• No results found

Reševanje enačbe za prenos toplote z metodo končnih elementov

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "Reševanje enačbe za prenos toplote z metodo končnih elementov"

Copied!
7
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

STROJNIŠKI VESTNIK

LETNIK 19 LJUBLJANA, V MARCU 1973

ŠTEVILKA 2

UDK 512.2:624.07

R e še v a n je e n a čb e za p re n o s to p lo te z m etodo k o n čn ih elem en to v

E R V I N P R E L O G

1. UVO D

K a d a r ra z is k u je m o te rm o e la s tič n e p o ja v e na s tr o jn ih d e lih o z iro m a n a p ra v a h , m oram o' p o zn ati p o ra zd e lite v te m p e r a tu r e po p o sa m e z n ih e le m e n tih . B rž k o p o ra z d e lite v p o zn am o , la h k o ’ z e la sto sta tič - n im i e n a č b a m i izraču n am o ' še n a p e to s tn o in d e fo r­ m a c ijsk o s ta n je telesa. T a k š n a p o t je v e d n o m ogoča v p rim e rih , k a d a r p o te k a jo te rm ič n i p ro cesi r e la tiv ­ n o počasi, tako' d a n i p o tre b n o u p o ra b lja ti v ezan e te rm o e la s tič n e te o rije , te m v e č je m o g o če o p isa ti vse p ro cese s t. im . k v a z is ta tič n o te o rijo [1], [2],

V te m d e lu h o čem o p rik a z a ti le re š e v a n je p rv e g a d ela te rm o e la s tič n ih p ro b le m o v , tj. re š e v a n je p re ­ n o sn e enačbe. K e r im a jo s tr o jn i deli ra z lič n e oblike, je re š e v a n je p re n o s n e e n a č b e za ta k š n e o b lik e te les v sk le n je n i m a te m a tič n i o b lik i zelo' z a m o ta n o 1 ali p a sp lo h n i re šljiv o 1, ta k o d a je tr e b a p o se g a ti po n u ­ m e rič n ih m e to d a h . T u s ta d ife re n č n a m e to d a fl] in m e to d a k o n č n ih e le m e n to v posebno' u p o ra b n i [3]. P o s le d n ja m e to d a , k i se j e ra z v ila z u v e lja v lja n je m e le k tro n s k ih ra č u n a ln ik o v v e lik ih zm o g ljiv o sti, d a je p re d v s e m d v e p re d n o s ti n a s p ro ti k la sič n i d ife re n č n i m eto d i. Z m eto d o k o n č n ih e le m e n to v se je m ogoče s p rim e rn o 1 iz b iro o b lik e k o n č n ih e le m e n to v zelo d o b ro p rila g o d iti p o lju b n o izo b lik o v an i p o v ršin i telesa. P r i ra č u n a ln ik ih v e lik ih zm o g ljiv o sti p a je m ogoče iz o b lik o v a ti p ro g ra m e ta k o , d a o p ra v lja p r e ­ te ž n i d el o p e ra c ij stro j sa m o sto jn o z m in im a ln im i v h o d n im i p o d a tk i.

2. O SN O V N E E N A Č B E

E n a č b a za p re n o s to p lo te z a iz o tro p n o te lo je p o d a n a v o b lik i

J c J T + Q = c — (2.1) Ot

V te j en a č b i j e T te m p e r a tu r a te lesa, k i je fu n k c ija k r a ja n a te le s u in časa, to re j

T = T (X, y , z, t) (2.2)

Q j e k o lič in a n o tr a n je g e n e ra c ije to p lo te n a en o to v o lu m n a . L a h k o p a je t a v e lič in a o d v isn a tu d i od te m p e r a tu r e te lesa. T a k š n e p re n o s n e p o ja v e b om o p rik a z a li v p o se b n e m p o g la v ju . K o e fic ie n t k je ko­

e fic ie n t k o n d u k tiv n o sti. Č e označim o z g gostoto te le sa in s cv specifično to p lo to 1, je

c = gcv (2.3)

E n a č b a (2.1) v e lja za n e s ta c io n a m o s ta n je telesa. Za sta c io n a rn e p o ja v e dobim o

k A T + Q = 0 (2.4)

T u p a je te m p e r a tu r a T le f u n k c ija k ra ja .

P re n o sn o e n ačb o (2.1) je tr e b a r e š iti z u p o šte ­ v a n je m z a č e tn eg a s ta n ja in ro b n ih pogojev. Z a p ra k s o so p o m e m b n i n a sle d n ji t r i j e ro b n i pogoji:

a) n a p o v ršin i te le sa je p re d p is a n a te m p e ra tu ra

T = T (x k, y k, z k, t) (2.5)

b) n a p o v ršin i je p re d p isa n flu k s to p lo te

, ÖT

k — = q (x k, yk, Zk, t) (2.6) on

T u je q flu k s to p lo te , n p a n o rm a la n a p o v ršin o te ­ lesa, u s m e rje n a od p o v rš in e navzven.

P o se b e n p rim e r ro b n e g a p o g o ja (2.6) j e p o p o ln a izo lacija p o v ršin e, te d a j je

ÖT

k — = 0 (2.7)

dn

c) n a p o v ršin i je p re d p isa n a lin e a rn a k o n v ek - cija, to re j

k — = h ( T — T 0) (2.8) d n

V tej en a č b i j e T0 te m p e r a tu r a okolice, T te m p e ra ­ t u r a n a p o v ršin i telesa, h p a re la tiv n i (površinski) k o e fic ie n t p rev o d n o sti. K a d a r g re re la tiv n i k o efi­ c ie n t p ro ti nič, d o b im o e n ačb o (2.7), tj. p opolno izolacijo, k a d a r p a se t a k o e fic ie n t p rib liž u je n e ­ sk o n čn o sti, p a im am o ro b n i p ro b le m (2.5), to rej p re d p is a n o te m p e ra tu ro n a p o v ršin i.

3. V A R IA C IJS K I P R O B L E M

(2)

Z n an o je, d a je m ogoče k d ife re n c ia ln i e n ačb i in (2.1) p rire d iti fu n k c io n a l, k a te re g a m in im u m j e re ­ šitev iste g a p ro b le m a [4],

Če u p o ra b im o E u le r je v te o re m , k i pove, d a za­ došča m in im u m fu n k c io n a la o b lik e

z,

m

Т ,

дт дт дт\

— , —

J

da; dy d z

, ,

Ox d y o z J (3.1)

d ife re n c ialn i enačbi

(3.2)

te d a j iz b erem o fu n k c io n a l k e n ačb i (2.1) v o b lik i

I =

JJJ{iN

3

,+

4

š

),+4

(dr

Kd z

— c ^ ) d y d z (3.4)

Če izv ed em o o p eracije, k i so p o d a n e v e n ačb i (3.2), dobim o za fu n k c io n a l (3.4)

K o v sta v im o t e v re d n o s ti v en ačb o (3.2), iz h a ja

(3.5)

T a e n a č b a se u je m a z e n a č b o (2.1). D o p o ln je n a je le to lik o , d a sm o u p o šte v a li tu d i s p r e m in ja n je k o e­ fic ie n ta k v sm e ri x , y , z in s te m p o sp lo šili e n ačb o (2.1) tu d i n a a n iz o tro p n i m a te ria l.

K a d a r j e (izo tro p n i m a te ria l)

k —— k% == k y == kg

d o b im o p o p o ln o u je m a n je e n a č b e (3.5) z e n a č b o (2.1). F u n k c io n a l (3.4) b o p o tre b n o d o p o ln iti n a tis tih m e s tih p o v rš in e telesa, k j e r so p re d p is a n i ro b n i p o ­ g o ji (2.6) oz. (2.8). T a p o sto p e k b o m o p rik a z a li p o ­ z n e je [4].

M in im u m fu n k c io n a la , to re j

d l

d T

(3.6)

p o m en i sle d n jič re š ite v p ro b le m a (2.1) — sev ed a, če u p o šte v a m o še ro b n e p o g o je (2.6) oz. (2.8).

4. K O N Č N I E L E M E N T I, IN T E R P O L A C IJS K A M A T R IK A

K a k o r sm o n a g la sili že v u v o d u , b o m o re še v a li p re n o sn i p ro b lem , k i je p o s ta v lje n z e n a č b o (3.6), z m e to d o k o n č n ih elem en to v . K a d a r iz b ira m o to n u m e rič n o m etodo, ra z d e lim o te lo n a k o n č n e elem en te. T i so' p ri l i n i j s k i h n a p r a v a h r a v n e č rte z vozlišči i, j, k . . . p r i p lo s k o v n i h te le sih tr ik o t­ n ik i in p ra v o k o tn ik i, p r i r o ta c ijs k o s im e tr ič n ih t e ­ le sih r o tira jo č i tr ik o tn ik in p ra v o k o tn ik i, p r i te le s ih s p lo š n ih o b lik p a p rizm e, k v a d ri (sl. 4.1). Z a k o n č n e

(3)

ele m e n te b o m o n a v a d n o iz b ira li čim e n o sta v n e jše g e o m e trijsk e lik e oz. telesa.

V sak k o n č n i e le m e n t se sto ji iz vozlišč (i, j, k ,. . .) in p o lja , k i za v z a m e p ro s to r z n o tra j k o n čn eg a ele­ m e n ta . O sn o v n a zam isel m e to d e k o n č n ih elem en ­ to v je, d a iz ra z im o s t. im . in te r p o la c ijs k o m a tr ik o fu n k c ijs k o v re d n o s t p o lja , v n a še m p rim e ru te m p e ­ r a t u r o T p o lja z v o z liš č n im i te m p e ra tu ra m i cp-„ cpj,. . . e le m e n ta . N a to n astav im o ' z u p o ra b o e n a č b e (3.6) si­ s te m en ačb , v k a te r ih se p o ja v lja jo n e z n a n e vozlišč- n e te m p e r a tu r e v s e h e le m e n to v k o n stru k c ije . K o n a s ta li siste m e n a č b re šim o z z n a n im i m eto d am i, d o b im o v se v o zliščn e te m p e r a tu r e cp-h cpj,. . . , iz te h p a te m p e r a tu r o v p o lju b n i to č k i e lem en ta.

K o iz b ira m o o b lik e k o n č n ih elem en to v , k i im a jo m a jh n e , v e n d a r še v ed n o k o n č n e d im en zije, sm em o p r e d p o s ta v i ti, d a se te m p e r a tu r a s p re m in ja po p o lju e le m e n ta lin e a r n o . S e v e d a j e m o g o ča tu d i d ru g a č n a p re d p o s ta v k a (k v a d ra tn a , k u b ič n a p a ra b o la ), k i b i m o rd a b o lje u s tre z a la re a ln e m u s p re m in ja n ju te m ­ p e r a tu r e p o ele m e n tu . V e n d a r n a s že ta k š n a p r i­ b liž n a p re d p o s ta v k a p riv e d e do re z u lta to v , k i so za š te v iln e p r im e r e p o v sem u p o ra b n i, p o sto p e k sam p a se z a ra d i te g a b istv e n o p o en o stav i.

P r i lin e a rn e m s p re m in ja n ju te m p e r a tu r e po e le m e n tu (v p ro sto ru ), b o m o p isa li

ali splošno

M e = [afe]{e} (4.5)

Z in d e k so m e b om o opozorili, da u p o štev am o v s a vozlišča p o lju b n e g a ele m e n ta e. P r im e r (4.4) kaže, d a je m a tr ik a [afc] k v a d ra tn a m a trik a , ta k o d a sm e­ m o en ačb o (4.5) in v e rtira ti, k a r d a že is k a n e k o n ­ s ta n te , to re j

{c} = [a*]-* M e (4.6)

T a k šn a o p e ra c ija j e v e d n o izv ed ljiv a, k a d a r izb i­ ra m o enačbo (4.3) tak o , d a je štev ilo elem en to v m a tr ik e {c} e n a k o šte v ilu v ozliščnih e le m e n to v m a ­ tr ik e {qp}e. T a k šn e e le m e n te im enujem o' k o m p a ti­ bilne. V n a d a lje v a n ju bomo' im eli p r i izb iri elem en ­ to v v m islih le ta k š n e p rim e re . Š tevilo k o m p o n e n t m a trik e {<p}e b om o v č a sih im en o v ali tu d i število p r o s to s tn ih s to p e n j k o n čn eg a elem enta.

S ed aj v s ta v lja m o en ačb o (4.6) v (4.3) p a do­ b im o

T = [a][afc]- 1 . M e (4.7)

ali k r a jš e

T = [h] M e (4.8)

M a trik o

[b] = [a] [a* ]-1 (4.9)

T = ci + C2 X + с з у + C iZ (4.1)

S e d a j m o ra m o k o n s ta n te c; iz b ra ti tak o , d a zav zam e te m p e r a tu r a T v v o zliščih i, j, k. . . e le m e n ta voz­ lišč n e v re d n o s ti te m p e r a tu r e epi, cpj, cpk ■ • ■ T a k šn o p r ila g a ja n je en a č b e (4.1) v o z liš č n im p o g o jem p o te k a ta k o le :

E n ačb o (4.1) zap išem o v m a trič n e m zapisu, p a je

T = [1, X, y , z]

a li sp lo šn o

T = [a] {c}

(4.2)

(4.3)

M a trik o [a] b o m o im e n o v a li p o ljs k a m a trik a . S edaj v s ta v lja m o v e n a č b o (4.3) po v r s ti te m p e r a tu r e vozlišč epi, cpj, za m a tr ik o [a] p a u s tre z n e k o o rd in a te vozlišč. T a k o j e n p r. za e lem en t, k i b i im e l vozlišča i, j, k , l

epi' ' 1 Xi yi Zi ( 0 1

cpj

L

1 Хј Уј Zj

J

C2

Cpkr 1 Xk yic Zk C3 cpl , _ 1 XI yi Zi , ° 4

(4.4)

im e n u je m o in te r p o la c ijs k o m a tr ik o k o n čn eg a ele­ m e n ta . E le m e n ti t e m a trik e , k i j e p o re d u 1 X p, k a d a r im a e lem en t p p ro s to rs k ih sto p en j, so za ra d i su p o zicije (4.1) lin e a r n e fu n k c ije k r a ja (x , y , z) in fu n k c ije v o zliščn ih k o o rd in a t (x t, yi, z%,. . . ) .

In te rp o la c ijs k a m a tr ik a j e o snovnega p o m en a za n a d a ljn ji p o sto p ek . K o n a m re č to v re d n o st po­ znam o, je n a d a ljn ji ra č u n s k i p o sto p ek za v se v rste e le m e n to v en ak . V p ra k s i izb iram o za celo tn o k o n ­ stru k c ijo , k je r j e to le m ogoče, isti tip k o n čn eg a e lem en ta, č e p ra v to n i n e o g ib n o p o tre b n o , k er- ta k š n a o b ra v n a v a p o e n o sta v lja ra č u n sk i postopek.

Z en ačb o (4.8) je p o d a n a p o ra z d e lite v te m p e ra ­ t u r e p o e le m e n tu v o d v isn o sti od v o zliščnih te m ­ p e ra tu r.

In te rp o la c ijsk o m a trik o , k i je po re d u 1 X p, la h k o pišem o' še v obliki

[£»] = [bij bj, bk ■ ■ -b/J

Z a to j e širši zap is za en ačb o (4.8) tu d i

T[bi, bj, bk, ■ ■ ■ bp] epi

<Pi

cpk

<Pp .

(4.10)

(4)

5. E N A Č B A E L EM EN TA

K a k o r sm o že po v ed ali, re šu je m o p re n o sn i p ro ­ b lem z en ačb o (3.6). Z ap išim o to en ačb o za p o lju b n i elem en t e. T ak o je en a č b a (3.6)

d l

dcpi

d l

d<Pi = 0 (5.1)

d l

dcpp

za k o n čn i elem en t, k i im a p vozlišč.

Izraču n ajm o ' sedaj po sam ezn e od v o d e en ačb e (5.1). Z a v rsto i, k o enačbo (3.4) o d v ajam o , dobim o

- = f f f

* , - - ( - )

dcpi J J J

L

d x dcpi \ d x j d y d c p t-d y)

+ k , — ( — ) — (q — c — I — 1

d (p i\ d z /

\

d t j dcp,\

+

d x d p dz

Če u p o šte v a m o en ačb o (4.8) oz. (4.12), dobimo- sed aj

J - = 7 “ [ 5 ] = °--—- . {<p}e + [ b j {<p}„ (5.3)

d x d x d x

ki e r sm o označili odvod

d[b]

= [ b j = [bix, bjX, . . . b,,r]

d x (5.4)

d a lje je

d /d T \

©

dq>i[bx] {93}e —

K o v s ta v lja m o d o b lje n e o d v o d e v e n a č b o (5.2), dobim o

d~- = /

J J

^ ' h ‘X + k y ^ ^ e ' h>y +

+ K [b2] {qp}ebfe) d x d p dz —

-JJJ

Q b-, d x dy dz + j j j c m ^ } . b ‘ d x d v d z

(5.8)

P o d o b n e iz ra z e dobimo- za o sta la vozlišča.

S ed aj zd ru ž im o v s a v ozlišča e le m e n ta e v s k u p ­ n o m a trik o , p o sam ezn i in te g ra li p a d a jo

/J/(l

дт\ d T'

d z d c p i\d z ) \ d t j dcp,\ (5.2)

+ k,

[bj;] bix [ b j bjx

. [ b j bpx_

' [b*] b iz

[ b 2] bjz

.[b.d bvz

Ш

+ k,.

[bu] biV [by] bjlt

+

[bj/] bpy.

d x dp dz . {99 }e —

Q

b, bj

. d x dp dz +

+

///■

bi

bj

L bp

[b] d x d y d z I—-1 = 0 (5,9) d t j e

K ra jš e b o m o z a p isali p o sa m e z n e in te g ra le v o b lik i

/ M = 0 (5,10) [h]e [<p}e + {/}e + [p](

t o U

\bix) b,y, . . . bpx] < dcpi

P o d o b n e izraze dobim o za o sta la odvoda.

D a lje je še

d T _ d _

d<pi dq>i

m

d_

dcpi

y = -|~[b] {<?}* = [b] f t

d t d t [ dt j e

= bix (5.5) D o b lje n a e n a č b a se im e n u je enačba e le m e n ta . I n te ­ g ra le z g o rn je en ačb e iz ra č u n a m o za v s a k tip ele­ m e n ta e n k ra t za v selej. M a trik a [h]e— im e n o v a n a tu d i ko o rd in a tn a m a tr ik a e le m e n ta — je v e d n o k v a ­ d ra tn a , re d a p X p, k a r im a e le m e n t p vozlišč. T orej

(5.11) hü, K , .hip

1 <pi

> = bi (5.6) IMe = hji, h j j, . ■ hjp

V cpv, . hpi, h p j,. ■ hpp _

(5.7)

T a m a trik a j e tu d i sim e trič n a , to re j je

(5)

P o d o b n o je g r a je n a m a trik a [p]e

[P]* = Ш c [b]T [b] d x dy dz

pa, p :j . . . p ip ■

Pib Pii ■ ■ ■ Pip

Ppi> P p i • ■ • P p Ji

[ H ]

H » , Н ц , H i k , . . . H in

H j i , H j j , H j / C, . . . H j n

H ni, H n j , H n k , . . . Hnn

P re o s ta le m a tr ik e so re d a 1 X p, in je

(5.13)

Q . [b]T d x dy d z (5.14)

(6.2)

(6.3)

M e = W b <Pi, • • • џ>р}т (5.15)

дср\ _ f дџч дсрј дср,Ат

d t le I d t ’ d t d t j (5.16)

P o sle d n ji m a tr ik i sm o z a ra d i la ž je p isa v e p isa li v tr a n s p o n ir a n i obliki.

Z a s ta c io n a rn e p ro b le m e se e n a č b a (5.10) p o ­ en o sta v i v obliko

M e W ) e + {f}e = 0 (5.17)

P r i p ro b le m ih b re z n o tr a n je g e n e ra c ije to p lo te p a celo v o b lik o

M e W ) e = 0 (5.18)

6. E N A Č B A S IS T E M A

K a d a r zap išem o e n a č b o (5.10) za v se e lem en te s iste m a in jih m e d seboj z d ru ž im o ta k o , d a su p e r- p o n ira m o e le m e n te p o sa m e z n ih m a trik , k i p rip a d a jo s k u p n e m u v o zlišč u (sl. 6.1), dobimo- enačbo- sistem a:

[ Н ] { Ф } + [ Р ] Ј ^ Ј + { Е } = 0 (6.1)

(дФ )

M a trik e {Ф }, { — in {F} so zopet eno-kolonske. I d t j

K a d a r im a c e lo tn i siste m n vozlišč, so p o re d u 1 X n.

M a trik i [H] in [P] p a s ta zopet k v a d ra tn i m a ­ tr ik i re d a n X n. T ak o je n p r.

E n a č b e (6.1) p o m e n ijo sistem n lin e a rn ih d ife re n ­ c ia ln ih enačb, k i jih je tr e b a re š iti z u p o šte v a n je m z a č e tn eg a in ro b n ih pogojev. P re d e n b om o opisali num erično- re š ite v siste m a (6.1), si o glejm o še, k a k o u p o štev am o ro b n e pogoje.

7. R O B N I P O G O JI

P re n o sn i p ro b le m (6.1) b o re š e n šele te d a j, ko b om o u p o šte v a li ro b n e pogo-je. P r i ro b n ih po g o jih bomo- m o ra h posebej o b ra v n a v a ti pogoj (2.5), to rej p rim e r, k o je p re d p is a n a te m p e ra tu ra od p rim e ra (2.6) in (2.8), k i o b ra v n a v a ta p re d p isa n i flu k s n a p o v ršin i o zirom a konve-kcijo.

7.1. N a površini je predpisana tem peratura

U p o šte v a n je te g a ro b n e g a po g o ja v e n ačb i (6.1) je p re p ro sto . K e r so p r i te m p o g o ju p redpisane te m p e r a tu r e v d o ločenih vozliščih elem en to v n a po-- v ršin i telesa, so v en ačb i (6.1) v si <pr, k i p rip a d a jo te m to čk am , znani. Zato- je tre b a iz en a č b e (5.1) izločiti v rstice, k i p rip a d a jo te m to čk am . To n a ­ re d im o n p r. tako-, d a parcioniram o m a trič n o enačbo (8.1). Č e je p ri n vozliščih r vozliščnih te m p e ra tu r zn an ih , m p a še n e z n a n ih , to re j če je

m = n — r

p a rc io n ira m o en ačb o (6.1) po p ra v ilu

[^ ш ] [Hmr] j { Фт }

+ [P mn\ [Pmr] \Hrm] [Hrr] _ I W J _ [-Prm\ [ M ] .

(№ » }

\ { F r}

= 0 (7.1)

P a rc io n ira n je sm o izvedli tak o , d a smo- zd ru žili vse n e z n a n e te m p e ra tu re vozlišč v m a trik o {Фт}, vse z n a n e p a v m a trik o { } .

Če upoštevam o-, da je

\дФг\

1 d t j

(6)

saj so n a v a d n o te m p e ra tu re v p re d p is a n ih to č k a h časovno n e sp re m e n ljiv e , dobim o iz en a č b e (7.1)

[Hmm] {Фт} + [Hmr] {Фг} + [Pmm] J ^ j +

+ { M = 0 (7.2)

ozirom a k o zd ru žim o z n a n e v re d n o sti v m a trik o

{E m} = [Hmr] {Фг} + {Fm} (7.3)

dobim o

[Hmm] {Фт} + [Pmm] j ^ - j + { Em} = 0 (7.4)

E n ačb a (7.4) je pov sem p o d o b n a en ačb i (6.1), le d a je n je n re d za r en ačb n ižji. R e še v a n je en a č b e (7.4) bo to re j p o te k a lo povsem enako- k a k o r re š e v a n je en ačb e (6.1), le d a je štev ilo n e z n a n k še sam o m. K a d a r re šu je m o celotni p ro b le m z ra č u n a ln ik o m , se t a izločitev n e izplača, tem v eč u p o ra b im o p o seb en n u m e rič n i p ostopek, o k a te re m b o m o g o v o rili p ri o p iso v an ju p ro g ra m ira n ja .

7.2. N a površini je predpisan fluks oziroma konvekcija

R o b n a po g o ja (2.6) in (2.8) bom o zd ru ž ili v sk u p n o enačbo, ta k o dobim o

d T

k ~ ~ + q + h ( T — T 0) = 0 (7.5)

on

V p o g la v ju (3) sm o že opozorili, d a j e tr e b a f u n k ­ tio n a l (3.4) za robne- pogoje, k i jih p o d a ja en ačb a (7.5), d o p o ln iti z izrazo m [4]

Г = И q T dA + JJ h h (Г — T0) 2 d A (7.6)

A A

Z a to čk e n a p o v ršin i p išem o d odatno k e n ačb i (5.2) še izraz

d J ’

dcps

d A +

II

h (TT 0)---d d T A dcps

(7.7)

tako-, d a je za v sa k o točko- n a p o v ršin i v a ria c ija fu n k c io n a la

d J | d J ’

dq>s dcps

(7.8)

Z a v se to č k e n a k o n tu ri celotnega siste m a b i dobili p o z d ru ž itv i v seh en ačb (7.7) m a trik o

= (7.9)

K o d odam o t a del k e n a č b i s iste m a (5.1), d o b im o enačbo

[H] {Ф} + [ P j f f l + [G] {Ф} + {1} + {E} — 0

(7.10)

T a e n a č b a v k lju č u je vse ro b n e pogoje. M a trik i [G] in {1} im a ta e n a k re d k a k o r m a tr ik a [H] oz. {Ф}, le d a im a jo e le m e n ti za tis te to čk e, k i ležijo- z n o tra j k o n tu re ali — k je r niso- p re d p is a n i z g o rn ji ro b n i p o g o ji — sam e ničle.

Č e zd ru žim o

[H] + [G] = [H] (7.11)

(1} + {F} = {F } (7.12)

dobi e n a č b a (7.10) zo p et o b lik o

[H] {Ф} + [P] j ^ j + {F } = 0 (7.13)

T a en a č b a p o m e n i zo p et siste m lin e a r n ih d ife re n ­ c ia ln ih en ačb , k i so g r a je n e p o v sem analogno- k a k o r e n a č b a (6.1), le d a so m a tr ik e [H] in {P} d o p o ln je n e z elem en ti, k i izhajajo- iz ro b n ih pogojev.

K e r v s e b u je e n a č b a (7.13) še m o re b itn e to č k e n a p o v ršin i k o n tu re , k je r j e p r e d p is a n a te m p e ra ­ tu r a , la h k o s p a rrio n ira n je m t e to č k e izločim o, n a ­ k a r dobimo- p o d o b n o k a k o r p r i e n a č b i (7.4) en ačb o

[Hmm] {Фш} + [Pmm] l ~ ^ + { Em} = 0 (7.14)

k je r je sedaj

{ Em} = [Hmr] {ф, } + {Fm\ (7.15)

Z en ačb o (7.14) to re j opišem o p re d p is a n i p re n o s n i p ro b le m z u p o šte v a n je m v se h ro b n ih pogojev.

8. R E Š E V A N JE S IS T E M A E N A Č B

S le d n jič bom o p rik a z a li še p o t, k a k o je m o­ goče re š iti siste m lin e a rn ih p a rc ia ln ih en ačb , k i g a p o d a ja en a č b a siste m a (7.14).

P r i n u m e rič n e m r e š e v a n ju e n a č b e (7.14) la h k o uporabim o- d ife re n č n o m e to d o z u p o ra b o t. im . d e sn ih d ife re n c [5], la h k o p a u p o ra b im o tu d i n a ­ sled n jo p o t: suponirajm o-, d a se v časo v n em inte-r-

дФ

v a lu At s p re m in ja — lin e a rn o , p a lahko- p išem o dt

m

2 \ \ dt j t - л t

+

(7)

Iz t e en a č b e iz h a ja

1()Ф1 _ ЈдФ1

i ö t j t [ d t j t - A t

+ —

At

a&h—

(8.2)

V stav im o t a iz raz v en ačb o (7.14) in o p u stim o p ri p is a n ju m a tr ik in d e k s to, p a je

[ Н ] { Ф } , + [ P ] ( - ( — ] + \ ( O t ) t - A t

H--- ( { ^ } <— + {E} - 0

At j

P o u r e d itv i je

(Гн] + А [Р ]) { ф } , — [ P ] / W +

At \ [ d t )t~At

+ — {Ф}4_ ^ \ + {E} = 0 (8.3)

A t /

Č e p iše m o k r a jš e

[L] = [H] + — [P] (8.4)

A t

{M}t^t[M\t-At = ~ { Р ] ( ~ { Ф } , - А t + f f l )

\z lt \ d t j t - A t J (8.5) d o b i e n a č b a (8.3) o b lik o

[L] {Ф}( + {M}t-At [M]t- At + {E} = 0 (8.6)

K e r je za č etn o s ta n je p re d p isa n o , s ta iz ra z a

{ 0 } t - A t in

t- A t

v č a su t— A t zn a n a , iz e n a č b e (8.6) p a la h k o iz ra č u ­ n a m o s ta n je v času t, k i j e za d t p o znejše. P o in v e r- t i r a n ju en a č b e (8.6) je n a m re č

i ()Ф1 — —

~ [ P ] =[H] {<P}t =o+{E} (8.8)

{ dt J t= o

k a r v s ta v lja m o v en ačb o (8.3) oz. (8.6) in iz ra č u ­ n a m o s ta n je v n a sle d n je m času.

9. R E Š E V A N JE ST A C IO N A R N IH PR O B LEM O V

Z a sta c io n a rn e p ro b le m e dobi e n a č b a (7.14) p re ­ p ro s te jš o obliko, n a m re č

[Hmm] {Фт} + { Em} = 0 (9.1)

Iz t e en a č b e izhajajo' ta k o j isk a n e te m p e ra tu re v v seh vozliščih sistem a. P o in v e r tir a n ju en a č b e (9.1) je to re j is k a n a te m p e ra tu ra vozlišč

{Ф} = — { E m} (9.2)

z en ačb o (4.8) p a d o b im o še te m p e ra tu ro v p o lju b n i to čk i p o sam ezn eg a elem en ta.

10. S K L E P

V z a je tih p o g la v jih je p rik a z a n te o re tič n i del re š e v a n ja p re n o sn ih p ro b le m o v p o m eto d i k o n č n ih elem en to v . S p o zn ali sm o, d a je m e to d a zelo* splošna, saj om ogoča n e sam o re š e v a n je p re n o sn ih problem m o v za sp lo šn e o b lik e teles, a m p a k je m ogoče s p re ­ m in ja ti tu d i v se p o ja v lja jo č e se te rm o e la stič n e k o n ­ s ta n te (k , h) t e r u p o š te v a ti n a jsp lo šn e jše ro b n e pogoje.

V d e lu [5], k i je v p rip ra v i, b o p rik a z a n a tu d i u p o ra b a te h en ačb za k o n k re tn e ra v n in sk e , r o ta ­ c ijsk o sim e trič n e t e r p ro s to rs k e p ro b lem e. N a vpo­ gled bo d o tu d i re š itv e za p ro cese o g re v a n ja in o h la je v a n ja n a p lo sk v a h in p o d o b n i p ro b lem i, k i so v ez a n i n a p re n o sn o enačbo1. T a čas je v p rip ra v i tu d i n a F a k u lte ti za s tro jn iš tv o p ro g ra m za IBM 1130, k i b o om ogočal re š e v a n je te h p ro b le m o v z m i­ n im a ln im i v h o d n im i p o d atk i.

{Ф}( = [L]-1 . (— { M } t - A t[M ]t-At + {E}) (8.7)

K o j e t o s ta n je zn ano, iz ra č u n a m o z isto enačb o n a s le d n je s ta n je s te m , d a v sta v lja m o za m a trik o [L\t—At p r a v k a r iz ra č u n a n o sta n je . T a p o sto p e k p o ­ n av ljam o ' d o z a h te v a n e g a k o n č n e g a s ta n ja .

P r i r a č u n a n ju p r a k tič n ih p rim e ro v je n a v a d n o p o ra z d e lite v te m p e r a tu r e v času t = 0 zn an a. V te m p r im e r u la h k o iz e n a č b e (7.14) (pišem o jo b re z in ­ d e k sa m l), to re j iz e n a č b e

[Н ]{Ф },=0 + [P] + { E } = 0

\ d t j t- o

že iz ra č u n a m o

LIT E R A T U R A

1. E. P relog, E lasto - in p lasto m eh an ik a, U n iv erzi­ te tn a založba, L ju b lja n a 1972.

2. B. A. Boley, J. H. W einer, T h eo ry of T h erm a l S tresses, Jo h n W iley & Sohns, N ew Y ork 1960.

3. O. C. Zienkiew icz, Y. K. C heung, T he F in ite E le m en t M ethod in S tru c tu ra l a n d C o n tin u u m M e­ chanics, 1968.

4. V. I. S m irnov, K u rs višei m a tem atik i, tom IV, G o su d arstv en o e iz d aja te ljstv o . M oskva 1958.

5. E. P relog, R ešev an je p ren o sn ih problem ov z m e­ todo k o n čn ih elem entov, U n iv e rz ite tn a založba, v tisku.

A v to r je v n a s lo v :

References

Related documents

On behalf of our international network of education stakeholders, the International Schools Leadership Alliance encourages the brightest and best school leaders from

Figure 16: This workflow visualization based on the Refinery layout partially contains expanded nodes and shows the approach of a variable width for columns inside the layout

SEM images of the fracture of the sheet weakened by the RFSSW welds row; view of areas with different properties caused by the heat affected zone (a), enlargement of the area where

Therefore, some G-CSF–mobilized HSCs could enter the cerebral injury region and interact with brain cells; this interaction may enhance the pro- duction of trophic factors such

The results of the present study demonstrated that ICV STZ injection in rats induces a significant learning and memory disturbance in passive avoidance paradigm and a

The validity of the numerical predictions provided by the ABAQUS (2016) and PLATE- BUCKLING (2015) programs is initially verified in this section through comparison of the critical

combination heaters with rated heat output ≤ 70 kW, with the exception of type B1 boilers with rated heat output ≤ 10 kW and type B1 combination boilers with rated heat output ≤