A note on the n-spendable extension of Ferguson's single-term off-line coins

n

!"#$%

&' %

(

&) $

&

!$ *+ *

) %$

&

,-&

!-&

&.

/ 0 1 2 3!

4

& /$5

*""

&6&

,$$ *!7 8 99:;<=<>>?

>@$A B*4

&

& ?@@C

DEFGHIJG

KLMNOPQNRQRS RTULVMRVWXRSOULVYMZLSTRXO[S

n

_·

(

n

+1)!

Q[\LMP[QNY

O]Q^L[S_ TLQLXQLT RST [TLSQ[`LT [S QNL

n

YMZLSTR^aL LbQLSM[OS Oc dLV_]Y

MOSeMM[S_aLYQLV\ OfYa[SLXO[SgM[\ZaW ^W ZLV\]Q[S_QNLP[QSLMM\LMMR_LM

[S QNL QNVLLY\OUL hLVOYiSOPaLT_L ZVOOc ZRW\LSQ ZVOQOXOaj KL VLZR[V

QNL TLQLXQ[OS MXNL\L^W RTT[S_ RM[\ZaLULV[`XRQ[OS V]aL[S QNLZRW\LSQ

ZVOQOXOaj KL VLZR[V QNL [TLSQ[`XRQ[OS MXNL\L ^W VLMQV[XQ[S_ QNL [TLSQ[QW

cOV\RQj

k lmnopqrsntpm

uvwxyz{|z}~ €{yvwz vw ‚ƒ „…ƒ† ‡…ˆ‡ˆƒ‰Š ‹Œ  ‰…Žƒˆ ‘’“ †ˆ …‰Š”‰ †•‰ –—…Ž‰

˜‹‰…ˆ™”•—––‰Ž‰†‰…˜ƒ‚ š|{›wœ{žz‡…ˆ†ˆ”ˆ–Ÿ  

n

{ž¡zwœ›¢yzz£|zwžvw ‚ƒ —–ƒˆ ‡…ˆ‡ˆƒ‰Š ‘¤“ ƒˆ †•—† ƒ‡‰Š‚Ž — ”ˆ‚

n

†‚˜‰ƒ Šˆ‰ƒ ˆ† ‰¥‡ˆƒ‰ †•‰ ‡—Œ‰… ‚Š‰†‚†Œ ™…ˆ˜ †•‰ ƒ‡‰† ”ˆ‚ƒ¦‹† ƒ‡‰Š‚Ž ‚† ˜ˆ…‰ †•—

n

†‚˜‰ƒ Šˆ‰ƒŸ §‰¨‰…© †•‰–‰ƒƒ¦ª‰ ƒ•ˆª †•—† — —ŠŠ‚†‚ˆ—– …–‰ ˜ƒ†‹‰—ŠŠ‰Š †ˆ †•‰ˆ…‚Ž‚—– ‡—Œ˜‰†

‡…ˆ†ˆ”ˆ–‚ ˆ…Š‰…†ˆ Ž—…—†‰‰Š‰†‰”†‚ˆ —Š‚Š‰†‚„”—†‚ˆ ˆ™†•‰ «z}{ž¡zwœvwx

€zwœz} ª•ˆ ƒ‡‰Šƒ — ”ˆ‚ ˜ˆ…‰†•—

n

†‚˜‰ƒŸ

¬ †•‰ |}zz{~«z ­z}{®w¯yzœxz¡}° ‡—Œ˜‰† ‡…ˆ†ˆ”ˆ–¦ †•‰ ‡—Œ‰… ƒ‰Šƒ

ƒˆ˜‰ ¯v|wzžž ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ†ˆ †•‰ƒ•ˆ‡¦™ˆ––ˆª‰Š ‹Œ— ›yyzwxz …‰‡–‚‰Š‹Œ†•‰ ƒ•ˆ‡¦

—Š †•‰ †•‰ ‡—Œ‰… —ƒª‰…ƒ†•‰ ”•—––‰Ž‰‹Œ — }zž¡wžzŸ ±•‰ ƒ•ˆ‡ ¨‰…‚„‰ƒ †•‰

†…‚‡–‰ ²¯v|wzžž¦ ›yyzwxz¦ }zž¡wžz³ †ˆ Š‰”‚Š‰ ª•‰†•‰… ˆ… ˆ† †•‰ ‡—Œ˜‰† ‚ƒ

¨—–‚ŠŸ   ˆ¨‰…©ƒ‡‰Š‚Ž ‰¨‰† ‚ƒ Š‰†‰”†‰Š ‚™ ˜ˆ…‰†•—

n

†…‚‡–‰ƒ ª‚†• vœzw|v›y ª‚†‰ƒƒ ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ —…‰Š‰‡ˆƒ‚†‰Š †ˆ †•‰ ‹—´Ÿ ±•‰ ‚Š‰†‚†Œ ˆ™ †•‰ ˆ¨‰…©ƒ‡‰Š‚Ž

ˆµ‰Š‰… ”— ‹‰ Š‰”‚‡•‰…‰Š ™…ˆ˜

n

+ 1

ˆ™ †•‰ƒ‰ ”•—––‰Ž‰©…‰ƒ‡ˆƒ‰ ‡—‚…ƒŸ ¬ †•‚ƒ ˆ†‰¦ ª‰ ƒ•ˆª †•—† ƒ‚˜‡–Œ ”•‰”´‚Ž ¶‚Š‰†‚”—–· ª‚†‰ƒƒ ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ ‚ƒ ˆ†

ƒ¸”‚‰† †ˆ Š‰†‰”† —–– ˆ¨‰…©ƒ‡‰Š‚Ž ‰¨‰†ƒ¦‹‰”—ƒ‰ — ˆ¨‰…©ƒ‡‰Š‚Ž ˆµ‰Š‰…

”— ‡‰…˜†‰ †•‰ ª‚†‰ƒƒ ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ ‚

n

™ˆ… ‰—”• ‡‰…˜†—†‚ˆ ª‚†•ˆ† ‹‰‚Ž †—ŽŽ‰Š ˆ¨‰…©ƒ‡‰Š‚Ž¦ †•ƒ ‚† ”— ƒ‡‰Š

n

·

(

n

+ 1)!

†‚˜‰ƒª‚†•ˆ†‹‰‚Ž‚Š‰†‚„‰ŠŸ  ˜ˆŽ †•‰ƒ‰¨‰…—–Š‰†‰”†‚ˆ…‰‡—‚…‚Ž ƒ”•‰˜‰ƒ †•—† ª‰ ª‚–– ‡…ˆ‡ˆƒ‰ ƒ•ˆ…†–Œ¦ †•‰ ˜ˆƒ† ‰¸”‚‰† ˆ‰ ‚ƒ †ˆ …‰Ž–—†‰ †•‰

‡…‰ƒ”…‚‹‰Šˆ…Š‰…ˆ™ª‚†‰ƒƒ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ‰¹‰”‰ƒ‰Š‚‡—Œ˜‰†ƒŸ º‰—–ƒˆ‡…ˆ‡ˆƒ‰

— ‚Š‰†‚†Œ ™ˆ…˜—† †ˆ …‰‡—‚… †•‰ ‚Š‰†‚„”—†‚ˆ ƒ”•‰˜‰ ™…ˆ˜ ”‰…†—‚†Œ —…ˆƒ‰

™…ˆ˜ ‡‰…˜†—†‚ˆƒŸ

» ¼½o¾r¿pmÀ ¿ ¿sÁ½Â½

¬  ‰…Žƒˆƒ ƒ”•‰˜‰ ‘¤“¦—

n

©ƒ‡‰Š—‹–‰”ˆ‚ ‚ƒ — †…‚‡–‰

(

W, U, K

)

¦ª•‰…‰

W

= (

c, a

0

, a

1

, ..., a

n

)

²’³

‚ƒ — ”ˆ––‰”†‚ˆ ˆ™

n

+ 2

ª‚†‰ƒƒ ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ¦

U

‚ƒ†•‰ ‡—Œ‰…‚Š‰†‚†Œ¦ —Š

K

= (

k

1

, k

2

, ..., k

n

, S

0

, S

1

, ..., S

n

)

² ¤³

‚ƒ— ”ˆ––‰”†‚ˆˆ™

2

n

+ 1

¡›Ãz} žz}z|ž †ˆ‰”…Œ‡†

U

‚†ˆ†•‰‡—Œ˜‰†Ÿ 艐†•—†

C

—Š

A

j

—…‰ ‚˜—Ž‰ƒˆ™ ƒˆ˜‰ ˆ‰©ª—Œ™”†‚ˆƒ ˆ †•‰ ‹—ƒ‰ ˜‹‰…ƒ

c

—Š

a

j

¦

…‰ƒ‡‰”†‚¨‰–Œ¦— ¨—–‚Š ”ˆ‚ ˜ƒ† ƒ—†‚ƒ™Œ

S

0

= (

C

U

A

0

)

1

/v

,

—Š ²Å³

S

i

= (

C

ki

A

i

)

1

/v

¦

1

≤

i

≤

n,

²Æ³

ª•‰…‰

(

v,

1

/v

)

‚ƒ†•‰ÇÈ  ‡‹–‚”©‡…‚¨—†‰´‰Œ‡—‚…ˆ™†•‰‹—´Ÿ ±•‰‡—Œ‰… ˜—´‰ƒ — ‡—Œ˜‰† ‹Œ ƒ‰Š‚Ž

W

†ˆ †•‰ ƒ•ˆ‡¦™ˆ––ˆª‰Š ‹Œ — ”•—––‰Ž‰

x

…‰‡–‚‰Š ‹Œ †•‰ ƒ•ˆ‡Ÿ ±•‰ †•‰‡—Œ‰… ”ˆ˜‡†‰ƒ†•‰ …‰ƒ‡ˆƒ‰

(

r, R

)

†ˆ †•‰ ƒ•ˆ‡¦ª•‰…‰

r

=

U

+

n

X

i

=1

k

i

x

i

¦—Š ² ɳ

R

= (

S

0

)

n

Y

i

=1

S

x

i

i

Ÿ ²Ê³

±•‰ ƒ•ˆ‡ ¨‰…‚„‰ƒ†•‰‡—Œ˜‰†‹Œ ”•‰”´‚Ž †•—†

R

v

=

C

r

A

0

n

Y

i

=1

A

x

i

i

Ÿ ²Ë³

  ‡—Œ‰… ª•ˆ ƒ‡‰Šƒ — ”ˆ‚ ˜ˆ…‰ †•—

n

†‚˜‰ƒ ”— ‹‰ ‚Š‰†‚„‰Š ™…ˆ˜ †•‰ ”•—––‰Ž‰©…‰ƒ‡ˆƒ‰‡—‚…ƒˆ™†•‰ƒ‡‰†”ˆ‚ƒ¦ƒ‚Ž ȕ—˜‚…̃žz}z|ž›}vwx žz~z

‘Å“¦ ª•‚”• Š‰”‚‡•‰…ƒ

U

—Š

k

1

,

k

2

, ..., k

n

‹Œ ‚†‰…‡ˆ–—†‚Ž

n

+ 1

‡ˆ–Œˆ˜‚—–ƒ ² ɳ ˆ™ Š‰Ž…‰‰

±•‰ ª‰—´‰ƒƒ ˆ™ †•‰ —‹ˆ¨‰ ƒ”•‰˜‰ ‚ƒ †•—† †•‰ ‡—Œ‰… ”— ”•ˆˆƒ‰ ˆ† †ˆ ™ˆ––ˆª

†•‰ƒ‰¹‰”‰ƒˆ™ª‚†‰ƒƒ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ—Š‡—Œ‰…ƒ‰”…‰†ƒƒŽŽ‰ƒ†‰Š‚ ²’³—Š²¤³Ÿ ¬©

ƒ†‰—Š¦†•‰‡—Œ‰…”—‡‰…˜†‰

(

a

0

, a

1

, ..., a

n

)

¦

(

U, k

1

, k

2

, ..., k

n

)

¦—Š

(

S

0

, S

1

, ..., S

n

)

—””ˆ…Š‚Ž–Œ†ˆ ‡…ˆŠ”‰¨—–‚Š …‰ƒ‡ˆƒ‰ƒ†•—† ƒ—†‚ƒ™Œ ²Ë³Ÿ  ˆ… ‰¥—˜‡–‰¦†•‰‡—Œ‰…

”— …‰ˆ…Š‰… †•‰ ƒ‰¹‰”‰ ˆ™ ª‚†‰ƒƒ ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ

W

0

_{= (}

_c

0

_{, a}

0

0

, a

0

1

, ..., a

0

n

)

²Ó³

= (

c, a

0

, a

n

, ..., a

1

)

²Ô³

ª•‰…‰†•‰ ƒ‹©ƒ‰¹‰”‰

(

a

1

, a

2

, ..., a

n

)

‚ ²’³‚ƒ ƒ‰† ‚ †•‰ …‰¨‰…ƒ‰ˆ…Š‰…Ÿ  ™†‰…

…‰”‰‚¨‚Ž

x

™…ˆ˜ †•‰ ƒ•ˆ‡¦†•‰‡—Œ‰…”ˆ˜‡†‰ƒ †•‰ …‰ƒ‡ˆƒ‰

(

r

0

_{, R}

0

₎

¦ª•‰…‰¦

r

0

₌

_U

₊

n

X

i

=1

k

n

−

i

+1

x

i

¦—Š ²’Õ³

R

0

_{= (}

_S

0

)

n

Y

i

=1

S

n

x

i

−

i

+1

¦ ²’’³

ª•‚”•¦ —Ž—‚¦…‰¨‰…ƒ‰ƒ †•‰ ˆ…Š‰…ƒ ˆ™

(

k

1

, k

2

, ..., k

n

)

—Š

(

S

1

, S

2

, ..., S

n

)

™…ˆ˜ ² ɳ

—Š ² ʳŸ §ˆ†‰ †•—† ²Ë³‚ƒ ƒ†‚–– ƒ—†‚ƒ„‰Š ‹—ƒ‰Š ˆ †•‰ ™ˆ…Ž‰Š˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ¦‹‰”—ƒ‰

(

R

0

₎

v

_{= (}

_C

0

₎

r

0

A

0

0

n

Y

i

=1

(

A

0

i

)

x

i

=

C

r

0

A

0

n

Y

i

=1

A

x

n

i

−

i

+1

²’¤³

¬ ™—”†¦ Š‡–‚”—†‚Ž †•‰ ‰–‰˜‰†ƒ ‚

W

¦ ƒ”• —ƒ

(

a

0

, a

0

, ..., a

0

)

¦ —Š †•‰ ”ˆ…©

…‰ƒ‡ˆŠ‚Ž ‡—Œ‰… ƒ‰”…‰†ƒ¦”— —–ƒˆ Œ‚‰–Š…‰ƒ‡ˆƒ‰ƒ†•—† ƒ—†‚ƒ™Œ ²Ë³Ÿ ֈª‰¨‰…¦ª‰

Šˆ ˆ† ”ˆƒ‚Š‰… †•‰ƒ‰ ”—ƒ‰ƒ ‹‰”—ƒ‰ †•‰ƒ‰ Š‡–‚”—†‰ƒ ”— ‰—ƒ‚–Œ ‹‰ Š‰†‰”†‰Š ‹Œ

†•‰ ƒ•ˆ‡ ª•ˆ …‰”‰‚¨‰ƒ†•‰ ”ˆ‚Ÿ ¬ ”ˆ†…—ƒ†¦‡‰…˜†—†‚ˆ ˆ™

W

—‡‡‰—…ƒ ˆ…˜—– †ˆ †•‰ ƒ•ˆ‡Ÿ ׂµ‰…‰† ‡‰…˜†—†‚ˆƒ ˆ™

W

”— ˆ–Œ ‹‰ Š‰†‰”†‰Š —™†‰… †•‰Œ —…‰ Š‰‡ˆƒ‚†‰Š †ˆ †•‰ ‹—´Ÿ  ‰…ŽƒˆÌƒ ƒ”•‰˜‰ ”—ˆ† Ž—…—†‰‰ Š‰†‰”†‚ˆ ˆ™ ˆ¨‰…©

ƒ‡‰Š‚Ž Š‰…†•‰‡‰…˜†—†‚ˆ —††—”´‹‰”—ƒ‰‚† Š‰†‰”†ƒ‚Š‰†‚”—–

W

ˆ–ŒŸ º‰

”— …‰‡—‚… †•‰ Š‰†‰”†‚ˆ ƒ”•‰˜‰ ‹Œ †—´‚Ž —–– ‡‰…˜†—†‚ˆƒ ‚†ˆ ”ˆƒ‚Š‰…—†‚ˆ¦

‹† †•‰ ‚†ƒ ”ˆ˜‡†—†‚ˆ ”ˆƒ† ‚”…‰—ƒ‰ƒ Ž…‰—†–ŒŸ   —–†‰…—†‚¨‰ ‚ƒ †ˆ ƒ‰ — ƒ‚Ž©

—†…‰ ˆ — —Ž…‰‰Š ƒ‰¹‰”‰ ˆ™ ª‚†‰ƒƒ ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ¦‹–‚Š–Œ ƒ‚Ž‰Š ‹Œ †•‰ ‹—´

—† ª‚†•Š…—ª—–Ÿ ±•‰ ‡—Œ‰… •—ƒ †ˆ ‡…‰ƒ‰† †•‚ƒ ƒ‚Ž—†…‰ —ƒ ª‰–– ‚ †•‰ ‡—Œ˜‰†

™ˆ… †•‰ ƒ•ˆ‡ †ˆ ¨‰…‚™ŒŸ ±•‰ —Ž…‰‰Š ƒ‰¹‰”‰ ˜—Œ ˆ† ‹‰ †•‰ ƒ—˜‰ —ƒ †•‰ ƒŽ©

Ž‰ƒ†‰Šƒ‰¹‰”‰‚ ²’³¦Š‰†ˆ †•‰‹–‚Š‰ƒƒˆ™†•‰‹—´Ÿ ؏†‚† Šˆ‰ƒˆ†˜—††‰…

‹‰”—ƒ‰†•‰‹—´ƒ‚Žƒ ˆ–Œˆ”‰¦ª•‚”• ‚˜‡–‚‰ƒ†•—††•‰ ‡—Œ‰…˜ƒ† ™ˆ––ˆª †•‰

ƒ—˜‰ —Ž…‰‰Š ƒ‰¹‰”‰ †ˆ ‡…ˆŠ”‰ …‰ƒ‡ˆƒ‰ƒ ‚ Š‚µ‰…‰† ‡—Œ˜‰† ‚ƒ†—”‰ƒ ˆ™

†•‚ƒ ”ˆ‚Ÿ  ƒ — …‰ƒ–†¦ †•‰ ‹—´ ˆ–Œ ‰‰Šƒ †ˆ ”ˆƒ‚Š‰… ‚Š‰†‚”—– ª‚†‰ƒƒ ˜‰ƒ©

ƒ—Ž‰ƒ ‚ †•‰ Š‰†‰”†‚ˆ ˆ™ ˆ¨‰…©ƒ‡‰Š‚Ž¦ ª‚†•ˆ† ªˆ……Œ‚Ž ˆ†•‰… ‡‰…˜†—†‚ˆ

Š‰…‚¨—†‚¨‰ƒŸ ى†¦†•‰Š‰–‚¨‰…Œ—Š†•‰¨‰…‚„”—†‚ˆˆ™†•‚ƒ‹—´ƒ‚Ž—†…‰ƒ†‚––‚˜©

—––‡‰…˜†—†‚ˆƒˆ™

(

a

0

, a

1

, ..., a

n

)

¦— ‡—Œ‰… ”—ˆ–Œƒ‰†•‰ˆ‰ª‚†•˜ˆˆ†ˆ‚”

‚”…‰—ƒ‚Žˆ…Š‰… ²ˆ…ˆ†•‰…‡…‰ƒ”…‚‹‰Šˆ…Š‰…Ÿ³ ¬ˆ†•‰… ªˆ…Šƒ¦‚™ ²Ó³‚ƒ†•‰ª‚†‰ƒƒ

˜‰ƒƒ—Ž‰ …‰”‰‚¨‰Š¦ †•‰ †•‰ ƒ•ˆ‡ —””‰‡†ƒ ‡—Œ˜‰† ˆ–Œ ‚™

a

0

0

< a

0

1

< ... < a

0

n

Ÿ

Ȃ”‰†•‰…‰‚ƒ ˆ–Œˆ‰¨—–‚Š ‡‰…˜†—†‚ˆ ™ˆ…‰—”•”ˆ‚¦ˆ¨‰…©ƒ‡‰Š‚Ž Š‰†‰”†‚ˆ

‹Œ ”•‰”´‚Ž ‚Š‰†‚”—– ª‚†‰ƒƒ ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ ‚ƒ ƒ¸”‚‰†Ÿ

§ˆ†‰†•—† †•‰†•…‰‰ ˜‰†•ˆŠƒ ‡…ˆ‡ˆƒ‰Š —‹ˆ¨‰ ˆ–Œ ƒˆ–¨‰†•‰ Š‰†‰”†‚ˆ ‡…ˆ‹©

–‰˜Ÿ ±•‰ ‚Š‰†‚„”—†‚ˆ ‡…ˆ‹–‰˜ ‚ƒ ƒ†‚–– ˆ‡‰‰Š ‹‰”—ƒ‰ ª‰ ˆ–Œ ´ˆª †•—†

†•‰

(

n

+ 1)

©¨‰”†ˆ… ƒˆ–¨‰Š ‹Œ †•‰ ‚†‰…‡ˆ–—†‚ˆƒ ˆ™ ²É³ ‚ƒ ž~z ‡‰…˜†—†‚ˆ ˆ™

(

U, k

1

, k

2

, ..., k

n

)

¦ ‹† ª‰ Šˆ ˆ† ´ˆª ª•‚”• ‰–‰˜‰† ‚ †•‰ ¨‰”†ˆ… ‚ƒ ”ˆ…©

…‰ƒ‡ˆŠ‚Ž †ˆ

U

Ÿ º‰ ƒˆ–¨‰ †•‚ƒ ‡…ˆ‹–‰˜ ‹Œ …‰ƒ†…‚”†‚Ž †•‰ ‚Š‰†‚†Œ ™ˆ…˜—† ª•‰

U

‚ƒ …‰Ž‚ƒ†‰…‰Š †ˆ †•‰ ‹—´Ÿ ˆ… ‰¥—˜‡–‰¦ –‰† †•‰ ™ˆ…˜—† ˆ™ ‚Š‰†‚†Œ ‹‰

U

=

U

1

||

U

2

||

U

3

¦ª•‰…‰†•‰ƒŒ˜‹ˆ–¶

||

· Š‰ˆ†‰ƒ—”ˆ”—†‰—†‚ˆˆ‡‰…—†ˆ…‹‰†ª‰‰ †ªˆ ‹‚—…Œ ƒ†…‚Žƒ

hash

(·)

‚ƒ— ”ˆ––‚ƒ‚ˆ©™…‰‰•—ƒ•™”†‚ˆ¦

U

2

=

hash

(

U

3

)

¦ —Š

U

1

=

hash

(

U

2

||

U

3

)

Ÿ ±•‰ †•‰‰–‰˜‰†‚†•‰¨‰”†ˆ…ª•‚”• ƒ—†‚ƒ„‰ƒ†•‚ƒ‚Š‰†‚†Œ

™ˆ…˜—† ‚ƒ

U

‰¥”‰‡†‰Ž–‚Ž‚‹–‰ ‡…ˆ‹—‹‚–‚†ŒŸ

Ú Ñ½ÛÏn½q ÎpoÐ

±•‰

n

©ƒ‡‰Š—‹–‰ ‰¥†‰ƒ‚ˆ ˆ™ ؅—ŠƒÌƒ”•‰˜‰ ‘É“ ‚ƒ ‡…ˆ‡ˆƒ‰Š‹Œ ±ƒ‚ˆ‚ƒ ‘Æ“ †ˆ ‚––ƒ†…—†‰†•‰ˆ†‚ˆˆ™ }œz}zœ

n

©ƒ‡‰Š—‹–‰”ˆ‚Ÿ ؏†‚†ƒ šw}œz}zœ ”ˆ†‰…‡—…†¦ ƒ”• —ƒ ‰…ŽƒˆÌƒ ƒ”•‰˜‰ ‘ ¤“¦ ‚ƒ ˆ† ª‰–– —ŠŠ…‰ƒƒ‰ŠŸ ±•‰†‰…˜ ¶ˆ…Š‰…· ‚ ‘Æ“ ‚ƒ

ˆ†—‹ˆ††•‰ˆ…Š‰…ˆ™ª‚†‰ƒƒ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ¦‹††•‰ —‹‚–‚†Œ†ˆ –—‹‰–†•‰

i

th

‚ƒ†—”‰ ˆ™ — ”ˆ‚Ÿ  ˆ… ‰¥—˜‡–‰¦ †•‰ ª‚†‰ƒƒ ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ ‚ ؅—ŠƒÌ ‰¥†‰ƒ‚ˆ ‚”–Š‰ —

(

n

+ 1)

©¨‰”†ˆ…

(

A, B

1

, B

2

, ..., B

n

)

²’ų

—Š — ‹—´ ƒ‚Ž—†…‰ ˆ ²’ųŸ ±•‰

i

th

‚ƒ†—”‰ ‚ƒ ¨‰…‚„‰Š ‹Œ

B

i

—Š †•‰ ‹—´

ƒ‚Ž—†…‰¦ƒˆ †•‚ƒ‚ƒ–—‹‰–‰Š ‹Œ†•‰

(

i

+ 1)

st

‰–‰˜‰† ‚ ²’ųŸ

¬ ƒ‡‚†‰ ˆ™ †•‰ ƒ‚˜‚–—… ”ˆƒ†…”† ‹‰†ª‰‰ ²’³ —Š ²’ų¦ ؅—ŠƒÌ ‰¥†‰ƒ‚ˆ

‚ƒ ƒ—™‰ ™…ˆ˜ ˆ… ‡‰…˜†—†‚ˆ —††—”´¦‹‰”—ƒ‰ †•‰ ˆ…Š‰… ˆ™ ‚†ƒ ª‚†‰ƒƒ ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ

‚ƒ ª‰–– …‰ƒ†…‚”†‰Š ‹Œ †•‰ ‹—´ ƒ‚Ž—†…‰¦ —ƒ ˜—Œ ˆ†•‰… ˆ…Š‰…‰Š ƒ”•‰˜‰ƒ Šˆ

‚ †•‰ ƒ—˜‰ ª—ŒŸ ¬ ƒ•ˆ…†¦ ª‰ ƒŽŽ‰ƒ† †ˆ ‡—Œ ‰¥†…— —††‰†‚ˆ ˆ †•‰ ˆ…Š‰…

ˆ™ ª‚†‰ƒƒ ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒ¦ ª•‰ ƒ‚˜‚–—… †‰”•‚¹‰ƒ¦ ƒ”• —ƒ †•‰ ‡ˆ–Œˆ˜‚—– ‹—ƒ‰Š

ƒ‰”…‰†ƒ•—…‚Ž ‘Å“¦—…‰ƒ‰Š†ˆ ”ˆƒ†…”††•‰

n

©ƒ‡‰Š—‹–‰‰¥†‰ƒ‚ˆˆ™—‰¥‚ƒ†‚Ž ƒ”•‰˜‰¦‰ƒ‡‰”‚—––Œ ª•‰ — ˆ…Š‰…‰Š ƒ”•‰˜‰‚ƒ ”ˆƒ‚Š‰…‰ŠŸ

Ü ÝpmsÛr¿tpm

º‰ —ŠŠ…‰ƒƒ †•‰ ª‰—´‰ƒƒ ˆ †•‰

n

©ƒ‡‰Š—‹–‰ ‰¥†‰ƒ‚ˆ ˆ™ ‰…ŽƒˆÌƒ ƒ”•‰˜‰ Š‰ †ˆ ‡‰…˜†—†‚ˆƒ ˆ™ ª‚†‰ƒƒ ˜‰ƒƒ—Ž‰ƒŸ º‰ ‡…ˆ‡ˆƒ‰ ƒ‰¨‰…—– ª—Œƒ †ˆ …‰‡—‚…

†•‰ ˆ¨‰…©ƒ‡‰Š‚Ž Š‰†‰”†‚ˆ ƒ”•‰˜‰ —Š †•‰ ‚Š‰†‚„”—†‚ˆ ƒ”•‰˜‰Ÿ º‰ ™ˆ”ƒ

ˆ… Š‚ƒ”ƒƒ‚ˆƒ ˆ  ‰…ŽƒˆÌƒ ƒ”•‰˜‰¦‹† ˆ… ——–Œƒ‚ƒ‚ƒ —–ƒˆ ƒ‰™– †ˆ ƒ‚˜‚–—…

‰¥†‰ƒ‚ˆƒ ˆ™

‘’ “ §Ÿ ‰…Žƒˆ¦¶È‚Ž–‰±‰…˜ ßµ©–‚‰ àˆ‚ƒŸ· ¬ ᜫ›wzž vw â}á|yxà {ãä{

åæâåçèéê

ëì

²’ÔÔų¦Å’өŤӟ

‘ ¤“ §Ÿ ‰…Žƒˆ¦¶í¥†‰ƒ†‚ˆƒ ˆ™ ȂŽ–‰©†‰…˜ àˆ‚ƒŸ· ¬ ᜫ›wzž vw â}á|yxÃ

{ âåçèéæê

ëì

²’ÔÔų¦ ¤Ô¤©ÅՒŸ

‘Å“  Ÿ ȕ—˜‚…¦¶Öˆª †ˆ ȕ—…‰ — ȉ”…‰†Ÿ· â~~šwv›|vwž áâî¦ ïﲒ’³ ²’ÔËÔ³¦

ʒ¤©Ê’ÅŸ

‘Æ“ ٟ ȟ ±ƒ‚ˆ‚ƒ¦ ãðvzw| ãyz|}wv ⛞ñ òz¯ ò|›|vwž ›wœ ézwvóšzž¦

ô

•× ±•‰ƒ‚ƒ¦×‰‡—…†˜‰†ˆ™àˆ˜‡†‰…È”‚‰”‰¦§ˆ…†•‰—ƒ†‰õ‚¨‰…ƒ‚†Œ¦ö‰

’ÔÔ˟

‘ ɓ ȟ ؅—Šƒ¦¶õ†…—”‰—‹–‰ ßµ©–‚‰ à—ƒ• ‚ º—––‰†ƒ ª‚†• ߋƒ‰…‰…ƒŸ· ¬ ᜫ›{

wzž vw â}á|yxà { âå

çèéæêëì