INDICE DE EJERCICIOS
INDICE DE EJERCICIOS
EJERCICIO 7.1 ...EJERCICIO 7.1 ... Error! Bookmark not Error! Bookmark not defined.defined.
EJERCICIO 7.2 ... 1 EJERCICIO 7.2 ... 1 EJERCICIO 7.3 ... 3 EJERCICIO 7.3 ... 3 EJERCICIO 7.4 ... 4 EJERCICIO 7.4 ... 4 EJERCICIO 7.5 ... 6 EJERCICIO 7.5 ... 6 EJERCICIO 7.6 ... 9 EJERCICIO 7.6 ... 9 EJERCICIO 7.7 ... 10 EJERCICIO 7.7 ... 10 EJERCICIO 7.8 ... 12 EJERCICIO 7.8 ... 12 EJERCICIO 7.9 ... 18 EJERCICIO 7.9 ... 18 EJERCICIO 7.10 ... 19 EJERCICIO 7.10 ... 19 EJERCICIO 7.11 ... 21 EJERCICIO 7.11 ... 21 EJERCICIO 7.13 ... 22 EJERCICIO 7.13 ... 22 EJERCICIO 7.14 ... 25 EJERCICIO 7.14 ... 25 EJERCICIO 7.15 ... 27 EJERCICIO 7.15 ... 27 EJERCICIO 7.16 ... 29 EJERCICIO 7.16 ... 29 EJERCICIO 7.17 ... 31 EJERCICIO 7.17 ... 31 EJERCICIO 7.18 ... 33 EJERCICIO 7.18 ... 33 EJERCICIO 7.19 ... 34 EJERCICIO 7.19 ... 34 EJERCICIO 7.20 ... 38 EJERCICIO 7.20 ... 38 EJERCICIO 7.21 ... 41 EJERCICIO 7.21 ... 41 EJERCICIO 7.22 ... 44 EJERCICIO 7.22 ... 44 EJERCICIO 7.23 ... 46 EJERCICIO 7.23 ... 46 EJERCICIO 7.24 ... 48 EJERCICIO 7.24 ... 48
EJERCICIO 7.25 ... 52 EJERCICIO 7.25 ... 52 EJERCICIO 7.27 ... 56 EJERCICIO 7.27 ... 56 EJERCICIO 7.28 ... 59 EJERCICIO 7.28 ... 59 EJERCICIO 7.29 ... 60 EJERCICIO 7.29 ... 60 EJERCICIO 7.30 ... 62 EJERCICIO 7.30 ... 62 EJERCICIO 7.31 ... 63 EJERCICIO 7.31 ... 63 EJERCICIO 7.32 ... 64 EJERCICIO 7.32 ... 64 EJERCICIO 7.33 ... 64 EJERCICIO 7.33 ... 64
-1-EJERCICIOS DEL
EJERCICIOS DEL LIBRO DE
LIBRO DE DAVID K.
DAVID K. CHENG
CHENG
CAPITULO 7
CAPITULO 7
EJERCICIO 7.1 EJERCICIO 7.1 a)
a) Obtenga las ecuaciones de onda que rigen los campos E y H en un medio conductor sin fuentes Obtenga las ecuaciones de onda que rigen los campos E y H en un medio conductor sin fuentes cuyos parámetros constitutivos son
cuyos parámetros constitutivos son ,, yy
b)
b) Obtenga las ecuaciones de Helmholtz para campos con depe Obtenga las ecuaciones de Helmholtz para campos con depe ndencia armónica con el tiempo.ndencia armónica con el tiempo.
a) a)
d d q q q q l l t t E E t t E E E E t t E E E E t t E E t t E E J J t t E E E E xH xH t t E E E E xH xH t t xE xE x x t t E E J J xH xH conductor conductor medio medio un un para para E E J J entonces entonces .. .. .. 0 0 0 0 )) (( )) (( 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Para determinar H Para determinar H
d d q q q q l l t t H H t t H H H H t t H H t t t t H H H H t t H H t t t t H H H H H H t t E E x x E E x x H H t t H H xE xE .. .. .. 0 0 )) (( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
-2- b)
d q q l H k H j H E k E j E k hacemos Si E E j E E j j E E H j E k E j H H j E on Demostraci . . . 0 0 : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 : n propagacio de Contante 2 2 2 2
H H E E tenemos entonces j j PARA MEDIOS CONDUCTORES:
√
EJERCICIO 7.2
Se usa un radar Doppler de 1 (GHz) en tierra para determinar la posición y velocidad de un aeroplano que se aproxima. Suponga que la señal reflejada por el aeroplano a un ángulo de elevación de 15.5° presento un retardo temporal de 0.3(ms) y un cambio de frecuencia de 2.64 (KHz), determine la
-3-
√
Ecuación para el radar Doppler:) 1 ( Cos Vp u ft fr
) Cos Vp u ft ft fr
Vp u
EJERCICIO 7.3Obtenga una formula general que exprese el favor E ( R) en términos de favor H ( R) para una onda transversal electromagnética y la impedancia intrínseca instantánea del medio, siendo Rel vector de posición.
-4-
R ak H
R E E ak R H e k i E R H E j R H R e E R E GENERAL az Z ay Y ax X R k Z j Y i X R GENERAL i k i e E z x E z j x j Z X o Z X R j o Z X z j x j z x z x
1 1 ) , ( 0 EJERCICIO 7.4La expresión de la intensidad de campo magnético instantáneo de una onda plana que se propaga por el
aire en dirección +y esta dada por: 6 7
0 4 *10 cos 10 4 z H
a
t k y
A m
a) Determine k 0 y al posición donde se anula H z en t
3
ms . b) Escriba la expresión de E instantáneo.-5-a) a)
7 7 1122 77 * * 1 10 0 88..8855**110 0 * 4 * 4 **1100 1.0476 1.0476 L L k k rad m rad m
6 6 77 4 * 4 *110 0 ccoos s 110 0 00..00003 3 11..0044776 6 ==00 4 4 z z H H
a a
yy
1 1 7 7 11 ccoos cs coos s 110 0 00..00003 3 11..0044776 6 = c= coos 0s 0 4 4 y y
9 944222277..8 8 11..0044776 6 == 4 4 22 y y 1.0 1.047476 6 = y y= 949424247.87.8
8964.7 8964.7 y y
mm b) b)
377 377 y y y y x x z z r r yy y y z z x x E E a a xH xH S S E E H H a a a a aa a a aa E E a a H H aa E E a a H H
X X
X X a a y y k k t t E E a a y y k k t t E E
4 4 10 10 ccosos 0015 0015 .. 0 0 4 4 10 10 ccosos 10 10 4 4 377 377 0 0 7 7 0 0 7 7 6 6 -6-EJERCICIO 7.5
EJERCICIO 7.5 El campo
El campo E E de una onda plana que se propaga en un medio dieléctrico está dado porde una onda plana que se propaga en un medio dieléctrico está dado por
a)
a) Determine la frecuencia y la longitud de onda.Determine la frecuencia y la longitud de onda. b)
b) ¿Cuál es la constante dieléctrica del medio?.¿Cuál es la constante dieléctrica del medio?. c)
c) Describa la polarización de la onda.Describa la polarización de la onda. d)
d) Encuentre el campoEncuentre el campo H H correspondiente.correspondiente.
a) a)
-7-.. .. 91 91 .. 15 15 10 10 2 2 10 10 8 8 8 8 Rta Rta MHz MHz f f f f w w w w
.. .. 88 88 .. 10 10 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 Rta Rta m m
b) b) .. 3 3 10 10 10 10 3 3 3 3 1 1 22 8 8 8 8 2 2 Rt Rtaa er er er er w w cc er er cc ur ur er er w w
c) c)
t t
axax sen sen
t t ayay
V V mm
Cos Cos t t E E((
,,
0
0
))
2
2
10
10
88
10
10
88//
1 1 2 2 20 20 10 10
E E
E E
-8-Al ser E10
≠ E
20 se tiene una polarización elíptica, para obtener la dirección hacemoso a a E E a 56 . 26 2 1 tan tan 1 10 20 1
Dándonos una dirección de mano izquierda.
La Polarización de la onda es Elíptica de Mano Izquierda. Rta.
d)
3 120 , ,
er o lares perpendicu son E y H t z E t z H E H
/
. 3 10 cos 2 3 10 120 3 , 3 120 3 10 3 10 cos 2 , 8 8 8 8 Rta m A ay z t ax z t sen t z H ay z t sen ax z t t z H
-9-EJERCICIO 7.6
Demuestre que una onda plana con la siguiente expresión del campo eléctrico instantáneo
)
(
)
(
)
,
(
z
t
a
E
10sen
t
kz
a
E
20sen
t
kz
E
x y
tiene polarización elíptica.
)
(
)
(
)
,
(
z
t
a
E
10sen
t
kz
a
E
20sen
t
kz
E
x y
Asignamos z=0 para examinar el campo de dirección de E en un punto determinado a medida que varía t.
)
,
0
(
)
,
0
(
)
,
0
(
t a E 1 t a E 2 t E x y
)
(
)
(
)
,
0
(
t
a
E
10sen
t
a
E
20sen
t
E
x y ) 0 ( ) , 0 ( ) ( ) 0 ( ) , 0 ( ) ( 1 1 2 2 E t E t sen E t E t sen
) cos( ) ( ) cos( ) ( ) ( t sen t sen t sen
)
(
1
)
(
)
cos(
)
(
)
(
t sen t sen sen2 tsen
2 1 1 1 1 2 2 ) 0 ( ) , 0 ( 1 ) ( ) cos( ) 0 ( ) , 0 ( ) 0 ( ) , 0 (
E t E sen E t E E t E Ya que una onda con polarización elíptica resulta de la superposición de dos ondas polarizadas
linealmente una en la dirección x y otra en la dirección yy retardada 90º en la fase temporal.
1 ) ( 0 ) cos(
sen 2 1 1 2 2 ) 0 ( ) , 0 ( 1 ) 0 ( ) , 0 (
E t E E t ELo cual conduce a la siguiente ecuación de una elipse:
1 ) 0 ( ) , 0 ( ) 0 ( ) , 0 ( 2 1 1 2 2 2
E t E E t EEJERCICIO 7.7
Una onda plana uniforme de 3GHz, polarizada en “y”, se propaga en la dirección “+x” en un
medio no magnético con constante dieléctrica de 2.5 y tangente de pérdidas de 0.05.
a) Determine la distancia a la cual se reducirá a la mitad la amplitud de la onda viajera. b) Determine la impedancia intrínseca, la longitud de onda, la velocidad de fase y la
velocidad de grupo de la onda en el medio.
c) Suponiendo E a
y50 (6 10
sen 9t
3)( / )
V m en x=0, escriba la expresión de H instantáneo para todo t y x.a)
9 12 7 12 2 . 0.05(2 .3 10 )(8.85 10 )(2.5) 0.0208 / 0.0208 (4 10 )(1) 2 (8.85 10 )(2.5) 2.485 / Tg Tg x x S m x x rad m
2 9 2 8 1 . 1 8 2 .3 10 1 (1)(2.5) 1 0.05 3 10 8 99.377 / R R c x x rad m
-11-
0.5 0.5 ln( ) ln(0.5) ln(0.5) ln(0.5) ln(0.5) (2.485) 0.279 z z z e e e z z z z m
b)
43 . 1 274 . 238 961 . 5 20 . 238 0025 . 0 8 3 05 . 0 1 5 . 2 1 120 8 3 2 1 2 j j
[
]
c)
9 60 1.43 58.56 9 2.485 9 50 (6 10 / 3) 50 238.274 0.2098 ( , ) 0.2098 (6 10 58.56 ) ( , ) 0.2098 (6 10 99.377 58.56 ) / y j z j j z x z x E Sen t a e H a e H e a H x t e Sen x t x a H x t e Sen x t x A m
EJERCICIO 7.8Determine y compare la impedancia intrínseca, la constante de atenuación (tanto en Np/m como en dB /m ) y la profundidad de penetración del cobre.
) / ( .80 10 S m 5 7 cu
Y el bronce: ) / ( .59 10 S m 1 7 br
A las siguientes frecuencias: a) 1 (MHz) y
b) 1 (GHz)
-13-)
(
.
.
*
*
*
)
(
)
/
(
.
)
/
(
.
.
*
.
)
/
(
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(
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*
)
*
(
*
)
*
(
*
*
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*
)
/
(
*
.
:
)
0002608
0
j
0002608
0
f
j
1
m
rad
19
15131
m
dB
5163
131429
686
8
19
15131
m
Np
19
15131
10
80
5
10
4
10
1
f
m
10
08
66
10
80
5
10
4
10
1
1
f
1
Hz
10
1
f
m
S
10
80
5
Para
a
7 7 6 6 7 7 6 6 7 cu)
(
.
.
)
*
.
(
)
*
(
*
)
*
(
*
*
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(
*
*
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*
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*
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*
*
*
*
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(
*
)
/
(
*
.
:
)
008250
0
j
008250
0
10
80
5
10
4
10
1
j
1
f
j
1
m
rad
10
513
478
m
dB
918
4156363
686
8
10
513
478
m
Np
10
513
478
10
80
5
10
4
10
1
f
m
10
08
2
10
80
5
10
4
10
1
1
f
1
Hz
10
1
f
m
S
10
80
5
Para
a
7 7 9 3 3 3 7 7 9 6 7 7 9 9 7 cu
-15-)
(
.
.
)
*
.
(
)
*
(
*
)
*
(
*
*
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(
*
*
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*
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*
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*
(
*
*
*
*
)
(
*
)
/
(
*
.
:
)
0004982
0
j
0004982
0
10
59
1
10
4
10
1
j
1
f
j
1
m
rad
79
7922
m
dB
3539
68817
686
8
79
7922
m
Np
79
7922
10
59
1
10
4
10
1
f
m
10
21
126
10
59
1
10
4
10
1
1
f
1
Hz
10
1
f
m
S
10
59
1
Para
b
7 7 6 7 7 6 6 7 7 6 6 7 br) ( . . ) * . ( ) * ( * ) * ( * * ) ( * * * ) ( / * . ) / ( . . * * . ) / ( * . ) * . ( * ) * ( * ) * ( * * * * ) ( * . ) * . ( * ) * ( * ) * ( * * * * ) ( * ) / ( * . : )
01575 0 j 01575 0 10 59 1 10 4 10 1 j 1 f j 1 m rad 10 54 250 m dB 44 2176190 686 8 10 54 250 m Np 10 54 250 10 59 1 10 4 10 1 f m 10 99 3 10 59 1 10 4 10 1 1 f 1 Hz 10 1 f m S 10 59 1 Para b 7 7 9 3 3 3 7 7 9 6 7 7 9 9 7 br COMPARACIONES: a)Impedancia intrínseca a 1 (MHz) para:
Cobre : 0.0003688 Ω Bronce : 0.0007045 Ω
Constante de atenuación a 1 (MHz) para: Cobre : 15131.19 Np/m =131429.51 Db/m Bronce : 7922.79 Np/m =68817.3539 Db/m Profundidad de penetración a 1 (MHz) para:
Cobre : 66.08*10-6 m
Bronce : 126.21*10-6 m
b)
Impedancia intrínseca a 1 (GHz) para:
Cobre: 0.0116672 Ω Bronce: 0.022273 Ω
-17-Constante de atenuación a 1 (GHz) para: Cobre: 478513 Np/m =4156363.9Db/m Bronce: 250540 Np/m =2176190.44 Db/m Profundidad de penetración a 1 (GHz) para :
Cobre: 2.08*10-6 m
EJERCICIO 7.9
Si la profundidad de penetración del grafito a 100 MHz es 0.16mm, determine. a) La conductividad del grafito y b) la distancia que se propaga una onda de 1 GHz en el grafito antes de que su intensidad de campo se reduzca en 30 dB.
DATOS: 1 16 . 0 100
grafito del mm Mhz fe r a) : 1 1 donde f
3
2 6
7
210
4
10
100
10
16
.
0
1
1
f
m s 4 10 9 . 9 b) dB Np 8.69 1
7
4
910
9
.
9
10
4
10
f
m Np 4 10 98 . 1
x dB Np dB30
1
69
.
8
Np dB Np dB x 3.45 69 . 8 1 30
m Np Np ncia dista 4 10 98 . 1 45 . 3 1
mm ncia dista
0
.
175
-19-EJERCICIO 7.10
Hay un continuo debate sobre los riesgos de la radiación para la salud del ser humano. Los cálculos siguientes sirven para una comparación a grandes rasgos.
a) En estados unidos la norma de seguridad personal para trabajo con equipos de
microondas es que la densidad de potencia sea inferior a 10(mW/cm2). Calcule la norma
correspondiente en términos de la intensidad de campo magnético.
b) Se estima que la tierra recibe energía radiante del sol a razón de unos 1.3(KW/m2) en un
día soleado. Suponga que se trata de una onda electromagnética plana (que no lo es) y calcule las amplitudes equivalentes de los vectores de intensidad de campo eléctrico y magnético. a)
2 2 * 2 10 100 1 x H 2 . H= 1 . x 2 1 cos( ) 100 2Medio sin peridas: 0 120 120 120 .200 274. cos( ) AV j z m j z m j z m j z AV m j AV mW W cm m S RE E E E e i E e j E S RE E e i e j e E S E
5 / 274.5 0.728 A/m 120 V m E H
b)
AV 2 AV 2 * AV 2 S 1.3 S 1300 1 S x H 2 . H= 1 . x 2 1 cos( ) 1300 2Medio sin peridas: 0 120 120 cos( j z m j z m j z m j z m j AV KW m W m RE E E E e i E e j E E RE E e i e j e E S E
8 8 8 8 ( .3 10 ) ( .3 10 ) 120 .2600 990.038 / ) 990.038 2.626 A/m 120 .3 10 3 10 990.038. H= 2.626 j x z j x z V m E H x c x E e i e j
-21-EJERCICIO 7.11
Demuestre que el vector de pointing instantáneo de una onda plana con polarización circular que se propaga en un medio sin perdidas es una constante independiente del tiempo y de la distancia. ) ( ) ( ) (t E t H t s
Desplazamiento en x. M.S.Pα=0
k e jE j e E k e jE j e E E x x j x j x
j e E j k e E j e E j k e E H x x j x j x
k
e
e
E
j
j
e
e
E
E
j j x j j x
j e e E j k e e E H j x j x j j
) ( ) (t RE E ejwt E
k x t w sen E j x t w E t E )
(
)
cos(
)
(
j x t w sen E k x t w E t H )
(
)
cos(
)
(
) ( ) ( ) (t E t H t s
i x t w sen E i x t w E t s( ) cos ( ) 2( ) 2 2 2
i E t s 2 ) (
EJERCICIO 7.12Suponga que la intensidad de campo eléctrico de radicación de un sistema de antenas es E=aѲEѲ+ aфEф, determine la expresión de la intensidad del flujo de potencia media que parte por unidad de area.
) ( 1 ) ( 1 1 E a E a H a x E a E a H a x E H E a E a E R R
2 2
2 2 2 1 * * * * *) Re( 2 1 E E a Pav a E E H x E E a E a x E a E a H x E H x E av P R R
EJERCICIO 7.13
-23-Desde el punto de vista del electromagnetismo, la potencia transmitida por un cable coaxial sin pérdidas puede calcularse en términos del vector de Poynting dentro del medio dieléctrico que hay entre el conductor interno y el revestimiento externo. Suponga que la aplicación de un voltaje de corriente continua Vo entre el conductor interno (radio a) y el revestimiento externo (de radio interno b) ocasiona el flujo de una corriente I por una resistencia de carga. Compruebe que la integración del vector de Poynting sobre la sección transversal del medio dieléctrico es igual a la potencia VoI que se transmite a la carga.
Comenzamos calculando el campo eléctrico del conductor interno.
k
a
I
J
E
2
Ahora calcularemos el H en el dieléctrico es decir entre a y b.
r I H Hr I Hdl I 2 ) 2 (
El vector Poynting (P)esta dado por:
r r a I P r I X k a I P 2 2 2 2 2 2
r a l I Pot dz rd r a I Pot dr r r a I Pot l 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2
Como 2 a l = R Vo I Pot IIR Pot R I Pot . 2
-25-EJERCICIO 7.14
Una onda plana uniforme en el aire con E i
(
x,
t)
a y50
sen(
10
8t
x)(
V/
m)
incidenormalmente sobre un medio sin perdidas (
r
2
,
r
8
,
0
) en la región x
0
.
Determine:
a) Er y Hr. b)
, y S , yc) Et y Hi.
Para el aire es un medio sin perdidas r
1, r
1,
0Primero calculamos las impedancias intrínsecas:
3 4 120 240 240 * 2 3 1 120 240 120 240 240 2 8 120 120 120 2
r r aire 3 4 3333 . 0 2 3 1 1 3 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1
r r r r c c S Ahora calculamos los valores de los campos eléctricos y magnéticos, reflejado y transmitido:
)
/
)(
333
.
0
10
(
..
3
50
)
,
(
)
/
)(
10
(
.
.
50
)
,
(
8 8 m V x t sen a t x E m V x t sen a t x E y r y r
) / )( 333 . 0 10 ( . 0442 . 0 . ) , ( ) / )( 333 . 0 10 ( .. 120 666 . 16 ) , ( ) / )( 10 ( 666 . 16 . ) , ( 8 8 8 m V x t sen a t x H m V x t sen a t x H m V x t sen a t x H Z r Z r Z r
Ahora la Onda Transmitida:
)
/
)(
3
/
4
10
(
..
3
200
)
,
(
)
/
)(
10
(
.
.
50
)
,
(
8 8 m V x t sen a t x E m V x t sen a t x E y t y t
) / )( 3 / 4 10 ( . 08841 . 0 . ) , ( ) / )( 3 / 4 10 ( .. 240 3 / 200 ) , ( ) / )( 3 / 4 10 ( 3 / 200 . ) , ( 8 8 8 2 m V x t sen a t x H m V x t sen a t x H m V x t sen a t x H Z r Z r Z r
-27-EJERCICIO 7.15
Una onda plana uniforme se propaga en la dirección
z (hacia abajo) hacia el océano (72
r , r
1,
4( s/m)). El campo magnético en la superficie del océano ( z
0
) es
t jt
H ( ,0) 0.3cos(108 ) (A/m).
a) Determine la profundidad de penetración y la impedancia intrínseca del agua del océano.
b) Determine las expresiones de E
(
z,
t)
y H ( z ,t ) en el océano.c) Calcule la perdida de potencia media por unidad de área en el océano como función de z
Solución:
Verificamos el factor
para aplicar las aproximaciones.
36 10 72 10 4 9 8
x x
20
Como el factor
>>1 aplicamos las formulas aproximadas de un buen conductor.
a) 853 . 15 2 ) 4 )( 10 4 ( 10 2 7 8
x 707 . 0 60 . 5 ) 1 ( 963 . 3 ) 1 ( 4 853 . 15 ) 1 ( j e j x j j
3 . 10 079 . 63 853 . 15 1 1
x b)
E e t z i t z E ( , ) 0 z cos( ) 0 0 H E H E
707 . 0 060
.
5
3
.
0
e
H
i z t e t z H Ho i z t e t z E i z t e t z E i z t e H t z E i z t e H t z E z z z z z ) 853 . 15 10 cos( 3 . 0 ) , ( 3 , 0 ) 707 . 0 853 . 15 10 cos( 68 . 1 ) , ( ) 707 . 0 853 . 15 10 cos( 60 . 5 ) 3 . 0 ( ) , ( ) cos( ) , ( ) cos( ) , ( 8 853 . 15 8 853 . 15 8 853 . 15 0 0 c)
k e S k rad e S k e H E S k e e H E S j e e H x i e e e E S e e H x e e e E S H x E S z AV z AV z AV j z AV z j z j z j z AV z j z j z j z AV AV n n n 7 . 31 ) 853 . 15 ( 2 2 0 0 2 0 0 0 0 * 0 0 * 1782 . 0 )] 707 . 0 cos( ) 3 . 0 )( 68 . 1 [( 2 1 )] cos( [ 2 1 ] Re[ 2 1 ] ] [ Re[ 2 1 ] ] [ Re[ 2 1 ] Re[ 2 1 -29-EJERCICIO 7.16
Obtenga las razones siguientes para las ondas planas uniformes en un medio 1 que inciden normalmente sobre una superficie de separación plana con un medio 2:
a) 0 0 i r H H
y compare el resultado con el coeficiente de reflexión de la ecuación:
1 2 1 2 0 0
i r E E b) 0 0 i r H Hy compare el resultado con el coeficiente de reflexión de la ecuación:
1 2 2 0 0 2
i r E E a) Condiciones de Frontera: 0 1 0 2 x
tg x tgH
H
H T
H i r i T H H H
H r
H i i i i H H H
1
0 2 0 1 x
tg x tgE
E
1
T r i E E E
1 2 1 2 1
T r i H H H
1 2 1 1 2 2 2
i i i H H H
1 1 2
1 1
2
Comparando las ecuaciones obtenidas con las
1
2(
1
)
1
ecuaciones dadas del campo eléctrico son las
1 2 2 1 mismas, y esto es razonable ya que los coeficientes
1 2 1 2
de reflexión y transmisión no varían si tomamos el-31-EJERCICIO 7.17
Una onda plana con polarización circular de mano derecha, representada por el favor
z j y x o z E a ja e
E
(
)
incide normalmente sobre una pared conductora perfecta en z=0.a) determine la polarización de la onda reflejada.
b) calcule la corriente inducida sobre la pared conductora.
c) obtenga la expresión de la intensidad eléctrica total instantánea utilizando una referencia de tiempo coseno. a) Incidente reflejada ak= az ak= -az z dirección con izquierda mano de circular ón polarizaci e ja a Eo z r e ja a Eo z i z j y x z j y x
)
(
)
(
)
(
)
(
b)
j z j z
x y z j x y z j x y e e ja a o z H e ja a o z Hr e ja a o z Hi
) ( ) ( ) (
z j z j y z j z j x y x z y x z j z j z j z j e e o j a e e o a H H a a a Js e e o y H e e o x H 0 1 0 0 ) ( ; ) (
x y
y x y x y x z j z j ja a o s J z ja a z o Js ja a z jsen z z jsen z o Js ja a e e o Js
2 0 cos 2 cos cos c)
x y
y x z j z j y x ja a z osen z z jsen z z jsen z ja a o z e e ja a o z z r z i z
2 ) ( cos cos ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
a sen t a t
z osen t z t jsen t a t sen t j a t jsen t a t sen t j a z osen t z e ja a z osen t z y x y x y x t j y x cos 2 ) , ( cos cos cos cos 2 Re ) , ( 2 Re ) , (
-33-EJERCICIO 7.18
Determine la condición en la cual la magnitud del coeficiente de reflexión es i gual al coeficiente de transmisión de una onda plana uniforme que incide normalmente sobre una superficie de separación entre dos medios dieléctricos sin perdidas.
Cuál es la razón de onda estacionaria en dB para esta condición? Para una onda normal incidente
1
, donde
1
Si
:1
2 2 1
2
2 1 3
2 1
3 1 1
S dB S dB
20log103
9.54EJERCICIO 7.19
Una onda plana uniforme en el aire con Ei
z
ax10e j6z [V/m] incide normalmente sobreuna superficie de separación en z = 0 con un medio con pérdidas que tiene constante dieléctrica de 2.25 y tangente de pérdidas de 0.3. Encuentre lo siguiente:
a) Las expresiones fasoriales de Er (z), Hr (z), Et(z), Ht(z).
b) La razón de onda estacionaria para la onda en el aire.
c) Las expresiones de los vectores de Poynting de media temporal en el aire y en el medio con pérdidas. a) 1
120 aire 25 . 2
r 3
.
0
tan
c s rad 9 12 7 1.8*10 10 * 854 . 8 * 10 * 4 6 *
0107 . 0 25 . 2 * 10 * 854 . 8 * 10 * 8 . 1 * 3 . 0 3 . 0 3 . 0 12 9
-35-96
.
37
6
.
251
34
.
8
99
.
245
25
.
2
*
10
*
854
.
8
*
10
*
8
.
1
0107
.
0
10
*
4
*
10
*
8
.
1
3
.
0
2 2 12 9 7 9 2 2 2j
j
j
j
j
j
j
º 7 . 159 1 2 1 2 208 . 0 7 . 159 208 . 0 0722 . 0 1951 . 0 120 96 . 37 6 . 251 120 96 . 37 6 . 251 j e j j j
º 7 . 159 0 0208
.
0
j i re
E
E
º 7 . 159 0 º 7 . 159 0 0 º 7 . 159 008
.
2
x10
208
.
0
x
208
.
0
j r j r i j re
E
e
E
E
e
E
j j z z j re
e
z
e
E
z
6 º 7 . 159 x r 0 x r08
.
2
a
E
a
E
1
a
2
.
08
V
m
E
r z
x e j6z 159.7
7 . 159 6 y r 1 0 x z r 120 08 . 2 a H a a H 1
z j z j r e z e E z
a
0
.
0055
A
m
H
r z
y e j6z 159.7
º 1 . 5 808 . 0 º 123 . 5 8081 . 0 0722 . 0 8049 . 0 0722 . 0 195 . 0 1 1 j e j j
º 1 . 5 0 0 0.808 j i t e E E
º 1 . 5 0 º 1 . 5 0 0 º 1 . 5 0 08 . 8 x10 808 . 0 x 808 . 0 j t j t i j t e E e E E e E
j z r e E z 2 0 x t a E
z e j5.1ºe j 9.10z x t a 8.08 E
a
8
.
08
V
m
E
tz
xe
1.35 ze
j9.10z 5.1 º 57 . 8 44 . 254
-37- -37-
4 . 3 10 . 9 y t 1 0 x z t º 57 . 8 44 . 254 08 . 8 a H a a H 1
z j z j r e z e E z
a
0
.
032
A
m
H
t z
y e1.35 z e j9.10x3.4 b) 208 . 0 1 208 . 0 1 1 1
s s53
.
1
s c)
2
2
z 1 2 1 2 0 z 1 208 . 0 1 120 x 2 10 a 1 2 a
av i av E
2 z 1
a 0.127 W/m
av
2 º 1 . 5 º 58 . 8 2 z 2 2 2 2 0 z 2 808 . 0 4 . 254 x 2 10 a 2 a j j av i av e e E
2.70
2
z 2 a 0.127 W/m
av e EJERCICIO 7.20Una onda plana senoidal uniforme en el aire tiene la siguiente expresión fasorial para la intensidad eléctrica: E i
(
x,
z)
a y10
e j(6 x8z )(
V/
m)
La onda incide sobre un plano conductor perfecto en z = 0. a) Calcule la frecuencia y la longitud de onda
b) Escriba las expresiones deEi(x, z; t) y Hi (x, z; t) instantáneos.
c) Determine el ángulo de incidencia.
d) Determine Er (x, z) y Hr (x, z) de la onda reflejada.
e) Determine El(x, z) y Hl(x, z) del campo total en el aire.
-39-m MHz f seg rad x f f seg rad x x c c sen i i i i i i 628 . 0 10 2 2 464 . 477 2 / 10 3 2 * * 2 10 3 ) 10 3 ( * 10 * º 869 . 36 8 6 tan 10 64 36 8 6 8 cos 6 9 9 8 1 1 2 2 1 1 1
b.Como es incidencia oblicua:
⃗
⃗
⃗ ⃗⃗
Y como ya teníamos el dato:
|⃗|
El vector unitario incidente es:
⃗ ⃗|⃗|⃗⃗
) 8 6 cos( 10 ) ; , ( 10 , 1 0 0 z x t a t z x E Ei Er y i
Entonces H se expresa de la siguiente manera:
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
( ⃗ ⃗)
c. 869 . 36 75 . 0 tan 8 6 tan 1 1
i i i d. ) 8 6 ( 0 0 10 ) , ( 10 , 1 z x j y r x z a e E Ei Er
Entonces H se expresa de la siguiente manera:
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗ ⃗
⃗
( ⃗ ⃗ )
Expresando de manera instantánea:
⃗
( ⃗ ⃗ )
-41-) 8 ( 20 ) , ( ) ( 10 ) , ( ) 10 ( 10 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 6 1 6 8 8 1 ) 8 6 ( ) 8 6 ( 1 1 z sen e j a z x E e e e a z x E e a e a z x E z x E z x E z x E x j y x j z j z j y z x j y z x j y r i
⃗
⃗
⃗
⃗
( ⃗ ⃗ )
( ⃗ ⃗ )
⃗
( ⃗ ⃗ )
EJERCICIO 7.21Una onda plana uniforme con polarización perpendicular incide oblicuamente sobre una frontera plana con 1
0, 2
2.25 0, 1
2
0. Suponga Ei0 = 20 (V/m), f = 100(MHz) yi = 30o.