A Class of One-Step Hybrid Third derivative Block Method for the Direct Solution of Initial Value Problems of Second-order Ordinary Differential Equations

(1)

ISSN: 2394-3661, Volume-5, Issue-1, January 2018

Abstract² In this paper, we consider the development of a

class of one-step hybrid third derivative block method with three off-grid points for the direct solution of initial value problems of second order Ordinary Differential Equations. We adopted method of interpolation and collocation of power series approximate solution to generate the continuous hybrid linear multistep method, which was evaluated at grid points to give a contnuous block method. The discrete block method was recovered when the continuous block method was evaluated at selected grid points. The basic propertise of the method was investigated and was found to be zero-stable, consistent and convergent. The efficiency of the method was tested on some stiff equations and was found to give better approximation than the existing method, which we compared our result with.

Index Terms² One-step, Hybrid Block Method, Third

derivative, stiff ODEs, Collocation and Interpolation Method.

I. INTRODUCTION

This paper solves second order initial value problems in the form

y'' f x,yx,y' x , y x₀ y₀, y' x₀ y'₀ (1). where f is continuous within the interval of integration. Solving higher order derivatives method by reducing them to a system of first-order approach involves more functions to evaluate which then leads to a computational burden as in [1-3].The setbacks of this approach had been reported by VFKRODUV DPRQJ WKHP DUH %XQ DQG 9DVLO¶\HU > @ DQG Awoyemi et al [5].

The method of collocation and interpolation of the power series approximation to generate continuous linear multistep method has been adopted by many scholars, among them are Fatunla [7], Awoyemi [5], Olabode [10], Vigor Aquilar and Ramos [6], Adeniran et al [15], Abdelrahim et al[14], Mohammad et al[13] to mention a few. Block method generates independent solution at selected grid points without overlapping. It is less expensive in terms of number of function evaluation compared to predictor corrector method, moreover it possess the properties of Runge Kutta method for being self-starting and does not require starting values. Some of the authors that proposed block method are: [8, 9, 11, 12, 17,18].

In this paper, we developed a on e-step hybrid third derivative method with three offgrid, which is implemented in block

Skwame Y., Department of Mathematical Science, Adamawa State University, Mubi-Nigeria.

Raymond D., Department of Mathematics and Statistics, Federal University, Wukari-Nigeria.

method. The method is self-starting and does not require starting values or predictors. The implementation of the method is cheaper than the predictor-corrector method. This method harnesses the properties of hybrid and third derivative, this makes it e¢cient for sti¤ problems.

The paper is organised as follows: In section 2, we discuss the methods and the materials for the development of the method. Section 3 considers analysis of the basis properties of the method which include convergence and stability region, numerical experiments where the e¢ciency of the derived method is tested on some numerical examples and discussion of results. Lastly, we concluded in section 4.

II. DERIVATION OF THE METHOD

We consider a power series approximate solution of the form

j n s r j i

h

x

a

x

y

_¸¸

¹

· ¨¨

©

§

¦

1 2 0 (2)

where r 2and s 5are the numbers of interpolation and collocation points respectively, is considered to be a solution to (1).

The second and third derivative of (2) gives

,

'

,

2 !

''

2 1 2 2 2

y

x

f

h

x

j

h

j

a

x

y

j n s r j j

¸¸

¹

· ¨¨

©

§

¦

(3)

,

'

,

3 !

''

'

3 1 2 3 3

y

x

g

h

x

j

h

j

a

x

y

j n s r j j

¸¸

¹

· ¨¨

©

§

¦

Substituting (3) into (1) gives

2 1 3 3 3 2 1 2 2 2

₃

!

2 !

''

,

_¸¸

¹

· ¨¨

©

§

¸¸

¹

· ¨¨

©

§

¦

n j s r j j j n s r j j

h

x

j

h

j

a

h

x

j

h

j

a

y

x

f

(4)

A Class of One-Step Hybrid Third derivative Block

Method for the Direct Solution of Initial Value

Problems of Second-order Ordinary Differential

Equations

Skwame Y., Raymond D.

(2)

Collocating (4) at all points 1 4 1 0 , ¸ ¹ · ¨ © § r x_n _r and Interpolating Equation (2) at 4 1 , 0 , s x_n _s , gives a system of non linear equation of the form

AX U (5) where

>

a₀,a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₆,a₇,a₈,a₉,a₁₀,a₁₁

@

T, A , , , , , , , , , , , , 1 4 3 2 1 4 1 1 4 3 2 1 4 1 4 1 T n n n n n n n n n n n n y f f f f f g g g g g y U » » ¼ º « « ¬ ª and » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « « « « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « « « « « « « « « « « « « ¬ ª 1 4 3 2 1 4 1 1 4 3 2 1 4 1 4 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 8 4 3 7 4 3 6 4 3 5 4 3 4 4 3 3 4 3 2 4 3 4 3 8 2 1 7 2 1 6 2 1 5 2 1 4 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1 8 4 1 7 4 1 6 4 1 5 4 1 4 4 1 3 4 1 2 4 1 4 1 8 7 6 5 4 3 2 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 9 4 3 8 4 3 7 4 3 6 4 3 5 4 3 4 4 3 3 4 3 2 4 3 4 3 9 2 1 8 2 1 7 2 1 6 2 1 5 2 1 4 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1 9 4 1 8 4 1 7 4 1 6 4 1 5 4 1 4 4 1 3 4 1 2 4 1 4 1 9 8 7 6 5 4 3 2 11 4 1 10 4 1 9 4 1 8 4 1 7 4 1 6 4 1 5 4 1 4 4 1 3 4 1 2 4 1 4 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 990 720 504 336 210 120 60 24 6 0 0 0 990 720 504 336 210 120 60 24 6 0 0 0 990 720 504 336 210 120 60 24 6 0 0 0 990 720 504 336 210 120 60 24 6 0 0 0 990 720 504 336 210 120 60 24 6 0 0 0 110 90 72 56 42 30 20 12 6 2 0 0 110 90 72 56 42 30 20 12 6 2 0 0 110 90 72 56 42 30 20 12 6 2 0 0 110 90 72 56 42 30 20 12 6 2 0 0 110 90 72 56 42 30 20 12 6 2 0 0 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n g g g g g f f f f f y y a a a a a a a a a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Solving (5) for a_i's using Gaussian elimination method, gives a continuous hybrid linear multistep method of the form

4 3 , 2 1 , 4 1 , 1 0 3 1 0 2 4 1 , 0 » » ¼ º « « ¬ ª » » ¼ º « « ¬ ª

¦

y h f f h g g k x y n j k n k j j k n k j n j j j n j j E E J J D (6)

Differentiating (6) once yields

» » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » ¼ º « « « « ¬ ª

¦

n j j j j n j j j n j j j n j j j n j jy h f f h g g h x p 1 0 4 3 , 2 1 , 4 1 2 1 0 4 3 , 2 1 , 4 1 4 1 , 0 1 ' D E E J J (7) where .

(3)

Equation (6) is evaluated at the non-interpolating points

°¿ ° ¾ ½ °¯ ° ® -1 4 3 2 1, , n n n x x

x and (7) at all points

°¿ ° ¾ ½ °¯ ° ® -1 4 3 2 1 4 1, , , , n n n n n x x x x x ,

produces the following general equations in block form

AYL BR1 CR2 DR3 ER4 GR5₍₈₎

(4)

»

¼

º

«

¬

ª

1

0

4

0

1

0

4

0

1

0

4

0

1

0

4

0

4

0

1

0

4

0

1

0

3

0

1

2 h

h

A

,

»

¼

º

«

¬

ª

1 4 3 2 1 4 1 1 4 3 2 1 4 1

'

n n n n n n n n

y

Y

, »_¼ º « ¬ ª » » » » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « « « « ¬ ª n n y y R h h h h h B ' , 0 4 0 4 0 4 0 4 1 4 0 3 0 2 0 1 1 _,

> @

n f R h h h h h h h h C » » » » » » » » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « « « « « « « « ¬ ª 2 2 2 2 , 191600640 5021969 95800320 2182739 63866880 1403419 95800320 196168338320128 260233 1161216 19709 1161216 12679 6967296 37111 ,

»

¼

º

«

¬

ª

»

¼

º

«

¬

ª

1 4 3 2 1 4 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,

38320128

3530299

11975040

2640391

80640

24817

11975040

2735353

95800320

358217

1197504

165731

80640

21521

5987520

1156801

2365440

5303

3991680

103853

5376

767 147840

26921

95800320

137161

5987520

89279

80640

1489

1197504

83485

191600640

382169

11975040

243193

80640

1807

11975040

148231

1161216

8411

72576

5179

5376

767 72576

9925

1161216

1381

72576

1403

10752

767 72576

6149

6967296

3217

435456

2225

32256

445 435456

16463

n n n n

f

R

h

D

> @

gn R h h h h h h h h E » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « « « « « « « « « ¬ ª 4 2 2 2 2 2 3 3 3 , 25546752 25651 3991680 3239 4730880 3629 798336 551 18247680 28343 774144 467 60480 23 23224320 4253 ,

»

¼

º

«

¬

ª

»

¼

º

«

¬

ª

1 4 3 2 1 4 1 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

,

127733760

312317

1140480

15701

3548160

32027

249480

61 31933440

6439

15966720

123463

1774080

12053

15966720

72269

42577920

5311

2661120

7951

3548160

56677

16632

95 31933440

2567

3193344

5755

1774080

12053

2280960

23851

127733760

14339

1596672

3959

3548160

32027

49896

551 3870720

1117

241920

269 15360

83 7560

29 1935360

127 193536

347 15360

83 967680

3053

23224320

599 1451520

871 30720

83 9072

17

n n n n

g

R

h

G

5 4 3 2 1 CR DR ER GR R B Y I _L

(5)

> @

» » » » » » » ¼ º « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « « « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « « « « « « « « ¬ ª »¼ º «¬ ª » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « ¬ ª 1 4 3 2 1 4 1 11340 2 29 2835 2 32 0 2835 2 32 28672 2 9 17920 2 183 1520 2 81 17920 2 279 181440 2 43 5670 2 31 40 2 1134 2 19 11612160 2 2237 290304 2 1243 1520 2 81 1451520 2 31207 12474 2 5 4455 3 16 693 3 10 31185 3 464 180224 2 27 2464 3 9 1576960 3 19197 394240 3 4509 1330560 2 109 9240 3 17 693 3 5 5544 3 41 510935040 2 14339 6386688 3 3959 14192640 3 32027 199584 3 551 11340 2 29 143360 2 339 181440 2 421 11612160 2 26051 124740 2 269 6307840 3 9747 1330560 3 1277 72990720 3 28343 1 4 3 2 1 4 1 17010 1601 8505 2048 315 104 8505 2048 71680 411 4480 711 280 81 4480 921 272160 1153 8505 394 315 52 8505 1654 17418240 59681 1088640 38341 2520 103 1088640 89371 374220 2 3457 93555 2 8578 315 2 52 93555 2 13952 3153920 2 8469 197120 2 6813 35840 2 3159 197120 2 18531 8910 2 13 4455 2 68 40 2 4455 2 196 766402560 2 382169 47900160 2 243193 322560 2 1807 47900160 2 148231 17010 1601 71680 6501 272160 24463 17418240 1539551 74844 2 6353 630784 2 39015 891 2 35 153280512 2 2602339 ' 1 0 1 0 1 0 1 0 1 4 3 1 2 1 4 1 1 ' 4 3 ' 2 1 ' 4 1 ' 1 4 3 2 1 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 n g n g n g n g h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h n g h h h h h h h h n f n f n f n f h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h n f h h h h h h h h n y n y h h h h n y n y n y n y n y n y n y n y

III. ANALYSIS OF BASIC PROPERTIES OF THE METHOD

3.1 Order of the Block

According to [7] the order of the new method in Equation (8) is obtained by using the Taylor series and it is found that the developed method has a uniformly order eleven, with an error constants vector of:

T C » » ¼ º « « ¬ ª u u u u u u u u 13 13 13 13 13 13 13 14 11 10 7083 . 9 , 10 5292 . 5 , 10 8542 . 4 , 10 1791 . 4 , 10 8542 . 4 , 10 0454 . 3 , 10 752 . 1 , 10 1829 . 6 3.2 Consistency

The hybrid block method [4] is said to be consistent if it has an order more than or equal to one.

Therefore, our method is consistent.

3.3 Zero Stability of Our Method

Definition: A block method is said to be zero-stable if as

0 o

h , the root

z

_i

,

i

1 (

1 )

k

of the first characteristic

polynomial

U

z 0 that is det 0 0 ) ( » » ¼ º « « ¬ ª

¦

k j i k i z A z U

Satisfies z_i d1 and for those roots with zi =1, multiplicity

must not exceed two. The block method for k=1, with three off grid collocation point expressed in the form

, 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 3 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 6 2 6 » » » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « ¬ ª z z z z z h h h h z z U U

Hence, our method is zero-stable.

3.3 Regions of Absolute Stability (RAS)

Using Mat Lab package, we were able to plot the stability region of the block methods (see figs below).

The stability polynomial for K=1 with three offstep point using Scientific Workplace soft ware package we have

(6)

3 4 3 4790016 1009733 4 228096 16399 2 3 114740 269 4 1782 25 3 3 1034643456 12221035 4 4257792 2587 4 3 1077753600 357859 4 0 3688312320 2850443 5 3 04800 1456777986 9 2669344463 4 00 2569273344 1953881 6 3 53600 1092583489 707100649 4 200 9442079539 775601 7 3 868800 8157956721 6897035147 4 00928000 1495625399 9 1260407206 8 3 009280 1495625399 2899283 3 096000 2913555972 73634299 9 4 4148480 2393000638 585349 3 052800 3625758543 4666483 10 3 6000 3051985305 1171 4 07532800 1395917039 3423139 11 3 88000 1569592442 79 4 2720000 1510732726 7219 12 w w w w h w w h w w h w w h w w h w w h w w h w w h w w h w w h w w h ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © §

Using Mat Lab software, the absolute stability region of the new method is plotted and shown in figure 2.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 Re(z) Im (z ) 3.3 Numerical Example

Problem I. We consider a highly stiff problem

1 0 ' , 1 0 , 1000 ' 1001 ' ' y y y y y Exact Solution: 10 1 exp x h x y

Table 2. Comparison of the proposed method with

x-values Exact Solution

Computed Solution

Error in our

method

Error in [13]

0.100 0.90483741803595957316

0.90483741803595957245

7.100E(-19)

1.054712E(-14)

0.200 0.81873075307798185867

0.81873075307798185795

7.200E(-19)

1.776357E(-14)

0.300 0.74081822068171786607

0.74081822068171786534

7.300E(-19)

2.342571E(-14)

0.400 0.67032004603563930074

0.67032004603563930001

7.300E(-19)

2.797762E(-14)

0.500 0.60653065971263342360

0.60653065971263342285

7.500E(-19)

3.130829E(-14)

0.600 0.54881163609402643263

0.54881163609402643185

7.800E(-19)

3.397282E(-14)

0.700 0.49658530379140951470

0.49658530379140951390

8.000E(-19)

3.563816E(-14)

0.800 0.44932896411722159143

0.44932896411722159058

8.500E(-19)

3.674838E(-14)

0.900 0.40656965974059911188

0.40656965974059911099

8.900E(-19)

3.730349E(-14)

1.00 0.36787944117144232160

0.36787944117144232065

9.500E(-19)

3.741452E(-14)

(7)

ISSN: 2394-3661, Volume-5, Issue-1, January 2018 Problem II. ,0 1. 2 1 0 ' , 1 0 , ' ' , ,y y y y y dxd x f Exact Solution: 100 1 1 e withh x y x

x-valu

es

Exact Solution

Computed Solution

Error in our

method

Error in [16]

.0.100

-0.10517091807564762480

-0.10517091807564762481

1.000E(-20)

8.326679(-17)

0.200 -0.22140275816016983390

-0.22140275816016983391

1.000E(-20)

2.775557(-16)

0.300 -0.34985880757600310400

-0.34985880757600310397

-3.000E(-20)

5.551115(-16)

0.400 -0.49182469764127031780

-0.49182469764127031779

-1.000E(-20)

9.436896(-16)

0.500 -0.64872127070012814680

-0.64872127070012814679

-1.000E(-20)

2.109424(-15)

0.600 -0.82211880039050897490

-0.82211880039050897478

-1.000E(-19)

3.219647(-15)

0.700 -1.01375270747047652160

-1.01375270747047652150

-1.000E(-19)

4.440892(-15)

0.800 -1.22554092849246760460

-1.22554092849246760440

-2.000E(-19)

5.995204(-15)

0.900 -1.45960311115694966380

-1.45960311115694966350

-3.000E(-19)

7.771561(-15)

1.00 -1.71828182845904523540

-1.71828182845904523500

-4.000E(-19)

1.065814(-14)

IV. CONCLUSIONS

It is evident from the above tables that our proposed methods are indeed accurate, and can handle stiff equations. Also in terms of stability analysis, the method is

A

stable

_.

Comparing the new method with the existing method [13,16],the result presented in the tables 1 and 2 shows that the new method performs better than the existing method [13,16]and even the order of new method is higher than the order of the existing method [13,16]. In this article, a one-step block method with three off-step points is derived via the interpolationand collocation approach. The developed method is consistent,

A

stable

, convergent, with a region of absolute stability and order Ten.

REFERENCES

[1] Z. Omar and M. Suleiman, (2004): Parallel r-point implicit block method for solving higher order ordinary differential equations directly. J. ICT , 3, 53-66.

[2] S. J. kayode and O. Adeyeye, (2011): A 3-step hybrid method for direct solution of second order initial value problems. Aust. J. Basic Appl.Sci.,5, 2121-2126.

[3] A. James, A. Adesanya and S. Joshua, (2013): Continuous block method for the solution of second order initial value problems of ordinary differential equation. Int.J.Pure Appl.Math. 83, 405-416 [4] 5 $ %XQ DQG 7 ' 9DVLO¶V $ QXPHULFDO PHWKRG IRU VROYLQJ

Differential equations of any Order Comp.Math.Phys., 32(3),317-330 [5] D. O. Awoyemi, A.O. Adesanya and S.N. Ogunyebi (2008): Construction of Self Starting Numerov Method for the Solution of initial value Problem of General Second Ordinary Differential Equation. Journ. Num. math 4(2),267-278.

[6] J. Vigo-Aguilar and H. Ramos,( 2006). Variable stepsize implementation of multistep methods for y'' f x,y,y1 . J. Comput. Appl. Math., 192, 114±131.

[7] S.O. Fatunla (1991):Block methods for second order IVPs, Int. J.Comput.Maths.,4155-63

[8] S. N. Jator (2007): A six order linear multi step method for the direct solution of y'' f x,y,y1 . Intern. J. Pure and Applied of Maths., 40(1) 457-472.

[9] Jator S. N. and Li J., A self-starting linear multistep method for direct solution general second order initial value problems, Intern. J. Compu. Math, 86(5) (2009), 817-836, doi: 10.1080/00207160701708250

[10] B.T. Olabode (2009): An accurate scheme by block method for the third order ordinary differential equation. Pacific journal of science and technology. 10(1) http:/www.okamaiuniversity.us/pjst.htm. [11] Z. A., Majid and M. B., Sulaiman and Z., Omar (2006): 3 points

implicit block method for solving ordinary differential equations, Bull. Malaysia Mathematical Science Soc., 29(1) 23-31.

[12] D. O., Awoyemi and E. A., Adebile, A. O., Adesanya and T. A., Anake (2011): Modified block for the direct solution for the second order ordinary differential equations. Intern. J. Applied Math. and Comp., 3(3) 181-188.

[13] A. Mohammad and O. Zurni (2017): Implicit One-Step Block Hybrid Third-Derivative Method for the Direct Solution of Initial Value Problems of Second-Order Ordinary Differential Equations. Hindawi Journal of Applied Mathematics.

https://doi.org/10.1155/2017/8510948, Article ID 8510948. [14] R. Abdelrahim and O. Zurni (2016): Direct Solution of Second-Order

Ordinary Differential Equation Using a Single-Step Hybrid Block Method of Order Five. Mathematical and Computational Applications 21, 12.

[15] A. O. Adeniran and B. S. Ogundare (2015): An efficient hybrid numerical scheme for solving general second order initial value problems (IVPs). International Journal of Applied Mathematical Research, 4 (2) 411-419.

[16] M. Alkasassbeh and Z. Omar, (2017): Generalized two-hybrid One-Step Implicit Third derivatives block method for the Direct Solution of Second Order Ordinary Differential Equations. International Journal of Pure and Applied Mathematics,Vol. 112, 3, 497-517

[17] Anake T. A., Awoyeni D. O., Adesanya A. O., A one step method for the solution of general second order ordinary differential equations, Intern. J. Sci.and Engin., 2(4) (2012),159-163

[18] Adesanya A. O., Odekule M. R., Alkali M. A., Three steps block predictor-block Corrector method for solution of general second order of ordinary differential equations, Intern. J. Engin. Research and Application, 2(4) (2012), 2297-2301.