Cjelobrojno programiranje

Cjelobrojno programiranje (IP)

(‘Integer Programming’)

IP primjer

Max Z = 33x

₁

+ 12x

₂

s.t.

(1)

–x

₁

+ 2x

₂



4

(2)

5x

₁

+ 2x

₂



16

(3)

2x

₁

– x

₂



4

x

₁

, x

₂



0 and integer

x

₂

1

2

3

Optimalno LP rješenje

x

₁

= 8/3

x

₂

= 4/3

Z

_LP

* = 104

nemoguće

IP rješenje

Zaokruženo LP rješenje

x

₁

= 2

x

₂

= 1

Z

_RLP

* = 78

Moguće,

nije optimalno

Optimalno IP rješenje

x

₁

= 2

x

₂

= 3

Z

_IP

* = 102

Optimalno

IP rješenje

Iso-profit line

Vrste IP problema



Čisto cjelobrojno programiranje



Sve su varijable cjelobrojne



Mješovito cjelobrojno programiranje



Samo neke od varijabli su cjelobrojne



0-1 cjelobrojno programiranje



Sve varijable imaju vrijednost 0 ili 1

(‘zero-one programming’ ili ‘binary

integer programming’)

IP rješenje nasuprot LP rješenja



LP rješenje je uvijek bolje

(‘optimalnije’) od IP rješenja



Zaokruživanje LP rješenja na najbliže

cijele brojeve



Može se javiti nemoguće rješenje

(narušena ograničenja)

Primjer: IP rješenje nasuprot

LP rješenja

Usljed štrajka vozača kamiona hladnjača u februaru 1974 nastala je kriza u ponudi svježeg mesa u Bostonu. U trenutku krize naglo je porasla potreba za konzervama goveđeg i ovčijeg mesa tako da su prodavači bili spremni prihvatiti konzerve mesa u bilo kojim kiličinama. Transport konzervi bio je organizovan avionskim saobračajem iz Čikaga. Cilj snabdjevača je bio da odrede optimalni odnos količine konzervi goveđeg i ovčijeg mesa kako bi imali optimalnu profit za fiksan volumen u avionu i fiksnu težinu koju avion može da nosi. Dobit po jednom paketu konzervi govedine bio je $20(x100), odnosno po jednom paketu ovčijeg mesa $10(x100). Zapremina paketa govedine bila je 5 jedinica a težina 2 jedinice. Dok je zapremina paketa ovčijeg mesa bila 4 jedinice a težina 5 jedinica. U avion je moglo da stane 24 jedinice zapremine i 13 težinskih jedinica.

Primjer: IP rješenje nasuprot

LP rješenja

Problem koji je potrebno riješiti je naći maksimum funkcije

(1) sa ograničenjima (2) 2 1

10

20

x

x

z





varijable re alne (te z ina) ) (z apre mina , 0 , 13 5 2 24 4 5 2 1 2 1 2 1      x x x x x x

LP model

Primjer: IP rješenje nasuprot

LP rješenja



Rješenje LP modela:

x

₁

= 4,8 i

x

₂

=0,



Dobit

z

= 4,8*20=96(x100$).



Dobit od 96 dolara nije moguće ostvariti, jer nije moguće poslati 4,8

paketa



Ako se rezultat jednostavno zaokružili na 5 paketa, to jest

x

₁

= 5, za njih

bi potrebna zapremina u avionu bila 5*5 = 25 i dobili bi nemoguće rješenje

(prvo ograničenje bi bilo narušeno) jer u avionu ima na raspolaganju svega

24 jedinica zapremine.



U slučaju da jednostavno zaokružimo rješenje na

x

₁

= 4, ni jedno od

ograničenja ne bi bilo narušeno i profit bi bio

z

= 4*20 = 80.

Primjer: IP rješenje nasuprot

LP rješenja

Problem koji je potrebno riješiti je naći maksimum funkcije

(1) sa ograničenjima (2) 2 1

10

20

x

x

z





varijable e cje lobrojn (te z ina) ) (z apre mina , 0 , 13 5 2 24 4 5 2 1 2 1 2 1      x x x x x x

IP model

Metode rješavanja IP problema



Cutting Plane Method

Branch and bound

metoda

Suština branch and bound metode jeste traženje rješenja modela cjelobrojnog programiranja analizom istog modela preko serije LP modela sve dok rješenje LP modela ne zadovolji uslov cjelobrojnosti varijabli. Primjena ove metode na model cjelobrojnog programiranja u slučaju maksimuma funkcije cilja može se opisati sljedećim nizom koraka:

1. Riješiti model cjelobrojnog programiranja kao LP model. Ako optimalno rješenje zadovoljava uslov cjelobrojnosti varijabli onda je rješenje LP modela istovremeno i rješenje modela cjelobrojnog programiranja. Ako uslov cjelobrojnosti varijabli nije zadovoljen dobijeno rješenje LP modela služi kao gornja granica vrijednosti funkcije cilja rješenja modela cjelobrojnog programiranja.

Branch and bound

metoda

2. Odrediti donju graničnu vrijednost funkcije cilja modela cjelobrojnog programiranja. Ovu granicu je najlakše odrediti tako da se realne vrijednosti varijabli odlučivanja dobijenim rješenjam LP modela zaokruže na najbližu donju cjelobrojnu vrijednost.

3. Rješenje modela cjelobrojnog programiranja tražiti tako što se rješavaju dva nova podproblema (dvije grane) čije rješenje će se opet tražiti kao rješenje LP modela. U svakom od podproblema potrebno je dodati po jedno novo ograničenje za jednu od varijabli iz prethodnog LP modela koja nije imala cjelobrojnu vrijednost tako da se u rješenju LP modela podproblema isključi mogućnost ovoj varijabli da ima realnu vrijednost izmađu dva cjela broja koju je imala u prethodnom rješenju. Na primjer, ako je prethodno optimalno rješenje LP modela bilo tako da je varijabla X1 imala vrijednost 5.23, u narednom koraku potrebno je problem podjeliti na dva podproblema tako da se jednom podproblemu na izvorni model doda novo ograničenje , a drugom ograničenje

Branch and bound

metoda

4. Rješiti oba podproblema kao LP modele. Ako rješenje LP modela za podproblem ne postoji podproblem se više neće razmatrati. Ako rješenje LP modela postoji a vrijednosti varijabli nisu cjelobrojne potrebno je ići na korak 3. Ako rješenje LP modela sadrži cjelobrojne vrijednosti varijabli odlučivanja potrebno je ispitati vrijednost funkcije cilja za ovo rješenje. Ako je vrijednost funkcije cilja jednaka gornjoj graničnoj vrijednosti onda je rješenje ujedno i optimalno rješenje postavljenog modela. Ako je vrijednost funkcije cilja manja od donje granične vrijednosti razmatrani podproblem (grana) ne daje optimalno rješenje i ovaj podproblem se neće više razmatrati. Ako je vrijednost funkcije cilja iznad donje granične vrijednosti funkcije cilja potrebno je tekuću vrijednost funkcije cilja proglasiti novom donjom graničnom vrijednosti i ići na korak 3.

Branch and bound

metoda - Primjer

Model cjelobrojnog programiranja definisan datom funkcijom cilja i

ograničenjima potrebno je riješiti branch and bound metodom.

Problem je naći maksimum funkcije

Branch and bound

metoda - Primjer

X1 = 1.33 X2 = 4 Z = 36 X1 = 1 X2 = 4 Z = 34 X1 = 2 X2 = 3 Z = 33 X1 = 1.25 X2 = 4.125 Z = 36.375 X2 ≤ 4 X1 ≥ 2 X1 ≤ 1 Ne postoji realno rješenje Ne postoji realno rješenje X1 = 0.2 X2 = 5 Z = 36.2 X1 = 0 X2 = 5.167 Z = 36.167 X1 = 0 X2 = 5 X2 ≥ 5 X1 ≥ 1 X1 ≤ 0 X2 ≥ 6 X2 ≤ 5

Međusobno isključiva ograničenja

(Mutually Exclusive Constraints)

Primjer

:

Kompanija koja proizvodi gotovu hranu ima velike količine kukuruza

(x₁), ječma (x₂), i brašna (x₃) koje mogu biti miješane u proizvodnji hljeba za ishranu stoke ili žitnih pahuljica za ishranu ljudi. Međutim, zbog različitih

sanitarnih zahtijeva i javnog imiđa firme rukovodstvo se odlučilo da prozvodi samo jedan od ova dva proizvoda. Pretpostavimo da je ograničenje u slučaju proizvodnje stočnog hljeba

50 3

2

5x₁  x₂  x₃ 

odnosno u slučaju proizvodnje žitnih pahuljica

30

4

Međusobno isključiva ograničenja

(Mutually Exclusive Constraints)

Da bi modelirali ovakvu situaciju, potrebno je uvesti novu 0-1 varijablu, y (y može imati vrijednost nula ili jedan), i to tako da se zamijene postojeća ograničenja sa novim ograničenjima,

gdje je M proizvoljna, velika konstanta. Ako ograničimo vrijednosti varijable y na nulu ili jedinicu, efekat je sljedeći:

- Ako je y = 1 drugo ograničenje se vraća u svoju orginalnu formu. Sa izabranim velikim brojem M desna strana prvog ograničenja postaje jako velika tako da će svako rješenje za x₁, x₂ i x₃ zadovoljiti prvo ograničenje, čineći to ograničenje praktično suvišnim.

yM

x

x

x



2



3



50



5

_{1 2 3}

M

y

x

x

x

4

30

(

1

)

2

₁



₂



₃







Međusobno isključiva ograničenja

(Mutually Exclusive Constraints)

Prethodna ograničenja mogu se modelirati i uvođenjem dvije 0-1 varijable,

Ako postoji m₁ međusobno isključivih ograničenja, onda se član y_iM dodaje na desnu strano svakog od ograničenja. Svaka y_i varijabla je 0-1 varijabla. Da bi osigurali da samo jedno ograničenje bude vezano za funkciju cilja dodaje se dodatno ograničenje u obliku

. 1 1 1 1  



 m y m i i M y x x x₁ 2 ₂ 3 ₃ 50 ₁ 5    

M

y

x

x

x

₁

4

_{2 3}

30

₂

2









1

2 1



y



y

Primjer

Neka su data 4 ograničenja koja se međusobno isključuju:

Četiri varijable moraju biti dodate kao što je prikazano kako bi obezbjedili da samo jedno od ograničenja bude izabrano.

6 5 12 4 10 2 5 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1            x x x x x x x x x x x 6 5 12 4 10 2 5 4 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 3 2 1                    M y x x M y x x x M y x x x M y x x x

Međusobno isključiva ograničenja

(Mutually Exclusive Constraints)

Problem sa m₁ ograničenja, od koji k mora biti odabrano rješava se kao i prethodni problem s razlikom što posljednja jednačina postaje

Ova vrsta ograničenja može se pojaviti, na primjer, u problemu sa višestrukim kriterijima (ciljevim). Na primjer, firma može nametnuti uslove za minimalno prihvatljivim profitom, veličinom prodaje, visinom dionica, brzinom vraćanja investicija, itd. i istovremeno zahtijevati da bar tri od ovih uslova budu zadovoljeni.

k

m

y

m i i







1 1 1

Međusobno isključiva ograničenja

(Mutually Exclusive Constraints)

Odjeljenje razvoja jedne firme razvilo je tri nova proizvoda. Međutim da bi ograničili broj proizvoda na proizvodnim linijama menađment je nametnuo ograničenje da od razvijena tri proizvoda najviše dva mogu biti uvedena u proizvodnju. Novi proizvodi se mogu proizvoditi na dvije postojeće proizvodne linije. Iz administrativnih razloga menađment je postavio zahtijev da samo jedna od dvije postojeće linije može biti korištena za nove proizvode. Troškovi proizvodnje novih proizvoda na linijama su isti, ali zbog različite infrastrukture, vrijeme potrebno za proizvodnju novih proizvoda se razlikuje za svaku liniju kao što se vidi u sljedećoj tabeli.

Zadatak 1

Proizvod 1 2 3 Kapacitet Sati u sedmici Proizvodna linija 1 Proizvodna linija 2 3 4 2 4 6 2 30 40

Zadatak 1 (nastavak)

Cilj je izabrati proizvode, prizvodne linije i količinu proizvodnje izabranih proizvoda da bi maksimizirali profit. Rješenje 3 2 1 7 3 5 Maksimum Z  x  x  x 0, 0, cjelobrojne varijable , 0 , 2 , 1 , 0 , 0 , 0 , 9 , 5 , 7 , 40 2 6 4 , 30 2 4 3 3 2 1 5 4 3 2 1 5 3 4 2 3 1 3 2 1 2 3 2 1 1 3 2 1                          x x x y y y y y My x My x My x x x x My x x x My x x x

Zadatak 2

Gradska Vlada razmatra izgradnju nekih od rekreativnih

centara:plivački bazen, tenis centar, atletsko polje i gimnastičku salu. Vlada je planirala sredstva od $1,200,000 za izgradnju i 12 ari

zemljišta. Bazen i tenisko igralište zahtijevaju istu lokaciju tako da samo jedno može biti napravljeno. Koje projekte Vlada trerba da izabere tako da bude što veći broj građana koji koriste rekreativne centre. Broj korisnika (po danu) Trosak ($000) Povrsina (ari) Bazen 300 350 4 Tenis centar 90 100 2 Atletsko polje 400 250 7

4 3 2 1

90

400

150

300

x

x

x

x

Z









Maksimum

varijable

binarne

,

0

,

,

,

,

1

,

12

3

7

2

4

,

1200

900

250

100

350

4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Zadatak 2 (nastavak)

Rješenje

s.t.

Neka grad ima 8 vatrogasnih stanica koje opsluzuju 22 gradska distrikta. Na slici je dat polozaj vatrogasnih stanica i distrikta. Analizom podataka iz proslosti o vremenu potrebnim da vatrogasci dodju na mjesto pozara na slici su za unaprijed propisano vrijeme dolaska vatrogasaca sa crtkanim linijom oznacene stanice koje mogu opsluzivati odredjene distrikte. Nedostatak ctkane linije izmedju stanice i distrikta znaci da se iz stanice ne moze stici u distrikt za unaprijed propisano vrijeme.

Zadatak 3

Slika 1 Raspored gradskih distrikta i vatrogasnih stanica

Zadatak 3 (nastavak)

Gradski odbor razmatra da li se neke od vatrogasnih stanica mogu zatvoriti, i ako mogu koje su to stanice. Problem se svodi na to da se nadje najmanji broj stanica dovoljnih za sigurnost grada, to jest da najmanje jedna stanice pokriva svaki distrikt.

Rješenje:

Problem se moze formulisati kao 0-1 problem. Neka su x_j 0-1 varijable definisane za svaku od vatrogasnih stanica, tako da x_j = 1 ako stanica ostaje u funkciji, odnosno x_j = 0 ako stanicu treba zatvoriti. Funkcija cilja je minimizirati broj vatrogasnih stanica, to jest

min .

Ogranicenja slijede iz uslova da najmanje jedna od stanica pokriva odredjeni distrikt. Na

8 7 6 5 4 3 2 1

x

x

x

x

x

x

x

x

z

















Zadatak 3 (nastavak)

1

2 1



x



x

ili ista vrsta ogranicenja za distrikt 8 bi bila

1

4 2

1



x



x



x

Za vježbu: (a) Dovrsiti sva ogranicenja i rijesiti problem.

(b) Iz razloga sto su pozari cesti u pojedinim distriktima moze biti

zahtijevano da vise stanica bude na raspolaganju pojedinim distriktima. Kako rijesiti taj problem?

Međusobno ovisne varijable

(Interdependent variables)

U nekim problemima može postojati međusobna ovisnost varijabli. Na primjer, problem gradnje, gdje se zahtijeva da projekat gradnje drugog sprata, zahtijeva da mu prethodi projekat gradnje prvog sprata.

Primjer Neka su varijable 0-1 varijable koje predstavljaju prihvatanje ili

odbijanje projekta j. Ako projekat 3 ne može biti prihvaćen ako nije prihvaćen projekat 2, problem može biti riješen dodajući sljedeća ograničenja:

Ako projekti 2 i 3 moraju biti prihvaćeni zajedno u protivnom ne prihvaća se ni jedan, uslov može biti ispunjen sljedećim ograničenjem:

.

0

ili

_{3 2} 2 3



x

x



x



x

0

ili







x

x

x

x

41

Funkcije sa N mogućih vrijednosti

Neka funkcija može imati jednu od N vrijednsti:

Specijalan slučaj funkcije može biti na primjer

ili

tako da varijabla mora imati jednu od N zadatih vrijednosti. Ekvivalentna formulacija problema cjelobrojnog programiranja imala bi sljedeći oblik:



x

x

x

_n



d

d

d

_N

f

₁

,

₂

,...,



₁

ili

₂

,...

ili





_





n j j j n

a

x

x

x

x

f

1 2 1

,

,...,

f



x

1

,

x

2

,...,

x

n





x

j





_





N i i i n

d

y

x

x

x

f

1 2 1

,

,...,

,

1

1







N i i

y

y

_i

binarna

varijabla

za

i



1

,

2

,..,

N

Funkcije sa N mogućih vrijednosti

Primjer

U pogonu se proizvode dva proizvoda. Prvi proizvod treba 3 sata za proizvodnju a drugi 2 sata. Menadžment želi da prozvodi proizod 1 i 2 u takvim količinama da se za proizvodnju troši 6 sati ili 12 sati ili 18 sati iz administrativnih razloga.

Ovaj zahtijev može biti formulisan pomoću sljedećih ograničenja:

3 2 1 2 1

2

6

12

18

3

x



x



y



y



y

1

3 2 1



y



y



y

varijable

binarne

su

,

,

y

y

y

Problem fiksnih troškova

(The Fixed-Charge Problem)

Česte su situacije kada u funkciju cilja treba uključiti fiksne troškove koji su vezani za određenu aktivnost. Kao primjer može poslužiti aktivnost prelaska proizvodnje sa jednog na drugi proizvod na istoj mašini (potreba čišćenja mašine sa prelaska na proizvodnju druge vrste čokolade, troškovi zamjene noževa za rezanja, itd.). U ovakvim slučajevima ukupni troškovi vezani za određenu aktivnost su jednaki zbiru fiksnih troškova (da bi pokrenuli aktivnost) i varijabilnih troškova vezanih za nivo aktivnosti (na primjer, utrošak materijala po jedinici proizvoda puta broj proizvoda). Varijabilni troškovi su često proporcionalni nivou aktivnosti (na primjer, broju proizvoda). U ovom slučaju, ukupni troškovi, na primjer, aktivnosti j mogu biti predstavljeni sljedećom funkcijom:























,

0

je

ako

0

,

0

je

ako

)

(

j j j j j j j

x

x

x

c

k

x

f



Neka je riječ o problemu u kojem postoji nekoliko konkurentnih aktivnosti, sa k_j>= 0 za svaku aktivnost ili sa k_j>= 0 samo za neke aktivnosti, i da je potrebno ostvariti minimum funkcije

uz data ograničenja.

Problem se može rješiti uvođenjem pomoćnih binarnih (0-1) varijabli tako da funkcija cilja ima sljedeći oblik:

gdje vrijedi

Problem fiksnih troškova

(The Fixed-Charge Problem)

) ( .... ) ( ) ( _{1 2 2} 1 x f x fn xn f Z     Minimum



   n j j j j jx k y c Z 1 ), (    1 ako je x  0,

Da bi model bio kompletan potrebno je još matematski opisan prethodni zahtijev pretvoriti u opis prikladan za linearno programiranje. Ako se uzme jako veliki broj

M koji je veći od bilo koje maksimalno moguće vrijednosti varijable x_j onda će sljedeća ograničenja:

osigurati da bude y_j = 1 kad je x_j > 0. Međutim, kada je x_j = 0 prethodno ograničenje će biti zadovoljeno za obadvije moguće vrijednosti (nula ili jedan) . Da bi ispravno modelirali postavljeni problem potrebno je da y_j bude jednako nuli kad je x_j jednako nuli. Na sreću, ovaj problem se rješava sam po sebi zahvaljujući osobini funkcije cilja. Naime, kada je x_j = 0 prethodno ograničenje dozvoljava izbor između y_j = 0 i y_j = 1 , ali kako se traži minimum funkcije Z algoritma za rješavanje problema linearnog programiranja će uvijek izabrati y_j = 0 kada je x_j = 0 kako bi minimizirao funkciju cilja Z.

Problem fiksnih troškova

(The Fixed-Charge Problem)

n

j

My

Dakle, mješoviti problem cjelobrojnog programiranja sa fiksnim troškovima će imati sljedeću formulaciju:

koja je predmet originalnih ograničenja, plus sljedećih ograničenja

i y_j je binarna varijabla za j = 1,2,...,n

Problem fiksnih troškova

(The Fixed-Charge Problem)









n j j j j j

x

k

y

c

Z

1

),

(

j

Minimizira

0





_j j

My

x

MAX 1.2 F1 - 60 y1 + 1.8 F2 - 200 y2 + 2.2 F3 - 100 y3 SUBJECT TO 3 F1 + 4 F2 + 8 F3 <= 2000 3 F1 + 5 F2 + 6 F3 <= 2000 2 F1 + 3 F2 + 9 F3 <= 2000 F1 <= 300 F2 <= 200 F3 <= 50 F1 - 1000 y1 <= 0 F2 - 1000 y2 <= 0 F3 - 1000 y3 <= 0 END

GINT F1 GINT F2 GINT F3

INT y1 Bolje je: F1 - 300 y1 <= 0 F2 - 200 y2 <= 0 F3 - 50 y3 <= 0

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 460.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 60.000000 Y2 1.000000 200.000000 Y3 0.000000 -2100.000000 F1 300.000000 0.000000 F2 200.000000 0.000000 F3 0.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 300.000000 0.000000 3) 100.000000 0.000000 4) 800.000000 0.000000 5) 0.000000 1.200000 6) 0.000000 1.800000 7) 50.000000 0.000000 8) 700.000000 0.000000 9) 800.000000 0.000000 10) 0.000000 2.200000

Vođa kampanje predsjedničkog kandidata planira na kraju kampanju u 5 gradova za koje vjeruje da su odlučujući za pobjedu. Predsjednički kandidat treba da krene iz Wašingtona i da posjeti svaki od pet gradova i da se vrati u Wašington. Zbog malog preostalog budžeta za kampanju ili pritiska novinara koji ispituju da li se na efikasan način troše sredstva fonda za kampanju kandidatat vodja kampanje želi da minimizira troškove puta kandidata i njegovog tima. Umjesto ovog cilja može se postaviti i drugi, na primjer, da se minimizira trajanje puta kako bi se dobilo na vremenu.

Problem se može riješiti kao 0-1 problem. Za svaku moguću relacija između gradova uvodi se po jedna varijabla x_ij koja je jednaka 1 ako se putuje iz grada i u pravcu grada

j, odnosno 0 ako otpada relacija. Neka su sa c_ij definisani troškovi puta od grada i do grada j. Ovakav pristup vodi do opšteg oblika funkcije cilja

Primjer (nastavak)

gdje je n ukupan broj gradova ukljucujuci i polazni grad, to jest u nasem primjeru n = 5. Varijabla x_ij za i = j nema smisla pa se moze iskljuciti iz funkcije cilja, ili se uz ovu varijablu mogu propisati jako veliki troskovi puta c_ij tako da varijabla x_ij nece nikad imati vrijednost 1.

Za dati problem mogu se postaviti tri grupe ogranicenja. Prva grupa ograničenja treba da bude da se svaki grad posjeti samo jedanput:

(2)

Na primjer, ogranicenje za grad broj 3 u nasem primjeru je

iz kojeg slijedi da je potrebno i dovoljno da samo jedna od varijabli bude 1, sto znaci da se samo iz jednog grada stize u grad broj 3.



    n j i i ij za j n x 1 . ,... 2 , 1 1

1

53 43 23 13



x



x



x



x

Druga grupa ograničenja treba da obezbjedi da je moguć odlazak iz jednog grada samo u jedan drugi grad:

(3)

Jedno od ovih ograničenja je, na primjer, ograničenje

znaci da je iz grada broj 2 moguce otici samo jedanput, to jest u pravcu samo jednog od preostalih gradova.

U ovakvoj postavki problema moguca su rjesenja koja zadovoljavaju ogranicenja (2) i (3) a koja ne ispunjavaju cilj putovanja. To su rjesenja takozvanih mali turneja od kojih



 





n i j j ij

za

i

n

x

1

.

,...

2

,

1

1

1

25 24 23 21



x



x



x



x

Primjer (nastavak)

Primjer (nastavak)

1 3 5 2 4

Slika 1. Male turneje od dva odnosno tri grada

Dakle, rjesenja data na slici 1 su matematski korektna ali ne zadovoljavaju postavljeni zadatak. Da bi eliminisali turneju od dva grada, moguce je uvesti ogranicenje da ako postoji putovanje iz grada i prema gradu j ne moze postojati putovanje iz grada j u grad i. Na primjer, ogranicenje

Primjer (nastavak)

Na slican nacin mogu se sprijeciti rjesenja malih turneja od tri grada, na primjer,

Moze se pokazati da je u turneji od pet gradova dovoljno sprijeciti male turneje od dva grada pa da sve ostale male turneje bude sprijecene u rjesenju. U turneji od sest gradova potrebno je eliminisati male turneje od dva grada i male turneje od tri grada. U turneji od sedam gradova potrebno je eliminisati male turneje od dva grada i male turneje od tri grada. U turneji od osam gradova potrebno je eliminisati sve male turneje od dva grada i male turneje od tri grada i male turneje od cetiri grada.

Primjena analiziranog problema nije vezana samo za primjer politicke kampanje ili trgovackog putnika, vec i za transportne probleme ili planiranje proizvodnje. Na primjer,

.

2

2

42 54 25 52 45 24













x

x

x

x

x

x

Postavka modela: min 20 x12 + 25 x13 + 32 x14 + 22 x15 + 18 x21 + 22 x23 + 16 x24 + 18 x25 + 27 x31 + 20 x32 + 30 x34 + 12 x35 + 28 x41 + 14 x42 + 30 x43 + 14 x45 + 18 x51 + 22 x52 + 10 x53 + 18 x54 subject to x21 + x31 + x41 + x51 = 1 x12 + x32 + x42 + x52 = 1 x13 + x23 + x43 + x53 = 1 x14 + x24 + x34 + x54 = 1 x15 + x25 + x35 + x45 = 1 x12 + x13 + x14 + x15 = 1 x21 + x23 + x24 + x25 = 1 x31 + x32 + x34 + x35 = 1 x41 + x42 + x43 + x45 = 1 x51 + x52 + x53 + x54 = 1 Sprijeciti male turneje od dva grada

x12 + x21 <= 1 x13 + x31 <= 1 x14 + x41 <= 1 x15 + x51 <= 1 x23 + x32 <= 1 x24 + x42 <= 1 x25 + x52 <= 1 x34 + x43 <= 1 x35 + x53 <= 1 x45 + x54 <= 1 end Vidjeti fajl: Zadatak_5

1) 87.00000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X12 0.000000 20.000000 X13 1.000000 25.000000 X14 0.000000 32.000000 X15 0.000000 22.000000 X21 1.000000 18.000000 X23 0.000000 22.000000 X24 0.000000 16.000000 X25 0.000000 18.000000 X31 0.000000 27.000000 X32 0.000000 20.000000 X34 0.000000 30.000000 X35 1.000000 12.000000 X41 0.000000 28.000000 X42 1.000000 14.000000 X43 0.000000 30.000000 X45 0.000000 14.000000 X51 0.000000 18.000000 X52 0.000000 22.000000 X53 0.000000 10.000000

Zadatak 6

Potrebno je odlučiti kako rasporediti 7 pjesama na album tako da bude maksimalan broj pjesama na B strani. Pjesme na strani B ne smiju trajati duže od polovine

vremena svih pjesama. Vremena pjesama su

pjesma 1 2 3 4 5 6 7 vrijeme 2 5 2 2 7 2 2

Zadatak 7

Internacionalni Crveni Krst se priprema za slanje neophodnih namirnica u malu zemlju centralne Amerike koja se suočila sa velikom štetom prouzrokovanom zemljotresom. Nadležni u Crvenom Krstu su primili izvještaje o veličini štete i potrebama i oni žele da osiguraju da ce prtljag u avionu obezbjediti maksimalnu hitnu korist.

Glavna ograničenja su težina i volumen prtljaga u avionu. Avion koji ce biti korišten ima kapacitet od 30 000 kilograma i 6000 m³ zapremine. U tabeli 8-5 je data lista namirnica za hitnu pomoc koje se uvrštavaju u pošiljku, težina i zapremina kontejnera za svaku namirnicu, prosječan broj ljudi čije će potrebe biti zadovoljene po kontejneru i relativna vrjednost koja je pripisana svakoj namirnici za ovu vrstu katastrofe. Iako je kriterij koji treba da se koristi pri selekciji namirnica za prevoz teško odrediti, Crveni Krst koristi indeks koristi koji se računa množenjem broja ljudi po kontejneru sa relativnom vrijednosti pripisanom svakoj namirnici. Indeks koristi je prikazan u zadnjoj koloni u tabeli.

Zadatak 7 (nastavak)

Broj namirn ice Namir nica Težina po kontejn eru Zapre mina po kontejn eru Broj osoba po kontejn eru Relativ na vrijedn ost Index koristi 1 _{Krv 100 20 150 5 750} 2 Lijeko vi 200 30 2500 3 7500 3 Med.na m. 150 50 100 1 100 4 Hrana 50 8 100 2 200 5 Voda _{75 6 150 4 600}

Vidi se da korištenje gore navedenog kriterija vodi ka isključenju namirnica visokog prioriteta. Druga ograničenja moraju biti definisana kako bi se osiguralo da namirnice visokog prioriteta budu poslane u odgovarajućoj količini. Npr. Najmanje 40 kontejnera krvi, 10 kontejnera lijekova, i 100 kontejnera vode mora biti poslano u prvom avionu. Izabrati sadržaj namirnica tako da indeks koristi bude maksimalna vodeći računa o ograničenjima.

Mladi bračni par Eva i Adam žele da podijele kućne poslove. Svako je spreman da radi dva posla. Potrebno je da izaberu po dva posla kako bi minimizirali njihovo vrijeme koje troše na kućne poslove.

Kupovina

Kuhanje

Sudje

Ves

Eve

4.5

7.8

3.6

2.9

Adam

4.9

7.2

4.3

3.1

Zadatak 10

Statistički je poznata zavisnost uspjeha na ispitu od

broja sati učenja za 4 predmeta, izraženo u

razredima od po 10 sati:

Broj sati učenja Ocjena iz A Ocjena iz B Ocjena iz C Ocjena iz D 0 2 1 1 2 10 3 1 2 3 20 4 2 3 3 30 5 2 4 3 40 5 3 4 3 50 5 3 4 3 60 5 4 5 4 70 5 5 5 5