Solutions Hwt Ic

Solutions to Home Work Test - 4/Mathematics

1.(C)



















1 1 1 n n n n

n sec x sec x tan x dx

n cos n sec xdx

I dx

sin x sec x tan x sec x tan x

        







Put



sec xtan x



 andt sec x sec x



tan x dx



dt











1 1 1 1 n n n n n ndt cos x I

t  t sec x tan x sin x

  

   

 



2.(CD)



tan x . tan x . tan x dx2 3 5 





tan x tan x tan x dx5  2  3



[Using tan x5 tan



2x3x



]

1 1 1

5 2 3

5 2 3

 log sec x  log sec x  log sec x k

1 2 1 3 1 5

2 3 5

log sec x . sec x . sec x k

   1 1 2 3 a , b and 1 5 c  ab bc ca0 and a3b3c33a b c  1 1 1 3.(D) I





x3tx2txt

 

2x2t3xt6



1tdx



 



1 3 1 2 1 1 2 2 3 6 t t t t t t x  x  x x x x dx 



   



 



1 3 1 2 1 1 3 2 2 3 6    



t  t  t t t t t x x x x x x dx Put



2x3t3x2t6xt



 andu 6t x



3t1x2t1xt1



dxdu 

 

 



_

_



3 2 1 1 1 _{2 3 6} 1 6 6 1 6 1 t t t t t _{x x x} u du u I t t t t  _{ }      _     



5.(D) Put xext , e



xxex



dxdt to get :





 

2

 

2

 

 

 

2 1     



x





x x e x dx dt

sec t dt tan t tan xe c

cos t cos xe 6.(B)









2 1 1 x x dx I x xe   



. Put xex to gett ex



x1



dxdt 

 

 

 

 

 

2 2 2 1 1 1 1 1 t t dt dt dt dt I t t t t t t t              









 

 

_{ }

2

_{ }

2 1 ₁ 1 ₁ 1 ₁ t t dt _{dt dt dt} dt t t _t t t _t             _  _











 

 

1 1 1 1 1 1 t

log t log t c log c

t t t         _{ }       1 1 1 x x x xe log c xe xe    _ _     

Integral Calculus-1

HWT - 1

7.(B)



2

 

1 x x x e dx I e e   



. Put ex to get:t e dxx dt 











 







2 1 _{1 1} 2 1 2 1 1 2      _{ }      _  _        











t t dt dt I dt t t t t t t

 





1 1 1 2 2 2 x x t e n t n t c n c n c t e             _{ }  _ _    _  _     8.(B)



5



1 4 I dx x x   



. Put x 4 t2 to get dx2t dt 

 

2 2 1

 

1





2 2 2 2 4 1 1 t dt dt I tan t c tan x c t t t           





9.(D)



_e sec xx e . log sec x tan xx







_dx



ex_log sec x tan x







sec x dx_













x d x

e log sec x tan x log sec x tan x dx e . log sec x tan x c

dx  _{ }  _   _  _     







x

e . log sec x tan x c

    10.(A)





1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2              _ _    _  _     



sin x cos x





I dx sin x cos x dx sin x dx

sin x cos x    1 4 1 sin x dx      _  _  



. Put xsin t2 to get dxsin t dt2

  _4 1_ 2  4 2  2

 



t





I sin t dt t sin t dt sin t dt

 

4 2 2 2 2 2 4 2

2

2 2 2 4 2

t cos t cos t cos t sin t cos t

dt t cos t c             _  __{ }     



  













1 1 2 1 2 2 1 4 2 1 2 2 1 1 4 2      _{ }  sin x  x  x x   x  c _sin x x  x x_ x c    5.(B) 2 1 1 2      _{   }      



ex _{e x}



log e log e log e log e dx dx

x x log e log x log e log x



 



1 1 1 1 2   



dx x log x log x Let log xk  1

_

1

_{ }

1

_

1 1 1 2 1 2 k k _{k k} e dk _{k k} dk e    _  _      





1 2 k log k     _{ }     f x

 

 k log x 





0 1 0 form 0         x log x lim x  from L.H. rule 0 1 1 1 x lim x    6.(D) Let x 3 t2 

 

2 2 2 2 1 1 2 2 1 t dt dt t log t       _{  }       





x 3 1 log     

Integral Calculus-1

HWT - 2

7.(CD) Let1 x 3t2  3 2 3 2 2 2 3 3 1 1      



xdx



dt



dt x x t

 

1 2 3cos t   1 3 2 1 3cos x     _  _  

But cos1 1x3 can also be written as sin1

 

x3 2  f x

 

sin1x and g x

 

x3 2x x

8.(B) I



2xe dxx 2xex



ex2xlog

 

2 dx 2xexlog2I  2 1 2 x x . e I c log    9.(B) Form perfect square in denominator

10.(B) Let exk 



e sin e dxx x 



sin k dk cos k cos ex

1.(C)



ex



tan x log cos x



 e log cos xx  c e log sec xx c

 x e has range R+. 3.(C) Let x2t  3 2 2 2 t t x t t te e x e dx e dt 





 

2 ₂ 1 2 x e x   5.(A) Let xt 6.(D)





3 4 3 4 2 4 5 4 1 1 1 1 ₁ dx dx x x _x x     _{  }  





1 4 1 4 3 4 1 1 1 4 4 1 4 t dt C t C t  



      , where 4 1 1 1 t x   1 4 4 1 1 C x     _{ }    7.(A) 1 x sin x dx cos x  



2 1 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x

sec tan dx x sec dx tan dx





 







2 2 2 2

x x x x

x tan tan dx tan dx C x tan C

 







   8.(D) Let 2 2 1 1 2 1 4 1 x x I dx dt log _t    





Putting 2xt ,2xlog dx2 dt

 

1 1 1 1 2 2 1 2 x t I sin C sin C log log      _{ }      1 2 K log  .

9.(A) Putting tan1x andt 2 1 dx dt x   , we get :





1 2 ₂ 2 1 1 tan x x x t e dx e tan t sec t dt x   _{ }       _   





_{t tan} 1_x e tan t C e  . x C    

Integral Calculus-1

HWT - 3

10.(C)



g x

   



f x  f

 

x



dx

   

   

g x f x dx g x f x dx 







 

 

   

   

f x  g x dx f x g x dx dx g x f x dx  _



_



_ 



_ 





   

   

   

f x g x g x f x dx g x f x dx C  









   

f x g x C   _ g x dx

 

g x

 

_ 



 1.(D)



sin x4



1sin x1



dx





 





4



1



1 5 4 1 sin x sin x dx sin x sin x      



1 1 1 1 5 sin x 1dx 5 sin x 4 dx    





 

2 2 1 2 1 2 5 2 1 5 2 4 1 dt dt t t t t      





Putting 2 x tan t  _      2 ₂ 2 1 1 5 2 1 10 ₁ 2 dt dt t t _{t t}      _{ }









2 ₂ 2 2 1 1 1 5 ₁ 10 1 15 4 4 dt dt t t     _{ }         _{ }   _{ }





25



11



5 152 1 4151 t tan C t      _      1 4 1 2 1 2 2 5 ₁ 5 15 15 2 x tan . tan C x tan   _           _{ }    2 2

 

4 2 1 5 5 15 15 x tan A , B , f x     

2.(C)





12 tan x tan x



sec x





1 2 dx



_{2 2}



1 2

1 tan x tan x 2tan x sec x dx





  



2 2



1 2

2

sec x tan x tan x sec x dx





 



tan x sec x dx



log sec x log sec x



tan x



C





     log sec x sec x



tan x



C

3.(A) I tan x dx tan x sec x dx2

sin x cos x tan x









1 dt t 



, where ttan x 1 2 2 2 I t  C tan xC 4.(C) Putting 555 x t  , we have





5 3 5 5 5 5 5 5 x _x x log dxdt, we get :









5 5 5 3 3 1 5 5 5 1 5 5 x _x x t . . dx dt C log log   





_

55

_

3 5 5 x C log  

Integral Calculus-1

HWT - 4

5.(A) 1 1 1 1 2 dx dx sin x cos  x   _  _     





2 1 2 4 2 4 2 x x sec  dx tan  b  _  _   _  _    



4 2 x tan   b  _  _   , where b = const.  4 a  , bR 6.(C)



_f x g

   

 x  f

   

x g x_dx

   

   

f x g x dx f x g x dx 



 



 f x g x

   

  f

   

x g x dx    g x

   

f x  g x f

   

 x dx 



 





   

   

f x g x f x g x   7.(C) 2 2 4 6 4 6 9 4 9 4 x x x x x x e e e dx dx e e e    _   





2 2 2 4 1 6 9 4 9 4 x x x e dx dx e e    





2 2 2 2 2 18 6 9 9 4 9 4 x x x x e e dx dx e e      







2





2



2 6 9 4 9 4 9 8 x x log e log e C     



2





2



2 2 3 3 9 4 9 4 9 4 4 x x x

log e log e log e C

     



2



3 35 9 4 2 36 x x log e C      8.(B) Let



2



2 3 3 1 x I dx x x x     



Putting x 1 t , dx2 2t dt, we get : 2 2 4 2 2 1 1 1 2 2 1 1 3 t t I dt dt t t t t             _{ }      









1 1 1 2 2 3 3 3 3 1 t x t tan C tan C x    _  _{ }   _{ }     _{ }          9.(B)





 

2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 x x dx dx x x x   _  





 

2 2 2 2 1 1 2 1 2 x _dt dx t x x            





where t x 1 x   2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 t x tan C tan C x            _ _    

10.(A) Putting, lr1

 

x  andt

   

2

 

1 r dx dt xl x l x . . . .l x  , we get :

   

 

2 3 1 1 r dx . dt t C xl x l x . . . .l x   





r 1

 

l  x C   1.(B)

2.(A) Putting xn  and1 t n xn1dxdt, we get :



n1 ₁



dx _n1 _{t t}



11



dt 1_{n t}11 1_t dt x x     _  _     







1 1 1 1 n n t x log C log C n t n x       _{ }  _ _   _  _ 3.(B) Putting x andt 1 2 xdxdt, we get : 2 2 2 x t x t a a a dx a dt C C log a log a x     





4.(BC) 1 54cos x dx





 



2 2 2 1 2 5 1 2 4 1 2 x tan dx tan x tan x     



2 2 9 dt t  



, where 2 x ttan 1 1 2 2 2 3 3 3 3 tan x t tan   C tan   C  _{ }  _{ }     Hence, 2 3 A and 1 3 B 5.(AC)









_

2

_

1 1 1 1 log log x log x x dx dx x x _{x x}  _      _{ }   _





2 1 1 1 1 log x log t dx dt t x x  _          _     





, where t 1 1 x  





2 2 1 1 1 1 2 log t C 2 log x C         _{ }  _     





2 1 1 2log x log x C   _   _ 









2





2





1 1 2 1

2 log x log x log x . log x C

    _     _  

















2 2 1 1 1 1

2 log x 2 log x log x . log x C

      

6.(A) 1 1 2 2 1 2 2 1 1 x tan x x dx tan x . dx x x     





1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 tan x . x _{1 x} . x dx     _    _  



 2 1 2 1 1 2 1 2 2 x tan x _{1 x} dx          _  



 2 1 2 1 x tan x log x 1 x  C          Hence,

 

1 f x tan x and A = 1. 7.(C) 8.(BD) Let 1 x x e I x dx e  



Putting 1ex t2 i.e. xlog t

 

2 , we get :1

 

 

2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 t I log t dt t log t dt t              





 

2 2 1 2 1 2 1 1 t log t dt t                      





 

2 1 2 1 2 1 t t log t t log C t      _    _{ }      1 1 2 1 4 1 2 1 1 x x x x e x e e log C e  _{ }           _{ }    Hence, f x

 

2x 4 2



x2



and

 

1 1 1 1 x x e g x e      9.(C) Putting sin x in the given integral, we get :t

 

2

 



2 2 2 2 2 4 2 4 1 t 1 t 1 t 2 t dt dt t t t t        





 

1 2 2 2 6 2 1 6 1 dt t tan t C t t t     _   _       







1 1





2 6

sin x sin x  tan sin x C

    10.(AD)



2

 

2



2 2 1 1 1 1 3 1 4 1 4 dx dx x x x x    _  _      





1 1 1 1 3 6 2 x tan x tan C    Therefore, 1 3 A and 1 6 B 

1.(C)



esec x



tan x2 sec xsec x2 tan x sec x2 tan x sec x dx









2



sec x

e sec x tan x sec x tan x sec x tan x sec x dx





_    _







2



sec x sec x

e sec x tan x . sec x tan x dx e . sec x tan x sec x dx





 









sec x



2



sec x sec x



2



sec x tan x e sec x tan x sec x e dx e sec x tan x sec x dx

  



 









sec x e sec x tan x C    2.(B) 8 8 2 2 1 2 sin x cos x dx sin x cos x  





2 2

 

4 4



2 2 1 2

sin x cos x sin x cos x

sin x cos x    



1 2 2 2 cos xdx sin x C  



   3.(A)





2 2 2 2 2 2 2 ₂ a b x ax b dx dx b x c x ax b _{c ax} x   _     _{  }  





1 2 2 1 b ax b _x d ax sin k x c b c ax x   _       _  _           _  _  



4.(A) We have 2 2 4 6 4 6 9 4 9 4 x x x x x x e e e e e e    _    Let 4e2x 6 A



9e2x 4



B . d



9e2x 4



dx      i.e. 4e2x 6 A



9e2x4



18Be2x

Comparing the coefficients of e2x and the constant term, we have 49A18B and 6 4 3 2 A A      and 35 36 B 













2 2 2 9 4 9 4 4 6 9 4 9 4 x x x x x x x d A e B e e e _dx dx dx e e e       _  







2



9 x 4 Ax B log e C     3 35



2



9 4 2 36 x x log e C      Hence, 3 35 2 36

A  , B and C is any constant.

5.(B)



3







1 1 1 3 1 1 dx dt t t x x   





, wheretx31 3 3 1 1 1 1 1 1 3 1 3 3 1 t x dt log C log C t t t x       _  _    _ _    _  _



6.(A)





2 2 1 1 2 1 1 dx dx x x x    





1 1 1 dx 1 dx x x     





11



11



0 x x x x        _{    }     1 log x C      A 1

7.(C) The anti-derivative of f x

 

ex2 is given by

 

 

2 2

2

x x

The curve yg x

 

passes through the point (0, 3).

 0

33e C  C1 Putting C = 1 in (i), we get :

 

2

2 x 1

g x  e 

8.(A) We have f x

 



tan1 xdxC

1 1 2 1 x x tan x dx C x     



2 1 2 1 2 2 1 t x tan x dt C t     



, where xt2 2 1 2 1 1 1 t x tan x dt C t       



1 1 x tan x t tan t C     1 1 x tan x x tan x C    

Since y f x

 

passes through (0, 2). Therefore, C .2 Hence, f x

 

x tan1 x xtan1 x2

5.C 1 1 1 2 1 x tan x dx x tan x dx c x  _  _{ } 





= 2 1 2 2 1 2 where 2 1 t x tan x c, x t t  _{  } 



= 2 1 2 1 1 1 t x tan x dt c t  _   _ 



= x tan1 x t tan1

 

t c =



x1



tan1 x x c

Since y = f (x), passes through (0, 2), c = 2.

7.(B) f x

 

 1 3xlog3  F x

 

 x 3xC

 

2 7 F   C 4  F x

 

 x 3x4

 

0 F x   x .1 8.(C)

 

2 2 ₁ 1 dx sec x dx F x tan x cos x tan x    





Put tan x to get :t

 

2 1

1 dt F x t C t     



2 1 tan x C

 

0 4 F   C = 2

Integral Calculus-1

HWT - 7

9.(A)

 





2 2 2 2 2 4 3 5 4 1 3 5       



dx



sec x dx F x

cos x sin x tan x tan x

Put tan x to gett

 

1

 

2 1 3 3 9 1 dt F x C tan t C t      



1 1





3 3tan tan x C    10.(C)

 

2 2

tan x dx tan x sec x dx sec x dx

F x

sin x .cos x tan x tan x













Put tan x to gett F x

 

dt 2 t C 2 tan x C

t 



    6 4 4 F    _{ } C   1.(D)

 



4 2 2 2 2 2 1 1 1 3 5 4 1 4 1 4 dx dx I dx x x x x x x      _  _        











 1 1 1 1 3 6 2 x I tan x tan  _{ }C   2.(C)

 

1 2 1



2



1 2 2 f x 



x x dx



   x x dx Put 1 x 2 to get :t

 

1 2 3 2 1

 

1 2 3 2 2 3 3         f x t C x C

 

7 8 0 3 3 f   C 3.(B)

 

 

3 4 4 4 1 4 4 1 1 dx x dx I x x x x    





Put x4 to get :t

 

1 1 1 1 4 1 4 1 dt I dt t t t t     _  _    





4 4 1 1 4 1 4 1 t x log C log C t x      _{ }  _ _    _  _ 4.(D)

 

2 3 5 3 4 2 2 4 1 1 1 2 1 2 2 1 ₂ dx x dx x x I x x x x x  _     _{ }     _{ }





Put 2 2 4 2 1 2 t x x    to get : 1 2 4 2 t dt t I C t 



  2 4 2₂ 2 1 2 x x C x    

5.(D) Integrating by parts we get :

Given integral =



3x1



sin x3



sin x dx 



1 2x cos x



2



cos x dx



3x 1



sin x 3cosx



1 2x cos x



2sin x

      



3x3



sin x



22x cos x



6.(C)





2 2 2 2 2 2 2 6 1 sin x

I dx tan x sec x . sec x dx tan x tan x . sec x dx

cos x 











  to get : _ 2

 

2_{ }t5_t3_



5 3 tan xtan x

Integral Calculus-1

HWT - 8

7.(C) Let exC1 and exC2 be the two antiderivatives.

Then difference between them is C1C2 which is fixed and equal to 2.

8.(B) 1 2 1 2 2 1 x sin x x sin x dx x sec dx dx cos x cos x  _   _      







1 2 2 2 2 2 2 x x x

x tan tan dx tan dx

         _{  } _{  } _{ }       







2 x x tan   C    _{ }   9.(C)









3 4 2 2 2 1 1 3 tan x

I



tan x dx



tan x . sec x dx 



sec x dx 3 3 tan x tan x x C     10.(C)





3 4 2 1 x x x x e e dx I e e  _     _{  } _  



Put ex to gett

 

2 2 4 2 ₂ 2 1 1 1 1 1 ₁ dt t dt t I t t _t t  _     _{ }     _{ }





2 2 1 1 1 1 dt t t t  _        _  _    



. Put t 1 u t   to get 1

 

1





2 1 x x du I tan u tan e e u        



1.(B) 3cos x2sin x



4sin x5cos x



m



4cos x5sin x



 23

41



 and 2

41

m  The given integral is 23 2 4 5

41 41 4 5 cos x sin x dx dx sin x cos x   





23 2 4 5 41 41 x

log sin x cos x C

   

2.(B) Differentiate on both sides to get f x

 

sin x x  3.(D) 3 2 3 2 1 2 2    





xdx I dx x x x x x . Put x to gett 2 3 2 2 4 1 4 1 1 t dt dt I t C x C t t t          





4.(B) 2 1 2

cos ec x dx log tan x C





 

1

 

2

f x  log x and g x

 

tan x

5.(D)

2

4 4 4

2 2

1

sin x tan x .sec x dx

I dx

cos x sin x tan x

 

 





Put tan x to gett

4 2 1 t dt I t  



Put t2 to getu 1

 

1



2



2 1 du

I tan u tan tan x

u      





 

2 f x tan x

Integral Calculus-1

HWT - 9

6.(D)





  

2 2 4 2 1 2 ₂ 2 4 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ₁ 1 1 ₁ x dx x x dx _x x x I dx x x x x x _x x _x    _  _                    _{ }    







Put x 1 t x   to get 2 2 1 2 2 1 1 t dt t dt I t t    





Put t2  to get1 u 4 2 1 1 2 du x x I u C C x u   



    7.(B)





 

_{ }

_{ }

2 ₂ 2 2 2 _{2 2} 1 1 2 1 _{1 1}       _{ }



x dx



x



x dx I dx x _{x x} 1 2 1 1 tan x C x     

8.(A) Put x  to get2 u _{2 2} 2

4 8 4 x dx u I x x u      





du



2



1 2 2 1 2 1 2 4 2 4 4 2 2 u du u du log u tan C u u         _{ }    







2



1 1 2 4 8 2 2 x log x x tan    C     _{ }  

9(C) Put tan1x to getu





1 2 ₂ 2 1 1 1 tan x x x u I e dx e tan u tan u du x       _ _      







₂



1 



u   u   tan x 

e tan u sec u du e .tan u C e .x C

10.(C)





2 2 2 2 3 3 2 3 17 2 4 dx dx dx I x x x x x           _ _  _{ }       







1 1 2 3 2 3 2 17 17 17 3 2 4 2        _{  }       _{ }   _{ }   _{ } _  _{  }  



dx x x sin C sin C x 1.(D)

 

2 2 2 2 2 4 1 sin x cos x I dx . sin x . cos x dx

cot x tan x cos x sin x

 _   _{ }      _  _





 

 

 

2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 cos x t t . sin x dx . dt log t C cos x t         _  _  





1 2

 

2 2 2 4 cos x log cos x C    2.(D)

   

2 2 2 5 4 _{5 1 4 1} dx dt I cos x _{t t}    _{  }





, where 2 x ttan _{ }   1 2 2 1 2 3 3 2 9 dt x tan tan C t       _{  }     



3.(B) 1



 



2

cos x sin x cos x sin x cos x dx

I . dx

sin x cos x sin x cos x

      





1 1 1 2 2    _{ }  _  _  _   _   



cos x sin x

dx x log sin x cos x C

sin x cos x 4.(D)

 

2 2



2 2 1

 

1 1 1 1 1 1 3 1 4 3 2 2 1 4 dx x I dx tan x tan C x x x x           _  _  _  _{ }          





Integral Calculus-1

HWT - 10

5.(A)

 

2 2

1

sin x

I fog x cos x dx cos x dx

sin x

 







. Put sin x to gett

 





2 1 1 2 2 1 1 1 1 t

I dt dt t tan t C sin x tan sin x C

t t       _  _          





6.(D) 1

 

1 1 1 ex e I log e dx dx x x log x    





log_e



1log x_e



C

7.(A) I



esec x . sec x sin x3



2 cos xsin xsin x . cos x dx







esec x.sec x tan x



2 sec xsec x . tan x tan x dx







2

sec x

e sec x tan x sec x tan x sec x sec x . tan x dx





_    _ sec x





e sec x tan x C    8.(C)





f x g

   

 x  f

   

x g x dx



   

   

   

   

f x g x f x g x dx g x f x g x f  x dx   _  _  





 f x g x

       

 g x f x

9.(C) f

 

x ex



x1



x2



. Since ex for all x R0 

 

0



1

 

2



0

 

1 2 f x   x x   x , 10.(B) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2       _  _  _  _     _  _



sin x





sec x I dx dx dx

sin x sin x tan x





1 1 2 2 x tan tan x C   