _min_min= 150 m= 150 m İİstenenstenen

Her iki klotoid parças

Her iki klotoid parçasııelemanlar elemanlar ıı, te, teğğet uzunluklar et uzunluklar ıı, T, T11ve Tve T22

Çözüm Çözüm A A11= 75 m= 75 m R R _min_min= 150 m= 150 m

(16)

Birinci klotoid parças

Birinci klotoid parçasıı için hesaplanan deiçin hesaplanan değğerler erler

m m L L₁₁

==

3737..55 X X ₁₁

==

3737..4444 mm T T _K_K₁₁

==

1212..5252 m m R R₁₁

==

00..3939

∆

Y Y ₁₁

==

11..5656mm T T _L_L₁₁

==

2525..0202 m m X

X _M_M₁₁

==

1818..7474 τ τ ₁₁

==

77..95789578 grad grad ((gongon))

2 2

τ

τ açaçııssıınnıın hesaplanmasn hesaplanmasıı 1 1 2 2 τ τ τ τ

==

r r

−−

gon gon 7627 7627 .. 11 11 9978 9978 .. 7 7 7205 7205 .. 19 19 2 2

==

−−

==

τ τ 2 2 τ

τ açaçııssıı yardyardıımmııyla Ryla Rminmin= 150 m al= 150 m alıınarak ikinci klotoid parçasnarak ikinci klotoid parçasııiçin asal elemanlar:için asal elemanlar:

m m L L R R L L 43 43 .. 55 55 2 2 22 2 2 2 2

==

ρ ρ

⇒

==

τ τ

∆

R R₂₂

==

00..8585mm m m A A₂₂

==

9191..1818 X X _M_M₂₂

==

2727..6868mm T T _K_K₂₂

==

1818..5454 mm X X 22= 55.24= 55.24 T T _L_L₂₂

==

3737..0202 Y

Y 22= 3.41= 3.41 τ τ ₂₂

==

1111..76277627 gon gon T

T11ve Tve T22uzunluklar uzunluklar ıınnıın hesaplanmasn hesaplanmasıı

( (

))

++

==

( (

))

7205 7205 .. 19 19 54 54 .. 18 18 52 52 .. 12 12 7627 7627 .. 11 11 02 02 .. 25 25 1 1 Sin Sin Sin Sin T T

==

++

m m T T ₁₁

==

4343..7474

( (

))

γ γ τ τ Sin Sin T T T T Sin Sin T T T T ₂₂

==

_L_L₂₂

++

11 K K 11

++

K K 22

( (

))

7205 7205 .. 19 19 54 54 .. 18 18 52 52 .. 12 12 9578 9578 .. 7 7 02 02 .. 37 37 2 2 Sin Sin Sin Sin T T

==

++

m m T T ₂₂

==

4949..7272

(17)

A

A11, A, A22Ve R DeVe R Değğerleriyle Simetrik Olmayan Geçierleriyle Simetrik Olmayan GeçişşEEğğrisirisi

Verilenler Verilenler A A11, A, A22ve Rve R İİstenenler stenenler T

T11ve Tve T22teteğğet uzunluklar et uzunluklar ıı, daire yay, daire yayıınnıın b yay uzunlun b yay uzunluğğuu

Çözüm Çözüm

Her iki klotoid parças

Her iki klotoid parçasııiçin asal elemanlar hesaplaniçin asal elemanlar hesaplanıır (r (ŞŞekil 64). Böylece,ekil 64). Böylece,

2 2 )) (( ₁₁ 1 1 γ γ Tan Tan R R R R t t

==

++

∆

2 2 )) (( ₂₂ 2 2 γ γ Tan Tan R R R R t t

==

++

∆

d d t t X X T T ₁₁

==

_m_m₁₁

++

₁₁

++

d d t t X X T T ₂₂

==

_m_m₂₂

++

₂₂

−−

Bu toplamada i

Bu toplamada işşaretlere dikkat edilmeli, çünkü d ’nin dearetlere dikkat edilmeli, çünkü d ’nin değğeri negatif olarak elde eri negatif olarak elde edilebilmeedilebilmektedir. Dairektedir. Daire yay parças

yay parçasıınnıın merkez açn merkez açııssıı;;

)) ((τ τ ₁₁ τ τ ₂₂ γ γ α α

==

−−

++

Yay uzunlu Yay uzunluğğuu

200 200 πα πα R R b b

==



elde edilir (

elde edilir (ŞŞekil 64).ekil 64).

Ş

(18)

Örnek: Örnek: Verilenler Verilenler A A11= 150 m= 150 m A A22= 90 m= 90 m R R = 200 m= 200 m γ γ = 30.1800 gon= 30.1800 gon İİstenenler stenenler T1, T2,

T1, T2, b



b ve tüm klotoid elemanlar ve tüm klotoid elemanlar ıı

Çözüm Çözüm

m m A

A₁₁

==

150150 A A₂₂

==

9090 mm m m L L₁₁

==

112112..5050 L L₂₂

==

4040..5050mm m m R R₁₁

==

22..6363

∆

R R₂₂

==

00..3434mm m m X X _m_m₁₁

==

5656..1010 X X _m_m₂₂

==

2020..2424 mm m m X X ₁₁

==

111111..6161 X X ₂₂

==

4040..4646mm m m Y

Y ₁₁

==

1010..4949 Y Y ₂₂

==

11..3737mm m m T T _K_K₁₁

==

3737..7878 T T _K_K₂₂

==

1313..5151mm m m T

T _U_U₁₁

==

7575..3131 T T _U_U₂₂

==

2727..0202mm gon gon 9049 9049 .. 17 17 1 1

==

τ τ τ τ ₂₂

==

66..44584458 gon gon 2 2 )) (( ₁₁ 1 1 γ γ Tan Tan R R R R t t

==

++

∆

t t ₁₁

==

4848..9595mm 2 2 )) (( ₂₂ 2 2 γ γ Tan Tan R R R R t t

==

++

∆

t t ₂₂

==

4848..4040 mm d d t t X X T T ₁₁

==

_m_m₁₁

++

₁₁

++

1 1 T T =100.03 m=100.03 m d d t t X X T T ₂₂

==

_m_m₂₂

++

₂₂

−−

2 2 T T =73.66 m=73.66 m )) ((τ τ ₁₁ τ τ ₂₂ γ γ α α

==

−−

++

= 5.8293= 5.8293 200 200 πα πα R R b b

==



= 18.31 m = 18.31 m

(19)

Ş

Şekil 65.ekil 65.

Dönüm E

Dönüm Eğğrisi Uygulamasrisi Uygulamasıı

Ş

(20)

Verilenler: Verilenler: Te

Teğğet kesim noktalar et kesim noktalar ııTSTSgg, TS, TS1212, TS, TS1010, TS, TS1111’nin koordinatlar ’nin koordinatlar ıı

Te

Teğğet uzunluet uzunluğğu Tu T11, T, Tw1w1, T, Tw2w2, T, T22

Daire yay

Daire yayııuzunluklar uzunluklar ııbb11ve bve b22

Çözüm: Çözüm:

a) Klotoidin bütün elemanlar

a) Klotoidin bütün elemanlar ıınnıın hesabn hesabıı

b) Küçük nokta ve yan

b) Küçük nokta ve yan nokta hesabnokta hesabıına göre M1 daire merkez açna göre M1 daire merkez açııssıınnıın koordinatlar n koordinatlar ıı

c)

c)TS TS ₁₂₁₂TS TS ₁₁₁₁teteğğet üzerine M1 merkez noktaset üzerine M1 merkez noktasıınnıın koordinatlar n koordinatlar ıınnıın dönün dönüşşümüümü

Sonuçlar: n

Sonuçlar: nm1m1 ve Zve Zm1m1

d)

d) M M ₁₁ M M ₂₂ merkez noktalar merkez noktalar ııarasarasıındaki uzaklndaki uzaklııklar klar ıın hesaplanmasn hesaplanmasıı

(

)

(

))

22 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 M M R R R R R Rww R Rww X X mwmw X X mwmw M M

==

++

∆

++

∆

++

e)

e) a, b a, b ve ve c c uzunluklar uzunluklar ıınnıın hesaplanmasn hesaplanmasıı

a = (R a = (R22++ ∆∆ RR22)-n)-nm1m1 b = b = M M ₁₁ M M ₂₂22

−−

aa22 c = Z c = Zm1m1-b- X-b- Xm2m2

f) Yan nokta hesab

f) Yan nokta hesabıına göre Mna göre M22merkez noktasmerkez noktasıınnıın koordinatlar n koordinatlar ıınnıın hesabn hesabıı

g)M

g)M11ve Mve M22koordinatlar koordinatlar ıından elde edilen vndan elde edilen v M _M M _M₁₁22 açaçııklklıık açk açııssıınnıın hesabn hesabıı

h)

h)δδ açaçııssıınnıın hesabn hesabıı

i) tan i) tan δδ == 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 w w w w mw mw mw mw R R R R R R R R X X X X

∆

++

∆

++

(21)

Ş

Şekil 67ekil 67 j)

j)γγ1010veve γγ1111açaçıılar lar ıınnıın hesabn hesabıı

Te

Teğğet kesim noktalar et kesim noktalar ıınnıın koordinatlar n koordinatlar ıından, açndan, açııklklıık açk açııssıı _TS_TSTS TS 1010 g g vv veve 1212 11 11 TS TS TS TS vv hesaplanarakhesaplanarak dü

düğğüm teüm teğğetlerinin açetlerinin açııklklıık açk açııssıı γγww;;

vvww= v= v M _M_M M ₁₁22

±±

δδ – 100 gon– 100 gon

elde edilir.

elde edilir. δδ’n’nıın in işşareti farklareti farklııfaktörlere bafaktörlere bağğıımlmlııddıır. Ter. Teğğet kesim açet kesim açıılar lar ıı γγ1010veve γγ1111

γγ1010==vv_TS_TSTS TS _g_g1010 - v- vww veve γγ11=11=vv_TS_TSTS TS ₁₁₁₁1212- - vvww

k)Te

k)Teğğet uzunluklar et uzunluklar ıı TT1,1, TTw1,w1, TTw2,w2, TT22’ nin hesaplanmas’ nin hesaplanmasıı, simetrik olmayan geçi, simetrik olmayan geçişş eeğğrisinde uygulananrisinde uygulanan

yöntem ve formüller uygulanarak elde edilir. yöntem ve formüller uygulanarak elde edilir. l)Te

l)Teğğet kesim açet kesim açıılar lar ıı γγ1010ve γγve 1111elde edilen teelde edilen teğğet uzunluklar et uzunluklar ıı N, TN, T1,1,TTw1,w1, TTw2w2 ve ve TT22’ den TS’ den TSgg, TS, TS1010, TS, TS1111,,

TS

TS1212kontrol kontrol poligonlapoligonlar r ıınnıın hesaplanmasn hesaplanmasıı

m)Daire yay uzunluklar

m)Daire yay uzunluklar ıı bb₁₁ve bve b₂₂’ nin hesaplanmas’ nin hesaplanmasıı

)) (( ₁₁ ₁₁ 10 10 1 1 γ γ τ τ τ τ ww α α

==

−−

++

200 200 1 1 1 1 1 1 πα πα R R b b

==



)) (( ₂₂ ₂₂ 11 11 2 2 γ γ τ τ τ τ ww α α

==

−−

++

200 200 2 2 2 2 2 2 πα πα R R b b

==



(22)

Örnek: Örnek: Ş Şekil 68ekil 68 Verilenler: Verilenler: Te

Teğğet kesim noktalar et kesim noktalar ıınnıın koordinatlar n koordinatlar ıı

NN NN Y Y XX TS TSgg 140.10 140.10 530.27530.27 (TS (TS1010’) ’) -149.48 -149.48 320.51320.51 (TS (TS1111’) ’) 215.92 215.92 280.12280.12 TS TS1212 307.92 307.92 20.4620.46 Yay Elemanlar Yay Elemanlar ıı A A11= 100 m= 100 m R R11= 75 m= 75 m A Aw1w1= A= Aw2w2= 85 m= 85 m R R22= 125 m= 125 m A A22= 140 m= 140 m Klotoid ba

Klotoid başşlanglangııç noktasç noktasıına olan uzaklna olan uzaklıık N=73.13 mk N=73.13 m

İİstenenler:stenenler: A

A11, A, Aw1w1ve Ave A22için klotoid için klotoid elemanlar elemanlar ıı

Te

Teğğet uzunluklar et uzunluklar ııTT11, T, Tw1w1, T, Tw2w2, T, T22

Te

Teğğet kesim noktalar et kesim noktalar ıınnıın koordinatlar n koordinatlar ııTSTS1010ve TSve TS1111

b

(23)

Çözüm: Çözüm: a)

a)

b) Küçük nokta ve yan

b) Küçük nokta ve yan nokta koordinatlar nokta koordinatlar ıınnıın hesabn hesabıı

S S== 2 2 2 2 )) (( )) (( A A E E A A E E X X X X Y Y Y Y

−−

_Mesafe_Mesafe _o_o=₌ ee A A E E S S Y Y Y Y

−−

Y Y a a== ee A A E E S S X X X X

−−

X X NN

NN ∆∆SSii YYnn=Y=Yn-1n-1+o.S+o.Snn XXnn=X=Xn-1n-1+a.S+a.Snn

o= o= -0.80986 -0.80986 a=-0.58663a=-0.58663 TS TSgg +140.10 +140.10 +530.27+530.27 İİlavelave hesaplamalar hesaplamalar 138.08 N=73.13 138.08 N=73.13 F FpM1pM1 +28.27 +28.27 +449.27 +449.27 XXM1M1=64.95=64.95 (-84.60) (-84.60) +49.63 +49.63 -68.52 -68.52 138.08138.08 M M11 +77.90 +77.90 +380.75+380.75 219.49 219.49 +177.75 +177.75 -128.76 -128.76 R=75.00R=75.00 F Fpp -99.85 -99.85 +251.99+251.99 ∆∆RR11=9.60=9.60 (+84.60) (+84.60) -49.63 -49.63 +68.51 +68.51 84.6084.60 TS TS1010 -149.48 -149.48 +320.51+320.51 S= 357.57 S= 357.57 c)

c) TS TS ₁₂₁₂TS TS ₁₁₁₁'' teteğğetleri üzerine, Metleri üzerine, M11merkez noktasmerkez noktasıınnıın koordinatlar n koordinatlar ıınnıın dönün dönüşşümüümü NN NN SS o o== ee A A E E S S Y Y Y Y

−−

Y

Ynn=Y=Y A A+oS+oS

a a== ee A A E E S S X X X X

−−

X

Xnn=X=X A A+aS+aS

∆ ∆YY

Y

Y ∆∆XXXX +a. ∆+a.-o.-o. ∆∆X∆YXY n npp +a. +a. ∆∆XX +o. +o. ∆∆YY zzpp S=275,48

S=275,48 o=0.33396 o=0.33396 a=0.94257a=0.94257 TS TS1212 307.92 307.92 20.46 20.46 0.00 0.00 0.00 0.00 TSTS1212 -230.02 -230.02 360.29 360.29 -261.81-261.81 120.32 120.32 339.60 339.60 76.82 76.82 M M11 77.90 77.90 380.75 380.75 --96.49 96.49 416.42 416.42 MM11 138.02 138.02 -100.63 -100.63 130.09130.09 -33.61 -33.61 -94.85 -94.85 -46.09 -46.09 TS TS1111’’ 215.92 215.92 280.12 280.12 -0.01 -0.01 275.48 275.48 TSTS1111’’ -92.00 -92.00 259.66 259.66 0.00 0.00 275.45275.45 R R 11= 75 m= 75 m A A11= 100 m= 100 m L L11=133,33 m=133,33 m ∆ ∆R R 11=9.60 m=9.60 m X Xm1m1=64.95 m=64.95 m X X11=123,18 m=123,18 m Y Y11=37.33 m=37.33 m 1 1 τ τ =56.5884 gon=56.5884 gon R R 22= 75 m= 75 m A Aw1w1= 85 m= 85 m L Lw1w1=96.33 m=96.33 m ∆ ∆R R w1w1=5.08 m=5.08 m X Xmw1mw1=47.51 m=47.51 m X Xw1w1=92.44 m=92.44 m Y Yw1w1=20.02 m=20.02 m 1 1 w w τ τ =40.8851 gon=40.8851 gon R R 22= 125 m= 125 m A Aw2w2= 85 m= 85 m L Lw2w2=57.80 m=57.80 m ∆ ∆R R w2w2=1.11 m=1.11 m X Xmw2mw2=28.85 m=28.85 m X Xw2w2=57.49 m=57.49 m Y Yw2w2=4.44 m=4.44 m 2 2 w w τ τ =14.7187gon=14.7187gon R R 22= 125 m= 125 m A A22= 140 m= 140 m L L22=156,80 m=156,80 m ∆ ∆R R 22=8.08 m=8.08 m X Xm2m2=77.38 m=77.38 m X X22=150,74 m=150,74 m Y Y22=31.87 m=31.87 m 2 2 τ τ =39. 9288 gon=39. 9288 gon

(24)

d)

d) M M ₁₁ M M ₂₂ merkez noktalar merkez noktalar ıınnıın mesafesinin hesabn mesafesinin hesabıı

2 2 1 1 M M M M == (( R R₁₁

++

R R₂₂

++

∆

R R_w_w₁₁

++

∆

R R_w_w₂₂))22

++

(( X X _mw_mw₁₁

++

X X _mw_mw₂₂))22 2 2 1 1 M M M M == ₍₍₇₅₇₅

++

₁₂₅₁₂₅

++

₅₅_..₀₈₀₈

++

₁₁_..₁₁₁₁₎₎22

++

₍₍₄₇₄₇_..₅₁₅₁

++

₂₈₂₈_..₈₅₈₅₎₎22 2 2 1 1 M M M M =219.88 m=219.88 m e) a, b, c

e) a, b, c uzunluklar uzunluklar ıınnıın hesabn hesabıı

a= a=(( R R₂₂

++

∆

R R₂₂))

−−

nn_m_m₁₁ a= 36.59 m a= 36.59 m b= b= 22 22 2 2 1 1 M M aa M M

−−

b= 216.81 b= 216.81 c= Z c= Zm1m1-b-X-b-Xm2m2= 416.42 – 216.81 – 77.38 = 122.23 m= 416.42 – 216.81 – 77.38 = 122.23 m f) f) S=

S= ((Y Y _E_E

−−

Y Y _A_A))22

++

(( X X _E_E

−−

X X _A_A))22 Mesafe Mesafe o=o= ee A A E E S S Y Y Y Y

−−

Y Y a= a= ee A A E E S S X X X X

−−

X X NN

NN ∆∆SSii Y Ynn=Y=Yn-1n-1+oS+oSnn XXnn=X=Xn-1n-1+aS+aSnn

S=275.48

S=275.48 o=-0.33396 o=-0.33396 a=0.94257a=0.94257 TS TS1212 0.00 0.00 307.92 307.92 20.4620.46 199.61 199.61 -66.66 -66.66 188.15 188.15 c=122.23c=122.23 F FPn2Pn2 241.26 241.26 208.61 208.61 XXm2m2=77.38=77.38 -133,08 -133,08 -125.44 -125.44 -44.45 -44.45 199.61199.61 M M22 115.82 115.82 164.16164.16 75.87 75.87 -25.34 -25.34 71.5271.52 F Fpp 90.48 90.48 235.68 235.68 RR22++∆∆RR22=133.08=133.08 133.08 133.08 125.44 125.44 44.4444.44 TS TS1111 215.92 215.92 280.12280.12 275.48 275.48 -92.00 -92.00 259.66259.66 g) v g) v 22 1 1 M M M

M açaçııssıınnıın hesabn hesabıı veve M M 11 M M 22 merkez noktalar merkez noktalar ıı arasarasıındaki mesafenin kontrolündaki mesafenin kontrolü

Y Y XX ---M M11 77.90 77.90 380,75 380,75 tan tan vv_M_M M M ₁₁22==

−−

++

= 0,17508 = 0,17508 M M22 115,82 115,82 164,16 164,16 vv_M_M M M ₁₁22= 188.9659= 188.9659 ---+37.92 -216,59 +37.92 -216,59 2 2 1 1 M M M M == 3737..929222

++

216216..595922

==

219219..8888 mm

(25)

h)

h) δδ açaçııssıınnıın hesaplanmasn hesaplanmasıı

tan tan δδ == 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 W W W W mW mW mW mW R R R R R R R R X X X X

∆

++

∆

++

tan tan δδ == 19 19 .. 206 206 36 36 .. 76 76 = 0.37034 = 0.37034 δ δ = 22.5794 gon= 22.5794 gon i) Te

i) Teğğet kesim açet kesim açıılar lar ıı olanolan γγ1010veve γγ1111hesabhesabıı

vv 22 1 1 M M M M = 188.9659 gon= 188.9659 gon δ δ = 22.5794= 22.5794 -100 -100 ---V VWW= 111.5453 gon= 111.5453 gon TS TSgg +140,10 +140,10 +530,27 +530,27 TSTS11’11’ 215,92 215,92 280,12280,12 TS TS1010 -149,48 -149,48 +320,51 +320,51 TSTS1212 307,92 307,92 20.4620.46 --- --- ---'' 10 10 9 9 TS TS TS TS V V ==

−−

1.38053 1.38053 1212 '' 11 11 TS TS TS TS V V ==

−−

++

0,35431 0,35431 '' 10 10 9 9 TS TS TS TS V V = 260.0911= 260.0911 1212 '' 11 11 TS TS TS TS V V = 178.3224= 178.3224 -V -VWW = = 111.5453 111.5453 -V-VWW = -111.5453= -111.5453 --- --- ---γγ1010= 148.5458 gon= 148.5458 gon γγ1111= 66,7771 gon= 66,7771 gon

j) Te

j) Teğğet uzunluklar et uzunluklar ıınnıın hesabn hesabıı

TS

TS1010yayyayıında nda TSTS1111yayyayıındanda

2 2 10 10 γ γ = 74.2729 = 74.2729 2 2 11 11 γ γ = 33,3886 = 33,3886 R R11++∆∆RR11= = 84.60 84.60 RR22++∆∆RR22= 133,08= 133,08 R R11++∆∆RwRw11= = 80.08 80.08 RR22++∆∆RwRw22= 126,11= 126,11 ∆ ∆RwRw11++∆∆RR11= -4.52= -4.52 ∆∆RwRw22++∆∆RR22= 6.97= 6.97 --- --- ---1 1 t t = tan= tan 2 2 10 10 γ γ ( R ( R11++∆∆RR11)) t t = tan₁₁ = tan 2 2 11 11 γ γ ( R ( R22++∆∆RwRw22)) tt11= = 197,82 197,82 m m tt11= 72.96 m= 72.96 m --- --- ---2 2 t t = tan= tan 2 2 10 10 γ γ ( R ( R11++∆∆RwRw11)) t t = tan₂₂ = tan 2 2 11 11 γ γ ( R ( R22++∆∆RR22)) tt22= = 187,25 187,25 m m tt22= 76.99 m= 76.99 m --- ---

(26)

---10 10 1 1 1 1 γ γ Sin Sin R R R R d d

==

∆

W W

−−

∆

11 11 2 2 2 2 γ γ Sin Sin R R R R d d

==

∆

−−

∆

W W d d = = -6.25 -6.25 m m d d = = 8.04 8.04 mm --- --- ---T T11= X= Xm1m1+ t+ t11+ d + d TTW2W2= X= XmW2mW2+ t+ t11+ d+ d T T11= = 64.95 64.95 + + 197.82 197.82 – – 6.25 6.25 TTW2W2= 28.85 + 72.96 +8.04= 28.85 + 72.96 +8.04 T T11= = 256.52 256.52 m m TTW2W2= 109.85 m= 109.85 m --- --- ---T TW1W1= X= XmW1mW1+ t+ t22+ d + d TT22= X= Xm2m2+ t+ t22- d- d T TW1W1= = 47.51 47.51 + + 187,25 187,25 + + 6.25 6.25 TT22= 77.38 + 76.99 – 8.04= 77.38 + 76.99 – 8.04 T TW1W1= = 241,01 241,01 m m TT22= 146,33 m= 146,33 m k) Kontrol

k) Kontrol poligonlapoligonlar r ıınnıın hesabn hesabıı

NN NN ββ αα SS ∆Y∆Y ∆∆X X Y Y XX ---TS TS99 260.0911 260.0911 329.65 329.65 -266.97 -266.97 -193.38 -193.38 140.10 140.10 530.27530.27 TS TS1010 51.454251.4542 111.5453 111.5453 350.86 350.86 +345.11 +345.11 -63.28 -63.28 -126.87 -126.87 336.89336.89 TS TS1111 266.7771266.7771 178.3224 178.3224 268.56 268.56 +89.69 +89.69 -253.14 -253.14 218.24 218.24 273.61273.61 TS TS1212 307.93 307.93 20.4720.47 ---(307.92) (20.46) (307.92) (20.46) Ş Şekil 69.ekil 69. l) Daire yay

l) Daire yay uzunluklar uzunluklar ıınnıın hesabn hesabıı



bb₁₁veve



bb₂₂

1 1 α α == γ γ ₁₀₁₀

−−

((τ τ ₁₁

++

τ τ _W_W₁₁)) α α ₂₂ == γ γ ₁₁₁₁

−−

((τ τ _W_W₂₂

−−

τ τ ₂₂)) 1 1 α α = 148.5458-(56,5884 + 40,8851)= 148.5458-(56,5884 + 40,8851) α α ₂₂ = 66,7771-(14,7187 – 39,9288)= 66,7771-(14,7187 – 39,9288) 1 1 α α = 51.0723= 51.0723 α α ₂₂ = 12.1296= 12.1296 1 1 b b



= = 200 200 1 1 1 1πα πα R R = = 200 200 0723 0723 .. 51 51 75 75π π 2 2 b b



= = 200 200 2 2 2 2πα πα R R = = 200 200 1296 1296 .. 512 512 125 125π π 1 1 b b



= 60.17 m = 60.17 m



bb₂₂ = 23.82 m= 23.82 m

(27)

4.1.1

4.1.1 Klotoidin Klotoidin Ara Ara Noktalar Noktalar ıınnıın Aplikasyonun Aplikasyonu

Klotoidin ara noktalar Klotoidin ara noktalar ıı

•• Dik koordinat yöntemiyleDik koordinat yöntemiyle

•• IIşşıınsal yöntemlensal yöntemle

•• Kestirme yöntemiyle aplikasyonu yapKestirme yöntemiyle aplikasyonu yapıılabilir.labilir.

4.1.1.1

4.1.1.1 Dik Koordinat YöntemiyDik Koordinat Yöntemiyle Aplikasyonle Aplikasyon a- Te

a- Teğğetten Aplikasyonetten Aplikasyon

Ş

Şekil 70. Dik ekil 70. Dik koordinat yöntemikoordinat yöntemi AC aras

AC arasıına ena eşşit aralit aralııklklıın tane nokta aplike edilmek isteniyorsa, örnen tane nokta aplike edilmek isteniyorsa, örneğğin yukar in yukar ııdakidaki şşekilde görüldüekilde görüldüğğüü

gibi L

gibi L11, L, L22, L uzunluklar , L uzunluklar ıı bulunur. (7) ebulunur. (7) eşşitliklerindenitliklerindenτ τ ₁₁,,τ τ ₂₂,,τ τ dedeğğerleri bulunur. (1) eerleri bulunur. (1) eşşitliitliğğinden deinden de ρ

ρ ,,

,, ₂₂

1

1 dedeğğerleri hesaplanerleri hesaplanıır. Sonra (5) er. Sonra (5) eşşitlikleri kullanitlikleri kullanıılarak klotoidin ara noktalar larak klotoidin ara noktalar ıınnıın ve sonn ve son

noktas

noktasıınnıın aplikasyon değn aplikasyon değerleri bulunur.erleri bulunur.

4.1.1.2 I

4.1.1.2 Işşıınsal Yöntemnsal Yöntemİİle Aplikasyonle Aplikasyon

Ş

Şekil 71.ekil 71. ŞŞekil 72.ekil 72.

S = S = _X_X22

++

_Y_Y22 _,, X X Y Y tg tg γ γ

==

,, X X Y Y arctg arctg

==

σ σ (15)(15) Aç

(28)

4.1.1.3 Kestirme Yöntemi

4.1.1.3 Kestirme Yöntemi İİle Aplikasyonle Aplikasyon Bu yöntem uzunluk ölçüsünü gerektirmedi

Bu yöntem uzunluk ölçüsünü gerektirmediğği için ve ayr i için ve ayr ııca yüksek presizyon sağca yüksek presizyon sağladladıığğıı için tercihiçin tercih

edilmektedir.

edilmektedir. İİki teodolitle KB ve KS noktalar ki teodolitle KB ve KS noktalar ıında aplikasyon yapnda aplikasyon yapıılmaktadlmaktadıır.r. δδii veve

∈

_iiaçaçıılar lar ıı

koordinatlardan hesaplan koordinatlardan hesaplanıır.r.

Ş

Şekil 73. Kestirme yöntemiekil 73. Kestirme yöntemi

4.2 LEMN

4.2 LEMNİİSKATSKAT Lemniskat, birle

Lemniskat, birleşştirme kurplar tirme kurplar ııiçerisinde ideal birleiçerisinde ideal birleşştirme kurbu klotoidine en yaktirme kurbu klotoidine en yakıın en eğğridir.ridir.

Lemniskat

Lemniskatıın kutupsal koordinatlara göre denklemi;n kutupsal koordinatlara göre denklemi;

S

S22= A= A22Sin 2Sin 2σσ veya Aveya A22= 3RS= 3RSLL (16)(16)

şşeklindedir.eklindedir. S,

S, σσ eeğğri üzerindeki bir noktanri üzerindeki bir noktanıınnıışşıınsal koordinatlar nsal koordinatlar ıı

A

A, e, eğğrinin büyüklürinin büyüklüğğünü belirleyen parametreler ünü belirleyen parametreler

Ş

(29)

Ş

Şekil 75.ekil 75. Lemniskat

Lemniskatıın en önemli özellin en önemli özelliğği sapma açi sapma açııssıı((∆∆)’n)’nıın, ten, teğğet-kiriet-kirişş açaçııssıı((τ τ )’nin üç kat)’nin üç katıına ena eşşit olmasit olmasııddıır.r.

∆

∆ :projeden hesaplan:projeden hesaplanıır r

R

R :Lemniskat :Lemniskat ile ile kurbun kurbun orta orta noktalar noktalar ıı LLKK ve Kve KLL deki edeki eğğrilik yar rilik yar ııçapçapıı, proje mühendisi taraf , proje mühendisi taraf ıındanndan

belirlenir. belirlenir. S

SLL :Lemniskat:Lemniskatıın kirin kirişş uzunluuzunluğğuu

A

A :Lemniskat:Lemniskatıın parametresidir. An parametresidir. A22=3RS=3RS_L_Leeşşitliitliğğinden hesaplaninden hesaplanıır.r.

L :Lemniskat

L :Lemniskatıın uzunlun uzunluğğudur.udur.

... ... tg tg 12 12 1 1 tg tg 5 5 2 2 tg tg 2 2 (( 2 2 A A L L== σσ−− 55σσ++ 99σσ ba

bağğııntntııssııile hesaplanile hesaplanıır.r.

X

XPP, Y, YPPlemniskat üzerindeki bir P noktaslemniskat üzerindeki bir P noktasıınnıın aliyman don aliyman doğğrultusuna göre dik rultusuna göre dik koordinatlar koordinatlar ııddıır.r.

X

XPP=S=SPP coscosσσPP YYPP=S=SPPsinsinσσPP (17)(17)

Sin2

Sin2σσ_P_P=S=SPP/3R/3R

dir. Burada S

dir. Burada SPP seçilir.seçilir. σσPP, S, SPPlemniskat üzerindeki bir P noktaslemniskat üzerindeki bir P noktasıınnıın kutupsal n kutupsal koordinatlakoordinatlar r ııddıır.r.

T te

T teğğet uzunluet uzunluğğudur.udur. T=R(3sin

T=R(3sinσσ-2sin-2sin33σσ)+R(3cos)+R(3cosσσ-2cos-2cos33σσ)tg)tg 2 2 ∆ ∆ (18) (18) b kurp uzunlu

b kurp uzunluğğudur.udur. αα==∆∆−−22ττ_L_L alalıınarak b=narak b= 200 200 R R αα ππ ba

(30)

4.3 KÜB

4.3 KÜBİİK SPK SPİİRALRAL

Ş

Şekil 76.ekil 76.

∆

∆ :Projeden hesaplan:Projeden hesaplanıır r

R

R :Spiral :Spiral ve ve kurbun kurbun ortak ortak noktalar noktalar ıı SSkk ve ve KKss deki edeki eğğrilik yar rilik yar ııçapçapıı, proje mühendisi taraf , proje mühendisi taraf ıındanndan

takdir edilerek belirlenir. takdir edilerek belirlenir. L

LSS :Spiralin uzunlu:Spiralin uzunluğğu (SB-Sk) proje mühendisi taraf u (SB-Sk) proje mühendisi taraf ıından takdir edilerek belirlenir.ndan takdir edilerek belirlenir.

S S

ττ :S:SKKdaki tedaki teğğet açet açııssııddıır.r. ττ == ρρ R R 2 2 L L_S_S S S p p

ττ :Spiral üzerindeki bir P noktas:Spiral üzerindeki bir P noktasıındaki tendaki teğğet açet açııssııddıır. Bir Lr. Bir LPP uzunluğuzunluğu içinu için

S S P P S S P P L L L L == ττ ττ ba

bağğııntntııssıından hesaplanndan hesaplanıır.r.

X,

X, Y Y :S:Skknoktasnoktasıınnıın aliyman don aliyman doğğrultusuna göre dik rultusuna göre dik koordinatlar koordinatlar ıı

...) ...) 216 216 10 10 1 1 (( L L X X 10 10 S S 2 2 S S S S −− ττ ++ ττ −− == ...)...) 1320 1320 42 42 8 8 (( L L Y Y 5 5 S S 3 3 S S S S S S −− ττ ++ ττ −− ττ == (19)(19) ba

bağğııntntıılar lar ııile hesaplanile hesaplanıır.r.

X

XPP, Y, YPP :Spiral üzerindeki P noktas:Spiral üzerindeki P noktasıınnıın aliyman don aliyman doğğrultusuna göre dik koordinatlar rultusuna göre dik koordinatlar ııddıır. Yukar r. Yukar ııdakidaki

ba

bağğııntntıılarda Llarda LSS yerine Lyerine LPP veve ττSS yerine deyerine de ττPP konularak hesaplankonularak hesaplanıır.r.

T

T TeTeğğet uzunluet uzunluğğudur.udur. m=Y-R(1-cos

m=Y-R(1-cosττ_S_S)) n=X-Rsin

n=X-Rsinττ_S_S eeşşitliklerindenitliklerinden T=n+(R+m)tg T=n+(R+m)tg 2 2 ∆ ∆ olarak hesaplan olarak hesaplanıır.r. B kurp uzunlu

B kurp uzunluğğudur.udur. αα==∆∆−−22ττ_S_S alalıınaraknarak

b= b= 200 200 R R αα ππ ba

(31)

4.4 KÜB 4.4 KÜBİİK PARABOLK PARABOL X X≅≅l=Sl=SLLalalıınnıırsarsa RL RL 6 6 X X RX RX 6 6 X X Y Y 3 3 3 3 == == (20)(20) denklemi yaz

denklemi yazıılabilir. C=LR, C sabitedir.labilir. C=LR, C sabitedir.

Ş

Şekil 77. Kübik parabol ve klotoidin grafiekil 77. Kübik parabol ve klotoidin grafiğğii Kübik parabolün elemanlar

Kübik parabolün elemanlar ıı kübik spiral gibi hesaplankübik spiral gibi hesaplanıır. Kübik parabol demiryollar r. Kübik parabol demiryollar ıında çok kullannda çok kullanııllıır.r.

Çünkü geçi

Çünkü geçişş kurbu yatkurbu yatıık ve kk ve kıısadsadıır. Bazr. Bazıı yaylarda yukar yaylarda yukar ııdaki eşşitlidaki e itliğğin ikinci kin ikinci kıısmsmıı kullankullanıılmaktadlmaktadıır.r.

Kübik parabol için Kübik parabol için X=l X=l Y= Y= 2 2 3 3 A A 6 6 ll (21) (21) de

değğerleri kullanerleri kullanıılmaktadlmaktadıır.r.

4.5 SINUSOID 4.5 SINUSOID

Günümüzde klotoidin yüksek h

Günümüzde klotoidin yüksek hıızlarda, hareket dinamiğzlarda, hareket dinamiğine kar ine kar şşıın oluşşturdun olu turduğğu saku sakııncalar ncalar ıın daha üstünn daha üstün

geçi

geçişş eeğğrileriyle bertaraf edildirileriyle bertaraf edildiğği ortaya çi ortaya çııkmkmıışşttıır. Bu tarz için ideal çözüm olan sinusoid er. Bu tarz için ideal çözüm olan sinusoid eğğrisi, çokrisi, çok

yüksek h

yüksek hıızlzlıı manyetik raylmanyetik raylıı sistemlerde ve disistemlerde ve diğğer mühendislik yaper mühendislik yapıılar lar ıında uygulanmaktadnda uygulanmaktadıır.r.

Ş

Şekil 78. Sinüsoid eekil 78. Sinüsoid eğğrisi ve asal risi ve asal eleman deeleman değğerlerierleri

Klotoid Klotoid

Kübik Parabol Kübik Parabol

(32)

Ş

Şekil 78’e göre sinüsoidin eekil 78’e göre sinüsoidin eğğrilik fonksiyonurilik fonksiyonu k = k =                   ππ ππ −− E E E E LL L L 2 2 Sin Sin 2 2 1 1 L L L L R R 1 1 ₍₂₂₎₍₂₂₎

ττ teteğğet açet açııssıınnıın diferansiyel den diferansiyel değğiişşimiimi

dL dL )) )) L L L L 2 2 (( Sin Sin 2 2 1 1 L L L L (( R R 1 1 dL dL r r 1 1 d d E E E E ππ ππ −− == == ττ elde edilir. elde edilir.

Herhangi bir P noktas

Herhangi bir P noktasıındakindaki ττ teteğğet açet açııssıı

∫∫ ππ −− ππ ++ == ττ == ττ == L L 0 0 L L 22 EE E E E E 2 2 )) )) 1 1 )) L L L L 2 2 (cos( (cos( 4 4 L L L L 2 2 L L (( R R 1 1 d d (23)(23) L

LEE = Sinüsoidin uzunlu= Sinüsoidin uzunluğğuu

R = Ba

R = Bağğlanlanıılan Daire Yar lan Daire Yar ııçapçapıı

bulunmaktad bulunmaktadıır.r.

Ş

Şekil 78 deki ekil 78 deki diferansiyel üçgendediferansiyel üçgendenn dy=dL sin

dy=dL sinττ , , dx=dLcosdx=dLcosττ

ve ve Y= Y= ∫∫ ττ == L L 0 0 L L dL dL sin sin , , X=X= ∫∫ ττ == L L 0 0 L L dL dL cos cos (24)(24)

formülleri elde edilir. Bu integrallerin hesab

formülleri elde edilir. Bu integrallerin hesabıı için en uygun yöntem, yapiçin en uygun yöntem, yapıılan bir program yardlan bir program yardıımmııylayla

(dL=1 m al

(dL=1 m alıınarak) Y ve X denarak) Y ve X değğerlerinin elde edilmesidir.erlerinin elde edilmesidir.

Sinüsoidin asal eleman de

Sinüsoidin asal eleman değğerlerinin hesaplanmaserlerinin hesaplanmasııklotoiddekinin aynklotoiddekinin aynııssııddıır.r.

Te

Teğğet açet açııssıı

ππ == ττ 200200 R R 2 2 L L_E_E E E (25)(25) Rakordman pay Rakordman payıı )) cos cos 1 1 (( R R Y Y R R == _E_E −− −− ττ_E_E ∆ ∆ (26)(26) Daire merkezinin

Daire merkezinin koordinatlakoordinatlar r ıı

X

XMM = X= XEE-R sin-R sinττ_E_E

Y