Available online throug
ISSN 2229 β 5046COEFFICIENT INEQUALITIES FOR GENERALIZED SAKAGUCHI TYPE
MULTIVALENT FUNCTIONS
Ruchi Mathur
1*& Deepa Sinha
21
Jaipur Engineering College and Research Centre, Jaipur, India
2
Centre for Mathematical Sciences, Banasthali University, Banasthali, India
(Received on: 08-06-12; Revised & Accepted on: 30-06-12)
ABSTRACT
I
n this paper we have studied two subclasses ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘)and ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘)concerning with generalized Sakaguchi type functions in the open unit disc U, further by using the coefficient inequalities for the classes ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘) and ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘), two subclasses ππππ0(πΌπΌ,π π ,π‘π‘) and ππππ0(πΌπΌ,π π ,π‘π‘)are defined. Some properties of functions belonging to the class ππππ0(πΌπΌ,π π ,π‘π‘) and ππππ0(πΌπΌ,π π ,π‘π‘) are also discussed.Keywords: Analytic functions; Starlike functions; Convex functions; Sakaguchi function; Coefficient inequalities.
2010 Mathematics Subject Classification; 26D10, 26A33, 44A15.
1. INTRODUCTION
Let π΄π΄ππbe the class of the form
ππ(π§π§) =π§π§ππ+β ππ ππ+πππ§π§ππ+ππ β
ππ=1 (1.1)
that are analytic in the open unit disc U={zβ C: |z|<1}. A function ππ(π§π§)β π΄π΄ππ is said to be in the class ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘) defined by Frasin [1] if it satisfies
ReοΏ½ππ((π π βπ‘π‘π π π§π§))βπππ§π§ππβ²((π‘π‘π§π§π§π§))οΏ½>πΌπΌ (1.2)
for some Ξ±(0β€ Ξ± < 1), π π ,π‘π‘ βC,π π β π‘π‘and for all z βU. For ππ= 1andπ π = 1, the class ππ1(πΌπΌ, 1,π‘π‘) =ππ(πΌπΌ, 1,π‘π‘)was introduced and studied by Owa et al.[4], and by takingπ‘π‘=β1, the class ππ1(πΌπΌ, 1,β1) =πππ π (πΌπΌ)was introduced by Sakaguchi [3] and is called Sakaguchi function of order Ξ± (see [1],[5]), where πππ π (0) = πππ π is the class of starlike functions with respect to symmetrical points in U. We also denote by ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘) the subclass of π΄π΄ππ consisting of all functions ππ(π§π§) such that π§π§ππβ²(π§π§)βππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘). Also, we note that ππ1(πΌπΌ, 1,0) =ππβ(πΌπΌ) and ππ1(πΌπΌ, 1,0) =ππβ(πΌπΌ) which are, respectively, the familiar classes of starlike functions of order Ξ±(0β€ Ξ± <1) and convex functions of order Ξ±(0β€ Ξ± <1).
2. COEFFICINT INEQUALITIES FOR SUBCLASSES πΊπΊππππ(πΆπΆ,ππ,ππ) AND π»π»ππππ(πΆπΆ,ππ,ππ)
We first prove the following two theorems which are similar to the result of Cho et al.[3] and Owa et al.[4]
Theorem 2.1: Ifππ(π§π§)β π΄π΄ππ satisfies
βππβ=1οΏ½οΏ½ππ+ππ β π’π’ππ+πποΏ½+ (1β πΌπΌ)οΏ½π’π’ππ+πποΏ½οΏ½οΏ½ππππ+πποΏ½ β€ ππ β πΌπΌοΏ½π’π’πποΏ½ (2.1)
for some Ξ± (0 β€ Ξ± <1), then ππ(π§π§)β ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘) where
π’π’ππ = βππππ=1π π ππβπππ‘π‘ππ β1 (2.2)
Corresponding author: Ruchi Mathur1*
Proof: To prove Theorem 2.1, we show that if ππ(π§π§) satisfies (2.1) then
οΏ½ππ(π π β π‘π‘(π π π§π§)β ππ)π§π§ππ(β²(π‘π‘π§π§π§π§))β1οΏ½< 1β πΌπΌ
Evidently, since
(π π β π‘π‘)π§π§ππβ²(π§π§) ππ(π π π§π§)β ππ(π‘π‘π§π§)β1 =
(π π β π‘π‘)οΏ½πππ§π§ππ+β (ππ+ππ)ππ
ππ+πππ§π§ππ+ππ
β
ππ=1 οΏ½
οΏ½(π π π§π§)ππ+β ππ
ππ+ππ(π π π§π§)ππ+ππ
β
ππ=1 οΏ½ β οΏ½(π‘π‘π§π§)ππ+ββππ=1ππππ+ππ(π‘π‘π§π§)ππ+πποΏ½β1
=οΏ½ππ β π’π’πποΏ½π§π§π’π’ππ+ββππ=1οΏ½ππ+ππ β π’π’ππ+πποΏ½ππππ+πππ§π§ππ+ππ πππ§π§ππ+βππβ=1π’π’ππ+ππππππ+πππ§π§ππ+ππ
We see that
οΏ½ππ(π π β π‘π‘(π π π§π§)β ππ)π§π§ππβ²((π‘π‘π§π§π§π§))β1οΏ½ β€οΏ½ππ β π’π’πποΏ½+βππβ=1οΏ½ππ+ππ β π’π’ππ+πποΏ½οΏ½ππππ+πποΏ½ οΏ½π’π’πποΏ½+βππβ=1οΏ½π’π’ππ+πποΏ½οΏ½ππππ+πποΏ½
Therefore, if ππ(π§π§) satisfies (2.1), then we have
οΏ½ππ β π’π’πποΏ½+βππβ=1οΏ½ππ+ππ β π’π’ππ+πποΏ½οΏ½ππππ+πποΏ½π§π§ππ+ππ
οΏ½π’π’πποΏ½+ββππ=1οΏ½π’π’ππ+πποΏ½οΏ½ππππ+πποΏ½ β€1β πΌπΌ
This completes the proof of Theorem 2.1.
Theorem 2.2: If ππ(π§π§)β π΄π΄ππ satisfies
ββππ=1(ππ+ππ)οΏ½οΏ½ππ+ππ β π’π’ππ+πποΏ½+ (1β πΌπΌ)οΏ½π’π’ππ+πποΏ½οΏ½ππππ+πποΏ½οΏ½β€ ππ2β πΌπΌπποΏ½π’π’πποΏ½ (2.3) or some Ξ±(0β€ Ξ± <1), then ππ(π§π§)βππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘).
Proof: Noting that ππ(π§π§)β ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘) if and only if π§π§ππβ²(π§π§)βππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘), we can prove Theorem 2.2.
We now define
ππππ0(πΌπΌ,π π ,π‘π‘) =οΏ½ππ(π§π§)β π΄π΄ππsuch thatππ(π§π§)satisfies (ππ.ππ)οΏ½
ππππ0(πΌπΌ,π π ,π‘π‘) =οΏ½ππ(π§π§)β π΄π΄ππsuch thatππ(π§π§)satisfies (ππ.ππ)οΏ½
3. COEFFICIENT INEQUALITIES FOR SUBCLASSES πΊπΊππ(πΆπΆ,ππ,ππ) AND π»π»ππ(πΆπΆ,ππ,ππ)
Next applying Caratheodry function ππ(π§π§)defined by
ππ(π§π§) = 1 +ββππ=1πππππ§π§ππ (3.1)
We discuss the coefficient inequalities for functions ππ(π§π§) in ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘) and ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘).
Theorem 3.1: If ππ(π§π§)β ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘), then
οΏ½ππππ+πποΏ½ β€οΏ½πππ½π½οΏ½π’π’ππ+πππποΏ½οΏ½οΏ½1 +π½π½ β οΏ½π’π’οΏ½πππππποΏ½οΏ½+π½π½2β β οΏ½π’π’οΏ½ππππππ1π’π’ππ2οΏ½
1ππππ2οΏ½+β―+π½π½
ππβ1
ππ+ππβ2
ππ1=ππ+1
ππ+ππβ1
ππ2>ππ1 β
οΏ½π’π’πποΏ½ οΏ½πππποΏ½ ππ+ππβ1
ππ=ππ+1
ππ+ππβ1
ππ=ππ+1 οΏ½ (3.2)
where
π½π½= 2οΏ½ππ β πΌπΌπ’π’πποΏ½, ππππ =πππ’π’ππβ πππ’π’ππ (3.3)
for some Ξ±(0β€ Ξ± <1), π π ,π‘π‘ βC,π π β π‘π‘.
Proof: We define the function ππ(π§π§) by
Ο(z) = π’π’ππ οΏ½ππβπΌπΌπ’π’πποΏ½οΏ½
(π π βπ‘π‘)π§π§ππβ²(π§π§)
forππ(π§π§)β ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘). Then ππ(π§π§) is caratheodry function and satisfies
|ππππ|β€2 (ππ β₯1) (3.5)
Since
(π π β π‘π‘)π§π§ππβ²(π§π§) = {ππ(π π π§π§)β ππ(π‘π‘π§π§)}οΏ½πΌπΌ+οΏ½ππ β πΌπΌπ’π’πποΏ½
π’π’ππ ππ(π§π§)οΏ½ we have
(π π β π‘π‘)π§π§πποΏ½ππ+οΏ½(ππ+ππ)ππ ππ+πππ§π§ππ
β
ππ=1
οΏ½=π§π§πποΏ½(π π ππβ π‘π‘ππ) +οΏ½(π π ππ+ππβ π‘π‘ππ+ππ)ππ ππ+πππ§π§ππ
β
ππ=1
οΏ½ οΏ½π’π’ππ
ππ+
οΏ½ππ β πΌπΌπ’π’πποΏ½
π’π’ππ οΏ½ πππππ§π§ ππ
β
ππ=1
οΏ½
π’π’πποΏ½ππ+οΏ½(ππ+ππ)ππππ+πππ§π§ππ
β
ππ=1
οΏ½=οΏ½π’π’ππ+οΏ½ π’π’ππ+ππππππ+πππ§π§ππ
β
ππ=1
οΏ½ οΏ½ππ+ (ππ β πΌπΌπ’π’ππ)οΏ½ πππππ§π§ππ
β
ππ=1
οΏ½
So we get
ππππ+ππ =((ππ+ππ(ππβπΌπΌπ’π’)π’π’ππβπππ’π’ππ)ππ+ππ)οΏ½π’π’ππ+ππβ1ππππ+ππβ1ππ1+π’π’ππ+ππβ2ππππ+ππβ2ππ2+β―+π’π’ππ+1ππππ+1ππππβ1+π’π’πππππποΏ½ (3.6)
From equation (3.6), we easily have that
οΏ½ππππ+1οΏ½=οΏ½((ππ+ 1)οΏ½ππ β πΌπΌπ’π’π’π’ πποΏ½
ππβ πππ’π’ππ+1)ππ1π’π’πποΏ½ β€2οΏ½οΏ½ππ β πΌπΌπ’π’πποΏ½οΏ½ οΏ½
οΏ½π’π’πποΏ½
οΏ½(ππ+ 1)π’π’ππβ πππ’π’ππ+1οΏ½οΏ½
οΏ½ππππ+2οΏ½=οΏ½((ππ+ 2)οΏ½ππ β πΌπΌπ’π’π’π’ πποΏ½
ππβ πππ’π’ππ+2)οΏ½ππ2π’π’ππ+π’π’ππ+1ππππ+1ππ1οΏ½οΏ½
β€ 2οΏ½ππβπΌπΌπ’π’πποΏ½οΏ½π’π’πποΏ½
οΏ½(ππ+2)π’π’ππβπππ’π’ππ+2οΏ½οΏ½1 + 2(ππ β πΌπΌπ’π’ππ)
οΏ½π’π’ππ+1οΏ½
οΏ½((ππ+1)π’π’ππβπππ’π’ππ+1)οΏ½οΏ½
οΏ½ππππ+3οΏ½ β€οΏ½(ππ2οΏ½ππ β πΌπΌπ’π’+ 3)π’π’ πποΏ½οΏ½π’π’πποΏ½
ππβ πππ’π’ππ+3οΏ½οΏ½1 +
2οΏ½ππ β πΌπΌπ’π’πποΏ½οΏ½π’π’ππ+1οΏ½
οΏ½οΏ½(ππ+ 1)π’π’ππβ πππ’π’ππ+1οΏ½οΏ½
+ 2οΏ½ππ β πΌπΌπ’π’πποΏ½οΏ½π’π’ππ+2οΏ½ οΏ½οΏ½(ππ+ 2)π’π’ππβ πππ’π’ππ+2οΏ½οΏ½
+ 22(ππ β πΌπΌπ’π’ππ)2οΏ½π’π’ππ+1οΏ½οΏ½π’π’ππ+2οΏ½
οΏ½((ππ+ 1)π’π’ππβ πππ’π’ππ+1)οΏ½οΏ½((ππ+ 2)π’π’ππβ πππ’π’ππ+2)οΏ½οΏ½
Thus, using mathematical induction, we obtain the inequality (3.2).
Remark (1): Equality in Theorem (3.1) are attended for the function f(z) given by
(π π βπ‘π‘)π§π§ππβ²(π§π§)
ππ(π π π§π§)βππ(π‘π‘π§π§)= 1 + (1β2πΌπΌ)π§π§
1βπ§π§ (3.7)
Remark (2): If we put π π = 1,ππ= 1,πΌπΌ= 0,π‘π‘= 0 in Theorem (3.1), then we have well known result
ππ(π§π§)β ππββ|ππππ| β€ ππwhereππβis a usual starlike class
And if we put π π = 1,ππ= 1,πΌπΌ= 0,π‘π‘=β1, then we have the results due to Sakaguchi [2].
ππ(π§π§)β ππππππ β|ππππ|β€1 where STSis Sakaguchi function class.
For the function class ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘)similarly we have,
Theorem 3.2: If ππ(π§π§)β ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘), then
οΏ½ππππ+πποΏ½ β€(ππ+π½π½ππ οΏ½π’π’ππ)οΏ½πππππποΏ½+πποΏ½οΏ½1 +π½π½ β οΏ½π’π’οΏ½πππππποΏ½οΏ½+π½π½2β β οΏ½π’π’οΏ½ππππππ1π’π’ππ2οΏ½
1ππππ2οΏ½+β―+π½π½
ππβ2
ππ+ππβ2
ππ1=ππ+1
ππ+ππβ1
ππ2>ππ1 β
οΏ½π’π’πποΏ½ οΏ½πππποΏ½ ππ+ππβ1
ππ=ππ+1
ππ+ππβ1
4. DISTORTION INEQUALITIES FOR SUBCLASSES πΊπΊππππ(πΆπΆ,ππ,ππ) AND π»π»ππππ(πΆπΆ,ππ,ππ)
For functions f(z) in the classes ππππ0(πΌπΌ,π π ,π‘π‘) and ππππ0(πΌπΌ,π π ,π‘π‘)we derive
Theorem 4.1: If ππ(π§π§)β ππππ0(πΌπΌ,π π ,π‘π‘), then
|π§π§|ππβ β οΏ½ππ ππ+πποΏ½ ππ
ππ=1 |π§π§|ππ+ππβ π΄π΄ππ|π§π§|ππ+ππ+1β€|π§π§|ππ+βππππ=1οΏ½ππππ+πποΏ½|π§π§|ππ+ππ+π΄π΄ππ|π§π§|ππ+ππ+1 (4.1)
Where
π΄π΄ππ =ππβπΌπΌοΏ½π’π’πποΏ½ββ οΏ½οΏ½ππ+ππβπ’π’ππ+πποΏ½+(1βπΌπΌ)οΏ½π’π’ππ+πποΏ½οΏ½οΏ½ππππ+πποΏ½ ππ
ππ=1
ππ+ππ+1βπΌπΌοΏ½π’π’ππ+πποΏ½ (ππ β₯1) (4.2)
Proof: From the inequality 2.1, we know that
ββππ=ππ+1οΏ½οΏ½ππ+ππ β π’π’ππ+πποΏ½+ (1β πΌπΌ)οΏ½π’π’ππ+πποΏ½οΏ½οΏ½ππππ+πποΏ½ β€ ππ β πΌπΌοΏ½π’π’πποΏ½ β βππππ=1οΏ½οΏ½ππ+ππ β π’π’ππ+πποΏ½+ (1β πΌπΌ)οΏ½π’π’ππ+πποΏ½οΏ½οΏ½ππππ+πποΏ½
On the other hand we know that,
οΏ½οΏ½ππ+ππ β π’π’ππ+πποΏ½+ (1β πΌπΌ)οΏ½π’π’ππ+πποΏ½οΏ½οΏ½ππππ+πποΏ½ β₯ ππ+ππ β πΌπΌοΏ½π’π’ππ+πποΏ½
and hence ππ+ππ β πΌπΌοΏ½π’π’ππ+πποΏ½ is monotonically increasing with respect toππ. Thus we deduce
ππ+ππ+ 1β πΌπΌοΏ½π’π’ππ+πποΏ½ ββππ=ππ+1οΏ½ππππ+πποΏ½ β€ ππ β πΌπΌοΏ½π’π’πποΏ½ β βππππ=1οΏ½οΏ½ππ+ππ β π’π’ππ+πποΏ½+ (1β πΌπΌ)οΏ½π’π’ππ+πποΏ½οΏ½οΏ½ππππ+πποΏ½
which implies that therefore
οΏ½ οΏ½ππππ+πποΏ½
β
ππ=ππ+1
β€ π΄π΄ππ
Therefore we have that
|ππ(π§π§)|β€|π§π§|ππ+οΏ½οΏ½ππ ππ+πποΏ½ ππ
ππ=1
|π§π§|ππ+ππ+π΄π΄
ππ|π§π§|ππ+ππ+1
And
|ππ(π§π§)|β₯|π§π§|ππβ οΏ½οΏ½ππ ππ+πποΏ½ ππ
ππ=1
|π§π§|ππ+ππβ π΄π΄
ππ|π§π§|ππ+ππ+1
This completes the proof.
For function ππππ(πΌπΌ,π π ,π‘π‘), similarly we have,
Theorem 4.2: If ππ(π§π§)β ππππ0(πΌπΌ,π π ,π‘π‘), then
|π§π§|ππβ β οΏ½ππ ππ+πποΏ½ ππ
ππ=1 |π§π§|ππ+ππβ π΅π΅ππ|π§π§|ππ+ππ+1β€|ππ(π§π§)|β€|π§π§|ππ+βππππ=1οΏ½ππππ+πποΏ½|π§π§|ππ+ππ+π΅π΅ππ|π§π§|ππ+ππ+1 (4.4)
And
ππ|π§π§|ππβ1β β (ππ+ππ)οΏ½ππ
ππ+πποΏ½|π§π§|ππ+ππβ1β πΆπΆππ|π§π§|ππ+ππ β€ οΏ½ππβ²(π§π§)οΏ½ ππ
ππ=1 β€ ππ|π§π§|ππβ1+βππππ=1(ππ+ππ)οΏ½ππππ+πποΏ½|π§π§|ππ+ππβ1+πΆπΆππ|π§π§|ππ+ππ(4.5)
where
π΅π΅
ππ=
ππ2βπΌπΌπποΏ½π’π’πποΏ½ββππ (ππ+ππ)οΏ½οΏ½οΏ½ππ+ππβπ’π’ππ+πποΏ½+(1βπΌπΌ)οΏ½π’π’ππ+πποΏ½οΏ½οΏ½ππππ+πποΏ½οΏ½ ππ=1
(ππ+ππ+1)οΏ½ππ+ππ+1βπΌπΌοΏ½π’π’ππ+πποΏ½οΏ½
(4.6)
and
πΆπΆ
ππ=
ππ2βπΌπΌππ οΏ½π’π’πποΏ½ββππ (ππ+ππ)οΏ½οΏ½οΏ½ππ+ππβπ’π’ππ+πποΏ½+(1βπΌπΌ)οΏ½π’π’ππ+πποΏ½οΏ½οΏ½ππππ+πποΏ½οΏ½ ππ=1
ACKNOWLEDGEMENT
Authors are thankful to Prof. S.P. Goyal, Emeritus Scientist (CSIR), University of Rajasthan, Jaipur, INDIA, for his kind help and valuable suggesstions during the preparation of this paper.
REFERENCES
[1] B. A. Frasin.: Coefficient Inequalities for Certain Classes of Sakaguchi Type Functions, International J. Nonlinear Science, 10 (2010), No.2, 206-211.
[2] K. Sakaguchi.: On a certain univalent mapping, J. Math. Soc. Japan, 11 (1959), 72-75.
[3] N.E. Cho, O.S. Kwon, S. Owa.: Certain subclasses of Sakaguchi functions, SEA Bull. Math., 17 (1993), 121-126.
[4] S. Owa, T. Sekine, Rikuo Yamakawa.: On Sakaguchi type functions, Applied Mathematics and Computation, 187 (2007), 356-361.
[5] S. Owa, T. Sekine, Rikuo Yamakawa.: Notes on Sakaguchi functions, RIMS, Kokyuroku, 1414 (2005), 76-82.
[6] T. Hayami, S. Owa and H.M. Srivastava.: Coefficient inequalities for certain classes of analytic and univalent function, .J. Ineq. Pure Appl. Math, Vol. 8 (2007), Issue 4, Article 95, 1-10.
Source of support: Nil, Conflict of interest: None Declared
