Trading under Market Impact
-Crossing Networks Interacting with Dealer
Markets-Jana Bielagk (Humboldt University Berlin)
Ulrich Horst (Humboldt University Berlin)
Santiago Moreno-Bromberg (University of Zurich)
Discussion Paper No. 39
July 1, 2017
Collaborative Research Center Transregio 190 | www.rationality-and-competition.de
Ludwig-Maximilians-Universität München | Humboldt-Universität zu Berlin
Spokesperson: Prof. Dr. Klaus M. Schmidt, University of Munich, 80539 Munich, Germany
+49 (89) 2180 3405 | info@rationality-and-competition.de
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■♥ ❛ ♠♦♥♦♣♦❧✐st✐❝ s❡tt✐♥❣ ❧✐❦❡ ♦✉rs✱ ❝♦♥tr❛❝ts t❤❛t ❛r❡ ♥♦t ❝❤♦s❡♥ ❞♦ ♥♦t ♣❧❛② ❛ r♦❧❡ ✐♥ t❤❡ ❣❛♠❡✬s ♦✉t❝♦♠❡✳✶✶ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ✐♥ ❛ss✉♠✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ❉▼ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❜♦♦❦s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ q(θ), τ(θ), θ ∈Θ ✱ ✇❤❡r❡τ : Θ→ R✱ τ = T◦q✱ ✐s ❛♥ ❛❜s♦❧✉t❡❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❙t✉❞②✐♥❣ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❉▼ t❤r♦✉❣❤ ❝♦♥tr❛❝ts t❤❛t ❛r❡ ✐♥❞❡①❡❞ ❜② θ s✐❣♥✐✜❝❛♥t❧② s✐♠♣❧✐✜❡s t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❞❡❛❧❡r✬s ❞❡❝✐s✐♦♥s✳ ❲❡ t❤❡♥ ✇r✐t❡ Θe(q, τ;π) ✐♥st❡❛❞ ♦❢Θe(T;π)❢♦r t❤❡ s❡t ♦❢ ❡①❝❧✉❞❡❞ t②♣❡s✳ ❆t t❤❡ ♦♥s❡t✱ ❛ tr❛❞❡r ♦❢ t②♣❡θ❝♦✉❧❞ ♠✐sr❡♣r❡s❡♥t ❤✐s t②♣❡ ❜② ❝❤♦♦s✐♥❣ ❛ ❝♦♥tr❛❝t q(θe), τ(θe),✇✐t❤ e θ6=θ.❚❤❡ ❞❡❛❧❡r str✐✈❡s t♦ ❛✈♦✐❞ t❤✐s s✐t✉❛t✐♦♥ ❜❡❝❛✉s❡ ❤❡ ✇❛♥ts t♦ ❡①♣❧♦✐t t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ t②♣❡s✳ ❚❤✐s r❡q✉✐r❡s t❤❛t ❤❡ ♦✛❡rs ✐♥❝❡♥t✐✈❡✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❜♦♦❦s✱ ✐✳❡✳ t❤♦s❡ t❤❛t s❛t✐s❢② max e θ∈Θ u θ, q(θe)−τ(θe) =u θ, q(θ)−τ(θ). ■♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥❝❡♥t✐✈❡✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❜♦♦❦✱ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t t❤❛t ②✐❡❧❞s ❛ tr❛❞❡r ♦❢ t②♣❡θ ❤✐s ✐♥❞✐r❡❝t ✉t✐❧✐t② ✐s ♣r❡❝✐s❡❧② t❤❡ ♦♥❡ t❤❡ ❞❡❛❧❡r ❤❛s ❞❡s✐❣♥❡❞ ❢♦r ❤✐♠✳ ❚❤❡ ❞❡❛❧❡r✬s ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ✐s t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ ❤✐s ❡①♣❡❝t❡❞ ✐♥❝♦♠❡ ❢r♦♠ ❡♥❣❛❣✐♥❣ t❤❡ tr❛❞❡rs✳ ❚❛❦✐♥❣ ✐♥t♦ ✶✵❈❧❡❛r❧②✱ ❢r♦♠ t❤❡ ❞❡❛❧❡r✬s ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡✱ ♦♥❝❡ ❛ tr❛❞❡r ♦❢ t②♣❡θ❤❛s ❝❤♦s❡♥ ❤✐s ♦✉ts✐❞❡ ♦♣t✐♦♥✱ ✐t ✐s ✐rr❡❧❡✈❛♥t ✇❤❡t❤❡r ♦r ♥♦tw(·;π)<0.❍♦✇❡✈❡r✱ ✇❡ s❤♦✇ ❜❡❧♦✇ t❤❛t✱ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ tr❛❞❡rs ✇✐t❤ ❜❡tt❡r ♦✉ts✐❞❡ ♦♣t✐♦♥s ❣❡t ❜❡tt❡r ❞❡❛❧s ✐♥ t❤❡ ❉▼✳ ✶✶❚❤❡ ❘❡✈❡❧❛t✐♦♥ Pr✐♥❝✐♣❧❡ ✭s❡❡✱ ❡✳❣✳ ▼②❡rs♦♥ ✭✶✾✾✶✮✮ st❛t❡s t❤❛t✱ ✇❤❡♥ st✉❞②✐♥❣ ♦✉t❝♦♠❡s ✐♥ ❤✐❞❞❡♥✲✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❣❛♠❡s s✉❝❤ ❛s ♦✉rs✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ✐♥ ❢♦❝✉s✐♥❣ ♦♥ ❞✐r❡❝t✲r❡✈❡❧❛t✐♦♥ ♠❡❝❤❛♥✐s♠s✱ ✐✳❡✳ t❤♦s❡ ♠❡❝❤❛♥✐s♠s ✇❤❡r❡ t❤❡ s❡t ♦❢ t②♣❡s ✐♥❞❡①❡s t❤❡ ❝♦♥tr❛❝ts✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ❢r♦♠ t❤❡ ❚❛①❛t✐♦♥ Pr✐♥❝✐♣❧❡ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❘♦❝❤❡t ✭✶✾✽✺✮✮ t❤❡r❡ ✐s ❛❧s♦ ♥♦ ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ✐♥ ✇r✐t✐♥❣τ(θ)✐♥st❡❛❞ ♦❢T(q(θ)). ✻❛❝❝♦✉♥t t❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦❢ t❤❡ ❈◆ ♦♥ t❤❡ tr❛❞❡rs✬ ♦♣t✐♠❛❧ ❛❝t✐♦♥s✱ ❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✐s t♦ ❞❡✈✐s❡(q∗, τ∗)s♦ ❛s t♦ s♦❧✈❡ P(π) := sup(q,τ) R Θc e(q,τ;π) τ(θ)−C q(θ)f(θ)dθ, s✉❜❥❡❝t t♦ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ ❝♦♠♣❛t✐❜✐❧✐t② (q(θ), τ(θ))∈❛r❣♠❛①eθ∈Θ u θ, q(θe)−τ(θe) , ∀θ∈Θ ❛♥❞τ ❛❜s♦❧✉t❡❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s. ❋r♦♠ t❤❡ ❊♥✈❡❧♦♣❡ ❚❤❡♦r❡♠✱ ✐❢ ❛ ❝♦♥tr❛❝t(q(θ), τ(θ), θ∈Θ ✐s ✐♥❝❡♥t✐✈❡ ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡✱ t❤❡♥ψ1(q(θ)) ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ s✉❜❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧∂v(θ)✳ ●✐✈❡♥ t❤❛t ❢♦r ❛❧♠♦st ❛❧❧θ∈Θ✐t ❤♦❧❞s t❤❛t∂v(θ) =v′(θ)❛♥❞ψ 1 ✐s str✐❝t❧② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ❢♦r ❛❧♠♦st ❛❧❧θ∈Θ q(θ) =ψ−11 v′(θ). ✭✶✮ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ st❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥❞✐r❡❝t✲✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❡ ❝❛♥ r❡❝♦✈❡r✱ ❢♦r ❛❧♠♦st ❛❧❧ t②♣❡s✱ t❤❡ q✉❛♥t✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ ✐♥❝❡♥t✐✈❡✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ❜♦♦❦ t❤❛t ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✐t✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ t❤❡ ✐♥❞✐r❡❝t ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♠❛② ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s v(θ) =θψ1 ψ1−1 v′(θ) +ψ2 ψ−11 v′(θ) −τ(θ) =θ v′(θ) + (ψ2◦ψ1−1) v′(θ) −τ(θ). ✭✷✮ ■t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❊qs✳ ✭✶✮ ❛♥❞ ✭✷✮ t❤❛t t❤❡ tr❛❞❡rs✬ ✐♥❞✐r❡❝t ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝♦♥t❛✐♥s ❛❧❧ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✐t✐❡s ❛♥❞ t❤❡ ♣r✐❝✐♥❣ s❝❤❡❞✉❧❡✱ ✇❤✐❝❤ ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ✇r✐t❡ Θc e(v;π)✐♥st❡❛❞ ♦❢ Θce(q, τ;π). ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s e K(q) :=C ψ−11(q) −ψ2 ψ1−1(q) ❛♥❞ i(θ, v, q) :=θ·q−v−Ke(q) ❛♥❞ ❞❡♥♦t✐♥❣ ❜②Ct❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞ ❝♦♥✈❡① ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦✈❡rΘ✱ ✇❡ ❝❛♥ r❡st❛t❡ t❤❡ ❞❡❛❧❡r✬s ♣r♦❜❧❡♠ ❛s P(π) = sup v∈C Z Θc e(v;π) i θ, v(θ), v′(θ)f(θ)dθ. ❲❡ ♣r♦✈❡ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✹ ❜❡❧♦✇ t❤❛t✱ ✉♥❞❡r s✉✐t❛❜❧❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✱ Pr♦❜❧❡♠ P(π) ❛❞♠✐ts ❛ s♦❧✉t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❧❛tt❡r ✐s✱ ✐♥ ❢❛❝t✱ q✉❛s✐✲✉♥✐q✉❡ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t ♦♥ t❤❡ s❡t ♦❢ ♣❛rt✐❝✐♣❛t✐♥❣ t②♣❡s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ✐♥❞❡❡❞ ✉♥✐q✉❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ tr❛❞❡rs ❛r❡ ❡①❝❧✉❞❡❞ ❜② ♦✛❡r✐♥❣ t❤❡♠ ❛♥② ✐♥❝❡♥t✐✈❡✲❝♦♠♣❛t✐❜❧❡✱ ✐♥❞✐r❡❝t✲✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t ❧✐❡s ❜❡❧♦✇u0.■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦♥ t❤❡ s❡t ♦❢ ❡①❝❧✉❞❡❞ t②♣❡s✳ ❋r♦♠ t❤❡ tr❛❞❡rs✬ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❛♠❜✐❣✉✐t②✿ t❤❡② ❡✐t❤❡r tr❛❞❡ ✐♥ t❤❡ ❞❡❛❧❡r ♠❛r❦❡t ♦r t❤❡② t❛❦❡ t❤❡✐r ♦✉ts✐❞❡ ♦♣t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♥♦♥✲✉♥✐q✉❡♥❡ss ✐s ❛❧s♦ ❛ ♥♦♥✲✐ss✉❡ ❢♦r t❤❡ ❞❡❛❧❡r ❜❡❝❛✉s❡ ✐t ✐t ♦♥❧② ❛♣♣❡❛rs ✐♥ s✉❜❞♦♠❛✐♥s ♦❢ t❤❡ t②♣❡ s♣❛❝❡ t❤❛t ❤❡ ❞♦❡s ♥♦t ❛❝❝❡ss✳ ❲✐t❤ t❤✐s ✐♥ ♠✐♥❞✱ ✐♥ t❤❡ s❡q✉❡❧ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② v(·;π)✏t❤❡✑ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ Pr♦❜❧❡♠P(π)✱ ✇❤✐❝❤ r❡q✉✐r❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✿ ❆ss✉♠♣t✐♦♥ ✷✳✷✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥sψ1, ψ2 ❛♥❞C ❛r❡ s✉❝❤ t❤❛tKe ✐s str✐❝t❧② ❝♦♥✈❡①✱ ❝♦❡r❝✐✈❡✱ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❛♥❞ ✐t s❛t✐s✜❡sKe′(0) = 0✳ ❋♦r ❛♥② v ∈ C✱ ✇❡ r❡❢❡r t♦ Θ0(v) :=θ ∈Θ|v(θ) = 0 ❛s t❤❡ s❡t ♦❢ r❡s❡r✈❡❞ tr❛❞❡rs✳ ❉❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤✐s s❡t ✐s ❡ss❡♥t✐❛❧ t♦ ♦✉r ❛♥❛❧②s✐s✱ ❛s ✐t ✐s ♣r❡❝✐s❡❧② ❛t t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② t②♣❡s ✇❤❡r❡ t(0−) ❛♥❞ t(0+) ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞✳ ❲❡ ♣r♦✈❡ ✐♥ ▲❡♠♠❛ ❇✳✶ t❤❛t✱ ❜② ✈✐rt✉❡ ♦❢ ❆ss✉♠♣t✐♦♥ ✷✳✶✱ t❤❡s❡ ❧✐♠✐ts ❛r❡ ❛❧✇❛②s ✇❡❧❧ ❞❡✜♥❡❞✳ ❲❡ ♣r♦✈❡ ✐♥ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❆✳✷ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ✐♥ ❛ss✉♠✐♥❣ t❤❛t ❛♥② ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ✼
v∈ C s❛t✐s✜❡sv(0) = 0;t❤✉s✱Θ0(v)6=∅.❋♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ ❣✐✈❡♥π✇❡ ✇r✐t❡ Θ0(π) := Θ0(v(·;π)). ❘❡♠❛r❦ ✷✳✸✳ ❆ ✇❡❧❧ ❞❡✜♥❡❞ s♣r❡❛❞ r❡q✉✐r❡sΘ0(π)t♦ ❜❡ ❛ ♣r♦♣❡r ✐♥t❡r✈❛❧[θ0(π), θ0(π)].❲❡ s❤♦✇ ❜❡❧♦✇ t❤❛t t❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❆ss✉♠♣t✐♦♥ ✷✳✶✳ ❚❤❡r❡ ♠✉st ❛❧s♦ ❜❡ ❛♥ ǫ > 0 s✉❝❤ t❤❛t (θ0(π)−ǫ, θ0(π)) ❛♥❞ (θ0(π), θ0(π) +ǫ) ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ s❡t ♦❢ ❢✉❧❧②✲s❡r✈✐❝❡❞ tr❛❞❡rs✳ ❚❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ s✉❝❤ ❛♥ ǫ ✐s ♣r♦✈❡❞ ✐♥ ▲❡♠♠❛ ❇✳✶✳ ❊❝♦♥♦♠✐❝❛❧❧②✱ t❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ❈◆ ✐s ♥♦t ❜❡♥❡✜❝✐❛❧ ❢♦r ❧♦✇✲t②♣❡ tr❛❞❡rs✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ s❡✈❡r❛❧ ✐♥st❛♥❝❡s ✇❤❡r❡ t❤❡ ♣r♦♦❢s ♦❢ ♦✉r r❡s✉❧ts ❝♦♥❝❡r♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ ♣♦✐♥ts t♦ t❤❡ ❧❡❢t ♦❢ θ0(π)♦r t♦ t❤❡ r✐❣❤t ♦❢θ0(π)t❤❛t ❛r❡ ❛♥❛❧♦❣♦✉s✳ ❙♦ ❛s t♦ str❡❛♠❧✐♥❡ t❤❡ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ ✇❤❡♥❡✈❡r ✇❡ ✜♥❞ ♦✉rs❡❧✈❡s ✐♥ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡ ✏❡✐t❤❡r✲♦r✑ s✐t✉❛t✐♦♥s✱ ✇❡ ❞❡❛❧ ♦♥❧② ✇✐t❤ t❤❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝❛s❡✳ ❖✉r ✜rst ♠❛✐♥ r❡s✉❧t ♣❡rt❛✐♥s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❞❡❛❧❡r✬s ♣r♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣r♦♦❢ ✐s ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✹✳ Pr♦❜❧❡♠ P(π)❛❞♠✐ts ❛ s♦❧✉t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✉♥✐q✉❡ ♦♥ t❤❡ s❡t ♦❢ ♣❛rt✐❝✐♣❛t✐♥❣ t②♣❡s✳ ❘❡♠❛r❦ ✷✳✺✳ ■❢ t❤❡ ❞❡❛❧❡r ❝❛♥ ♣r♦✜t❛❜❧② ♠❛t❝❤ ❛❧❧ tr❛❞❡rs✬ ♦✉ts✐❞❡ ♦♣t✐♦♥✱ t❤❡♥ t❤❡ q✉❛s✐✲✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ Pr♦❜❧❡♠P(π)✐s ✐♥ ❢❛❝t ✉♥✐q✉❡♥❡ss ❛♥❞ ✐t ❢♦❧❧♦✇s ❞✐r❡❝t❧② ❢r♦♠ ❆ss✉♠♣t✐♦♥ ✷✳✷✳ ■♥❞❡❡❞✱ ✐♥ t❤❛t ❝❛s❡ i(θ, v(θ), v′(θ)) + = i(θ, v(θ), v ′(θ)) ❛♥❞ ♣r♦❜❧❡♠ Pe(π) r❡❞✉❝❡s t♦ ♠❛①✐♠✐③✐♥❣ ❛ str✐❝t❧② ❝♦♥❝❛✈❡✱ ❝♦❡r❝✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♦✈❡r ❛ ❝♦♥✈❡① s❡t t❤❛t ✐s ❝❧♦s❡❞ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ ■♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡✱ ✇❡ ❝♦♥str✉❝t t❤❡ q✉❛s✐✲✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✷✳ ❆ss✉♠♣t✐♦♥ ✷✳✷ r❡♠❛✐♥s ❝r✉❝✐❛❧✱ ❛s ✐t ❣✉❛r❛♥t❡❡s t❤❛t t❤❡ ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s t❤r♦✉❣❤ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ q✉❛♥t✐t✐❡s ❤❛✈❡ ✉♥✐q✉❡ ♠❛①✐♠✐③❡rs✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❈◆ ♦♥ t❤❡ s♣r❡❛❞ ❛♥❞ t❤❡ s❡t ♦❢ ♣❛rt✐❝✐♣❛t✐♥❣ tr❛❞❡rs✳ ❚❤✐s r❡q✉✐r❡s ✉s t♦ ❝♦♠♣❛r❡ s❝❡♥❛r✐♦s ✇✐t❤ ❛♥❞ ✇✐t❤♦✉t t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❈◆✳ ■♥ t❤❡ s❡q✉❡❧ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ s✉❜✐♥❞✐❝❡s “m” ❛♥❞ “o” t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ str✉❝t✉r❡s ♦r q✉❛♥t✐t✐❡s ✇✐t❤ ❛♥❞ ✇✐t❤♦✉t ❛ ❈◆✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳
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❚❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦❢ ❛ ❝r♦ss✐♥❣ ♥❡t✇♦r❦
■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ✐♠♣❛❝t t❤❛t ❛ ❈◆ ❤❛s ♦♥ t❤❡ s♣r❡❛❞✱ ♦♥ ♣❛rt✐❝✐♣❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♦♥ t❤❡ tr❛❞❡rs✬ ✇❡❧❢❛r❡✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❞♦ s♦✱ ✇❡ ♣r♦✈✐❞❡ ❛ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ Pr♦❜❧❡♠P(π).✸✳✶ ❆ ❜❡♥❝❤♠❛r❦ ✇✐t❤♦✉t ❛ ❈◆
❲❡ ✜rst ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ ❜❡♥❝❤♠❛r❦ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ tr❛❞❡rs ❞♦ ♥♦t ❤❛✈❡ ❛❝❝❡ss t♦ ❛ ❈◆✱ ✐✳❡✳ ❛❧❧ tr❛❞❡rs✬ ♦✉t✲ s✐❞❡ ♦♣t✐♦♥ ✐s ③❡r♦✳ ❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❞❡❛❧❡r✬s ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜②Po✇❤♦s❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✇❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ✉s✐♥❣ ❛ ▲❛❣r❛♥❣❡✲♠✉❧t✐♣❧✐❡r ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ❧❡t ✉s ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✿ I[v] := Z Θ i θ, v(θ), v′(θ)f(θ)dθ. ▲❡tBV+(Θ)❜❡ t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥γ: Θ→R+,✇❤✐❝❤ ✇❡ ♣❧❛❝❡ ✐♥ ❞✉❛❧✐t② ✇✐t❤C(Θ,R),t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞✱ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥Θ,✈✐❛ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♣❛✐r✐♥❣ hv, γi:= Z Θ v(θ)dγ(θ) ✽❢♦r v ∈C(Θ,R), ✇❤❡r❡ dγ ✐s t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ γ.■t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ P♦♥tr②❛❣✐♥✬s ▼❛①✐♠✉♠ Pr✐♥❝✐♣❧❡ ❛♥❞ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t f ✐s ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ✐♥ ❛ss✉♠✐♥❣ t❤❛tγ ✐s ❛❜s♦❧✉t❡❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ t❤❛tγ(θ) = 1.❚❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❢♦r t❤❡ ❞❡❛❧❡r✬s ♣r♦❜❧❡♠ ✐s L(v, γ) :=I[v] +hv, γi, v∈ C, ✇✐t❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❑❛r✉s❤✲❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s hv, γi= 0 ❛♥❞ dγ(θ) = 0⇒v(θ)>0. ✭✸✮ ❘❡❣✉❧❛r✐t② ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s s✉❜❥❡❝t t♦ ❝♦♥✈❡①✐t② ❝♦♥str❛✐♥ts ✇❡r❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❈❛r❧✐❡r ❛♥❞ ▲❛❝❤❛♥❞✲❘♦❜❡rt ✭✷✵✵✶✮✳ ❚❤❡✐r ♠❡t❤♦❞♦❧♦❣② ❝❛♥ ❜❡ ❞✐r❡❝t❧② ❛❞❛♣t❡❞ t♦ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✱ ✇❤✐❝❤ ❢♦r♠❛❧✐③❡s t❤❡ ✈♦① ♣♦♣✉❧✐ s❛②✐♥❣ ✏q✉❛❧✐t② ❞♦❡s ♥♦t ❥✉♠♣✑✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✶✳ ■❢ v∈ C ✐s ❛ st❛t✐♦♥❛r② ♣♦✐♥t ♦❢L(v, γ), t❤❡♥v∈C1(Θ). ❚❤❡ ❢❛❝t t❤❛t✱ ❛t t❤❡ ♦♣t✐♠✉♠✱ t❤❡ ♠❛♣♣✐♥❣θ7→v′(θ)✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛tq✐s ❛❧s♦ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t②♣❡s✳ ❚❤✐s ✐s ❡①tr❡♠❡❧② ✉s❡❢✉❧✱ s♣❡❝✐❛❧❧② ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❈◆✳ ■❢ ✇❡ ✐♥t❡❣r❛t❡ ❜② ♣❛rts✱ t❤❡♥L(v, γ)❝❛♥ ❜❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ✐♥t♦ Σ(q, γ) := Z Θ θ+F(θ)−γ(θ) f(θ) ψ1 q(θ) −C qe (θ) f(θ)dθ, ✇❤❡r❡ q(θ) = ψ−11 v′(θ) , ❛s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛❜♦✈❡✱ ❛♥❞Ce(q) := C(q)−ψ2(q). ❚❤❡ ✐❞❡❛ ✐s t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ t❤❡ ♠❛♣♣✐♥❣ q7→σ(θ, q,Γ) :=θ+F(θ)−Γ f(θ) ψ1(q)−C qe ♣♦✐♥t✇✐s❡✱ ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥Γ✭✇❡ ✉s❡Γ✇❤❡♥❡✈❡r ✇❡ ❛r❡ ❞❡❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❜✉t ✜①❡❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢γ✮✳ ❋r♦♠ ❆ss✉♠♣t✐♦♥ ✷✳✷ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ ❞♦✇♥ t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ♠❛①✐♠✐③❡r ❛s l(θ,Γ) :=K−1F(θ) +θ f(θ)−Γ f(θ) , ✇❤❡r❡ K(q) := Ce′(q)/ψ′ 1(q). ❋♦r ❡❛❝❤ θ ∈ Θ❛♥❞ Γ ∈ [0,1], t❤❡ q✉❛♥t✐t② l(θ,Γ) ✐s ❛ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❢♦r t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧q(θ)❛♥❞ ❝♦♥✈❡①✐t② ✭♦r ✐♥❝❡♥t✐✈❡ ❝♦♠♣❛t✐❜✐❧✐t②✮ ✐s ✈❡r✐✜❡❞ ✐❢ t❤❡ ♠❛♣♣✐♥❣θ7→l(θ,Γ)✐s ✐♥❝r❡❛s✐♥❣✳ ❚❤❡ ❝r✉① ✐s t❤❡♥ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡rγ.■♥ t❤❡ s❡q✉❡❧ ✇❡ ❞❡♥♦t❡Θo:= Θ0(vo∗), ✇❤❡r❡ v∗ o s♦❧✈❡s Pr♦❜❧❡♠Po.■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ✐❢ θ∈Θo✱ t❤❡♥q(θ) =T(θ) =v(θ) = 0. ❋r♦♠ ▲❡♠♠❛ ❆✳✷ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t✱ ✉♥❧❡ss v(θ) = 0, t❤❡ q✉❛♥t✐t② q(θ) < 0 ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r②✲ s❧❛❝❦♥❡ss ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐♠♣❧② t❤❛tγ(θ) = 0 ❢♦rθ∈[θ,θe)❢♦r s♦♠❡ eθ > θ.❚❤❡ ❧❡❢t ❡♥❞♣♦✐♥tθ0♦❢Θo ✐s t❤❡♥ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② s♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ K−1θ+F(θ) f(θ) = 0. ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ❛sv♠✉st ❜❡ ❝♦♥✈❡①✱ ♦♥❝❡v(ˆθ)>0t❤❡♥v(θ)>0❢♦r ❛❧❧θ >θ.ˆ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ r✐❣❤t ❡♥❞♣♦✐♥tθ0♦❢Θo ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② s♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ K−1θ−1−F(θ) f(θ) = 0. ❚❤❡ q✉❛♥t✐t✐❡s F(θ)/f(θ)❛♥❞ (1−F(θ))/f(θ)❛r❡ ❦♥♦✇ ❛s t❤❡ ❍❛③❛r❞ r❛t❡s✱ ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✾
❢♦r t❤❡ ♠❛♣♣✐♥❣θ7→l(θ,Γ)t♦ ❜❡ ♥♦♥✲❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ❛r❡ d dθ F(θ) f(θ) ≥0≥ d dθ 1−F(θ) f(θ) , s❡❡✱ ❡✳❣✳ ❇✐❛✐s ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✵✮ ❢♦r ❛ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ♦♥ t❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥✳ ▲❡t ✉s ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ Θo✳ ❲❤❛t r❡♠❛✐♥s ✐s t❤❡♥ t♦ ❝♦♥♥❡❝t t❤❡ ♣❛rt✐❝✐♣❛t✐♦♥ ❝♦♥str❛✐♥t ✇✐t❤ t❤❡ s♣r❡❛❞✳ ❉✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♥❣ ❊q✳ ✭✷✮ ❛♥❞ ♥♦t✐♥❣ t❤❛tv′(θ) =ψ 1(q(θ))✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t τ′(θ) =q′(θ) θψ1′(q(θ)) +ψ′2(q(θ)) . ❖❜s❡r✈❡ t❤❛tτ′(θ 0)❛♥❞τ′(θ0)❛r❡ ✐♥ ❢❛❝tT′(0−)❛♥❞ T′(0+)❛s✱ ❜② ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✱q(θ0) =q(θ0) = 0. ■❢ ✇❡ ❞❡✜♥❡φ1:=ψ′1(0)❛♥❞φ2:=ψ′2(0)✱ t❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t t❤❡ s♣r❡❛❞ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s t(0−) =q′(θ0−) θ0φ1+φ2 ❛♥❞ t(0+) =q′(θ0+) θ0φ1+φ2 . ✭✹✮ ❖✉r ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✷ ✐s t♦ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡s❡ ✈❛❧✉❡s t♦ t❤♦s❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❝r♦ss✐♥❣ ♥❡t✇♦r❦✳ ❇❡❢♦r❡ ✇❡ ♣r♦❝❡❡❞ ✇❡ ♣r❡s❡♥t t✇♦ ❡①❛♠♣❧❡s s♦ ❛s t♦ ✐❧❧✉str❛t❡ t❤❡ ✉s❡ ♦❢ t❤❡ ♠❡t❤♦❞♦❧♦❣② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❤✐t❤❡rt♦✳ ❚❤❡ ✜rst r❡✈✐s✐ts ▼✉ss❛ ❛♥❞ ❘♦s❡♥ ✭✶✾✼✽✮✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐s s❧✐❣❤t❧② ♠♦r❡ ❛❞✈❛♥❝❡❞✳ ❲❡ ✉s❡ ✐t ❜❡❧♦✇ t♦ ✐❧❧✉str❛t❡ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① str✉❝t✉r❡ ♦❢ ♦♣t✐♠❛❧ ♣r✐❝✐♥❣ s❝❤❡❞✉❧❡s ❛♥❞ ✉t✐❧✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❈◆s✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✸✳✷✳ ▲❡t ✉s ❛ss✉♠❡ t❤❛t Θ = [−r, r]❢♦r s♦♠❡r >0✱ t❤❛t t②♣❡s ❛r❡ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛♥❞ t❤❛t u(θ, q) =θq. ❲❡ ❛❧s♦ s❡tC(q) = 0.5q2. ❇② ❞✐r❡❝t ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✇❡ ✜♥❞ t❤❛tθ 0=−r2 ❛♥❞θ0= r 2. ●✐✈❡♥ t❤❛t ❛ tr❛❞❡r ♦❢ t②♣❡θ∈Θo ✐s ❜r♦✉❣❤t ❞♦✇♥ t♦ r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ✉t✐❧✐t② ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ tr❛❞❡s q(θ) = 0,t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ q(θ) =θ+F(θ)−γ(θ) f(θ) = 2θ+r−2rγ(θ) ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡r ✐s γ(θ) = 0 , θ < θ0 1 2+ θ r , θ∈Θo 1 , θ > θ0 . ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱q′(θ 0−) = q′(θ0+) = 2 ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ t(0−) =−r ❛♥❞t(0+) =r✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ s♣r❡❛❞ ✐♥❝r❡❛s❡s ❧✐♥❡❛r❧② ✐♥ t❤❡ ❤✐❣❤❡st✴❧♦✇❡st t②♣❡✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✸✳✸✳ ▲❡t ✉s ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t②♣❡s ♦✈❡rΘ = [−1,1]✐s ❣✐✈❡♥ ❜②f(θ) = (2θ+3)/4 ❢♦rθ∈[−1,0)❛♥❞f(θ) = (3−2θ)/4❢♦rθ∈[0,1]❀ t❤❛tC(q) = 0.5q2❛♥❞ t❤❛tu(θ, q)−τ =θ·q+0.25q2−τ. ■t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❍❛③❛r❞ r❛t❡s ❛r❡ s❛t✐s✜❡❞ ❛♥❞ t❤❛t K−1θ+F(θ) f(θ) = 2h3θ 2+ 6θ+ 2 2θ+ 3 i ❛♥❞ K−1θ−1−F(θ) f(θ) = 2h3θ 2 −6θ+ 2 2θ−3 i . ✶✵
❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ Θo ≈ −0.423,0.423. ❋♦r t❤❡ s♣r❡❛❞✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t t(0−) = q′(θ0)θ0 ≈ −1.359 ❛♥❞ t(0+) = q′(θ0)θ0 ≈ 1.359. ■♥ ♦r❞❡r t♦ ♦❜t❛✐♥ v ✇❡ ✐♥t❡❣r❛t❡ q ✭ψ1(q) = q✮ ❛♥❞ t❛❦❡ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❛t v≡0 ♦✈❡rΘo.❲❡ ♣❧♦t ❣r❛♣❤{vo} ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✶✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡ ♣❡r✲t②♣❡ ♣r♦✜ts ♦❢ t❤❡ ❞❡❛❧❡r✳ Agent types -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 In d ir ec t u ti li ti es 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 ✭❛✮ ■♥❞✐r❡❝t ❯t✐❧✐t✐❡s Agent types -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 D ea le rs ’s p er -t y p e p ro fi ts 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 ✭❜✮ Pr♦✜ts ❋✐❣✉r❡ ✶✿ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✇✐t❤♦✉t ❛ ❝r♦ss✐♥❣ ♥❡t✇♦r❦