Γραµµική Άλγεβρα
Σηµείωση Το ΕΑΠ είναι υπεύθυνο για την επιµέλεια έκδοσης και την ανάπτυξη των κειµένων σύµφωνα µε τη Μεθο-δολογία της εξ Αποστάσεως Εκπαίδευσης. Για την επιστηµονική αρτιότητα και πληρότητα των συγγραµ-µάτων την αποκλειστική ευθύνη φέρουν οι συγγραφείς, κριτικοί αναγνώστες και ακαδηµαϊκοί υπεύθυνοι που ανέλαβαν το έργο αυτό.ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας
Πρόγραµµα Σπουδών
ΣΠOY∆EΣ ΣTIΣ ΦYΣIKEΣ EΠIΣTHMEΣ Θεµατική Ενότητα ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ Τόµος A'
Γραµµική Άλγεβρα
ΓΡΗΓΟΡΗΣ ΚΑΜΒΥΣΑΣ ΜΑΡΙΑ ΧΑΤΖΗΝΙΚΟΛΑΟΥ ∆ιδάκτωρ Πανεπιστηµίου Πατρών Aναπλ. Kαθηγήτρια Eλληνικού Aνοικτού Πανεπιστηµίου ΠATPA 2005ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας Πρόγραµµα Σπουδών ΣΠΟΥ∆ΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Θεµατική Ενότητα ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ Τόµος A' Γραµµική Άλγεβρα Συγγραφή ΓΡΗΓΟΡΗΣ ΚΑΜΒΥΣΑΣ ∆ιδάκτωρ Πανεπιστηµίου Πατρών ΜΑΡΙΑ ΧΑΤΖΗΝΙΚΟΛΑΟΥ
Aναπλ. Kαθηγήτρια Eλληνικού Aνοικτού Πανεπιστηµίου
Ακαδηµαϊκός Υπεύθυνος για την επιστηµονική επιµέλεια του τόµου ΓΕΩΡΓΙΟΣ ∆ΑΣΙΟΣ Καθηγητής Τµήµατος Χηµικών Μηχανικών Παν/µίου Πατρών Κριτική Ανάγνωση ΓΕΩΡΓΙΟΣ ∆ΑΣΙΟΣ Καθηγητής Τµήµατος Χηµικών Μηχανικών Παν/µίου Πατρών Επιµέλεια στη µέθοδο της εκπαίδευσης από απόσταση ΠΑΝΑΓΗΣ ΚΑΡΑΖΕΡΗΣ Λέκτορας Πανεπιστηµίου Πατρών Γλωσσική Επιµέλεια ΛΟΥΙΖΑ ΜΠΑΝΤΗ Τεχνική Επιµέλεια, Καλλιτεχνική Επιµέλεια, Σελιδοποίηση ΓIANNHΣ ΣK. ΠIKPAMENOΣ Συντονισµός ανάπτυξης εκπαιδευτικού υλικού και γενική επιµέλεια των εκδόσεων ΟΜΑ∆Α ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΕΡΓΟΥ ΕΑΠ / 1997–2005 ISBN: 960–538–627–5 Kωδικός Έκδοσης: ΦYE 20/1 Copyright © 2005 για την Ελλάδα και όλο τον κόσµο ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Οδός Σαχτούρη 16 & Aγ. Aνδρέου, 26222 Πάτρα – Τηλ: (2610) 367336, 367355, 314206 Φαξ: (2610) 361420
Σύµφωνα µε το Ν. 2121/1993, απαγορεύεται η συνολική ή αποσπασµατική αναδηµοσίευση του βιβλίου αυτού ή η αναπαραγωγή του µε οποιοδήποτε µέσο, χωρίς την άδεια του εκδότη.
¶ÚfiÏÔÁÔ˜
Λίγες µόλις δεκαετίες πριν, το µάθηµα της Γραµµικής Άλγεβρας ήταν ένα βασικό, αλλά όπως όλα τα άλλα µαθήµατα, στοιχείο σε κάθε εκπαιδευτικό πρόγραµµα θετι-κής ή τεχνολογιθετι-κής κατεύθυνσης. Σήµερα όµως ο ρόλος της Γραµµιθετι-κής Άλγεβρας είναι εξαιρετικά αναβαθµισµένος, και τούτο γιατί αποτελεί το υπόβαθρο των δια-κριτών Μαθηµατικών τα οποία εκτείνονται σε ολόκληρο το φάσµα της επιστηµονι-κής δραστηριότητας, από τις θετικές επιστήµες και την τεχνολογία ως την Ιατρική και τις ανθρωπιστικές επιστήµες. Τα διακριτά και τα πεπερασµένα Μαθηµατικά είναι τα µαθηµατικά που χρησιµοποιούν οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές και η Γραµµική Άλγεβρα ασχολείται ακριβώς µε αυτού του είδους τα Μαθηµατικά, πεπερασµένα και διακριτά. Αυτό δικαιολογεί τη θέση που κατέχει η Γραµµική Άλγεβρα στη σηµερι-νή τριτοβάθµια εκπαίδευση. Σκοπός του παρόντος βιβλίου είναι να εισαγάγει τις βασικότερες έννοιες της Γραµ-µικής Άλγεβρας παρέχοντας έτσι το κατάλληλο µαθηµατικό υπόβαθρο για περαιτέ-ρω επέκταση και ανάπτυξη. Απευθύνεται στους φοιτητές του Ε.Α.Π. που έχουν τη Γραµµική Άλγεβρα στο πρόγραµµα σπουδών τους. Ως εκ τούτου το ύφος γραφής συνάδει µε τις αρχές της εξ αποστάσεως εκπαίδευσης. Είναι διαλεκτικό και περι-γραφικό, χωρίς όµως να χάνεται η µαθηµατική αυστηρότητα. Στόχος µας είναι να αντιληφθεί ο αναγνώστης ότι οι αφηρηµένες έννοιες που παρουσιάζονται είναι οι φυσιολογικές προεκτάσεις αυτών τις οποίες έχει ήδη µελετήσει ασχολούµενος µε χώρους µικρότερης διάστασης. Οι αποδείξεις των θεωρηµάτων δίνονται όλες, εκτός από αυτές που είτε είναι τεχνικές είτε δεν παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και παραλείπονται. Τα πέντε κεφάλαια του βιβλίου καλύπτουν πίνακες, ορίζουσες, γραµµικές εξισώσεις, διανυσµατικούς χώρους, χώρους εσωτερικού γινοµένου, γραµµικές απεικονίσεις και µετασχηµατισµούς, διαγωνοποίηση πινάκων και εύρεση των χαρακτηριστικών τους µεγεθών. Συγκεκριµένα: Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγουµε την αλγεβρική δοµή του συνόλου των πινάκων µε στοιχεία πραγµατικούς ή µιγαδικούς αριθµούς, τις ορίζουσες και τις ιδιότητές τους. Παρουσιάζουµε τη µέθοδο Cramer, αλλά και τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss για την επίλυση αλγεβρικών γραµµικών συστηµάτων. Η µελέτη ειδικών κατηγοριών πινάκων, όπως οι συµµετρικοί και οι ορθογώνιοι, περιλαµβάνεται στο πρώτο κεφά-λαιο του βιβλίου, για να τονιστεί η ιδιαίτερη σηµασία τους. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγεται η αφηρηµένη αλγεβρική δοµή του διανυσµατικού χώρου, χρησιµοποιώντας σαν πρότυπο το σύνολο των ελεύθερων διανυσµάτων του6 ° P A M M I K H A § ° E B P A χώρου, και αναπτύσσονται οι βασικοί ορισµοί και τα θεωρήµατα τα οποία συνο-δεύουν τη νέα αυτή δοµή. Η παράθεση πολλών παραδειγµάτων αναδεικνύει τη σηµα-σία της γενίκευσης αυτής. Η έννοια του εσωτερικού γινοµένου µπορεί επίσης να γενικευτεί και να ενισχύσει την αλγεβρική δοµή ενός διανυσµατικού χώρου. Το τρίτο κεφάλαιο του βιβλίου είναι αφιερωµένο στους διανυσµατικούς χώρους εσωτερικού γινοµένου. Το τέταρτο και το πέµπτο κεφάλαιο πραγµατεύονται το κυρίαρχο θέµα της γραµµι-κής άλγεβρας: τις γραµµικές απεικονίσεις. Αν και ο όρος «γραµµικός µετασχηµατι-σµός» θα έπρεπε να χρησιµοποιείται για µια γραµµική απεικόνιση µε πεδίο ορισµού και σύνολο άφιξης τον ίδιο διανυσµατικό χώρο, έχει καθιερωθεί πλέον σαν ισοδύ-ναµη έκφραση του όρου «γραµµική απεικόνιση». Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται φανερή η χρησιµότητα των πινάκων στη µελέτη των γραµµικών µετασχηµατισµών, ενώ οι εφαρµογές που παραθέτουµε στο πέµπτο κεφάλαιο αποτελούν ενδεικτικές περιπτώσεις της εξαιρετικής σηµασίας που έχουν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµα-τα ενός πίνακα. Η αναφορά στον αυστηρό ορισµό του σώµατος δεν κρίθηκε αναγκαία, αφού περιο-ριζόµαστε σε διανυσµατικούς χώρους πάνω στο σώµα των πραγµατικών (ή µιγαδι-κών) αριθµών. Κλείνοντας, θα θέλαµε να εκφράσουµε τις θερµές µας ευχαριστίες στον κριτικό ανα-γνώστη καθηγητή Γεώργιο ∆άσιο για τις εποικοδοµητικές παρατηρήσεις του, οι οποί-ες συνέβαλαν σηµαντικά στη βελτίωση αυτού του βιβλίου. Ευχαριστούµε επίσης τον Λέκτορα Παναγή Καραζέρη για τα σχόλιά του ως ειδικού στην εξ αποστάσεως διδα-σκαλία, τη φιλόλογο κ. Λουΐζα Μπαντή για τη φιλολογική επιµέλεια του κειµένου, την κ. Νίκη Παπαδοπούλου για τη συνεισφορά της στην επίπονη κειµενογράφηση, καθώς και τις κυρίες Σοφία Γιαπαλάκη και Κατερίνα Καραδήµα για τις παρατηρή-σεις τους. Επίσης, θα θέλαµε να παροτρύνουµε όλους όσους µελετήσουν προσεκτικά το σύγ-γραµµα αυτό να µας ανατροφοδοτήσουν µε τα σχόλια και τις παρατηρήσεις τους. ∆εκέµβριος 2004 Γρηγόρης Καµβύσας Μαρία Χατζηνικολάου
¶ÂÚȯfiÌÂÓ·
K ∂ º ∞ § ∞ π √ 1 ¶›Ó·Î˜ – √Ú›˙Ô˘Û˜ – °Ú·ÌÌÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· Σκοπός, Λέξεις κλειδιά, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα...11 1.1 Πρόσθεση πινάκων, βαθµωτός πολλαπλασιασµός, γινόµενο πινάκων, ανάστροφος ενός πίνακα ...12 1.2 Η άλγεβρα των τετραγωνικών πινάκων, αντιστρέψιµοι πίνακες ...19 1.3 Ορίζουσες και ειδικοί τύποι τετραγωνικών πινάκων ...26 1.4 Σχέση ισοδυναµίας, γραµµικά συστήµατα και απαλοιφή Gauss ...40 Ανακεφαλαίωση...57 Eπαναληπτικές Aσκήσεις...58 K ∂ º ∞ § ∞ π √ 2 ¢È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ› ¯ÒÚÔÈ Σκοπός, Λέξεις κλειδιά, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα...69 2.1 Ο χώρος των ελεύθερων διανυσµάτων ∆3 ...70 2.2 ∆ιανυσµατικός χώρος ...74 2.3 Υπόχωροι, τοµή και άθροισµα υπόχωρων ...81 2.4 Γραµµική ανεξαρτησία, σύνολο γεννητόρων, βάση και διάσταση ...87 2.5 Ευθύ άθροισµα, θεώρηµα διάστασης...100 2.6 Γραµµική εξάρτηση στον Κn, o χώρος γραµµών και ο χώρος στηλών ενός πίνακα ...105 2.7 Ο µηδενόχωρος και ο αριστερός µηδενόχωρος ενός πίνακα ...116 2.8 ∆ιάνυσµα συντεταγµένων ενός διανύσµατος ...117 2.9 Αλλαγή βάσης σε έναν διανυσµατικό χώρο V ...120 Ανακεφαλαίωση ...131 Eπαναληπτικές Aσκήσεις...1338 ° P A M M I K H A § ° E B P A K ∂ º ∞ § ∞ π √ 3 ÃÒÚÔÈ ÂÛˆÙÂÚÈÎÔ‡ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ Σκοπός, Λέξεις κλειδιά, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα ...141 Εισαγωγή ...142 3.1 Εσωτερικό γινόµενο ...144 3.2 ∆ιανυσµατικός χώρος µε νορµ (norm) ...148 3.3 Μετρικός χώρος ...156 3.4 Γωνία δύο διανυσµάτων ενός πραγµατικού διανυσµατικού χώρου µε εσωτερικό γινόµενο-ορθογώνιες συναρτήσεις ...157 3.5 Ορθογωνιότητα και προβολή ...158 3.6 Ορθοκανονικοποίηση Gram–Schmidt ...166 3.7 Ο πίνακας ενός εσωτερικού γινοµένου, θετικά ορισµένοι πίνακες ...177 3.8 Ορθογώνιοι και ορθοµοναδιαίοι πίνακες ...182 Ανακεφαλαίωση ...185 Eπαναληπτικές Aσκήσεις...186 K ∂ º ∞ § ∞ π √ 4 °Ú·ÌÌÈÎÔ› ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ› Σκοπός, Λέξεις κλειδιά, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα...191 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί ...192 4.2 Οι πίνακες ως γραµµικοί µετασχηµατισµοί, ο πίνακας αναπαράστασης ενός γραµµικού µετασχηµατισµού ...202 4.3 Ο πυρήνας και η εικόνα ενός γραµµικού µετασχηµατισµού. Μη–ιδιάζοντες γραµµικοί µετασχηµατισµοί ...212 4.4 Ο ισοµορφισµός των L(V,W) και Μmn(K), οι ισόµορφες άλγεβρες L(V,V) και Mnn(K) ...230 4.5 Αλλαγή βάσης και όµοιοι πίνακες ...246 Ανακεφαλαίωση ...251 Eπαναληπτικές Aσκήσεις...253
K ∂ º ∞ § ∞ π √ 5 ÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈο ÌÂÁ¤ıË Î·È Î·ÓÔÓÈΤ˜ ÌÔÚʤ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂˆÓ Σκοπός, Λέξεις κλειδιά, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα ...261 Εισαγωγή ...262 5.1 Ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα ...262 5.2 ∆ιαγωνοποίηση ...282 5.3 Ειδικές κατηγορίες πινάκων ...289 5.3.1 Συµµετρικοί πίνακες ...289 5.3.2 Ερµιτιανοί πίνακες ...290 5.4 Γενικευµένοι ιδιόχωροι – Κανονική µορφή Jordan ...297 5.5 Εφαρµογές ...305 5.5.1 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων ...305 5.5.2 Τετραγωνικές µορφές ...310 5.5.2α Κωνικές τοµές ...310 5.5.2β Χαρακτηρισµός ακροτάτων ...317 Ανακεφαλαίωση ...321 Eπαναληπτικές Aσκήσεις...323
Aπαντήσεις Aσκήσεων Aυτοαξιολόγησης ...329
Aπαντήσεις Eπαναληπτικών Aσκήσεων ...343
µÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·
[1] S. Lipschutz, M. Lipson «Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra», 3rd edition. [2] G. Strang, «Γραµµική Άλγεβρα και Εφαρµογές», Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης. [3] A.O. Morris «Μια εισαγωγή στη Γραµµική Άλγεβρα», Εκδόσεις Πνευµατικού (1980). [4] Αρ. Φελλούρης, «Γραµµική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωµετρία» (1989). [5] Γ. ∆άσιος, «∆έκα ∆ιαλέξεις Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών», Πανεπιστηµιακές Εκδό-σεις Κρήτης (2001).
[6] S. Leon, «Linear Algebra with Applications», Prentice Hall (1996). [7] P. Lax, «Linear Algebra», John Wiley & Sons (1997).