== 1,,1,/ = ,1

(1)

1119

UDC 519.21

About Nested Circuits Markov in one Parametric Queueing Model

1 Arsen R. Simonyan

2 Rafik A. Simonyan

3 Elena I. Ulitina

1 Sochi State University, Russia Sovetskaya street 26a, Sochi, 354000 PhD (Physical and mathematical) E-mail: oppm@mail.ru

2Kuban State University, Russia

Stavropolskaya street 149, Krasnodar, 350040 Graduate student

E-mail: raf55@list.ru

3 Sochi State University, Russia Sovetskaya street 26a, Sochi, 354000 PhD (Physical and mathematical) E-mail: ulitinaelena@mail.ru

Abstract. In operation the single-channel queuing system with several Poisson entering flows and with Kleynrok's parametric discipline is considered. The Markov circuit which is received on a basis a vector of processes of the maximum priorities of flows of calls is completely studied.

Keywords: Markov chain; Kleynrok's model; probabilities of statuses; stationary mode.

Введение. Среди моделей очередей с несколькими входящими потоками особою место занимает модель, обозначаемая по классификации Кендалла-Башарина, как Мr|Cr|1|∞.

В одноканальную систему с ожиданием поступают независимые пуассоновские потоки 1-вызовов, ..., r-вызовов с параметрами а1,...,аr соответственно. Длительности обслуживания вызовов независимы в совокупности, не зависят от процесса поступления и для k-вызовов,

r

k = 1 ,

имеют функцию распределения

B

_k

( ) ( ) x , B

_k

+ 0 = 0

. В момент t=0 в системе отсутствуют вызовы.

Разнообразие рассматриваемых и литературе дисциплин – источник традиционных постановок задач в математической теории очередей. Например, весьма широк класс консервативных дисциплин. Дисциплина консервативна, если работа (время обслуживания) не создается и не исчезает внутри модели, а привносится в модель извне.

В модели Мr|Cr|1|∞ интерес вызывают подклассы консервативных дисциплин – дисциплины, зависящие от свободных параметров, варьируя которыми (параметрами), разработчик технической системы (сам!) может на этапе проектирования подобрать конкретные значения параметров, наиболее подходящие в его конкретных условиях.

Л.Клейнрок [1, 153], приводит следующий пример, подтверждающий необходимость рассмотрения параметрических дисциплин. Перед разработчиком технической системы ставится задача. Подобрать конкретную дисциплину модели Мr|Сr|1|∞ так, чтобы отношения

ω

_k₁

/ ω

_k₋₁₁

, k = 1 , r , ω

₀₁

= 1

лежали в заранее заданных пределах. Здесь

r

k₁

, k = 1 ,

ω

– стационарное среднее времени ожидания k-вызова.

В настоящей статье рассматривается следующая дисциплина Клейнрока. [2,3].

Поступивший в момент τ>0 в модель и не попавший до момента t, t>τ, на прибор k-вызов, в момент t получает приоритет

( ) t = b ( t − τ ) ,

q

_k _k

(2)

1120

где

b

₁

≥ b

₂

≥ ... ≥ b

_r

> 0

– заранее заданные числа. В моменты окончаний обслуживаний среди вызовов, находящихся в очереди, на обслуживание выбирается вызов с наибольшим приоритетом. Если таких вызовов несколько, то среди них выбирается тот, который поступил в систему раньше (или позже).

Дисциплина Клейнрока является (r-1)-параметрической и консервативной дисциплиной, зависящей от отношения (параметров)

b

2

/ b

1

, b

3

/ b

2

,..., b

_r

/ b

_r₋1. Случаи

1 , 0 , 0 и /

...

₁

1

= = b b

₊

b → k =

b

_r _k _k , соответствуют дисциплинам FIFO и

относительных приоритетов [2].

Рассмотрим модель Клейнрока, в которой без ограничения общности считаем, что 1

1

...

0 < b

_r

< b

_r₋

< < b

.

Описание вложенной цепи Маркова. Перенумеруем вызовы в порядке обслуживания числами 1,2,..., независимо от номеров потоков, которым они принадлежат.

Пусть

t

₁

′ < t

₂

′ < ... < t

_n

′ < ...

и

t

₁

< t

₂

< ... < t

_n

< ...

– последовательные моменты начал и завершении обслуживания вызовов. Здесь

t

n

′

и

t

n,

n ≥ 1

– моменты начала и завершения обслуживания п-того вызова. Обозначим через

η

_k

( ) t , k = 1 , r , t ≥ 0

максимальный приоритет k-вызовов в очереди в момент времени t. Другими словами,

( ) t , k = 1 , r , t ≥ 0

η

k – это приоритет того k-вызова из очереди в момент t, который поступил в систему раньше остальных k-вызовов, присутствующих в очереди в момент t. Если в момент t в очереди нет k-вызовов,

k = 1 , r

, то полагаем,

η

_k

( ) t = 0

. Обозначим через

( ) t , t ≥ 0

ζ

номер потока вызова, обслуживаемого в момент t. Если в момент t система свободна, то полагаем

ζ ( ) t = 0

.

Вложенная в вектор-процесс

{ ( η

₁

( ) ( ) t , η

₂

t ,..., η

_r

( ) ( ) t ; ζ t : t ≥ 0 ) }

вектор- последовательность

( )

{ η

_n

′ , ζ

_n

′ } ( = { η

₁

′

_n

,..., η

_rn

′ ; ζ

_n

′ ) }

, (1) где

η

_kn

′ = η

_kn

( t

_n

′ − 0 ) , ζ

_n

′ = ζ ( t

_n

′ + 0 ) , k = 1 , r ,

, образует однородную цепь Маркова с непрерывным множеством состояний. Аналогично, вложенная в вектор-процесс

( ) ( ) ( )

( )

{ η

₁

t , η

₂

t ,..., η

_r

t : t ≥ 0 }

вектор-последовательность

{ } ( η

_n

= { η

₁_n

, η

₂_n

,..., η

_rn

) }

, (2) где

η

_kn

= η

_kn

( t

_n

− 0 ) , k = 1 , r , n ≥ 1

образует однородную цепь Маркова с непрерывным множеством состояний. Отметим, что вектор-процесс

( ) ( ) ( )

( )

{ η

₁

t , η

₂

t ,..., η

_r

t : t ≥ 0 }

не является марковским процессом. Кстати, то же самое справедливо и для вектор- процесса

{ ( η

₁

( ) ( ) t , η

₂

t ,..., η

_r

( ) ( ) t ; ζ t : t ≥ 0 ) }

Обсуждение. Обсудим последовательность (1). Пусть

( ) t = ( η

₁

( ) t ,..., η

_r

( ) t ) = x = ( x

₁

,..., x

_r

)

η

.

Это означает, что при данном t>0 имеют место равенства, т.е. максимальный приоритет k-вызовов,

k = 1 , r

, в очереди в момент t равен хk. Тогда говорим, что очередь имеет приоритет типа х.

Пусть задан вектор

η _n ′ = x

, где x имеет попарно различные положительные компоненты. Так как P₍

η n ′

содержит совпадающие положительные компоненты)=0, то в дальнейшем случай совпадающих положительных компонент можно не учитывать. Речь не идет о наличии нескольких нулевых компонент у вектора x.

(3)

1121

Вектор х с попарно различными положительными компонентами однозначно определяет вектор

i = ( i

₁

, i

₂

,..., i _r )

со следующими свойствами:

1.Компоненты вектора i попарно различны и принимают значения из множества {1,2,....,i};

2. Если

x m < x l

при

m ≠ l

, то

i m < i l

.

Таким образом, если в векторе л с положительными компонентами т-тыи поток (с максимальным приоритетом хт) по приоритету "опережают" р и "отстают" r-р-1 потоков, то

р

i

_m

=

. Итак, вектор i упорядочивает потоки по имеющимся приоритетам.

Если вектор

η _n ′ = x

и вектор х имеет т нулевых и r-т попарно различных положительных компонент, то вектор i определяется однозначно следующими свойствами:

1. Последние т компонент вектора i равны нулю;

2. Первые r-m компонент вектора i попарно различны и принимают значения из множества {1,2,...,r-т};

3. Если 0<xj<xl при

j ≠ l

, то

i j > i l

, где

i = ( i

₁

,..., i _r )

.

Как правило, анализ марковских цепей по моментам tn,

n ≥ 1

проще, чем по моментам

t n ′

(см.. например, [1]). Поэтому мы рассмотрим вектор-последовательность (2).

Вероятности состояний. При заданном векторе х=(х1,...,хr) с неотрицательными компонентами под записью

{ η _n ≤ x }

будем понимать событие

{ η ₁ _n ≤ x ₁ , η ₂ _n ≤ x ₂ , ..., η _r _n ≤ x _r }

Вектор-последовательность (2) будем описывать с помощью непрерывных справа конечномерных распределений

( ) x p ( ) x p ( ) x p ( x k ) k r p _n = ∑ _kn , _kn = ^η _n < , ^ζ _n = , = 1 ,

^.

где

ζ _n = ζ ( t _n − 0 )

. Это вызвано тем, что

p ( η _kn = 0 ) > 0

при всех

k = 1 , r

и

n ≥ 1

. Пусть:

x

r

x

x d d

d =

₁

...

, где d – знак дифференциала;

d _x p _kn ( ) x

есть вероятность того, что п-тым обслуживается k-вызов, и в момент tn-0 очередь имеет приоритет типа x,где для корректности полагаем

1

=

d x

, если

x _i = 0 , i = 1 , r

.

Множество состояний х марковской цепи (2) сплошь заполняет точки множества









 

r

R

R ⁺ × × ⁺

, где

R ⁺ = [ 0 , +∞ )

, а

×

– знак декартова произведения.

Замечание 1. Пусть

g _m = ( a _m , b _m , B _m ( ) • )

. Функционирование системы однозначно регулирует набор параметров

( g

₁

, g

₂

,..., g _r )

. При каждом п≥1 вероятность

p _n ( ) x

симметрична относительно своих аргументов в следующем смысле. Если xi и хj поменять местами, то при обмене параметрами потоков i-вызовов и j-вызовов (gi на gj) значение вероятности

p _n ( ) x

не меняется.

По вектору x введем интегральные преобразования следующим образом. Пусть х имеет k положительных и r-k нулевых компонент, числа

i

₁

< ... < i k

определяют номера положительных компонент. Обозначим

( ,..., ) exp ^{( )} , 1 , , 1

0 1

0 *

1

= ≥



 





 

 − ⋅

= ∫ ^∞ ∫ ∑

+ =

∞ +

n r k x p d x s s

s

p

_i _x _in

k j

i i

i

in _k



_j _j ⁽³⁾

где

s = ( s

₁

,..., s _r )

– вектор с неотрицательными компонентами.

(4)

1122

При заданном k имеется

k

C r

таких интегральных преобразований (i фиксируем).

Суммируя их, получаем преобразование уровня k:

( ) ( )

( ) ^,..., ^, ¹ ^, ^, ¹

;

,...,

*

1

= ≥

= ∑ ^p ^s ^s ^k ^r ⁿ

s k p

k

i

k

i

i i

in

^. ⁽⁴⁾

Преобразования уровней r и 0 имеют виды

( ) s p ( ) r s s x d p ( ) x

p ^r _m _x _in

m m

in

∫ ^∞ ∫ ∑

+ =

∞

+   

 

 − ⋅

=

0 1

0 *

* ;  exp

и

( ) ( )

^{( )} ^{( )}

( _ _ _ _ )

r r

r

in in

in

p s p

p

^*

=

^*

0 ; =

^*

0 , 0 = 0 , 0 ,..., 0

соответственно. Отметим, что

( ) ( ) ^r

p n 0

есть вероятность того, что п-тый обслуженный вызов является i-вызовом и после себя оставляет систему пустой. Наконец, положим,

( ) ( ) , ( ) , ( ) ; , 1 , , 1

1

*

* 1

≥

= +

=

= ∑ ∑

=

P s P s p p k s k r n

s

P ^r

k

in in in

r i in

n

. (5)

Пусть независимо от функционирования системы наступают s1-катастрофы,..., sr- катастрофы, образующие независимые пуассоновские потоки с параметрами s1≥0,...,sr≥0 соответственно. Если за времена, равные максимальным приоритетам 1-вызовов,...,r- вызовов в очереди в момент t не наступают s1-катастрофы,...,sr-катастрофы соответственно, то говорим, чти в момент t имеется приоритетный набор без катастроф.

Функция

p in ( s i ,..., s i

_k

)

1

*

(см.(3)) интерпретируется как вероятность того, что п-тым обслуживается i-вызов, в момент

t _n − 0

имеется приоритетный набор без катастроф, в очереди имеется не менее одного вызова из каждого потока с номерами

i

₁

,..., i k

, и нет вызовов других потоков. Функция (см.(3)-(5))

( ) _ exp ( ) , 1 , , 1 ,

0 1

0 ≥

 =

 

 

 − ⋅

= ∫ ^∞ ∫ ∑

− =

∞

−

n r k x p d x s s

P ^r _m _x _in

m m

in

 r

есть вероятность того, что в момент

t _n − 0

имеется приоритетный набор без катастроф, и п-тым обслуживается i-вызов.

P _n ( s )

(см.(5)) есть вероятность того, что в момент

t _n − 0

имеется приоритетный набор без катастроф.

Замечание 2. Гак как si относится к потоку i-вызовов, то в вероятности

^p _in ( ^s _i

₁

^,..., ^s _i

_k

)

можно опустить условие

i

₁

< ... < i k

.

Замечание З. С учетом замечания 2, пусть

i

₁

,..., i k

,

j

₁

,..., j r

₋

k

попарно различны и принимают значения из множества {1,2,...,r}.

Вероятность

p n ( s i ,..., s i

_k

)

1

*

можно получить из

p _n ^* ( s ₁ ,..., s _k )

помощью следующей пошаговой процедуры.

1. Если

i _m ≤ k

, то параметры потока

i m

-вызовов

( ) ^g _i

_m сохраняем. Образуем множество А': А' есть {1,2,...,k} минус те индексы

i m

, для которых

i _m ≤ k

.

2. Если

j _l > k

, то параметры потока

j l

-вызовов

( ) g i

_l сохраняем. Образуем множество В': В' есть {1,2....,k} минус те индексы

j l

, для которых

j _l > k

.

(5)

1123

3. Множества А' и А=

{ i _m : i _m > k }

имеют одинаковое число элементов. Между А' и А устанавливаем взаимнооднозначное соответствие и по нему обмениваем параметры соответствующих потоков.

4. Множества В' и В=

{ j _l : j _l ≤ k }

имеют одинаковое число элементов. Между В' и В устанавливаем взаимнооднозначное соответствие и по нему обмениваем параметры соответствующих потоков.

Отметим, что в обозначениях настоящего пункта специфика дисциплины Клейнрока не проявилась.

Стационарный режим. Нас интересуют стационарные величины

η k

,

k = 1 , r

, максимального приоритета k-вызовов в момент окончания обслуживания и стационарная функция распределения

P ( η ≤ x ) = p ( ) x

, где

^η ⁼ ( ^η

₁

^,..., ^η _r )

^.

Пусть

∫ ( ) ∑

=

∞

= =

=

^r

i i i

k

xdB x k r р a

1 1 1

0

1

, 1 , , β

β

Теорема Условие

р

₁

< 1

служит условием существования стационарного распределения у вектор-последовательности (2).

Доказательство. Обозначим через qin(т), где т=(т1,...,тr), т1≥0,...,тr≥0, вероятность того, что в момент

t _n − 0

имеется очередь типа т, т.е. в очереди находятся т1 штук 1- вызовов,...,тr – r-вызовов, и п-тым обслуживается i-вызовов.

Поскольку при

р

₁

< 1

среднее общего периода занятости модели

M _r G _r 1 ∞

конечно (см. [4]) в классе консервативных дисциплин, а случайная вектор-последовательность длин очередей (с учетом типа обслуживаемого вызова) в момент окончаний обслуживаний вызовов образует регенерирующий процесс, то по теореме из [5], том 2., с. 446, при

ρ

₁

< 1

существуют стационарные вероятности

( ) ( )

( ) 1 ,

, 0 ...

, lim

1 0

1

=

>

+ +

=

∑ ∑

= ≥ +∞

→

r

i m i

r n in

i

m q

m m

m m q m

q

(6)

того, что к моменту окончания обслуживания имеется очередь типа т, и

обслуживается i-вызов. Пусть максимальный приоритет i-вызов,

i = 1 , r

в момент

t _n − 0

в очереди равен хi (см. рис. 1)

Рис. 1.

(6)

1124

Это означает, раньше всех поступивших в систему i-вызов из числа присутствующих в очереди в момент

t _n − 0

i-вызовов поступил в систему в момент

i n

b

i

t − x

. Очередь i-вызовов в момент

t _n − 0

складывается из этого i-вызова и i-вызовов, поступивших в промежутке

времени

 

 



 − _n

i

n i t

b

t x ,

длины

, ε ₁ , ε ₂ ,...

i i

b

x

– моменты поступлений i-вызовов на рис. 1.

Вышесказанное справедливо для класса консервативных дисциплин с дисциплиной FIFO (first input – first output) внутри потоков, и в этом случае доказывается теорема 1.

Образуем производящую функцию, когда у вектора х компоненты

0 ,..., 0

1

> >

i

k

i x

x

,

а остальные равны нулю:

( ) ⁼ ∑ ∑ ^{( )} ⁼

> >

ik k i

i ik

k

m i m

m m in i

i i

in z z q m z z

q ,...,

¹

...

1 1

1

0 0

*

 ( ) ^{( )}

r i n z

z

x p d x b z

a

k

j j j

j

i i

in x k

j i i

i i k

, 1 , 1 , 1 0

,..., 1 0

, 1

exp

1

0 1 0

=

≥

≤



 





 

 − − ⋅

= ∫ ∫ ∑

=

∞

+

∞

+



(7)

Согласно (6), при

р

₁

< 1

^и

n ^→ ^+∞

существует предел левой части (7):

(

_k

)

_in

(

_i _i_k

)

i n i

i

z z q z z

q ,..., lim ,...,

1 1

*

∞

=

→ . (8)

Сравнивая (3) и (7), заключаем, что при

р

₁

< 1

существует предел

( ) ⁼ ( ) ⁼

+∞

→ ^k

k in i i

i n i

i

s s p s s

p ,..., lim ,...,

1 1

*

∏

= =

+∞

→

 





 



 ⋅

−

 





 



 ⋅

−

=

 





 



 ⋅

−

 





 



 ⋅

−

=

k

j i

i i

i i i i

i in

k

j i

i i

i i i i

i n in

j j j

k k

j j j

k k

a b s

a b s a

q s

a b s

a b s a

q s

1

*

1

*

1 1 ,..., 1

lim

1 1

1

1 1

1

(9)

в области

j k

b a s

j j

j i

i

0 , , = 1 ,

 





 



= 

. Таким образом, согласно (8), (3)-(5), при

р

₁

< 1

^в

области

i r

b s a

i

0 ,

i

 , = 1 ,



 



= 

установлено существование пределов

( ) s P ( ) s s s i r

P

_in _r

i

=

n

lim ,

₁

≥ 0 ,..., ≥ 0 , = 1 ,

+∞

→ . (10)

Покажем, что

( ) ⁰ ( ) ¹

1

∑ =

= r r

i

P

i . (11)

(7)

1125

Пусть независимо от функционирования системы каждый k-вызов,

k = 1 , r

, независимо от других вызовов, является красным с вероятностью

z

k. Тогда

( ) z =

Q

_n

_{∑ ∑} ( )

=^r ≥

= ≥ ≤ ≤ =

i i

m

q

i

m n z i r

1 0

, 1 ,

1 0

, 1 ,

1

,

есть вероятность того, что в момент

t _n − 0

в очереди все вызовы красные. Здесь, если

( m m _r )

m =

₁

,...,

и

z = ( z

₁

,..., z _r )

– два вектора размерности r, где

m _k ≥ 0

,

m k

– целочисленны,

0 ≤ z _k ≤ 1 , k = 1 , r

, то

m

^r

m r

m z z

z = ₁

¹

...

.

Вероятность “окраса” вызовов, аналогично интерпретации (3)-(5) введение

“катастроф”, позволяет при каждом

n ≥ 1

получать следующие равенства

( ) z = q ( ) ( ) r = Q _in _in 0

(

₁

)

¹

^...

¹

^,..., ^,

1

* ,...,

 

 

 

∑ ∑

= _k ^k

i i

^k

r

k in

i

i z i z i q z z

( ) ( ) , 1 , , 1 .

1

≥

=

= ∑

=

Q z i r n

z

Q ^r

i in

in

(12)

Здесь во внутренней сумме суммируется так же, как и в (4). Отсюда, учитывая (8), при 1

< 1

p

получаем

( ) ⁼ ( ) ⁼ ( ) ^{( )} ⁼

+∞

→

in r n in

i z Q z q

Q lim 0

(

₁

)

¹

^...

¹

^,..., ^,

1

* ,...,

 

 

 

∑ ∑

= _k ^k

i i

^k

r

k in

i

i z i z i q z z

. 1 , ,

1 ≥

= r n i

Из (9) при

ρ

₁

< 1

следует

( ) ⁼

=0 ,...,

*

1 1

,...,

ik k

s

i

s i

i

i s s

p q z z i r

ik i

k

z z

i

i i ,..., , 1 ,

1 ,...,

*

1

 =

 

 



=

^,

для любого набора

( i

₁

,..., i _k ) , k = 1 , r

. Из сравнения (5) и (12) при

p

₁

< 1

вытекает

( ) ( ) ^p ( ) ^{( )} ⁱ ^r

Q _i 1 ^r = _i 0 ^r , = 1 ,

, где

( ) ( _{ } _ _ _ )

r r 1 , 1 , , 1

1 =

и

( ) ( )

n

( ) ^{( )}

^r

( ) ^{( )}

^r

n

r

Q p

Q 1 = lim 1 = 0

+∞

→ .

Согласно (6),

^Q ( ) ¹ ( ) ^r ⁼ ¹

, откуда получаем (11). Таким образом, в области

 



 

  =



 



∈  i r

b s a

i

i 0 , i , 1 ,

имеем

( )   

 

 − ⋅

= ∑

= r

i s i i

M s P

1 exp η

,

где

^Q ( ) ¹ ( ) ^r ⁼ ¹

^.

(8)

1126

Преобразование Лапласа-Стильтьеса

p ( ) s

в данной окрестности нуля однозначно определяет стационарную функцию распределения

^p ( ) ^x ⁼ ^p ( ^η ^≤ ^x )

^{, где}

⁽ _ _ _ ⁾

r

p + ,..., ∞ +∞

. Теорема 6 доказана.

Уравнения равновесия. Введем уравнения для

d _x p _i ( ) x , i = 1 , r

– вероятности того, что обслуживается i-вызов, и к завершению его обслуживания очередь имеет приоритет типа

x = ( x ₁ ,..., x _r )

. Такие уравнения называют уравнения равновесия. По очереди приоритета типа

( x

₁

b

₁

, x

₂

b

₂

,..., x _r b _r )

, где

x

₁

> 0 ,..., x _r > 0

, запишем вектор

( ^b _i

₁

^x _i

₁

^, ^b _i

₂

^x _i

₂

^,..., ^b _i

_r

^x _i

_r

)

^{, где}

^x _i

₁

^≥ ^x _i

₂

^≥ ^... ^≥ ^x _i

_r ^и

ⁱ _k

^,

^k ⁼ ¹ ^, ^r

– номер потока, для которого

i

k

x

является по величине k-тымсреди величин

x ₁ , x ₂ ,..., x r

.

Составим уравнение равновесия для i-вызова,

i = 1 , r

, момент завершения обслуживания которого условно совместим с моментом 0 (см. рис. 2).

Рис. 2.

На оси ординат указаны значения приоритетов

i

₁

, i

₂

,..., i r

-вызовов (максимальных), а

i

r

i

i x x

x − −

− , ,...,

2

1 – моменты поступления вызовов, доставляющих максимальные приоритеты потокам

i

₁

, i

₂

,..., i r

вызовов соответственно.

Обозначим через (-у) – момент начала обслуживания данного i-вызова,

i = 1 , r

. Возможны следующие взаимнонепересекающикся случаи

r k

k

i i

i

i x y x k r y x

x

y > , < ≤

₊

, = 1 , , 0 < <

1 1

Пусть

y > x i

₁. Тогда в момент начала обслуживания i-вызова,

i = 1 , r

в очереди отсутствуют вызовы. Вероятность этого события равна

( ) _



 

 + 

− ∑

i k i i

b p a

p ₁ a ^*

1 σ

^. ⁽¹³⁾

Действительно, этот случай подразделяется на два подслучая. Либо предыдущий обсужденный вызов оставил систему пустой (вероятность 1-р1), и первым в свободную систему поступил i-вызов (вероятность

σ ⁱ

a

); либо предыдущий обслуженный вызов был k-

(9)

1127

вызовом,

k = 1 , r

и после себя оставил один i-вызов и ни одного вызова других потоков (вероятность

 

 





i k i

b p ^* a

).

Пусть

+1

≤

<

k

i

i y x

x

,

k = 1 , r

. Ситуация изображена на рис. 3.

Рис. 3.

В момент (-у+0) начала обслуживания данного iвызова в очереди отсутствуют im- вызовы,

m = k + 1 , r

(первый im-вызов поступил в систему в момент

x i

_m через время у-

i

m

x

с вероятностью

{ ( ) }

im m m

m

i i x

i a y x d

a ⋅ exp − ⋅ −

); максимальные приоритеты потоков

ij-вызовов,

i = 1 , k

равны

^b i

_j

( ^x i

_j

− ^y )

. Возможны два взаимноисключающих подслучая

{ i _k i _r }

i ∈

₊₁

,...,

.

Подслучай

i ∈ { i

₁

,..., i _k }

. Пусть

i = i j

. Ведем вектор

x ( ) k

: у

x ( ) k

компоненты с номерами

i s

,

s ≠ j , s ∈ { 1 , 2 ,..., k }

равны

^b _i

_s

( ^x _i

_s

⁻ ^y )

, компонента с номером

i = i j

равна

b i

и, остальные компоненты равны нулю. Вероятность данного события равна

( )

{ } { }

( )

( ) ( )

( ) ... ... (14)

; exp

...

exp ...

1 1

1

1 1

1

max

j k j i

i k i

k

is i is k s r

k r

k

x x

u x x x

k x

y b x

b

i i

i i i

i i

d d

d d d d

x p d u a dx

dx dx

x y a a

a a

+

−

≤

≤ +

+

=

⋅

−

⋅

−

− ^∞

∫

−

Действительно, предыдущий обслуженный вызов оставляет очередь приоритета типа

( ) k

x

, где

^b

i

^u ≥ max ^b

i_s

( ^x

i_s

− ^y )

, с вероятностью

^d _x ( )

^k

^p ( ) ^x ( ) ^k

^{. Здесь}

^b i ^u

– величина приоритета данного i-вызова. Следующий i-вызов должен поступить в систему лишь через

(10)

1128

время

u − ( x _i − y )

после поступления данного i-вызова с вероятностью

( )

{ _i _i } _x

_i

i a u x y d

a ⋅ exp − − −

, чтобы в момент начала обслуживания данного i-вызова приобрести приоритет

b _i ( x _i − y )

.

Подслучай

i ∈ { i _k

₊₁

,..., i _r }

. Ведем вектор

x ( k + 1 )

: у

x ( k + 1 )

компоненты с номерами ij,

k

i = 1 ,

, равны

^b i

_j

( ^x i

_j

− ^y )

, компонента с номером i равна

b i

и, остальные компоненты равны нулю. Вероятность данного события равна

( ) ^×

 



 

 − −

₊

+

∑

+

= ^l ^l ^k ^r

r

k i i i

r

k l

i i

i

a a a y x dx dx

a ... exp ...

1

1 1

{ }

( )

( ) ( ) ⁽¹⁵⁾

exp

¹

max

1

∞ +

−

+

≤

∫ ⁻

×

^k

x y

b x b

i

u d p x

a

k

is i is k s

(В отличие от предыдущих подслучаев, к началу обслуживания данного i-вызова в очереди нет других i-вызовов). Пусть

i

r

x y <

<

0

и

i = i j

. Введем вектор

( ) r

x

: у

( ) r

x

компоненты с номерами

l ≠ i

, равны

b _l ( x _l − y )

, а i-тая компонента равна

( ^x ^y )

b u

b i

s

i

s

r

i ≥ s −

≤

≤ 1

max

. В момент

( − y + 0 )

в очереди присутствуют вызовы всех потоков;

максимальные приоритеты потоков l-вызовов,

l = 1 , r

равны

b _l ( x _l − y )

. Вероятность данного события равна

( ) { }

( )

 

 

 

−

⋅

^∞

∫

−

≤

r x

y b x

b i

x i y

i

e

a

dx a u d p x

a

r

s i s r s i

i

1

max

exp

(16)

Собирая воедино (13)-(16) при

x

₁

> 0 ,..., x _r > 0

, полагая

( b x b x b _r x _r )

x

b ⋅ =

₁ ₁

,

₂ ₂

,...,

, получаем

( ) ( )   +

 

 

 



− 

 ⋅

 

 

  

 

 + 

−

= ∑

= ≤ ≤ _s

r i s r

k i

k i i i

x

B x

b p a p a

bx p d

1 1

*

1

1 max

1 σ

( ) ^{ ^}

( )

 



 



×

−

 ⋅

 

 

 − −

+ ∑ ∫ ∑

^∞

∫

+ −

=

−

=

≤

≤ +

+

y b x

b i

i r

k

l i

x

x i r

k i

s i s r s l

l ik

ik r

k

a a y x a u

a

1 1

1

1 max 1

1

exp exp

...

( )

( ) ( ) ^{ ⁽ ⁾ ^}

^{( )}

( ) ^{( )} ^{( )} ⁺

 



 



 





 





−

⋅ +

×

⁺

=≠

∑ d

+

p x a a y x dx d p x

^k

dB

_i

y

i x i i

k i k

i i

j x ^k

j

k ¹

exp

1

(11)

1129

( ) { }

( )

( ) ( ) ^{( )} ^. ⁽¹⁷⁾ exp

1max 0

i i r

y b x

b i x

x y a x

i e au d px dB y dx

a

s i s r s i r i ir

 



 





 



 





−

⋅

+ ∫

^∞

∫

−

≤

Аналогично выводятся уравнения равновесия по очереди приоритета типа

( x x _r )

x =

₁

,...,

, где некоторые компоненты равны нулю. Например, пусть очередь имеет

приоритет типа

( )

















−





 u r u u x b x

b

₁ ₁

,..., , 0 ,..., 0

, где

x

₁

> 0 ,..., x _u > 0

.

Процедура та же применительно к

x

₁

,..., x u

, только в формуле (17) при времени обслуживания у данного iвызова в правой части появляются сомножители

 



 

 − ∑

+

= r

u m a m y

1 exp

– вероятность того, что за время обслуживания i-вызова не поступают

r

u ,

-вызовы. При этом, вероятности

p ( ) x

в правой части (17) в векторе х содержится нулевые компоненты с номерами и, и+1,...,r, если

i ∉ { u , u + 1 ,..., r }

, и с номерами и,...,r без номера i, если

i ∈ { u , u + 1 ,..., r }

.

Из-за сложности полученных уравнений их аналитическое исследование затруднено.

Однако, решение уравнений может быть найден численными методами путем дискретизации значений вектора х.

Примечания:

1. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979. С. 600.

2. Симонян А.Р., Сунцова М.А., Улитина Е.И., Об одной теореме для виртуальных времен ожидания в модели Клейнрока // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. Т. 15. Вып.3. С.48-49.

3. Симонян А.Р., Улитина Е.И., Нестационарные характеристики в модели Клейнрока с нелинейной функцией приоритета // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т. 17. Вып. 2. С. 57-80.

4. Гнеденко Б.В., Даниелян Э.А. и др. Приоритетные системы обслуживания. М.:

МГУ, 1973. С. 447.

5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее применения. М.: Мир, 1984. Т.2.

С. 751.

УДК 519.21

О вложенных цепях Марков в одной параметрической модели массового обслуживания

1 Арсен Рафикович Симонян

2 Рафик Арсенович Симонян

3 Елена Ивановна Улитина

1Сочинский государственный университет, Россия 354000, г.Сочи, ул.Советская, 26а

Кандидат физико-математических наук E-mail: oppm@mail.ru

2Кубанский государственный университет, Россия

(12)

1130

350040, г.Краснодар, ул.Ставропольская, 149 Аспирант

E-mail: raf55@list.ru

3Сочинский государственный университет, Россия 354000, г.Сочи, ул.Советская, 26а

Кандидат физико-математических наук E-mail: ulitinaelena@mail.ru

Аннотация. В работе рассматривается одноканальная система массового обслуживания с несколькими пуассоновскими входящими потоками и с параметрической дисциплиной Клейнрока. Полностью изучена марковская цепь, которая получена на основе вектор процессов максимальных приоритетов потоков вызовов.

Ключевые слова. Цепь Маркова; модель Клейнрока; вероятности состояний;

стационарный режим.