Data processing for tomographic reconstruction

(1)

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

Fakulta strojního inženýrství

(2)

(3)

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING

ÚSTAV FYZIKÁLNÍHO INŽENÝRSTVÍ

INSTITUTE OF PHYSICAL ENGINEERING

ZPRACOVÁNÍ DAT PRO TOMOGRAFICKOU

REKONSTRUKCI

DATA PROCESSING FOR TOMOGRAPHIC RECONSTRUCTION

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

BACHELOR'S THESIS

AUTOR PRÁCE

AUTHOR

Jindřich Dvořák

VEDOUCÍ PRÁCE

SUPERVISOR

(4)

(5)

Zadání bakalářské práce

Ústav: Ústav fyzikálního inženýrství

Student: Jindřich Dvořák

Studijní program: Aplikované vědy v inženýrství

Studijní obor: Fyzikální inženýrství a nanotechnologie Vedoucí práce: Ing. Tomáš Zikmund, Ph.D.

Akademický rok: 2015/16

Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma bakalářské práce:

Zpracování dat pro tomografickou rekonstrukci

Stručná charakteristika problematiky úkolu:

Rentgenová počítačová tomografie (CT) je technika umožňující nedestruktivně zobrazit vnitřní strukturu předmětu. Tato metoda je založena na snímání rentgenových obrazů v různých úhlech pohledu, které jsou následně rekonstruovány do série obrazů představující virtuální řezy předmětu. Tento proces je známý jako tomografická rekonstrukce. Existuje více matematických přístupů tomografické rekonstrukce, které lze využít v rámci nástrojů založených na otevřené platformě jako například ASTRA Toolbox.

Podstatnou část rekonstrukčního procesu, která má vliv na kvalitu zrekonstruovaných tomografických řezů a správnou interpretaci dat, tvoří příprava rentgenových obrazů. Tato příprava obsahuje korekci vadných pixelů detektoru, korekci tvrdnutí svazku rentgenového záření, správnou volbu osy rotace, korekci pohybu vzorku a případnou filtraci dat. Tyto korekční metody je nutné implementovat i na data z nově vyvinutého laboratorního nanoCT systému Rigaku Nano3DX, který je využíván v CT laboratoři na STI VUT v Brně.

Cíle bakalářské práce:

- Seznámit se s různými rekonstrukčními algoritmy a postupy v rámci nástroje ASTRA Toolbox. - Popsat princip korekčních metod projekcí pro tomografickou rekonstrukci.

- Navrhnout postup aplikace korekcí na data z nanoCT systému Rigaku Nano3DX v rámci prostředí Matlab ve spojení s nástrojem ASTRA Toolbox.

(6)

ABSTRAKT

Práce se zabývá zpracován´ım dat z rentgenového tomografického systému. Zejména se zamˇeˇruje na popis úprav projekc´ı prob´ıhaj´ıc´ı pˇred tomografickou rekonstrukc´ı. Dále je navrˇzen konkrétn´ı postup zpracován´ı dat ze systému Nano3DX vyuˇzit´ım otevˇreného softwaru ASTRA tomography toolbox, která umoˇzˇnuje v prostˇred´ı MATLAB provádˇet tomografickou rekonstrukci na grafické kartˇe. Ve stejném prostˇred´ı je nav´ıc pˇridána ko-rekce na pohyb vzorku bˇehem mˇeˇren´ı, filtrace ˇsumu v projekc´ıch a výpoˇcet polohy osy rotace. Na závˇer jsou výsledky navrˇzeného postupu srovnány se softwarem na zpracován´ı od výrobc˚u pˇr´ıstroje.

KL´Iˇ

COV ´

A SLOVA

Rentgenová výpoˇcetn´ı tomografie, pr˚umyslová nanotomografie, korekce projekc´ı, zpra-cován´ı pˇred rekonstrukc´ı

ABSTRACT

This thesis deal with data processing from x-ray tomographic system. The primary fo-cus is put on the description of projection refining taking place before tomographic reconstruction. The particular method for data processing from system Nano3DX is also suggested. It uses open software ASTRA tomography toolbox, which enable executing of tomographic reconstruction on the graphics card in MATLAB environment. There is also used correction for sample movement, denoising algorithm in projections and calculation the centre of rotation. Results of proposed procedure are demonstrated on tomographic data from measured samples and compared with processing software from the manufacturer.

KEYWORDS

X-ray computed tomography, industrial nanotomography, correction projection, pre-processing

DVOˇRÁK, Jindˇrich Zpracován´ı dat pro tomografickou rekonstrukci: bakaláˇrská práce. Brno: Vysoké uˇcen´ı technické v Brnˇe, Fakulta strojn´ıho inˇzenýrstv´ı, Ústav fyzikáln´ıho inˇzenýrstv´ı, 2016. 41 s. Vedouc´ı práce Ing. Tomáˇs Zikmund, , Ph.D.

(7)

PROHL´

Aˇ

SEN´I

Prohlaˇsuji, ˇze svou bakaláˇrskou práci na téma

”Zpracován´ı dat pro tomografickou rekonstrukci“ jsem vypracoval samostatnˇe pod veden´ım vedouc´ıho bakaláˇrské práce a s pouˇzit´ım odborné literatury a dalˇs´ıch informaˇcn´ıch zdroj˚u, které jsou vˇsechny citovány v práci a uvedeny v seznamu literatury na konci práce.

Jako autor uvedené bakaláˇrské práce dále prohlaˇsuji, ˇze v souvislosti s vytvoˇren´ım této bakaláˇrské práce jsem neporuˇsil autorská práva tˇret´ıch osob, zejména jsem nezasáhl nedovoleným zp˚usobem do ciz´ıch autorských práv osobnostn´ıch a jsem si plnˇe vˇedom následk˚u poruˇsen´ı ustanoven´ı§11 a následuj´ıc´ıch autorského zákona ˇc. 121/2000 Sb., vˇcetnˇe moˇzných trestnˇeprávn´ıch d˚usledk˚u vyplývaj´ıc´ıch z ustanoven´ı §152 trestn´ıho zákona ˇc. 140/1961 Sb.

Brno . . . . (podpis autora)

(8)

Podˇekov´

an´ı

Dˇekuji Tomáˇsovi Zikmundovi za moˇznost pracovat v tomografické laboratoˇri a za jeho odborné veden´ı pˇri psan´ı bakaláˇrské práce. Dále bych chtˇel podˇekovat své milované pˇr´ıtelkyni M´ıˇse Bartesové a svému bratru ˇStˇepánovi Dvoˇrákovi za cenné pˇripom´ınky. A nakonec dˇekuji rodinˇe a kamarád˚um za pochopen´ı a celkovou podporu.

(9)

OBSAH

´

Uvod 1

1 Princip rentgenov´e tomografie 3

1.1 Geometrické uspoˇrádán´ı . . . 3

1.2 Zdroje rentgenov´eho z´aˇren´ı . . . 5

1.3 ˇS´ıˇren´ı a absorpce z´aˇren´ı . . . 7

1.4 Detektor . . . 8

1.5 Rotace vzorku . . . 9

2 Tomografick´a rekonstrukce 10 2.1 Pˇrehled procesu zpracov´an´ı dat . . . 10

2.2 Popis probl´emu rekonstrukce . . . 10

2.2.1 Sinogram . . . 11

2.3 Analytick´a rekonstrukce . . . 11

2.4 Algebraick´a rekonstrukce . . . 12

2.5 Statistick´a rekonstrukce . . . 13

2.6 Artefakty . . . 13

3 Pˇr´ıprava dat pro rekonstrukci 15 3.1 Standardn´ı korekce . . . 15

3.1.1 Flat-field a dark-frame . . . 15

3.1.2 Demaskov´an´ı vadn´ych pixel˚u . . . 17

3.2 Vizu´aln´ı kontrola dat . . . 17

3.3 Nadstandartn´ı korekce . . . 18

3.3.1 Filtrace ˇsumu . . . 18

3.3.2 Korekce na pohyb vzorku . . . 19

3.4 Zjiˇst’ov´an´ı informac´ı pro rekonstrukci . . . 20

3.4.1 Hled´an´ı osy rotace . . . 21

3.5 Logaritmov´an´ı projekc´ı . . . 21

4 Práce s tomografickými daty 23 4.1 Poˇc´ıtaˇcový zápis dat . . . 23

4.1.1 Form´at dat . . . 23

4.1.2 Datov´y typ . . . 23

4.1.3 Endianita – poˇrad´ı bajt˚u . . . 23

4.2 Nahr´av´an´ı dat . . . 24

(10)

5 N´avrh rekonstrukce dat z Nano3DX 29

5.1 ASTRA toolbox . . . 29

5.2 N´avrh rekonstrukce pomoc´ı Astra-toolbox . . . 29

5.2.1 Geometrie . . . 29

5.2.2 Algoritmus rekonstrukce . . . 30

5.3 N´avrh proces˚u pˇred rekonstrukc´ı pro Nano3DX . . . 30

5.3.1 Filtrace ˇsumu . . . 31

5.3.2 Korekce na pohyb vzorku . . . 31

5.3.3 Hled´an´ı osy rotace . . . 32

5.4 Srovnán´ı r˚uzných proces˚u zpracován´ı dat . . . 34

5.4.1 Oˇrez´an´ı okraj˚u . . . 34

5.4.2 Casov´ˇ a n´aroˇcnost . . . 34

6 Z´avˇer 36

Literatura 37

(11)

´

UVOD

Výpoˇcetn´ı tomografie (CT) je nedestruktivn´ıho zobrazovac´ı metoda, která dokáˇze vytvoˇrit 3D obraz pˇredmˇetu vˇcetnˇe jeho vnitˇrn´ı struktury. Výsledkem mˇeˇren´ı je sou-bor imaginárn´ıch ˇrez˚u vzorkem, jak naznaˇcuje název

”tomografie“ sloˇzený z ˇreckých slov tomos (ˇrez) a graphy (psát, zaznamenat) [30]. Slovo

”výpoˇcetn´ı“ (nˇekdy ne-správnˇe pˇrekládaná jako

”poˇc´ıtaˇcová“) naznaˇcuje, ˇze výsledný obraz nen´ı mˇeˇren pˇr´ımo, ale je matematicky vypoˇcten ze dvourozmˇerných sn´ımk˚u. Nejlépe to popi-suje motto pouˇz´ıvané v lékaˇrstv´ı – tomografie je okno do naˇseho tˇela, které nen´ı potˇreba otev´ırat [21].

Prvn´ı tomografické pˇr´ıstroje vyuˇz´ıvaj´ıc´ı rentgenové záˇren´ı vznikly na konci 60. let a za jejich vynalezen´ı obdrˇzeli Nobelovu cenu A. M. Cormack a G. Hounsfield [29]. Rentgenový tomograf naˇsel hlavn´ı uplatnˇen´ı v oblasti medic´ıny, zejména pˇri di-agnostice ˇrady poranˇen´ı a chorob. Tomografie se postupnˇe z lékaˇrského vyuˇzit´ı rozˇs´ıˇrila do vˇedeckého a pr˚umyslového prostˇred´ı [26] v podobˇe kompaktn´ıch labora-torn´ıch zaˇr´ızen´ı umoˇzˇnuj´ıc´ıch vysoké rozliˇsen´ı v ˇrádu jednotek mikrometr˚u. Z tohoto d˚uvodu jsou tyto pˇr´ıstroje oznaˇcovány jako mikrotomograf (mikroCT). Technický vývoj jednotlivých komponent v nedávné dobˇe vedl ke vzniku pˇr´ıstroj˚u nazývaných nanotomograf (nanoCT). Ty jsou schopny dosáhnout rozliˇsen´ı v ˇrádu stovek nano-metr˚u [16].

Laboratoˇr rentgenové mikro a nanotomografie pod CEITEC VUT je vybavená pˇr´ıstroji mikrotomograf GE phoenix v|tome|x L240 (dále jen mikroCT v|tome|x) [25] a nanotomograf Rigaku nano3DX (dále jen nanoCT nano3DX) [35]. Tato práce se zamˇeˇruje na zpracován´ı dat z druhého zm´ınˇeného pˇr´ıstroje.

Zpracován´ı má výrazný vliv na kvalitu tomografických dat. Detektor namˇeˇr´ı pouze sérii projekc´ı vzorku do roviny pod r˚uzným úhlem. Projekce je nutné pomoc´ı algoritmu nazývaj´ıc´ıho se tomografická rekonstrukce zpracovat a vytvoˇrit tomogra-fické ˇrezy. Dále jsou pˇr´ı zpracován´ı dat d˚uleˇzité procesy prob´ıhaj´ıc´ı na projekc´ıch pˇred samotnou rekonstrukc´ı, které m˚uˇzou napˇr´ıklad slouˇz´ı jako korekce na nˇekteré neˇzádané jevy pˇri mˇeˇren´ı. Obˇcas se tyto úpravy pˇred rekonstrukc´ı (v angliˇctinˇe pre-processing) zahrnuj´ı pod pojem tomografická rekonstrukce. V této práci se vˇsak bude striktnˇe rozdˇelovat mezi úpravami projekc´ı a samotnou tomografickou rekonstrukci, aby bylo moˇzné snadno odliˇsit tyto dvˇe rozd´ılné ˇcásti zpracován´ı dat. Posledn´ı fáze zpracován´ı dat (v angliˇctinˇe post-processing) následuj´ıc´ı po rekonstrukci se zabývá hlavnˇe zobrazen´ım a analýzou dat. Této fázi zpracován´ı se vˇsak tato práce nebude vˇenovat.

Prvn´ım c´ılem bakaláˇrské práce je pˇrehlednˇe shrnout postup zpracován´ı dat od neupravených projekc´ı aˇz k souboru tomografických ˇrez˚u. Nejv´ıce pozornosti bude vˇenováno úpravˇe projekc´ı pˇred rekonstrukc´ı, jelikoˇz maj´ı na výsledná data velký

(12)

vliv a pˇritom vˇetˇsina dostupné literatury o tomografii tyto úpravy pˇr´ıliˇs nerozeb´ırá. Rozd´ılná situace je u samotné rekonstrukce, jej´ıˇz podrobný popis je moˇzný naj´ıt v mnoha knihách o tomografii [12, 15], a proto zde nebudou prob´ırány do vˇetˇs´ıch detail˚u rekonstrukˇcn´ı algoritmy, ale pouze pˇrehled jejich typ˚u. V dneˇsn´ı dobˇe také existuje velké mnoˇzstv´ı placeného i freeware softwaru, který zvládá tomografickou rekonstrukci, napˇr´ıklad:

• AstraToolbox

• VGStudio

• CERA

• Reconstruction Toolkit

• Octopus Imaging Software

Pomoc´ı tˇechto program˚u je moˇzné zrekonstruovat data i bez hlubˇs´ıch znalost´ı ma-tematických algoritm˚u. V takovém postupu stále existuje ˇrada komplikac´ı, které nˇekdy nen´ı snadné odhalit. Tato práce nˇekteré z nich popisuje a dává návod, jak se s nimi vypoˇrádat. Kromˇe toho m˚uˇze být toto pojednán´ı odrazovým m˚ustkem pro hlubˇs´ı práci zamˇeˇrenou na konkrétn´ı ˇcást zpracován´ı dat.

Druhým c´ılem bakaláˇrské práce je aplikovat obecné znalosti o zpracován´ı tomo-grafických dat na konkrétn´ı pˇr´ıpad nanoCT nano3DX. V posledn´ı kapitole je navrˇzen postup zpracovávat data v prostˇred´ı MATLAB pomoc´ı open-source knihovny AS-TRA Tomography Toolbox [3], která dokáˇze ˇcást výpoˇct˚u provádˇet na grafické kartˇe. ASTRA Toolbox je výkonný nástroj na rekonstrukci dat r˚uznými algoritmy, který funguje prostˇred´ı MATLAB a nebo Python. Nav´ıc je pˇridáno nˇekolik korekc´ı a pro-ces˚u pˇred rekonstrukc´ı jmenovitˇe pak korekce na pohyb vzorku, filtrován´ı ˇsumu a výpoˇcet osy rotace. Tyto výsledky jsou srovnány s rekonstrukˇcn´ım programem do-daného od výrobce Nano3DX.

(13)

1

PRINCIP RENTGENOV´

E TOMOGRAFIE

Princip je zaloˇzený na prozáˇren´ı vzorku rentgenovým svazkem paprsk˚u (obr. 1.1).

ˇ

Cást záˇren´ı je pohlceno materiálem vzorku a zbylá ˇcást je zachycena na detek-toru, který zmˇeˇr´ı intenzitu jednotlivých paprsk˚u. T´ım se vytvoˇr´ı rentgenový sn´ımek tzv. projekce. Tˇech je pod r˚uzným úhlem nasn´ımáno velké mnoˇzstv´ı, u dneˇsn´ıch pr˚umyslových CT typicky aˇz nˇekolik tis´ıc. Vˇsechny z´ıskané projekce jsou následnˇe matematickým algoritmem zpracovány do série obrázk˚u, která reprezentuj´ı virtuáln´ı ˇrezy objektem.

Obr. 1.1: Princip tomografick´eho mˇeˇren´ı [27].

1.1

Geometrick´

e uspoˇ

r´

ad´

an´ı

V pr˚ubˇehu historie tomografie byla vyzkouˇsena celá ˇrada geometrických uspoˇrádán´ı tomografického systému (napˇr. obr. 1.2). V lékaˇrstv´ı se dnes pouˇz´ıvá hlavnˇe tzv. spiráln´ı CT (helical CT) zobrazené na obrázku 1.3. Pro pohodlnost pacienta se v lékaˇrském CT otáˇc´ı celý pˇr´ıstroj m´ısto skenovaného objektu. Dále se pacient pomalu posouvá v ose rotace, ˇc´ımˇz je moˇzné naskenovat celého ˇclovˇeka. Tento trik je obecnˇe moˇzné vyuˇz´ıt pro úzké a zároveˇn dlouhé pˇredmˇety.

U pr˚umyslových CT se v dneˇsn´ı dobˇe pouˇz´ıvá hlavnˇe kuˇzelové (cone-beam CT) uspoˇrádán´ı zobrazené na obrázku 1.1. Osa kuˇzele je kolmá na rovinu detektoru a souˇcasnˇe na osu rotace vzorku. Otáˇc´ı se pouze vzorek, pevnˇe uchycený na stabiln´ı rotaˇcn´ı stolek. Takové uspoˇrádán´ı má vysokou stabilitu a dovoluje tak mˇeˇren´ı s vysokým rozliˇsen´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze vzdálenost vzorek-detektor je výraznˇe menˇs´ı neˇz vzorek-zdroj (obr. 1.4b), je moˇzné paprsky povaˇzovat za témˇeˇr paraleln´ı tzv. kvazi-paraleln´ı.

(14)

Obr. 1.2: R˚uzné tomografické uspoˇrádán´ı [18].

Obr. 1.3: Spir´aln´ı CT [24].

(15)

Dvˇe výˇse popsané uspoˇrádán´ı jsou nejˇcastˇeji pouˇz´ıvané, ale pro speciáln´ı typy vzorku lze pouˇz´ıt i jiné. Jako pˇr´ıklad nezvyklého uspoˇrádán´ı m˚uˇze slouˇzit laminograf (obr. 1.5), který se specializuje na mˇeˇren´ı velkých a tenkých vzork˚u [20]. V takovém pˇr´ıpadˇe je obt´ıˇzné provádˇet rotaci o 360◦ a proto se poˇr´ıd´ı projekce jen pod menˇs´ım ´

uhlem. Aˇckoliv nen´ı z´ıskaná kompletn´ı informace, je moˇzné z´ıskat znaˇcnou ˇcást trojrozmˇerné struktury vzorku. Zbylá ˇcást práce bude vˇsak bude vˇenována hlavnˇe pr˚umyslovému CT s kuˇzelovým svazkem.

Obr. 1.5: Uspoˇr´ad´an´ı v laminografu [11].

1.2

Zdroje rentgenov´

eho z´

aˇ

ren´ı

Schéma zdroje rentgenového záˇren´ı je zobrazeno na obrázku 1.6. Elektrony let´ıc´ı ze ˇzhavé katody jsou urychlovány rozd´ılem napˇet´ı v ˇrádech des´ıtek aˇz stovek kV a následnˇe se sráˇz´ı s terˇcem ve velké rychlosti. Pˇri interakci s atomy terˇce se vˇetˇsina energie pˇremˇen´ı na teplo [12, strana 34] uvád´ı dokonce aˇz 99% energie) a zbylá ˇcást se pˇremˇen´ı na rentgenové záˇren´ı. Pˇred opuˇstˇen´ım rentgenového zdroje je záˇren´ı fil-trováno tenkými destiˇckami r˚uzných kov˚u, které pohlt´ı ˇcást záˇren´ı, zejména fotony s n´ızkou energii, tedy záˇren´ı s velkou vlnovou délkou.

Energické spektrum zdroje je moˇzné simulovat ve volnˇe staˇzitelném programu SpekCalc. Simulace záˇren´ı pro dvˇe konkrétn´ı nastaven´ı mikroCT v|tome|x je zobra-zena v grafu 1.7. Modrý graf je pˇri napˇet´ı 150 kV s filtrem 0,3 mm mˇedi a ˇcervený graf je pˇri napˇet´ı 210 kV s filtrem 0,5 mm mˇedi a 0,5 mm c´ınu. Nejvˇetˇs´ı moˇzná ener-gie záˇren´ı vzniká, kdyˇz urychlený elektron pˇredá vˇsechnu kinetickou energii fotonu. Z grafu na obr. 1.7 je vidˇet, ˇze tento jev je málo pravdˇepodobný a vˇetˇsina foton˚u má menˇs´ı energii. Hroty v grafu se nazývaj´ı charakteristické záˇren´ı, které je zp˚usobené pˇrechody elektronu v atomových slupkách, takˇze je specifické pro kaˇzdý materiál terˇce. Zbylá ˇcást záˇren´ı se nazývá brzdné záˇren´ı a je závislé hlavnˇe na urychlovac´ım

(16)

napˇet´ı. Hlubˇs´ı popis fyzikáln´ıch dˇej˚u pod´ılej´ıc´ı se na vzniku záˇren´ı je moˇzné naj´ıt tˇreba v [19].

Obr. 1.6: Mechanismus rentgenov´eho zdroje [32].

Obr. 1.7: Energetické spektrum záˇren´ı pro nastaven´ı s malým filtrem (modrý) a velkým filtrem (ˇcervený) [31].

Kromˇe vlnového spektra jsou d˚uleˇzité dalˇs´ı dvˇe vlastnosti zdroje. Prvn´ı z nich je stabilita záˇren´ı, nebot’ se pˇri tomografické rekonstrukci pˇredpokládá, ˇze se intenzita s ˇcasem nemˇen´ı. Druhou podstatnou vlastnost´ı zdroje je, jak moc se bl´ıˇz´ı ideáln´ımu bodovému zdroji záˇren´ı. To je dáno tzv. velikost´ı ohniska (spot size) urˇcuj´ıc´ı pr˚umˇer otvoru, ze kterého vycház´ı záˇren´ı. Nenulová velikost ohniska má za následek lehké

(17)

rozostˇren´ı vzorku na detektoru. Geometrické uspoˇrádán´ı by mˇelo být navrˇzeno ta-kovým zp˚usobem, aby toto rozmazán´ı nepˇresáhlo rozmˇery jednoho pixelu. Mezn´ı pˇr´ıpad je znázornˇen na obrázku 1.8.

Obr. 1.8: Rozostˇren´ı vlivem nenulov´e velikosti ohniska [31].

1.3

S´ıˇ

ˇ

ren´ı a absorpce z´

aˇ

ren´ı

Popsat zcela správnˇe ˇs´ıˇren´ı a absorpci rentgenového záˇren´ı je pˇr´ıliˇs komplikované a nepouˇzitelné pro dalˇs´ı práci a z tohoto d˚uvodu se zavád´ı zjednoduˇsený fyzikáln´ı model, který napˇr´ıklad slouˇz´ı pro matematické odvozen´ı principu tomografické re-konstrukce. Základn´ı model je pak moˇzné rozˇs´ıˇrit nebo doplnit korekcemi na jeho nejvˇetˇs´ı nepˇresnosti. Prvn´ım pˇredpokladem modelu je, ˇze se záˇren´ı mezi zdrojem a detektorem ˇs´ıˇr´ı po pˇr´ımkách. Pˇrestoˇze tento pˇredpoklad zanedbává ˇradu optických jev˚u, situaci v tomografu dobˇre popisuje a jediný významný efekt v tomografu, který nen´ı moˇzné popsat pomoc´ı ˇs´ıˇren´ı svˇetla po pˇr´ımkách, je fázový kontrast [16].

Dále se pˇredpokládá, ˇze látka záˇren´ı pouze absorbuje a t´ım vzniká útlum popsa-telný Lambertovým-Beerovým zákonem:

I =I0e−µx, (1.1)

kdeµje absorpˇcn´ı koeficient l´atky,I0 je intenzita zdroje axje vzd´alenost, kterou

záˇren´ı v látce uraz´ı. V pˇr´ıpadˇe nehomogenn´ıho materiálu, kdeµje funkc´ı souˇradnic, se mus´ı vzorec upravit na tvar:

I =I0e−

R

µ(x)dx

, (1.2)

kde se nav´ıc integruje absorpˇcn´ı koeficient po celé délce úseˇcky. Základn´ı model daný vztahem (1.2) dobˇre funguje pouze pro monochromatické svˇetlo. Absorpˇcn´ı koeficient je vˇsak závisl´ı na vlnové délce svˇetla (napˇr´ıklad pro ˇzelezo je závislost

(18)

koeficientu podˇelená hustotou zobrazena na obr. 1.9). A z toho d˚uvodu v pˇr´ıpadˇe polychromatického spektra je nutné pouˇz´ıt vztah:

I =τ0(E)e−

R

µ(x,E)dx_d_E, _(1.3)

kdeE znaˇc´ı energii z´aˇren´ı a τ0 Intenzita na jednotku energie. Zde nav´ıc

integru-jeme pˇres energetické spektrum záˇren´ı. Vztah (1.3) je vˇsak pˇr´ıliˇs sloˇzitý pro dalˇs´ı výpoˇcty a proto se vˇetˇsinou v rekonstrukˇcn´ıch algoritmech nepouˇz´ıvá.

Obr. 1.9: z´avislost absorpˇcn´ıho koeficientu na energii [13].

1.4

Detektor

Záˇren´ı proˇslé vzorkem je zachyceno na detektoru, kde je pomoc´ı scintilátoru pˇrevede-no do viditelné ˇcásti spektra a následnˇe je zmˇeˇrená jeho intenzita, nejˇcastˇeji pomoc´ı CCD kamery [26]. Základn´ı matematický model poˇc´ıtá s ideáln´ım detektorem, který pˇresnˇe zmˇeˇr´ı intenzitu v kaˇzdém bodˇe detektoru. To je vˇsak technicky neprovedi-telné, protoˇze kaˇzdý detektor obsahuje koneˇcný poˇcet mˇeˇr´ıc´ıch pixel˚u, které jsou poskládány do pravidelné ˇctvercové s´ıtˇe. Velikost pixel˚u patˇr´ı mezi hlavn´ı omezen´ı pro rozliˇsovac´ı schopnost mˇeˇren´ı.

Také rozsah zmˇeˇritelných hodnot je omezený. Je popsán pomoc´ı parametru nazývaj´ıc´ı se dynamický rozsah (dynamic range) detektoru, coˇz je pomˇer mezi nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı hodnotou, kterou je moˇzné namˇeˇrit. Pro pˇredstavu výrobci u

(19)

nanoCT nano3DX udávaj´ı 3100 : 1. Dalˇs´ı znaˇcnou vadou je znaˇcný náhodný ˇsum, který se projev´ı zejména u krátkých mˇeˇren´ı. Detektor nav´ıc zachytává signály z jiných zdroj˚u, který je nutné z mˇeˇren´ı odstranit. Posledn´ı významnou technickou va-dou detektoru je rozd´ılná citlivost jednotlivých pixel˚u. Je nutné provádˇet kalibraˇcn´ı mˇeˇren´ı, které umoˇzn´ı pˇri zpracován´ı dat zohlednit r˚uzné citlivosti pixel˚u.

Nˇekteré detektory pomáhaj´ı zmenˇsit chybu zp˚usobenou r˚uznou citlivost´ı mˇeˇr´ıc´ıch element˚u pomoc´ı malých posun˚u detektoru do strany. Ten se náhodnˇe pohybuje v nˇejakém malém rozmez´ı vˇzdy o celoˇc´ıselný poˇcet pixel˚u napravo nebo nalevo. To zp˚usob´ı, ˇze chyby v citlivosti pixel˚u se v obrazu nekumuluj´ı stále ve stejném m´ıstˇe u vˇsech projekc´ı, ale jsou rozvrstveny do vˇetˇs´ı oblasti.

1.5

Rotace vzorku

Pˇri mˇeˇren´ı je nutn´e z´ıskat projekce pod r˚uzn´ym natoˇcen´ım vzorku. Nejˇcastˇeji jsou ´

uhly natoˇcen´ı pˇri jednotlivých projekc´ıch rovnomˇernˇe rozloˇzené od 0◦ aˇz po 360◦. Pouze pro kvaziparaleln´ı paprsek je otoˇcen´ı o 180◦ dostaˇcuj´ıc´ı pro z´ıskán´ı kompletn´ı informace o 3D struktuˇre vzorku [12, strana 55].

Dalˇs´ım d˚uleˇzitým parametrem mˇeˇren´ı je poˇcet projekc´ı. Pokud je pˇr´ıliˇs malý, docház´ı k podvzorkován´ı, které se projevuje zejména na okraj´ıch vzorku pravi-delnými pruhy (obr. 1.10). Dostateˇcný poˇcet projekc´ı je úmˇerný poˇctu pixel˚u ve vodorovné rovinˇe (pˇresnˇeji v rovinˇe kolmé na osu rotace, coˇz je ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚u totéˇz.). Na pˇr´ıklad u mikroCT v|tome|x nebo nanoCT nano3DX se pohybuje poˇcet projekc´ı od 500 po 2000.

(20)

2

TOMOGRAFICK ´

A REKONSTRUKCE

2.1

Pˇ

rehled procesu zpracov´

an´ı dat

Celý proces zpracován´ı (obr. 2.1) lze rozdˇelit na tˇri ˇcásti:

1. Pracuje se s projekcemi, na které se aplikuj´ı r˚uzné kalibraˇcn´ı mˇeˇren´ı a korekce. 2. Probˇehne tomografická rekonstrukce, která z projekc´ı vytvoˇr´ı 3D obraz v

po-dobˇe s´erie ˇrez˚u.

3. Na ˇrezech se provedou dalˇs´ı ´upravy spoleˇcnˇe s anal´yzou dat.

Tato kapitola bude vˇenována rekonstrukci, které je nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı ˇcásti zpracován´ı tomografických dat.

Obr. 2.1: Proces zpracov´an´ı dat chronologicky.

2.2

Popis probl´

emu rekonstrukce

Podle vzorce (2.1) je kaˇzdý hodnota v projekci výsledek integrálu funkce závislé na absorpˇcn´ım koeficientu. Po úpravˇe vzorce dostáváme:

Z µ(x)dx=−ln I I0 , (2.1)

(21)

Teoretickou matematickou úlohou, jestli je znalost integrálu z (2.1) po vˇsech moˇzných pˇr´ımkách v rovinˇe dostateˇcná pro výpoˇcet dvojrozmˇerného objektu, se zabýval J. Ra-don [10,41]. Podaˇrilo se mu dokázat nejen, ˇze je to dostateˇcná informace, ale i naˇsel transformaci, dnes pojmenovanou po nˇem, která umoˇzˇnuje hodnoty objektu vypoˇc´ıtat. Radonova úloha ˇreˇs´ı matematický problém, který znaˇcnˇe idealizuje reálné tomografické mˇeˇren´ı. Dneˇsn´ı rekonstrukˇcn´ı algoritmy mus´ı zohlednit ˇradu dalˇs´ıch vˇec´ı, které v n´ı nejsou zapoˇc´ıtané, zejména diskrétn´ı povaha dat nebo kuˇzelový sva-zek paprsku. Pro ˇreˇsen´ı této problematiky existuji tˇri rozd´ılné pˇr´ıstupy. Dalˇs´ı ˇcásti této kapitoly se zabývaj´ı jejich popisem.

Jeˇstˇe je d˚uleˇzité poznamenat, ˇze nás vˇetˇsinou v tomografii nezaj´ımá pˇresná hod-nota absorpˇcn´ıho koeficient˚u ze vzorce (2.1), ale pouze jeho rozloˇzen´ı v prostoru. Z toho d˚uvodu nen´ı problematické provádˇet úpravy, které stejným zp˚usobem uprav´ı vˇsechny hodnoty v obraze, napˇr´ıklad se k n´ım pˇriˇcte konstanta.

2.2.1

Sinogram

V pˇr´ıpadˇe paraleln´ıho svazku je moˇzné problém rekonstrukce zmenˇsit o jednu di-menzi, protoˇze vˇsechny informace o vodorovném ˇrezu vzorkem jsou prom´ıtnuté do jednoho ˇrádk˚u na detektoru. (V obr. 2.2a je znázornˇené prom´ıtnut´ı ˇrezu na jeden ˇrádek projekce N, zvýraznˇený bod se zobraz´ı na 2. pixel zleva. V projekci M v obr. 2.2b, která je poˇr´ızená pod jiným úhlem, se znovu vyznaˇcený ˇrez zobraz´ı do stejného ˇrádku, tentokrát zvýraznˇený bod najdeme na 7 pixel zleva.) Pokud vezmeme ze vˇsech projekc´ı ˇrádek odpov´ıdaj´ıc´ı jednomu ˇrezu, a poskládáme je postupnˇe nad sebe, tak dostaneme tzv. sinogram pro daný ˇrez. (Obr. 2.2c zobrazuje polohu vyznaˇceného ˇrádku z projekce M a N v sinogramu. Výsledný obraz m˚uˇze vypadat napˇr´ıklad jako na obr. 2.2d.) Protoˇze jednomu ˇrezu odpov´ıdá jeden sinogram, je napˇr´ıklad moˇzné rekonstrukci provést paralelnˇe pro kaˇzdý ˇrez nezávisle na sobˇe.

2.3

Analytick´

a rekonstrukce

Prvn´ım pˇr´ıstup nahl´ıˇz´ı na projekce jako na spojité funkce a pomoc´ı integráln´ıch transformac´ı najde obecné ˇreˇsen´ı je tzv. analytická rekonstrukce. Následnˇe provád´ı korekce pro diskrétn´ı vlastnosti dat. Historicky významným pˇr´ıkladem analytické rekonstrukce je inverzn´ı Radonova transformace. Obsahuje vˇsak derivaci [21], která je je velmi citlivá na ˇsum, a proto nen´ı vhodná pro reálné data.

Tuto chybu odstraˇnuje modifikace zaloˇzená na Fourierovˇe transformaci s pˇridám procesu Filtrovan´ı zpˇetných projekc´ı (Filtered back projection)[6], podle kterého celý algoritmus jmenuje (ˇcasto oznaˇcovaný pouze zkratkou FBP).

(22)

Obr. 2.2: Princip sinogramu [32].

autorech Feldkamp-Davis-Kress˚uv algoritmus (zkr´acenˇe FDK) [9].

Nejvˇetˇs´ı výhodou analytické rekonstrukce je jej´ı rychlost. Pˇri velikosti dat v ˇrádech Gigabajt˚u má tato vlastnost znaˇcný význam. Nevýhodou je nulová flexibilita algoritmu na jiné uspoˇrádán´ı tomografu. Nen´ı moˇzné ji pouˇz´ıt na zcela odliˇsnou geometrii nebo do rekonstrukce zahrnout informaci o nahnut´ı detektoru a podobnˇe.

2.4

Algebraick´

a rekonstrukce

Druh´y pˇr´ıstup je tzv. algebraick´a rekonstrukce (Algebraic Reconstruction Technique

- ART), který k projekc´ım pˇristupuje jako k soustavˇe rovnic (obr. 2.3), kterou se snaˇz´ı vyˇreˇsit [2]. Protoˇze nen´ı moˇzné zjistit poˇcet lineárnˇe nezávislých rovnic, sou-stava m˚uˇze být pˇreurˇcená, a proto analytické ˇreˇsen´ı nepˇricház´ı v úvahu a vyuˇz´ıvaj´ı se iterativn´ı metody na ˇreˇsen´ı soustavy rovnic. Mezi nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı algebraické re-konstrukce patˇr´ı SIRT (Simultaneous Iterative Reconstructive Technique) a SART (Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique) [15].

Výhodou ART je moˇznost zlepˇsovat výsledek pomoc´ı dalˇs´ıch iterac´ı a proto m˚uˇze dosáhnout lepˇs´ıch výsledk˚u [36]. Také nab´ız´ı vˇetˇs´ı moˇznosti u volby geomet-rického uspoˇrádán´ı tomografu. Hlavn´ı nevýhodou je nˇekolinásobnˇe vˇetˇs´ı výpoˇcetn´ı nároˇcnost.

(23)

Obr. 2.3: Princip algebraick´e rekonstrukce [12].

2.5

Statistick´

a rekonstrukce

Posledn´ım typem je statistická rekonstrukce. Tento pˇr´ıstup je teprve ve vývoji a zat´ım nen´ı bˇeˇzný. Zmiˇnuj´ı ho pouze pro úplnost. Jak napov´ıdá název, vyuˇz´ıvá se metod ze statistiky a pravdˇepodobnosti. pomoc´ı nich se snaˇz´ı odhadnout informace pˇr´ımo nevyplývaj´ıc´ı z mˇeˇren´ı. D´ıky tomu je jejich nejvˇetˇs´ı aplikace na podvzorko-vané mˇeˇren´ı (obr. 2.4). Budouc´ı vyuˇzit´ı by se mohlo naj´ıt tˇreba v lékaˇrských CT ke zmenˇsen´ı dávky ozáˇren´ı. Pˇr´ıkladem statistické rekonstrukce je PSIG (Parallel Statistical Inversion algorithm) [14, 28]. Jejich hlavn´ı nevýhodou je vˇsak obrovská výpoˇcetn´ı nároˇcnost dokonce ve srovnán´ı s algebraickými rekonstrukcemi.

Obr. 2.4: Srovnán´ı rekonstrukˇcn´ıch algoritm˚u. Výsledek FDK z dostateˇcného mnoˇzstv´ı projekc´ı (nalevo), Výsledek FDK z 66 projekc´ı (stˇred), PSIG z 66 pro-jekc´ı (napravo) [14].

2.6

Artefakty

Vada ve výsledných 3D datech se nazývá artefakt. Jedná se o objekty (ˇsmouhy, pa-prsky atd.) v ˇrezech, které neodpov´ıdaj´ı skuteˇcnosti. Mezi nejˇcastˇejˇs´ı patˇr´ı kruhové

(24)

artefakty (ring artefact) zobrazeny na obr. 2.5 a kovov´e artefakty (metal artefact) zobrazeny na obr´azku 2.6.

Obr. 2.5: Uk´azka kruhov´ych artefakt˚u [6].

(25)

3

P ˇ

R´

IPRAVA DAT PRO REKONSTRUKCI

Tato kapitola se vrac´ı k prvn´ımu kroku zpracován´ı dat, který prob´ıhá na projekc´ıch pˇred rekonstrukc´ı. Na nich je moˇzné provést ˇradu proces˚u, od vizuáln´ı kontroly aˇz po velké mnoˇzstv´ı r˚uzných typ˚u korekc´ı. Kromˇe logaritmován´ı dat jsou vˇsechny n´ıˇze popsané procesy teoreticky nepovinné. Existuje vˇsak nˇekolik korekc´ı, které jsou povaˇzovaný za základn´ı, a vˇetˇsina mˇeˇr´ıc´ıch softwar˚u je provád´ı zcela automaticky. Dalˇs´ıch korekc´ı existuje obrovské mnoˇzstv´ı [12], ale tato práce se zamˇeˇruje pouze na ty, které maj´ı význam pro nanoCT systém nano3DX od výrobce Rigaku. Jednotlivé procesy jsou pˇribliˇznˇe seˇrazeny podle jejich poˇrad´ı.

3.1

Standardn´ı korekce

Korekce signálu na detektoru jsou dnes standardn´ı procedurou pro zpracován´ı ob-razu z kamerových nebo fotografických systém˚u. Nˇekteré mˇeˇr´ıc´ı softwary je dˇelaj´ı zcela automaticky a uˇzivatelé se tak nˇekdy ani nedostanou k neupraveným dat˚um. V tomografii se absence tˇechto korekc´ıch projev´ı jako kruhové nebo p˚ulkruhové ar-tefakty (obr. 3.1).

Obr. 3.1: Obr´azek bez standardn´ıch korekc´ıch.

3.1.1

Flat-field a dark-frame

Kromˇe intenzity ze zdroje rentgenového záˇren´ı sn´ımá detektor tzv. temný proud. Pocház´ı z jiných zdroj˚u a je nutné jej z dat odstranit. Z toho d˚uvodu se tˇesnˇe pˇred

(26)

mˇeˇren´ım vzorku vypne zdroj, a zmˇeˇr´ı se tzv. dark-frame (obr. 3.2), kter´y je od namˇeˇren´ych dat odeˇcten.

Obr. 3.2: Dark-frame z Nano3DX.

Kaˇzdý pixel detektoru má nav´ıc rozd´ılnou citlivost na intenzitu záˇren´ı. To je zp˚usobené konstrukˇcn´ı nedokonalost a geometrickým uspoˇrádán´ım (na okraj do-padá menˇs´ı intenzita neˇz doprostˇred). Tuto vlastnost jde znaˇcnˇe eliminovat pomoc´ı tzv. flat-field korekce. Prob´ıhá tˇesnˇe pˇred mˇeˇren´ım bez vzorku za jinak stejných podm´ınkách jako samotné sn´ımán´ı. T´ım se z´ıská svˇetlý obraz (obr. 3.3), na kterém se projev´ı citlivost jednotlivých pixel˚u.

Obr. 3.3: Flat-field z Nano3DX, pruhy jsou zp˚usoben´e konstrukc´ı scintil´atoru.

Obˇe kalibraˇcn´ı mˇeˇren´ı se provád´ı pˇri dlouhé expozici, aby se minimalizoval ˇsum v obraze. Na projekce jsou pak aplikovány následuj´ıc´ım zp˚usobem:

Bk =

Ak−Dark

(27)

kdeAkje k-t´a p˚uvodn´ı projekce,Bk je k-t´a projekce po korekci,Dark je dark-frame

aF latje flat-field. Rozd´ıl na projekc´ıch je znatelný (obr 3.4). Tuto úpravu je nˇekdy moˇzné naj´ıt taky pod názvem korekce na pozad´ı (Background corection).

(a) Bez korekce (b) S korekce

Obr. 3.4: Pˇr´ıklad vlivu korekce na projekci z Nano3DX

3.1.2

Demaskov´

an´ı vadn´

ych pixel˚

u

Pˇredchoz´ı Korekce zajist´ı, aby funkˇcn´ı pixely mˇeˇrili správnˇe, ale nem˚uˇze opravit zcela vadné elementy detektoru. Nejˇcastˇejˇs´ı jsou dead pixely, které nedetekuj´ıˇzádnou intenzitu a proto se vˇzdy zobraz´ı jako ˇcerné. Hot pixely jsou naproti tomu pˇr´ıliˇs rychle saturovány, a proto nenesou ˇzádnou informaci a projevuj´ı se b´ılou barvou (obr. 3.3). Neopravené vadné pixely pˇredstavuj´ı v tomografii jeˇstˇe vˇetˇs´ı problém neˇz napˇr´ıklad u fotografie (obr. 3.5) a proto jim mus´ı být vˇenována zvýˇsená pozornost.

ˇ

Cást vadných pixel˚u pocház´ı pˇr´ımo z výroby, kde jsou rovnˇeˇz detekovaný a je vytvoˇren jejich seznam. Mˇeˇr´ıc´ı software jejich hodnoty automaticky interpoluje z okoln´ıch pixel˚u. Dalˇs´ı vadné elementy mohou vznikat stárnut´ım ˇci poˇskozen´ım de-tektoru a je potˇreba je pˇridat na seznam nebo vytvoˇrit vlastn´ı algoritmus pro jejich odstranˇen´ı. Detekce m˚uˇze prob´ıhat automaticky [1,33], nebo pomoc´ı uˇzivatele, který oznaˇc´ı vadné pixely.

3.2

Vizu´

aln´ı kontrola dat

D˚uleˇzitou souˇcást´ı zpracován´ı dat v tomografii je vizuáln´ı kontrola dat. Tu je moˇzná provádˇet s pomoc´ı projekc´ı, sinogram˚u nebo ˇrezu. Nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı kontrola prob´ıhá na ˇrezech, kde lze snadno zhodnot´ı, zda celé mˇeˇren´ı a zpracován´ı dat probˇehlo v poˇrádku. Avˇsak bez ˇcetných zkuˇsenost´ı s tomografickými daty se tˇeˇzko odhaluje pˇr´ıˇcina vad. Z toho d˚uvodu je dobré provádˇet vizuáln´ı kontroly projekc´ı a sinogram˚u,

(28)

Obr. 3.5: P˚ulkruhový artefakt zp˚usobený vadným pixelem.

pˇri kterých je lépe rozeznatelný zdroj chyby. Pˇr´ıkladem m˚uˇze být neodstranˇený vadný pixel. Vliv na data je ukázaný obr. 3.5. V projekc´ıch je moˇzné naj´ıt tmavý pixel, který se objevuje ve vˇsech projekc´ıch. Tak se snadno urˇc´ı pˇr´ıˇcina, ale nen´ı snadné naj´ıt jeden vadný pixel. Mnohem lépe je problém viditelný na sinogramu, kde se projev´ı svislou ˇcárou (obr. 3.6).

Obr. 3.6: Projev daného pixelu na sinogramu jako svislá ˇcára.

3.3

Nadstandartn´ı korekce

3.3.1

Filtrace ˇ

sumu

Velké mnoˇzstv´ı ˇsumu m˚uˇze znaˇcnˇe poniˇcit obraz (obr. 3.10), a proto je nutné ho filtrovat. Pro tento úˇcel se pouˇz´ıvaj´ı n´ızko-propustné filtry, které vˇsak maj´ı zároveˇn za následek rozmazán´ı ostrých hran vnitˇrn´ı struktury objektu. Kv˚uli tomu je nutné

(29)

naj´ıt pˇri filtraci kompromis mezi eliminac´ıˇsumu a zachován´ım rozliˇsovac´ı schopnosti. Je potˇreba také zohlednit úˇcel mˇeˇren´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze chceme analyzovat pouze vˇetˇs´ı tvary vzorku, je moˇzné zvolit vyˇsˇs´ı s´ılu filtrován´ı ˇsumu.

(a) Bez filtrov´an´ı (b) S filtrem

Obr. 3.7: Vliv ˇsumu na rozliˇsovac´ı schopnost mˇeˇren´ı [17].

Algoritm˚u na filtrován´ı existuje celá ˇrada, mezi nejbˇeˇznˇejˇs´ı patˇr´ı Gauss˚uv filtr nebo mediánový filtr [8], které jsou relativnˇe rychlé a úˇcinné. Existuje vˇsak ˇrada dalˇs´ıch algoritm˚u [22], které m˚uˇzou dát lepˇs´ı výsledky za cenu delˇs´ıho výpoˇcetn´ıho ˇcasu.

3.3.2

Korekce na pohyb vzorku

Základn´ım poˇzadavkem na vzorek je, aby se nepohnul v˚uˇci rotaˇcn´ımu stolku bˇehem mˇeˇren´ı. Ani kvalitn´ı uchycen´ı vzorku vˇsak nemus´ı zabránit pohybu o nˇekolik mikro-metr˚u, zejména u biologických vzork˚u. Takový pohyb m˚uˇze v projekci pˇredstavovat jednotky aˇz des´ıtky pixel˚u. Vzorek m˚uˇze také vlivem teplotn´ı roztaˇznost´ı nebo vy-sychán´ım zmˇenit sv˚uj tvar. Vˇsechny tyto procesy vytváˇr´ı významné artefakty ve výsledných datech (obr. 3.8).

Na pomalý pohyb v pr˚ubˇehu celého mˇeˇren´ı je moˇzné pouˇz´ıt korekci zaloˇzené na referenˇcn´ıch sn´ımc´ıch. Pˇred zaˇcátkem mˇeˇren´ı se poˇr´ıd´ı nˇekolik referenˇcn´ıch pro-jekc´ı s r˚uzných úhl˚u (napˇr´ıklad s rozmez´ım 45◦). Kv˚uli jejich rychlému poˇr´ızen´ı se pˇredpokládá, ˇze pomalý pohyb je u nich zanedbatelný. Po mˇeˇren´ı se referenˇcn´ı pro-jekce srovnaj´ı s propro-jekcemi poˇr´ızenými pod stejnými úhly a zjist´ı se, jak v pr˚ubˇehu mˇeˇren´ı vzorek posouval, otáˇcel nebo mˇenil velikost, napˇr´ıklad pomoc´ı metody fázové korelace [4]. Podle tˇechto informac´ı se následnˇe uprav´ı vˇsechny projekce.

(30)

Obr. 3.8: Rekonstrukce vzorku, kter´y se pˇri mˇeˇren´ı pohnul.

3.4

Zjiˇ

st’ov´

an´ı informac´ı pro rekonstrukci

Nˇekteré rekonstrukˇcn´ı algoritmy dokáˇz´ı zohlednit ˇradu faktor˚u, jako napˇr´ıklad po-otoˇcen´ı detektoru nebo odchylky od bˇeˇzné rotace vzorku. Prvn´ı moˇznost´ı, jak zjistit takové parametry, je jejich pˇr´ımé mˇeˇren´ı. Druhou moˇznost´ı je jejich iterativn´ı nasta-ven´ı pomoc´ı kontroly výsledných dat. To m˚uˇze prob´ıhat napˇr´ıklad tak, ˇze se zrekon-struuje jeden ˇrez pˇri pˇeti r˚uzných nastaven´ı. Dalˇs´ı pˇet rekonstrukc´ı se opakuje v okol´ı hodnoty parametru, který se jevil jako nejlepˇs´ı a celý proces se iterativnˇe opakuje, dokud rozd´ıl mezi jednotlivými nastaven´ı parametr˚u nen´ı rozeznatelný. Tento pro-ces je samozˇrejmˇe bez automatické zpˇetné kontroly pˇr´ıliˇs zdlouhavý a je moˇzné ho vyuˇz´ıvat jen v omezené m´ıˇre. Posledn´ı moˇznost´ı zjiˇstˇen´ı informac´ı pro rekonstrukci je jejich výpoˇcet pˇr´ımo z projekc´ı. Bˇeˇznˇe se touto metodou zjiˇst’uje osa rotace.

(a) COR posunuté doleva (b) Správná COR (c) COR posunuté doprava

(31)

3.4.1

Hled´

an´ı osy rotace

Poloha osy rotace (center of rotation - COR) je pro kaˇzdou rekonstrukci zásadn´ı parametr. Je potˇreba jej znát s pˇresnost´ı menˇs´ı neˇz velikost jednoho pixel˚u (obr. 3.10). To m˚uˇze u nˇekterých CT dat znamenat aˇz mikrometrovou pˇresnost. M´ısto pˇr´ımého mˇeˇren´ı, které by bylo technicky nároˇcné, se pouˇz´ıvaj´ı algoritmy schopné vypoˇc´ıtat polohu osy rotace z projekc´ı. Druhou moˇznost´ı je odhadnout posunut´ı, zrekonstruovat jeden ˇrez a sledovat specifické artefakty pro chybnou osu rotace (obr. 3.9). Následnˇe hodnotu upravit a znovu provést test. T´ımto iterativn´ım zp˚usobem je moˇzné naj´ıt osu rotace.

(a) COR o 1 pixel nalevo (b) Spr´avn´a COR (c) COR o 1 pixel napravo

Obr. 3.10: Vliv posunut´ı osy rotace o jeden pixel [17].

Nejjednoduˇsˇs´ı metoda výpoˇctu COR v sytému s paraleln´ı svazek vyuˇz´ıvá faktu, ˇze projekce liˇs´ıc´ı se pootoˇcen´ım o 180◦ jsou osovˇe soumˇerné. Po najit´ı jejich osy symetrie je moˇzné posun osy rotace vyˇc´ıst. Dalˇs´ı metody jsou zaloˇzené analýze sinogram˚u a t´ım pádem na rozd´ıl od pˇredchoz´ı metody pouˇz´ıvaj´ı vˇsechny projekce [34]. R˚uzné dalˇs´ı variace tˇechto metod a jejich srovnán´ı je moˇzné naj´ıt tˇreba zde [23].

3.5

Logaritmov´

an´ı projekc´ı

Ze vzorce v prvn´ı kapitole (1.2) je vidˇet, ˇze vˇsechny projekce je potˇreba n´asledovnˇe upravit: bij =−ln aij I0 , (3.2)

kde aij jsou hodnoty p˚uvodn´ı projekce, bij jsou hodnoty projekce po ´upravˇe, I0

je poˇcáteˇcn´ı intenzita a i, j jsou souˇradnice pixel˚u projekce. Úprava (3.2) invertuje barvy, takˇze p˚uvodn´ı b´ıla barva (vysoká hodnota) je zmˇenˇena na ˇcernou a naopak. Nˇekteré programy logaritmován´ı projekc´ı automaticky. Je d˚uleˇzité pohl´ıdat, aby

(32)

tento proces probˇehl pr´avˇe jednou.

Projekce by mˇely podle vzorce (1.2) obsahovat pouze kladná ˇc´ısla, ale z d˚uvod˚u chyb pˇredcházej´ıc´ıch korekc´ı nebo zaokrouhlován´ı se m˚uˇze stát, ˇze nˇekteré hodnoty budou nabývat nulových nebo záporných hodnot. Takové hodnoty nemaj´ı fyzikáln´ı význam a také nepatˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru (3.2) a je potˇreba je odstranit. Nej-snadnˇejˇs´ı je náhrada nejmenˇs´ı kladnou hodnotou v projekc´ıch, nebo pˇriˇcten´ım kon-stanty ke vˇsem hodnotám, tak aby vˇsechny hodnoty byly kladné.

(33)

4

PR ´

ACE S TOMOGRAFICK ´

YMI DATY

V tomografii se vyskytuj´ı tˇr´ı r˚uzné typy dat: projekce, sinogramy a ˇrezy. Ke vˇsem je moˇzné pˇristupovat jako k 3D matici ˇc´ısel, a proto je práce s nimi velmi podobná. Pˇridán´ı dalˇs´ıho rozmˇeru dˇelá práci s daty sloˇzitˇejˇs´ı, a proto je tato kapitola vˇenovaná základn´ım operac´ım jako je zobrazen´ı a ukládán´ı tomografických 3D dat. Konkrétn´ı postup je demonstrován na zobrazen´ı dat ve volnˇe staˇzitelném programu ImageJ, na kterém jsou názorné komplikace, které m˚uˇzou nastat.

4.1

Poˇ

c´ıtaˇ

cov´

y z´

apis dat

4.1.1

Form´

at dat

Pro ukládán´ı tomografických dat se pouˇz´ıvaj´ı dvˇe varianty. V prvn´ı variantˇe je kaˇzdá projekce resp. sinogram nebo ˇrez je uloˇzený v jednotlivém souboru, takˇze data tvoˇr´ı velkou sadu soubor˚u. Pro jednotlivé soubory se pouˇz´ıvaj´ı bitmapové formáty jako napˇr´ıklad TIFF. V druhé variantˇe jsou data uloˇzeny v jednom velkém souboru (oznaˇcených jako RAW file). Soubor neobsahuje ˇzádné informace o typu a rozmˇerech dat a proto k nˇemu bývá pˇriloˇzený druhý soubor se vˇsemi potˇrebnými informacemi. Výhoda této varianty je snadnˇejˇs´ı pˇrenos za cenu sloˇzitˇejˇs´ıho otev´ırán´ı.

4.1.2

Datov´

y typ

Dalˇs´ı d˚uleˇzitou vlastnost´ı dat je typ promˇenné, kterým je zakódován jedno ˇc´ıslo. V dneˇsn´ı dobˇe se v tomografii pouˇz´ıvaj´ı detektory s vysokým dynamickým roz-sahem, takˇze se nejˇcastˇeji pouˇz´ıvá 16 bitový unsigned integer (zkrácenˇe uint16), který kaˇzdému elementu pˇriˇrazuje celé ˇc´ıslo z rozsahu 0 aˇz 65535 (=216₋_{1). Kaˇ}_zd´_e

ˇc´ıslo je moˇzné interpretovat jako odst´ın ˇsedé. Pokud nen´ı potˇreba tak velký rozsah ˇc´ısel, a nebo je nutné zmenˇsit velikost dat, tak se pouˇz´ıvá 8 bitový unsigned inte-ger (zkrácenˇe uint8), který zaznamená pouze 256 odst´ın˚u ˇsedé. Lidské oko nemá dostateˇcnou citlivost na barvy, aby dokázalo mezi obˇema typy rozeznat rozd´ıl (obr. 4.1). Je vˇsak moˇzné, ˇze zaokrouhlen´ı na 256 hodnot m˚uˇze zp˚usobit zhorˇsen´ı dat, které se projev´ı v dalˇs´ıch matematických analýzách.

4.1.3

Endianita – poˇ

rad´ı bajt˚

u

Posledn´ı vlastnost´ı potˇrebnou ke spr´avn´emu naˇcten´ı dat je endianita (Endianness

nebo Byte order), která urˇcuje poˇrad´ı bajt˚u v pamˇeti pro jedno ˇc´ıslo [7]. Pro promˇenné zakódované jedn´ım bajtem (napˇr. uint8) nemá endianita ˇzádný význam, ale pro vˇetˇs´ı promˇenné je jej´ı dobré nastaven´ı pˇri nahráván´ı dat zcela zásadn´ı

(34)

Obr. 4.1: Posloupnost vˇsech odst´ın˚u ˇsedé v r˚uzných typech promˇenných [5].

(obr. 4.2). Prvn´ı moˇznost´ı je tzv. little-endian, který na prvn´ı m´ısto pamˇeti vy-hrazené pro konkrétn´ı ˇc´ıslo ukládá bajt kóduj´ıc´ı nejmenˇs´ı ˇrády (takˇze napˇr´ıklad z nˇej jde urˇcit, jestli je ˇc´ıslo sudé nebo liché) a ˇrády kóduj´ıc´ı vyˇsˇs´ı ˇrády ukládá aˇz za prvn´ı bajt. Druhá varianta se nazývá big-endian, který na prvn´ı m´ısto ukládá bajt kóduj´ıc´ı nejvˇetˇs´ı ˇrády a t´ım se podobá standartn´ımu zápisu ˇc´ısla.

(a) Big-endian (b) Little-endian

Obr. 4.2: Pˇr´ıklad projekce s ˇspatnˇe nastaven´ım poˇrad´ı bajt˚u.

4.2

Nahr´

av´

an´ı dat

Pokud chceme pouˇz´ıt program na zpracován´ı dat, který nen´ı vytvoˇrený výrobcem tomografu, tak ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚u budeme muset pˇri naˇc´ıtán´ı dat zadat nˇekteré informace

”manuálnˇe“. Pˇr´ıklad procesu nahráván´ı ukazuji v programu ImageJ, který m˚uˇze dobˇre poslouˇzit pro vizualizaci dat a popˇr´ıpadˇe navazuj´ıc´ı analýzu. Pokud jsou data uloˇzená v sérii obrázk˚u, je potˇreba pˇr´ıkaz File → Import → Image Sequence. Zde staˇc´ı nahrát prvn´ı projekci a zadat poˇcet projekc´ı. Vˇsechny ostatn´ı informace si program sám zjist´ı pomoc´ı grafického formátu jednotlivých obrázk˚u.

(35)

Sloˇzitˇejˇs´ı situace nastane, pokud jsou data uloˇzená v jednom souboru. Data se nahraj´ı pˇr´ıkazem File → Import → Raw. Nab´ıdka, která se následnˇe objev´ı, je zobrazena na obrázku 4.3. Width (ˇs´ıˇrka), height (výˇska) a number of images (poˇcet obrázk˚u) udáváj´ı rozmˇery dat, které je nutné vyˇc´ıst z informaˇcn´ıho souboru. Bohuˇzel poˇrad´ı ani pojmenován´ı tˇechto tˇr´ı ˇc´ısel nen´ı ve vˇsech informaˇcn´ıch souborech a programech stejné a proto je obˇcas nutné vyzkouˇset r˚uzné kombinace, dokud se data nezobraz´ı dobˇre. Dále je d˚uleˇzité nastavit dobrý datový typ (Image type) a endianitu (Little-endian byte order). Chybné nastaven´ı nˇekterého z parametr˚u má r˚uzné projevy. Nejˇcastˇejˇs´ı chyby a jejich následky jsou shrnuti v tabulce 4.1.

Obr. 4.3: Nastaven´ı pro nahran´ı RAW dat.

Nastaven´ı Use virtual stack je speciáln´ı volba v ImageJ, která zp˚usob´ı, ˇze obrázky nejsou nahrány vˇsechny najednou do operaˇcn´ı pamˇeti, ale aˇz teprve pˇri jejich prohl´ıˇzen´ı. Je to výhodné pro rychlé zobrazen´ı dat, ale nen´ı vhodné, pokud chceme v ImageJ dˇelat dalˇs´ı zpracován´ı dat.

4.3

Ukl´

ad´

an´ı dat

Uloˇzen´ı tomografických dat nen´ı triviáln´ı záleˇzitost, pokud následuje po matema-tickém zpracován´ı, které zmˇen´ı rozsah a rozloˇzen´ı hodnot. Pro matematické úpravy jsou data ˇcasto pˇrevedena do datového typu s plovouc´ı desetinou ˇcárkou (napˇr. float, double, real), který dovoluje velký rozsah hodnot, ale nen´ı vhodný pro ukládán´ı dat,

(36)

Tab. 4.1: Nejˇcastˇejˇs´ı chyby pˇri nahr´av´an´ı dat.

Chybn´e nastaven´ı N´asledek

16-bit (m´ısto 8-bit) 4 projekce/ˇrezy v jednom obr´azku. 8-bit (m´ısto 16-bit) ˇSum bez viditeln´e struktury.

1. rozmˇer (width) ˇSum s ostrými pˇrechody mezi ˇrádky (obr. 4.4). 2. rozmˇer (height) Obrázky pˇresahuj´ı do jiných obrázk˚u (obr. 4.5) . Velký 3. roz.(number of im.) Pˇri najet´ı na posledn´ı obrázky se objev´ı chyba. Malý 3. roz.(number of im.) Nen´ı poznat, pouze se nezobraz´ı vˇsechna data. Endianita(byte order) ˇSum bez viditelné struktury (obr. 4.2a).

Obr. 4.4: Výsledné zobrazen´ı pˇri ˇspatném nastaven´ı 1. rozmˇeru.

(37)

a proto je nutn´e prov´est pˇrevod do typu integer. Nejjednoduˇsˇs´ı postup je nejdˇr´ıv upravit rozsah vzorcem:

bijk =

aijk·t

max(A), (4.1) kde aijk je prvek 3D matice A p˚uvodn´ıch data, bijk je prvek 3D matice B po

transformaci a t je nejvyˇsˇs´ı hodnota datov´eho typu integer (napˇr. pro uint16 je

x = 65535). A následnˇe zaokrouhlit vˇsechny hodnoty na celé ˇc´ısla. V pˇr´ıpadˇe, ˇze data obsahuj´ı záporné hodnoty nebo je rozsah ˇc´ısel významnˇe vzdálený od nuly, je nutné provést lineárn´ı transformaci:

bijk =

aijk−min(A)

max(A)−min(A) ·t. (4.2) Je potˇreba zváˇzit, ˇze matice A m˚uˇze obsahovat nˇekolik miliard ˇc´ısel a proto se m˚uˇze stát, ˇze pˇri nˇekterých matematických algoritmech chybnˇe vznikne nˇekolik ˇc´ısel, které maj´ı aˇz o nˇekolik ˇrád˚u vˇetˇs´ı hodnotu neˇz zbytek ˇc´ısel. To pak má následek enormn´ı zvˇetˇsen´ı zaokrouhlovac´ı chyby hodnot, které nás ve skuteˇcnosti zaj´ımaj´ı. Tento problém má dvˇe ˇreˇsen´ı. Prvn´ı z nich je pouˇz´ıt upravenou transformaci:

bijk =          t, pro aijk ≥Q1−p, aijk−Qp Q1−p−Qp ·t, pro Q1−p > aijk ≥Qp, 0, pro aijk < Qp, (4.3)

kde Qp(A) je p-kvantil. Parametr p je ˇc´ıslo od 0 do 1 a ud´avaj´ıc´ı kolik procent

nejsvˇetlejˇs´ıch nebo nejtmavˇs´ıch pixel˚u je zaokrouhleno pouze na jednu hodnotu a je potˇreba ho zvolit podle odhadu maxim´aln´ıho poˇctu

”ˇspatných“ hodnot. Druhou moˇznost´ı je nahradit kvantily hranicemi, které se uˇzivatel sám zvol´ı sám napˇr´ıklad na základˇe vizuáln´ı kontrole dat.

Dále je moˇzné, ˇze v datech jsou nekoneˇcné nebo nedefinované hodnoty (vzniklé napˇr´ıklad po dˇelen´ı nulou). Ty m˚uˇzou zp˚usobit znaˇcné pot´ıˇze pˇri dalˇs´ım zpracován´ı (napˇr. vzorec (4.2) nebude v˚ubec fungovat) a je nutné bud’ vyfiltrovat, nebo v lepˇs´ım pˇr´ıpadˇe zabránit jejich vzniku.

Výˇse uvedený postup má nevýhodu, ˇze pˇri hledán´ı hranic lineárn´ı transformace, je nutné pracovat se vˇsemi daty. To m˚uˇze být znaˇcný problém u tomografických dat, které maj´ı aˇz des´ıtky gigabajt˚u. Proto nˇekteré softwary pracuj´ı s projekcemi resp. ˇrezy nebo sinogramy postupnˇe (napˇr. ANKAphase) a v pr˚ubˇehu data ukládaj´ı. V takovém pˇr´ıpadˇe nen´ı moˇzné zjistit maximum a minimum resp. kvantil ze vˇsech dat. Prvn´ı moˇznost ˇreˇsen´ı je obˇe hranice transformace odhadnout podle prvn´ı zpraco-vaného obrazu, napˇr´ıklad vz´ıt trojnásobek maxima a minima z nˇej. Druhou moˇznost´ı je pouˇz´ıt vzorec (4.2) nebo (4.3) na kaˇzdý obrázek zvláˇst’ a hranice transformace

(38)

uloˇzit do pomocného informaˇcn´ıho souboru. Takové uloˇzen´ı dat minimalizuje zao-krouhlovac´ı chybu, ale programy neum´ı s takovým formátem pracovat a je nutné si na otev´ırán´ı napsat vlastn´ı skript.

(39)

5

N ´

AVRH REKONSTRUKCE DAT Z NANO3DX

Tato kapitola se zabývá zpracován´ım dat pro nanoCT Nano3DX. Firma Rigaku, která pˇr´ıstroj vyrobila, dodala software, který um´ı zrekonstruovat data s pouˇzitým standartn´ıch korekc´ı. Posun osy rotace od stˇredu projekc´ı je parametr, který mus´ı zadat uˇzivatel na základˇe zobrazen´ı jednoho zrekonstruovaného ˇrezu. Vliv hodnoty na data se vˇzdy po zadán´ı pˇrepoˇc´ıtá a po nˇekolika sekundách ukáˇze. Postupným typován´ı m˚uˇze nakonec uˇzivatel naj´ıt ideáln´ı posunut´ı osy rotace. Celý proces m˚uˇze zabrat 5 aˇz 10 minut. Následná rekonstrukce trvaj´ıc´ı des´ıtky minut uˇz nevyˇzaduje pˇr´ıtomnost ˇclovˇeka.

Ve snaze vylepˇsit a zrychlit zpracován´ı dat je v této práci navrˇzen postup pro zpracován´ı projekc´ı, který obsahuje korekce na pohyb vzorku, filtrován´ıˇsumu a auto-matický výpoˇcet osy rotace. Postup zpracován´ı je realizován v prostˇred´ı MATLAB a k následné rekonstrukci je vyuˇzito ASTRA Tomography Toolbox. Proces zpra-cován´ı spolu se srovnán´ı výsledk˚u se origináln´ım softwarem od výrobce pˇr´ıstroje je demonstrován v této kapitole.

5.1

ASTRA toolbox

Pro rekonstrukci dat z nanoCT Nano3DX byl pouˇzitý software ASTRA Tomography Toolbox [24]. Je to otvˇrená knihovna pro programové prostˇred´ı MATLAB, pˇr´ıpadnˇe python, která je napsaná v C++ a pro práci s grafickou kartou pouˇz´ıvá jazyk CUDA. ASTRA Toolbox umoˇzˇnuje provést r˚uzné rekonstrukce (napˇr. FBP, FDK, SIRT) pro r˚uzné geometrie CT systému (napˇr. paraleln´ı nebo kuˇzelový svazek). Pro zrych-len´ı rekonstrukce m˚uˇze výpoˇcty provádˇet na grafické kartˇe od výrobc˚u NVIDIA (omezen´ı plynouc´ı z pouˇzit´ı z pouˇzitý jazyka CUDA). Software je stále ve vývoji a pravidelnˇe pˇribývaj´ı nové verze. Zpracován´ı dat popsané v této práci prob´ıhá na verzi 1.6.

5.2

N´

avrh rekonstrukce pomoc´ı Astra-toolbox

5.2.1

Geometrie

Vzorek je v Nano3DX mnohem bl´ıˇze detektoru neˇz ke zdroji záˇren´ı a proto je moˇzné brát rentgenový svazek za kvaziparaleln´ı. Z toho d˚uvodu nen´ı potˇreba pˇri rekon-strukci pouˇz´ıvat vˇsechny data naráz, ale staˇc´ı vytvoˇrit z projekc´ı sinogramy a ty pak postupnˇe pouˇz´ıvat pro rekonstrukci ˇrez˚u jeden po druhém za pouˇzit´ı algoritm˚u pro paraleln´ı svazek.

(40)

Oproti tomu algoritmy, které zohledˇnuj´ı kuˇzelovou povahu svazku, vyˇzaduj´ı nahr´ a-n´ı vˇsech vstupa-n´ıch dat. Zde se narazilo na omezea-n´ı plynouc´ı z nedostateˇcné pamˇeti grafické karty. Nejvˇetˇs´ı data, které se úspˇeˇsnˇe podaˇrilo zrekonstruovat, mˇely rozmˇery 600×600×600, pˇritom typická data z Nano3DX maj´ı 1648×1220×802. Jeden z tv˚urc˚u programu podal ujiˇstˇen´ı, ˇze na úpravˇe algoritm˚u pro velká data se pracuje, a mˇeli by se objevit v dalˇs´ıch verz´ı.

5.2.2

Algoritmus rekonstrukce

Pro testován´ı nástroje byl vybrán zástupce analytické rekonstrukce FBP a zástupce algebraické rekonstrukce SIRT. Pˇri dostateˇcném poˇctu iterac´ı (kolem 100) dával SIRT stejné výsledky jako druhý algoritmus pˇribliˇznˇe stejné výsledky (obr. 5.1), ale jeho doba výpoˇctu byla pˇribliˇznˇe 10krát delˇs´ı. Z tˇechto d˚uvod˚u byl pro navrhované zpracován´ı zvolen FBP.

(a) FBP (b) SIRT

Obr. 5.1: Rekonstrukce r˚uzn´ymi algoritmy.

5.3

N´

avrh proces˚

u pˇ

red rekonstrukc´ı pro Nano3DX

Nano3DX umoˇzˇnuje se dostat jak k projekc´ım bez ˇzádných úprav, tak k dat˚um, na které byly aplikovány standartn´ı korekce flat-field, dark-frame a demaskován´ı vadných pixel˚u. Navrhovaný proces zpracován´ı dat bude pokraˇcovat na datech s touto korekc´ı.

(41)

5.3.1

Filtrace ˇ

sumu

Filtrován´ı ˇsumu je moˇzné aplikovat ve vˇsech fáz´ıch procesu zpracován´ı, pˇred re-konstrukc´ı, pˇri n´ı, nebo na tomografických ˇrezech. Posledn´ı varianta se ukázala ne-vhodná, protoˇze mnohem v´ıce rozmaˇze hrany neˇz ostatn´ı postupy.

Pro filtrac´ı projekc´ı pˇred rekonstrukci bylo vyzkouˇseno nˇekolik filtrac´ı a nakonec se nejv´ıce ovˇeˇril medián filtr s rozsahem 3×3 (obr. 5.2b). Pˇri vˇetˇs´ıch ˇc´ıslech docház´ı k výraznˇe vˇetˇs´ımu rozmazán´ı obrazu a je vhodné je pouˇz´ıt jen na úˇcely, kdyˇz nen´ı c´ılem vysoká rozliˇsitelnost detail˚u vnitˇrn´ı struktury. Filtrace je provádˇena jako prvn´ı proces, aby se zmenˇsil vliv ˇsumu na dalˇs´ı úpravy.

Dalˇs´ı moˇznost bylo vyuˇz´ıt filtrace u FBP naprogramované v ASTRA. Po otes-tován´ı r˚uzných filtr˚u se nakonec zvolil Cosine s hodnotou 0,6 (obr. 5.2c). Pˇri po-rovnán´ı obou pˇr´ıstupu, se ukázal median filtr lepˇs´ı volbou.

(a) Bez filtru (b) S median filtrem (c) S filtrem cosine 0,6

Obr. 5.2: Vliv r˚uzn´ych metod filtrace.

5.3.2

Korekce na pohyb vzorku

Nano3DX sytém pˇred zaˇcátkem mˇeˇren´ı nasn´ımá projekci pod úhlem 180◦. Ve stejné pozici je vytvoˇrena posledn´ı projekce tomografického mˇeˇren´ı. Oboje projekce se liˇs´ı pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze se vzorek pohnul. Pro navrhovanou korekci pohybu se nejprve zjist´ı posun ve svislé a vodorovné ose pomoc´ı minimalizován´ı výrazu:

min v,s n−h X i=h+1 m−h X j=h+1 |aij−bi+v,j+s|, (5.1)

kde v, s∈ h−h;hijsou hodnoty odhadovaného posunu,n am je poˇcet pixel˚u ve vodorovné a svislé ose, h je maximáln´ı moˇzné posunut´ı, které se jeˇstˇe testuje.

Za pˇredpokladu, ˇze pohyb vzorku byl pomalý a pˇribliˇznˇe lineárn´ı, tak m˚uˇzeme upravit vˇsechny projekce. Pro obˇe osy prob´ıhá korekce zvláˇst’. V pˇr´ıpadˇe posuvu

(42)

ve svislé osy kaˇzdou projekci posuneme o nˇekolik pixel˚u svisle. Pˇredpokládáme, ˇze se prvn´ı projekce nepohnula a druhá se pohnula o s pixel˚u. U ostatn´ıch projekc´ı pˇredpokládáme lineárn´ı závislost posunut´ıps, které se vypoˇc´ıtá:

ps =

k−1

o−1 ·s, (5.2) kde k je ˇc´ıslo projekce,o je poˇcet projekc´ı, s je svislý posuv vypoˇc´ıtaný z (5.1). Prakticky je pak posunut´ı projekc´ı ˇreˇsen odstranˇen´ım pixel˚u z doln´ı nebo horn´ı ˇcásti obrazu. Napˇr´ıklad kdyˇz svislý rozmˇer nˇejaké projekce zmenˇs´ıme o jeden pixel shora a jinou o jeden pixel zdola, tak se vzájemnˇe posunou o jeden pixel. Pro jednoduchost je moˇzné si vybrat jednu projekci za pevnou a ty ostatn´ı posunovat v˚uˇci n´ı. Protoˇze posun je témˇeˇr vˇzdy neceloˇc´ıselný, je nutné nav´ıc provést lineárn´ı interpolaci.

V pˇr´ıpadˇe vodorovného pohybu do strany je nutné si jeˇstˇe uvˇedomit, ˇze se vzorek m˚uˇze v˚uˇci rotaˇcn´ımu stolku pohybovat ve dvou osách do dvou r˚uzných smˇer˚u. O jednom z nich bohuˇzel nic nev´ıme. Jeho smˇer je v 0◦ a 180◦ rovnobˇeˇzný na smˇer ˇs´ıˇren´ı paprsku, a proto se v tˇechto projekc´ı nijak neprojev´ı. Naproti tomu naˇse vypoˇc´ıtané posunut´ıv se zase neprojev´ı v projekci mˇeˇrenou pod úhlem 45◦ a proto ke vzorci (5.2) v pˇr´ıpadˇe pohybu do strany je potˇreba jeˇstˇe pˇridat funkci kosinus. Ta urˇcuje, jak moc se daném posunut´ı v konkrétn´ı projekci projev´ı. Výsledný vztah pro posunut´ı k-té projekce vypadá takto:

pv = cos (k−1)π o−1 ·k−1 o−1 ·v (5.3) Kde promˇenné maj´ı stejný význam, jako v pˇrechoz´ıch dvou vzorc´ıch. Tato jedno-duchá korekce m˚uˇze m´ıt znaˇcný efekt na výsledné ˇrezy. To je demonstrováno na obr. 5.4, který má znaˇcnˇe ménˇe artefakt˚u neˇz obr. 5.3 vytvoˇrený softwarem od Rigaku.

5.3.3

Hled´

an´ı osy rotace

Pro výpoˇcet osy rotace se vyuˇz´ıvá prvn´ıch dvou projekc´ı, které jsou poˇr´ızené rychle za sebou a pˇri tom se liˇs´ı 180◦. Tyto projekce jsou pˇribliˇznˇe osovˇe symetrické. V pˇr´ıpadˇe, ˇze osa rotace procház´ı stˇredem projekc´ı, tak staˇc´ı zrcadlovˇe otoˇcit jednu projekci, aby se pˇrekryly. Pokud tomu tak nen´ı, je nutné jednu z projekc´ı nav´ıc posunout do strany o poˇcet pixel˚u, který je rovný dvojnásobku posunu osy rotace. Znovu m˚uˇzeme pouˇz´ıt vzorec (5.1), pro výpoˇcet posunut´ı.

V pˇr´ıpadˇe, ˇze tento výpoˇcet nen´ı pˇresný, je v navrhované rekonstrukci moˇzné osu rotace ruˇcnˇe doladit. D˚uvod nepˇresnosti m˚uˇze být napˇr´ıklad pohyb vzorku. V pˇr´ıpadˇe, ˇze dojde k posunut´ı o v pixelu na stranu, je moˇzné zmenˇsit artefakty v ˇrezech právˇe pomoc´ı zmˇeny osy rotace o polovinu v. Také je moˇzné, ˇze kaˇzdá

(43)

Obr. 5.3: ˇRez ze softwaru od Rigaku.

(44)

ˇcást vzorku pohne jinak. V takovém pˇr´ıpadˇe ideáln´ı osa rotace pro minimalizován´ı artefakt˚u je odliˇsná pro r˚uzné ˇcásti.

5.4

Srovn´

an´ı r˚

uzn´

ych proces˚

u zpracov´

an´ı dat

Kromˇe rozd´ıl˚u, zp˚usobené výˇse popsanými korekcemi, je zde nˇekolik dalˇs´ıch vlast-nost´ı, které se liˇs´ı u zpracován´ı rekonstrukˇcn´ım programem od Rigaku a navrho-vaným postupem. Výrobce tomografu vˇsak dává pˇrednost výsledná data uchovat pouze v jednom velkém souboru s pˇr´ıponou RAW v uin8. V navrˇzeném postupu se výsledné ˇrezy ukládaj´ı jako sérii obrázk˚u s pˇr´ıponou TIFF v uint16. Zat´ımco formát dat je pouze technická záleˇzitost, která nemá vliv na samotné data, tak bi-tová hloubka m˚uˇze m´ıt vˇetˇs´ı dopad. Za cenu dvojnásobné velikosti je navrhovaném zpracován´ı pouˇzito pro kaˇzdou hodnotu v obraze 256krát vˇetˇs´ı rozsah odst´ınu ˇsedi.

5.4.1

Oˇ

rez´

an´ı okraj˚

u

Protoˇze se vzorek v pˇr´ıstroji otáˇc´ı, m˚uˇzou se nˇekteré ˇcásti v pr˚ubˇehu mˇeˇren´ı dostat ze zorného pole detektoru. Prostor, u kterého je taková moˇznost vylouˇcená, tvoˇr´ı válec se stˇredem v ose rotace. Software od Rigaku svoji rekonstrukci omezuje pouze na tento prostor (obr. 5.5a), ale obecnˇe je moˇzné z´ıskat informace o ˇcásti vzorku mimo nˇej, jak ukazuje navrhovaný proces zpracován´ı projekc´ı (obr. 5.5b). U rekonstrukce pomoc´ı ASTRA jsou data ménˇe kvalitn´ı, nav´ıc se v nich objevuje kruhový artefakt na kraj´ıch vzorku. Z tˇechto d˚uvod˚u je moˇzné v navrhovaném skriptu válcové oˇrezán´ı také nastavit vˇcetnˇe jeho polomˇeru.

5.4.2

Casov´

ˇ

a n´

aroˇ

cnost

D˚uleˇzitou vlastnost´ı celého procesu je doba zpracován´ı. Pro srovnán´ı bylo pouˇzito mˇeˇren´ı s 802 projekcemi s rozmˇery 1648×1220. Software od firmy Rigaku na PC do-daném spoleˇcnˇe s tomografem vyˇzadoval pˇribliˇznˇe 10 minut pro nastaven´ı (zejména hledán´ı osy rotace zabralo nejv´ıce ˇcasu) a následnˇe 46 minut na samotný výpoˇcet. Výpoˇcet je provádˇen na grafické kartˇe Tesla K20c s frekvenc´ı 705 MHz, 2496 jádry a pamˇet´ı 4800 MB.

Navrhovaný skript v prostˇred´ı MATLAB vyˇzadoval pˇribliˇznˇe 2 minuty na nasta-ven´ı a 14 minut výpoˇcetn´ıho ˇcasu. Prob´ıhal na grafické kartˇe GeForce GTX 980 Ti taktovanou na frekvenci 1063 MHz, s 2816 jádry a pamˇet´ı 6 GB.

(45)

(a) Bez oˇrezu v navrhovan´em postupu (b) S oˇrezem od Rigaku

(46)

6

Z ´

AVˇ

ER

V prvn´ı ˇcásti práce byl rozebrán tomografický systém po technické stránce. Postupnˇe byl popsán nejen základn´ı principu mˇeˇren´ı, ale i jednotlivé souˇcásti pˇr´ıstroje a je-jich vlastnosti. Bylo také upozornˇeno na nˇekteré jejich technické nedostatky, které mohou zp˚usobit neˇzádané artefakty v datech.

Dále byl popsán proces zpracován´ı dat. Jeho ned´ılnou souˇcást´ı je tomografická rekonstrukce, která pˇrevede projekce na virtuáln´ıˇrezy vzorkem. Existuje ˇrada rekon-strukˇcn´ıch algoritm˚u s rozd´ılným pˇr´ıstupem k dané problematice. V práci je moˇzné naj´ıt jejich pˇrehled a výˇcet hlavn´ıch výhod a nevýhod.

Nezanedbatelná ˇcást zpracován´ı dat prob´ıhá pˇred samotnou rekonstrukc´ı. V práci byly popsány standardn´ı korekce flat-field, dark-field a demaskován´ı vadných pi-xel˚u, které dnes jsou bˇeˇznou souˇcást´ı zpracován´ı dat. Dalˇs´ı významnou korekc´ı je filtrován´ı ˇsumu v obraze, který ovlivˇnuje rozliˇsovac´ı schopnosti pˇr´ıstroje. Dále byla prezentována problematika neˇzádaného pohybu vzorku pˇri mˇeˇren´ı, který zp˚usobuje znaˇcné artefakty ve výsledném obraze. Nakonec byl rozebrán postup na hledán´ı po-lohy osy rotace vzorku. Ta je pro tomografickou rekonstrukci zásadn´ı údaj, který je potˇreba znát s pˇresnost´ı menˇs´ı neˇz jednoho pixelu.

V posledn´ı ˇcásti byl navrˇzen postup pro zpracován´ı dat z nanoCT Nano3DX. Pro tomografickou rekonstrukci byl pouˇzit otevˇrený software ASTRA Tomography Toolbox, coˇz je knihovna pro prostˇred´ı MATLAB, která obsahuje nˇekolik r˚uzný re-konstrukˇcn´ıch algoritm˚u, a umoˇzˇnuje k urychlen´ı zpracován´ı vyuˇz´ıt grafickou kartu. Dále byla naprogramována a pˇridána korekce na pohyb vzorku, filtrace ˇsumu a výpoˇcet polohy osy rotace.

Pˇri srovnán´ım navrhovaného postupu s softwarem dodaného od výrobce tomo-grafu zjist´ıme, ˇze kvalita nˇekterých výsledk˚u je srovnatelná a u jiných pozorujeme znaˇcný úbytek neˇzádouc´ıch artefakt˚u. Ten je zp˚usoben korekc´ı na pohyb. Ta vˇsak funguje pouze na pomalý pˇribliˇznˇe lineárn´ı posun ve dvou osách, a proto nˇekteré artefakty zp˚usobené pohybem vzork˚u neodstan´ı. Dále navrhovaný postup obsahuje algoritmus na hledán´ı osy rotace. Ten odstraˇnuje 5-10 minutové nastavován´ı pˇred kaˇzdou rekonstrukc´ı v p˚uvodn´ım softwaru. V pˇr´ıpadˇe srovnán´ı ˇcasové nároˇcnosti je navrhovaný postup pˇribliˇznˇe tˇrikrát rychlejˇs´ı, coˇz je ˇcásteˇcnˇe zp˚usobena kvalitnˇejˇs´ı grafickou kartou pouˇzitou pro rekonstrukci.

(47)

LITERATURA

[1] ABU ANAS, E. M. et al. Comparison of ring artifact removal methods using flat panel detector based CT images. BioMedical Engineering On-Line [online]. 2011, 10(1), 72- [cit. 2016-05-20]. DOI: 10.1186/1475-925X-10-72. ISSN 1475-925x. Dostupn´e z: http://biomedical-engineering-online. biomedcentral.com/articles/10.1186/1475-925X-10-72

[2] ANDERSEN, A. Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique (SART): A superior implementation of the ART algorithm. Ultrasonic Imaging [on-line]. 1984, 6(1), 81-94 [cit. 2016-05-20]. DOI: 10.1016/0161-7346(84)90008-7. ISSN 01617346. Dostupn´e z: http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/ pii/0161734684900087

[3] ASTRA Tomography Toolbox: A high-performance GPU MATLAB toolbox for 2D and 3D tomography [online]. 2013 [cit. 2016-05-21].Dostupn´e z: https:// sourceforge.net/projects/astra-toolbox/

[4] BERJAK, J.Automatická analýza a rozpoznáván´ı biologických objekt˚u v obraze pomoc´ı fázové korelace. Brno, 2009. Disertaˇcn´ı práce.

[5] Bit Depth - color precision in raster images. The Working Man [online]. [cit. 2016-05-21]. Dostupn´e z: http://www.the-working-man.org/2014/12/ bit-depth-color-precision-in-raster.html

[6] BOIN, M. a A. HAIBEL. Compensation of ring artefacts in synchrotron to-mographic images. Optics Express [online]. 2006, 14(25), 12071- [cit. 2016-05-21]. DOI: 10.1364/OE.14.012071. ISSN 1094-4087. Dostupn´e z: https: //www.osapublishing.org/oe/abstract.cfm?uri=oe-14-25-12071

[7] Byte Order. Unix Incompatibility Notes [online]. J. Wolter [cit. 2016-05-21]. Dostupn´e z: http://unixpapa.com/incnote/byteorder.html

[8] Digital Filters. Image processing: Learnign resources [online]. Robert Fisher, Simon Perkins, Ashley Walker, Erik Wolfart, 2004 [cit. 2016-05-21]. Dostupn´e z:http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/filtops.htm

[9] FELDKAMP, L. A., L. C. DAVIS a J. W. KRESS. Practical cone-beam algo-rithm. Journal of the Optical Society of America A [online]. 1984, 1(6), 612-[cit. 2016-05-20]. DOI: 10.1364/JOSAA.1.000612. ISSN 1084-7529. Dostupn´e z:

(48)

[10] FUCHS, E. a I. NETUKA. Johan Radon. Pokroky matematiky, fyziky a as-tronomie [online]. 1988, 33(5), 282–285 [cit. 2016-05-20]. Dostupn´e z: http: //dml.cz/dmlcz/138328

[11] GONDROM, S., S. SCHR ÖPFER a D. SAARBR ÜCKEN. Digital computed laminography and tomosynthesis: functional principles andindustrial applicati-ons. In: International Symposium on Computerized Tomography for Industrial Applications and Image Processing in Radiology [online]. Berlin, Germany: DGZfP, 1999 [cit. 2016-05-20]. Dostupné z: http://www.ndt.net/article/ v04n07/bb67_11/bb67_11.htm

[12] HSIEH, J. Computed tomography: principles, design, artifacts, and recent advances. 2nd ed. Bellingham, Wash.: SPIE Press, c2009. ISBN 978-081-9475-336.

[13] HUBBELL, J. H. a S. M. SELTZER. Tables of X-Ray Mass Attenuation Co-efficients and Mass Energy-Absorption CoCo-efficients from 1 keV to 20 MeV for Elements Z = 1 to 92 and 48 Additional Substances of Dosimetric Inte-rest. Radiation Physics Division [online]. 1996 [cit. 2016-05-21]. Dostupn´e z:

http://www.nist.gov/pml/data/xraycoef/index.cfm

[14] HUNTAMAKI, J. J., S. WRONKA a W. DZIEWIECKI. 3D reconstructions from bulky objects using sparse-angle data. In:Digital Industrial Radiology and Computed Tomography. Belgium, Ghent, 2015.

[15] KAK, Avinash C. a Malcolm. SLANEY.Principles of computerized tomographic imaging. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. ISBN 08-987-1494-X.

[16] KASTNER, J., B. PLANK a C. HEINZL. Advanced X-ray computed tomo-graphy methods: High resolution CT, phase contrast CT, quantitative CT and 4DCT: Proceedings. In: DIR 2015 [online]. Ghent, Belgium, 2015 [cit. 2016-05-20]. Dostupn´e z:http://www.ndt.net/search/docs.php3?showForm=off& id=18089

[17] KARIMI, D. et al. A sinogram denoising algorithm for low-dose computed tomography. BMC Medical Imaging [online]. 2016, 16(1), - [cit. 2016-05-21]. DOI: 10.1186/s12880-016-0112-5. ISSN 1471-2342. Dostupn´e z: http://www. biomedcentral.com/1471-2342/16/11

[18] KETCHAM, R. A. a W. D. CARLSON. Acquisition, optimization and interpre-tation of X-ray computed tomographic imagery: applications to the geosciences.

(49)

Computers[online]. 2001,27(4), 381-400 [cit. 2016-05-21]. DOI: 10.1016/S0098-3004(00)00116-3. ISSN 00983004. Dostupn´e z:http://linkinghub.elsevier. com/retrieve/pii/S0098300400001163

[19] KHAN, F. M. a John P. GIBBONS. The physics of radiation therapy. 3rd ed. Philadelphia: Lippincott Williams, c2003. ISBN 07-817-3065-1.

[20] MAISL, M., F. PORSCH a C. SCHORR. Computed laminography for