THE APPLICATION OF TOPOLOGICAL METHODS TO THE CALCULATION OF THE SPATIAL OSCILLATIONS OF TWO - AND THREE-DIMENSIONAL TRUSS SYSTEMS

УДК 624.042.8

А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ)

ПРИМЕНЕНИЕ

ТОПОЛОГИЧЕСКИХ

МЕТОДОВ

К

РАСЧЕТУ

ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

КОЛЕБАНИЙ

ДВУХ

-

И

ТРЕХМЕРНЫХ

СТЕРЖНЕВЫХ

СИСТЕМ

Длядослідженняпросторовихколиваньстрижневихтабалковихконструкційзрозподіленимипарамет -рамизастосовуютьсяметоди, якіоснованінатеоріїскінченихграфівтаавтоматів. Показанависокаефекти -вність топологічного аналізу графів, які являють собою дво- та тривимірні стрижневі системи. Отримані характеристичнірівняннядлясуміснихколиваньортогональноїсистемиперехреснихбалокзжорсткимвуз -ловимз’єднанням.

Дляисследованияпространственныхколебанийстержневыхибалочныхконструкцийсраспределенны -мипараметрамиприменяютсяметоды, основанныенатеорииконечныхграфовиавтоматов. Показанавысо -каяэффективностьтопологическогоанализаграфов, представляющихдвух- итрехмерныестержневыесис -темы. Получены характеристические уравнения для совместных колебаний ортогональной системы пересекающихсябалоксжесткимузловымсоединением.

The methods based on the theory of terminating graphs and finite state machines are applied to examination of the space oscillations of rod and beam constructions with distributed parameters. The high performance of topologi-cal analysis of the graphs representing two-and three-dimensional rod systems is demonstrated. The secular equa-tions for joint oscillaequa-tions of the orthogonal system of intercrossed girders with rigid nodal junction are obtained.

Различные системы пересекающихсястерж

-ней и балок находят широкое применение в мостостроении, гражданском ипромышленном строительстве. Однако вопросам динамическо

-го расчета пространственных разветвленных конструкций посвящено сравнительно мало литературы, что объясняетсясложностью зада

-чи и гораздо большими трудностями ее реше

-ния, чем для одномерных стержневых систем.

Наиболее значительные результаты в решении этой проблемы, которая заключается прежде всего в определении параметров собственных колебаний, приведенывработах [1 – 7].

Обычно, ввиду сложностиуравнений, полу

-чаемых точными методами для систем с рас

-пределенными параметрами, многие авторы предпочитают применять приближенные мето

-ды расчета или же приближенные расчетные схемы. Большинствоизнихоснованоназамене распределенноймассы конструкции сосредото

-ченными массами, расположенными в узлах решетки [1, 7]. В этом случае стержни, обра

-зующиеперекрестную систему, можно считать безынерционными с конечным числом степе

-ней свободы. Кроме того, работы по расчету колебаний пересекающихся балок в большин

-стве случаев содержат предположение онезна

-чительности влияния жесткости кручения стержней, а в рамных системах пренебрегают деформациями ригелей и стоек в продольном направлении.

Упрощение уравнений может быть также достигнуто для многократно симметричных систем, в которых граничные условия допус

-кают периодическиепродолжения вкаждом из направлений. Так, вработе [3] полученыанали

-тическиерешениявзамкнутойформедлячаст

-ного случая регулярной системы невесомых балок содинаковымимассами вузлахрешетки ишарнирнымопираниемпоконтуру. В [8] ана

-логичная задача решена для балок с распреде

-ленными параметрами, а в [9, 10] – для регу

-лярныхрамныхконструкций.

В отличие от простых стержневых конст

-рукций, в малом частотном диапазоне каждой зоны сгущения пересекающихся балок нахо

-дится большоеколичество близких другк дру

-гу значений собственных частот [8]. Наличие такой плотности затрудняет точное определе

-ниевсегоспектракорнейчастотныхуравнений,

а вобласти кратных частотстановитсяпракти

-чески невозможным [2]. По той же причине ограничено применение приближенных мето

-дов, особенно дляопределения высших частот.

Упрощение вычислений за счет сокращения числа удерживаемых членов ряда или измене

-ния расчетных схем приводит к пропуску ряда значений частот и снижает точность получае

-мых результатов с накоплением существенных погрешностейпомере ростаномера формыко

Наряду с традиционными методами, позво

-ляющими рассчитывать свободные и вынуж

-денные колебания таких конструкций, все бо

-лее широкое применение находят тополо

-гические методы, связанные с исследованиями структуры графа, который описывает стержне

-вуюсистему [11 – 14]. Появиласьвозможность использовать лишь логические операции для установления прямой взаимосвязи структуры разрешающих уравнений со структурой рас

-считываемой конструкции. В работах [15, 16]

показана высокая эффективность алгоритмов расчета пространственных колебаний стержне

-вых систем, основанных на использовании ко

-нечныхграфовиавтоматов.

Целью данной статьи является детализация указанноговышеподходаврасчетахсвязанных колебаний двух- и трехмерных стержневых системсраспределеннымипараметрами.

В общем случае рассматриваемые системы представляют собой конструкции, составлен

-ныеиз пересекающихся подпрямым угломне

-разрезныхбалок, жестко соединенныхвместах пересечений (рис. 1). Каждый из пролетов той или иной балки может иметь свою длину l,

равномерно распределенную массу µ, жестко

-сти при изгибе, растяжении-сжатии, кручении

EJ, EF, GJ_к, а также собственную (локаль

-ную) систему координат, совпадающую по на

-правлениямс глобальнойсистемой декартовых координатныхосей x, y, z [15, 16]. Балкика

-ждого из направлений могут иметь любое ко

-нечное число пролетов n, m, p и произволь

-ныеоднородныеграничныеусловия.

Рис. 1

В случае пространственных колебаний на

-чальные (НП) и концевые (КП) граничные па

-раметры стержня будут представлены переме

-щениямивнаправленииосей x, y, z – u_x, u_y,

z

u , угламиповоротасечения ϕ_x, ϕ_y, ϕ_z, внут

-ренними моментами M_x, My, Mz и силами x

N , Ny, Nz.

В соответствии с существующей классифи

-кацией [1], к двумерным системам относятся системы перекрестных балок, стержневых плит, плоскихрамит. д.

Вначале рассмотрим простой пример для свободных изгибных колебаний из плоскости

xz двухшарнирно опертыхпо концампризма

-тических балок постоянного сечения, пересе

-кающихся в центрах пролетов (рис. 2). Соеди

-нение балок в пересечении принято в виде двухмерного шарнира, что позволяет на этом этапе не принимать во внимание сопротивле

-ние скручиванию взаимно ортогональных ба

-локприихизгибе.

Рис. 2

В этом случае i= =j 1; n= =m 2;

1 2

s s s

l =l =l ; µ = µ = µ_{s1 s2 s}; λ_{s y1} = λ_{s y2} = λ_sy;

1 2

s z s z sz

EJ =EJ =EJ ; s=1 для продольных ба

-лок, расположенных вдоль оси x, s=2 – для

поперечных балок. Граничные условия стерж

-ней определяются параметрами

{

}

y

N .

Согласно [16] представим данную стержне

-вуюсистемуввидесвязного графа Gy, множе

-ство вершин которого включает подмножества НПиКПкаждогостержня (рис. 3).

Рис. 3

Рассмотрим возможные состояния подгра

-фов 1 y

G и 2Gy, получающихся в результате

рассечения связеймеждупараметрами u_1y, u₂y

и N_1y, N₂y в графе Gy (пунктирная линия на

рис. 3). Будемразличатьдватипасвязей: внеш

между подграфами графа G_y, а внутренние –

междуэлементамиподграфов 1 y

G , 2Gy. Рассе

-чение внешнихсвязей создает по дведополни

-тельные вершины для 1 y

G и 2Gy, каждая из

которыхможетприниматьлибофиксированное значение 0 , либо произвольное 1. Учитывая логические условия и ограничения [15] между связанными вершинами графа G_y, подграфы 1

y

G и 2Gy можно представить отдельными

схемами, накоторыхпоказанытольковершины иребрастыкующихся аналогов-стержней и со

-стояния I , II подграфов (рис. 4а, б).

Рис. 4

Далее алгоритм построения уравнений час

-тотбудет аналогичным, как и для одномерных стержневых систем. Определение возможных состояний системы, кодовНПиКП отдельных стержней, значений характеристических функ

-цийудобнопроводитьспомощьютаблицпере

-ходов, в которых сопрягаемые параметры обо

-значены одинаковыми буквенными символами

(табл. 1).

Таблица 1

I II

s_ν

x_ν 11 12 21 22 11 12 21 22 К 0 1 a b 0 1 0 f 0 1 0 b 0 1 e f НП С 0 1 c d 0 1 g 1 0 1 c 1 0 1 g h К a b 0 1 0 f 0 1 0 b 0 1 e f 0 1 КП С c d 0 1 g 1 0 1 c 1 0 1 g h 0 1

Следуеттакже отметить, что придание вер

-шинам внешнихсвязей (ребер) 1 y

G (2Gy) зна

-чений кодов 00 или 11 является неприемле

-мым, так как такое сочетание приводит к нарушениюбалансамеждуколичествомпроиз

-вольных и фиксированных параметров для внутренних связей между стержнями каждого изнаправлений [15].

Уравнение частот в данном случае пред

-ставляется в форме ортогональности двух век

-торов с характеристиками стержней системы

11 , 12 , 21, 22

1 2 0

V V = , (1)

где V₁= v v_{11 12} v v_{11 12}′ ′ ; ₂ 21 22 21 22 v v V v v = ′ ′ .

Выбирая значения функций f_z из табл. 2

[15] в соответствии с кодами НП и КП стерж

-ней системы (рис. 2) каждого из состояний I , II подграфов 1

y

G и 2G_y (табл. 1), приходим к

матрице-строке v₁₁, элементы которойсоответ

-ствуют строке матрицы M_xy [15] с кодом гра

-ничныхусловийначаластержня 11 – 0101

3 2

1 1 1

11 3 1 2 1 1

1

1z 1y 1y y

l l l

v A B C

EJ = λ λ λ 1 1 1

1 1 1

1 1

z y

y

EJ l

C D A

l

λ −

λ . (2)

Матрица-столбец v₁₂, удовлетворяющая ко

-дам шарнирного закрепления конца стержня

12 и полному перебору его булевых функций НП, состоит из шести элементов столбцас ко

-дом 0101 матрицы M_xy обычногоучасткабал

-ки

1 1 1

12 1 1 1

1 1

z y

y

EJ l

v A D C

l ⎧ λ ⎪ = −_⎨ λ ⎪⎩ 2 3

1 1 1

1 2 1 3 1

1y 1y 1z 1y

l l l

C B A

EJ

⎫⎪ ⎬

λ λ λ _⎪⎭. (3)

Соответственно, для матриц v₂₁, v₂₂ (коды

НП стержня 21 и КП стержня 22 – 0101 )

можнозаписать

3 2

2 2

21 3 2 2 2

2z 2y 2y

l l

v A B

EJ

=

λ λ ;

2 3

2 2

22 2 2 3 2

2y 2z 2y

l l

v B A

EJ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ λ λ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ . (4)

Значения векторов v₁₁′ , v₁₂′ , v₂₁′ , v₂₂′ опреде

Подставляя в (1) значения (2) – (4), после преобразованийприходимкуравнению

3 3

1 1 2

1 2

3 3

1 2 2 1 2

0

y z

y z

J l

A A

D J l D

λ

+ =

λ . (5)

Раскрывая значения функций A₁, D₁, A₂, 2

D [15], окончательнополучим

(

)

(

)

1 1 3 2 2

2 2

th tg z th tg 0

y y y y

z

J J

µ

λ − λ + λ − λ =

µ . (6)

Уравнение (6) в точности совпадает с час

-тотным уравнением [4], полученным методом деформаций.

Нахождениерешений длядругих сочетаний граничныхусловийзакреплениябалокнепред

-ставляет затруднений и сводится лишь к вы

-борке соответствующих кодам НП и КПбалок элементовстрокилистолбцовматрицы M_xy.

Теперь рассмотрим совместные изгибно

-продольные (в плоскости xz) и изгибно

-крутильные (из плоскости xz) колебания той

же системы перекрестных балок (рис. 2) с же

-сткимузловымсоединением.

При изгибно-продольных колебаниях балок вершины графа GL [16] соответствуют гра

-ничным параметрам

{

}

x

N , а при изгибно-крутильных колебаниях,

моделируемых графом GT, –

{

M , Ny, Mx

}

и идеальной упругости материала балок вы

-полняется принцип суперпозиции в пределах каждого стержня [17]. Напряженно

-деформированное состояние стержней при из

-гибе не связано с их состоянием при растяже

-нии-сжатии или кручении. Это обстоятельство позволяет рассматривать изгибные колебания балокодногонаправленияприпродольныхили крутильных колебаниях ортогональных им ба

-лок, а также провести декомпозицию графов

GL и GT на компоненты, соответствующие

каждому из видов колебаний. Граф GL пред

-ставлен на рис. 5, а его подграфы 1 z

G , 2G_z, 1

x

G , 2G_x, получаемыепослеразделения GL на

компонентыирассечениявнешнихсвязей, – на рис. 6.

Рис. 5

Рис. 6

Кодыначальныхиконечных граничных па

-раметров, входящих в систему стержней и со

-стоянияподграфов GL приведенывтабл. 2.

Входящие в уравнение (1) вектора V₁ и V₂

можнопредставитьвследующемвиде

{

}

1 11 12 11 12 11 12 11 12

2 21 22 21 22 21 22 21 22

; ,

V v v v v u u u u

V u u u u v v v v

′ ′ ′ ′

=

′ ′ ′ ′

= (7)

или

1 1 1

V = v u ; ₂ 2

2 u V

v

= , (8)

где v₁, v₂ и u₁, u₂ обозначаютвекторы, харак

-теризующиеизгибныеипродольныеколебания каждойизбалоксоответственно.

Выражения v₁₁, v₁₂, v₂₁, v₂₂ получаютсяиз

(2) – (4) путем замены EJ_1z, EJ_2z на EJ_1y, 2y

Таблица 2

I II III IV

s_ν

x_ν 11 12 21 22 11 12 21 22 11 12 21 22 11 12 21 22

К 0 1

a

b 0 0

0 1

0

b 0 e 0 e

0 1

0

b 0 0

0 1 a b НП С 0 1 c

d 1 1

0 1

c

1 1 f 1 f

0 1

c

1 1 1

0 1 c d К a b 0

1 0 0

0

b

0

1 e 0 e 0

0

b

0

1 0 0

a b 0 1 КП С c d 0

1 1 1

c

1 0

1 f 1 f 1

c

1 0

1 1 1

c d

0 1 Возможные сочетания кодов табл. 2 для

подграфов 1 x

G и 2Gx, описывающих продоль

-ные колебания балок, и соответствующие им значения круговых функций [15] позволяют записать:

11 1 1

1 1 1 12 1 1 1 1

sin cos ;

cos ; 1 sin x x x x x x u u

= λ λ

α λ λ = λ α λ (9)

21 22 2

2 2

1

sin _x

x

u =u = λ

α λ . (10)

Аналогичныевыражения получаем для век

-торов u₁₁′ , u₁₂′ и u₂₁′ , u₂₂′ .

Раскрываяэлементыматриц (7) вуравнении

(1), после преобразованийприходим квыраже

-нию

2 1

1 1 2 2

2

2 2 1

2 2

2 2 1 1

2 1 1 2 1 sin cos 1 sin cos x x x z x x x z l B D l B D λ λ α λ λ + λ λ α λ λ

(

)

(

)

1 3 2 2

1 1 2 2

3 1

2 3 1 1

2 2 1 1

1

tg th tg

0 1

tg th tg

x z z

x x y z

x z z

x x y z

l EJ

l EJ

λ − λ − λ

α λ λ

+ =

λ − λ − λ

α λ λ

. (11)

Построение графа GT, таблицы переходов

ичастотногоуравнения для совместныхизгиб

-но-крутильных колебаний пересекающихся ба

-лок будет аналогичным. Изменение граничных условийзакрепленияконцовбалокучитывается формальным путем взначениях кодов НП, КП стержня.

К трехмерным стержневым системам отно

-сятся рамные пространственные каркасы,

стержневые оболочки, пространственные фер

-мыидругиеподобныеимконструкции.

Вкачествепримерарассмотримсовместные колебания трех ортогонально расположенных друг к другу пересекающихся континуальных балоксжесткимузловымсоединением (рис. 7).

Продольныеоси балоксовпадаютпо направле

-ниям с главными координатными осями x, y, z (рис. 1).

Рис. 7

Для такой системы можно записать: 1

i= = =j k ; 2n= = =m p ; ls₁=ls₂ =ls₃=ls;

1 2 3

s s s s

µ = µ = µ = µ ; 1s= , 2 , 3 . Несложно за

-метить, что две любые пересекающиеся балки принадлежат одной из ортогональных плоско

-стей xy, xz, yz. Соответствующие изгибные

колебаниябалоквобразованнойимиплоскости будут вызывать крутильные, а из этой плоско

-сти – продольныеколебанияортогональнойдля них балки. Очевидно, что кручение любой из балок влечет засобой изгиб в своей плоскости перпендикулярных к ней балок, а растяжение

-сжатие – ихизгибвдвухдругихортогональных плоскостях. Отмеченные особенности позво

-ляют построитьсвязныеграфы GRL или GRT

На рис. 8 показаны связи между параметра

-ми двух любых (например, 1, 2 ; 1, 3 ; 2 , 3 )

пересекающихся балок системы (рис. 7), моде

-лируемыхподграфом GT графа GRT .

Рис. 8

Количество подграфов, а следовательно и компонент графа GRT , получаемых в резуль

-тате рассечения внешних связей, будет равно шести: 1

z

G , 2Gz, 3

z

G , 1G_ϕ, 2G_ϕ, 3G_ϕ. Каждый

из подграфов характеризует либо изгибные,

либо крутильные колебания одной из балок и

может находиться в одном из состояний, при

-веденныхнарис. 9.

Сопрягаемые входные параметры, значения кодов и состояний рассматриваемой трехмер

-нойсистемыприведенывтабл. 3.

Уравнение частот для трехмерной стержне

-вой системы можно представить в виде произ

-веденияблочныхматриц

3

1

0

i i

V

= =

∏

Вектор-строка V₁ включает функциональ

-ные элементы ассоциированных матриц [15]

для стержней 11 , 12 в соответствии с кодами табл. 3.

1 1 1 1

V = v v ω , (13)

где

1 11 12 11 12

v = v v v v′ ′ ; ω = ω ω_{1 11 12} ω ω_{11 12}′ ′ .

Таблица 3

I II III

s_ν

x_ν 11 12 21 22 31 32 11 12 21 22 31 32 11 12 21 22 31 32

0 a 0 e 0 e 0 a 0 a 0 e

К

1 b 1 0

0 k

1 0 1 b

0 0 1 b

0 0 1 f

0 c 0 1 0 1 0 c 0 c 0 g

НП С

1 d 1 h 1 l 1 h 1 d 1 1 1 d 1 1 1 h

a 0 e 0 e 0 a 0 a 0 e 0

К

b 1 0 1 k 0 0 1 b 1 0 0 b 1 0 0 f 1

c 0 1 0 1 0 c 0 c 0 g 0

КП С

d 1 h 1 l 1 h 1 d 1 1 1 d 1 1 1 h 1

IV V VI

s_ν

x_ν 11 12 21 22 31 32 11 12 21 22 31 32 11 12 21 22 31 32

0 a 0 e 0 a 0 e 0 a 0 e

К

1 0 0 k 1 0

0 k

1 0 1 f

0 0

1 b 1 0

0 1 0 1 0 1 0 g 0 c 0 1

НП С

1 d 1 l 1 h 1 l 1 d 1 h 1 1 1 d 1 h

a 0 e 0 a 0 e 0 a 0 e 0

К

0 1 k 0 0 1 k 0 0 1 f 1 0 0 b 1 0 1

1 0 1 0 1 0 g 0 c 0 1 0

КП С

Квазидиагональная матрица V₂ содержит

элементы a₁₁, a₂₂, a₃₃, которые являются диа

-гональнымиматрицамивторогопорядка

21 22

11 33 2

21 22 21 22 22 2 21 22 0 ; 0 0 . 0 v v

a a v

v v a

= = =

′ ′ ω ω

= ω =

ω ω

(14)

Вектор-столбец V₃, описывающий связан

-ныеколебаниястержней 31 , 32 , такжеопреде

-ляется по значениям кодов табл. 3 и элемента

-ми ассоциированных матриц для обычного участкабалки

{

}

3 3 3 3

V = ω v v , (15)

где ₃ 31 32

31 32

ω ω ω =

′ ′ ω ω ;

31 32 3 31 32 v v v v v = ′ ′ .

Рис. 9

После определения всех элементов матриц

(13) – (15), подстановки их в (1) и ряда преоб

-разованийприходимкследующемууравнению:

(

)

2

3

3 3 2

2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 1 sin cth ctg k k z z y z z l EJ l B D ⎛ ⎞ λ

⎜_{β λ ⎟ ⎡}

⎝ ⎠ _{⎢ λ − λ ×}

λ ⎢⎣ λ

(

)

1

3 3 1 1

1 1

ctg cth ctg

2

k z z

y z

l EJ

⎤

×β λ + λ − λ ⎥+

λ _⎥⎦

(

2

2 2 1

1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 sin 2 cth 2 k k z y z z l EJ l B D ⎛ ⎞ λ

⎜_{β λ ⎟ ⎡}

⎝ ⎠

+ ⎢ + λ −

λ ⎢⎣

λ

)

(

)

1 3 3

3 3

ctg cth ctg

2

z z z

y z

l EJ

− λ λ − λ ×

λ

]

2

1

1 1 2

2 2 2 2

2 2 1 1 1 2 1 1 sin ctg k k k k y z z l EJ l B D ⎛ ⎞ λ ⎜_{β λ ⎟ ⎡}

⎝ ⎠

×β λ λ + ⎢ ×

λ ⎢⎣ λ

(

)

2 2 1 1 1

3 3

cth ctg ctg

2

z z k k

y z

l EJ

× λ − λ β λ λ + ×

λ

(

)

× λ − λ _⎦= . (16)

Алгоритм построения графа GRL, его раз

-деление наподграфы, составлениетаблицы пе

-реходов, процедуры перебора кодови выборки функций из ассоциированных матриц будут аналогичными. Ввиду того, чтоизменения гра

-ничных условий балок, а, следовательно, и со

-стояний графа GRL или GRT учитываются

формальным путем, то такие конструкции мо

-гут использоваться в качестве подконструкций при моделировании совместных колебаний бо

-лее сложных пространственных стержневых систем.

Таким образом, исследование топологиче

-ских свойств графа системы позволяет решать сложные задачи анализа колебаний двух- и трехмерных стержневых ибалочных конструк

-ций. Предлагаемыйподходисключаетобычные этапы составления дифференциальных уравне

-ний, формирования систем алгебраических уравненийираскрытияопределителей высоких порядков. С помощью кодированных ассоции

-рованных матриц характеристические уравне

виде. Непосредственное использование функ

-ций Прагера не требует дополнительного вы

-числения квадратичных разностей функций Крыловасвозможнойприэтомпотерей точно

-сти в результате появления малых разностей большихчисел. Топологическийанализ приме

-ним не только к отдельным стержням, но и к отдельным блокам или подблокам стержневой системы, что делает его универсальным в ис

-следованиях пространственных разветвленных стержневых конструкций. Изучение особенно

-стей расчета свободных и вынужденных коле

-банийтаким систем предполагаетсявыполнить впоследующихисследованиях.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК 1. ГалишниковаВ. В. Регулярныестержневыесис

-темы. Теорияиметоды расчета / В. В. Галиш -никова, В. А. Игнатьев / Волгогр. гос. архит .-строит. ун-т. – Волгоград: Изд-во ВолгГАСУ, 2006. – 552 с.

2. Арясов Г. П. Свободные колебания перекрест -ных балок по методу перемещений // Тр. Таллин. политехн. ин-та, 1975. – № 384. – С. 103-120.

3. НагаевР. Ф. Колебаниямеханических системс периодической структурой. / Р. Ф. Нагаев, К. Ш. Ходжаев. – Ташкент: Фан, 1973. – 269 с. 4. Справочникпостроительноймеханикекорабля:

в 3 т. – Т. 3: Динамика иустойчивостькорпус -ных конструкций / Г. В. Бойцов, О. М. Палий, В. А. Постнов, В. С. Чувиковский. – Л.: Судос -троение, 1982. – 320 с.

5. Jaeger L. G. The grillage analogy in bridge analysis / L. G. Jaeger, B. Bakht // Can. J. Civ. Eng., 1982. – v. 9, N 2. – P. 224-235.

6. Shanmugam N. E. Free vibration of thin-walled multi-cell structures / N. E. Shanmugam, T. Balen-dra // Thin-Walled Struct., 1986. – v. 4, N 6. – P. 467-485.

7. Switka R. Drgania i funkcje wlasne regularnych ukladow dyskretnych // Pr. Komis. bud. i architect. PTPN Wydz. nauk techn., 1973. – 2. – P. 3-40. 8. Распопов А. С. К расчету поперечных колеба

-ний пересекающихсябалоксраспределенными параметрами // Вопросыдинамикимостовите

-ории колебаний: Межвуз. сб. науч. тр. – Д.: ДИИТ, 1993. – С. 90-94.

9. Распопов А. С. К расчету собственных колеба -ний рамно-неразрезных путепроводов // Ресур -сосберегающие технологии в транспортном и гидротехническом строительстве: Сб. науч. тр. Днепропетр. гос. техн. ун-та железнодор. тр- та. – Вып. 5. – Д., 1998. – С. 104-108.

10. Kolousek V. Dynamics in Engineering Structures. – Prague: Czech. Acad. Sci., 1973. – 580 pp.

11. Филин А. П. Алгоритмы построения разреша -ющих уравнений механики стержневых сис -тем. – Л.: Стройиздат, 1983. – 232 с.

12. Красносельский К. Ю. Новый алгоритм иссле -дования динамики сложных пространствен- ных конструкций / К. Ю. Красносельский, Ю. Г. Минкин // Пробл. прочн. матер. исооруж. натрансп. – Л., 1989. – С. 49-59.

13. Bojadziev G. Dynamics of multicomponent sys-tems based on the orthogonality principle / G. Bo-jadziev, L. Lilov // EUROMECH: 1st Eur. Solid Mech. Conf. / Munchen, Sept. 9-13, 1991. – P. 33-34.

14. Ma Zheng-Dong. Topological optimization tech-nique for free vibration problems / Ma Zheng-Dong, Kikuchi Noboru, Cheng Hsien-Chie, Hagi-wara Ichiro // Trans. ASME J. Appl. Mech., 1995. – v. 62, N 1. – P. 200-207.

15. Распопов А. С. Конечно-автоматноемоделиро -вание пространственных колебаний стержне -выхибалочныхконструкций // ВісникДніпро -петр. нац. ун-ту залізн. тр-туім. акад. В. Лаза -ряна. – Вип. 19. – Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2007. – С. 125-133.

16. Распопов А. С. Конечно-графовый подход к решениюзадачдинамикистержневыхконстру -кций // ВісникДніпропетр. нац. ун-тузалізн. тр -туім. акад. В. Лазаряна. – Вип. 21. – Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2008. – С. 170-176.

17. Давидчак О. Динамічний розрахунок перехрес -но-ребристої системи на основі дискретно -неперервноїмоделі / О. Давидчак, Р. М. Тацій // Механіка і фізика руйнування будівельних ма -теріалівтаконструкцій: Зб. наук. пр. / Фіз.-мех. ін-тім. Г. В. КарпенкаНАНУкраїни. – Вип. 7. – Львів: Каменяр, 2007. – С. 17-22.