่จ็ฎ้ใฏใฉใน
#P ใจ๐๐๐๐ ๆฌกๅ ๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใฎ่จ็ฎ
The Computational Complexity Class #P and
Computing the Volume of an ๐๐๐๐ -dimensional Polytope
ใใใใฏใผใฏๆ ๅ ฑๅญฆ้จ
ๅฎ่ค ๆ
School of Network and Information Ei Ando
Keywords: polytope, volume, computational complexity,
Abstract
This article aims to introduce the recent results about computing the volume of the high-dimensional
polytopes. Before the results, we go through the basic definitions. Then, we introduce the recent results
about the approximation algorithm for the volume of the knapsack polytope and its dual. At the end of
this article, we introduce the relation between the high-dimensional volume and some combinatorial
optimization problems.
1. ใฏใใใซ
ๆฌ็จฟใงใฏ๏ผๅฟ ่ฆ็ฅ่ญใ่ฃใใคใค๐๐๐๐ๆฌกๅ ๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใซ้ขใ ใ็ ็ฉถๆๆใ็ดนไปใใ๏ผ้ซๆฌกๅ ใงใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใฏ๏ผๆงใ ใช็่ซไธใปๅฎ้ไธใฎๅ้กใจ้ข้ฃใใใ๏ผๅ้กใฎ่งฃๆฑบใซ้ใ ใฆใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่จ็ฎใจๅ็ญใฎๅฆ็ใๅฟ ่ฆใซใชใ๏ผ ้ซๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใซใคใใฆ๏ผๆใๅ็ดใชไพใฏๆฌกใฎใ ใใชๅ้กใงใใ๏ผๅๅ ญ็ญใง็จใใใใใใคในใซใฏ๏ผไธ่ฌ็ ใซใใ็ฅใใใฆใใ๏ผ้ขใฎใใฎใฎใปใใซ๏ผ๏ฝ๏ผ๏ผ๏ผ้ขใชใฉ ใฎๆงใ ใชๅฝข็ถใๅญๅจใใฆใใ๏ผใใใใฎๆงใ ใช๐๐๐๐ๅใฎใใคใน ใฎ้ขใฎๆฐใ๐๐๐๐1, ๐๐๐๐2, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐ใจใใ๏ผใใฆใใใใฎใใคในใใใ ใใฏๅ้ขใๅใ็ขบ็ใงๅบใใจใใฆ๏ผใไธๆงใซๅๅธใใฆใใใ ใจใใ๏ผ๏ผใใใใฎใใคในใๅ จ้จไธๅบฆใซๆฏใฃใฆ๏ผๅบใ็ฎใฎๅ ่จใ่จ็ฎใใใใจใซใใใจ๏ผ๐๐๐๐ไปฅไธ๐ด๐ด๐ด๐ด = ๐๐๐๐1+ ๐๐๐๐2+ โฏ + ๐๐๐๐๐๐๐๐ไปฅ ไธใฎๅคใๅ จใฆๅใ็ขบ็ใงๅบใใ ใใใ๏ผ็ญใใฏNo ใงใใ๏ผ ใใฎ้ใใฏ๏ผไธ่ฌ็ใช๏ผ้ขใใคในใ๏ผใคๆฏใฃใๅ ดๅใฎๅ่จ ๅคใ12 ใงใใ็ขบ็ใจ๏ผ7 ใงใใ็ขบ็ใๆฏ่ผใใใจๅคใใใ ใ๏ผใงใฏ๏ผ๐๐๐๐ๅใฎใใฉใใฉใช้ขๆฐใฎใใคในใๆฏใฃใๆ๏ผไปปๆ ใฎๅค๐๐๐๐ใฎๅบใ็ขบ็ใๆฑใใใใจใใใจ๏ผ้ฉๅใชๅ้ก่จญๅฎใฎไธ ใงใใใฏ#P-ๅฐ้ฃใจๅผใฐใใ้ฃๅใซใชใ๏ผๅฎใฏใใฎๅ้กใฏ๏ผ ๐๐๐๐ๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎไธญใซๅซใพใใๆดๆฐๅบงๆจใฎ็นใฎๆฐใๆฐใใ ๅ้กใงใใ๏ผใใคในใฎ้ขๆฐใๅๅๅคใใใฎใ่ใใใจใใซ ใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใๆฐใใๅ้กใจๅใใจใใใ๏ผ ใใๅฎ้็ใชๅ้กใงใฏ๏ผๆธๆปใซใใ้้ๆ้ใฎๅคๅใ่ ๆ ฎใใๆ็ญ่ทฏๅ้กใไธใใใใ๏ผๆ็ญ่ทฏๅ้กใฏใซใผใใใช ใฉใงใ้ฆดๆใฟใฎๆ้ฉๅๅ้กใง๏ผไธใใใใๅฐๅณใปๅบ็บ็นใป ็ฎ็ๅฐใซใคใใฆๆ็ญใฎ็ต่ทฏใ่ใใๅ้กใงใใ๏ผ้ๅธธใฏ้ ่ทฏๅบ้ใฎ้ทใใ็จใใฆๆ็ญ่ทฏใๅบใ๏ผใใใ๏ผๅ ดๅใซใใฃ ใฆใฏๆ็ญ่ทฏใใฎใใฎใใใ็ฎ็ๅฐใซๅฐ้ใใใฎใซใใใๆ ้ใ ใใ็ฅใใใใใจใใใ๏ผไพใใฐๆถ้ฒ็ฝฒใฎ็ซๅฐใ่ใ ใๅ ดๅ๏ผๅบๆฅใใ ใๅคใใฎไธๅธฏใซ๏ผ้ซใ็ขบ็ใง็ญใๆ้ใซ ๅฐ้ใงใใ็ต่ทฏใใใ็ซๅฐใ้ธใถใใจใๅ็็ใงใใ๏ผ็พ ๅฎใซ๏ผ้่ทฏใฎ้้ใซใใใๆ้ใฏ็ถๆณใซๅฟใใฆๆงใ ใชๆๅ ใ็คบใใจ่ใใใใใ๏ผใใใๅ ็จใฎใใคในใฎๅ้กใจๅๆง ใซไธๆงๅๅธใซๅพใฃใฆใฉใณใใ ใชๅคใใจใใจไปฎๅฎใใใจ๏ผๆ ็ญ่ทฏใฎ้ทใใใฉใฎใใใชใใฎใงใใใใ่จ็ฎใใๅ้กใไธ ็จฎใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่จ็ฎใใๅ้กใงใใ๏ผ ๆฌ็จฟใฎๆงๆใฏๆฌกใฎ้ใใงใใใใพใ๏ผ่จ็ฎ้ใฎใฏใฉในใจ๏ผ ็ขบ็ใซ้ขใใๅฎ็พฉใ่งฃ่ชฌใ๏ผ๐๐๐๐ๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎๅบๆฌ็ใชๅฎ็พฉ ใ็คบใ๏ผใใฎๅพ๏ผๆ่ฟใฎ็ ็ฉถๆๆใจใใฆๅ ใฎใใคในใฎๅ้ก ใๆ็ญ่ทฏใฎ้ทใใจ้ข้ฃใฎใใ๐๐๐๐ๆฌกๅ ๅค้ขไฝไฝ็ฉใฎ่จ็ฎๆนๆณ ใ็ดนไปใใ๏ผ2. ๆ้ฉๅๅ้กใจ่จ็ฎ้ใฎใฏใฉใน
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The Computational Complexity Class #P and
Computing the Volume of an ๐๐๐๐ -dimensional Polytope
ใใใใฏใผใฏๆ ๅ ฑๅญฆ้จ
ๅฎ่ค ๆ
School of Network and Information Ei Ando
Keywords: polytope, volume, computational complexity,
Abstract
This article aims to introduce the recent results about computing the volume of the high-dimensional
polytopes. Before the results, we go through the basic definitions. Then, we introduce the recent results
about the approximation algorithm for the volume of the knapsack polytope and its dual. At the end of
this article, we introduce the relation between the high-dimensional volume and some combinatorial
optimization problems.
1. ใฏใใใซ
ๆฌ็จฟใงใฏ๏ผๅฟ ่ฆ็ฅ่ญใ่ฃใใคใค๐๐๐๐ๆฌกๅ ๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใซ้ขใ ใ็ ็ฉถๆๆใ็ดนไปใใ๏ผ้ซๆฌกๅ ใงใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใฏ๏ผๆงใ ใช็่ซไธใปๅฎ้ไธใฎๅ้กใจ้ข้ฃใใใ๏ผๅ้กใฎ่งฃๆฑบใซ้ใ ใฆใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่จ็ฎใจๅ็ญใฎๅฆ็ใๅฟ ่ฆใซใชใ๏ผ ้ซๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใซใคใใฆ๏ผๆใๅ็ดใชไพใฏๆฌกใฎใ ใใชๅ้กใงใใ๏ผๅๅ ญ็ญใง็จใใใใใใคในใซใฏ๏ผไธ่ฌ็ ใซใใ็ฅใใใฆใใ๏ผ้ขใฎใใฎใฎใปใใซ๏ผ๏ฝ๏ผ๏ผ๏ผ้ขใชใฉ ใฎๆงใ ใชๅฝข็ถใๅญๅจใใฆใใ๏ผใใใใฎๆงใ ใช๐๐๐๐ๅใฎใใคใน ใฎ้ขใฎๆฐใ๐๐๐๐1, ๐๐๐๐2, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐ใจใใ๏ผใใฆใใใใฎใใคในใใใ ใใฏๅ้ขใๅใ็ขบ็ใงๅบใใจใใฆ๏ผใไธๆงใซๅๅธใใฆใใใ ใจใใ๏ผ๏ผใใใใฎใใคในใๅ จ้จไธๅบฆใซๆฏใฃใฆ๏ผๅบใ็ฎใฎๅ ่จใ่จ็ฎใใใใจใซใใใจ๏ผ๐๐๐๐ไปฅไธ๐ด๐ด๐ด๐ด = ๐๐๐๐1+ ๐๐๐๐2+ โฏ + ๐๐๐๐๐๐๐๐ไปฅ ไธใฎๅคใๅ จใฆๅใ็ขบ็ใงๅบใใ ใใใ๏ผ็ญใใฏNo ใงใใ๏ผ ใใฎ้ใใฏ๏ผไธ่ฌ็ใช๏ผ้ขใใคในใ๏ผใคๆฏใฃใๅ ดๅใฎๅ่จ ๅคใ12 ใงใใ็ขบ็ใจ๏ผ7 ใงใใ็ขบ็ใๆฏ่ผใใใจๅคใใใ ใ๏ผใงใฏ๏ผ๐๐๐๐ๅใฎใใฉใใฉใช้ขๆฐใฎใใคในใๆฏใฃใๆ๏ผไปปๆ ใฎๅค๐๐๐๐ใฎๅบใ็ขบ็ใๆฑใใใใจใใใจ๏ผ้ฉๅใชๅ้ก่จญๅฎใฎไธ ใงใใใฏ#P-ๅฐ้ฃใจๅผใฐใใ้ฃๅใซใชใ๏ผๅฎใฏใใฎๅ้กใฏ๏ผ ๐๐๐๐ๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎไธญใซๅซใพใใๆดๆฐๅบงๆจใฎ็นใฎๆฐใๆฐใใ ๅ้กใงใใ๏ผใใคในใฎ้ขๆฐใๅๅๅคใใใฎใ่ใใใจใใซ ใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใๆฐใใๅ้กใจๅใใจใใใ๏ผ ใใๅฎ้็ใชๅ้กใงใฏ๏ผๆธๆปใซใใ้้ๆ้ใฎๅคๅใ่ ๆ ฎใใๆ็ญ่ทฏๅ้กใไธใใใใ๏ผๆ็ญ่ทฏๅ้กใฏใซใผใใใช ใฉใงใ้ฆดๆใฟใฎๆ้ฉๅๅ้กใง๏ผไธใใใใๅฐๅณใปๅบ็บ็นใป ็ฎ็ๅฐใซใคใใฆๆ็ญใฎ็ต่ทฏใ่ใใๅ้กใงใใ๏ผ้ๅธธใฏ้ ่ทฏๅบ้ใฎ้ทใใ็จใใฆๆ็ญ่ทฏใๅบใ๏ผใใใ๏ผๅ ดๅใซใใฃ ใฆใฏๆ็ญ่ทฏใใฎใใฎใใใ็ฎ็ๅฐใซๅฐ้ใใใฎใซใใใๆ ้ใ ใใ็ฅใใใใใจใใใ๏ผไพใใฐๆถ้ฒ็ฝฒใฎ็ซๅฐใ่ใ ใๅ ดๅ๏ผๅบๆฅใใ ใๅคใใฎไธๅธฏใซ๏ผ้ซใ็ขบ็ใง็ญใๆ้ใซ ๅฐ้ใงใใ็ต่ทฏใใใ็ซๅฐใ้ธใถใใจใๅ็็ใงใใ๏ผ็พ ๅฎใซ๏ผ้่ทฏใฎ้้ใซใใใๆ้ใฏ็ถๆณใซๅฟใใฆๆงใ ใชๆๅ ใ็คบใใจ่ใใใใใ๏ผใใใๅ ็จใฎใใคในใฎๅ้กใจๅๆง ใซไธๆงๅๅธใซๅพใฃใฆใฉใณใใ ใชๅคใใจใใจไปฎๅฎใใใจ๏ผๆ ็ญ่ทฏใฎ้ทใใใฉใฎใใใชใใฎใงใใใใ่จ็ฎใใๅ้กใไธ ็จฎใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่จ็ฎใใๅ้กใงใใ๏ผ ๆฌ็จฟใฎๆงๆใฏๆฌกใฎ้ใใงใใใใพใ๏ผ่จ็ฎ้ใฎใฏใฉในใจ๏ผ ็ขบ็ใซ้ขใใๅฎ็พฉใ่งฃ่ชฌใ๏ผ๐๐๐๐ๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎๅบๆฌ็ใชๅฎ็พฉ ใ็คบใ๏ผใใฎๅพ๏ผๆ่ฟใฎ็ ็ฉถๆๆใจใใฆๅ ใฎใใคในใฎๅ้ก ใๆ็ญ่ทฏใฎ้ทใใจ้ข้ฃใฎใใ๐๐๐๐ๆฌกๅ ๅค้ขไฝไฝ็ฉใฎ่จ็ฎๆนๆณ ใ็ดนไปใใ๏ผ2. ๆ้ฉๅๅ้กใจ่จ็ฎ้ใฎใฏใฉใน
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ใใใใฏใผใฏๆ ๅ ฑๅญฆ้จ
ๅฎ่ค ๆ
School of Network and Information Ei Ando
Keywords: polytope, volume, computational complexity,
Abstract
This article aims to introduce the recent results about computing the volume of the high-dimensional
polytopes. Before the results, we go through the basic definitions. Then, we introduce the recent results
about the approximation algorithm for the volume of the knapsack polytope and its dual. At the end of
this article, we introduce the relation between the high-dimensional volume and some combinatorial
optimization problems.
1. ใฏใใใซ
ๆฌ็จฟใงใฏ๏ผๅฟ ่ฆ็ฅ่ญใ่ฃใใคใค๐๐๐๐ๆฌกๅ ๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใซ้ขใ ใ็ ็ฉถๆๆใ็ดนไปใใ๏ผ้ซๆฌกๅ ใงใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใฏ๏ผๆงใ ใช็่ซไธใปๅฎ้ไธใฎๅ้กใจ้ข้ฃใใใ๏ผๅ้กใฎ่งฃๆฑบใซ้ใ ใฆใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่จ็ฎใจๅ็ญใฎๅฆ็ใๅฟ ่ฆใซใชใ๏ผ ้ซๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใซใคใใฆ๏ผๆใๅ็ดใชไพใฏๆฌกใฎใ ใใชๅ้กใงใใ๏ผๅๅ ญ็ญใง็จใใใใใใคในใซใฏ๏ผไธ่ฌ็ ใซใใ็ฅใใใฆใใ๏ผ้ขใฎใใฎใฎใปใใซ๏ผ๏ฝ๏ผ๏ผ๏ผ้ขใชใฉ ใฎๆงใ ใชๅฝข็ถใๅญๅจใใฆใใ๏ผใใใใฎๆงใ ใช๐๐๐๐ๅใฎใใคใน ใฎ้ขใฎๆฐใ๐๐๐๐1, ๐๐๐๐2, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐ใจใใ๏ผใใฆใใใใฎใใคในใใใ ใใฏๅ้ขใๅใ็ขบ็ใงๅบใใจใใฆ๏ผใไธๆงใซๅๅธใใฆใใใ ใจใใ๏ผ๏ผใใใใฎใใคในใๅ จ้จไธๅบฆใซๆฏใฃใฆ๏ผๅบใ็ฎใฎๅ ่จใ่จ็ฎใใใใจใซใใใจ๏ผ๐๐๐๐ไปฅไธ๐ด๐ด๐ด๐ด = ๐๐๐๐1+ ๐๐๐๐2+ โฏ + ๐๐๐๐๐๐๐๐ไปฅ ไธใฎๅคใๅ จใฆๅใ็ขบ็ใงๅบใใ ใใใ๏ผ็ญใใฏNo ใงใใ๏ผ ใใฎ้ใใฏ๏ผไธ่ฌ็ใช๏ผ้ขใใคในใ๏ผใคๆฏใฃใๅ ดๅใฎๅ่จ ๅคใ12 ใงใใ็ขบ็ใจ๏ผ7 ใงใใ็ขบ็ใๆฏ่ผใใใจๅคใใใ ใ๏ผใงใฏ๏ผ๐๐๐๐ๅใฎใใฉใใฉใช้ขๆฐใฎใใคในใๆฏใฃใๆ๏ผไปปๆ ใฎๅค๐๐๐๐ใฎๅบใ็ขบ็ใๆฑใใใใจใใใจ๏ผ้ฉๅใชๅ้ก่จญๅฎใฎไธ ใงใใใฏ#P-ๅฐ้ฃใจๅผใฐใใ้ฃๅใซใชใ๏ผๅฎใฏใใฎๅ้กใฏ๏ผ ๐๐๐๐ๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎไธญใซๅซใพใใๆดๆฐๅบงๆจใฎ็นใฎๆฐใๆฐใใ ๅ้กใงใใ๏ผใใคในใฎ้ขๆฐใๅๅๅคใใใฎใ่ใใใจใใซ ใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใๆฐใใๅ้กใจๅใใจใใใ๏ผ ใใๅฎ้็ใชๅ้กใงใฏ๏ผๆธๆปใซใใ้้ๆ้ใฎๅคๅใ่ ๆ ฎใใๆ็ญ่ทฏๅ้กใไธใใใใ๏ผๆ็ญ่ทฏๅ้กใฏใซใผใใใช ใฉใงใ้ฆดๆใฟใฎๆ้ฉๅๅ้กใง๏ผไธใใใใๅฐๅณใปๅบ็บ็นใป ็ฎ็ๅฐใซใคใใฆๆ็ญใฎ็ต่ทฏใ่ใใๅ้กใงใใ๏ผ้ๅธธใฏ้ ่ทฏๅบ้ใฎ้ทใใ็จใใฆๆ็ญ่ทฏใๅบใ๏ผใใใ๏ผๅ ดๅใซใใฃ ใฆใฏๆ็ญ่ทฏใใฎใใฎใใใ็ฎ็ๅฐใซๅฐ้ใใใฎใซใใใๆ ้ใ ใใ็ฅใใใใใจใใใ๏ผไพใใฐๆถ้ฒ็ฝฒใฎ็ซๅฐใ่ใ ใๅ ดๅ๏ผๅบๆฅใใ ใๅคใใฎไธๅธฏใซ๏ผ้ซใ็ขบ็ใง็ญใๆ้ใซ ๅฐ้ใงใใ็ต่ทฏใใใ็ซๅฐใ้ธใถใใจใๅ็็ใงใใ๏ผ็พ ๅฎใซ๏ผ้่ทฏใฎ้้ใซใใใๆ้ใฏ็ถๆณใซๅฟใใฆๆงใ ใชๆๅ ใ็คบใใจ่ใใใใใ๏ผใใใๅ ็จใฎใใคในใฎๅ้กใจๅๆง ใซไธๆงๅๅธใซๅพใฃใฆใฉใณใใ ใชๅคใใจใใจไปฎๅฎใใใจ๏ผๆ ็ญ่ทฏใฎ้ทใใใฉใฎใใใชใใฎใงใใใใ่จ็ฎใใๅ้กใไธ ็จฎใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่จ็ฎใใๅ้กใงใใ๏ผ ๆฌ็จฟใฎๆงๆใฏๆฌกใฎ้ใใงใใใใพใ๏ผ่จ็ฎ้ใฎใฏใฉในใจ๏ผ ็ขบ็ใซ้ขใใๅฎ็พฉใ่งฃ่ชฌใ๏ผ๐๐๐๐ๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎๅบๆฌ็ใชๅฎ็พฉ ใ็คบใ๏ผใใฎๅพ๏ผๆ่ฟใฎ็ ็ฉถๆๆใจใใฆๅ ใฎใใคในใฎๅ้ก ใๆ็ญ่ทฏใฎ้ทใใจ้ข้ฃใฎใใ๐๐๐๐ๆฌกๅ ๅค้ขไฝไฝ็ฉใฎ่จ็ฎๆนๆณ ใ็ดนไปใใ๏ผ2. ๆ้ฉๅๅ้กใจ่จ็ฎ้ใฎใฏใฉใน
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This article aims to introduce the recent results about computing the volume of the high-dimensional
polytopes. Before the results, we go through the basic definitions. Then, we introduce the recent results
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this article, we introduce the relation between the high-dimensional volume and some combinatorial
optimization problems.
1. ใฏใใใซ
ๆฌ็จฟใงใฏ๏ผๅฟ ่ฆ็ฅ่ญใ่ฃใใคใค๐๐๐๐ๆฌกๅ ๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใซ้ขใ ใ็ ็ฉถๆๆใ็ดนไปใใ๏ผ้ซๆฌกๅ ใงใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใฏ๏ผๆงใ ใช็่ซไธใปๅฎ้ไธใฎๅ้กใจ้ข้ฃใใใ๏ผๅ้กใฎ่งฃๆฑบใซ้ใ ใฆใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่จ็ฎใจๅ็ญใฎๅฆ็ใๅฟ ่ฆใซใชใ๏ผ ้ซๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใซใคใใฆ๏ผๆใๅ็ดใชไพใฏๆฌกใฎใ ใใชๅ้กใงใใ๏ผๅๅ ญ็ญใง็จใใใใใใคในใซใฏ๏ผไธ่ฌ็ ใซใใ็ฅใใใฆใใ๏ผ้ขใฎใใฎใฎใปใใซ๏ผ๏ฝ๏ผ๏ผ๏ผ้ขใชใฉ ใฎๆงใ ใชๅฝข็ถใๅญๅจใใฆใใ๏ผใใใใฎๆงใ ใช๐๐๐๐ๅใฎใใคใน ใฎ้ขใฎๆฐใ๐๐๐๐1, ๐๐๐๐2, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐ใจใใ๏ผใใฆใใใใฎใใคในใใใ ใใฏๅ้ขใๅใ็ขบ็ใงๅบใใจใใฆ๏ผใไธๆงใซๅๅธใใฆใใใ ใจใใ๏ผ๏ผใใใใฎใใคในใๅ จ้จไธๅบฆใซๆฏใฃใฆ๏ผๅบใ็ฎใฎๅ ่จใ่จ็ฎใใใใจใซใใใจ๏ผ๐๐๐๐ไปฅไธ๐ด๐ด๐ด๐ด = ๐๐๐๐1+ ๐๐๐๐2+ โฏ + ๐๐๐๐๐๐๐๐ไปฅ ไธใฎๅคใๅ จใฆๅใ็ขบ็ใงๅบใใ ใใใ๏ผ็ญใใฏNo ใงใใ๏ผ ใใฎ้ใใฏ๏ผไธ่ฌ็ใช๏ผ้ขใใคในใ๏ผใคๆฏใฃใๅ ดๅใฎๅ่จ ๅคใ12 ใงใใ็ขบ็ใจ๏ผ7 ใงใใ็ขบ็ใๆฏ่ผใใใจๅคใใใ ใ๏ผใงใฏ๏ผ๐๐๐๐ๅใฎใใฉใใฉใช้ขๆฐใฎใใคในใๆฏใฃใๆ๏ผไปปๆ ใฎๅค๐๐๐๐ใฎๅบใ็ขบ็ใๆฑใใใใจใใใจ๏ผ้ฉๅใชๅ้ก่จญๅฎใฎไธ ใงใใใฏ#P-ๅฐ้ฃใจๅผใฐใใ้ฃๅใซใชใ๏ผๅฎใฏใใฎๅ้กใฏ๏ผ ๐๐๐๐ๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎไธญใซๅซใพใใๆดๆฐๅบงๆจใฎ็นใฎๆฐใๆฐใใ ๅ้กใงใใ๏ผใใคในใฎ้ขๆฐใๅๅๅคใใใฎใ่ใใใจใใซ ใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใๆฐใใๅ้กใจๅใใจใใใ๏ผ ใใๅฎ้็ใชๅ้กใงใฏ๏ผๆธๆปใซใใ้้ๆ้ใฎๅคๅใ่ ๆ ฎใใๆ็ญ่ทฏๅ้กใไธใใใใ๏ผๆ็ญ่ทฏๅ้กใฏใซใผใใใช ใฉใงใ้ฆดๆใฟใฎๆ้ฉๅๅ้กใง๏ผไธใใใใๅฐๅณใปๅบ็บ็นใป ็ฎ็ๅฐใซใคใใฆๆ็ญใฎ็ต่ทฏใ่ใใๅ้กใงใใ๏ผ้ๅธธใฏ้ ่ทฏๅบ้ใฎ้ทใใ็จใใฆๆ็ญ่ทฏใๅบใ๏ผใใใ๏ผๅ ดๅใซใใฃ ใฆใฏๆ็ญ่ทฏใใฎใใฎใใใ็ฎ็ๅฐใซๅฐ้ใใใฎใซใใใๆ ้ใ ใใ็ฅใใใใใจใใใ๏ผไพใใฐๆถ้ฒ็ฝฒใฎ็ซๅฐใ่ใ ใๅ ดๅ๏ผๅบๆฅใใ ใๅคใใฎไธๅธฏใซ๏ผ้ซใ็ขบ็ใง็ญใๆ้ใซ ๅฐ้ใงใใ็ต่ทฏใใใ็ซๅฐใ้ธใถใใจใๅ็็ใงใใ๏ผ็พ ๅฎใซ๏ผ้่ทฏใฎ้้ใซใใใๆ้ใฏ็ถๆณใซๅฟใใฆๆงใ ใชๆๅ ใ็คบใใจ่ใใใใใ๏ผใใใๅ ็จใฎใใคในใฎๅ้กใจๅๆง ใซไธๆงๅๅธใซๅพใฃใฆใฉใณใใ ใชๅคใใจใใจไปฎๅฎใใใจ๏ผๆ ็ญ่ทฏใฎ้ทใใใฉใฎใใใชใใฎใงใใใใ่จ็ฎใใๅ้กใไธ ็จฎใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่จ็ฎใใๅ้กใงใใ๏ผ ๆฌ็จฟใฎๆงๆใฏๆฌกใฎ้ใใงใใใใพใ๏ผ่จ็ฎ้ใฎใฏใฉในใจ๏ผ ็ขบ็ใซ้ขใใๅฎ็พฉใ่งฃ่ชฌใ๏ผ๐๐๐๐ๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎๅบๆฌ็ใชๅฎ็พฉ ใ็คบใ๏ผใใฎๅพ๏ผๆ่ฟใฎ็ ็ฉถๆๆใจใใฆๅ ใฎใใคในใฎๅ้ก ใๆ็ญ่ทฏใฎ้ทใใจ้ข้ฃใฎใใ๐๐๐๐ๆฌกๅ ๅค้ขไฝไฝ็ฉใฎ่จ็ฎๆนๆณ ใ็ดนไปใใ๏ผ2. ๆ้ฉๅๅ้กใจ่จ็ฎ้ใฎใฏใฉใน
ๆ็ญ่ทฏๅ้กใใฏใใ๏ผๆงใ ใชๆ้ฉๅๅ้กใๅญๅจใใใ๏ผ ๅ้กใ่งฃใใใใซๅฟ ่ฆใช่จ็ฎๆฉใฎ่ฝๅใซๅฟใใฆใฏใฉในๅใ ใใใใฆใใ๏ผ่จ็ฎ้ใฏใฉในP ใใใณ NP ใซใคใใฆใฏ[8]ใ ่ชญใใจ่ฉณ็ดฐใ็ฅใใใจใใงใใ๏ผ2.1. ่จ็ฎ้ใฏใฉในP
ๆใใใใฅใฉใผใช่จ็ฎๆฉใขใใซใจใใฆๆฑบๅฎๆงใใฅใผใชใณ ใฐใใทใณใๆใใใใ๏ผใใใฏ่จ็ฎๆฉใ่กจ็พใใๆฝ่ฑกใขใ ใซใงใใ๏ผๆฆใญ็พๅจไธ่ฌ็ใซไฝฟ็จใใใฆใใ่จ็ฎๆฉใจๅ็ญ ใฎ่ฝๅใใใใใฎใจใใฆๆฑใใใ๏ผๆ็ญ่ทฏๅ้กใฎใใใซ็พ ๅฎใฎ่จ็ฎๆฉใง็ด ๆฉใ่งฃๆฑบใใๆนๆณใ็ฅใใใฆใใๅ้กใฎใฏ่จ็ฎ้ใฏใฉใน
#P ใจ๐๐๐๐ ๆฌกๅ ๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใฎ่จ็ฎ
The Computational Complexity Class #P and
Computing the Volume of an ๐๐๐๐ -dimensional Polytope
ใใใใฏใผใฏๆ ๅ ฑๅญฆ้จ
ๅฎ่ค ๆ
School of Network and Information Ei Ando
Keywords: polytope, volume, computational complexity,
Abstract
This article aims to introduce the recent results about computing the volume of the high-dimensional
polytopes. Before the results, we go through the basic definitions. Then, we introduce the recent results
about the approximation algorithm for the volume of the knapsack polytope and its dual. At the end of
this article, we introduce the relation between the high-dimensional volume and some combinatorial
optimization problems.
1. ใฏใใใซ
ๆฌ็จฟใงใฏ๏ผๅฟ ่ฆ็ฅ่ญใ่ฃใใคใค๐๐๐๐ๆฌกๅ ๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใซ้ขใ ใ็ ็ฉถๆๆใ็ดนไปใใ๏ผ้ซๆฌกๅ ใงใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใฏ๏ผๆงใ ใช็่ซไธใปๅฎ้ไธใฎๅ้กใจ้ข้ฃใใใ๏ผๅ้กใฎ่งฃๆฑบใซ้ใ ใฆใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่จ็ฎใจๅ็ญใฎๅฆ็ใๅฟ ่ฆใซใชใ๏ผ ้ซๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใซใคใใฆ๏ผๆใๅ็ดใชไพใฏๆฌกใฎใ ใใชๅ้กใงใใ๏ผๅๅ ญ็ญใง็จใใใใใใคในใซใฏ๏ผไธ่ฌ็ ใซใใ็ฅใใใฆใใ๏ผ้ขใฎใใฎใฎใปใใซ๏ผ๏ฝ๏ผ๏ผ๏ผ้ขใชใฉ ใฎๆงใ ใชๅฝข็ถใๅญๅจใใฆใใ๏ผใใใใฎๆงใ ใช๐๐๐๐ๅใฎใใคใน ใฎ้ขใฎๆฐใ๐๐๐๐1, ๐๐๐๐2, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐ใจใใ๏ผใใฆใใใใฎใใคในใใใ ใใฏๅ้ขใๅใ็ขบ็ใงๅบใใจใใฆ๏ผใไธๆงใซๅๅธใใฆใใใ ใจใใ๏ผ๏ผใใใใฎใใคในใๅ จ้จไธๅบฆใซๆฏใฃใฆ๏ผๅบใ็ฎใฎๅ ่จใ่จ็ฎใใใใจใซใใใจ๏ผ๐๐๐๐ไปฅไธ๐ด๐ด๐ด๐ด = ๐๐๐๐1+ ๐๐๐๐2+ โฏ + ๐๐๐๐๐๐๐๐ไปฅ ไธใฎๅคใๅ จใฆๅใ็ขบ็ใงๅบใใ ใใใ๏ผ็ญใใฏNo ใงใใ๏ผ ใใฎ้ใใฏ๏ผไธ่ฌ็ใช๏ผ้ขใใคในใ๏ผใคๆฏใฃใๅ ดๅใฎๅ่จ ๅคใ12 ใงใใ็ขบ็ใจ๏ผ7 ใงใใ็ขบ็ใๆฏ่ผใใใจๅคใใใ ใ๏ผใงใฏ๏ผ๐๐๐๐ๅใฎใใฉใใฉใช้ขๆฐใฎใใคในใๆฏใฃใๆ๏ผไปปๆ ใฎๅค๐๐๐๐ใฎๅบใ็ขบ็ใๆฑใใใใจใใใจ๏ผ้ฉๅใชๅ้ก่จญๅฎใฎไธ ใงใใใฏ#P-ๅฐ้ฃใจๅผใฐใใ้ฃๅใซใชใ๏ผๅฎใฏใใฎๅ้กใฏ๏ผ ๐๐๐๐ๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎไธญใซๅซใพใใๆดๆฐๅบงๆจใฎ็นใฎๆฐใๆฐใใ ๅ้กใงใใ๏ผใใคในใฎ้ขๆฐใๅๅๅคใใใฎใ่ใใใจใใซ ใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใๆฐใใๅ้กใจๅใใจใใใ๏ผ ใใๅฎ้็ใชๅ้กใงใฏ๏ผๆธๆปใซใใ้้ๆ้ใฎๅคๅใ่ ๆ ฎใใๆ็ญ่ทฏๅ้กใไธใใใใ๏ผๆ็ญ่ทฏๅ้กใฏใซใผใใใช ใฉใงใ้ฆดๆใฟใฎๆ้ฉๅๅ้กใง๏ผไธใใใใๅฐๅณใปๅบ็บ็นใป ็ฎ็ๅฐใซใคใใฆๆ็ญใฎ็ต่ทฏใ่ใใๅ้กใงใใ๏ผ้ๅธธใฏ้ ่ทฏๅบ้ใฎ้ทใใ็จใใฆๆ็ญ่ทฏใๅบใ๏ผใใใ๏ผๅ ดๅใซใใฃ ใฆใฏๆ็ญ่ทฏใใฎใใฎใใใ็ฎ็ๅฐใซๅฐ้ใใใฎใซใใใๆ ้ใ ใใ็ฅใใใใใจใใใ๏ผไพใใฐๆถ้ฒ็ฝฒใฎ็ซๅฐใ่ใ ใๅ ดๅ๏ผๅบๆฅใใ ใๅคใใฎไธๅธฏใซ๏ผ้ซใ็ขบ็ใง็ญใๆ้ใซ ๅฐ้ใงใใ็ต่ทฏใใใ็ซๅฐใ้ธใถใใจใๅ็็ใงใใ๏ผ็พ ๅฎใซ๏ผ้่ทฏใฎ้้ใซใใใๆ้ใฏ็ถๆณใซๅฟใใฆๆงใ ใชๆๅ ใ็คบใใจ่ใใใใใ๏ผใใใๅ ็จใฎใใคในใฎๅ้กใจๅๆง ใซไธๆงๅๅธใซๅพใฃใฆใฉใณใใ ใชๅคใใจใใจไปฎๅฎใใใจ๏ผๆ ็ญ่ทฏใฎ้ทใใใฉใฎใใใชใใฎใงใใใใ่จ็ฎใใๅ้กใไธ ็จฎใฎๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่จ็ฎใใๅ้กใงใใ๏ผ ๆฌ็จฟใฎๆงๆใฏๆฌกใฎ้ใใงใใใใพใ๏ผ่จ็ฎ้ใฎใฏใฉในใจ๏ผ ็ขบ็ใซ้ขใใๅฎ็พฉใ่งฃ่ชฌใ๏ผ๐๐๐๐ๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใฎๅบๆฌ็ใชๅฎ็พฉ ใ็คบใ๏ผใใฎๅพ๏ผๆ่ฟใฎ็ ็ฉถๆๆใจใใฆๅ ใฎใใคในใฎๅ้ก ใๆ็ญ่ทฏใฎ้ทใใจ้ข้ฃใฎใใ๐๐๐๐ๆฌกๅ ๅค้ขไฝไฝ็ฉใฎ่จ็ฎๆนๆณ ใ็ดนไปใใ๏ผ2. ๆ้ฉๅๅ้กใจ่จ็ฎ้ใฎใฏใฉใน
ๆ็ญ่ทฏๅ้กใใฏใใ๏ผๆงใ ใชๆ้ฉๅๅ้กใๅญๅจใใใ๏ผ ๅ้กใ่งฃใใใใซๅฟ ่ฆใช่จ็ฎๆฉใฎ่ฝๅใซๅฟใใฆใฏใฉในๅใ ใใใใฆใใ๏ผ่จ็ฎ้ใฏใฉในP ใใใณ NP ใซใคใใฆใฏ[8]ใ ่ชญใใจ่ฉณ็ดฐใ็ฅใใใจใใงใใ๏ผ2.1. ่จ็ฎ้ใฏใฉในP
ๆใใใใฅใฉใผใช่จ็ฎๆฉใขใใซใจใใฆๆฑบๅฎๆงใใฅใผใชใณ ใฐใใทใณใๆใใใใ๏ผใใใฏ่จ็ฎๆฉใ่กจ็พใใๆฝ่ฑกใขใ ใซใงใใ๏ผๆฆใญ็พๅจไธ่ฌ็ใซไฝฟ็จใใใฆใใ่จ็ฎๆฉใจๅ็ญ ใฎ่ฝๅใใใใใฎใจใใฆๆฑใใใ๏ผๆ็ญ่ทฏๅ้กใฎใใใซ็พ ๅฎใฎ่จ็ฎๆฉใง็ด ๆฉใ่งฃๆฑบใใๆนๆณใ็ฅใใใฆใใๅ้กใฎใฏใฉใน๏ผใคใพใๆฑบๅฎๆงใใฅใผใชใณใฐใใทใณใ็จใใฆ็ด ๆฉใ่งฃ ใใๅ้กใฏใฉในใP ใงใใ๏ผ ใ็ด ๆฉใ่งฃๆฑบใงใใใใจใใใใจใฎๅบๆบใฏ๏ผ่จ็ฎๆฉใซ่งฃ ใใใๅ้กไพใ่จ่ฟฐใใใจใใซๅฟ ่ฆใช่จๅทใ่จ่ฟฐใใ้ใ ๐๐๐๐ใจใใใจ๏ผๅฎๆฐ๐๐๐๐ใๅญๅจใใฆ๏ผๅๅๅคงใใช๐๐๐๐ใซๅฏพใใฆ๐๐๐๐๐๐๐๐ใซ ๆฏไพใใๆ้๏ผ๐๐๐๐ใฎๅค้ ๅผๆ้๏ผpolynomial time๏ผไปฅๅ ใซ ๅฎไบใใใใจใๆใ๏ผP ใซๅฑใใฆใใชใๅ้กใฏใฉใฎใใใช ๅฎๆฐ๐๐๐๐ใ็จใใฆใๅฟ ่ฆใช่จ็ฎๆ้ใ๐๐๐๐๐๐๐๐ไปฅไธใจใฏ่จใใชใๅ ้กใงใใ๏ผไพใใฐ2๐๐๐๐ใฎใใใซ๐๐๐๐ใฎๆๆฐใซๆฏไพใใๆ้ใๅฟ ่ฆใชๅ้กใใใใฐ๏ผใใฎๅ้กใฏP ใซๅฑใใฆใใชใใจใใใ๏ผ
2.2. ่จ็ฎ้ใฏใฉในNP
่จ็ฎ้ใฏใฉในNP ใฏ้ๆฑบๅฎๆงใใฅใผใชใณใฐใใทใณใ็จใ ใฆๅค้ ๅผๆ้ใง่งฃๆฑบๅฏ่ฝใช่จ็ฎ้ใฏใฉในใงใใ๏ผ้ๆฑบๅฎๆง ใจใใ่จ่ใฎๆๅณใฏ๏ผไบใๆฑบใใใใ็ฏๅฒใง้ฝๅใใใไบ ๆณใใใ๏ผใใใใใใๅฝใใใจใใๆๅณใง๏ผ็พๅฎใฎ่จ็ฎ ๆฉใง้ๆฑบๅฎๆงใใฅใผใชใณใฐใใทใณใฏๅฎ็พใงใใชใใจ่ใใ ใใฆใใ๏ผใใฎ้ญๆณใฎใใใช่จ็ฎใ่ใใๆๅณใฏ๏ผไบใๅ ้กใฎ็ญใใไธใใใใฆใใฆใใฎ็ญใใๆค็ฎใใใจใใฎๅไฝ ใ่ใใใใจใซๅฏพๅฟใใ๏ผใคใพใ๏ผNP ใฏๅ้กใฎๆค็ฎใๅค้ ๅผๆ้ใงๅฎไบใใๅ้กใฎใฏใฉในใงใใ๏ผNP ใซๅฑใใๅ้ก ใซใฏใใใใตใใฏๅ้ก๏ผๅทกๅใปใผใซในใใผใฝใณๅ้ก๏ผๆดๆฐ ่จ็ปๅ้ก๏ผๆฐ็ฌ็ญใฎใใบใซใชใฉใใใ๏ผ ใชใ่จ็ฎๆฉ็งๅญฆใฎๅ้ใงใฏP โ NPไบๆณใใใ็ฅใใใฆใ ใ๏ผใใใฏ่จ็ฎ้ใฏใฉในNP ใซๅฑใใฆใใฆใ P ใซใฏๅฑใใฆ ใใชใใใใชๅ้กใๅญๅจใใใใฉใใใจใใๅ้กใงใใ๏ผ ใคใพใ๏ผ่งฃใใใใฐๆค็ฎใฏ็ด ๆฉใๅฎๆฝๅฏ่ฝใงใใฃใฆใ๏ผใ ใฎ่งฃใๅ้กใ ใใฎๆ ๅ ฑใใ็ด ๆฉใๆฑใใใใจใฏไธๅฏ่ฝใชๅ ้กใๅญๅจใใใซ้ใใชใใจ่ใใใใฆใใ๏ผใใฎใใใชๅ ้กใฎๅ่ฃใฏNP-ๅฎๅ จๅ้กใจๅผใฐใใฆใใ๏ผ2.3. ่จ็ฎ้ใฏใฉใน#P
่จ็ฎ้ใฏใฉใน#P ใฏ Valiant[10]ใซใใฃใฆ็คบใใใ่จ็ฎ้ ใฎใฏใฉในใงใใ๏ผๅฎ็พฉใใใใซใฏ๏ผ้ๆฑบๅฎๆงใใฅใผใชใณใฐ ใใทใณใฎใไบๆณใใๅซใใ่จ็ฎใ้ฒใใๅ ใง๏ผๅพใใใใ ๆญฃ่งฃๅ จใฆใฎๆฐใๅบๅใใ่จ็ฎๆฉใขใใซ(่จๆฐๆฉๆขฐ)ใ่ใ๏ผ ใใฎใขใใซใซใใฃใฆๅค้ ๅผๆ้ใง่จ็ฎใใใๅ้กใฎใฏใฉใน ใงใใ๏ผใใฎ่จ็ฎๆฉใขใใซใๅฎ็พใฏใงใใชใใ๏ผๅฎใฏ NP ใจๅๆง#P ใซๅฑใใๅ้กใฎไธญใซๆฌๅฝใซๅค้ ๅผๆ้ใง่งฃใใช ใๅ้กใๅญๅจใใใใฉใใใฏ่จผๆใใใฆใใชใ๏ผ ่ๅณๆทฑใใฎใฏ๏ผไบ้จใฐใฉใใฎใใใใณใฐๅ้กใชใฉ๏ผ่งฃใ ไธใค่ฆใคใใๅ้กใฏP ใซๅฑใใฆใใฆใ๏ผ่งฃใๆฐใใๅ้กใฏ #P ใฎไธญใงๆใ้ฃใใ็จฎ้กใฎๅ้ก(#P-ๅฎๅ จๅ้ก)ใงใใใใจ ใงใใ๏ผใคใพใ๏ผไปฎใซP=NP ใงใใฃใฆใ P ใจ#P ใ็ญใใ ใใฉใใใฏ่ชๆใงใชใ๏ผใชใ๏ผ#P ใซๅฑใใๅ้กใฎไธญใงๆใ ้ฃใใใฐใซใผใใ#P-ๅฎๅ จๅ้กใจๅผใฐใใฆใใใ๏ผใใฎ่จผๆ ใใซใฏใใงใซ#P-ๅฎๅ จใงใใใจๅคใฃใฆใใๅ้ก A ใจ๏ผ้ฃใ ใใ่จผๆใใใๅ้กB ใฎไบใคใซใคใใฆใใใๅ้ก B ใๆฑบๅฎ ๆงใใฅใผใชใณใฐใใทใณใซใใฃใฆๅค้ ๅผๆ้ใงๆญฃ็ขบใซ่งฃใใ ใ๏ผใใฎ็ญใใไฝฟใฃใฆๅ้กA ใๆฑบๅฎๆงใใฅใผใชใณใฐใใทใณ ใซใใฃใฆๅค้ ๅผๆ้ใง่งฃใใใใจใใ่จผๆใ่กใ๏ผใใฎ่จผ ๆใ ใใใงใใๅ ดๅ๏ผๅ้กB ใฏๅฐใชใใจใๅ้ก A ใใใฏ้ฃ ใใใใจใซใชใ๏ผๅ้กB ใฏ#P-ๅฐ้ฃใจๅผใฐใใ๏ผๅ ใใฆ๏ผ่จ ๆฐๆฉๆขฐใซใใฃใฆๅ้กB ใ่งฃใใใใจใ็คบใใใใฐๅ้ก B ใฏ #P-ๅฎๅ จใงใใใจใใ๏ผใคใพใ๏ผไธใคใฎ#P-ๅฎๅ จๅ้กใๅค้ ๅผๆ้ใง่งฃใใใจใใฎ่งฃใๆนใไฝฟใฃใฆๅ จใฆใฎ#P-ๅฎๅ จๅ้ก ใ่งฃใใใใจใซใชใใ๏ผใใฎใใใช่งฃใๆนใฏๆช็ฅใงใใ๏ผ2.4. ใใฎไปใฎ่จ็ฎ้ใฏใฉใน
ไปใซใ่จ็ฎ้ใฎใฏใฉในใฏๆงใ ใชใใฎใๆฅใ ๆๆกใใ๏ผใ ใใฆไบใใฎ่จ็ฎ้ใฏใฉในใฎๅ ๅซ้ขไฟใ่จผๆใใ่ซๆใ็บ่กจ ใใใฆใใ๏ผๆๆฐใฎๆ ๅ ฑใฏComplexity Zoo [1]ใจใใใตใค ใใซใพใจใใใใฆใใ๏ผๆฌ็จฟๅท็ญๆ็นใง535 ๅใฎ่จ็ฎ้ใฏ ใฉในใๆฒ่ผใใใฆใใ๏ผ3. ็ขบ็ใใใณ็ขบ็ๅคๆฐ๏ผ็ขบ็ๅๅธ
3.1. ็ขบ็ใจใฏ
็ขบ็ใจใใ่จ่ใฏๆงใ ใชๆๅณใง็จใใใใใใจใใใใ๏ผ ๆฌ็จฟใงใใ็ขบ็ใฏใไธๆงใช๏ผ้ขใใคในใๆฏใฃใฆ๏ผใๅบใ็ขบ ็ใใฎใใใซๅณๅฏใซๅฎ็พฉใงใใใใฎใ ใใๆฑใ๏ผใใงใฉใผ [7]ใฎ่จ่ใๅใใใฐ๏ผใใฎใใใชๆฐๅญฆไธใฎ็ขบ็ใจใฏ๏ผ็ฉ็ ใงใใใจใใใฎใ่ณช้ใใซ็ธๅฝใใใใฎใงใใ๏ผๆฐๅญฆใฎๅ ้กใจใใฆ็ขบ็ใๆฑใใ้ใฎ่จ็ฎใจ๏ผ่ณช้ใๆฑใใ้ใฎ่จ็ฎ ใฏๅ่จใชใใ็ฉๅใๆฑใใ่จ็ฎใใใใจใใ็นใงไผผ้ใฃใ ใใฎใงใใ๏ผ่ณช้ใจ็ขบ็ใฎ็ฐใชใ็นใฏ๏ผ่ณช้ใงใใใฐๅฏพ่ฑก ้ ๅใฎ่ณช้ใๅ่จใใใใฎใงใใใฎใซๅฏพใ๏ผ็ขบ็ใฏๅ จไฝ้ ๅใฎไธญใงๅฏพ่ฑก้ ๅใฎ้จๅใฎๅฒๅใๆฑใใ็นใงใใ๏ผๅ จไฝ้ ๅใฎไธญใซๅ ใใๅฒๅใๅคงใใๅ ดๅใซๆใ ใฏใ่ตทใใใใใใ ใจ่งฃ้ใ๏ผๅฒๅใๅฐใใๅ ดๅใฏใ่ตทใใใซใใใใจ่งฃ้ใ ใ๏ผ่ณช้ใฎๅคงๅฐใๆใ ใใ้ใใใ่ปฝใใใจ่งฃ้ใใใฎใจๅ ๆง๏ผๅพใใใๅคใฎ่งฃ้ใฏๅคใๅใๅใฃใไบบใซไปปใใใ๏ผ3.2. ็ขบ็ๅคๆฐใจ็ขบ็ๅๅธ
็ขบ็ๅคๆฐใจใใๆฆๅฟตใ่ชฌๆใใ้ใซใฏ๏ผไปปๆใฎ้ขๆฐใฎใ ใคในใง๏ผๅฟ ใใใไธๆงใงใชใใใฎใ่ใใ๏ผไปใซใ๏ผไพใ ใฐๅใไบบ็ฉใๆใใใฝใใใใผใซใฎ้ ๆใฎ่ท้ขใชใฉใ็ขบ็ ๅคๆฐใจใฟใชใใ๏ผๆๆใๅใใงใใใฐๅใใใใช้ฃ่ท้ขใ ๅบใใงใใใใ๏ผ็ฒพๅฏใซๆธฌใใจ้ขจใชใฉใซๅทฆๅณใใใฆใใฎ ๆใ ใง็ฐใชใๅคใซใชใใจ่ใใใใ๏ผ ใใคในใฎ็ฎใฎๅ ดๅใจ็ฐใชใ๏ผใฝใใใใผใซใฎ้ฃ่ท้ขใฎใ ใใช็ขบ็ๅคๆฐใ่กจ็พใใใซใฏใ้ฃ่ท้ขใไฝใกใผใใซใฎ็ขบ็ใ ใจใใ่จใๆนใงใฏ็ขบ็0 ใจใใใคใพใใชใ็ตๆใซใชใ๏ผใ ใไบบ็ฉใๆใใใฝใใใใผใซใฎ้ฃ่ท้ขใไพฟๅฎไธ๐๐๐๐ใกใผใใซ ใจใใใ๏ผใใใจ๏ผใใชใกใผใใซๅไฝไปฅไธใซๅๅ็ดฐใใ้ฃ ่ท้ขใๆธฌๅฎใใใจ๏ผๅๆใใฆๅใ้ฃ่ท้ขใๅบใใใจใฏใพใ ่ตทใใใชใ๏ผใใฎใใ๏ผใฉใฎใใใช้ฃ่ท้ขใๆณๅฎใใฆใใ้ฃ ่ท้ข๐๐๐๐ใๆญฃ็ขบใซ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅใกใผใใซใจ็ญใใ็ขบ็ใใฏ 0 ใงใใ๏ผใใใง๏ผๅฐใใ ใ่กจ็พใๅคใใฆใ้ฃ่ท้ข๐๐๐๐ใ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅใกใผใไปฅไธ ใงใใ็ขบ็ใใจ่ใใใจ๏ผ๐๐๐๐ใ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅใ่ถ ใใๅ ดๅใจ่ถใใชใๅ ด ๅใฉใกใใ่ตทใใใใใฎใง๏ผ็ขบ็ใฏใผใญใซใฏใชใใชใ๏ผๆฐ ๅผใงใฏใใฎ็ขบ็ใPr[๐๐๐๐ โค ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ]ใจๆธใ๏ผPr ใฏ่ฑ่ชใฎ probability ใฎๅ ้ ญไบๆๅญใงใใ๏ผ็นใซ๏ผใ็ขบ็ๅคๆฐ๐๐๐๐ใ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅไปฅไธใงใใ็ขบ็ใ ใฏ็ขบ็ๅคๆฐใฎๅๅธ้ขๆฐใจๅผใฐใ๏ผ็ขบ็ๅคๆฐใฎๆฏใ่ใใ่กจ ็พใใๆนๆณใจใใฆ็ขบ็ๅๅธ้ขๆฐใ็จใใใใจใไธ่ฌ็ใซ่ก ใใใ๏ผใพใ๏ผ็ขบ็ๅๅธ้ขๆฐใ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅใงๅพฎๅใใใใฎใฏ็ขบ็ๅฏๅบฆ ้ขๆฐใจๅผใถ๏ผไพใใฐ๏ผ๐๐๐๐ใ[0,1]ใฎ้ใฎใฉใฎๅคใๅใ็ขบ็ใงๅ ใใใใจใฏ[0,1]ใง็ขบ็ๅฏๅบฆ้ขๆฐใๅฎๆฐใงใใใใจใ็คบใ๏ผ ใใฎๅ ดๅ๐๐๐๐ใฏใๅบ้[0,1]ไธใฎไธๆงๅๅธใซๅพใใใจใใ๏ผใใ ใฏๆฌกใฎๅผใจๅใๆๅณใงใใ๏ผ Pr[๐๐๐๐ โค ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ] = ๏ฟฝ0๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ 0 < ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โค 1๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โค 0 1 1 < ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ
3.3. ็ขบ็ๅคๆฐใฎ็ฌ็ซๆง
ไบใคใฎ็ขบ็ๅคๆฐ๐๐๐๐, ๐๐๐๐ใใใใจใใซ๏ผไปปๆใฎไบใคใฎๅฎๆฐ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ, ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ใซใคใใฆ๐๐๐๐, ๐๐๐๐ใฎๅๅธ้ขๆฐใ Pr[๐๐๐๐ โค ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โง ๐๐๐๐ โค ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ] = Pr[๐๐๐๐ โค ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ] Pr[๐๐๐๐ โค ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ] ใๆบใใใจใ๏ผไบใคใฎ็ขบ็ๅคๆฐ๐๐๐๐, ๐๐๐๐ใฏไบใใซ็ฌ็ซใงใใใจ ใใ๏ผใใใฏ๏ผไธๆนใใฉใฎใใใชๅคใๅใฃใใจใใใง๏ผใ ใไธๆนใฏๅฝฑ้ฟใๅใใชใใใจใ่กจใ๏ผใพใ๏ผ๐๐๐๐ๅใฎ็ขบ็ๅคๆฐ ๐๐๐๐1, . . . , ๐๐๐๐๐๐๐๐ใ็ฌ็ซใจใฏ๏ผไปปๆใฎๅฎๆฐ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ1, . . . , ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ใซใคใใฆ Pr[๐๐๐๐1โค ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ1โง โฏ โง ๐๐๐๐๐๐๐๐โค ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐] = Pr[๐๐๐๐1โค ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ1] โฏ Pr[๐๐๐๐๐๐๐๐โค ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐] ใงใใใใจใใใ๏ผ่จ็ฎใฎๅฎนๆๆงใฎใใ๏ผ่คๆฐใฎ็ขบ็ๅคๆฐ ใ่ใใ้ใซใฏ๏ผไบใใซ็ฌ็ซใชใใฎใ่ใใใฎใๆใๅบๆฌ ็ใชไปฎๅฎใงใใ๏ผ4. ้ซๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝ
้ซๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใ่จ่ฟฐใใ้ใซใฏ๏ผใใใคใใฎๅฅใ ใฎๆน ๆณใ่ใใใใ๏ผใใๆนๆณใงๅฎ็พฉใใๅค้ขไฝใ๏ผๅฅใฎๆนๆณ ใงใฎๅฎ็พฉใ่ใใใจใฒใฉใๅ้ทใช่จ่ฟฐใ่ฆใใใใจใใใ๏ผ ใพใ๏ผใใใง็ดนไปใใๆนๆณใ่คๅใใใใจใซใใฃใฆ๏ผๅคๆง ใชๅค้ขไฝใฎๅฎ็พฉใ่ใใใใจใใงใใ๏ผ4.1. ้ซๆฌกๅ ็ฉบ้ใจๅ็ฉบ้ใใใณๅค้ขไฝ
๐๐๐๐ๆฌกๅ ็ฉบ้ใฎ็นใ๐๐๐๐ๅใฎๆฐใฎ๐๐๐๐้ ็ต๏ผใใฏใใซ๏ผใง่กจ็พใใ๏ผ ใคใพใ๏ผ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ1, ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ใๅ จใฆๅฎๆฐใงใใใจใใใจ๏ผใใฎ๐๐๐๐้ ็ต (๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ1, ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐)ใไธใคใฎ็นใงใใ๏ผๅ จใฆใฎๅฎๆฐใฎ็ตใฟๅใใ ใซใคใใฆ๏ผใใฎ็นใฎ้ๅใ๐๐๐๐ๆฌกๅ ็ฉบ้ใจๅฎ็พฉใใ๏ผไพใใฐ ๐๐๐๐ = 2ใฎๅ ดๅใฏๅฎๆฐ๏ผใค๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ1, ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ2ใฎ๏ผ้ ็ต(๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ1, ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ2)ใไธใคใฎ็นใง ใใ๏ผ2 ๆฌกๅ ็ฉบ้ใฏๅ จใฆใฎๅฎๆฐไบใคใฎ็ตใฟๅใใใฎ้ๅใง ใใ๏ผใพใ๏ผใใฎๅฎ็พฉใซๅพใใฐ3 ๆฌกๅ ใ 4 ๆฌกๅ ไปฅไธใฎ็ฉบ้ ใ่ช็ถใซๅฎ็พฉใใใใจใใงใใ๏ผ ๆณจๆใใ็นใจใใฆ๏ผๆใ ใฏใใใใ3 ๆฌกๅ ็จๅบฆใฎ็ฉบ้ใ ใไฝ้จใใใใจใใชใ๏ผใใฎใใ4 ๆฌกๅ ไปฅไธใฎๅณๅฝขใ็ก็ ใซใคใกใผใธใใใใจใใใใจใฏ่่ ใๅซใ่ชฐใซใจใฃใฆใๅฐ ้ฃใงใใ๏ผใใใง๐๐๐๐ๆฌกๅ ใฎ็ฉบ้ใฏๅฎๆฐใ๐๐๐๐ๅไธฆใใ ใใฎใจ่ ใ๏ผๅณๅฝข็ใชใคใกใผใธใฏ 3 ๆฌกๅ ใง่ตทใใใใจใ๐๐๐๐ๆฌกๅ ใซๆก ๅผตใงใใใใฉใใใๆฐๅผใง็ขบ่ชใใ๏ผ๐๐๐๐ใๅคงใใใจใใซใฎใฟ ็ขบ่ชใใใ็ถๆณใๆฐใใ่ฆใคใใๅ ดๅ๏ผๅญฆ่ก็ใซ่ๅณๆทฑใ ็พ่ฑกใงใใใจ่ใใใใ๏ผ ใใฎ๐๐๐๐ๆฌกๅ ็ฉบ้ใไธ็ญๅผใซใใฃใฆๅๅใซๅๅฒใใใใจใ ่ใใ๏ผๅฎๆฐใฎๅฎๆฐใใฏใใซ๐๐๐๐ = (๐๐๐๐1, ๐๐๐๐2, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐) โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ใจๅฎๆฐ ๐๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐ ๐ ใซ ใซใคใใฆ๏ผ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โค ๐๐๐๐ใๆบใใใใใช็น๐๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ใฎ้ๅ๏ผ ใคใพใ{๐๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ |๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โค ๐๐๐๐ }ใ๐๐๐๐ๆฌกๅ ใฎๅ็ฉบ้ใจๅผใถ๏ผ๐๐๐๐ = 2ใฎ ๅ ดๅ๏ผๅนณ้ขไธใ็ด็ท๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐1๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ1+ ๐๐๐๐2๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ2= ๐๐๐๐ใงๅบๅใใใไบ ใคใฎ้ ๅใฎใใใใใๅ็ฉบ้ใจๅผใถ๏ผใพใ๏ผๅ็ฉบ้ใฎๅข็ฎ ใซๅฝใใ้จๅ{๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ |๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐}ใ่ถ ๅนณ้ขใจๅผใถ๏ผ็ทๅฝขไปฃๆฐ ใฎ็ฅ่ญใใ๏ผใใฎ่ถ ๅนณ้ขๅ ใฎ่ช็ฑๅบฆใฏ๐๐๐๐ โ 1ใงใใ๏ผ่ถ ๅนณ้ข ๅ ใฎ็นใซ้ใใฐ๐๐๐๐้ ็ตใงใใ็น๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅใๆฑบใใ๐๐๐๐ๅใฎๅฎๆฐใฎใใก๏ผ ๐๐๐๐ โ 1ๅใฎๅฎๆฐๅคใๆฑบใใใจ่ชๅ็ใซๆฎใใฎไธใคใฎๅฎๆฐใ ๆฑบใพใ๏ผ ๐๐๐๐ๆฌกๅ ็ฉบ้ใฎไธ้จใใใพใๅใๅใฃใ็น้ๅใ่ใใใจ ใ๏ผใใฎ่ฆ็ด ใฎใฉใฎ็นใๅ็นใใใฎ่ท้ขใๆ้ใงใใใใ ใชใใฎใไฝใใใจใใงใใ๏ผใใฎใใใช็น้ๅใๆ็ใงใ ใใจใใ๏ผไพใใฐ๏ผๅ่ฟฐใฎๅ็ฉบ้ใฏใใฏใใซ๐๐๐๐ใใฉใฎใใใซ ใจใฃใฆใๆ็ใงใฏใชใใ๏ผ๐๐๐๐ = 1,2, โฆ , ๐๐๐๐ใซใคใใฆ0 โค ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐โค 1 ใๆบใใใใใช็น้ๅ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถ = [0,1]๐๐๐๐ใฏๆ็ใงใใ๏ผใชใ็น้ๅ ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถใฏใใคใใผใญใฅใผใใจๅผใฐใใ๏ผ ๐๐๐๐ๆฌกๅ ็ฉบ้ใฎๅค้ขไฝใจใฏ๏ผๅ ใซๅฎ็พฉใใๅ็ฉบ้ใฎๆ้ๅใฎ ็ฉ้ๅใฎใใก๏ผๆ็ใชใใฎใงใใ๏ผไพใใฐไธ่จใฎใใคใใผ ใญใฅใผใ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถใฏๅค้ขไฝใงใใ๏ผ4.2. H-ๅค้ขไฝ
ๅค้ขไฝใฎใใก็นใซๅ็ฉบ้ใๅ ใซๅฎ็พฉใใฆใใฎ็ฉ้ๅใๅ ใๅฎ็พฉใฎๆนๆณใH-ๅค้ขไฝใจๅผใถ๏ผH-ๅค้ขไฝใจใใฆใฎใใคใ ใผใญใฅใผใใฏ2๐๐๐๐ๅใฎไธ็ญๅผ0 โค ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐โค 1 (๐๐๐๐ = 1, โฆ , ๐๐๐๐) ใซใใฃ ใฆ่กจ็พใใใ๏ผ H-ๅค้ขไฝใง่ใใ H-ๅค้ขไฝใฎ้ ็นใฎๆฐใฏ๏ผๅ็ฉบ้ใฎๆฐใซ ๅฏพใใฆๆๆฐ็ใซๅคใใชใใใจใใใ๏ผไพใใฐๅ ใฎใใคใใผ ใญใฅใผใ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถใฎๅ ดๅ๏ผ้ ็นใฎ้ๅใฏ{0,1}๐๐๐๐ใง่กจใใ๏ผ้ ็นๆฐใฏ 2๐๐๐๐ๅใงใใ๏ผใใฎๆง่ณชใฏ้ซๆฌกๅ ใฎๅค้ขไฝใซ้ขใใ่จ็ฎใใ ใ้ใซๅคงใใชๅ้กใซใชใ๏ผ4.3. V-ๅค้ขไฝ
ไธ่ฟฐใจใฏๅฅใฎๆนๆณใงๅค้ขไฝใๅฎ็พฉใใใใจใใใ๏ผใใก ใใฎๆนๆณใฏV-ๅค้ขไฝใจๅผใฐใใใใฎใงใใใ๏ผใพใๅค้ขไฝ ใฎๆ้ๅใฎ้ ็น๐๐๐๐ๅใๅ ใซ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ1, ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐ใจๅฎ็พฉใใ๏ผใใใฆ ใใใใฎ้ ็นใๅซใๅธใช็น้ๅใฎใใกๆๅฐใฎใใฎ(ๅธๅ )ใ ๅค้ขไฝใจๅฎ็พฉใใ๏ผใใ็น้ๅ๐๐๐๐ใๅธใงใใใจใฏ๏ผ๐๐๐๐ใซๅซใพ ใใใฉใฎไบ็น๐ ๐ ๐ ๐ 1, ๐ ๐ ๐ ๐ 2ใซใคใใฆใไธญ้ใซใใ็นใ๐๐๐๐ใซๅซใพใใ ใใจใ่จใ๏ผใชใ๏ผ็นใฎ้ๅ๐๐๐๐ใฎๅธๅ ใฎใใจใconv(๐๐๐๐)ใจๆธ ใใใจใซใใ๏ผไพใใฐไธ่ฟฐใฎV-ๅค้ขไฝใ่กจ่จใใๅ ดๅใซใฏ conv({๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ1, ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐})ใจๆธใใ๏ผ ใใฆ๏ผV-ๅค้ขไฝใฏ H-ๅค้ขไฝใซๆธใ็ดใใใจใใงใใ๏ผ ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ1, ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐ใฎใใก้ฉๅฝใช๐๐๐๐ๅใ้ธใถใจ๏ผใใใใๅซใ่ถ ๅนณ้ขใไธใคๆฑบใพใ๏ผใใใ๐๐๐๐้ ็นใฎๅธๅ ใ V-ๅค้ขไฝใซๅซใพใ ใ๏ผใใฎใใ๏ผV-ๅค้ขไฝใฎ้ขใฏๅฟ ใๅนณ้ขใงใใใใจใใใ ใ๏ผใใฆ๏ผ๐๐๐๐ๅใฎ้ ็นใใ๐๐๐๐ๅใ้ธใถ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ้ใใฎ็ตใฟๅใใ ใซใใฃใฆใงใใ่ถ ๅนณ้ขใๅ จใฆ่ใใฆ๏ผใใฎใใกV-ๅค้ขไฝใฎ ๅ ้จใจๅค้จใๅใใ็ฉใ ใใๆฎใใฐV-ๅค้ขไฝใฎ้ขใไธใใ ่ถ ๅนณ้ขใๅพใใใ๏ผใใฎ่ถ ๅนณ้ขใๅ ใซ่ใใๅ ดๅ๏ผV-ๅค้ข ไฝใH-ๅค้ขไฝใจใใฆๆธใ็ดใใใจใใงใใ๏ผ ไพใจใใฆๆฌกใฎ่ฆ้ ใงไธใใใใๅค้ขไฝใ่ใใ๏ผ๐๐๐๐๐๐๐๐ใ๏ผ๐๐๐๐ ็ช็ฎใฎๅบงๆจใ ใ1 ใงไปใฏๅ จใฆ 0 ใงใใ็นใจใใ๏ผใใใจ๏ผ ๅ็น๐๐๐๐ = (0,0, โฆ ,0)ใใใณ๐๐๐๐1, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐ใฎ๐๐๐๐ + 1็นใฎๅธๅ ใ่ใใ ใจV-ๅค้ขไฝใงใใ๏ผใใฎใใใซ๐๐๐๐ + 1้ ็นใงไธใใใใๅค้ข ไฝใใทใณใใฌใใฏในใจๅผใถ๏ผใใฎV-ๅค้ขไฝใฎ้ขใฏ๏ผๅ็นใจ ๐๐๐๐1, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐ใใไธใคใ ใ็นใ้คใใใใฎใฎๅธๅ ใจ๏ผใใใใ ๐๐๐๐1, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐ใฎๅธๅ ใงใใ๏ผใใใใฎ้ขใฏ๐๐๐๐ = 1, โฆ , ๐๐๐๐ใซใคใใฆ conv({0, ๐๐๐๐1, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐} โ {๐๐๐๐๐๐๐๐}) ใใใณconv({๐๐๐๐1, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐})ใจๆธใใ ใจใใงใใ๏ผ๐๐๐๐ๅใฎ้ ็นใ้ใ่ถ ๅนณ้ขใฏ๐๐๐๐1, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐ใใใณ๐๐๐๐ใ ๆช็ฅๆฐใจใใฆ๏ผ่ถ ๅนณ้ขใฎๆน็จๅผใซๅ็นใฎๅบงๆจใไปฃๅ ฅใใ้ฃ ็ซๆน็จๅผใ่งฃใใใจใงๅพใใใใ๏ผ๐๐๐๐ = 0ใฎๅ ดๅใจ๐๐๐๐ โ 0ใฎ ๅ ดๅใซๅใใฆ่ใใใจๆช็ฅๆฐใไธใคๆธใใใฆๅนณ้ขใฎๆน็จๅผ ใๅพใใใ๏ผ๐๐๐๐ = 0ใฎๅ ดๅใซใฏๆฑใใ่ถ ๅนณ้ขใฏๅ็นใ้ใใ ใ๏ผๆช็ฅๆฐใฏ๐๐๐๐1, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐ใฎ๐๐๐๐ๅใงใใ๏ผใพใ๏ผ๐๐๐๐ โ 0ใฎๅ ดๅใซใฏ ๐๐๐๐1๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ1+ โฏ + ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐= ๐๐๐๐ ใฎ ไธก ่พบ ใ ๐๐๐๐ ใง ๅฒ ใฃ ใฆ ๏ผ ๆช ็ฅ ๆฐ ใฏ ๐๐๐๐1/ ๐๐๐๐, โฆ , ๐๐๐๐๐๐๐๐/๐๐๐๐ใฎ๐๐๐๐ๅใงใใ๏ผใใใจ๏ผไพใฎใทใณใใฌใใฏในใฎ้ข ใๅซใ่ถ ๅนณ้ขใฎๆน็จๅผใจใใฆ๏ผ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ = 0 (๐๐๐๐ = 1, โฆ , ๐๐๐๐)ใใใณ ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ1+ โฏ + ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐= 1ใฎ๐๐๐๐ + 1ๅใฎๆน็จๅผใๅพใใใ๏ผใใฎใทใณใ ใฌใใฏในใฏใใใ๐๐๐๐ + 1ๅใฎๆน็จๅผใซใใฃใฆๅฎ็พฉใใใ่ถ ๅนณ้ขใฎ็ญๅทใไธ็ญๅทโคใซๅคใใฆๅพใใใๅ็ฉบ้ใฎ็ฉ้ๅใจ ใใฆ๏ผH-ๅค้ขไฝใฎๆนๆณใงใไธใใใใจใใงใใ๏ผ ไธ่ฌใซ๏ผV-ๅค้ขไฝใฎ้ขใฎๆฐใฏ้ ็นใฎๆฐใซๅฏพใใฆๆๆฐ็ใซ ๅคใใชใใใจใใใ๏ผไพใจใใฆ๏ผๆญฃ่ปธไฝใจใใๅค้ขไฝใฏ๏ผ 2๐๐๐๐ๅใฎ็นยฑ๐๐๐๐1, โฆ , ยฑ๐๐๐๐๐๐๐๐ใฎๅธๅ ใคใพใconv({ยฑ๐๐๐๐1, โฆ , ยฑ๐๐๐๐๐๐๐๐})ใงใ ใ๏ผๆญฃ่ปธไฝใฎ้ขใ่ใใใจ๏ผๅค้ขไฝใฎๅ ้จใจๅค้จใๅใใ ้ขใงใใใซใฏ๏ผยฑ๐๐๐๐1, โฆ , ยฑ๐๐๐๐๐๐๐๐ใฎใใก๐๐๐๐ๅใฎๅธๅ ใงใใใใจใจ ้็ฌฆๅทใฎ้ ็น๐๐๐๐๐๐๐๐ใจโ๐๐๐๐๐๐๐๐ (๐๐๐๐ = 1, . . , ๐๐๐๐)ใๅๆใซๅซใพใชใใใจใ ๅฟ ่ฆๅๅๆกไปถใงใใ๏ผใใใจ๏ผๅยฑ ๐๐๐๐1, โฆ , ยฑ๐๐๐๐๐๐๐๐ใฎใใก็ฌฆๅทใฎ ้ธใณๆนใฎๆฐใ ใ้ขใใใใฎใง๏ผ2๐๐๐๐ๅใฎ้ขใใใใจใใใ๏ผ
5. ไฝ็ฉใฎ่จ็ฎ
ๅบๆฌ็ใชๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ็ดนไปใใใฎใก๏ผๆ่ฟใฎ็ตๆใซใค ใใฆ่ชฌๆใใ๏ผๅคใใฎ๐๐๐๐ๆฌกๅ ๅค้ขไฝใฏๅฎใฏไฝ็ฉใๆญฃ็ขบใซ่จ็ฎ ใใใใจใๅฐ้ฃใงใใ๏ผใใใงใฏใใใใตใใฏๅค้ขไฝ๏ผๅนพ ไฝๅๅฏพใใใใตใใฏๅค้ขไฝใ็ดนไปใใ๏ผใชใ๏ผ๐๐๐๐ๆฌกๅ ๅธไฝใฎ ไฝ็ฉใฏไนฑๆฐใ็จใใ่ฟไผผใขใซใดใชใบใ ใงๆฏ่ผ็้ซ้ใซ่ฟไผผ ใงใ๏ผ[5]ใซ็คบใใใใใใชใขใซใดใชใบใ ใ็ไผผไนฑๆฐใซใใฃ ใฆๅฎ่ฃ ใใฆ่งฃใใใจใ็พๅฎ็ใงใใใ๏ผไธๆนใง๏ผๆ่ฟใฎใ ใฌใณใใจใใฆใฏใไนฑๆฐใชใใงใฉใใพใง้ซ้ใชใขใซใดใชใบใ ใไฝใใใใใจใใ็นใ็่ซ็ใชๅด้ขใใๆณจ็ฎใใใฆใใ๏ผ ๆฌ็จฟใงใฏใใกใใฎ็่ซ็ใช็ซๅ ดใใใฎ็ตๆใ็ดนไปใใ๏ผ5.1. ๅบๆฌ็ใชๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉ
ใใคใใผใญใฅใผใใฎไฝ็ฉใฏไฝๆฌกๅ ใงใใใใจ1 ใงใใใ ใจใฏๅฎนๆใซใใใ๏ผใพใ๏ผ็ฉๅใ๐๐๐๐ๅ็นฐใ่ฟใใใจใซใใฃใฆ ใทใณใใฌใใฏในconv({0, ๐๐๐๐1, . . . , ๐๐๐๐๐๐๐๐})ใฎไฝ็ฉใฏ1/๐๐๐๐!ใจ็ญใใ ใใจใ็ขบ่ชใงใใ๏ผใพใ๏ผไปปๆใฎ๐๐๐๐ + 1็น๐๐๐๐0, ๐๐๐๐1, . . . , ๐๐๐๐๐๐๐๐ใฎๅธๅ ใจใใฆไธใใใใใทใณใใฌใใฏในconv({๐๐๐๐0, ๐๐๐๐1, . . . , ๐๐๐๐๐๐๐๐})ใฎไฝ ็ฉใฏ๏ผ๐๐๐๐1โ ๐๐๐๐0, . . . , ๐๐๐๐๐๐๐๐โ ๐๐๐๐0ใไธฆในใฆใงใใ๐๐๐๐ ร ๐๐๐๐่กๅ๐ด๐ด๐ด๐ดใฎ่กๅ ๅผใ็จใใฆ|๐ด๐ด๐ด๐ด|/๐๐๐๐!ใงใใ๏ผใใฎ่จ็ฎใซใฏๅคๅคๆฐใฎๅคๆฐๅคๆใฎ ๅ ฌๅผใ็จใใ๏ผๆญฃ่ปธไฝconv({ยฑ๐๐๐๐1, . . . , ยฑ๐๐๐๐๐๐๐๐})ใฎไฝ็ฉใๆฑใใ ใซใฏ๏ผใทใณใใฌใใฏในconv({0, ๐๐๐๐1, . . . , ๐๐๐๐๐๐๐๐})ใ2๐๐๐๐ๅ้ใพใฃใฆใ ใฎๆญฃ่ปธไฝใไฝใฃใฆใใใใจใซๆฐใไปใใฐ็ดใกใซ2๐๐๐๐/๐๐๐๐!ใงใ ใใใจใใใใ๏ผ5.2. ใใใใตใใฏๅค้ขไฝใจใใฎไฝ็ฉ
ใใใใตใใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่จ็ฎใใๅ้กใฏ๏ผ#P-ๅฐ้ฃใง ใใไฝ็ฉ่จ็ฎๅ้กใฎใใกๆใใทใณใใซใชใใฎใงใใ๏ผ๐๐๐๐ๆฌกๅ ใใฏใใซ๐๐๐๐ = (๐๐๐๐1, ๐๐๐๐2, . . . , ๐๐๐๐๐๐๐๐) โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ ใจๅฎๆฐ๐๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐ ๐ ใไธใใใใ ใจใ๏ผใใใใตใใฏๅค้ขไฝใฏ{๐๐๐๐ โ [0,1]๐๐๐๐| ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โค ๐๐๐๐} ใงใใ๏ผ #P-ๅฐ้ฃๆงใฎ่จผๆใฏ Dyer ใจ Frieze [6]ใซใใใใฎใง๏ผใใฎ ไฝ็ฉใๆญฃ็ขบใซ่จ็ฎใงใใใจ๏ผใใใใตใใฏๅ้กใจใใ NP-ๅฎๅ จๅ้กใฎ่งฃใฎๆฐใใใใใจใใใใฎใงใใ๏ผใใใใตใ ใฏๅค้ขไฝใฎไพใๅณ1 ใซ็คบใ๏ผ2 ๆฌกๅ ใ 3 ๆฌกๅ ใงใฏๅ้กใฏๅฐ ้ฃใงใฏใชใใ๏ผ้ซๆฌกๅ ใงใฏใฒใฉใๆ้ใฎใใใๅ้กใซใชใ๏ผ ใใใใตใใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่จ็ฎใใๅ้กใฏ#P-ๅฐ้ฃๅ ้กใฎไธญใง่ฏใๆง่ณชใๆใฃใฆใใ๏ผๅฎ่คใจๆฅๅถ[4]ใฏ๏ผๅฎ้ใฎ ๅคใฎ1 ยฑ ฯตๅไปฅๅ ใซๅใพใ่ฟไผผๅคใงใใใฐ๐๐๐๐3/๐๐๐๐ใซๆฏไพใใ ๆ้ใง่จ็ฎใๅฎไบใงใใใใจใ็คบใใ๏ผ ่ฟไผผใขใซใดใชใบใ ใฎใขใคใใฃใขใฏ๏ผใพใๅบ้[0,1]ไธใฎไธ ๆงๅๅธใซๅพใไบใใซ็ฌ็ซใช็ขบ็ๅคๆฐ๐๐๐๐1, . . . , ๐๐๐๐๐๐๐๐ใ็จใใฆ๏ผใ ใใใตใใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ็ขบ็Pr[๐๐๐๐1๐๐๐๐1+ โฏ + ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โค ๐๐๐๐]ใจ ็ญใใใใจใๅฉ็จใใ๏ผใใใงไธ็ญๅผใฎๅทฆ่พบใซใฆ1 ็ช็ฎใ ใ๐๐๐๐็ช็ฎใพใงใฎๅใ๐๐๐๐ไปฅไธใงใใ็ขบ็ใ่กจใ้ขๆฐฮฆ๐๐๐๐ (๐๐๐๐)ใ ฮฆ๐๐๐๐(๐๐๐๐) = Pr[๐๐๐๐1๐๐๐๐1+ โฏ + ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โค ๐๐๐๐]ใจๅฎ็พฉใใใจ๏ผ็ขบ็ๅคๆฐใฎ ๅใฎๅๅธ้ขๆฐใๆฑใใ้ใฎๅ ฌๅผใ็จใใฆ๏ผ ฮฆ๐๐๐๐(๐๐๐๐) = Pr[๐๐๐๐1๐๐๐๐1+ โฏ + ๐๐๐๐๐๐๐๐+1๐๐๐๐๐๐๐๐+1โค ๐๐๐๐] = ๏ฟฝ Pr[๐๐๐๐1๐๐๐๐1+ โฏ + ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โค ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐+1๐ ๐ ๐ ๐ ]๐๐๐๐(๐ ๐ ๐ ๐ )๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ ฮฆ๐๐๐๐(๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐+1๐ ๐ ๐ ๐ )๐๐๐๐(๐ ๐ ๐ ๐ )๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ใจๆธใใ๏ผใใ ใ๏ผ๐๐๐๐(๐ ๐ ๐ ๐ )ใฏไธๆงๅๅธใฎ็ขบ็ๅฏๅบฆ้ขๆฐใงใใ๏ผ ใใฎฮฆ๐๐๐๐(๐๐๐๐)ใ๐๐๐๐ = 1, . . . , ๐๐๐๐ใซใคใใฆ๐๐๐๐ใฎๅค้ ๅผๆ้ใง่จ็ฎใง ๅณ1. 2 ๆฌกๅ ใใใณ 3 ๆฌกๅ ใฎใใใใตใใฏๅค้ขไฝใฎไพใใใจใใใใตใใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใฏฮฆ๐๐๐๐(๐๐๐๐)ใงใใใ๏ผฮฆ๐๐๐๐(๐๐๐๐) ใ่จ็ฎใใใใจใฏๅฎนๆใงใฏใชใ๏ผใใฎ็็ฑใฏ๏ผฮฆ๐๐๐๐(๐๐๐๐)ใฏ๏ผ๐๐๐๐ใ ไธใคๅขใใใใณใซๅบๅใใๅใ ใซๅขใใฆใใพใใใใงใใ๏ผ ใใฎ่จ็ฎใฎๅฐ้ฃใใฏ๏ผใใคใใผใญใฅใผใใฎ้ ็นๆฐใ2๐๐๐๐ๅใ ใใใจใซ็ฑๆฅใใ๏ผ ใใใงไปๅใฎใขใคใใฃใขใฏไธ่ฟฐใฎ็ฉๅใใใ้ใซฮฆ๐๐๐๐(๐๐๐๐) ใ้ๆฎตใฎๅฝขใใใ้ขๆฐใง่ฟไผผใใ๏ผใใฎ้ๆฎต่ฟไผผใ่กใใ ใจใง๐๐๐๐ใซใคใใฆๆๆฐ็ใซๅขใใ้ขๆฐใฎๅบๅใใฎใใก๏ผไธ่ฆใช ๅบๅใใใใพใ้ฃใฐใใฆ่จ็ฎใงใใ๏ผใขใซใดใชใบใ ใฏใพใ ฮฆ1(๐๐๐๐)ใ้ๆฎต่ฟไผผใง็ฝฎใๆใใๅพ๏ผ็ฉๅใฎ็ตๆใใพใ้ๆฎต่ฟ ไผผใใ๏ผใใใ๐๐๐๐ๅ็นฐใ่ฟใใใจใงฮฆ๐๐๐๐(๐๐๐๐)ใฎ่ฟไผผๅคใๅพใใ๏ผ ๆญฃ็ขบใชๅคใจใฏๅฐใ็ฐใชใๅคใซใชใใใฎใฎ๏ผ้ๆฎต่ฟไผผใฎ้ๆฎต ใฎๆฎตๆฐใ2๐๐๐๐2/๐๐๐๐ๅ็จๅบฆใซๅขใใใใจใงๆญฃ็ขบใชๅคใฎ1 ยฑ ฯตๅไปฅ ๅ ใซใชใ๏ผ
5.3. ๅนพไฝๅๅฏพใใใใตใใฏๅค้ขไฝใจใใฎไฝ็ฉ
V-ๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใๆฑใใๅ้กใฎไธญใง๏ผ#P-ๅฐ้ฃใชใใฎใฎใ ใกๆใใทใณใใซใชใใฎใฏๆฌกใฎๅนพไฝๅๅฏพใใใใตใใฏๅค้ขไฝ ใฎ ไฝ ็ฉ ใ ๆฑ ใ ใ ๅ ้ก ใง ใ ใ ๏ผ๐๐๐๐ ๆฌก ๅ ๆด ๆฐ ใ ใฏ ใ ใซ ๐๐๐๐ = (๐๐๐๐1, ๐๐๐๐2, . . . , ๐๐๐๐๐๐๐๐) โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ใๅ ฅๅใจใใฆไธใใใใใจใ๏ผๅนพไฝๅๅฏพ ใใใใตใใฏๅค้ขไฝใฏconv({๐๐๐๐, ยฑ๐๐๐๐1, . . . , ยฑ๐๐๐๐๐๐๐๐})ใคใพใไธใคใฎ ็นใจๆญฃ่ปธไฝใฎๅธๅ ใงใใ๏ผ#P-ๅฐ้ฃๆงใฎ่จผๆใฏ Khachiyan [9]ใซใใใใฎใง๏ผใใฎไฝ็ฉใๆญฃ็ขบใซ่จ็ฎใงใใฆใใพใใจ๏ผ SUBSETSUM ๅ้กใจใใ NP-ๅฎๅ จๅ้กใฎ่งฃใฎๆฐใใใใ ใจใใใใฎใงใใ๏ผใชใ๏ผKhachiyan ใฏ็ทๅฝข่จ็ปๅ้กใซๅฏพ ใใ่งฃๆณใงใใๆฅๅไฝๆณใ่ๆกใใใฎใจๅไธไบบ็ฉใงใใ๏ผ ใใฎๅค้ขไฝใใๅนพไฝๅๅฏพใใใใตใใฏๅค้ขไฝใใจๅผใถใฎ ใฏๆฌกใฎๅนพไฝๅๅฏพใฎๅฎ็พฉใซใใ๏ผๅ็นใๅซใ็น้ๅ๐พ๐พ๐พ๐พ โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ใซ ๅฏพใใฆ๏ผ็น้ๅ๐พ๐พ๐พ๐พโใ๐พ๐พ๐พ๐พใฎๅนพไฝๅๅฏพใงใใใจใฏ๏ผ ๐พ๐พ๐พ๐พโ= {๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ |โ ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โ ๐พ๐พ๐พ๐พ, ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โ ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ โค 1} ใจใใใใจใงใใ๏ผไพใใฐ๏ผใใคใใผใญใฅใผใ[โ1,1]๐๐๐๐ใฎๅนพ ไฝๅๅฏพใฏๆญฃ่ปธไฝconv({ยฑ๐๐๐๐1, . . . , ยฑ๐๐๐๐๐๐๐๐})ใงใใ๏ผใใคใใผใญใฅ ใผใ[โ1,1]๐๐๐๐ใ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โค 1ใจใใไธ็ญๅผใงๅใฃใใใใใตใใฏ ๅค้ขไฝใฎๅนพไฝๅๅฏพใๅนพไฝๅๅฏพใใใใตใใฏๅค้ขไฝใงใใ๏ผ ๅนพไฝๅๅฏพใใใใตใใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใๅค้ ๅผๆ้ใง่ฟไผผ ใใใขใซใดใชใบใ [3]ใ็ดนไปใใ๏ผใใกใใฏ๐๐๐๐10/ฯต6ใซๆฏไพใ ใๆ้ใงๆญฃ็ขบใชๅคใฎ1 ยฑ ฯตๅไปฅๅ ใฎๅคใๅบๅใใ๏ผๅนพไฝๅๅฏพ ใใใใตใใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใซ้ขใใ่ฟไผผใขใซใดใชใบใ ใ่จญ ่จใใใซใใใ๏ผๆฌกใฎๆ้ ใงๅ้กใๅคๅฝขใใ๏ผ ใพใ๏ผๅณ2 ใฎใใใซๆญฃ่ปธไฝใๅฐใใใค็ธฎๅฐใใชใใ็น a ใซๅใใฃใฆไธฆในใใใจใ่ใใ๏ผๅฎ้ใซใฏใใใใฉใกใผใฟ ฮฒใ็จๆใใฆ๏ผๆๅใฎๆญฃ่ปธไฝใฏconv({ยฑ๐๐๐๐1, . . . , ยฑ๐๐๐๐๐๐๐๐})ใง๏ผ๐๐๐๐็ช็ฎ ใฎๆญฃ่ปธไฝใฎไธญๅฟๅบงๆจใ(1 โ ๐ฝ๐ฝ๐ฝ๐ฝ๐๐๐๐)๐๐๐๐ใจใ๏ผๅคงใใใฏๅ ใฎๆญฃ่ปธไฝ ใฮฒ๐๐๐๐ๅใใใใฎใซใใ๏ผใใฎๆญฃ่ปธไฝใฎๅใ็ก้ใซ็ถใใใจ๏ผ ็น๐๐๐๐ใซๅๆใใๆญฃ่ปธไฝใฎๅใใงใใ๏ผใใฎใใใชๅใ่ใ ใฆ๏ผ็ก้ใซใใๆญฃ่ปธไฝใฎๅใฎๅ้ๅใๅใใจ๏ผๅนพไฝๅๅฏพใ ใใใตใใฏๅค้ขไฝใ่ฟไผผใใๅค้ขไฝใซใชใ๏ผใใฎ่ฟไผผใฏฮฒใ 1 ใใๅ ใใซๅฐใใชๅคใซใใใจ๏ผๅ ใฎๅนพไฝๅๅฏพใใใใตใ ใฏๅค้ขไฝใซ่ฟใไฝ็ฉใซใชใ๏ผ ใใฎๆญฃ่ปธไฝใฎๅใใญใผใขใคใใฃใขใงใใ๏ผ็ฌฌไธใฎๆญฃ่ปธไฝ ใใ็ฌฌไบใฎๆญฃ่ปธไฝใจ้ใชใ้จๅใๅใ้คใใฆใงใใๅค้ขไฝ ใ่ใใใจ๏ผๅฎใฏ็ฌฌ๐๐๐๐็ช็ฎใฎๆญฃ่ปธไฝใใ็ฌฌ๐๐๐๐ + 1็ช็ฎใฎๆญฃ่ปธไฝ ใจ้ใชใ้จๅใๅใ้คใใฆใงใใๅค้ขไฝใฏใในใฆ็ธไผผๅฝขใซ ใชใ๏ผใใใงๅ้กใฏๅๅๅฐใใชฮฒใซใคใใฆ๏ผ็ฌฌไธใฎๆญฃ่ปธไฝใ ใ็ฌฌไบใฎๆญฃ่ปธไฝใ้ใชใ้จๅใๅใ้คใใฆใงใใๅค้ขไฝใฎ ไฝ็ฉใๆฑใใใฐๅ ฌๆฏฮฒใฎ็ก้็ดๆฐๅใฎๅ ฌๅผใ็จใใฆๆญฃ่ปธไฝ ใฎ็ก้ๅใฎไฝ็ฉใๅพใใใ๏ผใใฎ่จ็ฎใฎใใใซ๏ผ็ฌฌไธใจ็ฌฌ ไบใฎๆญฃ่ปธไฝใ้ใชใ้จๅใฎไฝ็ฉใ่ฟไผผใใใใจใง๏ผๅนพไฝๅ ๅฏพใใใใตใใฏๅ้กใฎไฝ็ฉใ่ฟไผผใงใใ๏ผ ใใฆ๏ผไบใคใฎๆญฃ่ปธไฝใ้ใชใ้จๅใฎไฝ็ฉใๆฑใใๅ้กใ ๅฎใฏ#P-ๅฐ้ฃใงใใใ๏ผ่ฟไผผใขใซใดใชใบใ ใฏใใใใตใใฏๅค ้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่ฟไผผใใใขใซใดใชใบใ ใ่ช็ถใซๆกๅผตใใๅฝขใง ๅพใใใ๏ผ่ฉณใใ่จใใจ๏ผไธญๅฟๅบงๆจ๐๐๐๐ = (๐๐๐๐1, . . . , ๐๐๐๐๐๐๐๐) โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ใงๅ ๅพ๐๐๐๐ใฎๆญฃ่ปธไฝใฏ ๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๏ฟฝ|๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐โ ๐๐๐๐๐๐๐๐| ๐๐๐๐ ๐๐๐๐=1 โค ๐๐๐๐ ๏ฟฝ ใจใใๅฝขใง่กจ็พใงใใ๏ผ็ตถๅฏพๅคใใใพใๅใๆฑใใฐ๏ผๆญฃ่ปธ ไฝใฏใใฃใไธใคใฎไธ็ญๅผใง่กจ็พใงใใๅค้ขไฝใงใใ๏ผไบใค ใฎๆญฃ่ปธไฝใ้ใชใ้จๅใฏไบใคใฎไธ็ญๅผใง่กจ็พใงใใๅค้ขไฝ ใงใใ๏ผใใใงๅ ่ฟฐใฎใใใใตใใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่ฟไผผใ ใใขใซใดใชใบใ ใๅฐใใ ใๆกๅผตใใฆ๏ผใใคใใผใญใฅใผใใ ใใณไบใคใฎๅ็ฉบ้ใฎ็ฉ้ๅใฎไฝ็ฉใ่ฟไผผใงใใ๏ผใใใฆๅ ๆงใซใใฆ๏ผไบใคใฎๆญฃ่ปธไฝใ้ใชใ้จๅใฎไฝ็ฉใ่ฟไผผใงใใ๏ผ ๅพใใใไฝ็ฉใ็ฌฌไธใฎๆญฃ่ปธไฝใฎไฝ็ฉ2๐๐๐๐/๐๐๐๐!ใใๅทฎใๅผใใ ใใฎใๅ้ ใจใ๏ผๅ ฌๆฏฮฒใฎ็ญๆฏ็ดๆฐใฎ็ก้ๅใๅ ฌๅผใงๆฑใใ ใจๅนพไฝๅๅฏพใใใใตใใฏๅค้ขไฝไฝ็ฉใฎ่ฟไผผๅคใๅพใ๏ผ ใขใคใใฃใขใฏไปฅไธใงใใใ๏ผใใฎใใใชใขใซใดใชใบใ ใ ็ใ้ใใฎ่ฟไผผๅคใๅบใใใจใ่จผๆใใใใจใๆใ้่ฆใช ็นใงใใ๏ผไปๅใฏ็นใซฮฒใฎๅคใฎๅใๆนใฎใใฉใณในใ้่ฆใงใ ใ๏ผฮฒใ 1 ใใ้ขใใฆใใใจๆญฃ่ปธไฝใฎ็ก้ๅใซใใๅธๅนใฎ ๅฝฑ้ฟใ็ก่ฆใงใใชใใชใ๏ผฮฒใ 1 ใซ่ฟใใจ๏ผ็ฌฌไธใจ็ฌฌไบใฎๆญฃ ่ปธไฝใฎๅทฎๅใฎไฝ็ฉใๅฐใใ๏ผ่ใ๏ผใชใ๏ผใใฎใใไบใคใฎ ๆญฃ่ปธไฝใฎ้ใชใ้จๅใฎไฝ็ฉใ็ฒพๅฏใซ่จ็ฎใใชใใฆใฏใชใใช ใ๏ผฮฒใๅคงใใใใฆใๅฐใใใใฆใ็ฎ็ใฎ่ฟไผผใขใซใดใชใบใ ใๅพใใใชใใ๏ผใใพใใใฉใณในใใจใใใจใง๐๐๐๐10/ฯต6ใซๆฏ ไพใใใจใใ๏ผๆฏ่ผ็ๅคงใใช่จ็ฎๆ้ใงใฏใใใ๏ผๅค้ ๅผ ๆ้ใงๅฎไบใใใขใซใดใชใบใ ใ็คบใใใจใใงใใ๏ผใขใซใด ใชใบใ ใฎๅฎ่กๆ้ใฎใปใจใใฉใฏๆญฃ่ปธไฝใฎ้ใชใ้จๅใฎไฝ็ฉ ใ่จ็ฎใใใจใใใซ่ฒปใใใใฆใใ๏ผ ๅณ2 ๅนพไฝๅๅฏพๅค้ขไฝ(2 ๆฌกๅ )ใจๆญฃ่ปธไฝใฎ็ก้ๅ๐๐๐๐
5.4. ๆ็ญ่ทฏๅ้กใจใฎ้ข้ฃ
ๅ้ ญใง่ฟฐในใๆ็ญ่ทฏใฎๅ้กใฏใฉใฎใใใชๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ ใใใ๏ผ้ๅธธ๏ผๆ็ญ่ทฏๅ้กใ่ใใ้ใซใฏ้ ็นใฎ้ๅ๐๐๐๐ใจ่พบ ใฎ ้ ๅ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ ใๆใค้ขๆฃใฐใฉใ๐บ๐บ๐บ๐บ = (๐๐๐๐, ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ)ใใใณ๏ผ่พบใฎ้ทใ โ: ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ โฆ ๐ ๐ ๐ ๐ ๏ผๅบ็บๅฐ็น๐ ๐ ๐ ๐ , ็ฎ็ๅฐ t ใๅ้กใจใใฆไธใใใใ (๐ ๐ ๐ ๐ , ๐ก๐ก๐ก๐ก, โ ๐๐๐๐)๏ผๅ่พบ๐๐๐๐ โ ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธใฎ้ทใโ(๐๐๐๐) ใ็ขบๅฎ็ใชๅคใงใใใฐใใค ใฏในใใฉๆณใ็จใใฆ๏ผ้ฉๅใชๅฎ่ฃ ใฎไธใง้ซ้ใซๆ็ญ่ทฏๅ้ก ใ่งฃใใใจใใงใใ๏ผ ใฐใฉใ๐บ๐บ๐บ๐บใ้่ทฏๅฐๅณใ่กจใใฆใใฆ๏ผ่พบ๐๐๐๐ โ ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธใ้่ทฏใฎใฒใจ ๅบ้ใ่กจใใฆใใๅ ดๅ๏ผใใ็พๅฎ็ใซ่ฟใใขใใซใ่ใใ ใใ๏ผๅ่พบใ้้ใใใฎใซใใใๆ้ใๆธๆป็ญใฎ็็ฑใงๅค ๅใใใใจใ่กจ็พใใ๏ผใใใง๏ผๅ่พบ๐๐๐๐ใฎ้ทใโ(๐๐๐๐)ใฏ็ขบ็ๅค ๆฐ๐๐๐๐๐๐๐๐ใงใใใจ่ใใ๏ผ็พๅฎใใใพใใขใใซๅใใใซใฏไฟก้ ผ ใงใใ็ตฑ่จใใผใฟใๅ ใซใใฆ็ขบ็ๅคๆฐ๐๐๐๐๐๐๐๐ใฎ็ขบ็ๅๅธ้ขๆฐใ ้ฉๅใซ่จญๅฎใใๅฟ ่ฆใใใใ๏ผใใใงใฏ0 ใใๅ่พบใซๆๅฎ ใใๅค๐๐๐๐๐๐๐๐ใพใงใฎๅฎๆฐใไธๆงใช็ขบ็ใงใจใๅ ดๅใ่ใใ๏ผใ ใฎๅ ดๅ๏ผ๐๐๐๐๐๐๐๐ใฏๅบ้[0,1]ใงไธๆงใซๅๅธใใฆใใฆ๏ผใฐใฉใ๐บ๐บ๐บ๐บใฎไธญ ใงๅง็น๐ ๐ ๐ ๐ ใใ็ต็น๐ก๐ก๐ก๐กใพใงใฎ้ๅ จไฝใฎ้ๅใฮ ใจใใใจ๏ผๆ็ญ่ทฏ ใฎ้ทใใๅฎๆฐ๐๐๐๐ไปฅไธใงใใ็ขบ็ใฏ็ขบ็ใฎๅฎ็พฉใใ Pr ๏ฟฝ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐โฯ โค ๐๐๐๐ ฯโฮ ๏ฟฝ = 1 โ Pr ๏ฟฝ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐โฯ > ๐๐๐๐ ฯโฮ ๏ฟฝ ใจๆธใใใจใใงใใ๏ผใใใจ๏ผๅณ่พบใซ็พใใ็ขบ็ใฏๅ จใฆใฎ ่พบ๐๐๐๐ โ ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธใซใคใใฆ0 โค ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐โค 1๏ผๅง็น๐ ๐ ๐ ๐ ใใ็ต็น๐ก๐ก๐ก๐กใพใงใฎๅ จใฆใฎ ้ฯ โ ฮ ใซใคใใฆโ๐๐๐๐โฯ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐ > ๐๐๐๐ใจใใไธ็ญๅผใง่กจใใใๅ ็ฉบ้ใในใฆใฎ็ฉ้ๅ๏ผๅค้ขไฝ๏ผใฎไฝ็ฉใ๏ผ|๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ|ๆฌกๅ ใฎ้ ๅ [0,1]|๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ|ใซๅ ใใๅฒๅใจไธ่ดใใ๏ผ ไพใใฐๅณ3 ใฎใใใชใฐใฉใใง๐ ๐ ๐ ๐ ใใ๐ก๐ก๐ก๐กใพใงใฎๆ็ญ่ทฏ้ทใใซ ใคใใฆ๏ผๆ็ญ่ทฏใฎ้ทใใ๐๐๐๐ไปฅไธใงใใ็ขบ็ใ่ใใ๏ผ ๅ่พบใฎ้ทใใฏ็ขบ็ๅคๆฐ๐๐๐๐, ๐๐๐๐, ๐๐๐๐ใง๏ผใใใใๅบ้[0,1]ไธใฎไธๆง ๅๅธใซๅพใ๏ผไบใใซ็ฌ็ซใจใใ๏ผใใใจๆ็ญ่ทฏใฎ้ทใใฎๅ ๅธ้ขๆฐใฏ1 โ Pr[๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ > ๐๐๐๐ โง ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ > ๐๐๐๐]ใงใใใ๏ผใใใฏใก ใใใฉ็ซๆนไฝ[0,1]3ใฎไฝ็ฉ 1 ใใ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ + ๐ง๐ง๐ง๐ง > ๐๐๐๐ใใค๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ + ๐ง๐ง๐ง๐ง > ๐๐๐๐ใจ ใใๆกไปถใๆบใใ้จๅใฎไฝ็ฉใๅทฎใๅผใใๅคใจ็ญใใ๏ผ ใใใใตใใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่ฟไผผใใใขใซใดใชใบใ ใๆก ๅผตใใใจ๏ผ้่ทฏใฎใชใๆๅใฐใฉใใซใใใฆ๏ผใในๅน ใจใใ ใใฉใกใผใฟใๅฐใใๅ ดๅใซๆ้ท่ทฏใฎ้ทใใฎ็ขบ็ๅๅธใฎ่จ็ฎ ใซใคใใฆ้ซ้ใช่ฟไผผใขใซใดใชใบใ ใ็คบใใ[3]๏ผใใในๅน ใ ๅฐใใใใจใฏ๏ผ็ด่ฆณ็ใซใฏ็ดฐ้ทใๅฝข็ถใฎใฐใฉใใจใใใ๏ผ ใใฎใขใซใดใชใบใ ใฏๅๆงใฎใฐใฉใใซใคใใฆๆ็ญ่ทฏใซใคใใฆ ใ้ฉ็จใงใใ๏ผใชใ๏ผ้่ทฏใฎใใ็กๅใฐใฉใใฎๆ็ญ่ทฏใซๅฏพ ใใฆๅฉ็จใงใใใขใซใดใชใบใ ใๅพใใซใฏ็ ฉ้ใชๆกๅผตใๅฟ ่ฆ ใงใใ๏ผ6. ใใใใซ
ๆฌ็จฟใงใฏ๏ผใใใใตใใฏๅค้ขไฝใใใณๅนพไฝๅๅฏพใใใใต ใใฏๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่ฟไผผ่จ็ฎใใๆนๆณใซใคใใฆ่ชฌๆใใ๏ผ ๆกๅผตใใๆ็ญ่ทฏๅ้กใจใฎ้ข้ฃใ็คบใใ๏ผ็พๅจใฎๆ๏ผๆฌ็จฟใฎ ่่ ใงใใๅฎ่คใฏๆฌๅญฆใใใใฏใผใฏๆ ๅ ฑๅญฆ้จใฎๅๅฑ็ฟไธๅ ๆๆใจๅ ฑๅ็ ็ฉถใจใใฆ๏ผ๐๐๐๐ๆฌกๅ ๅค้ขไฝใฎๅนพไฝๅๅฏพๆงใจไฝ็ฉใฎ ๅค้ ๅผๆ้่จ็ฎๅฏ่ฝๆงใซใคใใฆใฎ็ ็ฉถใ้ฒใใฆใใ๏ผๆฌ็จฟ ๅท็ญๆ็นใงใฏใใใซ๏ผไธใคใฎ็นใจไธใคใฎใใคใใผใญใฅใผใ ใฎๅธๅ ๏ผๆญฃ่ปธไฝใไธใคใฎๅ็ฉบ้ใงๅใๅใฃใฆใงใใๅค้ขไฝ ใฎไฝ็ฉใฎ่จ็ฎใซใคใใฆ็บ่กจไบๅฎใงใใ๏ผ็พๅจใฎๆ๏ผไบใใซ ๅนพไฝๅๅฏพใฎ้ขไฟใซใใๅค้ขไฝใฎไฝ็ฉใ่จ็ฎใใๅ้กใ่ใ ใๅ ดๅ๏ผใใฎๅ้กใฎ่จ็ฎ่ค้ใใฎใฏใฉในใไธกๆนใงไธ่ดใใ ใใฉใใใซใคใใฆ็ ็ฉถใ้ฒใใๆน้ใงใใ๏ผ ๅ่ๆ็ฎ[1] Complexity Zoo, <https://complexityzoo.uwaterloo.ca /Complexity_Zoo>, (ๅ็ ง 2019-1-7)
[2] E. Ando, S. Kijima (2017) An FPTAS for the Volume of Some V -polytopes - It is Hard to Compute the Volume of the Intersection of Two Cross-Polytopes.
Proc. of COCOON 2017, LNCS 10392, pp. 13-24. [3] E. Ando (2017) An FPTAS for Computing the
Distribution Function of the Longest Path Length in DAGs with Uniformly Distributed Edge Lengths,
Proc. of WALCOM 2017, LNCS 10167, pp. 421-432. [4] E. Ando and S. Kijima (2016) An FPTAS for the
Volume Computation of 0-1 Knapsack Polytopes Based on Approximate Convolution, Algorithmica, Vol. 76, Issue 4, pp 1245-1263.
[5] B. Cousins, S. Vempala (2015) Bypassing, K.L.S.: Gaussian cooling and an ๐๐๐๐โ(๐๐๐๐3) volume algorithm,
Proc. of STOC 2015, pp. 539-548.
[6] M. Dyer and A. Frieze (1988) On the complexity of computing the volume of a polyhedron, SIAM Journal on Computing, 17(5), 967-974.
[7] W. Feller (1968) An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley.
[8] M. Garey and D. Johnson (1979) Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP Completeness, W. H. Freeman and Company.
[9] L. Khachiyan (1989) The problem of computing the volume of polytopes is #P-hard, Uspekhi Mat. Nauk., 44, pp. 199-200.
[10] L.G.Valiant (1979) The complexity of computing the permanent, Theoretical Computer Science, 8, pp. 189-201. ๅณ3 ๆ็ญ่ทฏ้ทใใฎ็ขบ็ๅๅธใๆฑใใไพ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ก๐ก๐ก๐ก