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Die Weil-Vermutungen

Andreas Krug – Philipps-Universität Marburg

Erste Motivation

Die Weil-Vermutungen sind:

eine interessante und nützliche Verbindung zwischen den Gebieten derZahlentheorieund deralgebraischen GeometrieundTopologie

(diskrete Objekte←→kontinuierliche Objekte), die wichtigsteMotivationfür die Entwicklung der modernen algebraischen Geometrie(~1950 – 1970),

Plan für den Vortrag

1 Zahlentheorie und Algebraische Geometrie

2 Weil-Vermutungen: Formulierungen, Beispiele & Anwendungen

Ziele der Zahlentheorie

Diophantische Gleichungen

Eine der Hauptaufgaben der Zahlentheorie ist die Bestimmung ganzzahliger Lösungenvon ganzzahligen

Polynomgleichungen.

pist einePrimzahl⇐⇒Die Diophantische GleichungXY =p hat genau diese vier Lösungen:

(1,p) , (p,1) , (−1,−p) , (−p,−1).

Satz von Fermat–Wiles (1637/1995) Fürn≥3 hat die Polynomgleichung

Xn+Yn =Zn

Diophantische Gleichungen modulo

p

Satz von Matiyasevich (1970)

Es gibt keinen allgemeinen Algorithmus, der entscheiden kann ob eine gegebene Diophantische Gleichung eine Lösung hat. Hilberts 10tes Problemhat also einenegativeAntwort.

Leichtere Aufgabe der Zahlentheorie

Klassische Algebraische Geometrie

Klassische algebraische Geometriebeschäftigt sich mit Varietäten, also denNullstellenmengenvon Polynomen, über RoderC.

Xd ={xd+yd−zd =0} ⊂R3

Da die Gleichunghomogenist, handelt es sich umKegel (O6=P ∈Xd =⇒OP⊂Xd)

Affine Schemata

Zals initialer Ring

SeiK einbeliebiger Körper(allgemeiner: Ring). Dann ist Multiplikation mit ganzen ZahlenaufK wohldefiniert durch

`·x :=x+· · ·+x

| {z }

`-mal

für`∈Z,x ∈X.

Damit:f ∈Z[X1, . . . ,Xn]ganzzahliges Polynom,

x = (x1, . . . ,xn)∈Kn f(x) =f(x1, . . . ,xn)∈K wohldefiniert.

Affine Schemata als FamilienK-wertiger Punkte

Gegebenganzzahlige Polynomef1, . . . ,fr ∈Z[X1, . . . ,Xn] Affines SchemaS=V(f1, . . . ,fr).

FürjedenKörperK-wertige Punkte:

Affine Schemata

Affine Schemata als FamilienK-wertiger Punkte

Gegebenganzzahlige Polynomef1, . . . ,fr ∈Z[X1, . . . ,Xn] Affines SchemaS=V(f1, . . . ,fr).

FürjedenKörperK-wertige Punkte:

S(K) ={x = (x1, . . . ,xn)∈Kn|fi(x) =0 füri =1, . . . ,r}⊂Kn

Beispiel: r =1=n, f =2X2+1, S=V(f)

Projektiver Raum

SeiK ein Körper,n∈_N. Verschiedene

Definitionen/Aspekte desprojektiven RaumsPn(K).

Pnals Quotient, homogene Tupel

Pn(K) = (Kn+1\ {0})/K×={[x0:· · ·:xn]|xi 6=0 für eini}

[x0:· · ·:xn] = [y0:· · ·:yn]⇐⇒ ∃λ∈K×:

λ(x0, . . . ,xn) = (y0, . . . ,yn).

Pnals Modulraum

Pn(K) ={Ursprungsgeraden inKn+1}

Pnals Vervollständigung des affinen Raums im Unendlichen

P0(K) =Punkt, Pn(K) =Kn∪Pn−1(K).

Projektive Schemata

Nullstellen homogener Polynome

f ∈_Z[X0, . . . ,Xn]homogenesPolynom vom Gradd f(λx) =λdf(x)fürx = (x0, . . . ,xn)∈Kn+1,λ∈K×. Damit:f(x) =0 ⇐⇒ f(λx) =0

Projektive Schemata als FamilienK-wertiger Punkte

Gegebenf1, . . . ,fr ∈Z[X0, . . . ,Xn]homogeneganzzahlige Polynome Projektives SchemaX =Vproj(f1, . . . ,fr).

FürjedenKörperK-wertige Punkte:

X(K) ={x = [x0:· · ·:xn]|fi(x) =0 füri =1, . . . ,r}⊂Pn(K)

Beispiel: r =1=n,

f =2X2

0 +X12=−(

√

−2X0+X1)(

√

−2X0−X1)=X₁2,

X =Vproj(f)

X(R) =∅,X(C) ={[±1/

√

Glatte Projektive Schemata

Glattheit projektiver Schemata

Ein projetives SchemaX =Z(f1, . . . ,fr)⊂Pnheißtglatt:⇐⇒

1 _{Jacobi-Kriterium:}

Rang(_∂Xj∂fi(x))i,j ist unabhängig vonx ∈X(K)undK.

2 _{I= (f}

1, . . . ,fr)∈Z[X0, . . . ,Xn]ist einPrimideal.

DieC-wertigen Punkte als Mannigfaltigkeit

X glatt=⇒ X(C)istkompakte

Endliche Körper

Satz zur Existenz und Eindeutigkeit endlicher Körper

Seipeine Primzahl. Dann existiert für jedesn∈_Ngenau ein KörperFpn mitpnElementen.

Konstruktion:

Fp =Z/pZ(Ganze Zahlen modulop).

Sei_Fp der algebraische Abschluss vonFp.

Fpn ={x ∈_Fp|xp n

=x} ⊂_Fp.

Frobenius-Automorphismus

F:Fp→Fp , F(x) =xp

Fpn als Fixkörper

Z

-Funktion einer Varietät

Fixiereglattes projektivesSchemaX undPrimzahlp. Interesse an Verhalten von|X(Fpn)|für variierendesn. ZählfunktionP∞_n=1|X(Fpn)| ·Tn(formale Potenzreihe inT).

Z-Funktion vonX

Zp(X,T) :=Z(X,T) :=exp

P∞

n=1|X(Fpn)| ·T n n

.

Weil-Vermutung 1: Rationalität

Es gibtganzzahlige Polynomef,g ∈_Z[T]mitf(0) =1=g(0)

so, dass

Z(X,T) = f(T)

Rationalität der

Z

-Funktion

Z-Funktion vonX

Zp(X,T) :=Z(X,T) :=exp

_P∞

n=1|X(Fpn)| ·T n n

.

Weil-Vermutung 1: Rationalität

Es gibtganzzahlige Polynomef,g ∈_Z[T]mitf(0) =1=g(0)

so, dass

Z(X,T) = f(T)

g(T).

BetrachtenZ(X,T) :C99KCalsmeromorphe Funktion.

Korollar

|X(Fpn)|=

X

α∈_C,g(α)=0

α−n− X

β∈_C,f(β)=0

Das Beispiel

X

=

_P

=

V

(0)

|Pd(Fq)|= |_Fd+1

q \{0}| |Fq\{0}| =

qd+1₋₁

q−1 =1+q+q

2_{+· · ·+q}d_.

|_Pd₍

Fpn)|=1+pn+p2n+· · ·+pdn.

Z(Pd,T) =exp

∞ X

n=1 |_Pd₍

Fpn)|·

Tn n ! =exp ∞ X

n=1

Tn+(pT)n+(p2T)n+· · ·+(pdT)n n

!

=exp ∞ X

n=1

Tn n ! exp ∞ X

n=1 (pT)n

n !

· · ·exp ∞ X

n=1

(pdT)n n

!

= 1

Analogon zur Riemannschen Vermutung

Ab jetzt:d =dimX, das heißt 2d =dimX(C).

Weil-Vermutung 2: Beträge der Pol- und Nullstellen

SeiZ(X,T) = _gf(₍T_T)₎ (Rationalität der Z-Funktion!).

1 _{g(1) =0=g(p}−d_{). Die weiterenkomplexen Polstellenα} vonZ(X,T)erfüllen|α|_C=p−i miti ∈ {1, . . . ,d−1}.

2 Diekomplexen Nullstellen_β vonZ₍X_,T₎erfüllen

|β|_C=p−2i+21 miti ∈ {0, . . . ,d−1}.

Z(Pd,T) = 1

Analogon zur Riemannschen Vermutung

Formulierung in Thermen der Zeta-Funktion

Betrachtemeromorphe FunktionζX(s) =Z(X,p−s) :C99KC.

1 _{DiePolstellenserfüllen Re(s)}∈ {_{0,1, . . . ,d}}_.

2 _DieNullstellen_{serfüllen Re(s)}∈ {1 2,

3 2, . . . ,

2d−1 2 }.

Spezialfall von Kurven

DieNullstellenderZeta-FunktionζC(s)einer KurveCerfüllen Re(s) = 1₂.

Riemannsche Vermutung

Kohomologie einer Mannigfaltigkeit

Mkompakte, orientierte Mannigfaltigkeit der Dimensionm

Kohomologie: endlich-dimensionaleC-Vektorräume

Hi(M) =Hi(M,C) =Hi(M,C) = ˇHi(U,C) =Hisimpl(X) =HidR(X) füri =0, . . . ,m.

Betti-Zahlen: bi =bi(M) =dim(Hi(M))

Eigenschaften der Kohomologie

Funktorialität: g:M→N stetig g∗: Hi(N)→Hi(M).

Poincaré-Dualität: Hi(M)∼=Hm−i(M)∨ (⇒bi =bm−i).

Künneth-Formel: Hi(M×N) =L

a+b=iH

a_(M)⊗Hb_(N).

Lefschetz-Fixpunkt-Formel: f:M→M differenzierbar mit isolierten Fixpunkten

⇒ |Fix(f)|=Pd_i=0(−1)iSpur f∗:Hi(M)→Hi(M).

Verbindung der Z-Funktion zur Topologie

Weil-Vermutung 3: Z-Funktion und Betti-Zahlen

DieBetti-Zahlen der Mannigfaltigkeit der_C-wertigen Punktebj =bj(X(C))sinddurch die Z-Funktion bestimmt:

1 _b

2i = #(Polstellen vonZ(X,T)mit|α|=p−i).

2 _b

2i+1= #(Nullstellen vonZ(X,T)mit|β|=p−

2i+1 2 ).

Jeweilsmit Vielfachheitgezählt.

Z(Pd,T) = 1

(1−T)(1−pT)(1−p2_{T)· · ·(1−p}d_T)

⇒Polstellen vonZ: 1 , p−1 , p−2 . . . p−d

⇒Betti-Zahlen vonPd(C):b0=1,b2=1,b4=1. . . b2d =1

Dualität

|X(Fpn)|in Thermen der Null- und Polstellen

|X(Fpn)|=

X

Polstellen vonZ

α−n− X

Nullstellen vonZ

β−n.

Z(Pd,T) = 1

(1−T)(1−pT)· · ·(1−p2_T)(1−pd−1_T) Polstellen vonZ: 1, p−1, . . . , p−(d−1), p−d

|_Pd(Fpn)|=1+pn+· · ·+p2n+pdn

Weil-Vermutung 4: Dualität

Punkte elliptischer Kurven über endlichen Körpern

Elliptische Kurven

f(X0,X1,X2)homogen von Grad 3 X =Vproj(f)⊂P2elliptische Kurve.

X(C)≈S1×S1istTorus.

⇒Betti-Zahlen: b0=1,b1=2,b2=1.

(Weil 1&3): Zp(X,T) =

(1−βT)(1−γT) (1−T)(1−pT)

(Weil 4): γ = p

β =⇒ |X(Fp)|=1+p−(β+

p

β).

Berechnung derFpn-wertigen Punkte

Zutaten

Fixpunkte des Frobenius-Automorphismus

F:Fp →Fp,x 7→xp Fpn =Fix(Fn:_Fp→_Fp)

X(Fpn) =Fix(Fn:X(_Fp)→X(_Fp)). (Frob)

Lefschetz-Fixpunktformel

f:M →Mdifferenzierbar mit isolierten Fixpunkten⇒

|Fix(f)|=Pd_i=0(−1)iSpur f∗:Hi(M)→Hi(M). (LFix)

Lineare Algebra

V endlich-dim. Vektorraumϕ:V →V Endomorphismus:

exp ∞ X

n=1

Spur(ϕn)T

n

n !

= 1

det(idV−ϕT)

Weils Beweisidee

Gedankenexperiment

Machenfalsche Voraussetzung: _Fp=C.

Z(X,T)Frob= exp ∞ X

n=1

Fix F

n

yX(C)

Tn n ! LFix = exp ∞ X

n=1 2d X

i=0

(−1)iSpurFn∗ yHi(X(C)

Tn n ! expLA = Q

ungeradeidet

(id−F∗T)yHi(X(C))

Q

geradeidet

(id−F∗_T)

yHi(X(C))

det(id−F∗_T)

yHi(X(C))

Weils Beweisidee

Z(X,T)Frob= exp ∞ X

n=1

Fix F

n

yX(C)

Tn n ! LFix = exp ∞ X

n=1 2d X

i=0

(−1)iSpurFn∗ yHi(X(C)

Tn n ! expLA = Q

ungeradeidet

(id−F∗T)yHi(X(C))

Q

geradeidet

(id−F∗_T)

yHi(X(C))

det

(id−F∗T)yHi(X(C))

ist Polynom vom Gradbi.

Lösung