Electrostatics boundary value problems II

Boundary­Value Problems in Electrostatics II

Reading:  Jackson 3.1 through 3.3,  3.5 through 3.10

Legendre Polynomials

These functions appear in the solution of Laplace's eqn in cases with azimuthal symmetry. Consider a point charge q located at (x, y, z) = (0, 0, a). x y z a  d

r _Potential  at point (r, , )

1

where _{is the “generating} 

function” for Legendre polynomials. then g(t, x) can be expanded in a binomial series.

To derive the binomial expansion,  start with Maclaurin's Thm:

, etc.

e.g., n = 5:

Binomial Thm:

We would like to express this as a power series in t, with coeffs that depend on x :

To this end, the following theorem is useful:

Proof:  Start with

A few examples:

=>

Since this vanishes for all values of t, each power of t must vanish separately  

(recurrence relation)

This can be used to find higher order Legendre polynomials.  For example, given P₀(x) = 1 and P₁( x) = x, we find (with n = 1)

, as we found with the explicit formula.

With repeated 

application, we find:

Note that 

P_n(x =1) = 1

Differentiating recurrence relation wrt x :

=

(“Legendre's differential eqn”)

Legendre polynomials satisfy Legendre's eqn (hence the name). Legendre's eqn may also be written as:

(interchanging m and n)

Subtract eqns and integrate from x = ­1 to 1:

=>  Legendre polynomials are orthogonal on interval [­1, 1].

What about n = m ?

Legendre polynomials are also complete on [­1, 1].

Legendre series:

with

Next, we'll derive a useful alternative formula for computing Legendre polynomials, called “Rodrigues' formula”:

(as derived earlier) (1)

(2) (3)

(1)  Differentiating x2n­2r _{n times yields}

(2)  The sum is extended from [n/2] to n.  In each of these terms the

       exponent of x is < n  =>  n differentiations yields zero.  So, we're just        adding zero.

Laplace eqn in  spherical coords:

Separation of variables:

If the region under consideration includes the full range of azimuth (0 ≤  < 2), then Q() must be periodic (with period 2).

=>  const must be negative: with m an 

       integer

Thus, 

Eqn for P():

(“generalized Legendre eqn”)

When m = 0 (as for cases with azimuthal symmetry, i.e., quantities do  not depend on the azimuthal angle ), this reduces to the Legendre eqn.

We know that Legendre polynomials satisfy Legendre's eqn for non­negative integer values of ℓ.  Other values of ℓ are excluded on physical grounds,

since in these cases the soln diverges at x = +1 or ­1 ( = 0 or ). The same is 

true of the 2nd _{linearly independent soln (Legendre's eqn is a 2}nd _order diff 

eqn) for cases with ℓ = 0, 1, 2, ...  For example, the 2nd soln for ℓ = 0 is 

ln(tan /2).

So, the general soln of the Laplace eqn in spherical coords for cases with azimuthal symmetry is

18

So, only the terms with s = m+1,  m,  m ­1  are non­zero.

Define

This is the generalized Legendre eqn, or, “associated Legendre eqn”.

So, solns are

The “associated Legendre functions” are defined as

Note:  Not all texts include the factor (­1)m_.

Since the highest power of x in P_l(x) is xl_{, we must have m ≤ l;}

We can use Rodrigues' formula to define associated Legendre fcns with negative m.

Recall Rodrigues' formula:

(also valid for negative m,        if |m| ≤ l)

Next, we'll show that

Apply Leibnitz's formula to

Both s and l+m­s must be ≤ l; otherwise, one of the derivatives is zero.

Thus, for m ≥ 0, the sum runs from s = m to l.

      m < 0,       s = 0 to l+m = l ­ |m|

So,

s = s' + m

satisfy the generalized Legendre eqn for integer values of l, m with l ≥ 0 and ­l ≤ m ≤ l.  As with azimuthally symmetric Laplace eqn  and Legendre polynomials, other values of l and m, as well as other solns, are unphysical.

For fixed m and l ≥ |m|, are orthogonal over ­1 ≤ x ≤ 1.

The proof is straightforward (using Rodrigues' formula and integrating by parts) but cumbersome, so we'll omit it.

Summary of angular functions:

When the region of interest includes  ∈ [0, ],

(orthonormal)

When the region of interest includes  ∈ [0, 2),

with m an integer and m ≥ 0

with m any integer

Recall:  the orthogonal functions in a Fourier series can be expressed as

With a = 2, the functions are eimx.  So, Q() are orthogonal.

Normalization:

(orthonormal)

Define “spherical harmonics”

These fcns are orthonormal and complete over the unit sphere: 0 ≤  ≤   and   0 ≤  < 2.

Orthonormality:

or:

Completeness:

Note:  for  m = 0,

Expansion of a function in spherical harmonics:

As a special case, consider  = 0  (cos  = 1):

General soln of Laplace's eqn (when region of interest  includes  0 ≤  < 2  and  0 ≤  ≤ ):

Consider the Green function

From sample problem 3.3,

where r_< (r_>) is the smaller (larger) of r, r' and  is the angle btwn 

Since G is a soln of the Laplace eqn everywhere except

31

Since we require G  0 as r  ∞ and G remains finite as r  0,

G is continuous at r = r'  =>

radial part of

;

(1) is automatically satisfied  and (2) becomes

Using the completeness relation,

Comparing this with the expansion in Legendre polynomials yields

(“Addition thm for spherical harmonics”)

Recall (Topic 2 notes, p. 19):

Next, let's find an analogous expression for for the region outside a sphere with radius a. From the method of images (Topic 2, p 16):

Since r'' < a,  r_< = r''  and  r_> = r  in this case.

Dirichlet Green function for the region between 2 spherical shells,  with radii a and b  (a < b):

So,

G is continuous at r'   =>

As before,

=>

Soln of (1) and (2):

Bessel functions

These appear in the soln of Laplace's eqn in cylindrical coords.

First, recall the Gamma function:

=> 39

Integrate by parts:

0

“recursion formula” ; used to define (z) for z < 0

etc.

Bessel's equation:

Try _with c

0 ≠ 0   (fully general; if c0 were 0, just      

       increment s)

Must be true for any x  =>  term in each power of x must vanish

higher powers of x :

etc.

For the special case  = ± ½ :

(s = ±   when   = ∓ ½ )

etc.

=>  even terms yield

For the odd terms:

etc.

=>  soln when  = ± ½  is

Check:

For the general case that  ≠ ± ½ , c

1 = 0  =>  only the even terms remain.

Take  ≥ 0  (fully general, since we have solns with ±).  If  ≠ integer, 

then we have 2 linearly independent solns to our 2nd _{order differential eqn.}

If  is an integer, then the terms in the ­ series with j ≥  have a term 

( ­ ) = 0 in the denominator  =>  the series diverges.  We need to find a   

2nd _{soln in this case (more later...).  For the + soln:}

Absorbing the 2 _{(+1) into the constant, we find solns of the form}

(“Bessel function of the first kind”)

For  ≠ integer,

is also a soln of Bessel's eqn.

It can be shown that J_(x) and J_­(x) are linearly independent.  When  = integer, define J

­(x) using the above eqn.

=>  terms with  j = 0  to  j =  ­ 1  vanish

Substitute  k = j ­  :

So, J_(x) and J_­(x) are NOT linearly independent for  = integer.

Define the Neumann function (or, Bessel fcn of the 2nd _kind) by

J_(x) and N_(x) are linearly independent for  ≠ integer (since J

 

and J_­ are).  For  = integer, N

(x) = 0/0.  But, for n an integer, 

is defined and linearly independent of J_n(x).

Note that some authors denote Neumann fcns as Y_(x) rather than N_(x). Note that J₀(0) = 1 and J_(0) = 0  ( > 0)  (easily obtained from the series).

The Neumann fcns diverge at  x = 0.

Define the Hankel functions 

(or, Bessel fcns of the 3rd _kind) by:

These are more convenient for some problems, and are also linearly  independent.

all satisfy the following recursion relations, as can be verified from the series representation:

Asymptotic forms: For  x ≪ 1, 

where  ≈ 0.57721566 is the 

Euler­Mascheroni constant

For  x ≫ 1, 

The transition between the limiting forms occurs when  x ~ .

The asymptotic forms reveal that each Bessel fcn has an infinite number of  roots.  Denoting the nth _root of J

 by xn:

(accurate to at least 3 figures)

Orthogonality:

Consider fixed  ≥ 0 and roots x

n,  n = 1, 2, ...

(proof on pp. 114­115 of Jackson)

The set of Bessel fcns J_(x_nr/a) is also complete  =>  an arbitrary fcn  f (r)  can be expanded in a Bessel series (also called a Fourier­Bessel or Bessel­ Fourier series):

(works for all  ≥ ­1)

Return to Bessel's eqn:

Replace  x = iu   (u = ­ix).   Solns are  J_(x) = J_( iu),  N_(iu), etc.

Bessel's eqn becomes:

Solns are  J_(iu),  N_(iu),  etc.

is called the modified Bessel eqn.  The linearly independent solns are taken as

These are real­valued for real x and  and 

are called modified Bessel fcns.

I_(x) diverges as x  ∞  and  K

(x) diverges as x  0.

Laplace eqn in cylindrical coords (r, , z):

=>

Separation of variables:

(sign must be negative if full range of azimuth   is allowed; so  = 0, 2 yield the same Q)

Replacing  x = kr,  (3) becomes

This is the Bessel eqn (+ sign) or the modified Bessel eqn (­ sign).

Assuming the full range of azimuth is allowed, the solns are:

[ = m  (integer),  so that  Q(2) = Q(0)]

Soln for +k2 _:

Soln for ­k2 _:

So, the general soln is

Boundary conditions will restrict the values of k₁ and k₂ and in  typical applications will force many of the coeffs to vanish.

Example:  cylinder with length L and radius a; z­axis is the symmetry axis.

 = 0  for  z = 0  (bottom face),   = V_L(r, )  for  z = L  (top face), and   = V_a(, z)  for  r = a  (curved face).  

Find  everywhere inside the cylinder.

Consider 2 separate problems:

solves the Laplace eqn and satisfies the full set of

      boundary conditions. In both cases,  N_m( k₁r) and K_m( k₂r) do not contribute, since they diverge       at r = 0.

1)   = 0  for  z = 0  and  z = L

do not contribute, since no linear combination of these can vanish at 2 different points.  Also,  cos k₂z  cannot contribute (≠ 0  at  z = 0).

At  r = a,

This is a 2D Fourier series  (a “standard” Fourier series for  and a

Fourier sine series for z).

except  m = 0:

2)   = 0  for  z = 0  and  r = a

Since I_m(k₂r) has no zeros besides r = 0, these terms cannot contribute. This leaves only J_m(k₁r) among the radial fcns.

[x_mn is the nth _root of J

m(x)]

Exponentials in z must combine to yield zero at z = 0 

Thus,

At  z = L,

This is a 2D expansion:  Fourier × Bessel series.

except  m = 0: