Elektromanyetik Alan Teorisi - Fatih Üniversitesi Özet Ders Notları

Full text

(1)Vektörel Analiz. Vektörel Analiz. Kartezyen Koordinat Sistemi. VEKTÖREL ANALİZ AB  BA A  (B  C)  (A  B)  C. Yer değiştirebilir Birleştirilebilir. Vektörlerin skalerle çarpımı da yer değiştirebilir yada birleştirebilir. (   )(A  B)   A   B   A   B EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 1. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Vektörel Analiz. 2. Vektörel Analiz. Kartezyen Koordinat Sistemi. Vektör Bileşenleri ve Birim Vektörleri. r  rxa x  ry a y  rz a z rx , ry , rz. Skaler bileşenler. ax , a y , az. Birim vektörler. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 3. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Vektörel Analiz. FATİH UNIVERSITY. 4. Vektörel Analiz. Vektörün Genliği. r  rx 2  ry 2  rz 2 B vektörü yönündeki birim vektör. aB . B B. Şayet r konum vektörü ise vektörel alan fonksiyonel notasyonda F(r) ile ve skaler alan T(r) ile ifade edilir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 5. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 6. 1.

(2) Vektörel Analiz. Vektörel Analiz. Noktasal Çarpım:. Bir vektörün skaler bileşenini bulmak için:. A  B  A B cos  AB. Sonuç herzaman skaler. AB  B A. Yer değiştirebilir. By  B  a y. Şayet 0   Ba  90 sonuç positif olur. Şayet 90   Ba  180 sonuç negatif olur.. Üç boyutlu uzayda. A  Ax a x  Ay a y  Az a z. Birim vektörlerin noktasal çarpımları. B  Bxa x  By a y  Bz a z A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz. ax  a y  0. A  A  Ax2  Ay2  Az2  A. ax  ax  1. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. 2. FATİH UNIVERSITY. 7. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Vektörel Analiz. FATİH UNIVERSITY. 8. Vektörel Analiz. Vektörel Çarpım: Sonuç herzaman vektöreldir!. A  B  a N A B sin  AB aN normal vektördür. aN. Vektörel çarpımda yer değiştirilemez. A  B  B  A EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 9. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Vektörel Analiz. FATİH UNIVERSITY. 10. Vektörel Analiz. Vektörel Çarpım:. A  B  ( Ay Bz  Az By )ax  ( Az Bx  Ax Bz )ay  ( Ax By  Ay Bx )az Vektörel çarpım determinant yardımıyla kolayca bulunur. ax. ay. az. A  B  Ax. Ay. Az. Bx. By. Bz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. ax  ax  0 ax  a y  az. FATİH UNIVERSITY. 11. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 12. 2.

(3) Vektörel Analiz. Silindirik Koordinat Sistemi:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Vektörel Analiz. Silindirik Koordinat Sistemi:. Bir dairesel silindir. Bir dairesel silindir. Bir yarım  -düzlemi. Bir yarım  -düzlemi. Bir z -düzlemi. Bir z -düzlemi. FATİH UNIVERSITY. 13. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Vektörel Analiz. Silindirik Koordinat Sistemi:. FATİH UNIVERSITY. 14. Vektörel Analiz. Silindirik koordinatlarda diferansiyel eleman. dv   d    d  dz    d  d dz Birim vektörler: a  , a , a z. Küpün renkli yüzeyi dS   d  d a z. a   a  a z. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 15. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Vektörel Analiz. FATİH UNIVERSITY. 16. Vektörel Analiz. Kartezyen Koordinat sistemi ile ilişkisi: x   cos  y   sin  zz. yada.   x2  y 2   tan 1. y x. zz EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 17. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 18. 3.

(4) Vektörel Analiz. Vektörel Analiz. Küresel Koordinat Sistemi:. Merkezi orijinde olan bir küre Merkezi orijinde olan bir koni Bir yarım  -düzlemi. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 19. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Vektörel Analiz. Küresel Koordinat Sistemi:. FATİH UNIVERSITY. 20. Vektörel Analiz. Küresel koordinatlarda diferansiyel eleman. Birim vektörler:. a r , a , a. a r  a  a. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 21. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Vektörel Analiz. FATİH UNIVERSITY. 22. Vektörel Analiz. Kartezyen Koordinat sistemi ile ilişkisi: r  x2  y 2  z 2 z.   cos 1   tan 1. x2  y 2  z 2 y x. yada. x  r sin  cos  y  r sin  sin  z  r cos EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 23. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 24. 4.

(5) Vektörel Analiz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 25. 5.

(6) Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. 1. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. FATİH UNIVERSITY. FATİH UNIVERSITY. 2. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. 3. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 4. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. 5. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 6. 1.

(7) Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Orijinde Olmayan Yüklerin Coulomb Kuvvetleri. Deneysel Coulomb Yasası Q1 +. Q2 +. R. F. Q1Q2 4 0 R 2. F2 . F. Q1Q2 a12 4 0 R122. [N] a12 . Burada. R12 R r r  12  2 1 | R12 | R12 | r2  r1 |. Ortamın serbest uzayda veya boşluktaki elektriksel geçirgenliğidir.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 7. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Q yükünü küresel koordinat sistemin merkezine yerleştir, o zaman. Q1’den test yük Qt’ye uygulanan kuvveti düşünün.. E. Q1Qt a1t 4 0 R12t. Q ar 4 0 r 2. E’nin P noktasında sadece radyal bileşeni mevcuttur.. Er  Birim test yükteki kuvvet elektrik alan şiddeti olarak tanımlanmaktadır.. E. 8. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Elektrik Alan Şiddeti. Ft . FATİH UNIVERSITY. Ft Q  aR Qt 4 0 R 2. Aynı şeyi kartezyen koordinat sisteminde yazmayı deneseydik:   Q x y z  E ax  ay  az  4 0 ( x 2  y 2  z 2 )  x 2  y 2  z 2 x2  y 2  z 2 x 2  y 2  z 2 . [V/m]. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Q 4 0 r 2. FATİH UNIVERSITY. 9. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 10. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Alanların Süperpozisyonu Her iki yükün elektrik alanı doğrusaldır.. E(r ) . Q1 Q2 a1  a2 4 0 | r  r1 |2 4 0 | r  r2 |2. Şayet n noktasal yük var ise n. E(r )   m 1. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Qm am 4 0 | r  rm |2. FATİH UNIVERSITY. 11. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 12. 2.

(8) Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Hacimsel Yük Dağılımı. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Diferansiyel Yüzeyler ve Hacim. Küçük bir Δv hacmin içindeki küçük bir ΔQ yükü. Q  v v Burada hacimsel yük yoğunluğu ρv. v  lim. v 0. Q v. Sonlu bir hacim içindeki toplam yük. Q.   dv v. vol EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 13. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. FATİH UNIVERSITY. 15. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Örnek: 2006 Final sınav sorusu. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 14. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Diferansiyel Yüzeyler ve Hacim. Diferansiyel Yüzeyler ve Hacim. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 16. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Örnek: 2008 Birinci Vize sınav sorusu. FATİH UNIVERSITY. 17. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 18. 3.

(9) Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Örnek: Silindirik elektron kümesi. Çizgisel Yük ve Elektrik Alanı. Aşağıda gösterilen 2-cm uzunluğundaki elektron demetinin hacimsel yük yoğunluğu. ise toplam yükü bulun.. E  0 Ez  0 E  0. E. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 19. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. L a 2 0 . FATİH UNIVERSITY. 20. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Hacimsel Yük Yoğunluğunun Elektrik Alanı rꞌ noktasında bulunan artımsal bir ∆Q yükünün r noktasında ürettiği artımsal elektrik alanı. sıfıra yakınsarken hacimsel bir yük yoğunluğundan kaynaklanan toplam elktrik alan artımsal elektrik alanın integrali ile elde edilir.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 21. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Şayet. Ey  0. E . y. Ez  0. xa. Şayet. S 2 0. a. x. E = E+ + E- = 0 Şayet.  E  S aN 2 0 FATİH UNIVERSITY. xa. S  a x E   S a x 2 0 2 0. E = E+ + E- = 0. Ex  0. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. 22. Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. Tabaka Yükü ve Elektrik Alan. Ex . FATİH UNIVERSITY. z. ρs. -ρs. E . 0 xa. S. 2 0. ax. E = E + + E- = 23. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. E  S a 0 x. S. 2 0. ax. FATİH UNIVERSITY. 24. 4.

(10) Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 25. 5.

(11) Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Faraday’ın Deneyi, Topraklamadan Önce. Faraday’ın Deneyi. İç küredeki yük, Q, eşit ve zıt bir yükü, -Q, dış kürenin iç yüzeyinde serbest elektronları pozitif yüke doğru çekerek indükler. Doğal olarak dış kürenin dış yüzünde topraklanmadan önce +Q yükü oluşur.. İki eşmerkezli iletken küre kullanılarak 1. +Q yükünü küçük küreye yükleyin 2. Büyük yarım küre ile kapatın 3. Dışardaki küreyi kısa süreliğine topraklayın 4. –Q yükü dış kürede birikecektir EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 1. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. FATİH UNIVERSITY. 2. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Faraday’ın Deneyi, Topraklamadan Sonra. Faraday’ın Deneyi. Dış küre topraklanınca dış kürenin dışındaki pozitif yük nötrleşir. Dış küredeki net yük iç yüzeydeki –Q yüküdür.. Faraday, iç küreden dış küreye doğru bir yük “yerdeğişimi” olduğu sonucun Yerdeğişimi bir akım yada akı,  gerektirmektedir. Dielektrik içerisindeki bu akı “yerdeğiştiren” yük ile eşit miktardadır.. Buradan:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 3. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. 4. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Noktasal Yük İçin Elektrik Akı Yoğunluğu. Elektrik Akı Yoğunluğu. Şayet iç kürenin yarıçapını yük miktarını sabit tutarak küçültüp bir nokta haline getirirsek ve dış kürenin yarıçapını sonsuza yaklaştırırsak noktasal bir yük elde ederiz. Elektrik akı yoğunluğu tüm uzayda tanımlı olur ve değişmez.. İki küre arasındaki genel bir yarıçap r mesafesinde [C/m2]. FATİH UNIVERSITY. (a ≤ r ≤ b) aralığında tanımlıdır.. C/m2 (0 < r < ∞ ) Serbest uzaydaki elektrik alan şiddeti ile kıyaslarsak:. V/m (0 < r <∞ ) ..görürüzki: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 5. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 6. 1.

(12) Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Yük Dağılımlarından Alanlar. İkinci ünitede:. Kıyaslayarak:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 7. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. FATİH UNIVERSITY. 8. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Gauss Kanunu. Gauss Kanunu. Kapalı bir yüzeyi terk eden elektrik akı yüzeyin içinde barındırdığı toplam yüke eşittir. Buradaki yük noktasal yükler cinsinden olabilir, Diferansiyel bir vektörel alanın tanımı. Burada n yüzeyden dışa doğru olan normal vektördür, ve dS yüzeydeki diferansiyel paranın alanıdır.. Yada sürekli bir yük dağılımından: Çizgisel yük: Yüzeysel yük: Hacimsel yük: Hacimsel bir yük için:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 9. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. FATİH UNIVERSITY. 10. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Gauss Kanunu Kullanarak Bir Yüzeyde D Hesabı. Difarensiyel alanlar ve hacim. Gauss kanunu kullanarak bilinen Q ile D’nin çözümü: burada. Seçilen Gauss yüzeyinin aşağıdaki iki şartı sağlamasıyla çözüm kolaylaşır 1. 2.. Seçilen yüzeyde DS yüzeyin heryerinde ya normal yada teğetsel olmalı ki, DS·dS sonucu DSdS yada sıfır olsun. Seçilen kapalı yüzeyde DS·dS sonucunun sıfır olmadığı yerlerde, DS sabit olmalı.. Bu durumda integral basitleşerek: Sonuçta: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 11. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 12. 2.

(13) Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Gauss Kanunun Noktasal Bir Q Yüküne Uygulanışı Noktasal bir yük için uygun olan Gauss yüzeyi bir küredir. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Gauss Kanunun Noktasal Bir Q Yüküne Uygulanışı İntegrand:. Radyal akı yoğunluğu ile başla: ve yarıçapı a olan ve yükü sarmalayan küresel bir yüzey düşünün, burada:. İntegralini alırsak:. = Yüzeydeki diferansiyel alan:. =. dışa doğru olan birim vektör ile vektörel alan:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 13. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. FATİH UNIVERSITY. 14 14. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Gauss Yasasının Çizgisel Bir Yüke Uygulanışı Düzgün çizgisel bir yük L z-ekseni boyunca  z  yerleştirilmiştir. Uygun bir Gauss yüzeyi seçmek için öncelikle düşünmemiz gereken : 1. Hangi koordinat sisteminde alan değişmektedir? 2. D’nin hangi bileşenleri mevcuttur?. Çizgisel bir yükten elektrik alanın radyal yönde (z-eksenine normal) olduğunu biliyoruz:. ve bu alan sadece silindirin yarıçapına bağlı: Özetle yarıçapı  ve uzunluğu L olan silindirik bir yüzey seçmeliyiz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 15. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Gauss Yasasının Çizgisel Bir Yüke Uygulanışı. FATİH UNIVERSITY. 16. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Gauss Yasasının Koaksiyel Bir Kabloya Uygulanışı z-ekseni boyunca yerleştirilmiş iki eş merkezli iletken silindir var. Yüzey yük yoğunluğu S sadece iç silindirin dış yüzeyinde mevcuttur. Yapı itibarı ile -yönünde bir alan beklenmekte ve bu çizgisel yükte olduğu gibi sadece  ile değişkendir. Bu yüzden uzunluğu L ve yarıçapı  olan bir silindiri Gauss yüzeyi olara seçiyoruz. Burada a <  < b. Gauss kanununun sol tarafı:. …ve sağ tarafı:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 17. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 18. 3.

(14) Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Gauss Yasasının Koaksiyel Bir Kabloya Uygulanışı. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Gauss Yasasının Koaksiyel Bir Kabloya Uygulanışı. Şimdi akı youğunluğunu bulabiliriz:. ve elektrik alan şiddeti:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 19. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. FATİH UNIVERSITY. 20. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Diferansiyel Bir Hacim Elemanında Elektrik Akı Elektrik akı yoğunluğu D herhangi bir P noktasında kartezyen koordinatlarda, D0  Dx 0a x  Dy 0a y  Dz 0a.z. Kapalı yüzeyimizi merkezi P noktasında ve kenarları ∆x, ∆x, ∆x olan küçük bir kutu seçip Gauss yasasını uygularsak:. Ön yüzeyini incelersek:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 21. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Diferansiyel Bir Hacim Elemanında Elektrik Akı Dx , ön. . ön. 22. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Diferansiyel Bir Hacim Elemanında Elektrik Akı. x Dx 0   Dx 'in x ile değişim oranı 2 x Dx Dx 0  2 x. Ön yüzey için:. FATİH UNIVERSITY. Aynı yöntemle:. x Dx   DS  dS  Dx 0   yz 2 x  . ve. Tüm sonuçlar birleştirilince:. Aynı şekilde:. x D   arka DS  dS   Dx 0  2 xx  yz. = Q (Gauss Yasası ile) v. Buradaki eksi işareti arka yüzeyden içeri doğru Dx0 akıdandır.. Burada Q, v hacmi içerisindeki yüktür.. Therefore: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 23. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 24. 4.

(15) Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Diverjans ve Maxwell’in İlk Denklemi. Diverjans. Bir A vektör alanının bir noktada diverjansı (ıraksaması), nokta etrafındaki hacim sıfıra giderken birim hacim başına A’nın net dışarı akısı olarak tanımlanır ve div A olarak kısaltılır. Matematiksel olarak,. Daha önce elde ettiğimiz sonuçlara uygularsak: div A = ve şayet vektörel alan elektrik akı yoğunluğu ise: = div D Maxwell’in ilk denklemi EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 25. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. FATİH UNIVERSITY. 26. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Del Operatörü del operatörü vektörel diferansiyel operatörüdür:. Aslında:. =. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 27. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. = div D. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 28. Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. Diverjans Teoreminin Açıklaması. Diverjans Teoremi Maxwell’in birinci denklemi (yada Gauss yasasının noktasal hali) belirtiyorki:. Bir vektör alanının diverjansının (ıraksamasının) hacimsel integrali o vektörün bölgeyi sınırlayan yüzeydeki toplam dışa doğru akısına eşittir.. Gauss Yasasının integral hali (büyük-ölçekli uygulamalarda):. Eşitliği ile Diverjans Teoremini elde ederiz:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 29. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 30. 5.

(16) Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 31. 6.

(17) Enerji ve Potansiyel. Harici Bir Alanda Noktasal Yük Bir elektrik alanın aksi yönünde Q yükünü taşımak için o yüke elektrik alandan uygulanan gücü etkisizleştirecek aksi bir güç uygulamak gerekir.. Enerji ve Potansiyel. Bir Noktasal Yükü Harici Bir Elektrik Alanın Aksi Yönünde Taşırken Harcanan İş Noktasal bir Q yükünü başlangıç (ilk) noktası B’den varış noktası (son) A’ya diferansiyel bir mesafe dL taşımak için harcanan iş: Elektrik alanın aksi yönünde taşıma olursa sonuç pozitif olur.. .. dW = Fuyg dL = QE dL = -QE dL [J]. Fuyg. A (son). E. + Q. B (ilk). E Fuyg. +. dL. +. dL Elektrik alanı düzgün ve taşımayı elektrik alanın aksi yönünde varsaydık. Elektrik alan ile yol arasında 180° faz farkı vardır.. Fuyg = - Q E EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 1. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. Enerji ve Potansiyel. Bir Noktasal Yükü Harici Bir Elektrik Alanda Herhangi Bir Yönde Taşımak Uygulanan kuvvetin harekat yönündeki bileşeni sadece etki eder.. Toplam Harcanan İş Yol boyunca harcanan tüm diferansiyel işleri toplarsak :. A +. Kuvvetin genliği Fuyg cos( dL. B. Fuyg = -Q E. +. A (son). E. +. dL Bir Q yükünü dL mesafesi kadar taşırken harcanan diferansiyel iş:. dW = Fuyg cos( EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Fuyg = -Q E. B (ilk) +. E. dL = QE .dL FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Enerji ve Potansiyel. Enerji ve Potansiyel. Herhangi Bir Yol Boyunca Harcanan Toplam İş B ve A noktası arasındaki elektrik alanın (E düzgün ise) çizgisel integrali izlenen yoldan bağımsızdır.. FATİH UNIVERSITY. Çizgisel İntegralin Hesaplanması Amacımız çizgisel integrali hesaplamak: burada ve. Düzgün bir E için:. W  QE  L BA. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. kullanarak:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 1.

(18) Enerji ve Potansiyel. Enerji ve Potansiyel. Örnek: Çizgisel Yük. E. L a 2  Örnek: Birinci vize sınav sorusu 2008. a). W  Q . son. ilk. L a   1d a 2 1. b). W 0. W  Q . b. a. W . EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. L. 2 . a  d  a. QL b ln 2 a. FATİH UNIVERSITY. 7. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. Enerji ve Potansiyel. Örnek. Örnek (devamı). Verilen bir elektrik alanı: Amacımız Q = 2 C olan noktasal bir yükü aşağıda verilen dairenin kısa yayı boyunca taşırken harcanan işi bulmak. B(1, 0, 1) başlangıç noktası ve A(0.8, 0.6 ,1) varış noktası ise:. W ve birinci integralde y’nin x’e bağımlılığını ve ikinci itegralde x’in y’ye bağımlılığını eklemek zorundayız. Dikkat edin üçüncü integral z yönünde bir harekat olmadığı için sıfırlanıyor. Verilen dairesel yol bilgisini, yeniden yazalım:. kullanarak integrali. Temel kurguyu bu şekilde yapmalıyız. Henüz yola ait bilgileri kullanmadık! EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. Enerji ve Potansiyel. Noktasal Bir Yük Alanında Potansiyel Fark. Potansiyel Fark Bir Q yükünü ilk noktadan son notaya taşırken harcanan işi biliyoruz. Bu aslında yükün konumunu değiştirirken kazandığı potansiyel enerjidir.. Amacımız noktasal bir Q yükünün alanında pozitif bir birim yükü B’den A’ya taşırken harcanan işi bulmak.. .A. Potansiyel fark (yada kazanılan potansiyel enerji) birim yük başına harcanan iş olarak tanımlanmıştır. Birim olrak Joules/Coulomb, yada volt:. rA. .B. Burada. rB. + Q. Aslında elektrik alanın sadece radyal bileşeni olduğundan A’dan B noktasına takip edilen yol önemsizdir.. Nihayetinde: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 2.

(19) Enerji ve Potansiyel. Noktasal Bir Yük Alanında Potansiyel Fark. Enerji ve Potansiyel. Noktasal Bir Yükün Potansiyel Alanı İki nokta arasındaki potansiyel fark:. Problemi tamamlamak için: Noktasal yük için: Potansiyeli bir noktada bulmak için referans noktasında potansiyelin sıfır olduğu başka bir noktayı seçmeliyiz. Bu referans noktası örneğin sonsuzda olabilir:. .A r + Q. .B. ve. rB. A. Bu sonuç tanımlı bir uzayda herhangi bir noktada bir potansiyel fonksiyon yada potansiyel alandır. Şayet noktasal yük dışında herhangi bir dc alan (C1) var ise bunu eklemeliyiz:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Enerji ve Potansiyel. Orijin Dışındaki Noktasal Yükün Potansiyel Alanı Daha önce elektrik alan hesaplamasında Yaptığımız gibi yük ile konum noktasını vektörler ile ifade etmeliyiz.. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. İki Yada Daha Fazla Noktasal Yükün Potansiyel Alanı Doğrusallık özelliği kullanılarak katkıları toplanır:. P. Genellersek n yükü için:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Enerji ve Potansiyel. Sürekli Yük Dağılımlarının Potansiyelleri Şayet her noktasal yük küçük bir hacimdeki küçük sürekli yük dağılımı olarak temsil edilirse, doğrusallık özelliği kullanarak:. v v. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. Yük Dağılımlarına Göre Potansiyel Fonksiyonlar Çizgisel Yük:. Tabaka Yük:. Şayet küçük hacimler sıfıra giderken eleman sayısı sonsuza gider ve toplamlar integrale dönüşür:. Hacimsel Yük:. Daha önce elektrik alan için bulduğumuz formül ile kıyaslayın. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 3.

(20) Enerji ve Potansiyel. Örnek: Halka şekindeki düzgün bir yük yoğunluğunun potansiyel alanı. Enerji ve Potansiyel. Örnek: Halka şekindeki düzgün bir yük yoğunluğunun potansiyel alanı. Amaç halka şekinde x-y düzleminde orijinde yerleşik çizgisel bir yükün potansiyelini zekseninde herhangi bir noktada bulmak.. Formülümüz Bilinmeyenleri yerine koyarsak:. Formülümüz:. burada. burada. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. Enerji ve Potansiyel. Enerjinin Korunun Özelliği. Eşpotansiyel Yüzeyler. Bir yükün herhangi bir kapalı çevrim yol üzerinde hareketi ile yapılan iş sıfırdır.. • Noktasal bir yükün potansiyeli sadece r’ye bağlı bir fonksiyondur..  E  dL  0. • r’deki küresel bir yüzey eşpotansiyel yüzeyi temsil eder.. Örnek: Bir DC-devresi. • Eşpotansiyel yüzey elektrik alan çizgilerine diktir.. Bir birim yükün A noktasından R2, R3 ve R1 üzerinden tekrar A noktasına hareketi sırasında harcanan toplam iş sıfırdır. (Kirchhoff). EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 21. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Enerji ve Potansiyel. Artımsal Bir Mesafe Boyunca Voltajda Değişim. FATİH UNIVERSITY. 22. Enerji ve Potansiyel. Potansiyel Alan ve Elektrik Alan Arasındaki İlişki Potansiyeldeki maksimum artış hızı elektrik alanın zıddı yönde olur:. Potansiyeldeki L yolu boyuncaki değişim bu vektör ve elektrik alan arasındaki açıya bağlıdır; örneğin, alanın yola izdüşümü:. birim vektör eş potansiyel yüzeye dik ve artan potansiyel yönündedir.. Eş potansiyel yüzeyleri. yada buradan: aN. Maksimum değer:. E. E maximum azalma hızı yönündedir, yani, V’nin negatif değişim (gradyant) yönündedir.. şayet yol vektörü elektrik alanı ile paralel ise. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 4.

(21) Enerji ve Potansiyel. Enerji ve Potansiyel. Kartezyen Kordinatlarda Elektrik Alanın V İle İfadesi Diferansiyel voltaj değişimi V’nin üç yöndede değişimin toplamı şeklinde yazılabilir:. Elektrik Alan ve Potansiyel Gradiyent E ve V arasındaki ilişki:. İntegral halinden biliyoruz ki: Del operatörünü V üzerinde kullanarak elde edebiliriz., Böylece:. Daha gönel ve kısa ifadesiyle:. Özdeşlersek: Gradyantın yön skaler alanın maksimum artış hızı yönündedir ve eş potansiyel yüzeylere diktir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. Skaler Bir Alanın Gradyantı. Elektrik Alan ve Potansiyel Gradyant. E  V. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 27. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Enerji ve Potansiyel. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. Uzak-Alan Yaklaşımı. Elektriksel Dipole Amaç her iki yükten kaynaklanan potansiyeli P noktasında bulup sonrada potansiyelden elektrik alanın bulunması.. Şayet r >>d ise üç konum vektörü birbirine paralel kabul edilebilir. Bu durumda şu yaklaşımları kullanabiliriz:. ve. Her yüke ait olan potansiyelin toplamı: Sonuçta: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 5.

(22) Enerji ve Potansiyel. Enerji ve Potansiyel. Dipol İçin Elektrik Alan ve Eş Potansiyel Çizgileri. Dipolün Elektrik Alanı Bulduğumuz potansiyel alan:. Elektrik alanı potansiyelin negatif gradyantını alarak bulabiliriz:. yada... Sonuçta:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. 32. Enerji ve Potansiyel. Elektrik Dipol Momenti Dipol moment vektörü negatif yükten pozitif yük yönündedir:. P’nin yönü az yönünde olduğundan:. O zaman: Yada daha genel bir ifade ile, dipol orijin dışında herhangi bir noktada ise:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. İki Noktasal Yük Sisteminde Potansiyel Enerji Q1 +. R2,1. Q1 şayet izele ise sıfır enerjisi vardır.. Q2 + Q2 yükü sonsuzlukdan bulunduğu noktaya getirildi.. Enerji ve Potansiyel. Üç Noktasal Yük Sisteminde Potansiyel Enerji Q1 +. R2,1. Q2 + R3,2. R3,1. Q3 yükü sonuzlukdan bulunduğu konumuna getiriliyor, burada Q1 ve Q2 bulundukları konumdalar.. + Q3. Q2’yi bulunduğu konuma getirirken harcanan iş:. Buradaki sistem enerjisi daha önceki 2-yük enerjisine ilaveten Q3 yükünü Konumuna getirirken harcanan iştir.. Bu sistemdeki bir araya getirilen iki yükün depolanan enerjisidir. burada EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. ve FATİH UNIVERSITY. 6.

(23) Enerji ve Potansiyel. Enerji ve Potansiyel. Dört Noktasal Yük Sisteminde Potansiyel Enerji Aynı şekilde Q4 yükü sonsuzluktan bulunduğu konuma getirilir. Q1, Q2, ve Q3 bulundukları yerdedirler. Q1 Q2 R2,1 + + Olay karmaşıklaşıyor! R4,1 Q4 R4,2 R R3,1 3,2 + R4,3 + Q3 Sistem enerjisi daha önceki 3-yükün enerjisine ilaveten Q4 yükünü bulunduğu Konuma getirirken harcanan iştir:. Burada:. Enerji İçin Eşdeğer İfade Dört yük için depolanan enerji: Joule Şayet Vnm potansiyel tanımlarına bakarsak yukarıdakine benzer bir ifade buluruz:. İki ifadeyi toplayarak daha simetrik ifade elde edebiliriz:. Her bir yük diğer yüklere ait potansiyellerle çarpılmakta ve verilen yükün konumunda hesaplanmaktadır.. ve. Burada dikkat edilecek husus bu yükler aynı anda bulundukları konuma getiriliyorlar. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Enerji ve Potansiyel. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. Dört Ayrık Noktasal Yük Sisteminde Depolanan Enerjinin Genel İfadesi. n-Yük Yük Topluğu İçin Depolanan Enerji Bir önceki sonucu genişletere n yüke uyguladığımızda:. Daha önce:. Yerel potansiyelleri tanımla: Burada m noktasındaki yükün yerel yerel potansiyeli: ..buradan. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Aslında bu m noktasında ki yük hariç diğer tüm yüklerin m noktasında hesaplanan potansiyelidir. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Enerji ve Potansiyel. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. Bir Elektrik Alanında Depolanan Enerji. Sürekli Yük Dağılımında Depolanan Enerji. Maxwell denklemini kullanarak hacimsel yük yoğunluğunu D cinsinde yazmalıyız:. Şayet sürekli bir yük yoğunluğu cinsindek yük verilmiş ise aşağıdaki ifadeyi dolaylı olarak kullanmalıyız.. Ama burada Q yükünü dq = v dv ile değiştirmeliyiz ve toplama yükün hacmi üzerinden integrale dönüşür:. Burada,. vektör özdeşliğini kullandık.. Sonra, birinci terimde ki hacimsel integrali diverjans teoremi kullanarak o hacim üzerindeki yüzeysel integrale çeviririz:. Burada V yükün bolunduğu hacimde konum bağımlı potansiyeldir... EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 7.

(24) Enerji ve Potansiyel. Bir Elektrik Alanında Depolanan Enerji (Devamı) Denklemimiz:. Enerji ve Potansiyel. Elektrik Alan Enerjisi ve Enerji Yoğunluğu Alan enerji ifadesi:. Burada integral bölgesi tüm uzayı kapsamakta, diğer bir tabirle alan ve potansiyelin olduğu her yer. Bu yüzden yüke ait olan hacimle sınırlı değil. Diğer bir tabirle yüzey integrali sonsuz bir yarıçapta alınmalıdır. Sonsuz mesafede potansiyel ve D alanları noktasal bir yükün alanlarına benzer:. ama biliyoruz ki:. Buradan nihai sonuca varırız:. Buradan:. Burada elektrik alanda enerji yoğunluğu aşağıdaki gibi tanımlanır: İntegrand yarıçapın küpü ile değişirken integral yüzey üzerinden (yarıçapın karesi) ile değişecektir. Buradan integralin sonsuzda sıfıra gittiği aşikardır.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Enerji ve Potansiyel. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 8.

(25) İletkenler ve Dielektrikler. İletkenler ve Dielektrikler. Akım ve Akım Yoğunluğu Pozitif yüklerin harekatına Akım diyoruz. aN. Konveksiyon (Taşınım) Akımı. dQ I dt. [ A]. Artımsal bir akım artımsal bir yüzeyden geçerse. Bir v hacmi içerisindeki hızıyla hareket ediyor:. Q yükünü düşünün, yük pozitif x yönünde vx. Q  v v  v S L Şayet. t zamanında yük x = L = vx t mesafesi hareket ederse. Q  v S x. I  J  S. Q x   v S t t I  v S vx I . Burada J [A/m2] akım yoğunluğudur. Toplam akım ise. J x   v vx. I   J  dS. J  v v. S. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. İletkenler ve Dielektrikler. FATİH UNIVERSITY. İletkenler ve Dielektrikler. Akımın Sürekliliği. Örnek: İkinci vize sınav sorusu 2008. Qi yükü kapalı bir yüzey S ile tanımlı hacimden dışarı çıkarak akım yoğunluğu J’yi oluşturduğunu varsayalım. Toplam yük: Qi(t) Burada eksi işareti dışarı doğru pozitif akı oluşması için içerideki yükün azaldığını simgeler. Şimdi diverjans teoremini uygularsak:. Son ifadedeki integrandlar eşit olacağından Akımın Süreklilik Denklemini elde ederiz.. buradan. yada EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. İletkenler ve Dielektrikler. Enerji Bant Yapıları. FATİH UNIVERSITY. İletkenler ve Dielektrikler. Metalik İletkenler Serbest elektronlar elektrik alanın tesiriyle hareket ederler. Bir elektron yükğ Q = -e’ye uygulanan kuvvet. Elektron zorunlu olarak ivmelenerek dengedeki sürüklenim hızına ulaşır:. İletkenler: dış yörüngedeki elektronlar çekirdeğe gevşek bağlıdırlar ve iletken bandına kolaylıkla geçebilirler. Çok sayıda serbest elektron vardır ve enerji seviyeleri arasında boşluk yoktur. Yalıtkanlar: dış yörüngedeki elektronlar bile çekirdeğe çok güçlü bağlıdır. Serbest elektronlar yoktur ve enerji seviyeleri arasında büyük boşluk vardır. Dışarıdan uygulanan bir alan dahi elektronları harekat ettiremez. Yarıiletkenler: Göreceli olarak az sayıda serbest elektronlara sahiptir ve enerji seviyeleri arasındaki boşluk azdır. Dışarıdan uygulanan elektrik alanı serbest elektronların hareketini sağlayabilir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. burada e elektron devingenliğidir (hareketliliği) ve birimi m2/V-s. Sürüklenim hızını kullanarak akım yoğunluğunu buluruz:. Burada elektron akışı için ilektkenlik:. Ohm Yasasının noktasal hali. S/m Yarı iletkenlerde delik akımıda olacağından EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 1.

(26) İletkenler ve Dielektrikler. İletkenler ve Dielektrikler. Direnç. İletkenlik Çizelgesi. Her iki ucuna bir V voltajı uygulanan bir silindirik iletken düşünelim. Akım şekildeki yönde S kesit yüzeyinde düzgün dağılmış bir şekildedir. Öncelikle, silindirdeki alan niceliği cinsinden akım ve voltajı yazabiliriz:. Ohm Yasasını kullanarak:. Silindirdeki direnci buluruz:. b. a EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. FATİH UNIVERSITY. İletkenler ve Dielektrikler. İletkenler ve Dielektrikler. İletkenlerin Elektrostatik Özellikleri. Direnç İçin Genel İfade. Bir iletken üzerine fazladan bir yük konulduğunu düşünelim. E. 1. 2. a. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. b. FATİH UNIVERSITY. 3.. + + + ++ ++ + + İletken + + İçeride E = 0 + + + + + + + + ++. Yüzeydeki elektrik alan normal yöndedir.. Yük sadece yüzeyde yüzeysel yük yoğunluğu s şeklinde var olabilir, içeride yük yoktur. Elektrik alan içeride olamayacağı gibi yüzeyde de teğetsel bileşeni yoktur (sonraki slaytlarda gösterilecek). İletken bir yüzeyin alında eşpotansiyel bir yüzey olduğunu 2. koşuldan anlıyoruz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. İletkenler ve Dielektrikler. FATİH UNIVERSITY. İletkenler ve Dielektrikler. Sınır Koşulları. Sınır Koşulları. Birinci sınır koşulunu  E  dL  0 denklemini a→b→c→d→a yolu ile çözerek bulabiliriz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. s. FATİH UNIVERSITY. İkinci sınır koşulunu  D  dS  Q denklemini silindirik S Gauss yüzeyi üzerinde çözerek bulabiliriz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 2.

(27) İletkenler ve Dielektrikler. Sınır Koşulları. İletkenler ve Dielektrikler. Örnek:. Dt  Et  0 DN  EN   S EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. İletkenler ve Dielektrikler. FATİH UNIVERSITY. İletkenler ve Dielektrikler. Görüntüleme Metodu. Görüntüleme Metodu. Metal plakayı kaldırıp yerine mevcut yüklerin negatifini simetrik mesafede yerleştirin. Bu yük orjinal yükün görüntüsüdür. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. İletkenler ve Dielektrikler. Örnek: İletken bir düzlemin üzerinde çizgisel yük. FATİH UNIVERSITY. İletkenler ve Dielektrikler. Örnek: İletken bir düzlemin üzerinde çizgisel yük P noktasındaki elektrik alanı bulduk: ve yük yoğunluğunu bulmak için sınır koşulunu kullanalım : burada n = az P noktasındaki yüzeysel yük yoğunluğu:. İki alanı toplayarak toplam alanı buluruz:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. n. D. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 3.

(28) İletkenler ve Dielektrikler. İletkenler ve Dielektrikler. Örnek: İkinci vize sınav sorusu 2007. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. İletkenler ve Dielektrikler. Dielektrik Malzemelerin Özelliği. Genellikle (istisnalar var) dielektrik malzemeler nötr yüklüdürler. Elektron bulutunun merkezi çekirdek ile örtüşür. Harici bir alan uygularsak yüklerde atomik boyutta kayma oluşur ve elektronların merkezi çekirdeğinkisine göre kayar ve bir dipol oluşturur. Bu yüklere biz bağıl yükler diyoruz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. İletkenler ve Dielektrikler. Dielektrikler Atomlar elektrik alanın mevcudiyetinde elektrik dipoller oluştururlar. Tüm dipoller elektrik alanı ile hizalanırlar. Hizalanan dipoller negatif bir elektrik alanı oluşturur ve orjinal alanı azaltır.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. İletkenler ve Dielektrikler. Elektrik Dipol ve Dipol Momenti. FATİH UNIVERSITY. İletkenler ve Dielektrikler. Polarizasyon Alanı Dipol sayısı yoğunluk olarak ifade edilir, birim hacimdeki n dipolü.. Dielektriklerde yükler yörüngelerinde bağlı haldedirler ve serbest yük gibi hareket edemediklerinden akım oluşmaz. Atomlar ve moleküller kutupsal olabilir (pozitif ve negatif yükler ayrışmış), yada elektrik alanın mevcudiyetinde kutuplaşmış olabilir. Böyle bir atom yada molekülü düşünün, bir dipol momenti p’ye sahip, pozitif ve negatif yük ayrım mesafesi d ile yük miktarı Q’nun çarpımı olarak tanımlanmış. Dipol momenti negatif yükten pozitif yüke doğru olan bir vektördür.. FATİH UNIVERSITY. Ortamın Polarizasyon Alanı aşağıdaki gibi tanımlıdır: v. Q d. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. [dipol momenti/hacim] yada [C/m2]. p = Qd az. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 4.

(29) İletkenler ve Dielektrikler. İletkenler ve Dielektrikler. Polarizasyon Alanı (Uygulanan Elektrik Alanıyla). Bağlı Yükün Göç Etmesi Şekildeki gibi yüzey normalinden açısıyla bir elektrik alan uygulandığını düşünelim. Bağlı yüklerdeki ayrışma (yada hizalanma) artı bir bağlı yükün S yüzeyinden yukarı doğru ve negatif bağlı yükün ise yüzeyden aşağı doğru yönelmesine sebep olur.. Bir elektrik alanın mevcudiyetinde her bir dipoldeki yük ayrımı artabilir, ve tüm dipolleri hizalar. Etki gerçekte küçüktür ve burada abartılarak çizilmiştir!. E Etki P’yi arttıracaktır.. Dipol merkezleri (kırmızı noktalar) (1/2)d cos yüzeyin üstü ve altı aralığında yükü yüzey boyunca transfer edecektir. E. = np Burada tüm dipolleri aynı kabul ettik. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. İletkenler ve Dielektrikler. Polarizasyon Akısı Olarak Bağlı Yükün Hareketi. İletkenler ve Dielektrikler. Kapalı Bir Yüzey Boyunca Polarizasyon Akısı Pozitif bağlı yüklerin kapalı bir yüzey içerisinde toplanması polarizasyon vektörünün içeri doğru olduğu sonucunu doğurur. Bu nedenle: -. Yüzeyi geçen toplam bağlı yük miktarı:. S volume S -. P. E. + +. + + qb. P. -. -. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. İletkenler ve Dielektrikler. İletkenler ve Dielektrikler. Serbest Yük İçin Gauss Yasası. Serbest Ve Bağlı Yük Şimdi kapalı bir yüzey içerisinde bağlı yükler qb ve serbest yükler q olduğunu düşünelim. Toplam yük serbest ve bağlı yüklerin toplamına eşittir. Gauss Yasasını toplam yük QT cincinden yazarsak:. Elimizde olanlar: ve. burada. E. QT = Qb + Q. QT. S. q+ + + + + +++. P. Birleştirip yeniden yazarsak:. qb. serbest yük. Burada. Özdeşleştirerek:. QT = Qb + Q. Gauss Yasasındaki bilinen şekliyle yeniden yazabiliriz:. bağlı yük EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 5.

(30) İletkenler ve Dielektrikler. İletkenler ve Dielektrikler. Elektrik Hassasiyet Ve Dielektrik Sabiti. Yük Yoğunlukları Bir önceki sonucu alıp Diverjans Teoremini uygularsak yük yoğunlukları için noktasal ifadeleri elde ederiz:. Daha kuvvetli bir elektrik alan ortamda daha büyük bir polarizasyona sebebiyet verir. Doğrusal bir ortamda, P ve E arasındaki ilişkide doğrusaldır ve şöyle tanımlıdır:. burada Bağlı Yük:. e. ortamın elektrik hassasiyetidir.. Şimdi şöyle yazabiliriz: burada dielektrik sabiti, yada bağıl geçirgenliği şöyle tanımlanmıştır:. Toplam Yük: Ortamın toplam elektrik geçirgenliğini. Serbest Yük:. olarak tanımlarsak. Genel ifadeyle: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. İletkenler ve Dielektrikler. Sınır Koşulları. Birinci sınır koşulunu. FATİH UNIVERSITY. İletkenler ve Dielektrikler. Sınır Koşulları.  E  dL  0 denklemini a→b→c→d→a. yolu ile çözerek bulabiliriz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. İletkenler ve Dielektrikler. Sınır Koşulları. FATİH UNIVERSITY. İletkenler ve Dielektrikler. Sınır Koşulları. . D  dS  Q denklemini silindirik İkinci sınır koşulunu S Gauss yüzeyi üzerinde çözerek bulabiliriz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 6.

(31) İletkenler ve Dielektrikler. İletkenler ve Dielektrikler. Sınır Koşulları. Sınır Koşulları Dielektrik malzemelerde yüzey yük yoğunluğu yoktur,  s  0. DN 1  D1 cos 1. DT 1  D1 sin 1. DN 2  D2 cos  2. DT 2  D2 sin  2. DN 1  DN 2 sınır koşulunu kullanırsak. D1 cos  2  D2 cos 1. ET 1  ET 2 DN 1  DN 2.  2 DT 1  1DT 2 sınır koşulunu kullanırsak. tan 1 1  tan  2  2 EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. İletkenler ve Dielektrikler. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 7.

(32) Kapasitans. Kapasitans. Kapasitansın Tanımı. Paralel Plaka Kapasitörü. İki zıt yüklü iletken düzgün bir dielektrik ile çevrili ise basit bir kapasitör oluşturur. Q’de herhangi bir katsayıyla artış E ve D’de artışa sebep olur.. Yatay durumdaki plaka boyutlarını plakalar arasındaki mesafa d’den çok büyük kabul edelim. Bu durumda elektrik alan sadece z yönündedir, ve potansiyel sadece z ile değişir.. hatırlayalım:. Plaka yüzeyi = S. Sonuçta, iletkenler arasındaki potansiyel fark: S. Q .A aynı katsayıyla artışa sebep olur. Diğer bir ifade ile Q ve V0 arasındaki katsayı sabittir. Buradan yapının kapasitansını depolanan yükün uygulanan potansiyele oranı olarak tanımlıyoruz, yada. Alt Plaka: -Q. .. E, D. B. Her durumda aynı sonuç!. Üst Plaka:. Plakalar arasındaki toplan alanı bulmak için sınır koşulunu sadece bir plaka yüzeyinde uygulamak yeterli.. Plakalar arasındaki elektrik alan:. birimi C/V yada Farad’dır. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Mükemmel iletken yüzey üzerinde D için sınır koşullarını uygularsak:. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Kapasitans. Kapasitans. Paralel Plaka Kapasitörünün Kapasitansı. Kapasitörde Depolanan Enerji Kapasitör içerisindeki elektrik alanın enerji yoğunluğunun hacimsel integralini alarak kapasitörde depolanan enerjiyi bulabiliriz:. Plaka yüzeyi = S yada kullanarak plakalar arası voltaj bulunabilir: S C. V02. Enerjiyi üç farklı şekilde yazabiliriz: sonra. kullanarak:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Kapasitans. Kapasitans. Örnek: Koaksiyel İletim Hattı. Örnek: Küresel Kapasitör Yarıçapları a ve b olan iki eşmerkezli küre düşünün. Eşit miktarda fakat zıt Q yükleri iç ve dış küre yüzeyinde var.. Daha önce Gauss Yasasını kullanarak bulduğumuz:. diğer yerlerde ise E = 0, iç ve dış iletkenlerde eşit miktarda zıt yükler var.. Gauss Yasası bize elektrik alanın sadece küreler arası bölgede olacağını anlatıyor:. S. E. Q. a. -Q b. E 1. İletkenler arasındaki potansiyel fark:. z‘de birim uzunluk al. İç ve dış küre arasındaki potansiyel fark:. Ve kapasite:. …ve iç iletkendeki birim uzunluk için yük miktarı:. Şayet. (yalıtılmış küre). Sonuçta: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 1.

(33) Kapasitans. Kapasitans. Dielektrik İle Kaplanmış Yalıtılmış Küre  a Q.  E1. E2. Yarıçapı a olan bir iletken kürede Q yükü var. İletken küreyi yarıçapı r1 - a olan ve elektriksel geçirgenliği 1 olan bir dielektrik çevrelemiştir. Her iki bölgede elektrik alan Gauss Yasası ile:. İki Katmanlı Dielektrik Kapasitör Bu durumda, sınır koşulunu kullanırsak iki dielektrik arasında D’nin normal bileşeni sürekli olacağından (dielektrik arayüzeyde yüzeysel yük olmadığını varsayarak): ve İki iletken plaka arasındaki potansiyel fark: sınır koşulu kullanarak:. r1. Alt iletken plakada yüzeysel yük yoğunluğu:. Sonsuzda sıfır refarnsı kullanarak iletken küredeki potansiyel:. = V0 ve kapasitansı:. DN2. E2. DN1. E1. Sonuçta kapasitans:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kapasitans. Poisson’s ve Laplace Denklemlerinin Türetilmesi Şayet sınırlarda potansiyel değerleri biliniyorsa bu denklemler kullanarak herhangi bir bölgede potansiyel hesaplanabilir.. FATİH UNIVERSITY. Kapasitans. Poisson’s ve Laplace Denklemlerinin Türetilmesi Daha önce diverjansı tanımlamıştık:. Maxwell’in birinci denklemi ile başlarsak: …ve gradyantı: burada ve. Beraber uygularsak:. Kullanarak. Sonuçta:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi.   FATİH UNIVERSITY. kısaltılarak  2 olarak yazılır ve Laplasyan operatorü olarak adlandırılır.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kapasitans. Poisson Ve Laplace Denklemleri. FATİH UNIVERSITY. Kapasitans. Laplasyan Operatörü. Bildiğimiz:. Diğer bir ifadeyle: Poisson denklemi olarak kartezyen kordinatlarda adlandırılır. Şayet hacimel yük yoğunluğu sıfır ise , denklemin sağ tarafı sıfır olur, ve:. Laplace denklemi. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 2.

(34) Kapasitans. Kapasitans. Paralel Plaka – İçerdeki Ponsiyel Alan. Kapasite Problemleri Şayet sınır koşulları biliniyorsa Poisson (v  0 ) yada Laplace ( v  0 ) denklemini kullanarak potansiyeli bulabiliriz.. x Laplace denkleminden:. V = V0. d Sınır koşulu 1 uygula:. Sonra aşağıdaki aşamaları takip ederek kapasiteyi buluruz. Eş potansiyel yüzeyler. 0 = A(0) + B. 0. 1. V biliniyor ise , E  V ’yi kullanarak E’yi bul.. V=0 Sınır koşulu 2 uygula:. 2. D   E’yi kullanarak D’yi bul.. Sınır koşulları:. V0 = Ad. 3. D’yi kapasitörün her iki plakasında incele, D  DS  DN a N .. 1. x = 0’da V = 0 2. x = d’de V = V0. 4. Hatırla,  S  DN 5. Q ’yü yüzey integrali ile kapasitör üzerinde bul, Q    S dS s Q 6. Kapasiteyi C  ile bul V EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Bu fonksiyon kapasitördeki eş potansiyel yüzeyler olarak çizilmiştir. Birbirine komşu eş potansiyel yüzeylerde sabit potansiyel farkı vardır.. Sonuçta:. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Kapasitans. Kapasitans. Elektrik Alan, Yük Ve Kapasitans Hesaplaması Başlarken: x Sonra:. d. Yüzey Alanı = S V = V0 + + + + + + + + + + + + + +. n kullanarak:. 0. Koaksiyel İletim Hattı Koaks içerisinde V sadece yarıçap ile değişir, bu durumda Laplace denklemi:. E. V0. Eş potansiyel yüzeyler. (  0’da geçerli değil). - - - - - - - - - - - - - -. L. V=0 Alt plaka yüzeyinde (x = 0): Sonra:. V=0. E. ve. Amacımız potansiyel fonksiyonu (a <   b) bölgesinde bulmak:. n = ax. Bir kere integral alırsak:. kullanarak. .. ikincisinde:. Alt tabakadaki yük:. Sınır koşulları: .   b’de V = 0 2.   a’da V = V0. ve kapasitans. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Kapasitans. Kapasitans. Koaksiyel İletim Hattı Kapasitansı. Koaksiyel İletim Hattı. İletkenler arasındaki potansiyel alanı bulmuştuk:. Bildiğimiz: Sınır koşulu 1 uygularsak:. V0. V=0. Sonra:. E. V0. İç iletkendeki yüzeysel yük yoğunluğu:. Sınır koşulu 2 uygularsak:. Sonuçları birleştirirsek:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Sınır koşulları: .   b’de V = 0 2.   a’da V = V0. FATİH UNIVERSITY. V=0. E. L. İç iletkendeki toplam yük:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. L. …ve sonuçta kapasitans:. FATİH UNIVERSITY. 3.

(35) Kapasitans. Kapasitans. Eşmerkezli Küresel Geometri. Eşmerkezli Küresel Kapasitör. V sadece yarıçap ile değişeceğinden Laplace denklemi:. V=0. V=0 yada:. E. V0. Bildiğimiz: İletkenler arasındaki elektrik alan:. a. E. V0. a b. b integralini alırsak:. (a < r < b). İç iletkendeki yük yoğunluğu:. ..ve bir daha: Sınır koşulları: 1. r = b’de V = 0 2. r = a’da V = V0. Sınır koşulu 1:. İç iletkendeki toplam yük:. Sınır koşulu 2: Sonuçta:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kapasitans: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Kapasitans. Açılı Plaka Geometrisi. FATİH UNIVERSITY. Kapasitans. Örnek: İkinci vize sınav sorusu 2008. Silindirik koordinatlar kullanarak potansiyelin sadece  ile değiştiğini varsayalım. Bu durumda Laplace denklemi:. İntegral alırsak: x …ve bir daha: Sınır koşulları: .   0’da V = 0 2.   ’da V =V0. Birinci sınır koşulu: İkinci sınır koşulu:. Sonuçta:. Sonra:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kapasitans. FATİH UNIVERSITY. Kapasitans. Örnek: Final sınav sorusu 2008. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 4.

(36) Kapasitans. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 5.

(37) Kalıcı Manyetik Alan. Kalıcı Manyetik Alan. Oersted’ın Deneyi. Manyetik Alanlar. İletken telden geçen akım manyetik alanlar üretiyor ve bu alanlar iletkenin etrafında döngü oluşturuyor.. • Manyetik Alan Şiddeti H (A/m) (Elektrik alan şiddeti ile benzer, E (V/m) • 1820 – Oersted – Tel deki akım manyetik alan üretiyor EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kalıcı Manyetik Alan. Biot-Savart Yasası. Kalıcı Manyetik Alan. Döngüsel Bir Akımdan Kaynaklanan Manyetik Alan Diferansiyel IdL akım elemanından kaynaklanan P noktasındaki manyetik alan:. Biot-Savart Yasası diferansiyel uzunluktaki noktasal bir akım elemanından kaynaklanan manyetik alan H’yı belirler.. H’nın birimi [A/m] Dikkat edilirse mesafe ile ters ilişki var ve vektörel çarpımdan dolayı manyetik alanın yönü sağ el kuralı ile sayfaya doğrudur.. Coulomb’s Yasası ile bezerlikler var. Noktasal bir dQ1 yükü konum 1’den konum 2’ye doğru oluşturduğu elektrik alan:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. FATİH UNIVERSITY. Toplam alanı bulmak için tüm diferansiyel elemanların katkısını toplamalıyız. Diğer bir ifade ile integralini almalıyız.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kalıcı Manyetik Alan. İki ve Üç Boyutlu Akımlar. FATİH UNIVERSITY. Kalıcı Manyetik Alan. Sonsuz Uzunluktaki Düz Bir Filaman İçin Manyetik Alan Bu örnekte, z-ekseninde yerleştirilmiş sonsuz bir akım filamanından kaynaklan manyetlik alan şiddetini y-ekseninde (yada xy-düzleminde) inceleyeceğiz. Yüzeyde düzgün bir K [A/m] yüzey akım yoğunluğu var ise, b genişliğindeki akım:. Şekilden: Biot-Savart Yasasındaki diferansiyel akım elemanları yerine aşağıdaki ilişkiyi yazarsak:. ve Bir tabaka akımından kaynaklanan manyetik alan iki boyutlu Biot-Savart Yasası ile bulunabilir: Sonuçta: Aynı şekilde hacimsel bir akımdan kaynaklanan manyetik alan üç boyutlu Biot-Savart Yasası ile bulunabilir: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 1.

(38) Kalıcı Manyetik Alan. Sonsuz Uzunluktaki Düz Bir Filaman İçin Manyetik Alan. Kalıcı Manyetik Alan. Magnetic Field Intensity for infinitely long strait filament. Elimizde olan: Elimizde: Vektörel çarpımı yapıp filaman boyunca integralini alırsak:. Akım sayfaya doğrudur. Manyetik alan çizgileri eşmerkezli olup eksenden uzaklaştıkça azalır.. Sonuçtta:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kalıcı Manyetik Alan. Sonlu Bir Akım Elemanından Kaynaklanan Alan Bu durumda alan xy-düzleminde konum 2’de bulunabilir. Biot-Savart integrali tel boyunca alınır:. FATİH UNIVERSITY. Kalıcı Manyetik Alan. Örnek: Çember filamandaki akım H. IdL  a R 4 R 2. IdL  Iada R  aa   ha z R  a 2  h2 , a R . Bir kaç işlem yaptıktan sonra (Problem 7.8’e bakınız) manyetik alanı buluruz:. 2. H.  . 0. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. a h a  az R R. Iad a   ha z  aa  . . 4 h 2  a 2. . 3. 2. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kalıcı Manyetik Alan. FATİH UNIVERSITY. Kalıcı Manyetik Alan. Örnek: Çember filamandaki akım (devamı). H. . 2. Ia 2a z. 4 h  a 2. 2. . 3. 2.  d  0. Ia 2. . 2 h  a2 2. At h = 0, H  EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. . 3. 2. az .. I az 2a FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 2.

(39) Kalıcı Manyetik Alan. Döngüsel Ampere Yasası. Kalıcı Manyetik Alan. Ampere Yasasının Sonsuz Bir Filamana Uygulanışı. Döngüsel Ampere Yasası H’nın herhangi bir kapalı yol üzerinden çizgisel integralinin içinde barındırdığı akıma eşit olduğunu ifade eder.. H’nın dairesel olduğunu ve filamandan herhangi bir yarıçap uzaklığında sabit olduğunu biliyoruz.. Simetri özelliğinin kullanılabilmesi için seçilen yol öyle seçilmeliki H ya yol boyunca sabit olmalı (teğetsel) yada sıfır olmalı (yola dik).. H’nın integralini  yarıçapına sahip ve akımı içinde barındıran bir yol üzerinden alırsak:. H’nın kapalı a ve b yolları üzerinden itegrali toplam akım I’yı verirken, c yolu üzerinden alınan integral ise yolun kapsadığı kadar akım oranını verir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Daha öncede buluduğumuz gibi:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kalıcı Manyetik Alan. Örnek: Silindir’deki akım. FATİH UNIVERSITY. Kalıcı Manyetik Alan. Örnek: Silindir’deki akım (devamı). I kaps .  H  dL. Silindiri birçok filamandan oluşmuş varsayalım. ρ bileşenleri simetriden dolayı birbirini götürür.. Silindirin içerisinde ve dışarısında H’yı bulmak için iki yol kullanmalıyız.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kalıcı Manyetik Alan. Örnek: Silindir’deki akım (devamı). FATİH UNIVERSITY. Kalıcı Manyetik Alan. Örnek: Koaksiyel kablo. I (   a) 2 a 2 I H  ( a    b) 2 H . I c2   2 (b    c) 2 c 2  b 2 H  0 (   c) H . EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 3.

(40) Kalıcı Manyetik Alan. Bir Yüzeysel Akımdan Kaynaklanan Manyetik Alan Simetriden dolayı y-yönündeki düzgün bir düzlemsel akımdan x-yönünde bir H alanı beklemekteyiz. Dairesel Ampere yasasını 1-1’-2’-2-2 yoluna uygularsak: yada. Kalıcı Manyetik Alan. Bir Yüzeysel Akımdan Kaynaklanan Manyetik Alan Şayet yukarıdaki 1-1’ yolu 3-3’ konumuna kaydırılırsa döngünün içerisindeki akım değişmeyecektir. Buradan şu sonuca varabiliriz. Bu çıkarımla alanın yüzey üzerinde ve altında sabit olduğu sonucu çıkar.. Diğer bir ifade ile yüzey akım yoğunluğundan oluşan manyetik alan akım yüzeyi boyunca sürekli değildir.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Simetrik özellik bize manyetik alanın yüzey üzerinde ve altında genlik olarak aynı olduğu sonucunu verir. Yönler döngüden dolayı zıtdır.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Kalıcı Manyetik Alan. Bir Yüzeysel Akımdan Kaynaklanan Manyetik Alan Şekilde de gösterildiği gibi manyetik alanlar genlik olarak eşit fakat zıt yöndedirler. Genel bir ifade ile alanı herhangi bir bölgede (yukarı yada aşağı) formülize edersek:. Kalıcı Manyetik Alan. İki Yüzeysel Akımdan Kaynaklanan Manyetik Alan Aşağıda paralel plaka iletim hattındaki gibi iki eşit miktarda fakat zıt yönde plaka akımları var. Şayet plakalar arası mesafe plaka yüzeyinden çok küçük ise manyetik alan plakalar arasında mevcut olup dışarıda ise neredeyse sıfırdır (plakalar sonsuz olursa kesin sıfırdır). Hx2 (z > d/2 ) Hx1 (z > d/2 ). Bu alanlar plakalar sonsuz büyüklükte olursa birbirini götürür.. K1 = -Ky ay Hx1 (-d /2 < z < d/2 ) Hx2 (-d /2 < z < d/2 ) burada aN yüzey akımına normal olan birim vektördür ve alanı hesaplayacağımız konuma yöneliktir.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. H = K x aN (-d/2 < z < d/2 ). K2 = Ky ay Hx1 (z < -d/2 ) Hx2 (z < -d/2 ). burada K ya K1 yada K2 olabilir. Bu alanlar plakalar sonsuz büyüklükte olursa birbirini götürür.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kalıcı Manyetik Alan. Döngüsel Akımın Alanı Daha önce Biot-Savart Yasasını kullanarak dairesel bir akım elemanından oluşan manyetik alanı z-ekseninde bir noktada hesaplamıştık:. Bu alanlar aynı yönde toplanır:. FATİH UNIVERSITY. Kalıcı Manyetik Alan. Sarmal Bobin İçerisindeki Eksenel Alan Tek sarımlık alanın katkısını diferansiyel katkı olarak değerlendirip N kadar çok sıkı sarmalın oluşturduğu alan için kullanalım. Sarmalda I akımı vardır. Sarmalın genişliği d ise sarmal yoğunluğu N/d olur. Şimdi döngüdeki diferansiyel bir uzunluk dz’deki akım: Bunu diferansiyel “döngüsel akım” kabul edelim.. Bu sonucu kullanarak z-ekseni boyunca aynı boyuttaki akım döngülerinin üst üste dizilmesi ile oluşan sarmal bobindeki alanı hesaplayalım.. Öyleki H için bir önceki tek sarımdan oluşan sonuç:. Şuna dönüşür: burada z telin merkezinden hesaplanır. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 4.

(41) Kalıcı Manyetik Alan. Sarmal Bobin İçerisindeki Eksenel Alan z-eksenindeki toplam alan z = 0’da tüm sarımların alan katkıları toplanarak, diğer bir ifade ile integrali alınarak bulunabilir.. Kalıcı Manyetik Alan. Uzun Bir Bobin Sarmalı için Yaklaşım Sarmal bobin içerisindeki eksen boyunca (z = 0)’daki manyetik alan:. Şayet bobin sarmalı çok uzun olursa sonuç basitleşerek:. (. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. ,. ). EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kalıcı Manyetik Alan. Bir Başka Yorum: Sürekli Yüzey Akımı Bir önceki örnekte sarmal bobin bir diferansiyel uzunlukta, dz, birbirine çok sıkı sarılı döngülerden oluştuğunu varsaymıştık. Böyle bir modeli aslında sürekli bir yüzey akım yoğunluğuyla K = Ka a A/m modelleyebiliriz.. FATİH UNIVERSITY. Kalıcı Manyetik Alan. Ampere Yasasının Küçük Kapalı Bir Döngüye Uygulanışı Şekildeki gibi manyetik alan, H, verilen noktada biliniyor olsun. Manyetik alanı 1-2-3-4 yolu üzerinde yaklaşımla bulabiliriz.. Bundan dolayı:. Diğer bir ifade ile, akım z-ekseninde dönüyor ve silindirin uzunluğu yarıçapından çok daha büyük ise eksenel manyetik alan yüzey akım yoğunluğuna eşittir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Bu örnekteki amacımız Amper Yasasını verilen yol üzerinde uygulayarak noktasal halini bulmaktır. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kalıcı Manyetik Alan. H’nın 1-2 Yolu Üzerindeki Yaklaşımı. FATİH UNIVERSITY. Kalıcı Manyetik Alan. y-Yönündeki Yol Parçalarının Katkıları Ön yolun katkısı:. 1-2 yolu üzerinde şöyle yazabiliriz:. burada. Arka yolun katkısı:. Bu nedenle: Formüllerdeki işaretler şekildeki yönlere göre alınmıştır.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 5.

(42) Kalıcı Manyetik Alan. x-Yönündeki Yol Parçalarının Katkıları. Kalıcı Manyetik Alan. Net Kapalı Yol İntegrali İntegralin tamamı tüm yol katkılarının toplamıdır:. Sağ yolun katkısı:. Bir önceki elde ettiğimiz sonuçları kullanarak:. Sol yolun katkısı:. Bir sonraki aşamada tüm yolların katkılarını toplamalıyız. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kalıcı Manyetik Alan. Akım Yoğunluğu İle İlişkisi Amper Yasası H’nın kapalı yol integrali içinde barındırdığı akıma eşittir diyor. Biz yaklaşımla akım yoğunluğunu merkezde bulup yüzey alanı ile çarptık.. FATİH UNIVERSITY. Kalıcı Manyetik Alan. Diğer Döngü Yönleri Bir önceki yaklaşımımızı diğer ortogonal döngü yönlerinede uygulayabiliriz, sonuçta:. yz-düzlemindeki döngü: Döngünün alanına bölersek: xz-düzlemindeki döngü: Bu yaklaşım yüzey alanın limiti durumunda kesin sonuca gider:. xy-düzlemindeki döngü:. Bu akım yoğunluğunun üç bileşeninide verir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kalıcı Manyetik Alan. Bir Vektör Alanının Döneli-Rotasyoneli (Curl) Kartezyen koordinatlarda yapılan bir önceki alıştırma ile H’nın rotasyonunu (curl) bulmuştuk. Genelleştirirsek, bir vektör alanının rotasyonu orjinal alana normal yönde başka bir vektör alanıdır.. FATİH UNIVERSITY. Kalıcı Manyetik Alan. Kartezyen Koordinatlarda Rotasyonel Daha önceki alıştırmamızdaki H’nın rotasyonel sonuçlarını birleştirirsek:. İntegral döngü düzlemine normal N yönündeki rotasyon bileşeni : Bunu ezberlemektense determinan şeklinde daha kolay buluruz:. Burada ∆SN integral düzlemindeki döngünün alanıdır. N’nin yönü sağ el kuralı ile bulunur: Sağ elimizin parmakları integral yönündeyken baş parmağımız normal yöndeki rotasyon yönünü gösterir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Aslında bu 𝛁 ile H vektörünün vektörel çarpımıdır:. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 6.

(43) Kalıcı Manyetik Alan. Kalıcı Manyetik Alan. Rotasyonelin Canlandırılması. Diğer Koordinat Sistemlerinde Rotasyonel (Dönel). Şekildeki gibi su akıntısı içerisine bir kanatlı çark yerleştirelim. Çark ekseni ekrana doğru olsun ve su hızı derinleştikçe azalıyor olsun. Çark saat yönünde dönecektir ve sağ el kuralına göre ekrana doğru yönü olacaktır.. Çarkı diğer ortogonal yönlerde de yerleştirerek rotasyonun tüm bileşenlerini ölçebiliriz. Dikkat ederseniz rotasyon hem alan (hız) hemde değişim yönüne (derinlik) dik yöndedir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Kalıcı Manyetik Alan. Bir Başka Maxwell Denklemi. Kalıcı Manyetik Alan. Bir Başka Maxwell Denklemi Daha Daha önce statik elektrik alanlar için biliyoruz ki:. Daha önce bulduğumuz:. Diğer hali ile:. Bu aslında statik alanlar için Maxwell denklemlerinden birisidir:. Diğer bir ifade ile Amper yasasının noktasal halidir.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. Alanın korunum şartını hatırlayalım, döngüsel integrali her zaman sıfırdır.. Bu nedenle bir alan için korunum kanunu var ise o alanın tanımlı olduğu tüm noktalarda döneli (rotasyoneli) sıfırdır.. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. Kalıcı Manyetik Alan. Büyük Yüzey Parçalarına Dönel Uygulanması S yüzeyi küçük ∆S yüzeylere parçalanmıştır. Yüzey elemanına normal olan dönel bileşenini dönelin tanımından şöyle yazabiliriz:. (statik elektrik alanlar için geçerli). FATİH UNIVERSITY. Kalıcı Manyetik Alan. Tüm Yüzeylerin Katkılarını Toplayalım Tüm yüzey elemanlarının dönel katkılarını toplayalım. Aradaki ortak çizgilerin katkıları birbirini götüreceğinden sadece büyük yüzeyin çevresel katkıları kalır.. yada: Daha önceki sonuçları kullanarak şöyle yazabiliriz: Aynı mantığı yüzeyin tüm elemanlarına uygulayıp toplayalım. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi. FATİH UNIVERSITY. 7.

No results found