The quadratic equation in the parameter estimation of the riskless probability and the american options pricing through stochastic dynamic programming.

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(1)La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros de la martingala y la valuación de opciones americanas a través de la programación dinámica estocástica. José Antonio Climent Hernández* Fecha de recepción: 14 de mayo de 2014 Fecha de aprobación: 10 de julio de 2014. *. Universidad Autónoma Metropolitana Departamento de Administración [email protected]. Estocástica: finanzas y riesgo. Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190 . ISSN: 2007-5383. 155.

(2) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. RESUMEN ticas que se deben satisfacer en la teoría de valuación de opciones en un mercado completo, se utiliza el marco teórico del modelo de Cox, ! "# $! ! % ! $ para valuar opciones, se analizan las diferencias entre el modelo ob & ' % ! "! ( ) * + ./ )" 0 $ ' mercado extrabursátil mexicano y un warrant americano sobre Kodak, se muestra que el modelo obtenido tiene diferencias en la valuación de & ' " 0 " ' Kodak utilizando los insumos de la opción europea de compra sobre '1 2 + % ! "! * 345/ 6 se muestran las diferencias entre ambos modelos concluyendo que el & ' $! ! ! " $ 7 & $89:;)<6;)=&>7 Palabras clave: " $ $ ! ! ! $ 7. 156. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(3) La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. The quadratic equation in the parameter estimation of the riskless probability and the american options pricing through stochastic dynamic programming. ABSTRACT !"#$#% quadratic equation, using stochastic dynamic programming, the underlying !"#$#% ' ( ) * !"#$+% - . !"#$+% ' )( * American warrant on Kodak are priced, showing that the proposed model has differences in the options pricing when compared to the Cox, Ross !"#$#% ) / ( ) / - 0) 1 !"#2$% ' !"#$#% market risk and the options pricing with respect to the model proposed in this paper. 4(5 67"+ 82" 7+9 :" Keywords: options pricing, risk management, risk analysis, stochastic dynamic programing.. Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. 157.

(4) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. Introducción. 9. as opciones americanas son contratos, en los que los titulares adquieren / ! $! del subyacente a un precio de liquidación durante el periodo hábil compren / ! $ / " 7 9 " $ $ subyacente y se obtiene como el valor presente de la esperanza condicional ? $$ ! / >& ' >7 * /@@ ? " $ una caminata aleatoria binomial, asociando la probabilidad de ocurrencia de cada estado posible y obtiene la distribución límite en tiempo continuo uti% $ $ .!7* /@@ $ central del límite aproximando la distribución de la caminata aleatoria a una $ ! 7 9 ' * / @@ " 7 * +./ ) $ $ !3! el modelo es derivado a través métodos de ecuaciones diferenciales parciales y es el primer modelo de valuación de opciones que satisface las condiciones de no arbitraje de acuerdo a los límites en el precio de las opciones con res ? $ "! 3" 7 ( )'$ * +./ ) $" / " feriores y superiores entre los que se encuentra el valor de las opciones para satisfacer el supuesto de la no existencia de oportunidades de arbitraje, mostrando que existe diferencia entre las opciones europeas y las americanas debido a la probabilidad del ejercicio anticipado, mostrando el efecto de los dividendos, mostrando la propiedad de la paridad compra-venta, mostrando. 158. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(5) La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. ' $ " * +./ )" 7 9 " $ $ $ ciones americanas consiste en determinar la frontera óptima que maximiza " ecuación cerrada, sólo se tienen métodos de aproximación como el numé A" B =@@= * ./1 % $ ' * 34 5/ 6? * +./ )( )7 En este artículo se presenta un modelo de tiempo discreto para valua$ % ! $ & ' ! " 7 ! % !: $ % ? teoría de valuación de opciones en un mercado completo, en la sección 2 se % & ' $ ! & ' $ " ! " $ $) ! $ " "# $! ! también se presentan las relaciones entre los parámetros del modelo de Cox, $ F " 0 $ " ' 1 2 + ! "! ( ) * + ./ ) " " 0 " ' 2 + ! "! * 345/ 6 ?' $G "! $ 0 ! % : #? ! " $ ? ! " "! #? "! !3! 7. Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. 159.

(6) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. 1. Modelo de tiempo discreto para valuar opciones americanas / / ? ! ' ! : # ! # $ " ' ! 7 9 " ! / y vender, respectivamente, una cantidad de subyacente determinada en los contratos, las opciones americanas y europeas determinan el periodo durante el cual, los titulares, pueden ejercer el derecho de comprar o vender la 7. 1.1 Factores de influencia en la valuación de opciones 9 '$! : M , la volatilidad subyacente V # ! i , y la tasa de interés libre de ! ' r 79 $! : ? $ S , "! T 7 1.2 Valor de las opciones (payoff) en la fecha de liquidación Sean c t , M t y p t , M t los valores de las opciones europeas de compra y venta, respectivamente y sean C t , M t y P t , M t los valores de las opciones americanas de compra y venta, respectivamente, entonces en la fecha de liquidación T ?:. c T , MT p T , MT C t, M t P t, M t. max max max max. 0, M T S 0, S M T 0, M t S 0, S M t. MT S S MT Mt S S Mt . (1). 1.3 Límites en la valuación de las opciones 9 " $ "# ?? por las compras y ventas simultáneas de activos se debe considerar para evi-. 160. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(7) Estocástica. La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... FINANZAS Y RIESGO. 7H ? !:. M T exp rT S exp iT S exp iT M T exp rT. . . . d c T , MT d MT. . d p T , M T d S exp iT. -. (2). 9 $ = ? / ( ) ' " ' " de las opciones europeas que indican condiciones que debe satisfacer la teoría de valuación de opciones para satisfacer la hipótesis de no existencia de " $ ! 7 Mientras que para las opciones americanas se deben satisfacer los lími!:. M t exp rW S , M t exp rW S exp iW S exp iW M t exp rW , S exp iW M. . d C t, M t d M t. . d P t, M t d S. (3). donde W T t representa el tiempo remanente y t > 0, T @ es el tiempo ! $ 7 9 $ ) ? / ( ) ' " ' " las opciones americanas, los que indican condiciones que debe satisfacer la teoría de valuación de opciones, así también indica que las opciones americanas de compra no se deben ejercer antes de la fecha de vencimiento ya que " " ? " " / " 7 Por lo cual, las opciones americanas de compra tienen al menos el mismo " ! ? c t, M t C t , M t 7I # ? " / " ? " " ? " " / " 7H los contratos americanos de venta tienen un valor superior por la cobertura ? ! ! ? p t , M t d P t , M t 7. Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. 161.

(8) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. 1.4 Paridad compra-venta $ . . c(t , M t ) S exp iW. " :. p(t , M t ) M t exp rW. (4). 9 ?! ? den calcular a partir del precio de las opciones europeas de venta de la misma ! ? $ / " "" 7:. c(t , M t ) p (t , M t ) 9 $ . p(t , M t ) M t exp rW S exp iW c(t , M t ) S exp iW M t exp rW " :. M exp rW S d C P d M S exp iW. (5). El valor de las opciones americanas de compra se encuentra entre los límites inferiores y superiores de las opciones americanas de venta de la misma serie y el valor de las opciones americanas de venta se encuentra entre los límites inferiores y superiores de las opciones americanas de compra de 7. 2. Modelo de Cox, Ross y Rubinstein para valuación de opciones 4! ?* /@@& ' que el precio subyacente puede tener sólo dos valores posibles derivados del 74 / $ 7 cio subyacente se modela mediante una caminata aleatoria y el valor de las "# ! $ ? $!" '% " " ! ? ! 7H ' " 7. 162. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(9) La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. ? " 7. cio de mercado M 0 , una opción europea de compra con valor c t , M t sobre "! T $7 / "cimiento el precio aumenta de M 0 a M 0 a con probabilidad S o disminuye de M 0 a M 0 d con probabilidad T 1 S , donde 0 d 1 a 7. subyacente aumenta, entonces el valor de la opción en la fecha de vencimienM 0 a S y si el precio subyacente disminuye, entonces to es c T , M 1a M 0d S 7 el valor de la opción en la fecha de vencimiento es c T , M 1d Se conocen los dos valores posibles que puede tener la opción en la fecha de vencimiento, los cuales son c T , M 1a y c T , M 1d 7H " actual se crea una opción europea de compra sintética que es el portafolio $ ! ' bienes subyacentes en valor # ! ' 'M 0 exp rT y la posición corta de la opción que se desea valuar c 0, M t 7" ' ? ! :. '. c T , M 1a c T , M 1d M 0a M 0d. (6). El número de activos que debe tener el portafolio para estar libre de ! ' 7 . " sente del portafolio es c T , M 1a M 1a ' exp iT cuando aumenta y c T , M 1d M 1d ' exp iT / ! ción el valor de la opción sintética es M 0 ' exp rT c 0, M t 7H ? " $:. c 0, M 0. § c T , M 1a exp i r T d c T , M 1d ¨ ¨ ad ©. a exp i r T. · ¸ exp iT ¸ ¹. (7). donde i # ! " de la opción es independiente de la probabilidad de ocurrencia de los movi 7. Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. 163.

(10) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. Si S es la probabilidad de que el precio subyacente aumente, el rendimiento esperado por la inversión en el bien subyacente es equivalente a la # ! " exp i r T aS d 1 S 7H T es E X ! " :. S. exp i r T d. a exp i r T. y 1 S. ad. ad. (8). donde 0 d S d 1 y 0 d 1 d exp i - r T d a 7 . . $6 $ ?" $ # :. c 0, M 0 = c T , M 1a S c T , M 1d 1 S donde c T , M 1a. M 0a S. . exp -iT. M 0d S. y c T , M 1d. . (9). .. El proceso estocástico supuesto para modelar el rendimiento subyacente implica que la varianza proporcional en el rendimiento subyacente durante el periodo T :. V 2T Sea u. 1 SS a d S 12. exp i r T . (10). ! . :. S. ud ad. a u ad. y 1 S. (11). donde la varianza proporcional del rendimiento subyacente durante el periodo T :. V 2T 164. ud. a u. (12). Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(11) Estocástica. La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... FINANZAS Y RIESGO. . = $! S , a y d , por lo cual al incluir la tercera restricción ad 1 , pro & ' $! a exp V T y d exp V T a partir de la distribución límite de la $ 7. 2.1 Modelo multiperiodo para valuación de opciones europeas . ? $ " ? " "! T en n intervalos ! $' n 1 valores posibles del precio subyacente y en consecuencia n 1 $ / " 7 Para resolver el problema se emplea una técnica basada en la secuencia de decisiones que satisface que si las decisiones futuras constituyen una decisión óptima con base en las decisiones precedentes, entonces la decisión $ $" $7 . ? # ! i y r , y la volatilidad subyacente V son constantes, sean V t , M t el valor de las opciones en el instante t > 0, T @ cuando el precio subyacente es M t , V t , M ta el valor de las opciones en el instante t cuando el precio subyacente aumenta su valor de M t 1 a M ta M t 1a y V t , M td el valor de las opciones en el instante t cuando el precio subyacente disminuye su valor de M t 1 a M td M t 1d , en ! $ ' t durante el periodo >t 1, t :. 't. V t , M ta V t , M td M ta M ta. (13). Si S es la probabilidad de que el precio subyacente aumente en cada uno de los n " " G T es E X exp i r G T u 7H ! " :. S donde G. ud ad. 1 , 0 d 1d u d a, a n. y 1 S. exp V G T , d. Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. a u ad a 1 y u. (14) exp i r G T 7. 165.

(12) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. ? "! T está dividido en dos. .. n. intervalos V 1, M 1a. 2 , en el primer intervalo, donde M 1a entonces. V 2, M 2a S V 2, M 2ad 1 S 2. V 2, M 2ad S V 2, M 2d. V 1, M 1d. entonces. exp iG T. y. 1 S. 2. exp iG T. valores de la opción son, respectivamente M 0a S. V 2, M 2ad. . y V 2, M 2d. 2. . . V 1, M 1a. $. . M 0a2 S. . en . 2. exp iG T. el. V 0, M 0. . $ 2. 1 S. 2. . $. . V 2, M 2a S 2 2V 2, M 2ad S 1 S V 2, M 2d. V 0, M 0. 2. los. M 0 d 2 S 7 H " . V 1, M 1d. y. V 2, M 2a. y. V 1, M 1a S V 1, M 1d 1 S. cuando M 0 , se tiene que V 0, M 0 sustituyendo. M 1d. donde. valor. !. 7. ; % $" n intervalos y bajo la hipó" $ ! " : 7J9 " $ . $/ $ " 7 (15). V K 1, M ak 1dK k S V K 1, M ak dK k 1 1 S K 1 K 1 ° ® k K k °V K , M Ka d Ma k d K k S ¯. k K k. V K , M Ka d. =7J9 " $ . V 0, M 0. u. 166. G. si 0 d k d K n si 0 d k d K. n. $/ $ ! 7. § n §n· k ¨ ¦ ¨ ¸S 1 S © k 0©k ¹. nk. k. V n, M na d. 1 , 0 d 1d u d a, n exp i r G T 7. donde. exp iG T. a. nk. · ¸ exp iT ¹. exp V G T ,. (16). d. a 1. y. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(13) Estocástica. La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... FINANZAS Y RIESGO. Para la fórmula recursiva, es necesario calcular el valor intrínseco en los un estado padre, el cual es calculado mediante la fórmula recursiva hasta el primer intervalo, el cual tiene dos estados, de los cuales se obtiene el valor $ " ! $ "# 2n trayectorias 7H $ ! " intrínseco en los n 1 estados al término del n -ésimo intervalo, si la opción es europea no existe la posibilidad de ejercer anticipadamente por lo que n 1 valores intrínsecos y las probabilidades asociadas, sumar los n 1 resultados en valor " $ 7 I # " " :. n 1 estados al término del n 3# " 7 & . 7L9 " $ . $ % "# $ " 7 (17). k K k. V K , M Ka d. V K 1, M ak 1dK k S V K 1, M ak dK k 1 1 S K 1 K 1 ° ® a k d K k k K k °V K , M K S Ma d ¯. =7L9 " $ . V 0, M 0. exp iG T. si 0 d k d K n si 0 d k d K. n. $ % "# $ ! 7. § n §n· k ¨ ¦ ¨ ¸S 1 S © k 0©k ¹. nk. k. V n, M na d. nk. · ¸ exp iT ¹. (18). donde. G. 1 , 0 d 1d u d a, a n. exp V G T , d. a 1 y u. exp i r G T 7. 2.2 Modelo multiperiodo para valuación de opciones americanas 9 / ! $! ? / en la fecha de vencimiento y al precio de liquidación, por lo que es necesario Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. 167.

(14) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. " " 7 & & ' &N% =@@G $ % G>7 & & ' &N%=@@G ! $ americanas de venta, por lo que es necesario calcular de forma recursiva el valor de la opción en cada estado de cada intervalo, por lo que para conside " ?: (19). V K , MKa. k K k. d. max V K , M ak dK k , V K 1, M ak 1dK k S V K 1, M ak dK k 1 1 S exp iG T K K 1 K 1 ° ® k K k k K k °V K , MKa d S Ma d ¯. si 0 d k d K n si 0 d k d K. n. donde G. 1 , 0 d 1d u d a, a n. exp V G T , d. a 1 y u. exp i r GT .. 3. Estimación de parámetros para valuación de opciones * /@@& ' . ? G representa. " 7. decir, si T . "! n es el número de intervalos de lon-. ! G antes de la fecha de vencimiento, entonces T. nG 7.0 . cambios n G se aproxima a cero y por lo tanto se deben ajustar las variables a , d y u para obtener resultados de acuerdo a cada instante G T 7O% * /@@ supone que las probabilidades son S riables es a. 1 S. exp i r G T V G T. 1 , entonces el ajuste de las va2. y d. ?& ' . 168. exp i r G T V G T ,. ? a. exp V G T. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(15) La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. y d. exp V G T. a partir de la distribución límite de la distribución bi-. 7 Se propone una solución alternativa suponiendo como en Bachelier @@& ' ? aS d 1 S u : el intervalo G T es E X. aS d 1 S. exp i r G T. Despejando S y 1 S $ =@ F . (20). $. ! ?. 0 d 1 exp i r G T a , y la varianza proporcional durante el inter2 valo G T es constante y está dada por var X a d S 1 S , sustitu $F $ " % . . intervalo G T ?:. ud. V 2G T. a u. (21). . =@= " a , d y S ! ?& ' $!:. ad. (22). 1. . $== $= " riable a $! ! !:. a 2 V 2G T u 2 1 exp i r G T a 1 0. (23). V 2G T u 2 1 exp i r G T. 1 , se tiene. Sean A 1 , B ?:. a1 donde J 1. tan J 2 sec J 1. §2· arcsen ¨ ¸ y J 2 ©B¹. y d1. y C. tan J 2 sec J 1. (24). §1 · arctan ¨ B 2 4 ¸ 7 ©2 ¹. Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. 169.

(16) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. 4 "# $ " a1 y d1 se puede comparar la valuación de opciones del mercado mexicano extrabursátil utilizando las ecuaciones, y donde se tiene que G n 1 , 0 d1 1 d u d a1 u exp i r G T , a1 tan J 2 sec J 1 y d1 tan J 2 sec J 1 y ! "! " $ !3! 7. 3.1 Valuación de opciones a través del modelo multiperiodo 9 ! ! ción dinámica estocástica a través de los insumos en un instante determinado y la valuación de las opciones se realiza utilizando el principio de inducción !" 79 % M 0 , la volatilidad subyacente V # ! i y r , el precio de liquidación S "! T y el tiempo remanente W T t donde t es ! $ 79 a1 y a2 $ ?" :. a1. 1 2. B2 4 B. y d1. . 1 2. B2 4 B. (25). donde B V 2G T u 2 1 exp i r G T , por lo que el incremento a1 y el decremento d1 en el precio subyacente está modelado a través de las tasas # " "! !:. a1 a si B ! a d a1 a si B a d a1 ! a si B a d donde lim B n of. 170. lim B G o0. 2 , entonces lim a1 n of. (26). lim a1 G o0. lim a n of. lim a 1 7 G o0. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(17) La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. 9 ?! ? ?" ! a1 y d1 propuestos modelan más adecuadamente el precio subyacente que los parámetros a y d debido a que las tasas de # " $ ! # ? ? " $ ? ! ? $! & ' cuando a1 ! a y sobreestima el precio subyacente cuando a1 a , por lo cual # ! " $ 7. 4. Valuación de opciones americanas 4 ( (' <" ('< " "! ?" 0 $ de venta sobre la paridad peso-dólar del mercado extrabursátil y se compara la valuación de la opción europea de ambos modelos y se muestra la "! ( )" 0 $ de compra y venta de la misma clase utilizando los insumos con los que el " A $T " ( A %$ " % * 345/ 67I #" 0 1 2 +??valente a la valuación de una opción americana de compra, comparando " $ "! * +./ )" 0 $ " # * 34 5/ 67. 4.1 Los insumos utilizados en la valuación de una opción americana ' = =@F M 0 13.1011 pesos por dólar, la volatilidad subyacente V 0.12442667 , la tasa de interés libre ! i 3.24253071789042% , la tasa de interés extranjera. Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. 171.

(18) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. r. 0.251595108417202% , el precio de liquidación S 12.93 y el periodo remanente W 102 / " F =@F7O% ( ) " $ " !:. p t, M t. donde d1. S exp iW ) d 2 M 0 exp rW ) d1. V2 · §M · § ln ¨ 0 ¸ ¨ i r ¸W 2 ¹ © S ¹ © V W. , d2. $. 0.218557. d1 V W y ) x es la distribu-. $ 7 O% " 0 % & ' "! $ " $ % % " 74 "# ! $ la evolución del precio subyacente en función del número de intervalos y se U! 7 U! "# ! $ $0 " 3@@ se observa a simple vista diferencia entre el precio subyacente para ambos & ' ! ' & ' M 0 a n 25.291180 , el precio mínimo es M 0 d n 6.786509 y para el modelo propuesto los precios son M 0 a1n 25.291797 y M 0 d1n 6.786343 , respectivamente, por lo cual se tiene que M 0 a1n ! M 0 a n y M 0 d n ! M 0 d1n , además, éste resultado se presenta para toda n 1, ,100 & ' " $ ! % 79 "! & ' ( ) $ 0 " U! =7. 172. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(19) Estocástica. La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... FINANZAS Y RIESGO. Figura 1. Evolución del precio subyacente 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6. 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90. 100. Fuente: Elaboración propia a través de hoja de cálculo.. U! = " "! ( ) ? ! / % & ' en este trabajo por los rombos claros en función del número de interva 79 "! " n 58 con los valores p t, M t 0.219201 y p1 t , M t 0.219222 " 7 . de observar que la diferencia entre ambos modelos existe para los insumos utilizados y además se tiene que pM t , M t p t , M t p1 t , M t para n 58 intervalos y para los tres modelos se tiene el resultado pM t , M t 0.218557 p t , M t 0.217747 p1 t , M t 0.217759 cuando el número de intervalos es n 100 7 4 # toda n 1, ,100 ? & ' " $ $ ! % 7& " ración de los mercados extrabursátiles las diferencias se presentan cuando Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. 173.

(20) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. Figura 2. Convergencia de los modelos discretos al modelo de Merton (1973) 0.225. 0.223. 0.221. 0.219. 0.217. 0.215. 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. Fuente: Elaboración propia a través de hoja de cálculo.. existen más de diez mil subyacentes involucrados o mil contratos que ampa 7. 4.2 Valuación de la opción americana de venta 9 & ' propuesto en este trabajo se presenta en la posibilidad de la valuación de las opciones americanas de venta ya que actualmente no se tiene una ecuación cerrada, entonces se compara la valuación de la opción americana de la % A $ % & ' en este trabajo y se muestra la relación de ambos modelos de tiempo discreto * 345/ 67 O% * 345/ 6 " $ $ " ?:. PBAW t , M t 174. PBS t , M t A1 M t M. 1 q1. 0.222409. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(21) Estocástica. La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... FINANZAS Y RIESGO. :. PBS t , M t. 0.218557, m. 2iV 2. § S ¨1 2 N 1 ©. M f. i r W 2V W. h1. 2. N 1 4m S S M f. M f S M f exp h1. M. 2 i r V 2. 4.188776, N 1. · ¸ ¹. 1. 3.863760. 1. 10.307117 0.607307. 11.736106. :. g W q1 A1. 0.009020 1 exp iW 1 2 N 1 N 1 4mg 1 W 2 M q11 1 exp rW ) d1 M. 23.028589 0.048538. "# ! $ ! U! % $!" $0 " U! )7 U! ) . " "! " $ . -. $ " * 34 5/ 6 . ! / % & ' . . . -. delo propuesto por los rombos claros en función del número de inter" 7 9 "! intervalo n. 60 con el valor PBAW t , M t. . 0.222409 para el modelo Ba-. 345/ 6 " P t , M t. 0.225707 para el mo & ' " P1 t , M t 0.225727 . te. con. los. . 7 9 . insumos. utilizados,. Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. '-. PBAW t , M t P t , M t P1 t , M t 175.

(22) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. Figura 3. Valuación de la opción americana sobre la paridad fix 0.230 0.229 0.228 0.227 0.226 0.225 0.224 0.223 0.222. 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. Fuente: Elaboración propia a través de hoja de cálculo.. cuando el número de intervalos es n. PBAW t , M t cuando. 0.222409 P t , M t. n 100 7. 9 . 0.224431 P1 t , M t. " $. PBAW t , M t P t , M t P1 t , M t. 60 y también ocurre que. . . 0.224443. . . se cumple para toda n 1, ,100. ? & ' " ción de la opción americana de venta con respecto al modelo propuesto y ! % 7 & " . $. de los mercados extrabursátiles las diferencias se presentan con mil con ? . 7 4. -. po discreto tienen una valuación superior con respecto al modelo de Mer ) * 345/ 6 ?. pM t , M t PBAW t , M t P t , M t P1 t , M t 7 176. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(23) La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. 9 " $ % A = =@F "# & ' " 0 ! propuesto con la estimación de los parámetros a1 y d1 ! a la tricotomía de los números reales, representada por la ecuación , el mo & ' " do a1 a " ! a1 a con respecto 7 " / "! ( ) ! ( %H =@= & ' "! ? $ pM t , M t 1 exp iX f M t , g X que es el valor de una opción eu " " ? ! / " ' * 345/ 67 ! ? & ' % % valuación de las opciones americanas de venta de una forma sencilla y com 7. 4.3 Valuación de un warrant americano sobre Kodak A % " $ 1 $ 2 +& $? ! " "!cia del warrant y que es equivalente a la valuación de una opción ameri == =@F !: M 0 29.65 dólares, volatilidad subyacente V 0.2944 # ! i 1.60544805126257% , precio de liquidación S 14.93 y periodo remanente W 1,595 días para la / " ) V =@67O% * + ./ ) " $ $ 16.37157 , la valuación del proveedor de compra se tiene que cBS t , M t % & ' n 100 16.374963 y la valuación con el método propuesto intervalos es c t , M t 16.373954 donde cBS t , M t c1 t , M t c t , M t 74 es c1 t , M t Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. 177.

(24) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. éste resultado se cumple para toda n 1,100 , por lo que el modelo de Cox, " $ $ compra con respecto al modelo propuesto a partir de un contrato que ampa ! % 7 9 # " plia, y en el modelo propuesto, la estimación de los parámetros a1 y d1 está en función de la tasa de interés, de la volatilidad y del tiempo remanente, el análisis de sensibilidad muestra que entre menor es la diferencia entre la tasa de interés y la volatilidad, los parámetros estimados satisfacen a1 ! a y d ! d1 ! ! # "$ ! 67))> " ? # ! 7& " V d 12.2% , entonces a1 ! a y d ! d1 para toda n 1, ,100. Si la tasa de interés libre de ! i t 10% y la volatilidad subyacente es V d 30.4% , se tiene que a1 ! a y d ! d1 para toda n 1, ,100. . # ! es i 25% y la volatilidad subyacente es V d 100% , entonces se satisface ?: a1 ! a y d ! d1 para toda n 1, ,100. Por lo que el modelo de Cox, ! " $ del warrant americano equivalente a la valuación de la opción americana de 7. 4.4 Valuación de una opción americana de venta sobre Kodak Suponiendo que existe una opción americana de venta sobre Kodak de la misma serie que el warrant americano se realiza la valuación a través del modelo & ' % !: 9 " $ $ " 2 + % 0.640043 , utili"# * + ./ ) pBS t , M t zando los insumos del warrant americano sobre Kodak se modela la evolu$ ! $0 " U! F7 U! F ! 2 + n,log M n "# ! $ $. 178. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(25) Estocástica. La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... FINANZAS Y RIESGO. Figura 4. Evolución del logaritmo del precio de Kodak 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5. 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90. 100. -1.0 -1.5. Fuente: Elaboración propia a través de hoja de cálculo.. número de intervalos n 1, ,100 y no se observa diferencia entre el precio ! & ' 'mo está dado a través del valor M 0 a n 13,955.984640 , el precio mínimo es M 0 d n 0.062993 y para el modelo propuesto, los valores respectivos son M 0 a1n 13,917.960027 y M 0 d1n 0.063165 , por lo cual se observa que los límites superiores e inferiores son M 0 a n ! M 0 a1n y M 0 d1n ! M 0 d n , además, este resultado se presenta para toda n 1, ,100 , por lo que el modelo de & ' " $ ! 7 O% $ !" ejercicio de la opción americana de venta y en función del número de inter" U! G7 U! G * 345/ 6 ! / % * +./ ) ! / % & ' Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. 179.

(26) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. Figura 5. Valuación de la opción americana sobre Kodak 0.70. 0.65. 0.60. 0. 10. 20. 30. 40. 50. Fuente: Elaboración propia a través de hoja de cálculo.. y, el modelo propuesto por los rombos claros en función del número de in" "! $ " n 25 0.656664 & ' con el valor P t , M t 0.653002 para el modelo propuesto, la con " P1 t , M t 0.656873 y "! !" n 35 donde P t , M t P1 t , M t 0.653685 "! " n 46 0.657113 y P1 t , M t 0.654730 que son las valuaciones donde P t , M t " ' * 34 0.660458 y el modelo de Black y 5/ 6" PBAW t , M t 0.640044 79 ./ )" pBS t , M t bos modelos de tiempo discreto existe y es notoria con los insumos utilizados, PBS t , M t P1 t , M t P t , M t PBAW t , M t para toda n 1, ,100 ? & ' valuación de la opción americana de venta sobre Kodak con respecto al modelo propuesto a partir de diez contratos que amparan cien subyacentes y & ' ! ! ?" $ % 74 " -. 180. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(27) La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. $ * +./ ) " $ * 345/ 6 forma que pBS t , M t P1 t , M t P t , M t PBAW t , M t 7 9 " "! * + ./ ) ! ( %H ./%< % A! 3( %=@= & ' "! ? $ tocástico a pBS t , M t 1 exp iX f M t , g X y como se ha mostra " ' * 345/ PBS t , M t A para toda A ! 0 7 6 PBAW t , M t ' ! % ' % actualmente la valuación de opciones americanas de venta, por lo cual se ha tenido que recurrir a la valuación de opciones americanas de venta de la misma clase que las existentes de compra para mostrar las cualidades y diferen & ' en este trabajo a través de la estimación de los parámetros a1 y d1 para modelar la evolución del precio subyacente a través del tiempo, y mediante las ! $!" % " $ 7 ? * /@@ "! ! & ' "! !3! * + ./ )( ) % $&N%=@@G ( )4 #* 7 % $ "# "! # * +./ )( ) 7H ? importancia y oportunidad de utilizar el modelo propuesto se presenta en la valuación de las opciones americanas de venta debido a la complejidad para la valuación de éstas opciones a través de los modelos de aproximación, de $ ? ' para la valuación de opciones mediante una excesiva complejidad y el uso de $ # ( 7 9 " $ " "# # & ' $! ? # Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. 181.

(28) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. en los parámetros a y d " " ! de mercado con respecto al modelo propuesto, esto es debido a la propiedad 0 7 # ! ! a1 y d1 , los cuales representan el aumento y descenso en el pre 79 # ! " ? " ! $ ! " $ ? " $ 7. 5. Conclusiones & ' "# ! $ $!" % " $ " 79 & ' ! ?$ la volatilidad y el tiempo remanente, y se obtienen a partir del límite de la $ $ !3! 7 9 $ tema de ecuaciones y el resultado incluye a la tasa de interés, a la varianza 79 # ! ? " $ ! # ! la valuación de opciones debido al cambio en el modelado del precio subya" #79 $ $& ' ! subestimar o sobreestimar el modelado del precio subyacente por la propiedad de tricotomía de los números reales, y como consecuencia subestimar ! # " $ ! 7 % # & ' ! $ "# $! ! sultado incluye a la tasa de interés en los parámetros de la probabilidad libre ! $! " $ 7. 182. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(29) La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. Se utilizan los insumos de una opción europea de compra sobre la pa ' 1 $2 + " $$ ? % " A "## & ' "! ( * +./ * 345/ 6 " ? & ' ! así también la valuación de las opciones debido a la propiedad de tricotomía de los números reales aun cuando el modelo propuesto utiliza los mismos supuestos y el mismo marco teórico como modelo de optimización para los " " 7 " diferencias se presentan a partir de un cierto número de contratos que amparan cien subyacentes, por lo que con un volumen mayor de operación en los 7 & "! % " $ / &%4 =@=( =@) % $ ! % "! $ !3 " $ "! & H !A! ( %=@&N%A! ( %=@)7. Bibliografía * / 97 87 *7 47 @@7 I/# . # H/< / . 7 4 .? WX Y . #7 1117 7 !Z [\4.Y.]@@])]]]=]@7 * 34;75/ 767^4 4 ' 4 T A _7 4 ; F==:)@3)=@7 * +U7(7./ )7Î/H! T & The Journal of Political Economy6):>)3>GF7. 9. _7. * (787./1 %7.77Î/A 4 T _7 4 ; )==:FF3F>=7 &N%8747=@@G7Â $ )6_7U & OY4(7. Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. A ( Y 7. 183.

(30) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. &N%8747A! ( %U7=@)7Â $ bre subyacentes con rendimientos D` _7Contaduría y Administración, G6F:3G@7 & H !&77A! 3( %U7=@7Â $ " _7 Estocástica : GG`7 & '87.7 >7Î/A T 4 ". / H _74 ; ():FG3>>7 &% 4 U7 =@=7 ^H " $ inversión, opciones reales, árboles binomiales, simulación bootstrap y simu $( :' _7Contaduría y AdministraciónG=:6)3=7 ( %H ( 7I 7A7=@=7^( $ ! _7I . gHY7 ./%< % 4 A! 3( %U =@=7Â $ : ? $ / % / _7Análisis Económico>F{{Agg:>G36)7 ( 7&7)7Î/ T H!_7The Bell Journal of Eco * . F:F36)7 ( ;7=@)7^ " $ : " $ $ ' $ _7Estocástica)):GG`67 .7>7Î/4 !I/ & mic Theory)):)F3)>@7. 4H!_7Journal of Econo-. A! 3( %U7=@@67 =6 = > 7&! !9 !9 4 7.! $7 A".7B 47=@@=7? )8* ? ) @ .7* @ =:=3F7. 184. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(31) Estocástica. La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... FINANZAS Y RIESGO. Apéndice A Valuación de opciones sobre subyacentes que pagan dividendos Suponiendo que j 1, , m ! " ce por anticipado el valor de los dividendos ^ D1 , , Dm ` en las fechas ^0 d W 1 W m d T ` donde 0 d W j d T y D j >0, T @ , en las fechas W j en ? ! " D j , el subyacente disminuye de " ?" ! " ! dividendos disminuye el valor de las opciones de compra e incrementa el va " 7 "# ! $ ? ! ! 7" ! : m. DK. ¦D. j. exp r W j KG T. (27). j 1. 9 " . ! :. V1 V. M0 M 0 D0. (28). Sustituyendo la ecuación en B ?: V 12G T u 2 1 exp i r G T. (29). ! ' . $. B !:. S H ? . MK. y 1S. a1 u a1 d1. (30). ! !:. ° M Ka1 d1 DK ® k K k M Ka1 d1 °̄ k K k. a1k d1K k. u d1 a1 d1. M 0 a1k d1K k DK M 0 a1k d1K k. Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. si KG T d W j si W j <KG T. (31). 185.

(32) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. : M 0. si K 0 si 0 W j <KG T. M 0 ® ¯ M 0 D0. (32). Apéndice B Convergencia del modelo Sea Z «¬ w»¼ el número entero mínimo de movimientos del precio subyacente para que el las opciones europeas estén dentro de dinero entonces la $ :. B Z ; n, S. n. §n·. ¦Z ¨ k ¸ S. k. © ¹. k. 1 S. nk. (33). . $ $:. V 0, M 0 Sean S :. § n §n· k ¨ ¦ ¨ ¸S 1 S ©k Z©k ¹. nk. a1S exp iGW y T 1 S. . k. V n, M na d. nk. Sea RT. (34). d1 1 S exp iGW , entonces se. . c 0, M 0 p 0, M 0. · ¸ exp iT ¹. )G. M 0 exp rT B Z ; n, S S exp iT B Z ; n, S S exp iT 1 B Z ; n, S M 0 exp rT 1 B Z ; n, S §M · ln ¨ n ¸ , entonces R © M0 ¹. 1 n ¦ ln X k , entonces la tasa instanT k1. :. P 186. 1 S ln a1 1 S ln d1 GT. (36). Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(33) Estocástica. La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... FINANZAS Y RIESGO. 9 " % G T :. var R. 1 T2. n. ¦ var. (37). ln X k. k 1. H ? " % :. V2. Sean. E X. S 1 S 2 § a1 · ln ¨ ¸ GT © d1 ¹. (38). a1 a exp iGW y d1 d exp iGW , ya que exp i r T a1S d1 1 S , entonces a S d 1 S 1 7. . U ! ?:. exp 2 U GW. a1 d1. (39). . $) $)6 :. 1 S 1 S. y V2. . 4S 1 S U 2. (40). H :. 4 U 2S 2 4 U 2S V 2 " $F. S. (41). 0. ?:. 1§ V2 · ¨1 r 1 2 ¸ y 1 S U ¸¹ 2 ¨©. 1§ V2 · ¨1 # 1 2 ¸ U ¸¹ 2 ¨©. (42). donde 0 V d U para satisfacer que S > 0,1@ 7 < $) E X. exp i r T. Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. a1S d1 1 S. se tiene. 187.

(34) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. ?:. a1. d1. exp U GW iGW. S exp U GW 1 S exp U GW. (43). exp U GW iGW. S exp U GW 1 S exp U GW. Sustituyendo la ecuación en la ecuación se tiene que la tasa de crecimien :. U 1 ln S exp U GW 1 S exp U GW GW GW. P ir . " U :. V , se tiene que S 1 S. § exp V GW exp V GW · V2 ¨ ¸ i r lim ir ln GW o0 GW ¨ ¸ 2 2 © ¹ 1. P. (44). y V2. 1 2. V n2T. (45) n. Sea Z n. ¦Y. k. donde Yk. k 1. 1 ln X k : T. P. lim Z n N nPn , nV n2 n of. P. donde lim Z n n of. za n T y lim Z n. 188. n of. n of. (46). N nPn , nV n2 ! ? " Z n "!. 2 n. d. y lim Z n N P , V 2. " d. N P ,V. 2. ! n Nn y varian-. ! ? " . Z n "!. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

(35) La ecuación de segundo grado en la estimación de parámetros.... Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. $ " . ! N y varianza T 2 7. H ? $ !3! :. Mt. § V2 · M 0 exp ¨ i r ¸ t V dWt 2 ¹ ©. (47). donde dWt 5 " "! !3! 7. -. Volumen 4, número 2, julio - diciembre 2014, pp. 155-190. 189.

(36) Estocástica. FINANZAS Y RIESGO. 190. Volumen 4, número 2, julio - diciembre, 2014.

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