• No results found

STATISTICAL SEMI-MARKOV MODEL FOR RELIABILITY EVALUATIONOF ELECTROMECHANICAL SYSTEMS

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "STATISTICAL SEMI-MARKOV MODEL FOR RELIABILITY EVALUATIONOF ELECTROMECHANICAL SYSTEMS"

Copied!
5
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

УДК 621.313.3–7.017

В. Е. КАЖАН (ДИИТ)

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПОЛУМАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ

ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Уроботірозглядаєтьсянапівмарковськамодельпроцесуексплуатаціїтанаводитьсяалгоритмоцінкипо

-казників надійності електромеханічної системи, який ґрунтується на методі статистичного моделювання

(рис. 1) [5].

Вработерассматриваетсяполумарковскаямодельпроцессаэксплуатациииприводитсяалгоритмоценки показателейнадежности электромеханической системы, основанныйнаметодестатистическогомоделиро

-вания (рис. 1) [5].

The paper considers the «Polumarkovskaya» model of operation process and suggests an algorithm of electromechanical system reliability performances, based on the methods of statistic modelling (1 fig, 5 references).

Качество любой электромеханической системы (ЭМС), в частности, автоматизиро

-ванных электроприводов технологических комплексов определяется совокупностью свойств этой системы, в том числе надежно

-стью. Процесс эксплуатации ЭМС позволяет накапливать информацию в двух направле

-ниях: уточнение данных о надежности ее элементов и уточнение оценок надежности системы, полученных на предыдущих этапах

«жизненного» цикла. Процедура получения такой информации в процессе эксплуатации и испытаний ЭМС требует больших времен

-ных и материальных затрат и во многом оп

-ределяет структуру систем их технического обслуживания.

Оценку показателей надежности можно осуществить путем моделирования процесса функционирования ЭМС, заключающегося в получении с помощью алгоритма выборки определенного объема из генеральной сово

-купности. Наиболее удобная математическая модельанализа технического состояния ЭМС может быть получена с помощью аппарата теории полумарковских процессов [1; 2]. Ос

-нову такой модели составляет ориентирован

-ный граф S основных состояний SkS

(

k=1,N

)

ивозможных переходов ЭМС в хо

-деэксплуатации.

Исчерпывающими характеристиками по

-лумарковского процесса (ПМП) на множестве состояний при известном начальном состоя

-нии S0процесса являются матрицы условных функций F t

( )

= F tkl

( )

распределения време

-ни пребывания ЭМС в состоянии Sk до пере

-хода всостояние S k ll

(

, =1,N

)

иусловных ве

-роятностей переходов P= pkl , вложенной

вданныйПМПоднородноймарковскойцепи.

Вершина графа состояний и переходов

K

S – одноизсостоянийаппаратуры, когдаона либо полностью работоспособна, либо один или несколько из ее определяющих парамет

-ров Пj

(

j=1,N

)

находятся запределами поля допуска, либоЭМС находитсяна техническом обслуживании, либо на ней проводится теку

-щий ремонт и другие состояния. В качестве Пj основных законов распределения F tkl

( )

могут быть использованы такие законы, как равномерный, экспоненциальный, нормаль

-ный, Вейбулла-Гнеденкоидругие [3].

Считая известными вид и параметры функций F tkl

( )

изначениявероятностей pkl,

методика определения показателей надежно

-сти ЭМС с использованиемметода статисти

-ческого моделирования основывается на по

-лучении достаточного количества реализа

-ций ПМП на заданном интервале времени,

представляя процесс эксплуатации ЭМС

(2)

На основании графа состояний и возмож

-ных переходов ЭМС, характеризуемого мат

-рицей условных вероятностей переходов P

и номером исходного (начального) состояния ЭМС Sk0, осуществляется выбор направления перехода моделируемого процесса из состоя

-ния SK в Sl. Для этого используется датчик случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0,1), формирующий случайное число ξi с заданным законом распределения

kl

F (t), ипроверяетсяусловие

1 1

,

1 1

l

pk i pk

< ξ ≤

νν

ν = ν = k l, =1, .N (1)

Для выбранного перехода γ берется реали

-зация случайной величины времени τkl,

имеющей соответствующую функцию F tkl

( )

.

Для каждой r-й реализации

(

r=1,Np

)

фикси

-руются значения времени τki ki, +1 по каждому

γ переходу, текущее время моделирования

иномер состояния SK, в которомполумарков

-скийпроцесснаходитсявтечениевремени τkl.

Поэтимданнымформируютсямассивымомен

-товначала (окончания) каждогоперехода

( )

( )

1 k c kl t γ γ=

γ =

τ γ (2)

и среднего суммарного времени пребывания процессавкаждом S K состоянииграфасостоя

-нийипереходов

( )

( )

1 1 p kr N s kl t k γ τ= γ=

=

∑∑

τ γ , (3)

где γkr – число переходов в r-й реализации процесса.

Поданныммассивов tc

( )

γ и t ks

( )

строится гистограмма числа посещений процессом каж

-догоиз SK состояний

(

k =1,N

)

приr-йреали

-зацииввидемассива S∗= S*kx . Длячеговремя

реализации tp представляется совокупностью

временных интервалов x x

(

=1,xk

)

длительно

-стью или шагом квантования ∆tx, число кото

-p k x t x t =

∆ . (4)

При формировании гистограммы сравнива

-ются значения τ γkl

( )

с величиной x tx и на

-ходится наименьшее x, при котором

( )

kl x tx

τ γ ≥ ∆ . Каждому состоянию S K для лю

-богоx=1,xk отводится определенная ячейка массива S*. При попадании величины τ γkl

( )

винтервалx содержимоеячейкиувеличивается наединицу, аколичествоячеек nγ для данного γпереходаопределяетсякак

( )

(

1

)

c c x t t n t γ

γ − γ − =

∆ . (5)

Если на интервале τ γkl

( )

не укладывается

целое число ∆tx, то вэтом случае оставшийся временнойучастокдляпереходаγимоментего окончания либо отбрасывается, либо увеличи

-ваетсянавеличину

( )

( )

1 x x c int c

x x

t t

A t A eger

t t

γ γ

= ∆ − = −

∆ ∆ . (6)

Времяпребывания τ γkl

( )

такжеизменяется ибудет

( )

( )

1 x kl kl A A

τ γ = τ γ + . (7)

Для нахождения объективных устойчивых характеристик процесса требуется его много

-кратноеповторениеспоследующейобработкой полученных результатов. Статистическая ус

-тойчивость оценок параметров случайного процесса обеспечивается вычислением их как средних значений по большому количеству реализаций, выбор которых определяется тре

-бованиямикточностирезультатов.

Напрактикенеобходимое числореализаций определяется исходя из заданных точности ε

идостоверностиαсогласносоотношению [4]

(

)

2 1 2 1 2 , p p p N

Φ ⎛ ⎞α ⎤ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎣ ⎦

=

ε (8)

где 1

2

− ⎛ ⎞α

(3)

-Верхняяоценкапотребного количества реа

-лизаций N*p для

0,95 α = и

2

1 4,2

2

Φ ⎛ ⎞α ⎤ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎣ ⎦

определяетсяиз условия максимума числителя выражения (8)

* 1 2

p

N = ε . (9)

Порезультатам N*p – кратногомоделирова

-ния процесса переходов ЭМС производится количественная оценка ее показателей надеж

-ности. В частности, значения вероятности пре

-бывания ЭМС в каждом из состояний графа состоянийипереходов

(

)

**

Пk x kx

p

S x t

N

∆ = , (10)

представляющие собой вероятности того, что ЭМС врассматриваемый момент временина

-ходится в SKS состоянии, и среднего вре

-мени пребывания ЭМС в каждом из SKS

состояний

( )

( )

*

1 1 *

1

p kr

N

r kl

r r

k

p

q M

N γ

= γ=

τ γ

=

∑ ∑

, (11)

где r r

(

=1,Np*

)

номерреализации, а qr – число

посещений процессом SK состояния за r-ю реализацию.

Знаяфункции Пk

(

x tx

)

, можноопределить функциюготовностиЭМСкиспользованиюпо назначениюкак

(

)

(

)

1 П

R

x k x

k

K x t x t

=

∆ =

∆ , (12)

гдеR – числоработоспособныхсостоянийЭМС вграфесостоянийипереходов.

Таким образом, метод статистического мо

-делирования обеспечивает получение совокуп

-ностидискретных значенийпоказателейвфик-

сированные моменты, которые аппроксими

-руются аналитическими зависимостями [5] ввиде

( )

1

k

k t ako a tk

ν ν ν ν=

Φ = +

, (13)

где akν, N, ν– соответственнозначения коэф

-фициентов аппроксимации, число аппрокси

-мируемых функций и степень аппроксими

-рующегополинома.

В соответствии с изложенным составлен алгоритм статистического моделирования,

схема которогопредставленанарис. 1.

Исходнымиданнымиалгоритмастатистиче

-скогомоделированияявляются:

1) видипараметрызаконовраспределения

( )

(

, 1,

)

kl

F t k l= N времени пребывания

ЭМСв SK состоянии доперехода всо

-стояние Sl;

2) матрица условных вероятностей пере

-ходов P= pkl ;

3) величина шага квантования ∆tx, число работоспособных состояний R и на

-чальноесостояние Sk0 ЭМС;

4) значение точности ε и достоверности

α получаемых результатов моделиро

-вания;

5) продолжительность реализации модели

-руемогопроцесса tp;

6) количество точек аппроксимации

m и степень аппроксимирующего по

-линома νk.

В результате решения задачи должны быть получены:

1) функции вероятностей состояний

( )

(

)

Пk t k=1,N ЭМС;

2) функцияготовности K t

( )

ЭМС;

3) среднее время пребывания MK ЭМС

(4)

Рис

. 1.

Схема

алгоритма

статис

тиче

ского

(5)

Символы схемы алгоритма, приведенной на рис. 1, выполняют следующие операции. Сим

-вол 1. Ввод исходныхданных. Символ 2. Обну

-ление массивов среднего суммарного времени пребывания ЭМС в SKS состояний ts

( )

к

и моментов времени начала (окончания) пере

-ходов tc

( )

γ γ = γ

(

1, kr

)

, обнуление соответст

-венносчетчиков S

( )

к,x и Cи

( )

к числапопа

-даниймоделируемогопроцессавсостояние SK

на шаге x x

(

=1,xk

)

квантования ина всем ин

-тервалеегоr

(

r=1,N*p

)

реализации. Символ 3.

Расчет необходимого числа реализаций N*p

моделируемого процесса. Символ 4. Формиро

-ваниепервойреализации. Символ 5. Счетчисла переходов процесса γ γ = γ

(

1, kr

)

. Символ 6.

Выборначальногосостояния Sk0 ЭМС. Символ 7.

Формированиеслучайногочислаξ, равномерно распределенного в интервале (0,1) с использо

-ванием датчика случайных чисел (ДСЧ). Сим

-вол 8. Выбор направления перехода, т. е. со

-стояния Sl

(

l=1,N

)

, моделируемого процесса изсостояния SK согласноформуле (1). Символ 9.

Выборпо номеру признака функции F tkl

( )

, со

-ответствующейданномуγ переходу. Символ 10.

Формирование случайного числа τ γkl

( )

с за

-данным законом распределения. Символ 11.

Счет среднего суммарного времени t ts

( )

(k)

согласно (3). Символ 12. Счетчислапопаданий процесса в SK состояние и фиксация номера этого состояния на каждом переходе его r-й реализации. Символ 13. Формированиемассива

( )

a

T γ значений времени τ γkl

( )

по каждому

j переходу в r-й реализации процесса. Символ

14. Формирование массива моментов времени начала (окончания) переходов tc

( )

γ согласно выражению (2). Символ 15. Выбор номера строки матрицы P для определения направле

-ния очередного перехода моделируемого про

-цесса. Символ 16. Проверкаусловия, вселипе

-реходыr-йреализациирассмотрены. Символ 17.

Выбор первого перехода r-й реализации. Сим

-вол 18. Чтение номера SK состояния, соответ

-ствующего γ переходу. Символ 19. Определе

-ние моментов начала X1 и окончания X2 пе

-рехода γ и расчет количества занимаемых им ячеек согласно формуле (5), сдвигая моменты начала (окончания) переходов в ту или иную сторону (формулы (5–7)). Символ 20. Проверка условия: не выходит ли текущее значение x

за пределыинтервала моделирования процесса эксплуатации ЭМС. Символ 21. Формирование гистограммычислапосещений Skx0 . Символ 22.

Проверкаусловияокончанияпереборавсех γkr

переходов моделируемого процесса. Символ 23.

Счет числа реализаций процесса r (r=1,N*p ).

Символ 24. Проверка условия окончания пере

-боравсех N*p реализацийпроцесса. Символы 25, 26. Расчет среднего времени Mk пребывания ЭМС в SK состоянии функций Пk

(

x tx

)

и K x t

(

x

)

всоответствиисвыражениями (10),

(11) и (12). Символ 27. Формирование массива ввидематрицы

(

1, k 1, 1, k

)

T ν = ν + x = x

для аппроксимации дискретных значений по

-лученных функций. Символ 28. Расчет коэф

-фициентов аппроксимации akν согласно (13).

Символ 29. Выводрезультатовмоделирования.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК 1. Барлоу Р. Математическая теория надежности /

Р. Барлоу, Ф. Прошан; Подред. Б. В. Гнеденко. –

М.: Советскоерадио, 1969. – 389 с.

2. КажанВ. Е. Модельоценкикачествасистемытех

-нического обслуживания электромеханических комплексов / В. Е. Кажан, И. В. Котлярова // Транс

-порт: Збір. наук. пр. – Д., 2001. – Вип. 7.

3. Королюк В. С. Полумарковские процессы и их приложения / В. С. Королюк, А. Ф. Турбин – К.:

Наук. думка, 1976. – 184 с.

4. Бусленко И. П. Моделирование сложных сис

-тем. 3-еизд. – М.: Наука, 1978. – 400 с.

5. Фаддеев Д. К. Вычислительные методы линей

-ной алгебры / Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева. 2-еизд. – М.–Л.: Физматгиз, 1963. – 734 с.

References

Related documents

The simulated universe exercises were first tried out in an on-campus course, but more recently have been applied to a set of massive open online courses (MOOCs).. I will describe

 H02: There is no difference in the reading strategies employed by the participants in the two environments (i.e., traditional print vs. social network Telegram)  H03: Iranian

phil/phileo [G] to love philosophy, philanthropist phobos [G] fear phobia, claustrophobia phon/phone [G] sound, voice phonograph, telephone phos/phot/photo [G] light

Using average import prices as proxies for quality, a large body of the international trade literature …nds both theoretical and empirical support to the positive relationship

Cooperative Extension Service | Agriculture and Natural Resources | Family and Consumer Sciences | 4-H Youth Development | Community and Economic Development University of

derived smoke, fumes and odour and mean S02 concentrations 274 7.16 Scatterplot showing the relationship between indoor disturbance from vehic1e-... fumes and odour and

базы и поселения на Луне, Марсе и т. д., включая грядущую колонизацию Солнечной системы и создание «космического человечества»). Реализация процесса

Для разработки диагностического инструментария анализа и оценки вклада сложившейся системы профессиональной подготовки будущих педагогов (в целом и