Integrales Multiples

(1)

Integración Múltiple

de Ecuaciones

Diferenciales

MÓDULO DE CÁLCULO

VECTORIAL.



Nivel y Paralelo:

4° “B” Electrónica 4° “B” Electrónica



Docente:

Ing. Freddy Robalino.

INTEGRANTES:

 

Abigail

Aldas

 

Christian

Guaman

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(3)



Título

Título: :

Integración

Integración Múltiple

Múltiple de

de

Ecuaciones

Ecuaciones Diferenciales

Diferenciales



Carrera:

Electrónica

Electrónica y

y Comunicaciones.

Comunicaciones.



Área Académica:

Análisis

Análisis matemático.

matemático.



Ciclo Académico y Paralelo:

Cuarto “B” ElectrónicaCuarto “B” Electrónica



Alumnos participantes:

Abigail

Abigail Aldas

Aldas

Christian Guamán



Módulo:

Cálculo

Cálculo Vectorial

Vectorial



(4)

(5)

I.

I. INFORME INFORME DEL DEL PROYECTOPROYECTO

1. PP 1. PP 2. YY 2. YY 2.1 Título 2.1 Título

Integración Múltiple Ecuaciones

Integración Múltiple Ecuaciones DiferencialesDiferenciales

2.2 Objetivos: 2.2 Objetivos:

Objetivo General: Objetivo General:



 Conocer y enteConocer y entender las principales nder las principales aplicaciones de aplicaciones de las integraleslas integrales

múltiples. múltiples.

Objetivos Específicos: Objetivos Específicos:



 Aprender el Aprender el uso de las uso de las integrales dobles integrales dobles en aplicacioen aplicaciones geométricanes geométricass

de uso cotidiano de uso cotidiano



 Aprender el Aprender el uso de las uso de las integrales triples integrales triples en aplicaciones en aplicaciones geométricas geométricas dede

uso cotidiano uso cotidiano 2.3 Resumen

2.3 Resumen Una

Una integral múltipleintegral múltiple es un tipo de integral es un tipo de integral definidadefinida ap aplicada licada a funcioa funciones dnes dee

más de una variable real, por ejemplo,





ó ó





..

Es

Es importante importante destacar destacar que que no no es es posible posible calcular calcular la la funciónfunción primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples

integrales múltiples indefinidasindefinidas no existen. no existen.

2.4

2.4 Palabras Palabras clave:clave:

Integración parcial, Integración sucesiva Integración parcial, Integración sucesiva 2.5 Introducción

(6)

(7)

puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función

función





definida en una región del espacio xyz, el resultado es definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si

un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si





el resultado se el resultado se

puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

de dimensiones cada vez superiores. 2.6

2.6 Marco Marco teórico.teórico.

Teniendo una expresión diferencial que contiene dos o mas variables Teniendo una expresión diferencial que contiene dos o mas variables independientes, la integramos considerando en primer lugar que una sola de independientes, la integramos considerando en primer lugar que una sola de ella varia, y que todas las otras son constantes. Entonces integramos el ella varia, y que todas las otras son constantes. Entonces integramos el resultado dejando variar alguna otra de las variables y manteniendo las otras resultado dejando variar alguna otra de las variables y manteniendo las otras como constantes, y así sucesivamente. Tales Integrales se llaman dobles, como constantes, y así sucesivamente. Tales Integrales se llaman dobles, triples,etc.

triples,etc.

Según el número de variables, y en

Según el número de variables, y en general integrales múltiples.general integrales múltiples.

En la resolución de este problema no

En la resolución de este problema no hay nada nuevo excepto que la constantehay nada nuevo excepto que la constante

de integración tiene una forma nueva. de integración tiene una forma nueva.

Ilustraremos esto por medio de ejemplos, supongamos que deseamos hallar u Ilustraremos esto por medio de ejemplos, supongamos que deseamos hallar u dado.

dado.



 



Integrando con respecto a x, considerando y como constante, tenemos Integrando con respecto a x, considerando y como constante, tenemos

  



_{}

En donde



representa la constante de i representa la constante de integración. Pero, puesto quentegración. Pero, puesto que durante esta integración y se consideró como constante,

durante esta integración y se consideró como constante,



puede contener puede contener

y. y.

Indicaremos que



depende de y, reemplazando depende de y, reemplazando



por el símbolopor el símbolo



.. En consecuencia, la forma mas general de

En consecuencia, la forma mas general de



es es

  



_{}

.. Ejemplo:

Ejemplo:

  ∬∬

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



Esto quiere decir que deseamos hallar



, dado, dado



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

  







Integrando en primer lugar con respecto a



, considerando, considerando



como como

constante, obtenemos constante, obtenemos

(8)

(9)

Integrando ahora este resultado con respecto a



, considerando, considerando



como como

constante, tenemos constante, tenemos

 





_



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

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





unciónunción En donde

En donde



) es una función arbitraria de) es una función arbitraria de



, y, y

 ∫

∫

Aplicaciones de las integrales dobles. Aplicaciones de las integrales dobles.



 Área Área de de una una figura figura plana.plana. 

 Volumen Volumen de de un un sólido sólido en en el el espacio.espacio. 

 Masa Masa de de una una figura figura plana.plana. 

 Momentos Momentos estáticos estáticos de de una una figura figura plana.plana. 

 Centro Centro de de masa masa de de una una figura figura planaplana 

 Momentos Momentos de de Inercia Inercia de de una una figura figura planaplana

Aplicaciones de las integrales triples. Aplicaciones de las integrales triples.



 Volumen Volumen de de un un sólido sólido en en el el espacio.espacio. 

 Masa Masa de de un un sólido sólido en en el el espacio.espacio. 

 Momentos Momentos estáticos estáticos de de un un sólido sólido en en el el espacio.espacio. 

 Centro Centro de de masa masa de de un un sólido sólido en en el el espacio.espacio. 

 Momentos Momentos de de inercia inercia de de un un sólido sólido en en el eel espacio.spacio.

2.7 Procedimiento 2.7 Procedimiento

1.

1. Chequear el Chequear el número de número de variables indepvariables independientes en endientes en la ecuación.la ecuación. 2.

2. Aplicar la deAplicar la definición de integral finición de integral múltiple de ecmúltiple de ecuaciones diuaciones diferenciales.ferenciales. 3.

3. Integrar parcialmente con respecto a “x”.Integrar parcialmente con respecto a “x”.

4.

4. Integrar parcialmente con respecto a “y”.Integrar parcialmente con respecto a “y”.

5.

5. Se determina Se determina la solución la solución de la de la ecuación ecuación diferencial.diferencial. a.

(10)

(11)

∫∫ ∫∫

_



_

√ √ 





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



 ∫ ∫

∫ ∫

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

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



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



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_



_

√ √ 











∫

∫

_

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_{√ √ }



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

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 ∫ ( √ √ 

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

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

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

_{ ))}





 

_



Interpretando geométricamente el resultado, hemos determinado el volumen Interpretando geométricamente el resultado, hemos determinado el volumen Del solido de la forma cilíndrica (fig. 219) cuya base es OAB y limitado en su Del solido de la forma cilíndrica (fig. 219) cuya base es OAB y limitado en su parte superior por el plano

parte superior por el plano

    

..

Ejemplo Integral doble Ejemplo Integral doble

Encuentre el centro de masa de

Encuentre el centro de masa de un solido de densidad que esta acotado por elun solido de densidad que esta acotado por el

cilindro parabólico

  



y los planos y los planos

  

       

.. Entonces, si la densidad es

Entonces, si la densidad es



  

, la masa es, la masa es

 

 ∭

∭ 

 ∫∫ ∫∫ ∫∫ 

_



_



_

_





 ∫

∫ ∫∫ 

_



_



_

  ∫ 

  ∫ 

_



_



_{  }

  





(12)

(13)

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL

PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013

PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013_–_{– FEBRERO/2014} FEBRERO/2014

b. Conclusiones



 Las integrales múltiples son ideales para resolver problemas con centrosLas integrales múltiples son ideales para resolver problemas con centros

de masa en sólidos, ya que permite incluir sus tres variables que lo de masa en sólidos, ya que permite incluir sus tres variables que lo definen(x,y,z).

definen(x,y,z).



 Las integrales triples permiten calcular la resistencia que presenta unLas integrales triples permiten calcular la resistencia que presenta un

solido al querer adquirir una

solido al querer adquirir una aceleración rotacional.aceleración rotacional.



 Podemos integrar una ecuación diferencial cierto número de vecesPodemos integrar una ecuación diferencial cierto número de veces

dependiendo del número de

dependiendo del número de variables independientes que existan.variables independientes que existan.

c.

c. Referencias Referencias bibliográficas.bibliográficas.

Granville, William Anthony, Calculo Diferencial e Integral, México, Limusa, 2009 Granville, William Anthony, Calculo Diferencial e Integral, México, Limusa, 2009