Secret sharing on the infinite ladder

(1)

!"#$ %&'(&)

*+,-./

0-12 #&# #3 45675 89 :5 8659 :;<6=>? :8;5@5 2( A BCC # D#E$(( &F& DD((

("D"(G& $&D" &F& H$2(G& IJKL

1

2 $&D&$( 2 '&D(#3 2 H$

2

M C 2 CH( 2 E&&E N" &FC ("A((L 12 =>7O6@<9=O> 6<9=O#3 M &(2 H(

#P A#"C # 2 E#" #3 &3#E&# A) (D A&((#E 'B E"( D&' & D2

(D2E &Q&H2&(DD((("D"L R(2#P 22&( ' "&( STU 3#2 &F& CCG

(# '&H #$ $#A E 3#E IJKL R H&' A#"C(3##2&F&H$2((P L

VWX YZ.[,\(D (D2&H (D2EG&3#E&# 2#)G&F& H$2G&3#E&# L

] ^_`abcde`fb_

ghi jklmknjopmqrs jloktkuvwxyhzv{wi|yvhyu}yu|{y~|x}iwvh|xi{|yyih|uuv|i|iyx}

u~ux|u vz |x i{|yyih|u ||yh |vx|x{ |xy{ ui{xuih {xvx{ |x ux{x| gz yh i}}y|yvh

hiyx} u~ux|u iyh hv yhzv{wi|yvh i|uvxx{vh |x ux{x||x uxwx yu kmkln x{x x

vhuy}x{ iuxu xh |x i{|yyih|u i{x |x x{|yxu vz i hy|x v{ yhhy|x {i ih} wyhywi

iyxu u~ux|u i{xu| |x x}xu x qr

mtp nq

r mpnq

vz i hy|x {i yu |xi{xu|

vx{ ~vh} vh |x iwvh| vz yhzv{wi|yvh ~ ux{x| ~y|u wxiu{x} iu ihhvh xh|{v uvwx

i{|yyih| wu| {xwxw~x{ yh xx{ uxwx {xiyyh |yu {i gz yu yhhy|x |xh yu

|x u vz x{x yu i hy|x uihhx} u~{i vz v{ z{|x{ wv|yi|yvh ih} xi|

}xhy|yvhuxx

gh |yu ix{ x }x|x{wyhx v{ ~vh} |x yhzv{wi|yvh {i|yv vz uxx{i yhhy|x {iu x

vx{~vh}u ux }y{x| vhu|{|yvhuih} |yhuvhu }xvwvuy|yvh |xhyx z{vw xhx{iyx}

yh

¡¢£¤¥£¦ §¨§ ©knª «k pm«qnmpm¬ r n

rklkjjpm¬ jprr k®¯

j°«smpoj

± pr® pjj°tknopn kplo

k®sk

qj qr pn ²kpjn ³

nok j°«smpoj´ µ m

kplo ¶kmnk · ¸ ¹ ® kº

rk»ª¸ ¼½ q

¸ ¹¾ ª± pr®

»ª¸¼

ª

± q´k´ nok qrmtpnqr mpnq ª± nokm¿qjk´ Àokr

Áu

ÂÃÄ Å

»ª¸

³ Æ

Ç

Èx{~vh}u vwxz{vw |xuvÉix} krnm¬ tkno®uxxx Ç v{ i }x|iyx} xvuy|yvh

xiux vhu|

Ê ËÌÍ ÎÏccÍa

gh|yuux|yvh xuv |i| yhzv{wi|yvh{i|yv zv{|x yhhy|x i}}x{Ð }xy|x} vh{xÇ yu Ñ¾Ò

Óx {vx|i| |yu yu ih x{ ih} iuv i vx{ ~vh} zv{ Ðuxi{i|x

ÆÆÆ ÆÆÆ

Ô Ô Ô Ô Ô

ÆÆÆ ÆÆÆ

Ô Ô

Ô Ô Ô Ô Ô

y{x Ç x i}}x{ ih} y|u vx{

ÕÖ×Ø¦ Ù¨§

(2)

{x Ç x i}}x{ yu }xvwvux} yh|v |v yhhy|x i|u ih} yhhy|x wih ui{xu Óx y

ux|xv{xw ÇÇ ~ux{x|i| i x}xu i{x vx{x} xi| |yxyx ³ ¼ u |x yhzv{wi|yvh

{i|yvzv{|xui{xyuÇih}|i|vz|xyhhy|xi|yu¾ uxx |xuw yh Çyu¾¼ Ñ¾

zv{ xi x{|x ¸ yu uv} ~x }yy}x} ~ ³ ¼ |v x| |xx{ ~vh} Ñ¾Ò

ÕÖ×Ø¦ Ù¨Ù Ð Ñ¾Ò´

¥¤¤ i|x{ |ih uyh |x xh|{v wx|v} }y{x| x ui ux |x {xu| vz xv{xw

~xv Óx iyw |i||x yhzv{wi|yvh{i|yv zv{|xi}}x{yui| xiu| iu w iu|i|vz|x{i

}xy|x} vh |x xz| ih} uy}x vz {x v| ih} ix |xh x{|yxu h ~v| iuxu

x{|yxu }xhv|x} ~ |x uiwx i~x i{x y}xh|yi|x {iu vh |x y|{x i{x hzv}x} zv{ ih

xiuyx{ }{iyh yu|x x}x{i vz|xxh|ivhi {yuw yx yu |i| vz|xxh|ivhi

ih|y{yuw

y{x {iu ih}

xhv|x|xyhzv{wi|yvh{i|yvvz|xyhhy|xi}}x{Ð~»¼ Ð hy|xuihhx}u~{iu

vz Ð iu yhzv{wi|yvh {i|yv Á» gh i{|yi{ vhuy}x{ |x u|{y vz xh| ³ vhuyu|yh ³ Ç

ui{xu| hx| |v xi v|x{ Ó{i |yu u|{y i{vh} yx i {y~~vh i x{|x vz y

~x vx{x} ³ v{ ³ Ç |ywxu ih} xi x}x y ~x vx{x} iiyh ³ v{ ³ Ç |ywxu Óx i

xv{xw ÇÇy| |yu }xvwvuy|yvh x uw yh Çyuxy|x{ ³» v{ ³Ç» zv{ xi x{|x

ih} |x }xhvwyhi|v{yu ³|u

Á ³ Ç

³ »

Æ

u|yu v}uzv{ i{~y|{i{i{x³xwu|ix

Á» ¼

Ð xv{xw yxu|xvx{

~vh} Ñ¾Ò zv{

|uxi{x}vhx

¡¢£¤¥£¦ Ù¨ Àok qrmtpnqr mpnq qj pn ²kpjn Ñ¾Ò m «no smpoj pr® ºs°mk ´

¥¤¤ x x{|yxu

ÆÆÆ!

iu x iu x{|yxu

ÆÆÆ!

zv{w |v xu vz xh| yh ~v|

{iu gh |x{xi{xx v|x{ x}xu vhhx|yh x{|yxu vz |xuxxu iu yh}yi|x} vh {x

gh x ix Ç½ x}xu ~x|xxh|xux xu

y{u| x {vx

Ñ¾Ò x {vvz uxu |x xh|{v wx|v} iu }xu{y~x} x yh Ç

"x| # ~x ih hvhÉhxi|yx u~wv}i{ zh|yvh y| |x u|{vh u~wv}i{x {vx{| vh |x

u~ux|uvz|xx{|x ux| vz Óxwu| uv |i|#¸ Ñ¾Ò zv{uvwxx{|x¸ ¹ {vw hv

vh u i zh|yvh # Óx{vxx} ~ u|i|yh ih} {vyh |v xwwiu

$£¦¦× Ù¨ % ©kn

±

± pr®

«k ¶kmnqlkj noksmpo j°lo nopn

±

pmk k®skj±

pr®

pmk rn k®skj nopn qj±

qj p jprrk® pno ²krsno ¿qno

pj pr nqrp² k·nmp k®sk¯

´

&° jk ' ( qj qr®kkr®krn± pr® r ¶kmnk· qr ' qj lrrklnk® n pr¬

±

± m

´ Àokr

#

'#' ´

¥¤¤ u|ih}i{}{vvzuy yx#

ih~xx|xh}x}|v {vx|yuu|{vhx{u|i|xwxh|

iu x v{ |x uix vz vwx|xhxuu vxx{ x yx |x }x|iyu y{x

uvu |x y}xi

)iyx} y x hv| xw| u~ux|u i{x ~vx}

wvh |x zv{ u~wv}i{ yhxiy|yxu yh}yi|x}

vh |x {x |v i{x u|{vh x{x |{xx v| vz |x zv{ u~ux|u i{x iyx}

}}yh |yu

zv{ yhxiy|yxu xx|

#

'#'#

'#

'

Æ

u

' yu iyx} yx

' yu hv| |xiu| |x{w vh |x {y| ih} uy}xyu Çy {vxu

(3)

'

y{x

x {vvz

$£¦¦× Ù¨ ©kn

«k ppno qr± pr®' ( «k p j°«jkn ¶kmnqlkj j°lo nopn

' qj qr®kkr

®krn´ Àokr #

#

'#

'´

¥¤¤ u

ih}

i{x~v|x}xuu|{vhu~wv}i{y|yxu#

#

' #

#

'

Ç {vw x{x #

#

'#

'Çzvvu v

' yu iyx} ih}

' yu hv|

|u #

'#

' Çy {vxu|x xwwi

x|{hyh |v |x {vvz vz

Ñ¾Ò yh

yu yh}xxh}xh|

yu i i| |x{xzv{x ~

"xwwi

#

Æ

ywyi{

yuyh}xxh}xh|ih} yu i i||u

###

#

Æ

u~wv}i{y|

#

Æ

}}y |xux yhxiyy|yxu x ix

#

##Ò #

#

Ò

¼ Ñ

!

x{x |x iu| yhxiy| vwxu z{vw "xwwi Ò gh}xx} yh

yu i uihhx} i| hv

x{|yxu vz y yu vhhx|x} |v |x yh}xxh}xh| ux|

wxihu |i| i| xiu| vhx vz #

#

# ih} # yu Ñ¾Ò y {vxu|x |xv{xw zv{

gh ~v|

ih}

i{x uihhx}i|u|u iyh "xwwi y| ' iu |xxw| ux|

x ix #

#

ih} #

#

u~wv}i{y|

#

vw~yhyh |xuxyhxiy|yxu vhx x|u

#

Ò #

#

Ò ¼ Ñ

Æ

iyh|xiu|yhxiy|yu i vhuxxhxvz "xwwi Òiuhv x{|x yh |xuihhx} i|

yuvhhx|x}|v

i|xiu|vhxvz|xzv{ ixuvh |xxz| ih}uy}xyu Ñ¾Òiu{xy{x}

da`ÌÍa ÍÏÎÍ

Èuyh |x wx|v}u ih} {xu|uz{vw |x {xyvu ux|yvh x ih ~vh} |x yhzv{wi|yvh {i|yv vz

v|x{ yhhy|x {iu iu x y{x Ò uvu |v yhhy|x i}}x{Éyx vhu|{|u Ð ih} Ð gh

~v| {iu |x x{|yxu yx vh |x|v yhhy|x i|u ih} x{|yxu vh |xux i|u i{x vhhx|x}

iuyh}yi|x} gh Ð xix{|xiu}x{xxÒyxyh Ð |yu }x{xx yu {iu ih}

vh |x {y ih} uy}x vz |x {xy ~x ux} zv{ x{ ~vh}u

×¦Ö£ ¨§ Àok

qrmtpnqr

mp nq

(4)

Ð ÆÆÆ ÆÆÆ Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ð ÆÆÆ ÆÆÆ Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô

y{x Ò i{yih|uvh |x i}}x{ Ð ih} Ð ih} |xy{ vx{u

¥¤¤ Ð vh|iyhu|x yhhy|xi| iui uihhx} u~{ivhuxxh||x{i|yv yui|xiu| |x

{i|yvvz|xi|y yu¾ v uv |i|¾yuiuv ih x{~vh}vx{Ð y| |{ihui|x}

yhu|ihxuvz ih} ixv{xw ÇÇ i x}xvzÐy ~xvx{x} xi||yx|u³ ¼

yh |x|xv{xw i x{|xvh |x x{ i| y ~xvx{x} vhx ~

vhx~

ih} vhx~

ih} uywyi{ x{|yxu vh |x ~v||vw i| {xxyx xi vz

ih}

xi| vhx u |v

{vx|xiyw y| yuxhv |v uv |i||x{xxyu|ui x{zx|ux{x|ui{yh uxwx vh y

iuuyhu i uyhx ~y| |v xi hv}xzv{ xi ux{x| ~y| gh}xx} yh |yu iux|x uw yh Ç yu iiu

y uv} ~x}yy}x} ~ ³ ¼ yx}yh |x x{ ~vh}

¾

uzv{v~ux{x|i|y|yui vwx|x~yi{|y|x{i y|

ih}

iu|x|v iuuxu

gh |yu iux i x{zx| ux{x| ui{yh uxwx {xiyyh |x wyhywi {i|yv Ç yu |x zvvyh "x|

¹ ½

!

Ç ~x |x ux{x| ~y| ih} vvux» ¹ ½

!

Ç {ih}vw yx » |v i wxw~x{u vz vhx iuu

ih} »

|v wxw~x{uvz|x v|x{ iuu

×¦Ö£

¨Ù Àok

qrmtpnqr

mp

nq Ð

qj ¾´

¥¤¤ x vx{ ~vh} vwxu z{vw |x xh|{v wx|v} "x|

~xx vhux|yx x{|yxu

vh |x |v i| iu yh}yi|x} vh |x{xih} x| ~x |x x{|yxuu| ~xv |xw

"xwwi

# # # # !

ih}~ "xwwi Ò#

#

yui||x{yhxiy|zvvuiu

iui uyhx xxwxh|ux|

yu yh}xxh}xh| ih} hv x{|x yh |x i|

yu vhhx|x} |v

yu hv| i uihhx} i|

~||xvh x|{i x}x

yu ivx} yh |x "xwwi v #

#

|x{xzv{x

# # # !

|i| yu vhx vz|xux|{xx ixu wu| ~x ¾

xx{ ~vh} uxu xv{xw ÇÇ Óx ui vx{Ð ~|{ihui|x} yhu|ihxu vz ih}

v| ih} iu yhzv{wi|yvh {i|yv Ç gh}xx}vwx|x{iu ix|yu {i|yv ih} yu |x

vwx|x{i vh Ò x{|yxu gh

uxi {i|yv Ç ux{x| ui{yh uu|xw vh |x|{yihx

ih}

|xh uyw yx

u ui{x|v ih} | ih}

|v i vuuy~x vuy|yvhu yh Ð

i x}x y ~x vx{x} |ywxu ih} xi

x{|x |ywxu ui x{|yxu {xxyxi |v|i vz ~y|uy uv} ~x }yy}x} ~

|v x| |x

x{ ~vh}

×¦Ö£ ¨ µ m

nok mkqr

mlk® ²p®®kmÐ º

s°mk ±Ñ¾Ò Á

Ð Á ÇÇ¾´

~ux{x |i| Ð yu yuvwv{y|v i u|{y vz y}| Ç | v| vz |x|{yihi{i||yx

ÆÆÆ ÆÆÆ Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô

(5)

v|x{ iyw yh |x uiwx |xv{xw iu ux} |v x| i vx{ ~vh} vh |x yhzv{wi|yvh {i|yv vz |x

yhhy|x i}}x{

v{ |x x{ ~vh} vhuy}x{ |x {iu ih} }xy|x} vh {x v| ih}

ix yhzv{wi|yvh {i|yv Ç vx{ Ð ~ |x |{ihui|x} vyxu vz ih} i x{|x y

~x vx{x} Ò |ywxu v{yvh|i x}xu yx x}xu vh |x |v yhhy|x i|u y ~x vx{x} |yx

yx i v|x{ x}xu y vx{x} |{xx |ywxu }} |x x{ ih} vx{ yhhy|x i| |v wix

|x x}x vx{ xi| xx{x{x x uw vz |x {i|yvu i| xi x{|x yu yh{xiux} ~ |x

yhzv{wi|yvh {i|yv vz |x yhhy|x i| y yu

¾ u |x x{ ~vh} xhu{x} ~ xv{xw

ÇÇyu Ò

¾¾ ¼ ÇÇ¾ iuiuiywx}

b_eÎdfb_

Óx ix }x|x{wyhx} |x yhzv{wi|yvh {i|yv |u |x yhzv{wi|yvh {i|x iu x vz |{xx yhhy|x

{iuih}ixxu|ywi|xuzv{izv{|vhx ghxiiux|xx{~vh}iuiyxx}~|yhuvhu

}xvwvuy|yvhwx|v}xhx{iyx}zv{yhhy|x{iu xvx{~vh}uux}|xxh|{vwx|v}

gh |v iuxu vxx{ y| iu }vhx y| i |yu| {i|x{ |ih iyh |x wx|v} }y{x| x

ixvx{ ~vh}u zv{ i hy|x zi|v{ {i ih} |xh i{x} |i| |x yhzv{wi|yvh {i|yv vz |x

v{yyhi {i yu i| xiu| iu i{x iu |i| vzy|uzi|v{ Ói| xix vu| yh |yu i{wxh| yu |x

viy| g| yu y|x vhxyi~x |i| i hy|x i{|u vz |x {i iu u|{y| uwix{ yhzv{wi|yvh

{i|yv |ih |x vx {i u yx x ixxu|i~yux} |x yhzv{wi|yvh {i|yv vz|x yhhy|x

i}}x{y| {xwiyhu vxh x|x{ |x uiwx {i|yv yu iyxx}~ i hy|x uihhx} u~{i

{iu Ð ih} Ð i{x ²lp² Óx hv |i| |x i| vz xh| iu yhzv{wi|yvh {i|yv ¾

ih} |yu yu i uihhx} u~{i vz Ð {vw |x {vvz vz iwx ih} "xwwiu Ò ih}

Ô Ô Ô Ô Ô

Ô

y{x

{iy| yhzv{wi|yvh {i|yv ¾

vhx ih x|{i| |i| |x {i }xy|x} vh {xy| v{ y|v| ihvz|x }v||x} x}xuiu

yhzv{wi|yvh {i|yv ¾ hx vz |xux {iuyui uihhx} u~{i vz Ð|u Ð yu vi

ÍÍaÍ_eÍ

Ç h}vxih|yu|yhuvhÈ ii{v {ixvwvuy|yvhih}x{x|i{yh

xwxu °mrp² m¬n²s¬ v Ç Ò

" uy{wi x{x| ui{yh vh yhhy|x {iu {x{yh| iiyi~x iu g x{yh|

|yhuvh xvwvuy|yvh vhu|{|yvh zv{ ux{x| ui{yh uxwxu Àmprj´rmt´

Ào km¬