KPSS
(VE DİĞER SINAVLAR İÇİN)
MUHAKEME
PROBLEMLERİ
Bu dokümanın tüm hakları
www.filozof.com.tr’ye
aittir.
İnternette sadece bireysel kullanım için
yayınlanmaktadır.
PROBLEMLER
SAYI - KESİR PROBLEMLERİ
Sayı - kesir problemlerini çözerken dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, denklemi doğru kurabil-mektir. Denklemi kurarken işlem önceliğinin soru çözümünde önemli olduğunu ve parantez ile işlem önceliğinin gösterilebileceğini unutmamalıyız. Örneğin;
Bir x sayısının 3 katının 2 fazlası: İstenen ifade olur. Burada parantez kullanılmasına ge-rek yok; çünkü ilk önce çarpma işlemi yapılır.
3 x 2
Bu ifadeyi 3 x şeklinde de
yazar-sak doğru yazmış oluruz. Bir örnek daha verelim: 2 (3 x) 2
Bir sayının 2 fazlasının 3 katı: İstenen ifade olur. Eğer parantez kullanılmamış
ol-saydı ifade olacaktı ve işlem
önceliğin-den, önce ve ifade x + 6 olurdu ki, (x 2) 3
x 2 3 2 3 6 (x 2) 3 dır. x 6
Böyle bir yanlışa düşmemek için parantezi doğru yerde kullanmalıyız.
www.filoz
of.com.tr
Herhangi bir sayı x olsun
1. Bir sayının 2 fazlası : x + 2 Bir sayının 5 fazlası : x + 5 2. Bir sayının 7 eksiği : x 7 Bir sayının 1 eksiği : x 1 3. Bir sayının 5 katı : 5 x Bir sayının 7 katı : 7 x 4. Bir sayının yarısı : x
2 Bir sayının 8 de 1 i :x 8 5. Bir sayının 5 7 si : 5 5 x x 7 7 Bir sayının 3 4 katı : 3 3 x x 4 4
6. Bir sayının 3 te 1 inin 2 5 i : 1 2 x 2 x 3 5 3 5 Bir sayının 4 5 inin 3 7 si : 4 3 4 x 3 x 5 7 5 7
7. Bir sayının 4 katının 5 fazlası : 4 x 5 Bir sayının 2 katının 4 fazlası : 2 x 4 8. Bir sayının 5 fazlasının 4 katı :
4 (x 5) 4 x 4 5
Bir sayının 4 fazlasının 2 katı : 2 (x 4) 2 x 2 4
9. Bir sayının 6 katının 3 eksiğinin 2 5 i : 2 2 (6 x 3) (6 x 3) 5 5
Bir sayının 3 fazlasının 2 katının üçte biri :
1 2 (x 3)
2 (x 3)
3 3
10. Bir sayının 2 katı ile 4 katının toplamı: 2 x 4 x Bir sayının 9 katı ile 5 katının farkı: 9 x 5 x Bir sayının 3 katı ile yarısının toplamı: 3 x x
2 Bir sayının 2
3 ü ile 4 te 1 inin toplamı:
2 1 2 x x x 3 4 3 x 4
Bir sayının 3 te 1 inin 4 eksiği: x 1 4 x
3 3
4
11. Bir sayının karesinin 1 fazlası : x21
Bir sayının 1 fazlasının karesi : (x 1) 2
Bir sayının küpünün 5 katının 4 fazlası: 5 x 34
Bir sayının 4 fazlasının küpünün 5 katı:
3
www.filoz
of.com.tr
enklem Kurarken Dikkat Edilecek
Husus-lar
akat ılarak denklem
30 tane meyve vardır.
olmak üzere
toplanan ve çıkarılan ifadelerin aynı cins olması gerekir.
iri ile toplanır fakat
oplanmaz. Çünkü aynı cins
klemde eşitliğin sağ ve sol tarafını yazar-ken aynı cins çokluklar birbiri ile eşitlenir.
le eşitlenmez.
rdışık Sayı Problemleri
ayı adedi tek sayıda dedine bölündüğünde
D
1. Soruda bilinmeyen ifade bir harf ile belirtilir. Örneğin; a, b, c … gibi
eyen bulunabilir; f Soruda birden fazla bilinm
en az sayıda harf kullan lıdır.
Örneğin; Bir sepette elma ve armut olmak üzere toplam
Bu ifadeyi denklem olarak yazalım: Elma sayısı x, armut sayısı y
x + y 30 şeklinde yazmak yerine bir harf narak elma sayısına x, armut sayısına (30 x) diyerek soruyu daha kolay çözebiliriz.
Çünkü denklemimiz bir bilinmeyenli (bilinmeyen x) denklem olacaktır. 2. Denklem kurulurken Örneğin; ye Bilye + Bil Kitap + Kitap Turist + Turist bu ifadeler birb Bilye + Kitap Turist + Bilye Kitap + Turist Öğrenci + Sıra ifadeleri birbiri ile t değillerdir.
3. Den
Öğrenci sayısı Öğrenci sayısı Alınan yol Alınan yol
ı Sıra sayısı Sıra sayıs Farklı cins çokluklar birbiri i Öğrenci Sıra
Zaman Hız k Tavşan Tavu
A
Ardışık sayı problemlerinde s ise sayıların toplamı sayı a ortadaki sayıyı verir.
Örneğin; ardışık beş sayının toplamı 100 ise bu sayıları bulunuz. 100 : 5 20 ortadaki sayı 18 19 20 21 22 en küçük sayı en büyük sayı Ardışık üç tam sayının toplamı:
+ (x + 1) + (x + 2) veya (a 1) + a + (a + 1)
ya
yının toplamı: x
Ardışık üç tek tam sayı toplamı: (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) ve x tek sayı olmak üzere,
x + (x + 2) + (x + 4) Ardışık üç çift tam sa
2n + (2n + 2) + (2n + 4) veya x çift sayı olmak üzere,
x + (x + 2) + (x + 4)
ÖRNEK SORU
2 Hangi sayının
3 ünün 4 eksiği, aynı sayının s
A) D) 70 E) 72
mi yarısının 5 fazla ına eşittir?
46 B) 54 C) 63
Çözüm:
Şimdi denkle yazalım.
Sayımız x olsun. (3) (2) 2 x x 4 5 3 2 2 x x 5 4 3 2 4 x 3 x 9 6 x 9 6 x 6 9 x 54 bulunur. (Cevap B)
??? YAYINCILI
K
ÖRNEK SORU
Üç basamaklı birbirinden farklı dört sayının top-n büyüğü etop-n fazla www.filoz of.com.tr lamı 500 dür. Bu sayıların e kaçtır? ) 193 zalım.
aklı sayı ((abc) gibi …) farklı
00
e büyüğü en fazla kaçtır?
A) 197 B) 196 C) 195 D) 194 E
Çözüm: Verilenleri ya
4 tane üç basam
Sayılar birbirinden farklı (rakamlar denmemiş)
Toplamları 5 İst neni yazalım. En
En büyüğünün en fazla olması için diğer say rın en az olması gerekir.
l. sayı + ll. sayı + lll. sayı + lV. sayı 500 303 A) 100 + 101 + 102 + x 500 303 + x 500 x 500 x 197 olur. (Cevap ÖRNEK SORU
Farkları 8 olan iki sayıdan büyüğün 3 katı ile açtır?
E) 18
ı: k olsun.
8
nklemleri orta çözeceğiz. iz.
ak,
3 b 4 k 73
küçüğün 4 katı toplamı 73 tür. Buna göre, büyük olan sayı k
A) 12 B) 13 C) 15 D) 16 Çözüm: l. Yol: Küçük say Büyük sayı: b Denklemi kuralım. 1. denklem: b k 2. denklem: 3 b 4 k 73 Yukarıdaki de k
Büyük sayı istendiğinden k yı yok edeceğ 1. denklemi 4 ile çarpar 2. denklem ile toplars
4/ b k 8 3 b 4 k 73 4 b 4 k 32 + 7b 105 b 15 olur. ll. Yol: Büyük sayı: x + 8 Küçük sayı: x olsun.
kları 8 olduğu için böyle yazıldı.)
Büyük sayı: x + 8 7 + 8 15 bulunur.
(Cevap C) (Far 7 x 24 73 3 (x 8) 4 x 73 73 x 7 3 x 3 8 4 x 7 x 49 ÖRNEK SORU
Bir manifaturacı, elindeki bir top kumaşın ilk önce 1
3 ünü, daha sonra kalan kumaşın 2 5 ini satmıştır.
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40
Çözüm:
oplam kumaş x m olsun.
Geriye 42 m ku aş kaldığına göre ilk satılan kumaş kaç metredir?
m l. Yol: T 1. satılan kumaş: x 1 x 3 3 Kalan kumaş: (3) 3 1 (1) x x x 2x x 3 3 2. satılan kumaş: 2x 2 4x 3 5 15 Kalan kumaş: (5) (1) 2x 4x 6x 2x 42 m 3 15 15 5 2x 42 2 x 42 5 5 1 x 105 m bulunur.
Soruda istenen ilk satılan kumaş:
x 105
35 m olur.
www.filoz
of.com.tr
Toplam kumaşı ilk ön arçaya, daha sonra 5
parçaya bölebilmek için kumaşı OKEK(3, 5) 15 parçaya ayırır ve her parçaya x m dersek,
kuma-şın tamamı m olur. n kısım: ll. Yol: ce 3 p 15 x İlk satıla 15 x 1 5 x 3 Kalan kumaş: 15 x 5 x 10 x
İkinci satılan kumaş: 10 x 2 4 x 5 x 7 : (Cevap D) Kalan kısım: 10 x 4 x 6 x 42 İlk satılan kısım 5 x 5 7 35 m olur. ÖRNEK SORU
daş bir torbadaki bily eri eşit olarak paylaşıyorlar. Gruba 2 kişi da
ğında her birine düşen bilye sayısı 3 aza Buna göre torbadaki bilye sayısı kaçtır?
A) 130 B) 12 C) 60 D) 30 E) 15
işi bilye düşeceğinden her biri (a 3) tane bilye alır. Bilye
Toplam bilye sayısı:
Bir gruptaki 8 arka el
ha katıldı-lıyor.
0 Çözüm:
Gruptaki 8 kişinin her biri a tane bilye almış ol-sun. Toplam bilye sayısı: 8 a olur. Gruba 2 k eklenirse 10 kişi olur ve her birine 3 eksik sayısı değişmediğinden, 8 a 10 (a Bilye Bilye sayısı sayısı 8 a 10 a 10 3 8 a 10 a 30 30 2 a 3) 15 a 8 a 8 15 120 olur. (Cevap B) ÖRNEK SORU
Bir oteldeki odalara turistler her oda
kalacak şekilde yerleştirilirse 6 turist odalara yer-leştirilemiyor. Eğer 4’er 4’er yerleştirilirse 5 oda boş kalıyor.
Bu otelde topla kaç oda vardır?
A) 20 B) 21 C) 23 D) 25 E) 26
da 3 kişi
m
Çözüm:
Otelde toplam x tane oda olsun. Her odaya 3 kişi yerleştirilirse 3 x kişi odalarda olur ve 6 kişi odalara yerleştirilememişti. Turist sayısı: 3 x 6 olur.
Her odaya 4 kişi yerleştirilirse ve 5 oda boş kal-da dolmuştur.
mışsa (x 5) o
Turist sayısı: 4 (x 5) olur. du
Turist sayısı aynı ol ğundan,
Turist sayısı 3 x 6 4 (x 5) Turist sayısı 3 x 6 4 x 3 x 6 4 x 4 5 20 26 x 6 20 4 x 3 x
Otelde 26 oda bulunmaktadır.
(Cevap E)
ÖRNEK SORU
Bir kumbarada 50 kuruşluk ve 1 lira paralardan oluşan toplam 40 tane para vardır. Bu paraların toplamı 25 lira olduğuna göre bu kumbarada kaç tane 50 kuruş vardır?
A) 20 B) 24 C) 30 D) 34 E) 38
Çözüm:
lık madeni
50 kuruşluk para sayısı: a tane olsun. 50 kuruşların toplam tutarı: 50 a kuruş olur.
100 kuruşluk para sayısı: 40 a tane olur. (1 lira 100 kuruş)
100 kuruşlukların toplam tutarı: olur.
uruş
100 (40 a) Kumbaradaki toplam para: (k olarak)
50 a 100 (40 a) 2500 Her tarafı 50 ye bölelim:
(Cevap C)
a 2 (40 a) 50 a 2 40 2a 50 80 a 50
??? YAYINCILI K ÖRNEK SORU 1 5 www.filoz of.com.tr
Bir çalışan 1 aylık maaşının ini ev kirasına, kalanın 1
4 ini araba taksidine ve kalanın 2
ünü 3 mutfak masrafına ayırıyor.
Geriye çalışanı ı kaldığına göre, bu
A) B)
Çözüm:
Ev kirası
n 320 liras
çalışanın aylık kazancı kaç liradır?
1600 1200 C) 800 D) 700 E) 600
l. Yol:
Çalışan aylık kazancı: 5 x lira olsun.
: 5 x 1 x
5
lira
aksiti:
Kalan parası: 5 x x 4 x lira
Araba t 4 x 1 x lira 4 Kalan parası Mutfak masrafı : 4 x x 3 x lira : 3 x 2 2 x lira 3 Kalan parası: kazancı 1600 lira olur. e gösterelim 3 x 2 x x 320 lira Çalışanın aylık : 5 x 5 320 ll. Yol:
Çalışanın maaşını şekil il .
Ev kirası
1 5
Maaşının tamamı 5 parça
Araba taksiti 1 4 Kalan para Mutfak masrafı 2 3 Kalan para En son kalan 320 lira Toplam para: 320 320 320 320 320 Toplam para: (Cevap A) 5 320 1600 lira ÖRNEK SORU
Bir salona 12 büyük ve 8 küçük masa veya 10 büyük ve 12 küçük masa atılabiliyor.
Buna göre, bu salona küçük masalardan kaç tane atılır?
A) 10 B) 18 C) 24 D) 30 E) 32
Çözüm:
Salonun kapasitesi veya
Salonun kapasitesi =
Salon aynı salon olduğundan salon kapasit leri 12 B 8 K 10 B 12 K e eşittir. 12 B 8 K 10 B 12 K 12 B 10 B 12 K 8 K 2 B 4 K B 2 K
Bir büyük masa 2 küçük masa kadar yer kaplı-yormuş. Hepsinin küçük masa olması istendi-ğinden Salonun kapasitesi 12 B 8 K 12 (2 K) 8 K 24 K 8 K 32 K
Buna göre bu salona 32 tane küçük masa atılır.
(Cevap E)
ÖRNEK SORU
2 7 dı
si su ile dolu olan bir kabın ağırlığı 5 kg r. Kap tam dolu iken tüm ağırlık 15 kg
Çözüm:
ğuna göre boş kabın ağırlığı kaç kg dır?
A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3 her biri x kg kabın ağırlığı k kg olsun + 2x + k 5 + 7x + k 15 /2x + k 5 7x + k 15 + 5x 10 x 2 dir. k 1 kg dır. Beraber çözüm yapılırsa her biri x kg (Cevap A)
www.filoz
of.com.tr
Yüz
Bun dır.
e ,
erhangi ikisinin verilip üçüncü-ı şeklindedir.
B’nin %a sı P olsun. (%a ifadesi “yüzde a” diye okunur.)
Yukarıdaki ifade matematiksel olarak,
YÜZDE PROBLEMLERİ
de problemlerinde genel olarak üç ifade vardır. lar: “temel sayı, yüzde oranı ve yüzde payı” Yüzde probl mleri; “temel sayı” “yüzde oranı” ve “yüzde payı”ndan h sünün sorulmas a B P 100 şeklinde gösterilir. Bu formüldeki,
B ye, temel sayı; a ya, yüzde oranı;
P ye, yüzde payı adı verilir.
Yüzde 27, aşağıdaki ifadelerden biri ile gösterilir. 27
0,27 100
%27
UYARI
Yüzde problemlerini çözerken yüzdesi alınmak istenen sayı 100x şeklinde alınırsa soru daha ko-lay çözülebilir.
ÖRNEK
F sayısı A sayısının %30’u, A sayısı da D sayı-F’ye oranını bulalım.
A sayısı D nin %70 i ise, A 70 olur. sının %70 idir.
Buna göre, D’nin Çözüm:
Uyarıyı dikkate alırsak, D 100 alalım. 70 70 D A 100 A A 7 100 100 0 F sayısı A nın %30 u ise, 30 30 F A 70 21 bulunur. 100 100 D nin F ye oranı, D100 olur. F 2 UYARI
olan çokluklar arasında sağ Aynı türden
karşılaştırma
lıklı bir ve kıyaslama yapabilmek için
bü-zdesi olarak ifade ede-yüklüklerini birbirinin yü
biliriz.
ÖRNEK
İki pazarlamacıdan birincisi yapmış olduğu 250 isi ise 150 TL lik satış-tan 9 TL kazanç elde ediyor.
Buna göre, bu iki pazarlamacının hangisinin aha azdır
TL lik satıştan 10 TL, ikinc
kazanma oranı d ?
Çözüm:
Buna karar verebilmek için her iki kazanılan parayı yüzde olarak ifade edelim. Bunun için orantı kuralım:
250 TL den 10 TL kazanılırsa, 100 TL den a TL kazansın. O halde, 250 den 10 TL ise 100 den a TL olur. Doğru orantı 250a 1000 a 4 tür. 250 a 100 10 Bu işlem, 250 a 10 a 10 100 a 4 100 250 şeklinde de yapılabilir.
150 TL den 9 TL kazanırsa, 100 TL den k TL kazansın 150 den 9 ise 100 den k olsun Doğru orantı 150 k 100 9 100 9 k 150 k 6 dır. 1 Bu lem, 150 y 9 ise y 9 1 6 100 150 00 pılabilir. iş şek-linde de ya
??? YAYINCILI
K
Birinci kazanma oranı %4 iken ikinci kazanma oranı %6
www.filoz
of.com.tr
dır. Buna göre, 1. pazarlamacının ka-zanma oranı daha azdır.
Kazanma oranı aşağıdaki gibi de bulunabilir.
1. pazarlamacı için, 10 1 1 4 4 %4 250 25 25 4 100 tür. 2. pazarlamacı için, 9 3 3 2 6 %6 dır. 150 50 50 2 100 ÖRNEK SORU x sayısı y sayısının %60 dır. una göre, B x 3y 4x y oranı kaçt A) ır? 18 5 B) 3 C) 18 7 D) 18 11 E) 4 Çözüm: 6 0 xy 10 0 5x 3y x 3 x 3k ve y 5k alınabilir. y 5 x 3y 4x y denkleminde x ve y yi yazarsak x 3y 3k 3 5k 4x y 4 3k 5k 3k 15k 12k 5k 18 k 7 k ÖRNEK SORU
Bir öğrenci, elindeki kitabın önce %10 unu, daha sonra da kalan sayfaların %30 unu okumuştur.
una göre, kitabın toplam yüzde kaçını oku-muştur?
A) 27 B) 32 C) 37 D) 41 E) 46
Çözüm:
Kitap 100 sayfalık olsun. Öğrenci, önce %10 unu
yani 10 sayfasını okumuş ve geriye 0 90 sa a kalmıştır.
Daha sonra kalan sayfaların %30 unu yani B 100 1 yf 30 90 27 100 sayfasını okumuştur.
Toplamda 10 + 27 37 sayfasını okum
Kitap 100 sayfa olup toplamda 37 sayfasını okuduğu için, kitabın %37 sini okumuştur.
(Cevap C)
uştur.
ÖRNEK SORU
Bir sınıftaki öğrencilerin %40 ı erkektir. Kız öğre ilerinin sayısı 48 olduğuna göre, sınıf
çtır? nc mevcudu ka 60 %60 kız olur. Sınıf mevcudu x olsun A) 60 B) 70 C) 80 D) 120 E) 1 Çözüm: %40 erkek ise 18 olur. 7 (Cevap C) 60 x 48 (kız öğrencilerin sayısı) 100 6 x 48 10 x 80 (Cevap C)
www.filoz
of.com.tr
KÂR – ZARAR PROBLEMLERİ
Alış Fiyatı (Maliyet) A
elim.
atış Alış + Kâr)
ş Alış Zarar) ile hesaplanır. Satış Fiyatı S
Kâr K
Zarar Z ile göster
Satış fiyatı, alış fiyatına kâr eklenerek veya alış fiyatından zarar çıkarılarak bulunur. Yani;
S A + K, (S S A Z, (Satı
UYARI
Kâr-zarar problemlerinde, kâr veya zarar daima alış fiyatı (maliyet) üzerinden hesaplanır.
ÖRNEK
mağazacı bir gömleği 5 TL den aldı. 1 T
Bir L kâr
sattı.
TL lik kârını 5 TL (alış fiyatı) de etti. Bu mağazacının kâr oranı bıraktı ve 5 + 1 6 TL ye Bu mağazacı 1 üzerinden el 5 TL de 1 TL ise Doğru orantı 100 TL de x TL dir. x20 olur. 5 x 100 1 Kâr oranı %20 dir. UYARI
Kâr-zarar problemlerinde indirim veya zam he-saplanırken daima satış (etiket) fiyatı üzerinden
planır. hesa
ÖRNEK SORU
Kampanya yapan bir satış yeri, fiyatlarda %30 indirim yapıyor. İlk ay satışın az olduğu görülün-ce ikinci ay indirimli fiyatlar üzerinden %20 indi-rim daha yapılıyor.
Buna göre, satış yeri s ibinin yaptığı tüm indirim yüzde kaçtır?
B) 50 C) 45 D) 44 E) 25
Kampanya yapılmadan önce bir malın etiket
fiyatı 100 TL olsun. 100 TL den ilk ay %30 indi-rim yapılırsa indiindi-rim 30 TL olur. Bu durumda
ma-ah
A) 51
Çözüm:
lın fiyatı 70 TL olur.
70 TL den %20 indirim yapılırsa indirim 20
70 14 TL
100 olur.
Toplam indirim 100 TL de 30 + 14 44 TL dir. Buna göre, satış yeri sahibinin yaptığı tüm
indi-rim %44 tür.
(Cevap D)
ÖRNEK
Bir pantolon %25 kârla 60 TL ye satılıyor. Bu
aliyeti (alış fiyatı) A TL olsun. pantolon %15 zararına kaç TL ye satılmalıdır? Çözüm:
I. Yol: Pantolonun m
Bu pantolon %25 kârla 60 TL ye satılıyor ise, 100 25 A 60 100 125 A 60 100 100 60 A 125 A48 dir.
Bu pantolon %15 zararına x TL ye satılıyor ise 100 15 A x 100 85 48 x 100 x 40, r Satış
Alış Zarar Satış %100 %15 %85 x TL 8 II. Yol: Alış + Kâ %100 %25 %125 60 TL %125 60 TL ise Doğru orantı %85 x TL dir. 125 x 60 85 60 85 x 125 x40,8 dir.
??? YAYINCILI
K
www.filoz
ÖRNEK SORU
of.com.tr
Bir bakkal bir malı %50 kârla satarken satış fiyatı üzerinden %20 indirim yapıyor.
Buna göre, bu bakkal bu maldan % kaç kâr
) 30 D) 40 E) 50
00 TL olsun. %50 kârla satış L nin üzerinden %20 indi-etmiştir? A) 10 B) 20 C Çözüm: Bu malın maliyeti 1 fiyatı 150 TL dir. 150 T rim 15 0 2 0 100 30 TL dir.
150 30 120 TL yeni satış fiyatımız ır. Bakkal bu maldan %20 kâr etmiştir.
(Cevap B)
d
ÖRNEK SORU
Bir malın 1
3 ü %50 kârla, kalanı ise %10 zararla satıl
Buna i
ıyor.
göre, bu satıştak kâr - zarar durumu
)%20 zarar D) %20 kâr E) %30 zarar
Çözüm:
3 tane malımız olsun bunların her birinin maliyet 100 TL olsun. Toplam maliyetimiz 300 TL aşağıdakilerden hangisidir? A) %10 zarar B) %10 kâr C i 100 150 90 100 1 2 150 180 330 100 100
mizdeki toplam para)
300 30 kâr 100 x doğru orantı x 10 %10 kâr ÖRNEK SORU
Bir tüccar aldığı iki maldan birisinin maliyeti diğerinin üç katıdır. Tüccar maliyeti yüksek olan malı %20
ın
zararla ve maliyeti düşük olan malı ği zarar % kaçtır?
2 4 E) 5
%50 kârla satıyor.
Buna göre, tüccarın bu satıştan etti
A) 1 B) C) 2,5 D)
Çözüm:
Maliyeti yüksek Maliyeti düşük
300 TL 100 TL
240 TL 150 TL
%20 zararla %50 kârla
ir. (Satış sonrası elimizdeki para) 240 + 150 390 TL d 400 TL 10 TL zarar 100 x doğru orantı x 2,5 %2,5 zarar (Cevap C) ÖRNEK SORU Bir satıcı bi fiyatı üzerin
r malı %40 zararla satarken satış den %80 artış yaparak ürünü 216 TL’ye satıyor.
Buna göre, bu malın maliyeti kaç TL dir?
A) 150 B) 180 C) 200 D) 210 E) 240
ti 100x olsun.
100x %40 zararla satışı 60x dir. 60x %80 artış yapılırsa 108x olur.
Çözüm: Maliye 100 80 180 60 x 60 x 108 x tir. 100 100 2 Maliyet 200 TL dir. (Cevap C) 108x 216, x (Cevap B)
www.filoz
of.com.tr
FAİZ PROBLEMLERİ
Faiz problemlerini yüzde problemi çözüyormuş gibi aynı mantıkla çözebiliriz. Çünkü faiz oranları da yüzde üzerinden veriliyor. Örneğin; “yıllık faiz oranı %40 tır” gibi…
ÖRNEK
500 TL yıllık %40 yatırılıyor.
faiz oranı üzerinden bankaya
kaç TL faiz getireceğini bulalım.
faiz oranı üzerinden bankaya onunda kazanılacak faiz: Bu paranın,
a) 3 yıl sonunda b) 4 ay sonunda Çözüm: 500 TL yıllık %40
yatırılırsa; bir yılın s 40 500 200 TL dir. 100 a) Üç yıl :
ın sonunda kazanılacak faiz 600 TL dir.
3 200
b) 4 ay sonunda kazanılacak faiz: 1 yılda (12 ayda) 200 TL ise,
1 ayda 200TL 12 4 ayda 200 4 200TL ol 12 3 ur. en faiz miktarı, apital), %)
aranın faizde kalma süresi a süresi ak anaparanın faizde kalma süresi
Kural:
F: Elde edil A: Anapara (K n: Yıllık faiz fiyatı (
t1: Yıl olarak anap
t2: Ay olarak anaparanın faizde kalm
t3: Gün olar
olmak üzere,
1
n
F A t olur. (Yıllık faiz) 100 F A n t2 olur. 1200 (Aylık faiz) F A n t 3 olur.(Günlük faiz) 36000 ÖRNEK SORU
4000 TL yıllık %15 faiz oranı ile bankaya yatırılı-yor.
sonra para, faizi ile beraber 4500 TL
8 D) 10 E) 11 fa-Kaç ay olarak çekilir? A) 4 B) 6 C) Çözüm:
Para 4000 TL yatırılmış ve 4500 TL olarak çe-kilmiştir. Aradaki fark, 4500 4000 500 TL izdir. n t F A 100 12 15 t 4000 100 12 4 0 500 50 10 100 3 5 t 100 3 4 500 10 5 t 500 50 t 10 t dir. (Cevap D) ÖRNEK SORU
Deniz, yıllık %25 faiz oranı üzerinden bankaya bir miktar para yatırıyor.
Buna göre, kaç yıl sonra yatırılan bu para kendisinin 4 katı kadar faiz getirir?
A) 32 B) 16 C) 12 D) 8 E) 4
Yatırılan para x TL olsun. Çözüm: A n t F 100 kurabiliriz.
formülü yardımıyla şöyle bir denklem
x 25 t t
4x 4
100 4
t 16 yıl olarak bulunur.
??? YAYINCILI
K
ÖRNEK SORU
www.filoz
of.com.tr
4000 TL nin yıllık %40 dan 3 yılda getirdiği faiz X TL ve X TL nin yıllık %30 dan 2 yılda getirdiği faiz Y TL olduğuna göre, X + Y top-lamı kaç TL dir?
A) 2880 B) 3000 C) 4800 D) 6680 E) 7680 Çözüm: A n t F f 100 ormülü yardımıyla 4000 40 3 X 40 40 3 4800 TL 0 bulunur. X 4800 T 10
L nin yıllık %30 dan 2 yılda getirdiği faiz ise, 4800 30 2 Y 48 3 100 2880 TL dir. 0 2 Y 2880 TL bulunur. X + Y 4800 + 2880 7680 TL dir. (Cevap E) ÖRNEK SORU
800 TL’nin bir kısmı A bankasına yıllık %20 den
eri kala k %10
ğına r yıl
14 ıştır.
A bankasına yatırılan para kaç TL dir?
A) 200 B) 400 C) 500
D) 600 E) 750
ına yatırılan miktar x TL olsun. B Bankasına yatırılan miktar ise 800 x TL dir.
1 yıllığına, g nı da yıllı dan B
ban-kasına 1 yıllı yatırılıyor. Bi sonra her iki sinden toplam 0 TL faiz alınm
Buna göre, Çözüm: A Bankas x 20 1 (800 x) 10 1 140 100 100 2x 800 x 140 10 10 ÖRNEK SORU
Bir bankaya, yıllık %60’tan beş yıllığına yatırılan r.
, alına apara
60 C) 80 D) 100 E) 120
n para beş yıl sonunda faizi ile birlikte 160 TL ol-muştu
Buna göre n faiz an dan kaç TL
fazladır?
A) 40 B)
Çözüm:
Yatırılan para x TL ve 5 yıl sonunda elde edile faiz F olsun. x F 160 TL dir. x 60 5 F F 100 3x x + F 160 denklemin e F 3x yazarsak, x + 3x 160 4x 160 x 40 TL dir. F 120 TL dir. F x 120 40 80 olur. Faiz anaparadan 80 TL fazladır.
d
(Cevap C)
ÖRNEK SORU
Faiz oranı yıllık %30 olan bir bankaya yatırılan r.
Buna göre, bank a yatırılan para kaç TL’dir?
A) 1500 B) 1350 C) 1200
ırılan para x TL olsun.
bir miktar paranın, 12 gün sonunda faizi 15 TL olarak çekiliyo ay D) 1050 E) 150 Çözüm: Bankaya yat 800 x 2x 1400 x 800 1400 x 600 TL dir. (Cevap D) x 3 0 15 12 3600 0 A n t F günlük faiz 36000 36 x 15 3600 x 1500 TL dir. (Cevap A)
www.filoz
of.com.tr
KARIŞIM PROBLEMLERİ
Kural:
Ağırlıkça tuz oranı %x olan A gramlık bir karı-şımdaki tuz miktarı x A dır.
100 Bir tuzlu su karı
şımındaki tuz oranı %x ise, su
Karışıma giren madde miktarlarının toplamı son
add şittir
oranı %(100 x) tir.
karışımdaki m e miktarına e .
Karışım Oranı (K.O) Saf Madde Miktarı Tüm Madde Miktarı
Saf madde; tuz, şeker, alkol vb…
Tüm madde; karışıma katılan tüm maddelerin top-lamı
ÖRNEK
Tuz o
karışı-mında .
ranı %40 olan 70 gramlık tuz-su ki tuz ve su miktarlarını bulunuz Çözüm:
Tuz oranı %40 olan 70 gramlık karışımda,
40 70 40
70 8 gram tuz ar dır.2 v
100 100
90 28 42 gram su vardır.
ÖRNEK SORU
Alkol oranı %40 olan 50 litre alkol - su
karışı-50
Çözüm: I. Yol
itrelik karışımdaki alkol miktarı,
mına 10 litre alkol karıştırılırsa, karışımın al-kol oranı yüzde kaç olur?
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E)
Alkol oranı %40 olan 50 l
40
50 20 litredir.
100
20 litre alkol olan 50 litrelik karışıma 10 litre alkol katılırsa, oluşan 50 + 10 60 litrelik karışımın 20 + 10 30 litresi alkol olur.
En son karışımın alkol oranı %a olsun.
60 litrenin 30 litresi alkol ise, 100 litrenin a litresi alkoldür. Bu orantı aşağıda gösterilmiştir.
Doğru orant 60 de 30 ise 100 de a dir. ı 60a 100 30 100 30 a 60 a 50 dir. II. Yol alkol oranı %100 dür. karışımın alkol oranı %a olsun. 10 litre alkolün
En son
Verilenlere göre, alkol miktarlarının eşit olduğunu kullanırsak; 40 100 a 50 10 (50 10) 100 100 100 50 40 10 100 (50 10) a 2000 1000 60 a 3000 60 a 50 a dır.
Kural:
Tuz (saf madde) oranı %a olan K gram tuz - su karışımı ile tuz (saf madde) oranı %b olan N gram tuz - su karışımı karıştırılıyor. Oluşan karışımın oranı %x ise, bu denklemi kuralım.
(Cevap E) %a %b %x N) gram K gram N gram (K + + a K b N x (K N) olur.
??? YAYINCILI
K
www.filoz
f.com.tr
o
Eğer karışıma tuz (saf madde) eklenirse, ekle-nen maddenin (saf madde) tuz oranı %100 olur. Eğer karışıma su eklenirse, suyun tuz oranı %0
olur.
Eğer karışımdan su buharlaştırılırsa, değişen sadece su miktarı olur, tuz (saf madde) miktarı değişmez. Toplam madde miktarı da azalır. Karışıma A gram tuz (saf madde) eklenirse,
Karışım Oranı Saf Madde Miktarı + A
A Tüm Madde Miktarı +
(Tuz Oranı)
(Su, sadece tüm madde miktarına eklenir.)
ÖRNEK SORU
30 litrelik alkol - su karışımının alkol oranını %25’ten %40 a çıkarmak için, karışımdan kaç litre su buharlaştırılmalıdır? A) 18 5 B) 24 5 C) 41 4 D) 45 4 E) 15 Çözüm: Kuralı uygularsak: %25 Alkol - su 30 litre x litre %40 %0 Su Alkol - su (30 x) litr
Su buharlaştırıldığı için () yaptık, çıkardık.
e
30 25 x 0 (30 x) 40
30 25 (30 x) 40
Her iki tarafı 10 a bölersek
30 25 (30 x) 40 10 10 3 25 (30 x) 4 75 30 4 4 x 75 120 4x 4x 120 75 45 x litre olur. (Cevap D) 4 ÖRNEK SORU
Kilogramı 20 TL olan ceviz ile kilogramı 15 TL olan üzümden 400 gramlık bir karışım alınarak 7,5 TL ödenmiştir.
Buna göre, alınan karışımda kaç gram ce iz
350 B) 300 C) 270 D) 200 E) 150 Çözüm: Ceviz v vardır? A) Üzüm x gr 400 x gr x 20 (400 x) 15 7,5 1000 1000 1 kg 1000 gr 1000 gr 20 TL ise 20 1 gr TL 1000 20 x x gr TL dir. 1000 1 kg 1000 gr 1000 gr 15 TL ise 15 1 gr TL 1000 15 (400 x) (400 x) gr TL dir. 1000 7,5 1000 1000 20x 6000 15x 7500 5 x 20 (400 x) 15 x 1500 (Cevap B) x 300 gr Ceviz ÖRNEK SORU
Şeker oranı %20 olan 80 gramlık homojen şe-kerli su karışımının %50’si dökülüyor. Dökülen miktar kadar şeker ilave ediliyor.
Buna göre, son durumda karışımın su oran yüzde kaçtır?
A) 70 B) 60 C) 50 D) 45 E) 40
www.filoz
f.com.tr
Çözüm:
Bu sorunun şekil olarak gösterimi:
o %20 80 gr Şeker-su - %20 40 gr Şeker-su + %100 40 gr Şeker = %x 80 gr Son durum Şeker-su
her tarafı 10 a bölersek
%60 şeker %40 su 20 80 20 40 100 40 x 80 2 80 2 40 10 40 8 x 160 80 400 8x 480 8x x 60 bulunur. (Cevap E) ÖRNEK SORU
%40 ı su olan k litrelik bir karışıma 30 litre daha su ilave ediliyor.
Elde edilen karışımın %60 ı su olduğuna göre k kaçtır?
60 D) 65 E) 70
Çözüm:
Su miktarını göz önünde bulundurarak denklemi yazalım. A) 45 B) 50 C) Su miktarı 40 100 60 k 30 100 (k 30) 100 100 Su miktarı (Cevap C) k 40 30 100 (k 30) 60 40k 3000 60k 1800 1200 20k 60 k bulunur. ÖRNEK SORU
%30 u alkol olan 80 litrelik alkol-su karışımına 10 litre alkol ve 20 litre su katılırsa yeni
karı-ı
şımın alkol oran yüzde kaç olur? A) 340 11 B) 240 11 C) 200 11 D) 160 E) 140 11 11 Çözüm:
tarını göz önünde bulundurarak denk-Alkol mik lemi yazalım. Alkol miktarı 30 80 10 100 20 0 (80 10 20) x 100 100 100 100 Alkol miktarı 80 30 10 100 20 0 (80 10 20) x 2400 1000 0 110x 3400 110x 34 0 x bulunur. 11 (Cevap A)
??? YAYINCILI
K
YAŞ PROBLEMLERİ
Yaş problemlerinin temel mantığı, yıllar geçtikçe her insanın yaşının geçen yıllar kadar artacağı veya önceki yıllarda aynı yıl kadar eksik olacağıdır. Bu yüzden iki kişinin yaşları farkı daima sabit kalacaktır.
www.filoz
of.com.tr
Bu kurallar göz önünde bulundurularak verilen prob-leme uygun denklemler yazılır.
Yaş problemlerinin çözümünde aşağıdaki bilgile ri kullanırız.
Bir kişinin bugünkü yaşı x ise, t yıl sonraki yaşı, x + t ve t yıl önceki yaşı, x t dir.
n tane kişinin yaşları toplamı T ise, t yıl sonra yaşları topla ı
t yıl önceki yaşları toplamı
İki kişinin yaşlarının fa ı yıllara göre değişmez. Bu durumda, iki kişinin yaşlarının farkı daima sabittir.
İki kişinin yaşlarının or ı yıllara göre değişir. Bu durumda, iki kişinin y larının oranı sabit değil-dir. Yaşları oranı sabit ise bu iki kişinin yaşları birbirine eşittir. -m , T n t ve , T n t dir. rk an aş ÖRNEK
Ali, Veli ve Kemal’in bugünkü yaşları toplamı 57 dir.
Buna göre, bu üç kişinin 4 yıl sonraki yaşları toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bugünkü yaşları toplamı 57 olan Ali, Veli ve
Kemal’den her birinin 4 yıl sonraki yaşı 4 arta-caktır.
y Buna göre, bu üç kişinin 4
toplamı,
ıl sonraki yaşları olur. 57 4 4 4 57 3 4 57 12 69
ÖRNEK
Özgül’ün yaşı, Özgür’ün yaşının 3 katından 3
?
üm:
Verilere göre tablo yapalım: 4 yıl önceki
yaşı Şimdiki yaşı 5 yıl sonraki yaşı
fazladır.
4 yıl önce Özgül ile Özgür’ün yaşları toplamı 27 olduğuna göre, 5 yıl sonra Özgül kaç ya-şında olacaktır
Çöz
Özgül (3x + 3) 4 3x + 3 (3x + 3) + 5
Özgür x 4 x x + 5
yaşı x olsun. Özgül’ün yaşı ının 3 katından 3 fazla olduğundan, ) yaşındadır. 4 + x 4 olur. + x 4 27 4x 5 27 4x 32 x 8 olur. yıl sonra Özgül 3x + 3 + 5 3x + 8 3 . 8 + 8 24 + 8 32 olur. Özgür’ün şimdiki Özgür’ün yaş Özgül (3x + 3
Tablodan 4 yıl önceki yaşlarını toplarsak, toplam (3x + 3)
Toplam 27 verildiğine göre, 3x + 3 4 5 ÖRNEK SORU
aşları toplamı 45 tir.
Didem, -la 9 yaşı y A B C) 27 D) 32 Didem’in yaşı 45 yla Didem
Leyla ile Didem’in bugünkü y Leyla’nın bu nda olduğuna günkü yaşın göre, Ley dayken, Ley la bugün kaç aşındadır? ) 18 ) 25 E) 34 Çözüm:
Leyla’nın yaşı x olsun. Leyla ile Didem’in yaşla-rı toplamı 45 olduğuna göre,
x olacaktır. Buna göre,
Le
Bugünkü yaşı x 45 x
t yıl önceki yaşı 9 x
Bu iki kişinin yaşları farkı daima sabit olduğu için,
(Cevap A ) 2x x 9 45 x (45 x) 9 x x 45 x 9 x 3x 54 x 18
ÖRNEK SORU
www.filoz
of.com.tr
Bir baba 29 yaş dadır ve iki çocuğunun yaşları
ın toplamı 7 dir.
Buna göre, kaç yıl sonra babanın yaşı iki çocuğunun yaşları toplamının 2 katına eşit olur? A) 2 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10 Çözüm: Baba Ç1 + Ç2 29 7 x yıl sonra 29 + x 7 + 2x 2 (7 + 2x) 2
5 yıl sonra babanın yaşı iki çocuğun yaşları toplamının 2 katı olacaktır.
(Cevap B) 9 + x 2 9 + x 14 + 4x 15 3x x 5 ÖRNEK SORU
Zehra ile Selçuk’un yaşları toplamı 63’tür. Zehra Selçuk’un yaşına geldiğinde Selçuk 42 yaşında olacaktır.
Buna göre, Zehra’nın şimdiki yaşı kaçtır?
C) 35 D) 40 E) 47 A) 28 B) 30 Çözüm: Zehra Selçuk 42 63 x x 63 x olsun
aman sabit olacağından 42 (63 x)
21 + x
ın yaşı
yaşları farkı her z (63 x) x 63 2x 3x 84 x 28 Zehra’n (Cevap A) ÖRNEK SORU
Sema ile Sare’nin yaşları toplamı 58’dir. Se-ma’nın yaşı Sare’nin yaşının iki katından 29 eksik olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
le Sare’nin yaşları aynıdır.
A) Sema ile Sare ikizdir.
B) Sare Sema’dan üç yaş büyüktür. C) Sema i
D) Sare doğduğunda Sema iki yaşında idi. E) Sare, Sema’dan 4 yaş büyüktür. Çözüm: Sema Sare 2x 29 x Sema + Sare 58 2x 29 + x 58 3x 87 x 29 Sema Sare 29 29 (Cevap C) ÖRNEK SORU
Said 1960 yılında doğmuştur. Said Ebrar’dan 6 yaş büyüktür, Zeynep’ten de 12 yaş küçüktür.
nep’in doğum yılları inde doğru olarak
Buna göre, Ebrar ile Zey aşağıdakilerden hangis rilmiştir? Ebrar Zeynep A) 1966 1958 B) 1954 1972 C) 1944 1976 D) 1966 1948 E) 1948 1966 Çözüm: Said Ebrar 1966 1960 x + 6 x Zeynep 1948 x + 18 (Cevap D)
??? YAYINCILI
K
HAREKET PROBLEMLERİ
Hız ve hareket problemlerinde birbiriyle alakalı üç temel unsur vardır.
Bunlar; 2. Ha
yol an hız ile yol doğru orantılı
değişken-Hız abit ir yolu tmek için gereken
zam ağ an hı aman ters orantılı
değ .
şke arasın kiyi veren formül;
1. Hareketlinin hızı (v) Hareketlinin aldığı yol (x)
www.filoz
of.com.tr
3. Hareket süresince geçen zaman (t)
reketlinin hızı arttıkça sabit bir zamanda, alınan artacağınd
lerdir.
arttıkça s b kat e
an azalac ınd z ile z
işkenlerdir
Bu üç deği n daki iliş
Yo
Hız l , v x şeklinde
n t dir.
Problemde istenenlere göre formül, Zama
Yol Hız Zaman, x v t veya
Yol x
Zaman , t şeklinde de kullanılabilir.
Hız v
UYARI
rmülleri üçgen çizerek kolayca aklım
Bu fo ızda
tu-tabiliriz.
x
v t
nur. Örneğin; x isteniyorsa, x kapatılır ve v ile t yan yana olduğu için çarpılır.
n ifade kapatılarak, alanlar çarpılarak veya n ifade bulu-İstenile
geriye k
bölünerek istenile
ÖRNEK
Bir hareketli, A kentinden B kentine saatte 80 km hızla 7 saatte varıyor.
Buna göre, A kenti ile B kenti arasındaki zaklık kaç km dir?
Çözüm: I. Yol:
İstenen, yol (x) ? km olmak üzere,
u
Verilenlere göre, hız (v) 80 km/saat, süre (t) 7 saattir. x v t 80 7 560 km dir. II. Yol: x v t
Yolu (x) bulmak istiyoruz. x i kapatırsak; v ile t yan yana olduğu için çarparız.
x v t 80 7 560 km olur.
ÖRNEK
480 km lik bir yolu 10 saatte alan bir aracın hızı saatte kaç km dir?
Çözüm:
x zaman (t) alt alta olduğu için bu i
v t
patalım. Yol (x) ve fadeleri böleriz. Yani; Hızı (v) ka x v olu t r. x480 km, t 10 saat ise, 480 V 48 km / sa olur. 10 ÖRNEK ızını 20 km azaltara
Bir tren saatteki h k 240 km
lik yolu 2 saat daha geç bir zamanda gidiyor. Trenin ilk hızı kaç km/saat tir?
Çözüm: Yol Hız Zaman x Yani, v dir. t x 240 olduğundan v240 dir.() t
, hız 20 km azalınca zaman 2 saat artıyor.
www.filoz f.com.tr o 240 v 20 t 2 ( () ve () dak ) i denklemleri eşitlersek; 240 240 240 240 v 20 t t 2 t t 2 20 (t 2) (t) 1 1 240 20 t t 2 1 1 20 t t 2 240 t 2 t 1 t (t 2) 12 2 1 t (t 2) 12 t (t 2) 2 12 t (t 2) 2 4 t (t 2) 4 6 t 4 olur. renin ilk hızı T , v 240 240 60 km / s t 4 aat tir. Kural: v1 v2 x A B
arala-rında x km bul alarından aynı anda
rbirlerine doğru hareket ettiklerinde k rşılaşma süresi t saat olsun. Bu iki araç arasındaki yolun uzunluğunun, hızlar toplamına oranı t’ye eşittir. Buna göre,
Saatteki hızları v km ve v km olan iki araç 1 2 unan A ve B nokt bi a 1 2 1 2 AB x t d v v v v ir. ÖRNEK SORU
Aralarında 600 km uzaklık bulunan iki hareketli-den birinin hızı 80 km/sa, diğerinin hızı 70 km/sa dır.
Bu iki hareketli aynı anda birbirine doğru hareket ettikten kaç saat sonra karşılaşırlar?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Çözüm: l. Yol: A 600 km B M v1 70 km/saat v2 80 km/saat sonra ka Bu verilere göre,
Hareketliler t saat rşılaşsınlar. Bu
du-rumda karşılaşma gerçekleştiğinde iki aracın git-tiği toplam yol 600 km dir.
Hızı 70 km/saat olan aracın gittiği yol, 70 t dir. Hızı 80 km/saat olan aracın gittiği yol, 80 t dir.
70 t 80 t 600 150 t 600 t 4 bulunur. ll. Yol:
Yukarıdaki kurala göre yapalım.
1 2 1 2 1 2 x 600, v 80 km / sa, v 70 km / sa ise, AB x 600 600 t 4 saat v v v v 80 70 150 (Cevap C) Kural: A Çevre x v1 v2 Saatteki hızları v
olan iki araç çevre unl
km olan daires zı (birbirlerine do lerinde karşıla olsun. Çemb hızlar toplamın t 1 v km uz el pistte ğru) harek şma süresi t s erin çevres anı e v km2 uğu x t yönde et ettik-aat inin, ye eşit-a or tir. Yani, 1 2 Çevre (x) t dir. v v ÖRNEK SORU
Çevresi 3600 metre olan dairesel bir pistte aynı aynı anda ve zıt yönde harekete baş-ki hareketlinin hızları sırasıyla; 34 Hareketliler kaç dakika sonra karşılaşırlar?
A) 41 B) 43 C) 45 D) 47 E) 48
noktadan, layan i
??? Y CILI K AYIN www.filoz f.com.tr o Çözüm: Yol: I. A x1 Ç x2 3600 m B
v1 34 m/da v2 46 m/da Aynı anda A
noktasın-dan hareket
reketliler (hızları v1
34 m/dakika ve v2 46
m/dakika olan
hareket-ıyla 2
Buna göre,
t dir. ( t dir. (
() deki denklem ile () deki denklem taraf ta-rafa toplanırsa,
II. Yol:
Yukarıdaki kural ygulayalım.
liler sıras x eden
ha-1 ve x
yollarını aldıktan sonra) B noktasında t dakika sonra karşılaşsınlar. ) ) 1 x 34 2 x 46 1 2 x x 80 t 3600 80 t t 45 olur. ı u
Çevresi 3600 m olan çembersel bir pistin bir A noktasından, aynı anda ve zıt yönde harekete başlayan iki hareketlinin hızları 34 m/dakika, 46 m/dakika ise karşılaşma süresi,
1 2 v v 34 46 80 Çevre(x) 3600 3600 t 45 dakikadır. (Cevap C) Kural: v1 km/saat v2 km/saat A B C v1 > v2 Saatteki hızları v1 km ve v2 rında x km bulunan A ve B n a
et ettiklerinde arkadaki aracın üresi t saat olsun. Bu iki
racın aralar n uzunluğunun hızlar farkına
ranı t ye eşit re,
km olan iki araç arala-oktalarından aynı and aynı yönde harek
öndeki aracı yakalama s
a ındaki yolu o tir. Buna gö 1 2 ÖRNEK SORU A ve B hareket ede
noktalarından aynı anda ve aynı yönde n iki aracın saatteki hızları sırasıyla 55 ve 45 km’dir.
AB 90 km
olduğuna göre, A’dan hareket eden aracın B’den hareket eden aracı yakalama süresi kaç saattir? A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10 Çözüm: l. Yol: 55 km/sa A B C 15 km/sa
Hareketliler harekete geçtikten t saat sonra C’ye gelmiş olsunlar (A aracı B aracını C de yakala-dı). AB t dir. v v AC 55 t dir. () BC 45 t dir. () AB 90 km ise AB AC BC 90 55 t 45 t 90 10 t t 9 olur. ll. Yol:
Kurala göre yapalım.
1 2 v v 55 45 10 AB 90 90 t bulunur. 9 (Cevap D) Kural: A v1 v2 Çevre Saatteki hızları v km ve 1 v km2 x v1 > v2
olan iki araç çevre unl
km olan dair t
d ö t
rinde hızlı ol ı
olan aracı ya
saat olsun. Çe çevr
hızlar farkı ye Yani, uz esel pist an arac kalama mberin na oranı t uğu x e aynı n yavaş süresi t esinin eşittir. an a aynı y ne hareke
1 2 e (x) t d v v Çevr ir.
w
iloz
of.com.tr
ww.f
ÖRNEK
Çevresi 1470 m olan dairesel bir pistte aynı
noktadan, aynı ve aynı yönde harekete
başlayan iki hareketlinin hızları sırasıyla 26
m/dakika ve 12 a dır.
Hızı fazla olan hareketli kaç dakika sonra diğerine ilk kez yetişir?
Çözüm:
Yukarıdaki kurala re yapalım. anda m/dakik gö 1 2 1 2 Çevre (x) t , (v v v v ) oldu-1 v 26m / da, v212 m / da, x 1470 m ğuna göre, 1470 1470 t 105 dakika 26 12 14
(Dikkat edilirse hızlı olan 2. turunu
yavaş olan 1. turunu atmaktadır. Yani hızlı olan 1 tur fazla atmıştır.)
Kural:
atmakta,
A B
vy
Nehir
Nehirde A noktasından B noktasına gitmek isteyen bir yüzücü için;
AB , Nehrin akış hızı: vx A, Yüzücünün hızı: vY
ve AB yolunu alma süresi t olsun. Nehirin akış yönünde giderse;
AB (Nehrin hızı + Yüzücünün hızı) x Zaman
nünün zıddı yönde giderse;
n y 1
x (v v ) t formülü bulunur. Nehirin akış yö
AB Yüzücünün hızı Nehrin hızı x Zaman
y n
x v v formülü bulunur. t ise
y n
v v AB yoluna ulaşır.
bulunduğu yerde sabit kalır. ise akıntıda sürüklenir.
y n
v v ise
y n
v v
ÖRNEK
Bir yüzücü, köprüden ırmağa atlayıp, K nokta-sından L noktasına doğru akıntıya karşı 12 daki-ka yüzerek 360 metre ilerliyor. Sonra geriye dö-nüp, yere göre hızını değiştirmeden 5 dakikada atladığı K noktasına ulaşıyor.
öre, yüzücünün yere göre hızı kaç m/da dır?
Çözüm:
Yüzücünün yere göre hızı vy metre/dakika ve
akıntının yere göre hızı va metre/dakika olsun.
Yüzücü, giderken akıntıyı karşısına, dö üşte ise yere göre gidiş hızı (vy va)
met-re/da
Y ızı (vy + va)
met-re/dakika olur.
olu gidiş süresine böld
Buna göre,
Buna g
n arkasına aldığı için,
Yüzücünün kika
üzücünün yere göre dönüş h Gidilen yolun uzunluğunun o y
üğümüzde gidiş hızını buluruz.
y a 360 v v 12 v 30 dur. (1) y a v y a 36 0 v v 5
(1) deki d emi taraf tarafa
toplanırsa,
(2)
y a
v v 72 dir.
enklem ile (2) deki denkl
y a y a y y y v v 72 2v 30 72 2v 102 v 51 olur. v v 30
??? YAYINCILI K
İŞÇİ VE HAVUZ PROBLEMLERİ
www.filoz of.com.trA. İŞÇİ PROBLEMLERİ
konudaki işçi problemleri orantı kon
Bu usundaki işçi
rklı olup “birlikte iş yapma prob-lemleri” dir.
ki işçinin bir işi b tirme süresini bulma” problemi ile ğun bir havuzu doldurma süresini bulma”
roblemi aynı matem emele dayanmaktadır.
irlikte iş yapma problemlerinde aşağıdaki bilgiler kullanılarak çözüme gidilir.
Bir işi;
Ali tek başına a s ,
irlikte işin tamamını t saatte bitirsin-ler. Buna göre,
Ali 1 saatte işin problemlerinden fa “İ i “iki muslu p atik t B aatte
Veli tek başına b saatte bitirsin. Ali ile Veli b
1
a kadarını bitirir. saatte işin
Veli 1 1
b kadar nı bitirir. Ali ile Veli birlikte 1 saatte işin
ı 1
t kadarını bitirir-Ali ile Veli’nin ayrı ayrı 1 saatte yaptıkları iş mik-tarlarının toplamı, birlikte 1 saatte yaptıkları iş miktarına eşittir. Buna göre,
ler. 1 1 1 a b olur. Bu bağıntı t 1 1 t 1 a b
biçiminde de ifade edilebilir.
Bu ifade, Ali ile Veli beraber t saat çalışırlarsa iş bitirirler şeklinde söylenebilir. Eşitliğin sağındaki 1 (bir) i
i şin bittiğinin göstergesidir.
ÖRNEK
Bir işi tek başına Zehra 8 günde, Elif 6 günde
işin kaçta kaçını yapmış olur? bitirebiliyor.
İkisi birlikte çalışarak işi tamamladıklarına göre, Elif
Çözüm:
İkisi birlikte bu işi x günde bitirsinler.
(3) (4) 1 1 x 1 8 6 3 4 x 1 7 x 1 24 x tür. 7 24 24
Buna göre, Elif x 24 7
gün çalışmıştır. Elif 6 günde işin tamamını yaptığına göre, 1 günde işin 1sını,24günde24 1 4
6 7 7 6 ünü 7
yapar.
ÖRNEK
Bir işin 4 te 3 ünü Kemal 6 saatte, aynı işin 5 te 2 sini Murat 4 saatte bitirebiliyor. Buna göre, Kemal ile Murat birlikte bu işin tamamını kaç saatte bitirebilirler?
Çözüm:
Bir işin 4 te 3 ünü (4 parçadan 3 pa mal 6 saatte, yapabiliyorsa bu kişi ay
rçasını) Ke-nı koşullar-da bu işin;
1 parçasını 6 : 3 2 saatte,
4 parçasını (tamamını) ise saatte yapar.
Bir işin 5 te ikisini (5 parçadan 2 parçasını) Murat 4 saatte yapabiliyorsa bu kişi aynı koşullarda işin; 1 parçasını 4 : 2 2 saatte
5 parçasını (tamamını saatte yapar.
Aynı işi ikisi birlikte t saatte bitirsinler. O zaman, 2 4 8 ) 5 2 10 (5) (4) 1 1 1 810 t 5 4 1 40 t 40 9 1 t 40 t saat olur. 9
UYARI
A, B ve C işçileri sırasıyla aynı işi x, y, z saatte birlikte i
bitirsinler. Üçü sonra C işçis
www.filoz
of.com.tr
şe başladıktan m saat i işten ayrılıyor. Kalan işi A ve B iş-çileri n saat daha çalışarak işi bitiriyorlar. Bu problemin denklemini yazalım.
1 1 1 1 1 dir. m n 1 x y z xy ÖRNEK SORU günde,
Bir işi tek başına Canan 6 Gamze 9
gün-de, Sümeyye 18 günde bitirebiliyor. Üçü birlikte 2 Geriye kal işi Canan ile Sümeyye birlikte kaç günde irebilir?
A)
gün çalıştıktan sonra Gamze ayrılıyor. an bit 3 2 B) 4 3 C) 5 4 D) 6 5 E) 2 Çözüm:
Üçü birlikte 2 gün çalıştıktan sonra Gamze ayrı-lıyor. Kalan işi Canan ile Sümeyye x günde bitir-sinler.
Buna göre, üçü birlikte 2 gün, Canan ile Sümey-ye x gün çalışacaklardır. (3)6 (2)9 18(1) (3)6 18(1) 1 1 1 1 1 1 2 x 6 4 2 x 1 18 18 12 4x 1 18 12 4x 18 4x 6 6 3 x dir. 4 2 (Cevap A) ÖRNEK SORU
Bir kalfa 3 günde 4 takım elbise, bir usta ise 4 günde 7 takım elbise dikebiliyor.
kebilirler?
A) 18 B) 20 C) 21 D) 23 E) 24
İkisi birlikte 74 takım elbiseyi kaç günde
Çözüm: I. Yol:
Gün sayılarını eşitleyelim.
Bir kalfa 3 günde 4 takım elbise dikerse 3 4 12 günde 4 4 16 takım elbise diker. Usta, 4 günde 7 takım elbise dikerse
4 3 12 günde 7 3 21 takım elbise diker. İkisi birlikte 12 günde 16 + 21 37 takım elbise dikerler.
İkisi birlikte 37 takım elbiseyi 12 günde
diktikleri-ne göre, 74 takım elbiseyi günde
di-kerler. II. Yol:
Bir günde yaptıkları işleri bulalım. Verilenlere göre, kalfa bir günde
12 2 24
4 3 tak usta ise bir günde
ım elbise, 7
4 takım elbise dikebiliyor. İki-si birlikte 74 takım elbiseyi x günde dikİki-sinler. Buna göre, (3) (4) 4 7 x 74 3 4 16 21 x 7 12 4 x 74 ) 37 12 x24 olur. (Cevap E ÖRNEK
Uzunlukları aynı olan iki mum aynı anda yanma-ya başladığında, biri 4 saatte, diğeri 7 saatte
ta-nda u olur?
mamıyla yanarak bitmektedir.
Bu iki mum aynı a yakıldıktan kaç dakika sonra, birinin boy diğerinin boyunun 2 katı
??? YAYINCILI
K
aynı anda yakıldıktan x saat sonra birinin boyu diğerinin boyunun iki katı olsun. 1. mumun tamamı 4 saatte yanıyorsa, 1 saatte
www.filoz f.com.tr o Çözüm: Bu iki mum 1 4 ü ve x saatte de x 4 ü yanar. x 4 ü yanan mu-mun geriye 1 x 4 ü kalır.
2. mumun tamamı 7 saatte yanıyorsa, 1 saatte 1 7 si ve x saatte de x 7 si yanar. x 7 si yanan mumun 1 x 7 si kalır.
Bu iki mum aynı anda yakıldıktan x saat sonra, birinin boyu diğerinin boyunun 2 katı ise,
(7) (2) 2 1 2 7 5x 1 x x 1 2 1 7 4 x 2x 1 2 7 4 x x 1 2 7 2 x x 5 14 14 x olur. 14 14 saat 60 14 12
B. H
Havuz problemlerini işçi problemleri gibi düşünerek
çöz oşal ukları negatif () olarak
işleme dahil ederiz.
Bi a
ek atte doldursun. C
mus-aşına c saatte boşaltsın.
5 5
168 dakika bulunur.
AVUZ PROBLEMLERİ
eriz. Ancak b tan musl
Kural:
r havuzu A musluğu tek başına saatte, B
musluğu t başına b sa
luğu dolu havuzu tek b
Üç musluk birlikte açıldığında boş havuz t saatte
dolsun. Buna göre, 1 1 1 1
a b c olur. t
ÖRNEK
Boş bir havuzu iki musluktan biri tek başına 6 saatte, diğeri 9 saatte doldurmaktadır.
Buna göre, iki musluk birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?
Çözüm:
İki musluk birlikte boş havuzu x saatte doldur-sun. Verilenlere göre,
(3) (2) 1 1 1 6 9 x 5 1 18 x 18 x saat bulunur. 5 ÖRNEK SORU
Boş havuzun tamamını tek başına A m saatte, B musluğu 18 saatte doldurmakta
usluğu 9 dır. Ha-vuzun tabanında bulunan C musluğu dolu havu-zu 27 saatte boşaltmaktadır.
Bu üç musluk birlikte açıldığında boş havuz kaç saatte dolar?
A) 59 7 B 54 7 C) 5 7 D) 48 7 ) E) 3 Çözüm:
Boş havuz, üç musluk birlikte açıldıktan a saat sonra dolsun. Buna göre,
(2) (6) (3) 1 1 1 1 918 27 a 6 3 2 1 (Cevap B) 54 a 7 1 54a 54 a saat 7 ÖRNEK SORU
A musluğunun su akıtma kapasitesi; B musluğu-nun su akıtma kapasitesinin 3 katı ve C muslu-ğunun su akıtma kapasitesinin 4 katıdır. Bir ha-vuzu bu üç musluk birlikte 12 saatte doldurabili-yor.
Buna göre, bu havuzu tek başına B musluğu kaç saatte doldurabilir?
ÖRNEK
www.filoz
of.com.tr
12k, B 4k, C 3k olur.
, A ak k,
apasitesi ile doldurma süresi ters lanın doldurma süresi t saat ise;
4k olanın doldurma süresi 3t, 3k olanın doldurma süresi 4t olur.
(Çalışma kapasitesi ile işi bitirme süresi ters orantılı olduğu için,
Havuzu üçü birlikte 12 saatte doldurabildiklerine göre,
Çözüm: I. Yol:
A’nın su akıtma kapasitesi, B’nin su akıtma ka- pasitesinin 3 katı ve C’nin su akıtma kapasitesi-nin 4 katı olduğuna göre,
3B 4C ise, A A
Yani nın su ıtma kapasitesi 12 B nin 4k, C
nin 3k olur.
Su akıtma k
orantılıdır. Buna göre, Su akıtma kapasitesi 12k o (12k t 4k 3t 3k 4t dir.) (12) (4) (3) 1 1 1 1 t 3t4t12 19 1 12t 12 t 19 bulunur.
Buna göre B musluğunun havuzu doldurma süresi 3 t 3 19 57 saattir. Yol: II. 3k olur. Havuzu üçü l
usluğu havuzu tek başına x saatte un. Buna göre,
Verilenlere göre, A’nın su akıtma kapasitesi 12k olduğunda, B’nin 4k, C nin
birlikte 12 saatte doldurabildik erine göre, havuz 12k + 4k + 3k 19k kapasite ile 12 saatte dol-muştur. B m doldurs 19k ile 12 saatte 4k ile x saatte Ters orantı 4 x 12 19 x 3 19 57 olur. 4 k x 12 19 k (Cevap E) h h A A m k C B
usluğu boş olan havuzu te
başına 12 saatte, C musluğu
d avuzu kendi seviyesine
kadar 18 saatte boşaltıyor.
Üç musluk aynı anda açılırsa boş olan havuz kaç saatte dolar?
başına 6 saatte dolduruyor. B musluğu dolu olan havuzu tek
olu h Çözüm: h h A C ll. kısım
l. kısımda; C musluğunun bir görevi yoktur. Havuzun yarısı olduğundan; A tamamını 6 saat-te, yarısını 3 saatte doldurur. B
A, B, C B l. kısım
A, B tamamını 12 saatte, yarısını 6
saatte boşaltır. İkisi beraber havuzun l. kısmını; 1 (2) (1) 1 1 1 3 6 t 1 1 1 2 1 1 6 t 1 1 ise t 6 saat 6 t l. Kısım 6 saatte dolar.
ll. kısımda üç muslukta görev yapar. Yine
havu-zun yarısı olduğundan A muslu saatte
dol-durur; B musluğu 6 saatte, C musluğu boşaltır. ğu 3 18 saatte 2 2 (6) (3) 2 2 2 1 1 1 1 6 3 1 1 3 6 18 t 18 t 2 1 18 t 1 1 ise t 9 saat ı; 15 saatte dolar. 9 t Havuzun tamam t1 + t2 6 + 9