# Consider the evaluation of If := R

(1)

1

0

(2)

n

(3)

1

0

0

0

p,α(N )

0

0

p,α(N )

1 0

k−α

(k)

p

p,α,N

k=0(1)N

1 0

k−α

(k)

p

1/p

(4)

0

∞,α(N )

(k)

t∈ ¯Ω

k−α

(k)

∞,α,N

k=0(1)N

t∈ ¯Ω

k−α

(k)

p,α(N )

0

p,α(∞)

p

q

1 0

1 0

p

1/p

1 0

q

1/q

p

q

q→∞

1 0

q

1/q

(5)

t∈ ¯

0

∞,α(N )

p,α(N )

1,α(N )

1,α,N

p,α,N

∞,α,N

p,α(N )

p,β(N )

p,β,N

(α−β)

p,α,N

p,α(N )

(j)

p,α−j(N −j)

(j)

p,α−j,N −j

p,α,N

∞,α(N )

1 0

k−α

(k)

p

t∈ ¯Ω

k−α

(k)

p

p∞,α,N

p,α(N )

p,α,N

∞,α,N

(6)

p,α(N )

1 0

k−α

(k)

1 0

k−α

(k)

p

1/p

1 0

q

1/q

p,α,N

1,α,N

p,α,N

p,α(N )

1

0

k−β

(k)

p

1

0

k−α

(k)

p

(α−β)p

(α−β)p

pp,α,N

(α−β)p

p,α(N )

p,β(N )

p,β,N

(α−β)

p,α,N

∞,α(N )

t∈ ¯Ω

k−β

(k)

t∈ ¯Ω

k−α

(k)

α−β

(α−β)

∞,α,N

(7)

∞,β(N )

∞,β,N

(α−β)

∞,α,N

p,α(N )

1

0

k−α

(k)

p

pp,α,N

1 0

l−(α−j)

(j)

(l)

p

pp,α,N

(j)

p,α−j(N −j)

(j)

p,α−j,N −j

p,α,N

t∈ ¯Ω

k−α

(k)

∞,α,N

t∈ ¯Ω

l−(α−j)

(j)

(l)

∞,α,N

(j)

∞,α−j(N −j)

(j)

∞,α−j,N −j

∞,α,N

Nα

Nα

1,α(N )

(8)

p,α(N )

1

1,loc

b

a

0

p,α(N )

0

(j)

0

1

1,loc

0

0

(j)

∞,α,N

α−j

(j)

0

(9)

b

a

(N )

p,α,N

b a

q(α−N )

1/q

1,α,N

t∈[a,b]

α−N

(N )

1,loc

(j)

(j)

x+h x

(j+1)

x+h x

j+1−α

(j+1)

α−j−1

p,α,N

x+h

x

q(α−j−1)

1/q

1,α,N

t∈hx,x+hi

α−j−1

h→0

(j)

(j)

(j)

(j)

p,α(N )

1 0

p(j−α)

(j)

p

(10)

(j)

(j)

(j)

(j)

0

1 0

(n)

p

p(α−n)

(n)

(n)

(n)

1

1 0

(n)

1

0

n−α

(n)

α−n

p,α,N

1

0

q(α−n)

1/q

1,α,N

t∈ ¯

α−n

j−α

(j)

∞,α,N

(j)

(j)

0

t→0

(n)

(n)

(11)

p,α(N )

0

(j)

p,α,N

α−1/p−j

(n)

p,α,N

1/q

(j)

(j)

t 0

(j+1)

t

0

j+1−α

(j+1)

α−j−1

(j)

p,α,N

j

(12)

j

t

0

q(α−j−1)

1/q

s∈[0,t]

α−j−1

j

α−j−1+1/q

1 0

q(α−j−1)

1/q

j

α−j−1−1/q

(j)

p,α,N

α−j−1/p

(j)

(j)

t

1

(j+1)

(j)

p,α,N

α−j−1/p

(j)

p,α,N

α−j−1/p

(13)

j

α−j−1

(j)

(j)

(j)

t

a

(j+1)

t

a

j+1−α

(j+1)

α−j−1

(j)

(j)

p.α,N

j

j

t

a

(α−j−1)q

1/q

a≤s≤t

α−j−1

(α−j−1)q

(j+1−α)q

(j+1−α)q

(j+1−α)q

j

t a

(j+1−α)q

(j+1−α)q

1/q

(14)

jq

(j+1−α)q−1

(j+1−α)q−1

(j+1−α)q−1

(j+1−α)q−1

jq

(j+1−α)q−1

(j+1−α)q−1

(j+1−α)q−1

(j)

(j)

p,α,N

j+1−α−1/q

(j)

(j)

p,α,N

j+1−α−1/q

(j)

(j)

p,α,N

j+1−α−1/q

j+1−α−1/q

p,α(N )

p,β(N )

p,β,N

p,α,N

(j)

p

(j)

p

pp,α,N

p(j+1−α−1/q)

p(j+1−α−1/q)

(15)

p(j−β)

(j)

p

1

0

p(j−β)

pp,β,N

pp,α,N

p(j+1−α−1/q)

1 0

p(α−β)−1

(j)

p

pp,β,N

pp,α,N

p(j+1−α−1/q)

p,β,N

p,α,N

(j)

p,α,N

j−α+1/p

nq

t

a

n

1/q

n

1/q

(16)

n

1/q

(n)

(n)

p,α,N

1/q

1/q

(n)

p

(n)

p

pp,α,N

p/q

p/q

p(n−β)

(n)

p

1

0

p(n−β)

pp,β,N

pp,α,N

p/q

1

0

p(n−β)

p/q

p,β,N

p,α,N

(n)

p,α,N

1/q

(17)

j

α−j−1

(j)

1,α,N

α−j−1

j

j+1−α

j+1−α

(j)

(j)

1,α,N

j+1−α

j+1−α

1,α(N )

1,β(N )

1,β,N

1,α,N

j−β

(j)

1

0

j−β

1,β,N

1,α,N

1 0

α−β−1

j+1−α

1

0

j−β

(j)

1,α,N

α−j−1

(18)

p,α(N )

(j)

(j)

0

p,α(N )

∞,α−1/p(N −1)

∞,α−1/p,N −1

p,α,N

∞,α(N )

0

p,γ(N )

p,γ,N

∞,α,N

j

t∈ ¯Ω

j−(α−1/p)

(j)

(j)

p,α,N

α−1/p−j

(19)

j

p,α,N

∞,α−1/p(N −1)

∞,α(N )

(j)

∞,α,N

α−j

j

j

1 0

(j−α)

(j)

p

j

∞,α,N

1 0

p(α−γ)

∞,α,N

j

p,γ(N )

p,α(N )

0

(n)

0

(n+1)

1

(20)

∞,α−1/p(N −1)

n−(α−1/p)

(n)

∞,α−1/p,N −1

(n)

p,α,N

α+1/q−n

(n)

0

1

0

(n+1)

1

0

n+1−α

(n+1)

α−n

1 0

(n+1)

p,α,N

1

0

q(α−n)

1/q

1,α,N

t∈ ¯

α−n

t∈ ¯

α−n

α−n

(21)

p,α(N1)

r,β(N2)

1

2

0

s,α+β(N )

1

2

s,α+β,N

p,α,N1

r,β,N2

1

2

p,α(N )

r,β(N )

p,α,N

p,α,N1

r,β,N

r,β,N2

j

t∈ ¯Ω

j−(α+β)

(j)

(j)

j

k=0

(k)

(j−k)

(22)

j

j

k=0

t∈ ¯Ω

k−α

(k)

t∈ ¯Ω

j−k−β

(j−k)

j

j

∞,α,N1

∞,α,N2

j

k=0 j

k

j

∞,α+β(N )

N

j

1 0

j−(α+β)

(j)

s

j

1

0

j

k=0

k−α

(k)

j−k−β

(j−k)

s

j

k=0

k

s

s−1

j

k=0

k

s

j

s−1

j

k=0

s

1 0

k−α

(k)

s

j−k−β

(j−k)

s

(23)

∞,α,N1

k=0(1)N1

t∈ ¯Ω

k−α

(k)

j

s−1

s∞,α,N

1

sr,β,N

2

j

k=0

s

s,α+β(N )

s,α+β,N

∞,α,N1

r,β,N2

1−1/s

j

k=0 j k

s

1/s

s,α+β,N

p,α,N1

∞,β,N2

j

j

s−1

j

k=0

s

1 0

k−α

(k)

p

s/p

1 0

j−k−β

(k−j)

r

s/r

j

s−1

sp,α,N1

sr,β,N2

j

k=0

s

s,α+β(N )

1−1/s

j

k=0 j k

s

1/s

(24)

1

0

r

1

0

r

r

r

r0

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

1

r

r

r

r

r0

r0

r(j)

r−j

0

(25)

r

p,α(N )

0

r0

r0

p,γ(N )

0

p,α(N )

r

p,α(N )

0

r

r

r0

r

p,αr+(r−1)/q(N )

r

p,αr+(r−1)/q,N

p,α,N

r(j)

j

k=0

r0

(j−k)

r

(k)

r(j)

j

k=0

k,j

(k)

r

k,j

0,j+1

00,j

s,j+1

s−1,j

r0

0s,j

j+1,j+1

j,j

0r

(26)

0,0

r0

0,j

r(j+1)

j,j

r0

j+1

r

0,j

r−j−1

j,j

(r−1)(j+1)

s,j

s,j

r−1+rs−j

s,j

r−1+rs−j

s,j

r−1+rs−j

s,j

s,j

r

r

r

r,0

r0

r−1

r,1

r,0

r,1

j

1 0

j−αr−(r−1)/q

(j)r

p

(27)

(j)r

p

j

k=0

k,j

p

(k)

r

p

j

j

k=0

1 0

j−αr−r+1

k,j

(k)

r

p

r−1

j

j

k=0

1 0

r(k−α)

k,j

(k)

r

p

r0

r,1

k,j

r,0

r,1

j

j

k=0

1 0

r

r

k−α

(k)

r

p

r0

r

j

j

k=0

1 0

k−α

(k)

p

pp,α,N

r

p,αr+(r−1)/qN

j

t∈ ¯Ω

j−αr−r+1

r(j)

(28)

j

j

k=0

t∈ ¯Ω

r(k−α)

k,j

(k)

r

k,j

j

j

k=0

t∈ ¯Ω

r

r

k−α

(k)

r

r,0

r,0

r

j

j

k=0

x∈ ¯Ω

k−α

(k)

j

∞,α,N

r

∞,αr+r−1(N )

r

∞,αr+r−1,N

∞,α,N

r

r

0

r

r

r

r(j)

r(j)

r

(29)

(j)

(j)

r

r

1 0

ν

[ν]m

[ν]m

1 m

m−1

j=0

ν

1 m

m

j=0

00

m

j=0

00

(30)

0

j

j

j

j

j

j

0n+1

n

0

(s)

(s+1)

1

m[ν]

[ν]m

s+1

j=j0(ν)

j

ν

(j−1)

(j−1)

j

s+1

1

0

(s+1)

s+1

ν

0

m

(31)

m[ν]

s

j=j0(ν)

j

ν

(j−1)

(j−1)

j

s+1

1

0

(s+1)

s+1

ν

s+1

ν

m[ν]

n+1

ν

n+1

ν

n+1

ν

n+1

ν

n+1

ν

n+1

ν

tν

tν−mx

0n+1

tν

tν−mx

n+1

x∈ ¯Ω

n

n

n+1

ν

n+1

ν

(32)

n+1

ν

n+1

ν

n+1

ν

n+1

ν

tν−mx tν−m

0n+1

m[ν]

p,α(N )

0

m[ν]

n+1

1 0

(n+1)

n+1

ν

n+1

ν

(j)

(j)

m[ν]

m[ν]

n

(33)

p,α(N )

0

m[ν]

p,α,N

α+1/q

m[ν]

1,α,N

n+1

p,α,N

1/q

n+1

m[ν]

n+1

1 0

n+1−α

(n+1)

n+1

ν

n+1

ν

n+1−α

m[ν]

p,α,N

n+1

1

0

n+1

ν

n+1

ν

n+1−α

x∈ ¯Ω

n+1

ν

n+1

ν

n+1−α

1 0

n+1

ν

n+1

ν

q

q(n+1−α)

1/q

(34)

n+1

ν

n+1

ν

x∈[0,1/m]

n+1

ν

n+1

ν

n+1−α

x∈[0,1/m]

α−n

n−α+1

x∈[1/m,1/2]

n+1

ν

n+1

ν

n+1−α

x∈[1/m,1/2]

n+1−α

n−α+1

x∈ ¯Ω

n+1

ν

n+1

ν

n+1−α

n+1−α

1/m 0

1/2

1/m

1−1/m 1/2

1

1−1/m

n+1

ν

n+1

ν

n+1−α

(35)

1/m

0

n+1

ν

n+1

ν

n+1−α

1/m

0

n−α

n−α

1/2 1/m

n+1

ν

n+1

ν

n+1−α

1/2

1/m

n+1−α

n−α

n−α

1/m 0

n+1

ν

n+1

ν

q

q(n+1−α)

q

1/m

0

(n−α)q

(n+1−α)q−1

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## References

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