A neural network model for nonlinear complementarity problems

(1)

H

Revista Integración

Es ueladeMatemáti as

UniversidadIndustrialdeSantander

Vol. 34,No. 2,2016,pág. 169185

Un modelo de redes neuronales para

omplementariedad no lineal

Favián Arenas

∗

, Rosana Pérez, Hevert Vivas

UniversidaddelCau a,DepartamentodeMatemáti as,Popayán,Colombia.

Resumen. En este artí ulo presentamos un modelo de red neuronal para

resolverelproblemade omplementariedadnolineal.Paraello,reformulamos

esteproblema omounodeminimiza iónsinrestri ionesusandounafamilia

uniparamétri adefun ionesde omplementariedad.Demostramosresultados

de existen ia y onvergen ia de latraye toria de la red neuronal,así omo

resultados de estabilidad en el sentido de Lyapunov, estabilidad asintóti a

y exponen ial. Además, presentamos resultadosnuméri os preliminaresque

ilustranunbuendesempeñoprá ti odelmodelo.

Palabras lave: Red neuronal, problema de omplementariedad no lineal,

estabilidad,reformula ión.

MSC2010:90C30,90C33,90C53,90B10.

A neural network model for nonlinear

omplementarity problems

Abstra t. In this paper wepresenta neuralnetwork model for solvingthe

nonlinear omplementarityproblem. Thismodelisderivedfromanequivalent

un onstrainedminimization reformulationof the omplementarity problem,

whi h isbasedonaone-parametri lassofnonlinear omplementarity

fun -tions. We establish the existen e and onvergen e of the traje tory of the

neuralnetwork,andwestudyitsLyapunovstability, asymptoti stabilityas

well asexponentialstability. Numeri altests verifythe obtainedtheoreti al

results.

Keywords: Neural network, nonlinear omplementarity problem, stability,

reformulation.

0

∗

E-mail:farenasuni au a.edu. o

Re ibido:22dejuniode2016, A eptado:21denoviembrede2016.

Para itaresteartí ulo:F.Arenas,R.Pérez,H.Vivas,Unmodeloderedesneuronalespara omplementa-riedadnolineal,Rev.Integr.TemasMat.34(2016),No.2,169185.

(2)

1. Introdu ión

Dada

F : R

n

→ R

n

ontinuamentediferen iable,elProblemadeComplementariedadNo

Lineal(PCNL) onsisteenen ontrarunve tor x

∈ R

n

quesatisfagalastres ondi iones

siguientes,

x

≥ 0, F (

x

)

≥ 0,

x

T

_{F (}

x

) = 0,

donde laexpresión y

≥ 0,

uando y

∈ R

n

_,

signi aque

y

i

≥ 0

paratodo

i = 1, . . . , n.

Este problemasurge naturalmente en ingeniería, físi ay e onomía,entre otros ampos

([12℄,[16℄,[24℄), por lo ualha habido gran interésen el estudioy rea ión de métodos

que permitan resolverlo. Entre di hos métodosestán, poruna parte, los de homotopía

derivadosdelosdepuntojo([11℄,[26℄).Porotraparte,estánlosmétodos(quizá,losmás

populares)de reformula iónqueplanteanelPCNL omounproblemademinimiza ión

sinrestri ionesusandounafun ióndemérito([9℄,[10℄,[15℄).Esteproblemapuede

resol-verse usandodiferentes métodos deoptimiza ión, omo losde tipoNewton ([9℄,[15℄) o

uasi-Newton([1℄,[3℄).Enlosdereformula iónseutilizaunafun ión

ϕ : R

2 → R

talque

ϕ(a, b) = 0

_{⇐⇒ a ≥ 0, b ≥ 0, ab = 0,}

ono ida omofun ión de omplementariedad ([7℄,[13℄,[15℄,[22℄).

No obstante,en algunasapli a ionesse ne esitansolu iones delPCNL entiemporeal,

para lo uallasté ni asestándaresde optimiza iónno sonmuy apropiadasporel alto

osto omputa ionalquedemandan.Eneste aso,unaté ni aútil onsisteenusarredes

neuronales arti iales([6℄,[14℄,[17℄) omo, por ejemplo, las llamadasredes deHopeld

para resolverel problema de optimiza ión men ionado en el párrafo anterior. La idea

prin ipal deestaté ni a onsisteen onstruir unafun iónnonegativa,llamadafun ión

de energía,y unsistema dinámi oquerepresentelaredneuronalarti ial, que

normal-menteseplanteaenformadeunae ua ióndiferen ialordinariadeprimerorden onuna

ondi iónini ial. Seesperaquelatraye toriasolu ióndelsistema seaproxime,apartir

de un estado ini ial, aun estadoestáti o (o punto de equilibrio) que orrespondea la

solu ióndelproblemadeoptimiza iónsubya ente([14℄).

En parti ular, en [6℄ y [17℄ se presentan dos propuestas que in orporan la té ni a de

solu iónalPCNLmedianteredes neuronalesarti iales.Paraello,seusan,porunlado,

fun iones de omplementariedad para onstruirlafun iónaminimizar,queeslafun ión

energía del modelo, y, por otro lado el método de máximo des enso ([10℄,[19℄) para

modelarlaredneuronal(unamétodonaturalenunproblemademinimiza ión).En[17℄

seusalafun iónde omplementariedaddeFis her-Burmeinster ([15℄)denida por

ϕ(a, b) =

_{k(a, b)k}

2 − a − b,

y, en [6℄, seusala fun iónde omplementariedad de Fis her-Burmeinster generalizada

([7℄) denidapor

ϕ

p

(a, b) =

k(a, b)k

p

− a − b,

p > 1.

En ambostrabajosseanalizateóri aynuméri amenteelmodelopropuesto.

Motivadosporlosresultadosdelostrabajosanteriores,yenespe ialporlaspropiedades

delafamiliauniparamétri ade fun iones de omplementariedad ([2℄,[15℄)denidapor

ϕ

λ

(a, b) =

q

(3)

proponemosunmodeloderedneuronaldeHopeldqueusa,porprimeravez,lafamilia

uniparamétri a (1) para onstruir lafun iónde energíadel modelo.Tal omo loha en

los autores de [6℄ y [17℄, usamos el método de máximo des enso para modelar la red

neuronal. Cabemen ionarquenuestro modeloesmásgeneralqueelpropuesto en[17℄,

yaquelafun iónqueallíseusaeselmiembrodelafamilia(1) orrespondientea

λ = 2.

Además, uando

λ

tiendea ero,

ϕ

λ

(a, b)

tiendeaunmúltiplodeunadelasfun iones de omplementariedad más utilizadas en el ontextode problemasde

omplementarie-dad no lineal mediante reformula ión, la llamada fun ión mínimo ([22℄), denida por

ϕ(a, b) = m´ın

_{{a, b}.}

Algoritmos queusan esta fun iónhan reportadobuenas propieda-des de onvergen ia lo al ([20℄,[21℄,[22℄), mientrasque aquellos queusan lafun ión de

Fis her-Burmeinstertienen buenaspropiedadesde onvergen iaglobal ([3℄,[15℄).

Apro-ve hamosestasventajasin orporarandounparámetro

λ

dinámi o([15℄)enelalgoritmo delmodeloqueproponemos,lo ualresultamáse ientequeusarunparámetrojo,

o-moseeviden iaenlosresultadosnuméri osquepresentamosalnaldelartí ulo,donde

omparamoslasimula iónnuméri adenuestro modelo onla delmodelopropuesto en

[17℄.

Las fun iones de omplementariedad men ionadas son fun iones no diferen iables.Por

ello, para elanálisisde estabilidady onvergen iade latraye toriaun modeloque use

di hasfun iones debea udirse ateoríade fun ionesnodiferen iables. Enparti ular, la

reformula ióndelPCNLbasadaenlafamilia(1)poseepropiedades([1℄,[15℄)análogasa

lasdelasreformula ionesutilizadasen[6℄y[17℄,loquefuedegranutilidadenelanálisis

deestabilidady onvergen iadelmodeloqueproponemosenelpresenteartí ulo.

Organizamos la presenta ión de este artí ulo en la siguiente forma. En la Se ión 2,

reformulamos el problema de omplementariedad omo un problema de minimiza ión

usando lafamilia de fun iones de omplementariedad propuesta en[15℄,y proponemos

un modelo de red neuronal arti ial para resolverlo. En la Se ión 3 presentamos, de

manerapreliminar,algunos on eptosne esariosparaeldesarrolloteóri oposterior.Enla

Se ión4realizamoselanálisisdeestabilidady onvergen iadelmodelo.EnlaSe ión5

analizamosel omportamientonuméri odelmodelopropuesto.Finalmente,enlaSe ión

6ha emosalgunos omentariosnalesypropuestasdetrabajosfuturossobreeltema.

2. Reformula ión del PCNL omo un problema de minimiza ión

Usando la familia de fun iones de omplementariedad (1) podemos denir la fun ión

Φ

λ

: R

n

→ R

n

yreformularelPCNL omounsistema dee ua ionesnolineales,el ual resulta nodiferen iabledebidoalanodiferen iabilidadde

ϕ

λ

:

Φ

λ

(

x

) =







ϕ

λ

(x

1 , F

1 (

x

))

. . .

ϕ

λ

(x

n

, F

n

(

x

))







= 0.

(2)

A partirdeladeni ióndefun ión de omplementaridad tenemos queunve tor x

∗

es solu ióndel PCNL si,ysolo si, x

∗

essolu ióndel sistemadee ua iones nolinealesno diferen iable(2).

(4)

de-nido enunpunto x

∈ R

n

omo el onjunto,

∂Φ

λ

(

x

) = conv

l´ım

k→∞

Φ

′

λ

(

x

k

)

∈ R

n×n

:

x

k

→

x

,

x

k

∈ D

Φ

_λ

,

(3) donde

D

Φ

λ

es el onjunto de todos los puntos de

R

n

en los que la fun ión

Φ

λ

es diferen iabley

conv

{A}

representalaenvolvente onvexadel onjunto

A.

Porotraparte,sidenimoslafun iónde mérito ([10℄)

E

λ

: R

n

→ R

n

omo

E

λ

(

x

) =

1

2 k Φ

λ

(

x

)

k

2 _,

(4)

tenemos que (2)es equivalente a

E

λ

(

x

∗

) = 0,

loqueasu vezes equivalente aque x

∗

es solu ión del PCNL. Por lo tanto, resolver el PCNL es equivalente a en ontrar un

minimizadorglobaldelproblemademinimiza ión sinrestri iones:

M inimizar E

λ

(

x

),

(5)

x

∈ R

n

_,

el ualesunproblemadeoptimiza ióndiferen iable.Enefe to,en[15℄sedemuestraque

lafun ión

E

λ

es ontinuamentediferen iableyque,para ualquier

V

∈ ∂Φ

λ

(

x

),

∇E

λ

(

x

) = V

T

_Φ

λ

(

x

).

(6)

Para resolverel problemade minimiza ión (5) y, dadoque

E

λ

es ontinuamente dife-ren iable, proponemosunmodeloderedneuronaldelaforma

d

x

(t)

dt

=

−ρ ∇E

λ

(

x

(t)),

x

(0) =

x

0 ,

(7)

donde

ρ > 0

esunfa tordees alaqueporsimpli idadenelanálisisteóri odelmodelo lotomaremos omo1.Estemodeloesanálogoalusadoen[6℄y[17℄,porqueusaelmétodo

de máximodes ensoparamodelarlaredneuronal;pero sediferen iaenquesu fun ión

deenergíaeslafamiliadefun ionesde omplementariedad(1),loquelo onvierteenun

modelomásgeneralqueelpropuestoen[17℄.

3. Preliminares

En esta se ión in luimos algunos on eptos que serán de utilidad para el desarrollo

teóri oposterior.Ini iamos ondosdeni ionesrela ionadas onlos on eptosdematriz

yfun ión

P

0

([6℄,[15℄,[17℄).

Deni ión3.1.Sedi equeunamatriz

M

∈ R

n×n

esunamatriz

P

0

sitodossusmenores prin ipalessonnonegativos.

Deni ión 3.2. Una fun ión

F : R

n

→ R

n

esuna fun ión

P

0 ,

si paratodo x

,

y

∈ R

n

on x

6=

y

,

sesatisfa eque

m´ax (x

i

− y

i

)[F

i

(

x

)

− F

i

(

y

)]

≥ 0, i = 1, . . . , n.

En loquesigue,presentamos on eptosrela ionados on estabilidadde e ua iones

dife-ren ialesordinariasdeprimerorden(ver[27℄).

Consideremos el siguiente sistema dinámi o([27℄), donde

f : R

n

→ R

n

esuna fun ión ontinua

d

x

(t)

dt

= f (

x

(t)),

x

(t

0 ) =

x

0 .

(8)

(5)

Deni ión 3.3. Un ve tor x

∗

=

x

(t

∗

)

∈ R

n

es llamado un punto de equilibrio o un

estado esta ionariode (8), si

f (

x

∗

) = 0.

Si existe una ven indad

Ω

∗

⊆ R

n

de x

∗

tal que

f (

x

∗

) = 0

y

f (

x

)

6= 0

paratodo x

∈ Ω

∗

\{

x

∗

},

enton es x

∗

esllamadounpunto deequilibrio aislado.

Sien(8),

f =

∇E

λ

,

obtenemoselmodeloderedneuronal(7)propuesto.Así,dea uerdo onlaDeni ión3.3,unpunto x

∈ R

n

esunpuntodeequilibriode(7)si

∇E

λ

(

x

) = 0.

Es de ir,unpunto deequilibrio de(7) esunpuntoesta ionariode

∇E

λ

.

Teorema 3.4 (Existen ia yuni idad). Para ualesquiera

t

0 ≥ 0

y x

0 ∈ R

n

existe una

solu ión lo al x

(t), t

∈ [t

0 , τ )

de (8) para algún

τ > t

0 .

Además, si

f

es lo almente ontinuasegún Lips hitz en x

0 ,

enton es la solu ión es úni a; si

f

es ontinua según Lips hitz en

R

n

_,

enton es

τ

puede extendersea

+

∞.

Si unasolu iónlo aldenida en

[t

0 , τ )

nosepuedeextenderaunasolu iónlo alenun intervalo más grande

[t

0 , τ

1 ),

on

τ

1 > τ,

enton es es llamadauna solu iónmaximal, yelintervalo

[t

0 , τ )

eselintervalo maximalde existen ia.Unasolu iónlo alarbitraria tieneunaextensiónaunamaximal.Elintervalomaximaldeexisten iaaso iado on x

0

fre uentementesedenotapor

[t

0 , τ (x

0 )).

Teorema 3.5. Si x

(t)

on

t

∈ [t

0 , τ (

x

0 ))

es una solu ión maximal y

τ (

x

0 ) < +

∞,

enton es

l´ım

t↑τ

(x

0 )

k

x

(t)

k = +∞.

(9)

En otraspalabras,si

τ (x

0 ) < +

∞,

la urva x

(t)

esinestable, omoloilustralaFigura 1.

x

0 x

0

Figura1.Situa ionesquepuedeno urrir uando

l´ım

t

↑τ(

x

)

k

x

(t)k = +∞.

Deni ión 3.6 (Estabilidad enelsentidode Lyapunov). Sea x

(t)

una solu iónde(8). Un punto de equilibrio aislado x

∗

es estable según Lyapunov si para ualquier x

0 =

x

(t

0 )

y ualquier es alar

ǫ > 0,

existe

δ > 0

tal que si

k

x

(t

0 )

−

x

∗

k < δ,

enton es

k

x

(t)

−

x

∗

k < ǫ,

para

t

≥ t

0 .

Deni ión 3.7 (Estabilidad asintóti a). Un punto de equilibrio aislado x

∗

es estable asintóti amentesi,ademásdeserestablesegúnLyapunov, umpleque x

(t)

→

x

∗

uando

t

→ ∞

si

k

x

(t

0 )

−

x

∗

k< δ.

Deni ión 3.8 (Fun ión de Lyapunov). Sea

Ω

⊆ R

n

unave indadabierta de x

.

Una fun ión ontinuamente diferen iable

ξ : R

n

(6)

estado x (sobreel onjunto

Ω

)para(8),sisatisfa elasdos ondi ionessiguientes:

ξ(

x

) = 0, ξ(

x

) > 0 ,

paratodox

∈ Ω,

x

6=

x

;

(10)

dξ(

x

(t))

dt

= [

∇

x

(t)

ξ(

x

(t))]

T

f (

x

(t))

≤ 0,

paratodox

∈ Ω.

Una fun ión de Lyapunov esllamadafre uentemente unafun ión de energía para (8).

El siguiente resultadorela ionaestabilidadyfun ióndeLyapunov.

Teorema 3.9. (i) Unpuntodeequilibrioaislado x

∗

esestablesegúnLyapunovsiexiste unafun ión de Lyapunovsobrealguna ve indad abierta de x

∗

.

(ii) Unpuntode equilibrioaislado x

∗

esestable asintóti amentesiexiste unafun ión de Lyapunovsobrealguna ve indad

Ω

de x

∗

quesatisfa e

dξ(

x

(t))

dt

< 0

paratodo x

(t)

∈ Ω,

x

(t)

6=

x

∗

.

Una no iónmásfuerte quelaestabilidadsegúnLyapunov eslallamadaestabilidad

ex-ponen ial.

Deni ión 3.10(Estabilidadexponen ial). Un puntodeequilibrioaislado x

∗

esestable exponen ialmente para (8) si existen onstantes

ω < 0, κ > 0

y

δ > 0

tales queuna solu iónarbitraria x

(t)

de(8) on

k

x

(t

0 )

−

x

∗

k < δ

estádenidaen

[0,

∞)

ysatisfa e

k

x

(t)

−

x

∗

k ≤ κ e

ωt

k

x

(t

0 )

−

x

∗

k, t ≥ t

0 .

Observemosque todo punto exponen ialmente establees, asu vez, asintóti amente

es-table.

4. Análisis de estabilidad

Analizamos a ontinua ión el omportamiento dela traye toria solu ión delmodelode

redneuronalpropuesto(7).Estudiamossuexisten iayuni idad.Además,paraunpunto

deequilibrioaisladoestable emostrestiposdeestabilidad.Enprimerlugar,analizamos

larela iónentre unpuntodeequilibriode(7)yunasolu ióndelPCNL.

Proposi ión4.1. (i) Toda solu ióndel PCNLes unpuntode equilibrio de (7).

(ii) Si Fes una fun ión

P

0

enton estodo punto de equilibrio de (7) es unasolu ión del problemaPCNL aso iado a

F.

Demostra ión. (i) Si x es una solu ióndel PCNL, enton es

Φ

λ

(

x

) = 0,

y por(6),

∇E

λ

(

x

) = 0.

Porlotanto, x esunpuntodeequilibriode(7).

(ii) Si x esunpunto deequilibriode(7),enton es

∇E

λ

(

x

) = 0,

yportanto,x esun puntoesta ionariode

E

λ

;

ydadoque

F

esunafun ión

P

0 ,

setienequesumatriz ja obiana

F

′

₍

x

)

esunamatriz

P

0 ,

lo ualgarantizaqueel punto esta ionario x esunasolu ióndePCNL[15℄.

(7)

El siguienteesunlematé ni oqueusaremosenlapruebadeexisten iayuni idaddela

traye toriasolu iónde(7).

Lema 4.2. Si

F

R

n

_,

enton es

Φ

λ

R

n

_.

Demostra ión. Usaremoslasequivalen iasentre lasnormaseu lidiana (

k · k

)einnito (

k · k

∞

)([25℄);ladeni ióndenormave torialinnitoyla ontinuidadsegúnLips hitz de

φ

λ

(ver[1℄).Sean x y y en

R

n

_.

Paraalgún

1 ≤ k ≤ n,

kΦ

λ

(

x

)

− Φ

λ

(

y

)

k

≤

√

n

kΦ

λ

(

x

)

− Φ

λ

(

y

)

k

∞

=

√

n

|ϕ

λ

(x

k

, F

k

(

x

))

− ϕ

λ

(y

k

, F

k

(

y

))

|

≤

√

n µ

_k(x

k

− y

k

, F

k

(

x

)

− F

k

(

y

))

k

∞

≤

√

n µ m´ax

_{|x

k

− y

k

| , |F

k

(

x

)

− F

k

(

y

)

|} .

Si

m´ax

{|x

k

− y

k

| , |F

k

(

x

)

− F

k

(

y

)

|} = |x

k

− y

k

| ,

kΦ

λ

(

x

)

− Φ

λ

(

y

)

k ≤

√

n µ

_|x

k

− y

k

| ≤

√

n µ

k

x

−

y

k

∞

≤

√

n µ

_k

x

−

y

k = γ

1 k

x

−

y

k .

Si

m´ax

{|x

k

− y

k

| , |F

k

(

x

)

− F

k

(

y

)

|} = |F

k

(

x

)

− F

k

(

y

)

| ,

kΦ

λ

(

x

)

− Φ

λ

(

y

)

k ≤

√

_{n µ}

|F

k

(

x

)

− F

k

(

y

)

| ≤

√

_{n µ}

kF (

x

)

− F (

y

)

k

∞

≤

√

n µ δ

_k

x

−

y

k

∞

≤

√

n µ δ

_k

x

−

y

k = γ

2 k

x

−

y

k ,

donde

δ

esla onstantedeLips hitz delafun ión

F,

onloquese on luyelaprueba.

X

El siguienteresultado garantizalaexisten iayuni idaddeunatraye toriasolu ióndel

modelopropuesto.

Teorema 4.3. (i) Para un estado ini ial arbitrario x

0

existe una solu ión maximal x

(t),

on

t

∈ [t

0 ; τ (x

0 )),

de (7).

(ii) Si

F

es ontinuasegúnLips hitz,enton eslasolu iónmaximalesúni ay

τ (

x

0 ) =

+

∞.

(iii) Si el onjunto de nivel aso iado a x

0 ,

L(

x

0 ) =

{

x

∈ R

n

_{: E}

λ

(

x

)

≤ E

λ

(

x

0 )

}

es a otado,enton es

τ (

x

0 ) = +

∞.

Demostra ión. (i) Sea x

0 ∈ R

n

unestadoini ial arbitrario. Dadoque

E

λ

es onti-nuamentediferen iable, setieneque

∇E

λ

esunafun ión ontinua.Luego,porel Teorema3.4,existeunasolu iónmaximalde(7).

(ii) Supongamos que

F

es ontinua segúnLips hitz en

R

n

_.

Enton es porLema 4.2

tenemosque

Φ

λ

es ontinuasegúnLips hitzen

R

n

_.

Usandoesteresultadoy(6);

tenemosquepara x y y en

R

n

y

k · k

unanormaindu idasobre

R

n

_,

k∇E

λ

(

x

)

− ∇E

λ

(

y

)

k =

V

T

Φ

λ

(

x

)

− V

T

Φ

λ

(

y

)

≤ kV k kΦ

λ

(

x

)

− Φ

λ

(

y

)

k

≤ γ kV k k

x

−

y

k = η k

x

−

y

k ,

donde

γ

esla onstantede Lips hitzpara

Φ

λ

(

γ = γ

1

ó

γ = γ

2

),y

η = γ

kV k.

Por lo tanto,

E

λ

también es ontinua según Lips hitz en

R

n

_.

Por Teorema3.4

(8)

(ii) Supongamosahoraqueel onjunto

L(

x

0 )

esa otadoy

τ (

x

0 ) < +

∞.

PorelT eo-rema3.5 tenemosque

l´ım

t↑τ

(

x

)

k

x

(t)

k = +∞,

lo ualimpli aquelatraye toria x

(t)

no onvergeaningúnpuntodea umula ión.Dadoque

L(

x

0 )

esa otado,podemos denir

τ

0

delasiguienteforma(Figura2):

τ

0 = ´ınf

{s ≥ 0 | s < τ(

x

0 ),

x

(s)

∈ R

n

− L(

x

0 )

} < +∞;

por hipótesis,

L(

x

0 )

es a otado, y por la ontinuidad de

E

λ

es un onjunto

x

0 E

λ

(

x

) =

x

0

x

(τ

0 )

x

(s)

s

t

0

• τ

•

0 τ (

x

0 )

•

Figura2.Traye toriadelasolu ión x

(t)

uandosesuponeque

τ

(

x

0 ) < +∞.

errado;enton es x

(τ

0 )

∈ L(

x

0 ).

Además,

τ

0 < τ (

x

0 ).

Porlotanto,para algunos

s

enelintervalo

(τ

0 , τ (

x

0 )),

sesatisfa eque

E

λ

(

x

(s)) > E

λ

(

x

(τ

0 )).

(11) Sinembargo,

dE

λ

(

x

(t))

dt

=

∇E

λ

(

x

(t))

T

d

x

dt

=

−ρ k∇E

λ

(

x

(t))

k

2 ≤ 0,

lo ual signi- aque

∇E

λ

esno re iente en

[τ

0 , τ (

x

0 ))

, loque ontradi e(11).Porlotanto,

τ (

x

0 ) = +

∞.

X

El siguiente resultadoestable ela onvergen iadelatraye toriasolu ión.

Corolario4.4. Sea x

(t),

on

t

∈ [t

0 ; τ (

x

0 )),

unasolu iónmaximal de (7).

(i) Si

τ (

x

0 ) = +

∞

y

{

x

(t)

}

esa otada,enton es

l´ım

t→+∞

∇E

λ

(

x

(t)) = 0.

(12)

(ii) Si

F

esunafun ión

P

0 ,

enton es

L(

x

0 )

esa otado ytodopuntode a umula ión de latraye toria x

(t)

essolu ión delPCNL.

(9)

Demostra ión. (i) Demostramosanteriormenteque

dE

λ

(

x

(t))

dt

≤ 0,

loqueimpli a que

E

λ

(

x

(t))

esde re iente yesa otada inferiormente,yaque

E

λ

(

x

(t))

≥ 0.

Luego, existe un punto de a umula ión x

∗

,

en el ual

E

λ

al anza unínmo; más aún, estepunto esunminimizadorde

E

λ

,

lo ualimpli a que

∇E

λ

(

x

∗

) = 0.

Además, dadoque

τ (

x

0 ) = +

∞,

podemospasarallímite;enefe to,

0 =

_∇E

λ

(

x

∗

) =

∇E

λ

l´ım

t→+∞

x

(t)

= l´ım

t→+∞

∇E

λ

(

x

(t)).

Lahipótesisdeque

{

x

(t)

}

estéa otadagarantizaqueelsistemadinámi o(7)tiene solu ión.En [18℄semuestraunejemplo enelquela on lusión del orolarionose

tiene,si

{

x

(t)

}

noesa otada.

(ii) Supongamos que

F

es una fun ión

P

0 ;

enton es

L(

x

0 )

es a otado ([15℄) y por tanto

{

x

(t)

}

también es a otada. Luego si x

∗

es unpunto de a umula ión,

∇E

λ

(

x

∗

) = 0,

lo ualimpli a que x

∗

esun minimizadorde

E

λ

yque

F

esuna fun ión

P

0 ;

x

∗

tambiénessolu ióndelNCPL([15℄).

X

En loquesigue, onsideramosunasolu ión x

∗

delPCNL,la ualporlaProposi ión4.1 estambiénunpuntodeequilibriode(7),ysupondremosque x

∗

esunpuntodeequilibrio aislado de(7).

Teorema 4.5. Si x

∗

es unpuntode equilibrio aisladode (7), x

∗

es estable asintóti a-mente para (7).

Demostra ión. Sean

Ω

∗

⊆ R

n

unave indadabiertadelpuntode equilibrioaislado x

∗

y

E

λ

lafun ióndenidaen(4),la uales ontinuamentediferen iableynonegativapara todo x

∈ R

n

_.

Debidoaque x

∗

esunasolu ióndelPCNL,

E

λ

(

x

∗

) = 0.

(13)

Supongamosqueexisteun x

∈ Ω

∗

on x

6=

x

∗

talque

E

λ

(

x

) = 0.

Por(6)tenemosque

∇E

λ

(

x

) = V

T

_Φ

λ

(

x

) = 0,

paratoda

V

∈ ∂Φ

λ

(

x

),

loqueimpli a que x esunpunto de equilibriode(7), ontradi iendolahipótesisdeque x

∗

esunpuntodeequilibrioaislado de(7). Luego

E

λ

(

x

) > 0,

paratodox

∈ Ω

∗

,

x

6=

x

∗

.

(14)

Porotrapartetenemosque

dE

λ

(

x

(t))

dt

=

∇

x

(t)

E

λ

(

x

(t))

T

dx

dt

=

−

∇

x

(t)

E

λ

(

x

(t))

2 ≤ 0.

(15)

Así, de(13),(14),(15)ydelaDeni ión3tenemosque

E

λ

esunafun ión deLiapunov para (7)sobre

Ω

∗

.

Dadoque x

∗

esunpuntodeequilibrioaisladodelmodelo(7),de(15) on luimosque

dE

λ

(

x

(t))

dt

< 0,

paratodo x

(t)

∈ Ω

∗

,

x

(t)

6=

x

∗

.

Porlotanto, elTeorema3.9garantizaque x

∗

esestableasintóti amentepara (7).

X

(10)

Diremos que una solu ión x

∗

de PCNL se llama regular, si todas las matri es del

∂Φ

λ

(

x

∗

)

sonnosingulares([22℄).Confre uen ialaregularidad ondu ea onvergen ia superlinealdealgunosmétodosdeoptimiza ión.

Unaspe tointeresantedelsiguienteteoremaeslarela ióndel on eptoderegularidad de

unasolu ióndelPCNL oneldeestabilidadexponen ial.Lademostra ióndelteoremaes

análoga aladel Teorema4.6en [17℄para lafun iónde omplementariedadde

Fis her-Burmeister (que orrespondea

ϕ

λ

on

λ = 2

).

Teorema 4.6. Si x

∗

es una solu ión regular del PCNL, enton es x

∗

es estable expo-nen ialmente para (7).

Demostra ión. Dado que x

∗

esuna solu iónregular del PCNL,existen ([23℄) una ve- indad

B(

x

∗

; δ) =

{

x

∈ R

n

_:

k

x

−

x

∗

k < δ}

de x

∗

yuna onstante

C

tal esque, para todo x endi have indady ualquier

V

∈ ∂Φ

λ

(

x

),

lamatriz

V

esnosingulary

m´ax

_{{kV k, kV}

−1

_{k} ≤ C.}

(16)

Sea

δ > 0

su ientemente pequeño tal que, para ualquier x

(t

0 )

∈ B(

x

∗

; δ),

se tiene que x

(t)

→

x

∗

siempre que

t

→ ∞,

yde modoqueelresultadodel párrafoanteriorse satisfaga.Portanto,existen

κ

1

y

κ

2

talesqueparatodo x

∈ B(

x

∗

; δ),

κ

1 k

v

k

2 ≤

v

T

_V

T

_V

v

≤ κ

2 k

v

k

2 _.

(17)

Porotraparte,si x

∗

esunasolu iónregulardelPCNL,enton esesunasolu iónaislada de

Φ

λ

(

x

) = 0

([22℄,[23℄).Luego,de(9), x

∗

esunpuntodeequilibrioaisladode(7),lo ualporelTeorema4.5impli aque x

∗

esestableasintóti amente.

Dadoquelafun ión

Φ

λ

essemisuave([15℄),setiene queparatodo

V

∈ ∂Φ

λ

(

x

)

Φ

λ

(

x

) = Φ

λ

(

x

∗

) + V (

x

−

x

∗

) + o(

k

x

−

x

∗

k).

(18)

Observemosque,

o(

k

x

−

x

∗

k) = H(

x

),

donde

H

esun ampove torialsobre

R

n

_.

Esto signi aque

l´ım

x

→

x

∗

kH(

x

)

k

x

−

x

∗

k

= 0,

lo ualimpli aque,paratodo

ǫ > 0,

existe

¯

δ > 0

talque

kH(

x

)

k

x

−

x

∗

k

≤ ǫ,

paratodo x

∈ B(

x

∗

; ¯

δ).

Equivalentemente,

o(

_k

x

−

x

∗

k) ≤ ǫ k

x

−

x

∗

k

paratodo x

∈ B(

x

∗

; ¯

δ).

(19) En parti ular, la ondi ión (19) se satisfa e para algún

0 < ǫ < κ

1

y para todo x en

B(

x

∗

; δ).

Aquí hemos usado elhe ho de que (ver Figura 3), si

δ

¯

≥ δ,

enton es la ondi ión (19) sesatisfa e para todo x

∈ B(

x

∗

; δ);

y si

δ < δ,

¯

enton es redu imos el tamañode

δ

paraque(19)sesatisfaga.

(11)

x

∗

δ

x

∗

δ

Figura3.Redu iendoeltamañode

δ

sifuesene esario.

Ahora onsideremos la fun ión

Γ

denida por

Γ(t) =

k

x

(t)

−

x

∗

k

2 _,

para todo

t

∈

[t

0 ,

∞).

Derivando

Γ

respe toa

t

yusando(6),tenemosque,paratodo

V

∈ ∂Φ

λ

(

x

(t)),

d Γ(t)

dt

= 2[

x

(t)

−

x

∗

]

T

d

x

dt

=

−2[

x

(t)

−

x

∗

]

T

V

T

Φ

λ

(

x

(t)).

(20)

Supongamosque

T =

{t ∈ [t

0 ,

∞)| : k

x

(t)

−

x

∗

k ≥ δ} 6= ∅.

El onjunto

T

esa otado inferiormente,luegoexiste

τ = ´ınf T,

que orrespondealprimer valorde

t

parael ual x

(t) /

∈ B(

x

∗

; δ).

x

∗

x

0 x

(τ )

B(x

∗

; δ

)

Figura4.x

∗

esasintóti amenteestable,peronoexponen ialmenteestable.

Sustituyendo(18)en(21)yteniendoen uentaque

Φ

λ

(

x

∗

) = 0,

tenemosqueparatodo

t

_{∈ I = [t}

0 , τ ),

dΓ(t)

dt

=

−2(

x

(t)

−

x

∗

)

T

V

T

V (

x

(t)

−

x

∗

) + (

−2)(

x

(t)

−

x

∗

)

T

V

T

o(

k

x

(t)

−

x

∗

k).

(21) Usando(17)setieneque

−2(

x

(t)

−

x

∗

)

T

_V

T

_{V (}

x

(t)

−

x

∗

)

≤ −2 κ

1 k

x

(t)

−

x

∗

k

2 _.

(22)

El segundosumandode(21)satisfa eladesigualdad

(

₋₂₎₍

x

(t)

−

x

∗

)

T

_V

T

_o(

k

x

(t)

−

x

∗

k) ≤ ǫ k

x

(t)

−

x

∗

k

2 _,

(23) porque

g(

x

) = (

−2)(

x

(t)

−

x

∗

)

T

_V

T

_o(

k

x

(t)

−

x

∗

k) = o(k

x

(t)

−

x

∗

k

2 _),

yaque

l´ım

x

(t) →

x

∗

|g(

x

)

|

k

x

(t)

−

x

∗

k

2 = 0.

(12)

En efe to,

l´ım

x

(t) →

x

∗

|g(

x

)

|

k

x

(t)

−

x

∗

k

2 ≤

l´ım

x

(t) →

x

∗

2 kV kk(

x

(t)

−

x

∗

)

ko(k

x

(t)

−

x

∗

k)

k

x

(t)

−

x

∗

kk

x

(t)

−

x

∗

k

≤ 2kV k l´ım

x

(t) →

x

∗

o(

_k

x

(t)

−

x

∗

k)

k

x

(t)

−

x

∗

k

≤ 2(C)(0) = 0,

donde

C

esla onstantedadaen(16). Luego,por(21),(22)y(23)tenemosque

d Γ(t)

dt

≤ (−2κ

1 + ǫ)

k

x

(t)

−

x

∗

k

2 _{= (}

−2κ

1 + ǫ) Γ(t).

UsandoelCorolario2.1 en[27℄tenemosque

Γ(t)

≤ e

(−2κ

1 +ǫ) t

_Γ(t

0 ),

paratodo

t

∈ I,

o equivalentemente,

k

x

(t)

−

x

∗

k ≤ e

ωt

k

x

(t

0 )

−

x

∗

k, t ∈ I,

(24)

on

ω =

−κ

1 + ǫ/2 < 0.

Tomandoellímite superioren(24),tenemosque

δ

_{≤ l´ım sup}

t↑τ

k

x

(t)

−

x

∗

k ≤ e

ω τ

k

x

(t

0 )

−

x

∗

k < δ,

lo ualesuna ontradi ión.Luego,

T =

∅

e

I = [0, +

¯

∞),

yporladesigualdad(24)se ompletalapruebadelaestabilidadexponen ialde x

∗

.

X

Delteoremaanteriortenemosqueparatodo

t

∈ [0, +∞)

sesatisfa eladesigualdad(24). En parti ular,para

t = k

∈ N

on x

(k) :=

x

k

:

k

x

k

−

x

∗

k ≤ e

ωk

k

x

0 −

x

∗

k;

estogarantizala onvergen iade ualquiersu esiónqueaproximelatraye toriasolu ión

delmodelo(7), omoseilustraenlasimula iónnuméri aquepresentamosenlasiguiente

se ión.

5. Pruebas numéri as

Enestase iónanalizamosnuméri amenteelalgoritmopropuesto.Paraellousamossiete

problemasde omplementariedadaso iadosaalgunasfun ionesdepruebaampliamente

utilizadas enlaliteraturasobre omplementariedad,las ualesdenimosa ontinua ión

(entreparéntesisapare elaabreviaturaqueutilizaremosenlastablasderesultadospara

ha er referen ia a ada problema), onsu solu ión (x

∗

)y el punto ini ial usadoen los algoritmos(x

0

).

Problema de Billups (Billups):

F : R

→ R

estádenida omo

F (x) = (x

_{− 1)}

2 − 1.1;

x

∗

_{= 2.0488}

(13)

Problema de KojimaShindo (Koj-Shi):

F : R

4 → R

4

estádenida omo

F (

x

) =







3x

2

1 + 2x

1 x

2 + 2x

2

2 + x

3 + 3x

4 − 6

2x

2

1 + x

2

2 + x

1 + 3x

3 + 2x

4 − 2

3x

2

1 + x

1 x

2 + 2x

2

2 + 2x

3 + 3x

4 − 1

x

2

1 + 3x

2

2 + 2x

3 + 3x

4 − 3







;

x

∗

= (

√

6/2 0 0 0.5)

T

y x

0 = (0 0 0 0)

T

_.

Problema de KojimaShindo modi ado (Koj-Shi-mod):

F : R

4 → R

4 _,

F (

x

) =







3x

2

1 + 2x

1 x

2 + 2x

2

2 + x

3 + 3x

4 − 6

2x

2

1 + x

2

2 + x

1 + 10x

3 + 2x

4 − 2

3x

2

1 + x

1 x

2 + 2x

2

2 + 2x

3 + 9x

4 − 9

x

2

1 + 3x

2

2 + 2x

3 + 3x

4 − 3







;

x

∗

= (

√

6/2 0 0 0.5)

T

y x

0 = (0 0 0 0)

T

_.

Problema de KojimaJosephy (Koj-Jo):

F : R

4 → R

4 _,

denida omo

F (

x

) =







3x

2

1 + 2x

1 x

2 + 2x

2

2 + x

3 + 3x

4 − 6

2x

2

1 + x

2

2 + x

1 + 3x

3 + 2x

4 − 2

3x

2

1 + x

1 x

2 + 2x

2

2 + 2x

3 + 3x

4 − 9

x

2

1 + 3x

2

2 + 2x

3 + 3x

4 − 3







;

x

∗

= (1 0 3 0)

T

y x

0 = (0 0 0 0)

T

_.

Problema de MathiesenModi ado (Mathiesen):

F : R

4 → R

4 _,

F (

x

) =







−x

2 + x

3 + x

4 x

1 −

4.5x

3 + 2.7x

4 x

2 + 1

5 − x

1 −

0.5x

3 + 0.3x

4 x

3 + 1

3 − x

1 





;

x

∗

_{= (a 0 0 0)}

T

_{, a}

∈ [0, 3]

y x

0 = (1 1 1 1)

T

_.

Problema tomadode [17℄ ( uadráti o):

F : R

2 → R

2

denida omo

F (

x

) =

2x

1 + 4x

2 2x

2 + 4x

1 ;

x

∗

= (0 0)

T

y x

0 = (1 1)

T

_.

A ontinua ión presentamos dos algoritmos que omponen el modelo de red neuronal

propuesto para resolverel PCNL. El primerodes ribe unpro edimiento para al ular

unamatriz

V

∈ ∂Φ

λ

(x)

análogoalusadoen[9℄paralafun ión deFis her, y uyaidea general onsiste en onsiderar lasu esión de ve tores

{

y

k

=

x

+ ε

k

z

} ,

donde

{ε

k

}

es una su esióndenúmerospositivosque onvergea eroy z esunve tortal que

z

i

= 1

(14)

si

F

i

(

x

) = x

i

= 0,

y

z

i

= 0

enotro aso.Lasu esiónasí onstruida onvergea x ylas matri es ja obianas

Φ

′

λ

(

y

k

)

existen.Estadedu iónseen uentradetalladamente en[1℄ y[15℄.

El segundoalgoritmo onstituyepropiamenteelmodelode redneuronal propuesto para

resolver el PCNL. Dentro de este algoritmo implementamos una versión matri ial del

métododeRunge-Kuttade uartoorden([5℄), uyaitera iónbási aesdelaforma

x

k+1

=

x

k

+

h

6 M [1 2 2 1]

T

,

donde

M

esunamatrizdetamaño

n

× 4,

siendo

n

ladimensióndelproblema.

Algoritmo 1Cál ulodelasmatri esen

∂Φ

λ

(x)

Entrada: Dado

x

,se onstruye

β =

{i | x

i

= 0 = F

i

(x)

}

. Salida:

V

∈ ∂Φ

λ

(x)

.

1: para

i = 1

hasta

n

ha er 2: si

i

∈ β

enton es 3:

S

←

p(z

i

− ∇F

i

(x)

T

_z

₎

2 _{+ z}

i

λ

∇F

i

(x)

T

z

.

4:

V

i

←

2(z

i

−∇F

i

(x)

T

z

)+λ∇F

i

(x)

T

z

S

− 1

e

T

_i

+

−2(z

i

−∇F

i

(x )

T

z

)+λz

i

S

− 1

∇F

i

(x)

T

5: sino 6:

S

←

p(x

i

− F

i

(x))

2 _{+ x}

i

λF

i

(x).

7:

V

i

←

2(x

i

−F

i

(x))+λF

i

(x)

S

− 1

e

T

_i

+

2(x

i

−F

i

(x))+λx

i

S

− 1

∇F

i

(x)

T

8: nsi 9: npara 10: Salida

V

Algoritmo 2ModeloderedneuronalpararesolverelPCNL

Entrada:

t

0 = 0

y

x

0 = x(t

0 )

. Salida: Solu iónnuméri ade

x

(t)

.

1: Se al ula

V

≡ V (x

0 )

medianteelalgoritmo1. 2: Se al ula

Φ

λ

(x

0 )

. 3: mientras

1

2 kΦ

λ

(x

k

)

k

2 ≥ 10

−10

y

V

T

Φ

λ

(x

k

)

≥ 10

−5

ha er

4: A tualizamos

x

k+1

,

utilizandolaformamatri ialdeRunge-Kutta,esde ir,

x

_k+1

= x

_k

+

h

6 M

1 M

2 M

3 M

4 1 2

2 1

T

,

donde

M

1 _{= G(x}

k

),

M

2 _{= G(x}

k

+

1 ₂

h G(x

k

)),

M

3 _{= G(x}

k

+

1 ₂

h G(x

k

+

1 ₂

h G(x

k

))),

M

4 _{= G(x}

k

+ hG(x

0 +

1 ₂

h G(x

k

+

1 ₂

h G(x

k

)))),

on

G(x

k

) =

−ρ V

T

_Φ

λ

(

x

k

).

5: Se al ula

V

≡ V (x

k

)

mediante elalgoritmo1 6: Se al ula

Φ

λ

(x

k

)

.

7: nmientras

(15)

Paraes ribirlos ódigosdelosalgoritmosutilizamoselsoftware Matlab

r

.Realizamos

los experimentos numéri os en un omputador on pro esador Intel(R) Core(TM)

i5-3450SCPUde

2,80

GHzenunsistema operativode64bits.

La Tabla 1 ontienelos resultados obtenidos on el Algoritmo 2, el ual usa un

pará-metro

λ

dinámi o ([15℄) ylos obtenidos onunalgoritmoque usa unmodelo análogo al propuesto en[17℄, enel ual

λ = 2.

Estos últimos resultados seindi an en latabla usandounasteris odespuésdelaabreviaturadelproblema.Paratodoslosexperimentos,

el valordelparámetro

ρ,

enelmodelo,es

ρ = 10

3 _,

yeltamañodepasoes ogido enel

métododeRunge-Kuttaes

h = 10

−5

_.

Laprimera olumnadelatabla indi aelproblemautilizado;lasegunda,daelvalordel

parámetro

t

enel ualde laramos onvergen ia,ylastres olumnassiguientes ontienen losvaloresnalesde

kx(t) − x

∗

k, k∇E

λ

(x(t))

k

y

|E

λ

(x(t))

|,

respe tivamente.

Problema

t

kx(t) − x

∗

k

k∇E

λ

k

|E

λ

|

Billups 1,270000e-03 2,398465e-06 5,675707e-05 9,151717e-11

Billups

∗

3,010000e-03 2,161289e-06 2,942230e-05 9,837168e-11

Koj-Shi 4,931000e-03 2,113732e-05 1,888083e-05 9,977221e-11

Koj-Shi

∗

2,199000e-02 2,229580e-05 9,957821e-06 1,110084e-10

Koj-Shi-mod 5,249000e-03 2,010010e-05 1,892561e-05 9,977325e-11

Koj-Shi-mod

∗

2,327000e-02 2,061545e-05 9,987753e-06 1,029506e-10

Koj-Jos 9,847000e-03 2,761663e-05 1,447005e-05 9,990373e-11

Koj-Jos

∗

4,337000e-02 3,812819e-05 9,988814e-06 1,904285e-10

Mathiesen 6,669000e-02 3,005689e-02 9,999414e-06 3,586985e-10

Mathiesen

∗

2,600000e-02 2,990021e-02 9,976923e-06 1,569724e-09

Cuadráti o 2,860000e-03 1,525697e-05 2,798854e-05 9,791978e-11

Cuadráti o

∗

1,359000e-02 1,530965e-05 1,288038e-05 9,859705e-11

Cuadro1.Resultados on

λ

dinámi oy on

λ

= 2.

Esta tabla muestraque elmodelopropuesto es ompetitivo, y enel asodel problema

uadráti o es mejor. Cabe men ionar que el problema de Billups fue onstruido por

Billups([4℄) onelobjetivodeha erquelosmétodosusadospararesolverlofallen([15℄);

esde ir,esunproblemadealtaexigen iaen uantoasu onvergen ia,peroobservamos

quelosalgoritmosloresolvieron.

6. Con lusiones

Enesteartí uloproponemosunmodeloderedneuronalbasadoenelmétododemáximo

des ensopararesolverproblemasde omplementariedadnolineal,el ualusaporprimera

vezunafamiliauniparamétri adefun ionesde omplementariedad omofun iónenergía.

(16)

de la red neuronal.Además, presentamos algunas pruebas numéri as preliminares que

muestranqueelmodelopropuestoes ompetitivo.

Finalmente,en búsquedade ampliarelespe trodetrabajo onrespe toaredes

neuro-nalespara omplementariedadnolineal, onsideramos onvenienterealizarmáspruebas

numéri asdelalgoritmopropuestoymodi arelmodelopropuestopararesolver

proble-mas onrestri iones.

Agrade imientos

Los autores agrade en a la Universidad del Cau a por el tiempo on edido para esta

investiga iónmedianteelProye todeinvestiga iónVRIID4189,yaunárbitroanónimo

porsus sugeren iasy omentariosque ayudaronamejorarlapresenta ióny ontenido

deesteartí ulo.

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