Φυσικη Β Λυκειου

ΒΛ/Μ1

05 - 06

Τεύχος 1ο:

• Νόµος του Coulomb

• Ένταση ηλεκτροστατικού πεδίου

• ∆υναµικές γραµµές

ηλεκτροστατικού πεδίου

Φυσική Γενικής

Παιδείας:

• Νόµοι των αερίων

• Καταστατική εξίσωση

• Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων

Φυσική

Κατεύθυνσης:

ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ

ΟΡΟΣΗΜΟ

ΟΡΟΣΗΜΟ

ΒΛ/Μ1

05 - 06

Τεύχος 1ο:

ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ

ΟΡΟΣΗΜΟ

ΟΡΟΣΗΜΟ

• Νόµοι των αερίων

• Καταστατική εξίσωση

• Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων

Φυσική

Κατεύθυνσης:

ΕΚ∆ΟΤΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΟΣΗΜΟ

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α

Φυσική Κατεύθυνσης

για την Β' Τάξη του Λυκείου

1. Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση

σελ. 5

2. Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων

σελ. 8

ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΗ ΕΚ∆ΟΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟ ΕΠΟΜΕΝΟ ΤΕΥΧΟΣ

1. Έργο - Θερµότητα - Εσωτερική ενέργεια

2. Θερµικές µηχανές

Ηλεκτρονική σελιδοποίηση Γραφικά: Βασίλειος Θ. Κακαλής Eκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε. Συντακτική Οµάδα: ΒΑΓΙΩΝΑΚΗΣ Ι. ΓΙΟΜΠΛΙΑΚΗΣ Λ. ΓΚΡΟΣ Γ. ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΑΚΗΣ Γ. ∆ΑΜΙΑΝΟΣ Σ. ∆ ΡΑ ΚΟ Π Ο ΥΛΟ Σ Γ. Θ Ε Ω ∆ Ο Ρ Ο Π Ο ΥΛΟ Σ Σ . Κ Α Ν Ε ΛΟ Π ΟΥΛΟ Σ Ν . ΚΑΤΣΑΝΑΚΗΣ Α. ΚΥΡΙΑΚΑΤΗ Α. ΜΑΝ∆ΡΑΒΕΛΗΣ Π. ΜΑΣΤΡΑΛΕΞΗΣ ∆. ΝΙΚΟΛΑΟΥ Χ . ΝΙΚΟΛΑϊ∆ΗΣ Η. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΠΛΑΣΚΟΒΙΤΗΣ Σ. ΠΡΕ∆ΑΡΗΣ Γ. ΣΤΑΘ Ο Π ΟΥΛΟ Σ Χ . ΤΟΥΝΤΑΣ Κ. Copyright  Eκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε. Λ. Θησέως 50 – Καλλιθέα τηλ.: 210 95 46 000 ∆ /νση Εκπαιδευτικής σειράς: Α. ΖΥΡΜΠΑΣ Υπεύθυνοι σύνταξης: Ι. ΒΑΓΙΩΝΑΚΗΣ Γ. ΓΚΡΟΣ Γ. ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΑΚΗΣ ∆. ΠΑΓΚΑΛΗΣ Σ. ΠΛΑΣΚΟΒΙΤΗΣ

Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση

Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων

Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση:

Οι πειραµατικά προσδιορισµένες σχέσεις που συνδέουν τα τρία µακροσκοπικά µεγέθη (πίεση, όγκο και θερµοκρασία) ορισµένης ποσότητας αερίου ονοµάζονται νόµοι των αερίων και είναι οι εξής: Νόµος του Boyle (ή νόµος της ισόθερµης µεταβολής) Η πίεση ορισµένης ποσότητας αερίου, σε σταθερή θερµοκρασία, είναι αντιστρόφως ανάλογη µε τον όγκο του. P V⋅ = σταθ ή P V1⋅ 1= ⋅ για P V2 2 T=σταθ Γραφική παράσταση του νόµου του Boyle Νόµος του Charles (ή νόµος της ισόχωρης µεταβολής) Η πίεση ορισµένης ποσότητας αερίου, υπό σταθερό όγκο, είναι ανάλογη µε την απόλυτη θερµο-κρασία του αερίου. P T= σταθ ή 1 2 1 2 P P T = T για V=σταθ (N/m2₎ (N/m2_{) (m}3₎ (m3₎ (K) (K)

Γραφική παράσταση του νόµου του Charles Η κλίση στο διάγραµµα P=f T

( )

είναι αντιστρόφως ανάλογη του όγκου του αερίου P nR T V εφφ = = Νόµος του Gay-Lussac (ή νόµος της ισοβαρούς µεταβολής) Ο όγκος ορισµένης ποσότητας αερίου, σε σταθερή πίεση, είναι ανάλογος µε την απόλυτη θερµοκρασία του αερίου. σταθ T V = ή 2 2 1 1 T V T V = _{για P = σταθ} Γραφική παράσταση του νόµου του Gay-Lussac Η κλίση στο διάγραµµα V=f T

( )

είναι αντιστρόφως ανάλογη της πίεσης: V nR T P εφφ = = Καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων Οι τρεις πειραµατικοί νόµοι των αερίων συνδυάζονται, ώστε να προκύψει ένας άλλος, ο οποίος θα περιγράφει τις µεταβολές όταν τα µεγέθη P,V,T αλλάζουν ταυτόχρονα. Ο νέος νόµος είναι η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων και οι διάφορες µαθηµατικές εκφράσεις του είναι: (N/m2_{) (m}3_{) (N/m}2₎ (m3₎ (K) (K) (N/m2_{) (N/m}2_{) (m}3₎ (m3₎ (K) (K)

1 1 2 2 1 2 P V P V P V T T T P V n R P V nRT T ⋅ ⋅  ₌  ⋅ _{= σταθ } ⋅  _{= ⋅ ⇒ ⋅ =}  ολ ολ r Α A m _m n _ρ Μ V ολ ολ r r r N R n k Ν N Α Α m m R R P V RT P T P ρ T M V M M Ν R P V RT P V N T P V NkT Ν N = = = =   → ⋅ = ⇒ = → =     → ⋅ = ⇒ ⋅ = → ⋅ =  Οι σταθερές που εµφανίζονται στις παραπάνω σχέσεις είναι: • Παγκόσµια σταθερά των ιδανικών αερίων: , _molL atm_K K mol J , R ⋅ ⋅ = ⋅ =8314 0082 • Σταθερά του Avogadro: A 23 µόρια N 6, 023 10 mol = ⋅ • Σταθερά του Boltzmann: 23 J k 1,381 10 µόρια Κ − = ⋅ ⋅ Παρατήρηση: • Είναι χρήσιµο για την επίλυση των προβληµάτων να γνωρίζουµε ότι 1J=1N⋅m οπότε η σταθερά R γράφεται K mol m N , K mol J , R ⋅ ⋅ = ⋅ =8314 8314 στο S.I. • Oι γραµµοµοριακές µάζες µετρούνται σε Κg/mol, π.χ. για το υδρογόνο:

( )

3 2 r g Kg H : M 2 2 10 mol mol − = = ⋅ • Η καταστατική εξίσωση χρησιµοποιείται ακόµα και αν η µάζα του αερίου µεταβάλλεται κατά τη µετάβαση του αερίου από µία κατάσταση σε µία άλλη. Τότε θα ισχύει η παρακάτω εξίσωση: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 P V P V n RT R n T P V P V P V n T n T P V n RT R n T  = ⇒ = _{⇒ =}   = ⇒ =  • Όλα τα αέρια τα οποία επαληθεύουν ακριβώς την καταστατική εξίσωση pV=nRT ονοµάζο-νται ιδανικά αέρια.

Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων:

• Όταν δίνεται ότι ένα αέριο βρίσκεται σε s.t.p. έχουµε: 5 2 N P 1 atm 1, 013 10 m = = ⋅ και T=273K • Σε θερµοκρασίες κοντά στο απόλυτο µηδέν δεν ισχύουν οι νόµοι των αερίων. Με την κινητική θεωρία των αερίων ερµηνεύονται οι πειραµατικοί νόµοι των αερίων και η κατα-στατική εξίσωση µε βάση τη σωµατιδιακή θεωρία της ύλης, δηλαδή εξάγουµε τις σχέσεις που συνδέουν τα µακροσκοπικά µεγέθη όπως η πίεση και η θερµοκρασία µε τη µέση τιµή των ταχυτήτων των µορίων του αερίου. Η κινητική θεωρία αποτελεί το συνδυασµό των νόµων της Μηχανικής σε µικροσκοπική κλίµακα και των µεθόδων της Στατιστικής για το υπολογισµό µέσων τιµών κλπ. Αφετηρία της κινητικής θεωρίας είναι η υπόθεση ότι τα αέρια αποτελούνται από πολύ µεγάλο πλήθος µορίων, που κινούνται άτακτα σε όλο το χώρο που καταλαµβάνει το αέριο. Άρα οι ταχύτητες των µορίων έχουν µε την ίδια πιθανότητα οποιαδήποτε κατεύθυνση και συµβαίνουν µεγάλοι αριθµοί κρούσεων σε µικρούς χρόνους. Για τα ιδανικά αέρια ισχύουν οι εξής παραδοχές: α. Οι δυνάµεις µεταξύ των µορίων εµφανίζονται µόνο κατά τις µεταξύ τους συγκρούσεις και όχι από απόσταση, οπότε στο χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο κρούσεων το µόριο κινείται µε σταθερή ταχύτητα. β. Ο συνολικός όγκος που καταλαµβάνουν τα µόρια είναι αµελητέος σε σχέση µε τον όγκο που καταλαµβάνει το αέριο. γ. Ο χρόνος που διαρκεί η κρούση µεταξύ των µορίων ή των µορίων και των τοιχωµάτων είναι αµελητέος σε σχέση µε το χρόνο µεταξύ δύο διαδοχικών κρούσεων του ίδιου µορίου. δ. Οι κρούσεις των µορίων του αερίου µε τα τοιχώµατα του δοχείου, που το περιέχει, είναι ελαστικές, οπότε η κινητική ενέργεια του µορίου δε µεταβάλλεται κατά την κρούση του µε τα τοιχώµατα. Μερικές σπουδαίες ταχύτητες Η µέση ταχύτητα: _{υ =}υ + υ + + υ1 2 ... Ν Ν Το τετράγωνο της µέσης ταχύτητας: 2 2 υ1 υ2 ... υΝ υ Ν + + +   = _ _ Η µέση τιµή των τετραγώνων των ταχυτήτων: 2 2 2 2 υ + υ + + υ1 2 ... Ν υ = Ν

Η πρώτη σχέση που προκύπτει από την κινητική θεωρία είναι αυτή που συνδέει την πίεση του αερίου µε τις ταχύτητες των µορίων του:

( )

2 1 Nmυ P 1 3 V = όπου Ν ο αριθµός των µορίων του αερίου, m η µάζα κάθε µορίου, V ο όγκος του αερίου και 2 υ η µέση τιµή των τετραγώνων των ταχυτήτων των µορίων του αερίου. Επειδή το γινόµενο Νm είναι η ολική µάζα του αερίου, η προηγούµενη σχέση παίρνει τη µορφή 2 2 m 1 1 P P 3 V 3 ολ = υ ⇒ = ρυ όπου V m_ολ είναι η πυκνότητα (ρ) του αερίου. Η δεύτερη βασική σχέση που συνάγεται από την εφαρµογή της κινητικής θεωρίας των αερίων συνδέει τη µέση µεταφορι-κή κινητιµεταφορι-κή ενέργεια των µορίων του αερίου 2 2 1 υ m Κ= µε τη θερµοκρασία του Τ: K kT 2 3 = Απόδειξη Από τη σχέση (1) γνωρίζουµε ότι V υ Nm p 2 3 1 = η οποία γίνεται:

( )

2 2 2 1 N m 2 N 1 2 1 P P m P V N m 2 3 V 3 V 2 3 2 υ     = ⇒ = _ υ _ ⇒ = _ υ _ Από την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων έχουµε: ( ) A N P V n R T P V R T P V N k T 3 N = ⇒ = ⇒ = Από τις σχέσεις (2) και (3) έχουµε: kT K υ m kT υ m kT υ m N NkT 2 3 2 1 2 3 2 1 3 2 2 1 3 2 2 2 _{⇒ =} 2_{⇒ =}     = ⇒     = Ενεργός ταχύτητα Από την εξίσωση 2 2 1 2 3 υ m kT= _{έχουµε ότι:} m kT υ m kT υ2=3 ⇒ 2= 3 Η τετραγωνική ρίζα της µέσης τιµής των τετράγωνων των ταχυτήτων των µορίων του ιδανικού αερίου ονοµάζεται ενεργός ταχύτητα και συµβολίζεται µε υ :υ_{εν εν}= 3kT m Παρατήρηση: Πολλές φορές στη λύση των προβληµάτων είναι χρήσιµη η έκφραση της ενεργού τα-χύτητας σε συνάρτηση µε τη γραµµοµοριακή µάζα Μ_rτων µορίων του αερίου, η οποία προκύπτει ως εξής: A R k N A 3kT m 3RT N m = εν εν υ = ⇒ υ = ⇒ ⋅ r 3RT M εν υ =

Ερωτήσεις:

1. Η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων µπορεί να πάρει τη µορφή: α. _PV NA _RT N = β. P ρRT m = γ. PV mRT M = δ. A n PV RT N = 2. Τι µεταβολή παριστάνει το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ στο διπλανό διάγραµµα P-V α. Ισόχωρη µεταβολή β. Ισόθερµη µεταβολή γ. Ισοβαρή µεταβολή δ. Τυχαία µεταβολή 3. Αν διπλασιάσουµε τον όγκο και τη θερµοκρασία ορισµένης ποσότητας ιδανικού αερίου τότε η πίεση του γίνεται: α. 2P_αρχ β. Pαρχ 2 γ. σταθερή δ. Pαρχ 4 4. Στο διπλανό διάγραµµα παριστάνονται δύο ισοβαρείς µεταβολές συγκεκριµένης ποσότητας ιδανικού αερίου. Για ποια από τις δύο µεταβολές η πίεση είναι µεγαλύτερη και γατί; α. Στην (1) β. Στην (2) 5. Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα ΑΒ παριστάνει ισόθερµη εκτόνωση: 6. Στην ισόχωρη µεταβολή ΑΒ ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα αντιστοιχεί: (N/m2₎ (K) (m3₎ (N/m2₎ (m3₎ (N/m2₎ (N/m2₎ (N/m2₎ (K) (N/m2₎ (K) (K) (K) (K) (K) (m3₎ (m3₎ (m3₎ (m3₎ (m3₎

7. Ποσότητα ιδανικού αερίου συµπιέζεται ισόθερµα. Η µεταβολή της πυκνότητας σε συνάρτηση µε την πίεση του αερίου παριστάνεται στην ακόλουθη γραφική παράσταση. 8. Η ελάττωση της πίεσης ορισµένης ποσότητας ιδανικού αερίου συνοδεύεται από: α. ελάττωση του όγκου όταν T=σταθ. β. ελάττωση της θερµοκρασίας όταν V=σταθ. γ. αύξηση του όγκου όταν T=σταθ. δ. αύξηση της θερµοκρασίας όταν V=σταθ. 9. Η ισόχωρη µεταβολή ορισµένης ποσότητας αερίου: α. περιγράφεται από την εξίσωση P σταθ. T= β. υπακούει στο νόµο του Gay-Lussac γ. παριστάνεται µε µια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων σε διάγραµµα πίεσης-θερµοκρασίας δ. είναι η µεταβολή κατά την οποία η πυκνότητα του αερίου αυξάνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας 10. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες. α. Η καταστατική εξίσωση ισχύει µόνο για µονοατοµικά αέρια. β. Στην κλίµακα Kelvin δεν υπάρχουν αρνητικές θερµοκρασίες. γ. Η πίεση ενός ιδανικού αερίου δεν εξαρτάται από την πυκνότητά του. δ. Η καταστατική εξίσωση ισχύει και για αέριο που αποτελεί µίγµα δύο ή περισσότερων ιδανικών αερίων. 11. Αν διπλασιάσουµε την πίεση ενός ιδανικού αερίου και τετραπλασιάσουµε την απόλυτη θερµοκρασία του τότε: α. Ο όγκος του τριπλασιάζεται β. Η πυκνότητα διπλασιάζεται γ. Ο αριθµός των µορίων υποδιπλασιάζεται δ. Η πυκνότητα υποδιπλασιάζεται (Kg/m3₎ (N/m2₎ (Kg/m3₎ (N/m2₎ (N/m2₎ (Kg/m3_{) (Kg/m}3₎ (N/m2₎

12. Ποσότητα ιδανικού αερίου έχει θερµοκρασία Τ. ∆ιπλασιάζουµε ταυτόχρονα την πίεση και τον όγκο. Τότε : α. Η τελική θερµοκρασία είναι διπλάσια της αρχικής β. Η υ_εν στην τελική θερµοκρασία είναι διπλάσια σε σχέση µε την υ_εν στην αρχική θερµο-κρασία. γ. Η τελική θερµοκρασία είναι τετραπλάσια της αρχικής δ. Η µέση µεταφορική ενέργεια στην τελική θερµοκρασία είναι τετραπλάσια της αρχικής 13. Ιδανικό αέριο µε µάζα µορίου m βρίσκεται σε θερµοκρασία Τ.Ένα αέριο µε µάζα µορίου 4m στην ίδια θερµοκρασία Τ θα έχει ενεργό ταχύτητα υ_εν: α. Ίδια µε του πρώτου αερίου β. ∆ιπλάσια γ. Υποδιπλάσια δ. Υποτετραπλάσια 14. ∆ύο ιδανικά αέρια Α και Β βρίσκονται στην ίδια θερµοκρασία . Τότε: α. Έχουν και τα δύο την ίδια ενεργό ταχύτητα υ_εν β. Έχουν και τα δύο την ίδια µέση µεταφορική ενέργεια γ. Αν οι µάζες των µορίων Α και Β ήταν ίσες τότε θα είχαν ίσες ενεργές ταχύτητες δ. Και τα δύο αέρια µέσα σε δοχεία ίσων όγκων ασκούν την ίδια πίεση 15. Η πίεση ενός ιδανικού αερίου είναι ανάλογη: α. µε τον αριθµό των µορίων β. µε τη µέση κινητική ενέργεια των µορίων του γ. µε την ενεργό ταχύτητα των µορίων του δ. µε τη µέση τιµή των τετραγώνων των ταχυτήτων των µορίων του. 16. Η µέση κινητική ενέργεια των µορίων ενός ιδανικού αερίου µπορεί να υπολογιστεί αν δίνεται: α. ο όγκος του αερίου β. η πυκνότητα του αερίου γ. η πίεση του αερίου δ. η θερµοκρασία του αερίου 17. Τα µόρια ενός ιδανικού αερίου που έχει σταθερή θερµοκρασία εµφανίζουν: α. την ίδια ορµή β. την ίδια ταχύτητα γ. την ίδια επιτάχυνση δ. την ίδια µέση κινητική ενέργεια

18. Ποιες από τις ακόλουθες σχέσεις για την ενεργό ταχύτητα των µορίων ενός ιδανικού αερίου είναι σωστές και ποιες λανθασµένες. α. υ_εν 3kΤ m = β. εν 3mΤ υ k = γ. υ_εν 3P ρ = δ. υ_εν 3ΜΤ R = ε. υ_εν 3RΤ m = 19. Η ενεργός ταχύτητα των µορίων ενός ιδανικού αερίου είναι: α. ανάλογη της πίεσης του αερίου β. ανάλογη της θερµοκρασίας του αερίου γ. ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της θερµοκρασίας του αερίου δ. αντιστρόφως ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της πίεσης του αερίου. 20. Η πίεση ενός ιδανικού αερίου τετραπλασιάζεται ενώ ο όγκος του παραµένει σταθερός. Η µέση κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου: α. τετραπλασιάζεται β. διπλασιάζεται γ. παραµένει σταθερή δ. υποδιπλασιάζεται 21. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες: α. η ενεργός ταχύτητα των µορίων ενός ιδανικού αερίου δεν εξαρτάται από τη θερµοκρασία β. η ενεργός ταχύτητα των µορίων ενός ιδανικού αερίου είναι αντιστρόφως ανάλογη της µάζας των µορίων. γ. Η µέση κινητική ενέργεια των µορίων δεν εξαρτάται από τη µάζα των µορίων. δ. Οι µέσες κινητικές ενέργειες των µορίων δύο διαφορετικών ιδανικών αερίων δε µπορεί να είναι ίσες.

Μεθοδολογία ασκήσεων - Λυµένα παραδείγµατα - ασκήσεις:

Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση ιδανικών αερίων: Για να καταλάβουµε ποιός νόµος αερίων ισχύει, κοιτάµε ποιο µέγεθος από τα P,V,T είναι σταθερό. Αν κανένα µέγεθος δεν είναι σταθερό ή δίνεται η µάζα ή η πυκνό-τητα τότε χρησιµοποιούµε καταστατική εξίσωση. Αν το φυσικό µέγεθος που είναι σταθερό π.χ. Ρ = σταθ, εµφανίζεται στους άξονες, τότε η γραφική παράσταση είναι κάθετη σ’ αυτόν τον άξονα. Τ= 273+Θ, 1L =10 m , -3 3 1atm = 1, 013 10⋅ 5 N₂ m Αν στο τελικό αποτέλεσµα εµφανίζεται πηλίκο οµοειδών µεγεθών, τότε δε χρειάζεται να µετατρέψω τον όγκο και την πίεση στο S.I. H θερµοκρασία πάντα µετατρέπεται σε βαθµούς Kelvin (K). Για την τιµή της σταθερής R έχουµε: R = 8,314 J/(mol · K) αν όλες οι µονάδες είναι στο S.I. και R = 0,082 atm · L/(mol ·K) αν η πίεση δίνεται σε atm και ο όγκος σε L.

Παράδειγµα 1.1 Ιδανικό αέριο βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο που κλείνεται µε έµβολο πάνω στο οποίο θέτουµε ορισµένα σταθµά. Το αέριο βρίσκεται σε θερµοκρασία -1,5 o_{C και} καταλαµβάνει όγκο 20L. Θερµαίνουµε το αέριο σε θερµοκρασία 270 o_C. α. Ποιος νόµος αερίων ισχύει; β. Ποιος είναι ο τελικός όγκος του δοχείου; γ. Να αποδώσετε τη µεταβολή σε άξονες P - V, P - T, V - T. Λύση α. Η πίεση στο εσωτερικό του δοχείου είναι ίση µε την πίεση που προκαλεί η ατµόσφαιρα, το βάρος του εµβόλου και των σταθµών. Επειδή η εξωτερική πίεση παραµένει σταθερή, θα είναι και η εσωτερική πίεση σταθερή. Άρα ισχύει ο Ν. Gay-Lussac.

β. V₁=20L , T₁= −( 1, 5 273)K+ =271, 5K , T₂ =(270+273)K=543Κ L 40 V K 5 , 271 K 543 L 20 V T T V V T V T V 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1_{= ⇒ = ⇒ =} ⋅ _{⇒ =} γ. Παράδειγµα 1.2 Ένα κυλινδρικό δοχείο µε διαθερµικά τοιχώµατα κλείνεται µε έµβολο και περιβάλλεται από λουτρό, σταθερής θερµοκρασίας. Το δοχείο περιέχει ιδανικό αέριο πίεσης p₁ = 1 atm και όγκου V₁ = 30 L. Μετακινώντας το έµβολο τριπλασιάζουµε την πίεση του αερίου. Nα βρεθεί: α. Ποιoς νόµος αερίων ισχύει. β. Ποιoς είναι ο τελικός όγκος του αερίου γ. Να αποδώσετε τη µεταβολή σε άξονες P - V, P - T, V - T. Λύση α. Επειδή το δοχείο έχει διαθερµικά τοιχώµατα και περιβάλλεται από λουτρό σταθερής θερµο-κρασίας, θα ισχύει ο Ν. Boyle β. P₁ = 1 atm , V₁ = 30 L , P₂ = 3P₁ = 3 atm. Ισχύει ο Ν. Boyle: 1 1 2 2 2 1 1 2 P V P V P V V P = ⇒ = ⇒ V L atm L atm V 10 3 30 1 2 2= ⋅ ⇒ = γ. (atm) (atm)

Παράδειγµα 1.3 Ιδανικό αέριο βρίσκεται µέσα σε κυλινδρικό δοχείο µε p_A =5atm , V_A =2L και T_A =300K. Το αέριο θερµαίνεται µε σταθερή πίεση µέχρι να διπλασιαστεί ο όγκος του. Στη συνέχεια µε σταθερή θερµοκρασία αυξάνεται ο όγκος του µέχρι να γίνει V_Γ =5L. Έπειτα ψύχεται µε σταθερή πίεση µέχρι την αρχική θερµοκρασία και τέλος συµπιέζεται µε σταθερή θερµοκρα-σία µέχρι την αρχική του κατάσταση. α. Να υπολογίσετε την πίεση, τον όγκο και τη θερµοκρασία σε κάθε θέση. β. Να γίνουν τα διαγράµµατα P−V, _P−T, V−T. Λύση Αντί για τους νόµους των αερίων, θα µπορούσαµε να εφαρµόσουµε την καταστατική εξίσωση σε κάθε θέση. Iσχύει: V_B =2V_Α =4L οπότε: • A→B P

₍

_Α= σταθ

₎

Ν. Gay-Lussac: B A B B A B A V V T V T T T V Α_{= ⇒ =} ⋅ _⇒ K T L L K T_{B B} 600 2 4 300 = ⇒ ⋅ = • B→Γ

₍

Τ_Β=σταθ

₎

Ν. Boyle: B B B B P V P V P V P 4atm V Γ Γ Γ Γ Γ = ⇒ = ⇒ Ρ = • Γ → ∆

(

P_Γ = σταθ Ν. Gay-Lussac

)

⇒ ⋅ = ⇒ = Γ ∆ Γ ∆ ∆ ∆ Γ Γ Τ Τ V V T V T V L , V K K L V_{∆ ∆} 25 600 300 5 = ⇒ ⋅ =

Παράδειγµα 1.4 Πόσα µπαλόνια όγκου 3 L µπορούµε να φουσκώσουµε µε το ήλιο που περιέχεται σε φιάλη όγκου 12 L; Το ήλιο στη φιάλη βρίσκεται υπό πίεση 120 atm, ενώ στα µπαλόνια υπό πίεση 1,2 atm. Υποθέστε ότι τόσο η φιάλη όσο και τα µπαλόνια βρίσκονται στην ίδια θερµοκρασία. Λύση Έστω ν ο αριθµός των µπαλονιών. Επειδή η µεταβολή του ήλιου είναι ισόθερµη, ισχύει ο νόµος του Boyle: 1 1 1 2 2 2 1 2 P P V P V V V P 120atm 3L ν 12L ν 400, ο αριθµός των µπαλονιών 1, 2atm = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = Παράδειγµα 1.5 Ένα mol αερίου βρίσκεται σε s.t.p. ∆ιπλασιάζουµε την πίεση διατηρώντας σταθερή τη θερµοκρασία και στη συνέχεια τριπλασιάζουµε τον όγκο διατηρώντας σταθερή την πίεση. Να βρεθούν οι τελικές τιµές πίεσης, όγκου και θερµοκρασίας. Λύση Η αρχική κατάσταση του αερίου είναι: P₀=1atm, V₀=22,4 L και Τ₀=273 Κ. H πρώτη µεταβολή του αερίου είναι ισόθερµη, οπότε από το νόµο του Boyle έχουµε: 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 V P V P V P V 2P V V 2 = ⇒ = ⇒ = (1) Η δεύτερη µεταβολή του αερίου είναι ισοβαρής, οπότε από το νόµο Gay-Lussac έχουµε: 1 1 1 0 0 0 V V V 3V T 3T T = ⇒T T = T ⇒ = ⇒ =T 819K Η τελική πίεση του αερίου είναι: P₁=2P₀⇒P1 =2 atm και ο τελικός όγκος του αερίου είναι: (1) 1 V=3V ⇒ =V 33, 6 L

Παράδειγµα 1.6 Ο λεπτός κατακόρυφος σωλήνας του διπλανού σχήµατος κλείνεται από µια σταγόνα υδραργύρου Σ και το τµήµα ΑΣ, ύψους h=27 cm περιέχει αέρα θερµοκρασίας θ=27o_{C. Αν η} θερµοκρασία του αέρα γίνει θ΄=127o_{C, πόσο θα µετακινηθεί η σταγόνα; Η µεταβολή του} όγκου του σωλήνα µε την αύξηση της θερµοκρασίας θεωρείται αµελητέα. Λύση Η µεταβολή του αέρα στο σωλήνα είναι ισοβαρής γιατί είναι: P_αερ=P_ατµ+ w/A=σταθερό όπου: w το βάρος της σταγόνας και A εµβαδό διατοµής του σωλήνα. Άρα από το νόµο Gay-Lussac έχουµε: V V´ h h´ h h´ h h x T T´ T ´ T ´ T ´ A A + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ Τ Τ Τ T´ T´ h x h x h 1 T T   + = ⇒ = _ − _   ή x 27 cm 400 1 300   = ⋅_ − =_   9cm Θυµόµαστε ότι: Σε ασκήσεις που αναφέ-ρουν για έµβολο που µπορεί να κινείται χωρίς τριβές (ή για σταγόνα Hg που φράσσει λεπτό σωλήνα), εφαρµόζουµε ότι οι πιέσεις που ασκού-νται στο έµβολο, από τις δύο πλευρές του, είναι ίσες σε κάθε κατάσταση ισορροπίας. Παράδειγµα 1.7 ∆οχείο όγκου V, που περιέχει αέρα, έχει στο πάνω µέρος του στρόφιγγα. Αρχικά η στρόφιγγα είναι ανοιχτή και ο αέρας του δοχείου επικοινωνεί µε το περιβάλλον. Η ατµοσφαιρική πίεση είναι P_ατ=1atm. Θερµαίνουµε το δοχείο, µε ανοιχτή στρόφιγγα, µέχρι τη θερµοκρασία στο εσωτερικό του να γίνει T₁=410 Κ. Κλείνουµε τη στρόφιγγα και τοποθετούµε το δοχείο σε λουτρό νερού - πάγου. Να υπολογιστεί η τελική πίεση στο εσωτερικό του δοχείου. Η θερµοκρασία στην οποία συνυπάρχει νερό και πάγος είναι Τ₂=273 Κ. Λύση Στην αρχή που η στρόφιγγα είναι ανοικτή και µετά τη θέρµανση, στο δοχείο περιέχονται n mol αέρα. Η πίεση του αέρα είναι η ατµοσφαιρική και ισχύει η καταστατική εξίσωση: P_ατµV=nRT₁ (1) Όταν τοποθετήσουµε το δοχείο στο λουτρό νερού - πάγου για τα n mol αέρα που περιέχονται στο δοχείο, ισχύει και πάλι η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων: PV=nRT₂ (2) 2η λύση: Όταν τοποθετήσουµε το δοχείο στο λουτρό νερού -πάγου, τα n mol αέρα που περιέχονται στο δοχείο, υφί-στανται ισόχωρη ψύξη, αφού V=σταθ. Ισχύει: ατµ ατµ = ⇒ = ⇒ = 1 2 2 1 P T T P P P T T P 0,666 atm õäñÜñãõñïò áÝñáò (Ô) Ó h Ô Ó h Ô´ Ó h x

∆ιαιρώντας κατά µέλη τις εξισώσεις (1) και (2) βρίσκουµε: 1 1 2 2 P V nRT P T PV nRT P T ατµ _{= ⇒} ατµ _{= ⇒} 2 µ 1 T P P T ατ = ⇒ =P 0, 666atm Παράδειγµα 1.8 O κύλινδρος του σχήµατος χωρίζεται σε δύο µέρη, µέσω εµβόλου που κινείται χωρίς τριβή. Στο τµήµα 1 εισάγονται 2 mg Η₂ ενώ στο 2 εισάγονται 8 mg O₂. Ποιος είναι ο λόγος 2 1/

στην κατάσταση ισορροπίας; Τα αέρια στην κατάσταση ισορροπίας βρίσκονται στην ίδια θερµοκρασία. Οι γραµµοµοριακές µάζες για το Η₂ και το Ο₂ είναι 2.₁₀-3 _Kg/mol και 32.₁₀-3 _{kg/mol, αντίστοιχα.} Λύση Στην κατάσταση ισορροπίας, τα αέρια βρίσκονται στην ίδια θερµοκρασία Τ και έχουν την ίδια πίεση (P₁=P₂) γιατί το έµβολο ισορροπεί. Εφαρµόζοντας την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων, για κάθε αέριο έχουµε: PV₁=n₁RT και PV₂=n₂RT όπου: n₁= 1 1 m M και n2= 2 2 m M Με διαίρεση κατά µέλη παίρνουµε: 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 m RT PV M V M m V S 4 4 m PV V M m V S RT M = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒
= ⇒
=

1 2 4 1 2 1 2 P =P =P

l

l

2 O2 2 Ç 1 Θυµόµαστε ότι: 1. = Μ m n όπου: m, M στην ίδια µονάδα µέτρησης 2. Όταν η άσκηση αναφέρει µήκος
(ή ύψος) δοχείου, τότε θα γράφουµε: V = S .
(όγκος κυλίνδρου)

Παράδειγµα 1.9 Το κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος έχει τον άξονά του κατακόρυφο, περιέχει αέρα και κλείνεται µε έµβολο. Όταν το δοχείο τοποθετηθεί µε τη βάση του προς τα κάτω (σχ. α) το ύψος της στήλης του εγκλωβισµένου αέρα είναι h_α= 40 cm. Αν το δοχείο αναστραφεί (σχ. β) το ύψος της στήλης είναι h_β=60 cm. Να υπολογιστεί το βάρος του εµβόλου. ∆ίνονται: P_ατµ=1,013.₁₀5 _N/m2 _{και η διατοµή του εµβόλου Α=10cm}2_{. Η µεταβολή να θεωρηθεί ισόθερµη.} Λύση Ισχύει: P₁ · V₁ = P₂ · V₂ (1) Επειδή το έµβολο ισορροπεί, τόσο στην αρχική όσο και στην τελική κατάσταση, ισχύουν: P₁=Ρ_ατµ+Ρ_w=Ρ_ατµ+ w/Α (2) P₂+Ρ_w=Ρ_ατµ ή P₂=Ρ_ατµ- w/Α (3) Oι όγκοι µπορούν να γραφούν: V₁=A._h α (4) και V₂=A._h β (5) Η σχέση (1) λόγω των σχέσεων (2), (3), (4) και (5) γράφεται: ατµ. α ατµ. β w w P h P h  ₊ _{⋅ ⋅ =} ₋ _{⋅ ⋅}      A A  A A ή w = 20,26 Ν (á) _(â) á h â h Παράδειγµα 1.10 Στο εργαστήριο µπορούν να επιτευχθούν πολύ χαµηλές πιέσεις µέχρι 13.₁₀—15_{atm. Να} υπολογίσετε τον αριθµό των µορίων ενός αερίου σε ένα δοχείο όγκου 1 L σε αυτή την πίεση και σε θερµοκρασία Τ=300 Κ. ∆ίνεται: R=0,082 L. _atm/(mol._{K), Ν} Α=6,023 .₁₀23 _{µόρια/mol.(1 atm=1,013}.₁₀5 _N/m2_{, 1L=10}-3_m3₎ Λύση Σύµφωνα µε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων έχουµε: PV=nRT Aλλά A N n N = Άρα: 8 A A N PV PV RT N N N 3,183 10 N RT = ⇒ = ⇒ = ⋅ µόρια

Παράδειγµα 1.11 Ένας από τους πυροσβεστήρες του σχολείου σας περιέχει CO₂ µάζας 2,2 kg σε θερµοκρασία 27o _{C. Αν ο εσωτερικός όγκος του πυροσβεστήρα είναι 3,2}.₁₀-3_m3 _{να βρείτε την πίεση του} CO₂. ∆ίνονται: ⋅ J R = 8, 314 mol K και η γραµµοµοριακή µάζα του CO2 ότι είναι 44 g/mol. Λύση Θα εφαρµόσουµε την καταστατική εξίσωση: PV=nRT αλλά 2 2 CO CO m n M = Άρα: 2 2 2 2 CO CO CO CO m m RT PV RT ή P M M V = =

Eπειδή η γραµµοµοριακή µάζα του CO₂ είναι M= 44 g/mol=44.₁₀-3 _{Kg/mol, µε αντικατάσταση}

παίρνουµε: Ρ=39.₁₀6 _Ν/m2 Προσοχή: Όταν αντικαθιστούµε τη γραµµοµοριακή µάζα, να θυµόµαστε ότι στο S.I. εκ-φράζεται σε Kg/mol. Παράδειγµα 1.12 ∆ύο δοχεία µε όγκους V₁=0,3L και V₂=0,2L συνδέονται µε λεπτό σωλήνα αµελητέου όγκου. Τα δοχεία περιέχουν αέρα θερµοκρασίας 300 Κ. Αυξάνουµε τη θερµοκρασία στο πρώτο δοχείο κατά 100 Κ και στο δεύτερο κατά 50Κ. Αν η αρχική πίεση ήταν 1atm να υπολογιστεί η τελική της τιµή. Λύση Στην αρχική και τελική κατάσταση ο συνολικός αριθµός των mol στα δύο δοχεία είναι ίδιος. ∆ηλαδή: n₁+n₂=n΄₁+n΄₂=n_ολ (1) Eφαρµόζουµε την καταστατική εξίσωση στην αρχική και τελική κατάσταση για τον αέρα κάθε δοχείου. α⋅ = 1 1 P V n RT , α⋅ = 2 2 P V n RT , Τ⋅ = ′ 1 1 1 P V n RT , Τ⋅ = ′ 2 2 2 P V n RT Η σχέση (1) γράφεται: Ôá P 2 n 2 V 1 V 1 á P Ô n

α⋅ 1₊ α⋅ 2 ₌ Τ⋅ 1₊ Τ⋅ 2 1 2 P V P V P V P V RT RT RT RT ή Τ⋅ Τ⋅ ⋅ ₊ ⋅ ₌P 0,3L₊P 0,2 L 1atm 0,3L 1atm 0,2L 300 K 300 K 400 K 350 K ή Pτ =1,26 atm Ô2 ô P 2 n´ 2 V 1 V 1 ô P Ô1 n´ Παράδειγµα 1.13 Ένα δοχείο έχει όγκο 1,5l L και είναι εφοδιασµένο µε στρόφιγγα. Η στρόφιγγα είναι ανοικτή και στο δοχείο περιέχεται ποσότητα αζώτου σε θερµοκρασία θ₁=27 ο_{C, και πίεση ίση µε την} εξωτερική, που είναι 105 _{Ρα. Θερµαίνουµε το άζωτο µε τη στρόφιγγα ανοικτή µέχρι η} θερµοκρασία να γίνει θ₂=127 ο_{C. Στη συνέχεια ψύχουµε το αέριο στην αρχική του} θερµοκρασία, έχοντας κλείσει τώρα τη στρόφιγγα. Α. Πόσα mol αζώτου διέφυγαν; Β. Πόση είναι µετά την ψύξη η πίεση του αζώτου; R = 8,314 J/(mol · K). Λύση Α. Επειδή αλλάζουν τα mol δουλεύουµε µόνο µε καταστατική εξίσωση.

Στην αρχική κατάσταση ο αριθµός των mol στo δοχείo είναι: ₁= ατµ⋅ =

1 P V

n 0,06

RT

Στην τελική κατάσταση ο αριθµός των mol στo δοχείo είναι: ₂ = ατµ⋅ =

2 P V n 0,045 RT Άρα διέφυγαν: n=n₁-n₂=0,015 mol Β. Όταν κλείσει η βαλβίδα και ψυχθεί το αέριο στην αρχική θερµοκρασία των 27 ο_{C, υφίσταται} ισόχωρη µεταβολή. Άρα: ατµ τελ 1 5 2 τελ ατµ 2 1 2 P P Τ 3 ή Ρ Ρ 10 Ν / m Τ = Τ = Τ = 4 (â) 2 2 V Ô n áôì P (ã) 1 2 V Ô n Pôåë (á) 1 V Ô 1 n áôì P Θυµόµαστε ότι: Όταν δεν παραµένει σταθε-ρός ο αριθµός των mol του αερίου χρησιµοποιούµε µόνο την καταστατική εξί-σωση στην αρχική και τελι-κή κατάσταση.

Παράδειγµα 1.14 Το κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος έχει τον άξονά του κατακόρυφο, περιέχει 0,15 mol ιδανικού αερίου και κλείνεται µε έµβολο βάρους w = 100Ν ενώ η διατοµή του εµβόλου είναι A = 20cm2_{. Ποια πρέπει να είναι η θερµοκρασία του αερίου σε βαθµούς Κελσίου, ώστε το} έµβολο να ισορροπεί σε ύψος h = 1,245 m από τη βάση του κυλίνδρου; ∆ίνονται: P_ατµ=105 _N/m2 _{και R = 8,3 J/(mol · K).} Λύση Επειδή το έµβολο ισορροπεί, ισχύει: P=Ρ_ατµ+Ρ_εµβ=Ρ_ατµ+ w/A ή P=1,5.₁₀5 _N/m2 ₍₁₎ Θα εφαρµόσουµε την καταστατική εξίσωση για να βρούµε τη θερµοκρασία. = που = ⋅ PV nRT ü V A h Άρα:P nRT nRT ή P h V h nR Α ⋅ ⋅ = = Τ = ⋅ A Με αντικατάσταση παίρνουµε: 5 4 P h 1,5 10 20 10 1, 245 T K nR 0,15 8,3 Α − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Τ = ⇒ = = ⋅ 300K Τελικά: θ=Τ-273=27 ο_C. Παράδειγµα 1.15 Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α(Ρ_Α ,V_A,T_A ) και εκτελεί τις εξής διαδοχικές µεταβολές: ΑΒ: ισόθερµη εκτόνωση µέχρι να γίνει V_B= 4 V_A. BΓ: ισοβαρή εκτόνωση µέχρι να γίνει T_Γ=2 Τ_A α) Να βρείτε τις τιµές των P, V και Τ σε κάθε κατάσταση ισορροπίας Α, Β και Γ. β) Να παραστήσετε γραφικά τη µεταβολή ΑΒΓ σε διάγραµµα: P - V, P - T, V - T. ∆ίνονται: Ρ_Α= 4.₁₀5 _{Pa, V} A= 10 -3 _m3_{, T} A=300 K. Λύση Για την ισόθερµη µεταβολή ΑΒ (Τ_Β=Τ_Α=300Κ) ισχύει: A A A A A B B B A B A B B A V V P P V P V P P P P P V 4V 4 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = 5 2 10 N/m P Ô (Ê) ( 10 N/m )x 5 2 0 A B Ã 4 6 33 2 300 600 1

P V ( 10 m )x -3 3 ( 10 N/m )x 5 2 0 A B _Ã 4 6 33 2 2 4 6 8 1 V Ô (Ê) 0 A B Ã 4 6 8 10 2 300 600 ( 10 m )x -3 3 Άρα: Ρ_B=105 _N/m2_{, V} B=4 .₁₀-3 _m3_{, T} B=300 Κ Για την ισοβαρή µεταβολή ΒΓ (Ρ_Γ=Ρ_Β=Ρ_Α/4) ισχύει: − Β Α Α Γ Α Γ Γ Γ Α Τ Τ = ⇒ = ⇒ = = ⋅ Τ Τ B V 4V V V 2 3 3 V 8V 8 10 m Άρα: Ρ_Γ=105 _N/m2_{, V} Γ=8 .₁₀-3 _m3_{, T} Γ=600 Κ Παράδειγµα 1.16 Μιά ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α (Ρ_Α, V_A, T_A ) και εκτελεί τις εξής διαδοχικές µεταβολές. Ι) ισόχωρη θέρµανση µέχρι να γίνει η πίεση Ρ_Β=2Ρ_Α ΙΙ) ισοβαρή εκτόνωση µέχρι να γίνει ο όγκος V_Γ=2V_Α ΙΙΙ) ισόθερµη εκτόνωση µέχρι να γίνει ο όγκος V_∆ IV) ισοβαρή συµπίεση µέχρι να επιστρέψει το αέριο στην αρχική του κατάσταση Α. Να βρείτε τις τιµές των P, V και Τ σε κάθε κατάσταση ισορροπίας Α, Β, Γ, ∆ και να παραστήσετε γραφικά τη µεταβολή ΑΒΓ∆Α σε διάγραµµα: P - V, P - T, V - T. ∆ίνονται: Ρ_Α= 4.₁₀5 _{Pa, V} A= 10 -3 _m3_{, T} A=300 K. n PAV ÔA A

Λύση Για την ισόχωρη µεταβολή ΑΒ (V_Β=V_Α=10-3 _m3_{) ισχύει:} = ⇒ = ⇒ = ⇒ = B A A A B A B B A B A P P 2P P T 2T T T T T T 600 K Άρα: Ρ_B=8.₁₀5 _N/m2_{, V} B=10 -3 _m3_{, T} B=600 Κ Για την ισοβαρή µεταβολή ΒΓ (Ρ_Γ=Ρ_Β=8.₁₀5 _N/m2_{) ισχύει:} B Γ Α Α Γ Β Β Γ B Γ V V V 2V = = Τ = 2Τ = 1200 Κ Τ Τ ⇒ T Τ ⇒ Άρα: Ρ_Γ=8.₁₀5 _N/m2_{, V} Γ=2 .₁₀-3 _m3_{, T} Γ=1200 Κ Για την ισόθερµη µεταβολή Γ∆ (Τ_Γ=Τ_∆=1200Κ) ισχύει: Γ Γ ∆ ∆ ∆ Γ Γ ∆ P P V = P V V = V Ρ ⇒ ⇒ − ∆ = ⋅ ⋅_⋅ ⇒ ∆ = ⋅ 5 3 3 5 8 10 V 2 10 m V 4 10 4 10 -3 3 m Άρα: Ρ_∆=4.₁₀5 _N/m2_{, V} ∆=4.10-3 m3, T∆=1200 Κ P Ô (Ê) ( 10 N/m )x 5 2 0 A B Ã Ä 4 8 300 600 900 1200 P V ( 10 m )x -3 3 ( 10 N/m )x 5 2 0 A Ä B Ã 8 4 1 2 3 4 V Ô (Ê) 0 A B Ã Ä 2 3 4 5 1 300 600 900 1200 ( 10 m )x -3 3

Παράδειγµα 1.17 Μιά ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α (Ρ₀, V₀, T₀ ) και εκτελεί τις διαδοχικές µεταβολές του διπλανού σχήµατος. Να βρείτε το είδος της κάθε µεταβολής και να παραστήσετε γραφικά τη µεταβολή ΑΒΓ∆Α σε διάγραµµα: P - V, P - T. Λύση Οι µεταβολές ΑΒ και Γ∆ είναι ισόχωρες (V_A=V_B=V₀ και V_Γ=V_∆=2V₀). Οι µεταβολές ΒΓ και ∆Α είναι ισοβαρείς γιατί ισχύει: V/T = σταθ. Άρα: Ρ_A=Ρ_∆=Ρ₀ και Ρ_Γ=Ρ_Β Για τη µεταβολή ΑΒ: 0 = B ⇒ B = 0 0 0 P P P 2P T 2T Άρα και Ρ_Γ=2Ρ₀ (m3₎ (m3₎ (N/m2₎ (K)

Παράδειγµα 1.18 1 cm3 _{αέρα βρίσκεται σε s.t.p.} α. Πόση είναι η µάζα του, β. Πόσος είναι ο αριθµός µορίων του, γ. Ποια είναι η πυκνότητα του. ∆ίνεται R = 8,314 J/(mol ·K) , ⋅ 23 A N = 6,023 10 µόρια/ mol, η µέση γραµοµοριακή µάζα του αέρα ⋅ -3 M = 29 10 kg/mol , ⋅ 5 2 N 1atm = 1,013 10 m Λύση s.t.p. σηµαίνει πίεση 5 2 N P 1atm 1, 013 10 m = = ⋅ και θερµοκρασία T=273K α. Από την καταστατική εξίσωση ⋅ = ⇒ ⋅ = RT⇒ M m V P nRT V P 5 2 6 3 3 PVM 1, 013 10 N / m 1 10 m 29 10 kg / mol m m RT 8, 314J /(mol K) 273K − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ 6 m=1, 29 10 kg⋅ − (ή αλλιώς A A N m M N n m N M N ⋅ = = ⇒ = ) β. Ο αριθµός των moles του αέρα: A A mN N m n N N M M = = ⇒ = ⇒ 6 23 20 3 1, 29 10 6, 023 10 N µόρια N 0, 27 10 29 10 − − ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅ µόρια. γ. Από την καταστατική εξίσωση m m P M P M P V nRT P V R T ρ M V R T R T ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ 5 2 3 3 P Μ 1, 013 10 N / m 29 10 kg / mol kg ρ ρ 1, 29 RT 8, 314J /(mol K) 273K m − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = = ⇒ ⋅ ⋅ 3 kg ρ 1, 29 m = (ή αλλιώς ρ m V = ).

Παράδειγµα 1.19 Για να µετρήσουµε το βάθος της λίµνης Πλαστήρα κάνουµε το εξής πείραµα. Μια φυσαλίδα αέρα όγκου 20 cm3 _{βρίσκεται στο βυθό της λίµνης όπου η θερµοκρασία είναι 4} o_{C. Η} φυσα-λίδα όταν ανεβαίνει στην επιφάνεια έχει όγκο 100 cm3 _{και η θερµοκρασία είναι 20} o_C. Θεωρήστε τη θερµοκρασία της ίση µε τη θερµοκρασία του νερού που την περιβάλλει, την ατµοσφαιρική πίεση P₀ = 105 _N/m2_{, την πυκνότητα του νερού ρ = 10}3 _Kg/m3 _{και την} επιτά-χυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2_{. Υδροστατική πίεση P} υδρ. = ρ · g · h. Πόσο είναι το βάθος της λίµνης; Λύση

(

0

)

1 1 0 2 2 H ή ί ό : P gh V nRT H ή ί ά : P V nRT  καταστατικ εξ σωση στο βυθ + ρ = _{ ⇒}  καταστατικ εξ σωση στην επιφ νεια = _

(

)

0 2 1 0 1 1 1 2 0 2 2 V T P 1 P gh V nRT V T h P V nRT g  ₋    + ρ _{ } = ⇒ = ⇒ ρ 3 5 2 3 3 3 2 N 100cm 277K 10 1 m 20cm 293K h h 37, 26m kg m 10 10 m s  ⋅ ₋   _⋅    = ⇒ = ⋅ Σηµείωση: Αν δίνεται η ακτίνα r της φυσαλίδας τότε ο όγκος της είναι 3 r π 3 4 V= . Παράδειγµα 1.20 Σ’ ένα παιδικό πάρτυ θέλουµε να φουσκώσουµε 200 µπαλόνια µε ήλιο. Το κάθε µπαλόνι έχει όγκο 2L και πίεση 1,5atm. Αν η φιάλη που θα χρησιµοποιήσουµε έχει όγκο 4L, ποια είναι η πίεσή της. Θεωρήστε ότι η φιάλη και τα µπαλόνια έχουν την ίδια θερµοκρασία, ενώ δεν χάθηκε ήλιο στη διαδικασία. Λύση Όταν η συνολική µάζα διατηρείται σταθερή, χρησιµοποιούµε την καταστατική εξίσωση σε συν-δυασµό µε την αρχή διατήρησης της µάζας. Η καταστατική εξίσωση: στη φιάλη: RT V P n RT n V P ολ ολ ολ ολ ολ ολ ⋅ = ⇒ = ⋅ στο µπαλόνι: RT V P n nRT V P⋅ = ⇒ = ⋅ Η µάζα του ηλίου που είναι στη φιάλη (nολ) είναι ίση µε το άθροισµα των µαζών στα µπαλόνια (200n). Άρα = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ RT V P 200 RT V P n 200 n ολ ολ ολ atm P L L atm , P V V P P _{ολ ολ} ολ ολ ₄ 150 2 5 1 200 200⋅ ⋅ _{⇒ =} ⋅ ⋅ _{⇒ =} = .

Παράδειγµα 1.21 Ένα κυλινδρικό δοχείο ακτίνας r = 40 cm και ύψους h₀ = 50 cm είναι γεµάτο µε αέρα θερµο-κρασίας 20 o_{C και πίεσης 1atm. Στη συνέχεια τίθεται ένα έµβολο στο πάνω µέρος του δοχείου,} µάζας m = 20 Kg, το οποίο κατέρχεται µέσα στον κύλινδρο συµπιέζοντας τον αέρα που έχει παγιδευθεί µέσα στο δοχείο. Τελικά, ένας άνθρωπος µάζας M = 75 Kg στέκεται πάνω στο έµβολο συµπιέζοντας ακόµη περισσότερο τον αέρα (ο οποίος παραµένει στους 20 o_C) α. Πόσο πιο κάτω (∆h) κατέβηκε το έµβολο όταν ο άνθρωπος ανέβηκε πάνω του; β. Σε ποια θερµοκρασία πρέπει να θερµανθεί ο αέρας ώστε το έµβολο µε τον άνθρωπο να ανυψωθούν στο ύψος h, όπου αρχικά ισορροπούσε το έµβολο. ∆ίνονται: Όγκος κυλίνδρου V = S · h = πr2 _{· h, η πίεση που προκαλεί µια δύναµη F
κάθετη} σε επιφάνεια εµβαδού S είναι P = F/s, 1 atm = 105 _N/m2 _{, g = 10 m/s}2_. Λύση α. Η καταστατική εξίσωση: ⇒ =    = • = • 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 _{PV PV} nRT V P : ά αρχικ nRT V P : µβολο έ το µε 2 2 0 1 0 0 mg P πr h P πr h S  ₊  _{⋅ = ⋅ ⋅ ⇒}     0 0 1 1 0 2 P h h 49,8cm h 49,8cm mg P πr ⋅ = = ⇒ = + Η καταστατική εξίσωση: ⇒ = ⇒    = = 1 1 2 2 0 1 1 0 2 2 _{PV PV} nRT V P : µβολο έ το µε nRT V P : µβολο έ το και νθρωπο ά τον µε

(

)

2 2 0 1 0 2 m M g mg P πr h P πr h S S +    ₊  _{= + ⇒}       _{ }

(

)

0 2 1 2 0 mg P S h h h 49,1cm m M g P S  ₊      = ⋅ ⇒ = + + Άρα ∆h=h₁−h₂=0,7cm⇒∆h=0,7cm β. Όταν θερµανθεί το αέριο µε το έµβολο και τον άνθρωπο, η εσωτερική πίεση µένει σταθερή ίση µε την εξωτερική που είναι P₂ P₀

(

m M g

)

S + = + . ∆ηλαδή ισχύει ο Ν. Gay-Lussac. 2 1 1 1 0 0 0 2 2 V V V S h T ' T T ' T T T ' V S h ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ ,cm K T' , K cm , ' T T h h ' T 293 2972 1 49 8 49 0 2 1_{⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =} = Παράδειγµα 1.22 Ένας κύλινδρος στο πάνω µέρος του κλείνεται µε έµβολο εµβαδού διατοµής 10-2 _m2 _και αµελητέας µάζας. Το έµβολο είναι συνδεδεµένο µε ελατήριο σταθεράς Κ = 2 · 103 _{Ν/m. Ο} κύλινδρος περιέχει 5L αερίου και το ελατήριο ισορροπεί ασυµπίεστο, υπο πίεση 1atm και θερµοκρασία 20 o_C. α. Κατά πόσο θα ανυψωθεί το έµβολο, όταν η θερµοκρασία του αερίου ανέλθει στους 250 o_C; β. Ποια είναι τότε η πίεση του αερίου; ∆ίνεται 1 atm = 105 _N/m2_. Λύση α. ₁ 2 1 1 2 1 1 2 2 2 V 5L _{V V x S} P 1atm _{k x} P P T 293K S T 523K S 10 m− = _{= + ⋅} = _⋅ = + = = = Όταν το έµβολο ανυψωθεί κατά x, τότε ο όγκος του αερίου, γίνεται V₂ =V₁+ ⋅x S, ενώ στην ατµοσφαιρική πίεση προστίθεται η πίεση του συµπιεσµένου ελατηρίου P F k x S S ελ ελ ⋅ = = .

Eποµένως 2 1 k x P P S ⋅ = + . Εφαρµόζουµε στις δύο θέσεις την καταστατική εξίσωση. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ά : P V nRT P V T P V P V ά : P V nRT P V T Αρχικ =  Τ = ⇒ = ⇒  Τελικ = _ Τ

(

)

1 1 2 1 1 1 P V Τ k x P V x S S Τ ⋅  ₊  _{+ ⋅ = ⇒}     20 20 392 0 2_{+ x− , =} x Από τη λύση της δευτεροβάθµιας εξίσωσης έχουµε x=0,168m β. = + ⋅ ⇒ s x k P P_{2 1} 2 5 2 133610 m N , P = ⋅ Παράδειγµα 1.23 Οριζόντιος κυλινδρικός σωλήνας κλειστός στις δύο άκρες του, χωρίζεται σε δύο διαµερίσµα-τα από στεγανό ευκίνητο έµβολο. Στο ένα διαµέρισµα περιέχεδιαµερίσµα-ται αέριο He και στο άλλο H₂. Τα δύο τµήµατα έχουν την ίδια θερµοκρασία και τον ίδιο όγκο. Αν η ολική µάζα των αερίων είναι 5g, να βρεθεί: α. Η µάζα κάθε αερίου β. Αν θερµάνουµε οµοιόµορφα τον κύλινδρο θα µετακινηθεί το έµβολο; ∆ίνονται οι γραµοµοριακές µάζες M_He = 4 · 10–3 _{Kg/mol , MH} 2 = 2 · 10–3 Kg/mol Λύση α. Θα είναι

( )

2 ολ He H m =m +m 1

( )

2 2 2 2 0 He 1 1 1 He He H He H H 0 1 1 1 H m 1 έ : P V RT M _m m m 2m 2 m _{4 2} 2 έ : P V RT M  διαµ ρισµα = _  ⇒ = ⇒ =   διαµ ρισµα =  Από τις (1), (2) έχω: m_He g 3 10 = και m_H g 3 5 2=

β. Αν θερµάνουµε οµοιόµορφα σε θερµοκρασία T2 τότε: 0 1 1 2 2 1 2 2 3 0 1 1 2 3 1 2 P V P V 1 έ : T T V V ά ί έ P V P V 2 έ : T T  διαµ ρισµα =  _{= ρα δεν θα κινηθε το µβολο}   διαµ ρισµα =  Παράδειγµα 1.24 Σε οριζόντιο κυλινδρικό θερµοµονωτικό σωλήνα, εσωτερικής διατοµής S = 10 cm2_{περιέχεται} ιδανικό αέριο θερµοκρασίας 27 o_{C. Θερµοµονωτικό έµβολο, που µετακινείται χωρίς τριβές,} χωρίζει το σωλήνα σε δύο ίσα διαµερίσµατα όγκου V₁ = 70 cm3 _{το καθένα. Αυξάνουµε τη} θερµοκρασία στο ένα διαµέρισµα στους 127 o_{C ενώ στο άλλο τη διατηρούµε στους 27} o_C. Κατά πόσο µετακινήθηκε το έµβολο; Λύση Αν ο όγκος στο 10 _{διαµέρισµα αυξήθηκε κατά ∆V µε µετακίνηση του εµβόλου κατά x , τότε στο} 20 _{διαµέρισµα µειώθηκε κατά ∆V.} ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 0 2 1 2 1 1 1 0 2 1 T V ∆ V P T V ∆ V P T V ∆ V P T V P : T V ∆ V P T V P : − = +       − = + =

(

) (

)

(

)

3 2 1 1 2 1 1 1 2 1 _{∆V 10cm} T T T T V V ∆ T V ∆ V T V ∆ V = ⇒ + − = ⇒ − = + ⇒ Άρα ∆V x S x ∆V x 1cm S = ⋅ ⇒ = ⇒ = . Παράδειγµα 1.25 Ποσότητες οξυγόνου_ ⋅ _  2  -3 O kg M = 32 10 mol και αζώτου  _⋅     2  -3 N kg M = 28 10 mol έχουν την ίδια θερµοκρασία. 1. Οι ενεργές τους ταχύτητες είναι: i. ίδιες ii. διαφορετικές 2. Οι µέσες κινητικές τους ενέργειες είναι: i. ίδιες ii. διαφορετικές Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Λύση 1. 2 2 _{2 2} 2 2 2 2 , O _{, N} , N O , N N 3RT M M M 3RT M εν Ο εν Ο εν εν  υ = _ υ _{⇒ = =}  _υ  υ = _  2 2 , , N 7 1 8< ⇒ υεν Ο < υεν 2. (ίδιες) K K KT K KT K N O N O 2 2 2 2 2 3 2 3 =      = = Παράδειγµα 1.26 Ιδανικό αέριο υποβάλλεται στις εξής διαδοχικές µεταβολές: i. διπλασιάζουµε την πίεσή του κρατώντας σταθερό τον όγκο του, ii. διπλασιάζουµε τον όγκο του κρατώντας σταθερή τη θερµοκρασία του, iii. διπλασιάζουµε τον όγκο υπό σταθερή πίεση. α. Να σχεδιάσετε τις µεταβολές σε άξονες Ρ - V β. Να βρείτε το λόγο των ενεργών ταχυτήτων τις αρχικής προς την τελική κατάσταση Λύση α. Oι µεταβολές απεικονίζονται στο διπλανό σχήµα. β. ( ) B A B 1 A 1 1 _T T 2T P 2 T P Charles . Ν σταθ V : Β Α→ = = ⇒ = (Ν.Βoyle)2P1 V1 P 2V1 P Ρ1 σταθ Τ : Γ B→ _Β= ⋅ = _Γ⋅ ⇒ _Γ= ( − ) = ⇒ = → ∆ Γ T V T V Lussac Gay . Ν σταθ Ρ : ∆ Γ 1 1 1 4 2 Α ∆ Β Γ ∆ Τ Τ Τ Τ T =2 =2 ⇒ =4 Όµως 3R 1 1 M 2 4 2 3RT Α ∆ Α ∆ Α εν Α εν εν εν ∆ ∆ Τ υ _{= =} Τ _{= = ⇒ υ = υ} υ Τ Μ

Παράδειγµα 1.27 ∆οχείο Α όγκου V₁ = 100 mL συνδέεται µε σωλήνα αµελητέου όγκου µε δοχείο Β όγκου V₂ = 300 mL. Η συσκευή περιέχει H 2 υπό πίεση P0 = 1 atm και θερµοκρασία Θ0 = 12 ο_{C. Στη} συνέχεια το δοχείο Α φέρεται σε θερµοκρασία Θ₁ = 0 ο_{C ενώ το Β σε Θ} 2 = 100 ο_{C ζητούνται:} α. Η τελική πίεση του υδρογόνου H₂ β. Το % της συνολικής µάζας του H 2 που περιέχεται στο δοχείο Α στην τελική κατάσταση γ. Την ενεργό ταχύτητα του H₂ στο δοχείο Β στην τελική κατάσταση. ∆ίνονται R = 8,314 (J/mol) · K, ⋅ 2 -3 Η kg Μ = 2 10 mol Λύση α. Αρχικά: 0 1 0 1 _RT V P n : Α ο ί δοχε = 0 2 0 2 _RT V P n : B ο ί δοχε = Επειδή η συνολική µάζα του H2 παραµένει σταθερή: ⇒ + = + ⇒ + = + 2 2 1 1 0 2 0 0 1 0 2 1 2 1 _RT PV RT PV RT V P RT V P ' n ' n n n ( ) atm , P T V T V V V T P Ρ 12 2 2 1 1 2 1 0 0 = ⇒ + + = β. 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 V V n ' T n ' T V V V n ' n ' n ' T T T = ⇒ = ⇒ + ₊ 1 1 1 ολ ολ 2 1 2 1 V T n ' n 0, 313n V V T T = = + Άρα το ζητούµενο ποσοστό είναι 31,3%. γ. H2 H2 2 3 2 H 3RT m 2,15 10 M s εν εν υ = ⇒ υ = ⋅

Παράδειγµα 1.28 Η πυκνότητα του αζώτου σε κανονικές συνθήκες πίεσης και θερµοκρασίας (s.t.p) είναι 1,5 Kg/m3_{. Να υπολογίσετε την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αζώτου στις θερµοκρασίες} 0 o_{C, 27} o_{C, 127} o_{C. ∆ίνεται ότι} ≈ 5 2 1atm 10 N/m Λύση Από τα δεδοµένα της άσκησης έχουµε ότι σε κανονικές συνθήκες (s.t.p.), δηλ. για πίεση atm 1 p= και θερµοκρασία θ₌0οC _{ή T=273K το αέριο άζωτο έχει πυκνότητα ρ=1,5kg/m}3 οπότε: 5 2 2 2 3 1 3P 3 10 N / m P 3 1,5kg / m ⋅ = ρυ ⇒ υ = = ⇒ ρ υ = ⋅2 2 10 m / s5 2 2 ⇒ υ =2 2 10 m / s⋅ 5 ⇒ 2 6 2 3 0, 2 10 m / s 0, 2 10 m / s υ = ⋅ ⇒ υ = ⋅ Αν υ12 είναι η ενεργός ταχύτητα των µορίων του αζώτου στους 27οC θα έχουµε: 1 2 1 2 1 2 1 2 3 K T T m T 3 K T m υ = ⇒ υ = υ ⇒ υ 2 3 2 3 1 1 273 27 0, 2 10 m / s 0, 47 10 m / s 470 m / s 273 + υ = ⋅ ⇒ υ = ⋅ = Οµοίως για τους 127οC δηλ. T₂=400K έχουµε υ =22 0, 54 10 m / s⋅ 3 =540 m / s Παράδειγµα 1.29 Αποδείξτε µε τη βοήθεια της κινητικής θεωρίας των αερίων: α. Το νόµο των µερικών πιέσεων του Dalton που διατυπώνεται ως εξής: όταν σ’ένα δοχείο βρίσκονται µαζί αέρια που δεν αντιδρούν, το άθροισµα µερικών πιέσεων που εξασκείται από κάθε αέριο σε ορισµένη θερµοκρασία, είναι ίσο µε την ολική πίεση. β. Την υπόθεση Avogadro που διατυπώνεται ως εξής: ίσος όγκος αερίων στις ίδιες συνθήκες πίεσης και θερµοκρασίας περιέχουν τον ίδιο αριθµό µορίων. Λύση α. Σε δοχείο όγκου V, έχουµε µίγµα αερίων που δεν αναµιγνύονται. Αν αποτελείται από N1 µόρια µάζας m1, N2 µόρια µάζας m2, ..., Nv µόρια µάζας mv µε ενεργές ταχύτητες υ₁2, 2 2 υ ,... υ_v2, τότε η ολική κινητική ενέργεια λόγω µεταφορικής κίνησης θα είναι:

2 2 2 1 1 1 2 2 2 v v v 1 1 1 K m m ... m 2 2 2 ολ = Ν υ + Ν υ + + Ν υ ⇒ 2 2 v 2 1 2 1 1 2 2 v v N N N 2 2 1 2 1 2 1 K m m ... m 3V⋅ ολ =3 V 2⋅ υ +3 V ⋅2 υ + +3 V ⋅2 υ ⇒

( )

1 2 v 2 K P P ... P 1 3V⋅ ολ = + + + Ο όρος 2 2 1 3 2 i i i _mυ V N ⋅ παριστάνει την πίεση Pi που θα ασκούσε το αέριο i αν καταλάµβανε όλο τον όγκο του δοχείου µόνο του. Όµως K N K 2 K 2N K P

( )

2 3V 3V ολ = ⋅ ⇒ ολ = ⋅ = ολ Από (1), (2) έχω Pολ=P1+P2+...+Pv β. Σύµφωνα µε την κινητική θεωρία για δύο αέρια (1) και (2) ισχύουν: 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 N N T T , P P , V V ν A KT V N P KT V N P =          = = = = = Παράδειγµα 1.30 Σε δοχείο όγκου 4L περιέχονται 0,3 mol N₂ και 0,5 mol H₂. H ολική πίεση του µίγµατος είναι 4atm. Να βρείτε την ενεργό ταχύτητα για το H₂. ∆ίνονται 1atm = 105 N₂ m 2 ⋅ -3 H M = 2 10 kg/mol . Λύση Για το V RT n P RT n V P : H 1 1 1 1 2 = ⇒ = V RT n P RT n V P : N 2 2 2 2 2 = ⇒ = Από τον Ν. των µερικών πιέσεων του Dalton ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = 2 1 2 1 2 1 _{n n} V P RT V RT n V RT n P P P P ολ ολ ολ mol J RT=2000 Όµως υ _MRT υH m_s H H 10 3 3 2 3 2 2 2 2 = ⇒ =

Παράδειγµα 1.31 Στους 0 ο_{C και σε πίεση} 2 1 10 atm⋅ − η πυκνότητα ενός αερίου είναι 5 3 1, 249 10 g / cm⋅ − . Βρείτε: α. Την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αερίου β. Το µοριακό βάρος του αερίου και εξακριβώστε ποιο αέριο είναι. ∆ίνεται 1atm 1, 013 105 N₂ m = ⋅ , R = 8,314 J/(mol · K). Λύση α. Η πυκνότητα είναι = ⋅ = ⋅ ₋ ⇒ − − − 3 6 3 5 3 5 10 10 10 249 1 10 249 1 m kg , cm gr , ρ 124910 2 ₃ m kg , ρ= ⋅ − Άρα = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ ρ p υ ρ p υ υ ρ P 3 3 3 1 2 2 2 s m υ s m , , υ 493 10 249 1 10 013 1 3 2 2 3 2 _{⇒ =} ⋅ ⋅ ⋅ = ₋ β. Η ενεργός ταχύτητα mol kg M υ RT M M RT υ 3 2 2 10 28 3 3 _{⇒ = ⇒ = ⋅ −} = Εποµένως πρόκειται για το άζωτο N2. Παράδειγµα 1.32 Κυλινδρικό δοχείο κλείνεται στο ένα άκρο του µε έµβολο που κινείται χωρίς τριβές. Το δοχείο βρίσκεται σε µια µεγάλη δεξαµενή νερού σε οριζόντια θέση και σε βάθος h 10= m. Το δοχείο περιέχει ιδανικό αέριο θερµοκρασίας ₂₇oC_{, έχει εµβαδόν διατοµής S=5⋅10}−3_m2 _και ισορροπεί στη θέση όπου το µήκος του τµήµατος του κυλίνδρου που περιέχει το αέριο είναι m , x₁=02 . α. Με τη βοήθεια θερµοδοχείου το αέριο αρχίζει να εκτονώνεται σιγά-σιγά καθώς θερµαίνε-ται µέχρι το έµβολο να µετατοπιστεί κατά x₂=0,1m. β. Ακολούθως κρατώντας συνεχώς σταθερό το έµβολο και οριζόντιο τον κύλινδρο, το ανεβά-ζουµε στην επιφάνεια, όπου µε τη βοήθεια ψυχρου δοχείου, ψύχουµε το αέριο µέχρι να αποκτήσει πίεση ίση µε την ατµοσφαιρική 5 ₂ 0 10 m N P = γ. Στη συνέχεια αφήνουµε το έµβολο και ψύχουµε το αέριο µέχρι να αποκτήσει τον αρχικό όγκο. δ. Τέλος κρατώντας πάλι σταθερό το έµβολο θερµαίνουµε το αέριο µέχρι τις αρχικές συνθήκες. i. ποιες µεταβολές υφίσταται το αέριο; Γράψτε τους αντίστοιχους νόµους των αερίων, ii. υπολογίστε τα P,V,T σε κάθε θέση, iii. κάντε τα διαγράµµατα P−V, _P−T, V−T.

∆ίνεται 2 5 0 10 m N P = , 3 3 O H m g Κ 10 ρ 2 = , 10_s2 m g= . Λύση i. Αρχικά επειδή βρίσκεται σε µεγάλη δεξαµενή είναι T=σταθ. Ισχύει ο Ν. Boyle: ( )1 B B A AV PV P = Ακολούθως επειδή κρατάµε σταθερό το έµβολο είναι V=σταθ. Ισχύει ο Ν. Charles: ( )2 Γ Γ B B T P T P = Στη συνέχεια επειδή η εσωτερική πίεση του αερίου είναι ίση µε την εξωτερική (ατµοσφαιρι-κή) συνεπώς είναι P=σταθ. Ισχύει ο Ν. Gay - Lussac: ( )3 ∆ ∆ Γ Γ Τ V Τ V = Τέλος επειδή κρατάµε πάλι σταθερό το έµβολο είναι V=σταθ. Ισχύει ο Ν. Charles: ( )4 A A ∆ ∆ T P Τ P = ii. Κατάσταση Α: ( )K K T_A= 273+27 =300 , 3 3 1 110 m x S V_A= ⋅ = ⋅ − 2 5 O H 0 A m N 10 2 g ρ h P P 2 ⋅ = ⋅ ⋅ + = Κατάσταση Β: ( ) 3 3 2 1 x 1,510 m x S V_B= + = ⋅ − , T_B=T_A=300K, Ν. Boyle ( ) 2 5 10 3 4 1 m N V V P P B A A B= = ⋅ ⇒ Κατάσταση Γ: 3 3 10 5 1, m V V_Γ= _B= ⋅ − 2 5 0 10 m N P P_Γ= = Ν. Charles: ( ) K m N K m N P Τ P Τ B Β Γ Γ 225 10 3 4 300 10 2 2 5 2 5 = ⋅ ⋅ = = ⇒