☺
วงกลม
☺
มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมใน
ส่วนโค้งของวงกลม
☺
คอร์ด
☺
เส้นสัมผัสวงกลม
********************
จัดทําโดย
นายปกครอง บุญปลื้ม
C B A O เส้นผ่านศูนย์กลาง เส้นรอบวง รัศมี จุดศูนย์กลาง center radius circumference diameter segment (area) sector (area) คอร์ด chord เส้นสัมผัส tangent จุดสัมผัสC B A O เส้นผ่านศูนย์กลาง เส้นรอบวง รัศมี จุดศูนย์กลาง center radius circumference diameter segment (area) sector (area) คอร์ด chord เส้นสัมผัส tangent จุดสัมผัส วงกลม วงกลม เป็นรูปเรขาคณิตบนระนาบซึ่งแต่ละจุดบนรูปเรขาคณิตนี้ อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งบน ระนาบเดียวกันเป็นระยะเท่ากัน เรียกจุดคงที่นี้ว่า จุดศูนย์กลางของวงกลม เรียกระยะที่เท่ากันนี้ว่า รัศมีของวงกลม ส่วนต่าง ๆ เกี่ยวกับวงกลมที่นักเรียนเคยรู้จักมาแล้วมีดั้งนี้ จากรูป จุด O เป็นจุดคงที่ เรียกจุด O ว่า จุดศูนย์กลางของวงกลม จุด A อยู่บนเส้นรอบวงของ วงกลม หรือกล่าวว่า จุด A อยู่บนวงกลม เรียก OA ว่า รัศมีของวงกลม จุด B และจุด C อยู่บนวงกลม และ BC ผ่านจุดศูนย์กลาง O เรียก BC ว่า เส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม การเรียกชื่อวงกลมวงหนึ่งที่มีจุดศูนย์กลางตามที่กําหนดให้ อาจเรียกตามชื่อของจุดศูนย์กลางของ วงกลมนั้น เช่น วงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง อาจเรียกว่า วงกลม O รัศมีของวงกลม หมายถึง ระยะระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดบนวงกลม หรือ หมายถึง ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดศูนย์กลางและจุดบนวงกลมเป็นจุดปลาย วงกลมวงหนึ่งมีรัศมีเป็นจํานวนมากมายนับไม่ถ้วน และรัศมีของวงกลมเดียวกันจะยาวเท่ากันทุก เส้น วงกลมสองวงที่มีรัศมียาวเท่ากัน สามารถเลื่อนให้วงกลมสองวงนั้นทับกันได้สนิท จงกล่าวได้ว่า กลมสองวงที่มีรัศมียาวเท่ากัน จะเท่ากันทุกประการ
นอกจากส่วนต่าง ๆ ของวงกลมที่กล่าวมาแล้วข้างต้น ยังมีส่วนอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับวงกลมที่สําคัญ ได้แก่ คอร์ด เส้นตัดวงกลม และเส้นสัมผัสวงกลม คอร์ด คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองอยู่บนวงกลมเดียวกัน คอร์ดแต่ละเส้นจะแบ่ง วงกลมออกเป็นส่วนโค้งสองส่วนโค้ง จากรูป AB เป็นคอร์ดของวงกลม O เรียกส่วนโค้ง ADB ว่า ส่วนโค้งใหญ่ AB เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ADB เรียกส่วนโค้ง ACB ว่า ส่วนโค้งน้อย AB เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ACB หรือ AB ความยาวของ ADB เขียนแทนด้วย m(ADB)
ความยาวของ ACB เขียนแทนด้วย m(ACB) หรือ ความยาวของ AB เขียนแทนด้วย m(AB) เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเป็นคอร์ดที่ยาวที่สุดซึ่งแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนโค้งสองส่วนที่เท่ากัน ทุกประการ เรียก ส่วนโค้งแต่ละส่วนว่า ครึ่งวงกลม เส้นตัดวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดวงกลมสองจุด เส้นสัมผัสวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้นและเรียกจุดตัดนั้นว่า จุดสัมผัส D C O A B คอร์ด ส่วนโค้งใหญ่ ส่วนโค้งน้อย ครึ่งวงกลม C D C B O เส้นผ่านศูนย์กลาง ครึ่งวงกลม จุดสัมผัส เส้นสัมผัสวงกลม เส้นตัดวงกลม B A O D C E
มุมที่จุดศูนย์กลาง คือ มุมที่มีจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นจุดยอดมุมและแขนทั้งสองของมุมตัด วงกลม
จากรูป ∠AOB และมุมกลับ AOB แต่ละมุมเป็นมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม O ที่ ∠AOB รองรับด้วย AB และมุมกับ AOB รองรับด้วย AXB
มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมตัดวงกลม จากรูป ∠ACB เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม O ที่รองรับด้วย AXB มุมในครึ่งวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมผ่านจุดปลายทั้งสอง ของเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง จากรูป BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O ∠BAC เป็นมุมในครึ่งวงกลม ที่รองรับด้วย BXC X B A O B A O C X B C O A
มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม ทฤษฎีบท มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา หรือ หนึ่งมุมฉาก ทฤษฎีบท ในวงกลมเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลาง จะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้ง ของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน ทฤษฎีบท ในวงกลมเดียวกัน มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันจะมีขนาดเท่ากัน B A O C B A O C B A O C O C A B O C A B D O C B A O A B D C O A B D C O A B D C
ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางนั้นจะยาวเท่ากัน ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมที่จุดศูนย์กลาง ที่รองรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน O A B R P Q D C O A B O C A B R D E F A O C D B O A B R P Q B A O C D
ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมในส่วนโค้ง ของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน คอร์ด ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองคอร์ดยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้ง สองจะตัดวงกลมทําให้ส่วนโค้งน้อยยาวเท่ากัน และส่วนโค้งใหญ่ยาวเท่ากัน ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองคอร์ดตัดวงกลมทําให้ส่วนโค้ง น้อยยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน O C A B R E D F A C O B A B O D C O A B O C D A B O O C D C B A
ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรงซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมและตัดคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง จะมีสมบัติ ดังนี้ 1. ถ้าส่วนของเส้นตรงตั้งฉากกับคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นจะแบ่งครึ่งคอร์ด 2. ถ้าส่วนของเส้นตรงแบ่งครึ่งคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นจะตั้งฉากกับคอร์ด ทฤษฎีบท เส้นตรงที่ตั้งฉากและแบ่งครึ่งคอร์ดของวงกลมจะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น ทฤษฎีบท ถ้ารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเท่ากับสองมุมฉาก แล้วรูปสี่เหลี่ยมนั้นแนบ ในวงกลมได้ X B O A X B O A F E Y X B O A D C 4 3 2 1 O
ทฤษฎีบท 1. ในวงกลมวงเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองเส้นยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะอยู่ห่างจากจุด ศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะเท่ากัน 2. ในวงกลมวงเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองเส้นอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน เส้นสัมผัสวงกลม ทฤษฎีบท เส้นสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส ทฤษฎีบท เส้นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุด ๆ หนึ่งบนวงกลม จะเป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น C D O A B C D O A B O E F C D B A
ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุด ๆ หนึ่งภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมวงเดียวกัน จะยาวเท่ากัน และมีได้สองเส้น P O A B
แบบทดสอบความเข้าใจ 1. x = ………. , y = ………. 2. x = ………. , y = ………. 3. x = ………. , y = ………. 4. x = ………. , y = ………. 5. x = ………. , y = ………. 6. x = ………. , y = ………. 7. x = ………. , y = ………. 8. x = ………. , y = ………. 9. x = ………. , y = ………. 10. x = ………. , y = ………. 11. x = ………. , y = ………. 12. x = ………. , y = ………. y x 230°°°° O y x 50°°°° O 110°°°° x y O x y O x y 40°°°° O y x 98°°°° O x y 40°°°° O y x 70°°°° O x 60°°°° O 40°°°° x O y x 40°°°° O y x O
13. x = ………. , y = ………. 14. x = ………. , y = ………. 15. x = ………. , y = ………. 16. x = ………. , y = ………. 17. x = ………. , y = ………. 18. x = ………. , y = ………. 19. x = ………. , y = ………. 20. x = ………. , y = ………. 21. a = ………. , b = ………. 22. c = ………. , d = ………. 23. e = ………. 24. q = ….…. , r = ….…. , s = ... x 25°°°° y O x y 30°°°° O x y 20°°°° O 23°°°° 20°°°° x y O x y 100°°°° 68°°°° x y 30°°°° 80°°°° x y 50°°°° y x 110°°°° 70°°°° b a 35°°°° O d c 15°°°° O e 42°°°° O q s r 70°°°° O
25. t = ….… , u = ….…. , v = ... 26. p = ………. , q = ………. 27. i = ………. , j = ………. 28. p = ………. 29. l = ….… , m = ….… , n = ... 30. a = ………. , b = ………. 31. c = ………. , d = ………. 32. e = ….…. , f = ….…. , g = ... 33. h = ………. , i = ………. 34. ∠OAB = ... , ∠OBA = …… ∠OCD = …… , ∠ODC = …… 35. ∠OPQ = …… , ∠OQP = …… ∠OQR = …… , ∠ORQ = …… 36. ∠ACD = …… , ∠BDC = …… ∠CAB = …… , ∠BDA = …… v u t 50°°°° O q p 100°°°° O j i 36°°°° O h 224°°°° O l n m 25°°°° 55°°°° O b a 60°°°° 50°°°° 20°°°° 40°°°° c d g f e 70°°°° 35°°°° h i 40°°°° 60°°°° 80°°°° A C B O D 100°°°° 60°°°° 25°°°° X D B C A 25°°°° Q P S O R
37. ∠EFH = …… , ∠FEG = …… ∠GFH = …… , ∠EGF = …… 38. ∠ADB = …… , ∠DBC = …… ∠BDC = …… , ∠ACD = …… 39. d = ………… , c = ………… 40. e = ….… , f = ……. , g = ... 41. h = ….… , i = ……. , j = ... 42. k = ………… , l = ………… 43. ∠AXD = ……. , ∠CBD = …… ∠BAC = ……. 44. ∠SPT = …… , ∠RQT = …… ∠RPQ = …… , ∠SQP = …… 45. ∠CAD = …… , ∠CAB = …… ∠CBA = …… 46. ∠YXZ = …… , ∠XZY = …… ∠WYZ = …… , ∠XWY = …… 47. x = ………… , y = ………… 48. a = ………… , b = ………… 80°°°° 60°°°° 30°°°° X F H E G 30°°°° D X B O A C 28°°°° c d 52°°°° O h j i 65°°°° O l k 55°°°° O 25°°°° 30°°°° X C D B O A 25°°°° 40°°°° C D B O A 60°°°° Q Z Y X O W b a 105°°°° 85°°°° g f e 35°°°° O 50°°°° T R S Q O P y x 78°°°° O
49. c = ………… , d = ………… 50. e = ….… , f = ……. , g = ... 51. h = ………… , i = ………… 52. j = ….… , k = ……. , l = ... 53. m = ………… , n = ………… 54. ∠XYZ = …… , ∠XWZ = …… 55. ∠BAD = …… , ∠CBT = …… ∠ADC = …… 56. ให้ ∠ACB = 2∠ACD ∠ACD = …… , ∠ACB = …… 57. ให้ ∠PSQ = 5∠QSR ∠QSR = …… , ∠PSQ = …… 58. a = ….… , b = ……. , c = ... 59. d = ….… , e = ……. , f = ... 60. g = ………. c d 80°°°° d e 75°°°° f g 115°°°° h 84°°°° i 35°°°° Y X Z W 78°°°° A B C D T 60°°°° B D A C R Q P S c b a56°°°° O 65°°°° f e d O 5g g O k 100°°°° j l 110°°°° m n 95°°°°
61. h = ………… , i = ………… 62. j = ………… 63. k = ………… 64. x = ………… 65. l = ….… , m = ……. , n = ... 66. p = ………… , q = ………… r = ………… , s = ………… 67. t = ………… , u = ………… v = ………… , w = ………… 68. a = ………… , b = ………… 69. c = ………… , d = ………… 70. e = ………… i h O 50°°°° j O x 4x 2x O 70°°°° p s r q O 4e e O 4k k O 35°°°° l n m O 65°°°° w t u v O b a 40°°°° O d c 50°°°° O
71. f = ………… , g = ………… 72. h = ………… 73. ∠XOY = …… , ∠XYZ = …… 74. ∠BAC = …… , ∠BCA = …… ∠ACO = …… , ∠AOC = …… 75. ∠PRS = …… , ∠PSR = …… 76. ∠ORQ = …… , ∠QPS = …… 77. ∠AOB = …… , ∠DAO = …… ∠ADC = …… 78. a = ….… , b = ……. , c = ... d = ….… , e = ……. , f = ... 79. a = ………… , b = ………… c = ………… , d = ………… 110°°°° g f O 3h 2h O 63°°°° Q Y Z O X 40°°°° X B A O C 65°°°° X S R O P 40°°°° 50°°°° Q S R O P 70°°°° a b c ed f O d c b a 25°°°° 30°°°° O 18°°°° D C O A
80. l = ….… , m = ……. , n = ... p = ….… , q = ……. , 81. u = ….… , v = ……. , w = ... x = ….… , y = ……. , z = ... 82. l = ….… , m = ……. , n = ... p = ….… , q = ……. , r = ... 83. x = ………… , y = ………… 84. x = ………… , y = ………… 85. a = ….… , b = ……. , c = ... 86. x = ….… , y = ……. , z = ... 87. x = ………… , y = ………… 88. x = ………… , y = ………… 89. x = ………… , y = ………… u v w x y z 40°°°° O l m n p q r 50°°°° 100°°°° y x 43°°°° 108°°°° x 50°°°° y 70°°°° 44°°°° 66°°°° b c a x z y 34°°°° 36°°°° O y x 28°°°° O 32°°°° 24°°°° x y O 28°°°° x y 38°°°° O 80°°°° l m n p q O
