MODELLING THE MODIFIED METHOD OF ANALYTIC HIERARCHY PROCESS BY MEANS OF CONSTRUCTIVE AND PRODUCTIVE STRUCTURES

doi 10.15802/stp2016/77926 © Т. Н. Васецкая, 2016

ІНФОРМАЦІЙНО-КОМУНІКАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ

ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

УДК 519.81:004.94

Т. Н. ВАСЕЦКАЯ

1*

1*_{Каф. «Компьютерные информационные технологии», Днепропетровский национальный университет}

железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, Днипро, Украина, 49010, тел./факс +38 (098) 237 05 21, эл. почта [email protected], ORCID 0000-0001-7008-2839

МОДЕЛИРОВАНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА АНАЛИЗА

ИЕРАРХИЙ СРЕДСТВАМИ КОНСРУКТИВНО-ПРОДУКЦИОННЫХ

СТРУКТУР

Цель. В исследовании предполагается: 1) расширить возможности классического метода анализа

иерар-хий (МАИ) для большого количества альтернатив и критериев; 2) построить модель конструктивного про-цесса принятия решений с использованием модифицированного метода анализа иерархий с сортировкой (МАИС). Методика. Для достижения поставленной цели используется механизм продукционных структур (КПС). Выполнены уточняющие преобразования обобщенной конструктивно-продукционной структуры. Результаты. Разработанная модель конструктивного процесса представляет со-бой взаимодействие трех структур:1) общей КПС МАИС, которая позволяет определить альтернативы и критерии, выполняя декомпозицию иерархической структуры задачи; 2) КПС группировки и сортировки, которая разбивает на группы альтернативы и критерии, реализуя для каждой из групп классический одно-уровневый МАИ, а также рассчитывая оценки парных сравнений на основании введенных данных; 3) КПС одноуровневого классического МАИ, которая позволяет заполнить матрицу парных сравнений и рассчитать ранги альтернатив. Все три структуры взаимодействуют между собой на разных уровнях уточняющих пре-образований: посредством согласования по данным на уровне конкретизации и использования реализаций. Представленная модель позволила перейти на более абстрактный уровень представления разрешения задач принятия решений для большого количества критериев и альтернатив. Научная новизна. По результатам работы предлагается использовать механизм КПС для формализации модификаций МАИ с сортировкой для разрешения задач принятия решений с большим количеством критериев и альтернатив. Практическая

зна-чимость. Формализация представления как самого метода анализа иерархий, так и его модификаций

позво-ляет расширить круг применения данного метода; унифицировать описания различных модификаций МАИ. Такое представление обеспечивает возможность разработки программ для реализации гибридных модифи-каций данного метода. Использование разных интерпретаций представленных в статье КПС позволит ис-пользовать другие подходы при определении согласованности матриц парных сравнений, расчета оценок и весов альтернатив и критериев.

doi 10.15802/stp2016/77926 © Т. Н. Васецкая, 2016

Введение

Метод анализа иерархий (МАИ) [4, 11], предложенный Саати, получил мировое рас-пространение и применяется для решения задач принятия решений в разных сферах. Существу-ет большое количество модификаций данного метода, которые учитывают специфику задач, позволяют уменьшить существующие ограниче-ния на применение данного метода [1, 2, 3, 13, 14], или применяют МАИ в комбинации с дру-гими методами принятия решений (математиче-ские методы многокритериального анализа, ста-тистические методы и т.п.) [10, 12]. Разработано много программных средств, реализующих как сам метод, так и его модификации [2, 9, 14, 15].

В [14] представлена модификация МАИ с сортировкой (МАИС), которая может приме-няться при ранжировании большого количества альтернатив. Суть данного метода состоит в том, что все альтернативы разбиваются на группы по три (четыре) в группе и применяется классический МАИ для каждой из групп. Если положение альтернатив в группах изменяется, то выполняется перегруппировка. Часть оце-нок, которые еще не определены экспертом, рассчитывается на основании уже определен-ных на каждом шаге. Это существенно облег-чает работу эксперта.

Цель

Целью данной работы является расширение возможностей классического МАИ для боль-шого количества альтернатив и критериев. Для этого предлагается представить конструктив-ный процесс принятия решения с использова-нием МАИС средствами конструктивно-продукционных структур (КПС) [6]. В [8] сред-ствами КПС формализован процесс ранжиро-вания альтернатив с использованием классиче-ского МАИ.

Для представления МАИС разработана си-стема из трех взаимодействующих КПС: непо-средственно МАИС, КПС группировки и сор-тировки и КПС одноуровневого классического МАИ.

Методика

Для достижения поставленной цели исполь-зуется механизм конструктивно-продукционных структур. КПС представляют собой мощный аппарат для формализации и моделирования процессов [5 - 8]. Выполняя разные уточняю-щие преобразования обобщенной конструкци-онно-продукционной структуры (ОКПС) [6]: специализацию, интерпретацию, конкретиза-цию и реализаконкретиза-цию, разрабатываются разные модели [7]. ОКПС называется тройка [6]:

   

 , ,

G M

C

,

где M – неоднородный носитель структуры;

 – сигнатура, состоящая из множеств

ций связывания, подстановки и вывода, опера-ций над атрибутами и отношения подстановки;

 – конструктивная аксиоматика [6].

Назначение КПС состоит в формировании множеств конструкций с помощью операций связывания, подстановки, вывода и др. опера-ций, задаваемых правилами аксиоматики.

Результаты

В данной работе представлена модель мо-дифицированного МАИС [14] на основе КПС без ограничений на количество критериев и альтернатив.

Все три КПС взаимодействуют на уровне конкретизации: связь согласование по данным, и на уровне реализации: КПС МАИС использу-ет реализацию КПС группировки и сортировки для критериев и для набора альтернатив по каждому критерию, КПС группировки и сорти-ровки использует реализацию для каждой группы КПС одноуровневого МАИ.

Конструкционно-продукционная структура

МАИС. Определим специализацию ОКПС [6]

структуры для представления метода анализа иерархий с сортировкой:

AHPS AHPS

AHPS AHPS

S C M

M

C ,,  , ,

где C– ОКПС, M – неоднородный носитель,

 – сигнатура,  – аксиоматика, _S –

опе-рация специализации, _AHPS  ₁ ,

,

{ 1 1

1 MAHPS T N

 AHPS 



,,,



,

} || , | ,

{  



 ,{},{,*,:,,}}, }

, ,

{ 



doi 10.15802/stp2016/77926 © Т. Н. Васецкая, 2016

операции вывода,  – операции подстановки,



 операции над атрибутами.

Частичная аксиоматика ₁ содержит

сле-дующие определения, дополнения и ограниче-ния, которые уточняют алфавит, атрибуты но-сителя, отношения подстановки, задают осо-бенности выполнения операций подстановки и вывода.

Терминальный алфавит содержит

множе-ство альтернатив {name,vxi} и критериев

}

{_name,vk_p с их атрибутами:x_i  идентификатор

альтернативы, name семантика, v 

глобаль-ный приоритет (вес); k_p  идентификатор

кри-терия.

Альтернативы и критерии, допустимые зна-чения оценок содержатся в неоднородном

но-сителе M_AHPS.

Вводятся следующие операции над атрибу-тами:

) ; ;

(cn L

  условного выполнения n

опера-ций из списка L, если ctrue,

) ,..., ,

(j₁ j₂ j_n

L , операции представлены в

префиксной форме;

  операция умножения вектора на число;

:=  операция присваивания;

<  сравнение на меньше;

  операция установки значения атрибута,

внешним исполнителем.

Правила подстановки имеют

вид r_r,i,j : sr,i,j,gr,i,j , где sr,i,j –

отношение подстановки, gr,i,j – набор

опера-ций над атрибутами, r – номер правила, i, j –

номера первой и второй альтернативы пары. Трехуровневая индексация применяется для упорядочения правил подстановки.

Двухместная операция частичного

выво-да [6] l*(|(,l)) (здесь l, l* – формы до и

после выполнения операции подстановки), за-ключается в:

1) выборе одного из правил подстановки ,

,

: r,i,j r,i,j 

r s g

 с отношениями

подста-новки s_r,i,j и выполнении на его основе

опера-ций подстановки. Доступность отношения

под-становки s_r,i,j определяется значением

атрибу-та доступности d_r,i,js_r,i,j: если dr,i,jsr,i,j 1,

то отношение доступно; если dr,i,jsr,i,j 0 –

не доступно; доступность правил регулируется операциями над атрибутами или задается акси-оматикой;

2) выполнении операций над атрибутами gr,i,j.

Порядок применения операции над атрибу-тами в процессе выполнения операции

частич-ного вывода задается атрибутом _j, где jI,

} {₀,₁

I , IM_AHPS, ₀ – операция над

ат-рибутом выполняется перед операцией

подста-новки, ₁ – после операции подстановки.

Операция полного вывода (или просто вы-вода) заключается в последовательном выпол-нении операции частичного вывода, начиная с начального нетерминала, и заканчивая кон-струкцией, удовлетворяющей условию оконча-ния вывода. Результатом операции полного вы-вода является конструкция, содержащая упоря-доченную последовательность альтернатив.

Условием окончания вывода является от-сутствие нетерминалов в форме.

Пусть имеется следующая базовая алгорит-мическая структура (БАС) [6], которая содер-жит операции выполнения действий по усло-вию, операций с матрицами, а также запуска МАИС для критериев и альтернатив:

  



 A,AHPS A,AHPS A,AHPS A,AHPS M

C , , ,

где M_A,AHPS – неоднородный носитель, который

содержит V_A,AHPS, A,AHPS – сигнатура и

A,AHPS

 – аксиоматика, i j

j i

A A

A A A,AHPS A

V { 10| _{, ,}

} | ,

| ,

0 23 , , 0 22

b b b

a b a A

A  _ – множество образующих

алго-ритмов для некоторого исполнителя и

w f

f f

f f

f l

l A A V

A j

i j

i j

i q

h , | , | }

|

{ 2 , , 3 , 4 _, – множество

сконструированных алгоритмов, P

a,b L

L n с A

A | , |

{ 5 , , 60 ,

, | , | , | ,

| ,

0 18 0 9 , 0 8 , 0 7

c b a b a c

b a a

b

a A A A

A |, ,

0 10

c b a

A | , ,

0 11

c b a

A | , ,

0 12

c b a

A

is c

b a а

b a

N

A A

A | , | , , 150 | _

0 14 , 0

13 ,

r 0 16| _

N

A , 170 | ,

c a

A A ca,b 0 18| , c

b a

A₁₉0 | _, ,A₂₀0 |c_a,b, a_xh_{x k}

p j i

A₂₁0 | ,_{, ,} }V_w – алгоритмы,

реализующие операции  над атрибутами.

doi 10.15802/stp2016/77926 © Т. Н. Васецкая, 2016

 i j

j i

A A

A A

A₁0| _, – конкатенации алгоритмов

(после-довательное выполнение алгоритма A_i

по-сле A_j);

 j

i q h

f f l l

A2| _{, ,} – подстановки;

 



 4 ,

, 3| ,A | A j

i

f

f – частичного и полного

вы-вода. Здесь f_i, f_j – формы,  – начальный

нетерминал,  – множество

сформирован-ных конструкций;

 L

L n с

A5 |, , – выполнения n алгоритмов из

списка L, если ctrue;

 c

b a

A , 0

6 | – вычисления произведения a* , b a

и b могут быть матрицами или числами;

 a

b a

A , 0

7 | – присваивания значения

перемен-ной ab;

 b

a

A₉| – определения значения a внешним

экспертом;

 с

b a

A , 0

10| – вычисления частного от деления

a на b;

 с

b a

A , 0

11| – вычисления остатка от деления a

на b;

 c

b a

A , 0 8 | ,

c b a

A , 0 12| ,

c b a

A , 0 13| ,

c b a

A , 0 19| ,

c b a

A , 0 20| –

сравнения чисел a и b, если условие

вы-полняется (ab,ab, ab,

b

a ,ab), то ctrue, в противном

слу-чае c false;

 a

b a

A , 0

13| – присвоения переменной a

значе-ния b, a и b могут быть векторами,

мат-рицами или числами;

 c

b a

A₁₄0 | _, – логического «и» двух условий a и

b, истина, если оба условия являются

ис-тинными;

 is

N

A150 | _ – вычисления отношения

согласо-ванности матрицы парных сравнений (МПС) 

N ;

 0 r

16| _

N

A – вычисления вектора приоритетов

альтернатив по МПС _N ;

 с

a

A17| – вычисления целой части от

дей-ствительного числа a;

 c

b a

A , 0

18| – вычисления суммы ab, a и b

могут быть матрицами или числами;

 ah

k x x_{i j p}

A ,, , 0

21| – определения значения веса

связи i и j альтернатив по критерию k_p

внешним исполнителем (h1);

 ab

b a

A₂₂0 | _, – связывания альтернатив и

крите-риев, где a, – идентификаторы альтерна-b

тив или критериев, или связь между ними;

 b

b

A₂₃0 |__, – связывания результата

реализа-ции b с нетерминалом использования

реа-лизации КПС .

Интерпретация основной КПС для модифици-рованного метода анализа иерархий:

, ,

, _{AHPS AHPS}

AHPS AHPS M

C   



I AHPS A AHPS A AHPS A AHPS A M

C ,  , , , , ,

Z M

C_{AHPS AHPS AHPS IAHPS}

I

I  , , , , ,

где I – операция интерпретации; Z –

мно-жество исполнителей, способных использовать

все алгоритмы БАС; C_A,_AHPS I,AHPS AHPS 3,

) |

{( ₁0 _,

3 

 i j

j i

A A

A A

A ,( 2| , , ),

j i q h

f f l l

A ( 3 _,|)

j i

f f

A ,

) || | ,

4  

 



A ,( 60| *)

c a,b

A ,( | , : )

0

7   a

b a

A ,

) |

( ,

0

8  c

b a

A , ( | , , )

0

5  L

L n c

A , (A bb 

 , 0

23| )}.

Представим конкретизацию КПС для метода анализа иерархий с сортировкой:



K AHPS I AHPS AHPS AHPS

IC  M , , , ,Z

   K,AHPS  AHPS,К,AHPS,I,AHPS 4 K C M

Z

,

5





,

где ₄{T₁{x₁,x₂,x₃,...,x_N,k₁,...,k_P}, } , ,..., , ,..., , ,

{ _{, 1 1}

1 PN Q  P Q QP 

N  ,

}, {

U _P,N K {r: sr,i,j,gr,i,j }, r1,6},

r – номер правила; i – номер первой

альтерна-тивы,

j

– номер второй альтернативы пары;

i

x

– терминал для обозначения

идентификато-ра i-ой альтернативы;

k

_l – терминал для

обо-значения идентификатора

l

-ого критерия; U –

множество начальных нетерминалов;



_l –

не-терминал для обработки альтернатив по

l

-ому

реа-doi 10.15802/stp2016/77926 © Т. Н. Васецкая, 2016

лизации КПС группировки и сортировки для

критериев; Q – нетерминал МПС критериев

(где Q{r,is,N} – множество атрибутов: r –

вектор приоритетов МПС,

is

– отношение

согла-сованности матрицы, N – размерность

матри-цы), _Q_l– МПС альтернатив по l-ому критерию.

Частичная аксиоматика ₅ заключается в

следующем.

Количество критериев P и количество

аль-тернатив N, а также семантика альтернатив и

критериев задаются на этапе выполнения внешним исполнителем.

Запись последовательной конкатенации не-скольких терминалов, нетерминалов и последо-вательное выполнение операций над атрибута-ми будем обозначать следующим образом:





  

 n

i i n x

x x x

1 2

1 ... . Запись ( )

1 1

, ,

 

 



N

i

d N

i j

j i

r 



означает, что правило состоит из последова-тельности отношений подстановок с заданным атрибутом доступности. Если отношение под-становки доступно, то оно выполняется и опре-деляется доступность следующего отношения в последовательности, в противном случае это отношение пропускается и определяется до-ступность следующего в последовательности.

Правила, которые не изменяют текущую конструкцию, имеют пустое отношение под-становки.

Принимается, что d_r,i,js_r,i,j 1, для всех

1,5

r , поэтому этот атрибут в этих правилах

упущен. Ниже приведены правила и их краткое описание.

Отношение подстановки s1,0,0 применяется

для ввода последовательности обработки кри-териев и альтернатив по критериям. Операция-ми над атрибутаОперация-ми выполняется определение количества и семантики критериев и альтернатив:

, ) ( |

1 ,

0 , ,

0 , 0 ,

1





  

 P

p p Q

k k N

P

Q P P

s     

)); ( : ( ), ( : ), ( :

1 0

, 0 , 1

0 i

P

i

i k

k P P N N

g   









. )) ( : (

1

i N

i

i x

x 





Отношение

s

_2,0,0 использует реализацию

КПС сортировки и группировки для

альтерна-тив по каждому критерию, и

s

_3,0,0 –

применяет-ся для получения результата реализации КПС сортировки и группировки для критериев:

) |

(

, , 1

0 , 0 ,

2 _{xp k} Q p P

p p

p Q

P N

s 



    



.

 

 

 Q Q

k

Q P

s   

, 0 , 0

, 0 ,

3 | .

Отношение

s

_4,0,0 используется для

получе-ния результата реализации КПС группировки и сортировки для альтернатив:

) |

( _{, ,}

1 0

, 0 ,

4 _{xp k} Q p Q p P

p

p Q

P N

s 



     



.

Следующее отношение подстановки служит для ввода в конструкцию набора альтернатив. Операции над атрибутами содержат расчет глобальных приоритетов альтернатив:





 

 

 N

i i v p

Q P

p

Q x

s

1 1

0 , 0 ,

5  (  ) ( ) ,

) * ) ( : (

1 0 , 0 , 5

0 p i p

N

i

i r r

x v

g  

 



   



.

Набор отношений подстановок s_6,0,0

позво-ляет упорядочить альтернативы в конструкции согласно их рангам:

) (

, , 6

1

1 1 0

, 0 ,

6 v j d v j v i N

i

i v N

i j

x x x

x s

j

i  





 



 

,

)) 1 : ; 1 ; (

( _6,,

1

1 1 0

, 0 , 6

0 

 

    



  j i j

N

i

i N

i j

d x v x v g

 .

Реализацией данной КПС является упорядо-ченная в соответствии с рассчитанными рангами последовательность альтернатив.

Конструктивно-продукционная структура группировки и сортировки альтернатив (КПС

ГСА). Определим специализацию ОКПС для

представления подсистемы группировки и сор-тировки для МАИС:

GSA GSA GSA GSA

S C M ,Σ ,Λ

M

C ,, 

где _GSA ₆,₆{M_GSAT₂N₂ ,



 





_GSA , , , ,{},{,|,||},



 





doi 10.15802/stp2016/77926 © Т. Н. Васецкая, 2016

[]}} ,



,



– операции связывания, –

опера-ции вывода,





операции над атрибутами,



– операции подстановки.

Частичная аксиоматика ₆ представлена

ниже.

Терминальный алфавит содержит множе-ство альтернатив и критериев с их атрибутами.

Правила подстановки состоят из отношения подстановки и набора операций над атрибута-ми. Отношения подстановки содержат атрибут

доступности d_r, где r – номер правила,

кото-рый принимает значения 1 – отношение до-ступно и 0 – не додо-ступно. Для правил с

посто-янным атрибутом доступности (d_r=1) этот

ат-рибут упускается для упрощения записи. Для интерпретации КПС группировки и

сорти-ровки альтернатив воспользуемся БАС C_A,_AHPS,

описанной выше:

, ,

, GSA GSA

GSA GSA M

C   



I AHPS A AHPS A AHPS A AHPS A M

C ,  , ,  , , ,

GSA GSA I GSA GSA GSA

I

I C  M , , , ,Z ,

где I,GSAGSA7, {( | , ),

0 1

3  

 i j

j i

A A

A A

A

), |

( ₂ j_{, ,} 

i q h

f f l l

A ( 3 _,|)

j i

f f

A , A₄|__,||),

*) |

( 60 

c a,b

A , ( | , : )

0

7   a

b a

A , ( | , )

0

8  c

b a

A ,

), |

( , ,

0

5  L

L n c

A ( 100 | /)

c a,b

A , ( 110 | %)

c a,b

A ,

) |

( 120 

c a,b

A , ( 130 | )

c a,b

A , ( 140 | &)

c a,b

A ,

) |

( 150 

is

N

A _ , ( 160 |r_ )

N

A , (A₁₇|с_a []),

) |

( 180 

c a,b

A , ( | , )

0

19  c

b a

A , (A bb 

 , 0

23| )}.

Конкретизируем КПС группировки и сорти-ровки альтернатив:



K GSA GSA I GSA GSA GSA

IC  M , , , ,Z

   K,GSA  GSA,К,GSA,I,GSA 7 K C M

, ,

8 ZGSA





где 7{T2 T1{qym,j}{qym,j}{qzm,j},

M

m1, и j1,4, N2 {P,N,N,p,p,n,Q,

}, ,

{ }} { , ,

| , , , ,

,

, ), (

, 3 4

1 , ,

m n ch m n ch m M k k L

k p y

Q n

n

i

p i m q m n p

  



 

 _ 







M

m1, , U {P,N}, K {r: sr,gr },

} 14 , 1



r , r – номер правила, _k,k,M

4

3 –

отвеча-ет за определение количества групп с чотвеча-етырьмя

и тремя альтернативами (k₃,k₄– количество

групп с тремя и четырьмя альтернативами в

группе соответственно, М – общее количество

групп); _ch,n_m, _ch,n_m  нетерминалы m-ой

группы альтернатив, с атрибутами ch  флаг,

отвечающий за изменения положений

альтер-натив в группе (1  альтернатив поменяли свое

положение после ранжирования в группе, 0 

не поменяли); _N,p  МПС для N

альтерна-тив по критерию p, элементы матрицы

нетер-миналы _a,h_i,j с атрибутами:a  оценка

срав-нения i и j альтернатив, h  способ

получе-ния оценки (h1 – заполнено согласно оценки

внешним исполнителем экспертом, h0 – без

участия внешнего эксперта на основе правил

подстановки); p,nm – МПС по критерию p

для группы m, содержащей n – альтернатив,

элементы этой матрицы нетерминалы

j i m h a

p, ,  ,, , где атрибуты a и h такие же как для

j i h a,  , ;

 

 n Q

n

i

p i m q m n p

L

k p y ,

, ), ( ,

1 , ,

| 

 

– нетерминал

исполь-зования реализации КПС одноуровневого клас-сического МАИ для альтернатив группы:





n

i i m qy 1

, – набор альтернатив для

ранжирова-ния по МАИ, p – номер критерия по которому

выполняется ранжирование, Pk– вектор

кри-териев, Q – МПС альтернатив группы с

вы-численными рангами и отношением

согласо-ванности, nL – упорядоченный в соответствии

с рангами список альтернатив, p,nm – МПС

сравнений альтернатив в группе; _m –

нетер-минал для подготовки к ранжированию

альтер-натив m- ой группы; _all



– нетерминал для

расчетов параметров общей МПС альтернатив (недостающих оценок парных сравнений, от-ношения согласованности и контроля

doi 10.15802/stp2016/77926 © Т. Н. Васецкая, 2016

множества альтернатив в группе m, y, y, z 

идентификатор альтернативы, q[name,v,u,r,l]

 набор атрибутов, где name семантика

альте-рнативы, v  глобальный приоритет (вес)

аль-тернативы, u  глобальный номер альтернативы,

r  вектор весов альтернативы по критериям, l 

номер критерия.

Первое правило с отношением подстановки, которое вводит в конструкцию

последователь-ность альтернатив, МПС по p-ому критерию и

нетерминал с атрибутами для работы с группа-ми. С помощью операций над атрибутами рас-считывается количество групп из 3-х и 4-х аль-тернатив и общее количество групп. Заполня-ются оценки парных сравнений альтернатив значениями по умолчанию:

, ) ( | 1 , , , , , ,

1



3 4

     N u M k k N p u v name k p x x s Q P

N  

  ), 4 / : ( ; 3 ; 0 4 % ( , 0 : 4 1

0g  flag   N  k  N  ), 0 : ( ; 3 ; 3 ( )), 1 : ( ), 0 :

(k3  flag   N k4 

), 0 : ( ; 3 ; 5 ( )), 1 : ( ), 1 :

(k3  flag   N k4 

; 2 ; 0 ( )), 1 : ( ), 2 :

(k3  flag   flag

)), 4 % 3 ( 4 / :

(k4 N  N

; : )), 3 / ) 4 ( :

(k3  Nk4 M k3k4

 

        N i j i p i j p N i j j i

p a h

a 1

, ,

1

, : 0; : 0; : 0;

( (    ) ; 0 : ; 1 : ); ; 0 : , , ,     

 _{ji ii ii}

p p

p a h

h   

.

Следующее отношение применяется для разбивки альтернатив на группы. В операциях над атрибутами вводится соответствие между общим списком альтернатив и альтернативами в группах:







         N u M m n i i m q n ch M k k u q m y x s

1 1 1

, ,

, ,

2 ( ) 3 4 ( )

    . ; : ( ; 3 ( 1 * , 1 2 3

0





       

 n m

j j i j i m k i x name y name n g    ; 4 ( )); : 1 * , 3     



  m M k i j i j

i u x n

y u  )) : ; : ( _{, *} 1 *

, i j i j n

j

j i j

i name x u y u x

y name m      



   .

Операции над атрибутами отношения s₃

устанавливают значения атрибутов элементов МПС альтернатив:







         

     M  

m n ch d M m N p n i i m q n ch m y s 1 , 1 , 1 , ,

3 ( ) ) (

3 , ) ) , , 1 ,      N p m m n p n i i m q m m

y   

  _ 



 



           m j m i m m n i y u y u n j j i m M m a a g      1 , 1 , , 1

3 ( ( ( : , , ; 0 ))) : , ,, ,

,ij u y_miu y_mj m h

h   _{ }

.

Следующее отношение подстановки приме-няется для использования реализации КПС классического одноуровневого МАИ для каж-дой группы альтернатив:

    







          M m m m n p n i i m q n ch _m m y s 1 , 1 , ,

4 ( ))

. ) | ) ( ( , ) ( , ), ( , 1 , , 1 1 , 1 , ,         Q m n i i m q m n i p i m q m m n p m z k p y n i i m q n ch M m y          





  

С помощью операций над атрибутами сле-дующего правила общая МПС дополняется но-выми оценками:           



          N p z k p y M m m Q m n i i m q m m n p m n i p i m q m m n p s _, , ) ( , , ), ( , 1

5 ( | 1 )

, , 1 , ,     all N p m Q n

i q mi M

m

m

z  

    



, 1 , 1 ) , (

,

 



         

 m m

j m i m n i n j j i m z u z u M m a a g      1 1 , , , 1

5 ( ( ( _{, ,} : ;

1

. )))

: _,,

, ,

, u z mij

z u h h j m i m      _{ }

Отношение подстановки применяется для рас-чета оценок элементов общей МПС по транзитив-ности и подсчета незаполненных элементов:

,

6

s

  

         N i N i j N c j i h all g

1 1 1

,

6 : 0; ( ( ( 0;

1  

 ; 2 ); 0 ( & ) 0 (( ( ;

4  ac,j  ai,c 

)); 1 : ; * :

(sumsumai,c ac,j q q

doi 10.15802/stp2016/77926 © Т. Н. Васецкая, 2016

7

s  отношение подстановки для сравнения

альтернатив в группах после применения МАИ. Если порядок альтернатив в группе изменился, то соответствующий атрибут устанавливается в единицу:          





( ( ) ( ), ) 1 , 1 , , 1

7 Q m

n

i q mi n i i m q n ch M m m m z y

s  

  ); , ) ( ) ( ( 1 , 1 , , 1 m Q n i i m q n i i m q n ch M m m m z y            









          M m n i i m i m m m z name y name ch g 1 1 , ,

7 ( : 0; ( ( ;

0    ; ; : ( ;

3 vym,i vzm,i nameym,i namezm,i

; (

);

) , ,

,

,i mi mi mi m u z name y name z

y

u      

. 1 : ;

1chm 

Отношение s8 используется для расчета

вектора приоритетов и отношения согласован-ности для общей матрицы, если положение альтернатив в группах не изменилось:

         





( ( ) ( ), ) 1 , 1 , , 1

8 Q m

n

i q mi n i i m q n ch M m m m z y

s  

 

 

 _{all d} Q

N

p  

 8 ,

,



       M m m f ch f g 1

8 : 0; ( ( 1;1; : 1));

0   ; ) 1 : ; 1 ); 0 ( & ) 0 ((( ); 1 : ; 1 ; 1

(  9      8 

 f d f all  d

. ) ( : ); ( : _{, ,} 8

1    

 g  is  pN r  pN

Отношение подстановки s9 применяется

для перегруппировки альтернатив. Операции над атрибутами позволяют установить атрибу-ты альтернатив в новых группах:

          





   Qm pN

n

i q mi n i i m q n ch M m m m z y s , 1 , 1 , , 1

9 ( ( ) ( ), )

; ) ) ( ( _{, ,} 1 , , 1 1

8    

 n  _{pn  m m pN}

i i m q m n ch M m d all m m

y   

     _{ }   





; 2 : ]; 2 [ : ( 1 1 9

0    

  



  l n n l g m M m m   



      l i i l m i

m name z

y name 1 , , : ; ( ; : ; : _{, , ,}

,i ml i mi ml i m p z v y v z

y

p    _     _



            2 1 , 1 , , , : ); ( : ; i i m l i m i l m i

m u z name y name z

y u

; :

;

: 1, , 1,

,i l m i mi l m i m p z v y v z

y

p  _   _   _   _

);

: _1,

,i l m i m u z

y

u  _   _

 



            ' , , ' 1 1 , 1 , , 1 1

9 ( ( ( : ;

m j m i m m n i y u y u n j j i m M m a a g      . ))) : , ,, ,

,i j u y_miu y_mj m h

h   _{ }

Отношение подстановки s₁₀ для

использо-вания реализации классического МАИ для но-вых групп альтернатив:

            





( ( ) , ) 1 , , 1 1

10 pn m m

n i i m q m n ch M m m m y

s  _  

 ) | ) ( ( , ) ( , ), ( , 1 , , 1 1 1 , 1 , ,         Q m n i i m q m n i p i m q m m n p m z k p y n i i m q n ch M m y                    





.

Следующее правило содержит отношение подстановки для получения результата ранжи-рования по МАИ в каждой группе и сохранения в общей МПС введенных экспертом оценок:

                 



         N p z k p y M m m Q m n i i m q m m n p m n i p i m q m m n p s , , ) ( , , ), ( , 1 1

11 ( | 1 )

, , 1 , , , ) , ) ( ( _, 1 , 1 1     all N p m Q n i i m q M m m

z  

      



 



            ' ' , , 1 1 1 , , , 1 1

11 ( ( ( : ;

m m j m i m n i n j j i m z u z u M m a a g      . 1 : ; 1 : ; )))

: ,, 6 12

, _,

,    

 _{ } h d d

h u z_miu z_mj mi j

Операции над атрибутами следующего пра-вила позволяют определить изменения позиций альтернатив в группах после применения МАИ:

, 12 s



      1 1

12 ( : 0;

0 M m m ch g   , ) : ; 1 ; ( ( 1 , , , ,



            m n i i m i m i m i

m name z v y v z

y name  1 : ; 1 ; (  ,   ,   

 name y_mi name z_mi ch _m .

Отношение подстановки s₁₃ для расчета

doi 10.15802/stp2016/77926 © Т. Н. Васецкая, 2016              





( ( ) ( ), ) 1 , 1 , , 1 1 13 ' m Q n

i q mi n i i m q n ch M m m m z y

s  

 

,

13

,N all d Q p  





         1 1

13 : 0; ( ( 1;1; : 1));

0 M m m f ch f g   ); 1 : ; 1 ; 1

(  13 

 f d

. ) 1 : ; 1 ); 0 ( & ) 0

(((    14 

 f all  d

. ) ( : ); ( : , , 13

1    

 g  is  pN r  pN

Следующее отношение подстановки приме-няется для того, чтобы вернуть альтернативы в группы, если их положение изменилось:

    







    m n ch M m M-m n i i m q n

ch y (

s m    , 1 1 1 1 , ,

14 ( ( )) (

, ) ( ) , ) ( ) ( 1 , , 1 1 , 1 , 14 '







            

 m m n m

i i m q n ch M m d m Q n

i q mi n

i i m

qy z y

    





          l i i m i l m M m m z name y name n l g 1 , , 1 1

14 ]; ( : ;

2 [ : ( 0   ; : ; : , , ,

,l i mi ml i mi m p z v y v z

y

p _    _  



          2 1 , , 1 , , : ); ( : ; i l i m i m i m i l

m u z name y name z

y u ). : ; : ;

: , 1, , 1, ,

,

1i mil m i mi l m i mi l

m p z v y v z u y u z

y

p              

. 0 : ; 1 : 14 3 14

1g  d  d  

Реализацией КПС группировки и сортировки альтернатив является нетерминал с вычислен-ными атрибутами рангов альтернатив и отноше-нием согласованности для МПС альтернатив.

Конструктивно-продукционная структура для одноуровневого классического МАИ. КПС клас-сического одноуровневого МАИ реализует за-полнение внешним экспертом некоторых оце-нок парных сравнений, нахождение собствен-ного числа матрицы, отношения согласованно-сти МПС и рангов альтернатив.

Определим специализацию ОКПС для пред-ставления одноуровневого классического МАИ:

AHP AHP AHP AHP

S C M ,Σ ,Λ

M

C ,, 

,

где _AHP  ₉, ₉ {M_AHP T₃N₃,



,,



,



_AHP {,|,||,}

,



 

,

,

}} , , , , , /, , : , {    

.

Операция (xi,xj,kp) позволяет задать

зна-чение веса связи между i и j альтернативами

(критериями) по k_p критерию, (xi,xj,)

поз-воляет задать значение веса связи между кри-териями. Эти операции выполняется внешним исполнителем.

Терминальный алфавит содержит множе-ство альтернатив и критериев с их атрибутами.

В процессе вывода формируется конструк-ция, которая будет содержать следующие

фор-мы: a,h(xixjkp) – связь i и j альтернатив

по критерию k_p, a – вес связи, h – атрибут,

отвечающий за способ получения значения веса

(h1 – заполнено согласно оценки внешним

исполнителем экспертом, h0 – без участия

внешнего эксперта на основе правил

подста-новки); a,h(xixj) – связь i и j

альтерна-тивы (критерия) если не задан критерий

сра-невния; Q – матрица парных сравнений

аль-тернатив; ( )

1



 N i i

rx – отсортированная

последо-вательность альтернатив.

Для интерпретации данной КПС

использу-ется БАС CA,AHPS, описанная выше:

 



 _{AHP AHP AHP A,AHPS}

AHP M C

C , , ,



I A,AHPS A,AHPS

A,AHPS

M  

 , ,

Z M

CAHP AHP AHP IAHP C

I I

AHPS

А , , , ,

, _,   

 ,

где I,AHP AHP 11, {( | , ),

0 1

11 

 i j

j i A A A A A ), |

( 2 _{, ,} 

j i q h f f l l

A 3| i_i,|)

f f

A , 4| , ||)    A , ) : |

(A₇0 a_a,b   , (A₈0|_ac_,b ), (A₅0|L_c,n,L ), /)

|

( 100 

c a,b

A ,( 120 | )

c a,b

A ,(A₁₃0 |c_a,b),(A₁₉0 |c_a,b), )

| ( ₁₅0 is 

N

A _ ,( 160 |r_ )

N

A ,( ₂₁0 |c_, )

b a

A ,( ₂₂0 |a_,b_)

b a

A }.

Выполним конкретизацию интерпретиро-ванной КПС для одноуровневого МАИ:

 K AHP I AHP AHP AHP C

I, А,AHPC  M , , , ,Z

z M

CK,AHP  AHP,К,AHP,I,AHP910,

,

где ₄ {T₃T₁, N₃{_N,_P,,,_P,N,Q,_p,N},

} {_P,N