Matematika za prvi razred gimnazije

'

CJIJ1qHOCT

Mepelbe µ;y)l(H

(314)

B Atta1m3a nocTyrrKa Mepelha

AY)l(Jf (314)

Pa3Mepa u nponopu;uoHaJIHOCT ,a;f)l(H

(316)

A

Pa3Mepa 11 nponop~11ottarrttocT

,n;p1rn

(316)

TaJiecoea TeopeMa

(318)

A Bap11jaHTe TarrecoBe TeopeMe 11 rrp11MeHe

(318)

B

08pT TarrecOBe TeopeMe; BeKTopcKH 08rr11K TanecoBe TeopeMe (324) XoMoTeTuja

(326)

A Oco811tte xoM0TeT11je 11 np11MeHe

(326)

B Oco811tte xoM0TeT11ja

(329)

CJiuqHOCT

(330)

A TpattccpopMa~11ja crr11'!HOCT11; oco811He CJIJ1'IHOCTH; CJIJ1'!He cp11rype

(330)

CTaBOBH CJIH'IHOCTH TpoyrJioea

(333)

A Jep;HOCTaBHe np11MeHe CTaBOBa crr11'IHOCT11

(333)

B

Ilp11MeHe CTaBOBa CJIJ1'IHOCTH

y

reoMeTp11j11 (335) IlpHMeHe CTaBOBa CJIH'IHOCTH Ha npaeoyrnu Tpoyrao (336)

A Ilp11MeHe CTaBoBa CJIJ1'IHOCTJ1 Ha npaBoyrrr11 Tpoyrao; I111Tarop11Ha TeopeMa (336)

IIpuMeHe CTaBOBa CJIJ{qHOCTH Ha Kpyr

(338)

I

je;rnmIT{a

J

M.epe

A

1

c

E

I

_J

c

0

E

0

314

D

D

Mepe11>e~

0 Mepelby ,'.l)")J(ll{e ll)')KJf Ben CMO roBOPIDilf Ha CTpairn

123,

rrpH '-IeMy CMO ce

OCJiaibalrn rrpe CBera Ha 3Halba Koja CTe CT~a.Jrn y OCHOBHOj IIIKOJIH. 0BOM rrpHlIHKOM he~m ucratrn HeKe C)'IIITI-IBCKe rrpmI1.\1me H rrpeTIIOCTaBKe y Be3H ca rroCTyrrKoM ~tepelba 1cy)KJ-IHe. I

2

F

B

3

MepelheM ce Jzy)KJ™a IJ.O)J.eJbyjy 8pojeBH KojH orrHcyjy op;1wc A)')KJ1 ca yttarrpe)J. H3a8paHOM H ¢HKCHpaHOM .IJ;y)KM. YHarrpeA H3a8paHa AY>K ce Ha3HBa je)J.HHHD;a Mepe. IIocTyrraK Mepelha ce 3aCHHBa Ha Ha)J.oBe3HBalby IIOp;y;l\apmcr .IJ;y)KM.

Mel)YTHM, Ha,qose3HBalbeM AY)f(H Koje cy rro)J.y,qapHe jewnrn:D;H Mepe MO)f(eMO )J.a H3MepHMO CaMO

u;eno8pojHe A~e.

Ocrnhe BemfKU 8poj .lzy)l<M '111je heMo ~e Moffit caMo )J.a rrpou;eHMMO. Iloce8Ho je BIDKHO HCTaIDi ,qa ce rrpH8JUDKHa u;eno8pojHa BpeiJ.HOCT AY)f(HHe MO)f(e )J.08HTM 3a CBaKy ,L(}')K jep ce KOHa'IIDiM 8pojeM rrpeHornelba 3a)J.aTe .lzy)l<M MO)f(e ,,cT11hH H rrpecT11h11" CBaKa Ta'-IKa. )J.ajeMo H rrpeQH3HHjy ¢opMYJiau;Hjy OBor o8ja1Illbelba, Koja je II03Harn Kao ApxHMep;oBa aKCHOMa.

HeKa je If rrpoH3BOJbHa AY>K· Ta,qa 3a cBaKy Wf>K AB Ha rronyrrpaBoj '-IHjH je rroqernK Ta'l:Ka AH Koja caAP)f(H B nocTojH KOHa'-IHO MHoro Ta'-IaKa A₁,

A

2,

A

3, ••• , A" TaKBmc Aa je

A-A

₁

-A

₂- •••

-An, AA

1

=:A

1

A

2

=: ... =:An-IAn=:If

H

A-B-An.

o-+-)J.a 8HCMO peIIIHJIH IIOMeHyTe rrpo8neMe, rrpHpO)J.HO je o-+-)J.a IIO)J.eJIMMO jeAJffi11-I-\y Mepe Ha je)J.HaKe )J.eJIOBe H IIOKyniaMO )J.a H3MepHMO IJ.Y)KHHY .lzy)l<M Ha,qoBe3HBalheM AY)f(H Koje cy rro)J.y,qapHe 1J.0811jeHOM )J.eny. Ey,qyh11 )J;a je C.HCTeM KOjH KOpHCTHMO )J.eKa)J.HJ.i, yo8H'-!ajeHO je )J.a ce je)J;HHD;a Mepe )J.eJIJ1 Ha )J;eCeT AeJIOBa. (Epoj AeJIOBa je IIOTIIyttO HeBa)f(aH; Aa HeKHM crryqajeM KOpHCTHMO 8HHapHH 8pojHH CHCTeM, jeAHHHQY Mepe 8HCMO Aemurn: Ha ,qBa Aena.)

1,3

F

11'~

1,5 1,6

0'!UrJie.l{HO RH 11eceTI1M AeJIOBHMa je,qHHHu;e Mepe HeheMO ycrreTH )J.a H3Mep11MO ~e CB.HX .IJ;y)KM. YirraK, ca IIpaKTH'IHOI' CTaHOBmIITa je Ba)f(HO rrpHMeTHTH Aa he>\fO MOlli rrpu8JIIDKHo (Ha jeAHY Aeu;rurnrry) Aa OApeAHMO AY)f(HHe cBmc AY)f(M (3ax:sa.Jbyjyh.H ApntMeAOBoj aKCHOMH).

CneAehH KopaK je yrroTPe8HTH CTOTe ,qenoBe jeAHHHQe Mepe. HapaBHO, orreT he IIOCTOjaTH ,,HeMepJbHBe .IJ;y)KM':

)J.a 3aKJbY'!HMO: aKO )f(eill1Mo Aa H3MepHMo .IJ;y)KMHe CBHX A~, rroCTyrraK AeJbelba jew~e Mepe He cMeMo 3aBpIIIHTH. Ma KOJIHKO ,,CHTHK" 8HJIH AeJIOBH Ha Koje cMo y HeKoM IpettyTKy H3Aemimi jeAHH.H'-Itty AY>K· rrocTOjahe HeKa p;y)f( 'mjy p;y)f(HHY HeheMo Moru1 rrpeu;Ji3HO )J.a H3MepHMO. HapaBHO, .IJ;y)KMHY CBaKe AY)f(H MO)f(eMo op;peAHTH rrpH8JIJDKHO, Ha IIpOH3BOJbaH (KOHa'-IaH) 8poj )J.eQHMaJia, IlITO je 3a rrpaKTH'-IHe 110Tpe8e caCBKM rrpmraaTJbHBO. - - --

.

Hajrr je)J.HH-He MO~

PealiH

l

'-IMjK jt Hadrp rrocrry 11 cnml

1

1,4

CyMH) Mepett AKo je (1J.ece1

1.

nod

je A

2.

no

HAE

L2-Y

01 HaBo~ IIOCT)'I CMO HI

•Jew

Mep MHf •Ila) Mal • Ep~ pe<4

KOM yjy

IM

~ Salby

fH:e

P

Je

fBaKy ~

a

Kao aK

'

hl1

lfM

i>'

Y

le Mo

IlpHMep 1.

Hajno3Hanija ,n;y)K qJ1je ce Mepelhe He 3aBprmrna je wi:jaromura je,n;HHJ1qHor KBa,n;paTa . .D:a ce nocTynaK Mepelha ,n;HjaroHane He MO)Ke_OKOHqaTJ1, He Tpe8a ,n;a qy,D;l1 jep CMO y IlOrJiaBJbY

Peamm 6pojeau

noKa3aJIJ1 ,n;a He rrocTojH pau;HoHaJiaH 8poj qJ1jJ1 je KBa,n;paT je,n;ttaK 2. ITocTynaK KOjJ1M CMO y npHMepy

1.

Ha cTpaHH

62

o,n;pel)HBaJIM ,n;eu;HMane 8poja

Vi

BeoMa je 8JIH3aK nocnynKy Mepelba. Ynope,n;11Te Ta8eny J13 rroMeHyTor npHMepa

J1 CJIHKY ,n;ecHO.

r+-t

l<x<2

l<x2<4

1,4 < x

< 1,5

1,96 <

x2

<2,25

1,41 < x

< 1,42

1,9881<

x2

< 2,0164

1,414 < x

< 1,415

1,999396 < x2< 2,002225

1,4142 < x < 1,4143

1,99996164 <

x2

< 2,00024449

1,41421 < x

< 1,41422

1,9999899241 <

x2

< 2,0000182084

1,414213 < x < 1,414214

1,999998409369 <

x2

< 2,000001237796

1,4142135 < x < 1,4142136

1,99999982358225 < x2< 2,00000010642496

CyMHpajMo Ha Kpajy 3ana)Kalha ,n;o KojHx cMo ,n;oIIIJIH aHaJIJ13Hpajytm nocTynaK Mepelba.

1

AKo je

AB

,n;y)K qJ1jy ,n;y)KHHY o,n;pel)yjeMo npeHoIIIelheM je,n;HHJ1qHe ,n;~

If

J1 Ihema

(,n;eceTHX, CTOTHX, XHJba,n;HTHX ... ) ,n;enoBa, HaCTynajy ,n;Ba cnyqaja:

1.

nocTynaK ce aaBpmaBa J1 o,n;pe,n;HJIH CMO npeu;H3HO ,n;~tty ,ll;y)KH

AB (

MepIDi 8poj je ,n;eu;HMaJiaH 8poj ca KOHaqHo MHOfO ,n;eu;HMana);

I

2

.

nocTynaK ce He aaBpmaBa Ben y cBaKoM KopaKy Mepea,a ,n;o8MjaMo HOBe Ta'!Ke (neBo

J1 ,n;ecHo o,n;

B),

03HaqJ1MO J1X ca

L

₁,

L

2,

L

3,. .. J1

D

1,

D

2,

D

3, ... TaKBe ,n;a je

L

1

-B -

D

1,

L

2

-B-D

2,

L

3

-B-D

3, ...

Y oBoM cnyqajy je J1

AL

₁

<AB< AD

₁,

AL

2

<AB< AD

2 HT,n;.

A

D3D2 D1

0

I

I I

B

j

I

O· ----

···---

l

L1

Lz

L3

HaBO,D;HMO KJbyqHe npeTnocTaBKe Ha ocHoBy KOjHX TBPAJ1MO ,n;a je J1 y ,n;pyroM cnyqajy

nocTynaK Mepelha ,,ycneIIIaH" (KopeKTaH), TO jecT ,n;a 3a,n;oBOJbaBa cBe ycrroBe Mepe Koje CMO HaBeJIJ1 Ha CTpaHJ1

125. ,1l;oKa3 ,,ycneIIIHOCTJ1" (KopeKTHOCTl1)

H30CTaBJba.'10.

• Je,n;i;rna 3aje,n;HJ1qKa TaqKa CBHX ~

Lp

₁,

L

2

D

2,

L

3

D

3, ... (Koje ,n;o8HjaMo TOKOM

Mepelba) jeCTe TaqKa

B.

fpy8o peqeHo, aKo 3aMMCJIMMO ,n;a CMO crrpoBeJil1 8ecKoHaqJJo MHoro KopaKa, oH,n;a je

B

jewi:Ha TaqKa Koja je ,,o8yxsaheHa" HaBe,n;emrn ,ll;}')KlfMa. • ITapoBH pan;HoHaJIHHX 8pojeBa

IAL

₁

I

H

IAD

₁

I,

I

AL

₂

I

J1

I

AD

₂

I

,

I

AL

₃jH

I

AD

3

I,

.

..

CBe ce

Malbe pa3JIHKyjy, TO jecT pa3JIJ1Ke OBHX rrapoBa cy cBe 8JIJ1)Ke irym1.

• EpojeBH

IAL

₁

I, IAL

₂

I, IAL

₃

I, ...

J1

IADJ IAD

₂

I, IAD

₃

1

, ...

cBe cy

blIID!ill

jewmcTBeHoM pearrHOM 8pojy (KojH Y3HMaMO 3a ,ll;y)Kl1tty ~AB).

::..5

ttG

,_,

~

•

')

.J

.:.. ? \

H-H-H-1

_,

_'

~

A

j

e.JJIBJma

0 - - - - 0 14epe AB 4 2 - = .-tB:

CD= -

=

-CD

6 3 C<>----<>---<>--<>----<l~-o--<>D

Pa.3Mepa

:J:Be ;:ryJKH He 33.BHCU 0;:{ JI3bopa

je::rnrume Mepe.

0Bo Il!pl}elbe orrpa.sna.sa

3;me

tapKBalbe

BepTIIIGLllilfX

rrpTa y

O.'IHOCJ 5pojeBa

~-lBJ:

!

CD.

P

a3M

e

p

a

H

nponopn;HoHaJIHOCT )J;Y)KH

Bn;i:emt c~m i:i:a no~apHOCT A)')KJI, .HaKo je cymnIBCKM noBe3aHa ca MepeH>eM, He 3a.Bncu o;:i; J13bopa jeAJiID~e Mepe.

AKo cy ll)')f(JtHe ;{Be A)')KJI je'AJlaKe npn HeKOM Jrn5opy jep;HH.HQe Mepe, oHp;a cy JipKJIBe Te ABe ~ je'AJlaKe H 3a forno Kojy .zi;pyry jep;HHHQY Mepe.

y

OBOM IIOfJiaBJbY baBJIDeMO ce jom je,qHHM O'AJIOCOM Mel)y A)')KJ!Ma KOjH je Ha HCTH Ha'Ilm IIOBe3aH ca "1epe1neM. Peq je o pa3MepH ~-3a pa3lll1KY op; no.zi;y.zi;apHocTH, Kaja je "KBa.mrranrnaH" O,ll;lfOC, pa3Mepa je ,,KBaHTilTanIBaH" OJJ;HOC Mel)y p;y)KHMa.

L

-AB

Pa3Mepa

ITT7JKH

AB

H

CD,

y 03Hau;H

AB : CD

HJIH - ,

CD

jeCTe KOIDf'IHHK A)')KJ!Ha oBe ABe A)')KJI, TO jecT

IABI: ICDI.

Jt1

o,;u.tax HaBOAJHdO (be3 p;oKa3a) TBpl)elhe Koje onpaBp;aBa noMettpy aHanornjy ca rro,qy.zi;apHomliy.

- AKo cy pa3Mepe ):{Be ~ je,l{HaKe npH HeKOM H35opy jep;HHHu;e Mepe, OHp;a cy pa3Mepe Te ,qBe ,l{y)KH je.zi;ttaKe H 3a CBaKH .zi;pyrn H3bop jep;HHHQe Mepe.

Il

p

HM

ep

1.

AKo 3Ha.Mo A)')KJ!He ,l{y)KH MepeHe jep;HoM jep;HHHQOM Mepe (Ha npHMep y .HHqHMa), Olip;a je'AJIOCTaBHO paqytta.MO ,l{y)K}lHe H 3a b.HJIO KOjH .zi;pyrn .H3bop jep;.HH.HQe Mepe

(Ha IIpJIMep y u;eHTKMeTPHMa), no.a; ycJIOBOM p;a 3Ha.MO p;y)K.HHY OBe .zi;pyre jep;.HHHu;e y o,rµrncy Ha npBy.

- \ 2 3 .( 5 6 1 8 9 10 11 12 13 1A 15 16 17

AKo je

IABI

=Sin H

ICDI

= lSin, oHp;a H3 rnbene neBo p;obHjaMo p;a cy A)')KJIHe p;y)K}l

AB

H

CD

y .HHq.HMa je,l{HaKe:

1

inch (in) [nwI]

25,4mm

- - - - + -- - _ ____, l foot

(ft)

[$yr,

crorraj

12in

- -

---I-I yard (yd) [jap;:i] 3ft 1

mile (mi) [MHJna]

5 280ft

3a11aTaK 30,48cm

0,

9

144m

l,60

9

km

Sin= S · 2,S4cm = 12,7cm

,

lSin=lS · 2,S4cm=38,lcm.

ITpHM:eTHTe p;a je pa3Mepa

AB

: CD,

be3 ofo.Hpa KojHM

jep;mm~a.Ma MepHMO oBe .zi;y)KH, YBeK 1 : 3.

+

.ilaTe cy TPH KomrneapHe rnqKe

A,

B

H

C

TaKBe p;a je

A

-B

-C.

AKo je

IABI

= 2,4cm H

!

ACI

=

12cm, o.zi;peJJ;H pa.3Mepe

AB : AC,

AC: BC

H

AB : BC.

AKojtl' Pa3:Me1 .zi;y)KH I OHp;a~ YKOJHfl MepHH

CD=n

,UHjaro He noc 8pojea Haem npono By.zi;yh

y

UITa

,

y

AKo je

AB :

CD=

k,

ottp;a rnnueMo H

AB= kCD.

AKO je

AB

:

CD=

k,

TO jecT

AB= kCD,

ottp;a je

k

MepHH Opoj ,l{)')l(HHe

p;y)KJ1

AB

npH H30opy ,ll;y)KH

CD

3a jep;Jrnm.nr Mepe.

Pa3Mepa p;Be p;y)KJ1 MO)Ke OHTH OHJIO KojH no3HTHBaH peanaH Opoj. AKo je pa3Mepa p;y)KH paQHOHaJiaH Opoj, Ka)KeMo p;a cy Te ,ll;y)KH caMeplhHBe. AKo je HpaQHOHaJiatt Opoj, ottp;a cy p;~H HecaMeplhHBe.

YKOJIHKO cy HeKe

p;~H

AB

H

CD

caMeplbHBe~

ottp;a nocTOjH jep;HirnQa Mepe If 3a Kojy cy

MepHH OpojeBH p;y)KHHa p;y)KH

AB

H

CD

npHpop;HH OpojeBH, TO jecT Ba)KJ1 AB=

ml/

H

CD=

nIJ

3a tteKe

m, n

E

N.

Tap;a je

AB

:

CD=

min.

,[(Hjarottana KBap;paTa H lberoBa cTpaHHQa cy HecaMeplbHBe ,ll;y)KJ1. ,[(pyrnM pe<rn..'da,

He nocTOjH p;y)K Kojy OHCMO MOrJIH p;a H3aOepeMo 3a jep;HHHQY Mepe TaKo p;a MepHM

OpojeBH p;y)KHHa cTpaHHQe H p;HjaroHaJie KBap;paTa Oyp;y npHpop;HH 5pojeBH.

Ao

_•

Co

_•

AKo cy pa3Mepe p;Ba napa p;y)KH jep;HaKe, Ka)KeMo p;a je jep;aH

nap p;y)KH nponopu;HoHaJiaH p;pyroM napy.

AB

2

PQ

= =

-oQ

• •

oB

_CD

₃

_RS

po

_•

•

•

•

•

oD

_Ro

_•

_•

oS

IlpHMep2.

Ha CJIHQH H3Hap; npHKa3aHa cy p;Ba napa nponopQHOHanmuc ,ll;y)KJ1: nap p;~

AB

H

CD

nponopQHOHaJiaH je napy

PQ

H

RS,

jep je

AB

2

PQ

- - -

- - - - .

CD

3

RS

Eyp;ytm p;a yttppaIIIlbH qnaHOBH nponopQHje Mory 3aMeHHTl1 MecTa, p;o811jaMo

»

p;a je

AB_ CD

(-2)

-PQ

RS

1

y IIITa ce MO)KeMO l1 Bl13yeJIHO YBePHTH nocMaTpajytrn: CJIJfKy l13Hap; .•

,[(a 611cMo nojep;HocTaBHJil1 pap; ca nponopQl10HaJIHl1M ,ll;y)KHMa, ca

AB · CD

03HaqiffieMo

p;y)K qJ1ja je p;~HHa npoH3BO,ll;

IABI

· ICDI,

a YMeCTO 3HaKa ;::, rrn:calieMo

=.

0Baj p;oroBop je noceOHo KOpHcTaH npHJIJfKOM np11MeHe ocHOBHe ocoforne nponop~Mja.

AB: CD

=PQ: RS~

IA

BI

: ICDI =

IPQI

:

IRSI

~

IABI .

IRSI = ICDI .

IPQl~AB.

RS=

CD. PQ

Pa.3xepa

H .i:epee.e

&

Aeqmmtl.lltJa

OCHosua ocofoma

nponopnnja

ad

₌

be

IIpor1asau.e

npoaopmmmuurnx

:l)')l(Jl

y

BeJIHKOj MepH

ce

OCJiaJDa Ha

pa'i)'H

ca

apoaopmrja~rn.. o KoMe je Olmo pe<u1

y

aornasJby IlpouopuuoHa,iHOCiU.

3 8

Tarrecosa TeopeMa

IlplOlep I.

IIpemocTa.BIDIO ;:ca cy Ha HeKoj pa.BHoj ,n;ac:qH H3pe3aHH OTBopw A, B, C,

D H E Ha

pacrnjaJDnMa Koja

cy

,n;aTa Ha CJIK:QM wcrro,n;. 0BaKBa ,n;acKa je rro,n; o,n;peljeHHM yrnoM

nocTaBmeHa U3Ha,u; nowmre M H3JIO)KeHa je Cywi:eBKM 3pa:qKMa. (38or BeJIHKe

ynaJbeHOCTif C~a o,n; 3eMJbe, rrpeTrrOCTaBJbaMO ,n;a cy C)'HqeBH 3pa:qw rrapaneJIHH.)

IIonrro 3a OHO IIITO )KeJIHMO ,n;a HCTaKHeMO HHje Ba)KaH yrao KOjH ,n;acKa 3axBaTa ca

rro;:vmroM, IDITJ.1 je Ba)KaH yrao rro,n; KojMM ,n;ona3e C)'HqeBH 3pa:qw, rrocMaTpaheMo

JlCTOBpeMeHO p;Be IIpOJ13BOJbHO J.13abpaHe MoryrurnCTJ.1.

2

2

c

3

D

/

E

D'

E'

A' B'

_C'

D'

E'

rro,n;nore

!

_:

illT<i ~iO)Ke.Mo petrn o pacrnjalbMMa H3Meljy

A',

B',

C',

D'

HE', TO jecT H3Meljy TaqaKa

rrowmre ,n;o KojKX

cy

CTMrJIH Cywi:eBM 3pa:qw?

IIpm1enIMo ,n;a pacrojaJDa Mel)y OTBOpMMa

A, B, C, D

w

E Hwcy

,,oqyaaHa': TO jecT ,n;a

cy y

o8a cnyqaja pacrnjaJDa J13Mel)y

A',

B',

C',

D'

HE' pa3JIM:qJ.1Ta o,n; o,n;roBapajytrnx

pacrojaJDa H3Meljy

A, B,

C,

D

H

E.

II01<ym:ajTe ,n;a o,n;roBopwTe Ha cne,n;eha cyrecTHBHa IIHTalha (ocnalhajyhw ce Ha

JICKJCTBO J.1 KHTJM:QHjy) J.1 J.13Be,n;eTe HeKe OillllTe 3aKJbyqKe.

L

3HaMO ,n;a je IBCI = ICDI, TO jecT BC~

CD.

,[(a JIH je (y o8a cnyqaja) IB'C'I = IC'D'I?

2. 3mwo ,n;aje

IBCI =2IABI. ,[(a JIJije IB'C1 =2IA'B'I? 3a~w ,n;a je IDBI =3IABI. ,[(a JIH je ID'E'I =3IA'B1?

?

3aaMo ,n;a je IBCI: IDBI =2: 3. ,[(a JIJi je IB'C'I: ID'E'I =2: 3?

IIocraBJbeHa rnrralha HajaBJbyjy Ba)l(He TeopeMe reoMeTpwje, Koje HMajy BeJIHKY

IIpJ1.MeHJ.

II

pe Hero IIITO Ha lbHX OAfOBOpMMO, 3aMeHMMO ,n;aTy HJIYCTpa:qwjy

reOMeTpHjCKHM a;pTe)l(HMa.

C'

D'

E

'

,Ua.KJie,

y

HOBOM KOHTeKcry, 3alilli~ajy Hae ,Il;y)KJi Koje obpa3yjy rrapaneJIHe rrpaBe

p

₁, p₂,

p

₃,

P

₄ H

P

₅ rrpecea;ajyllli HeKe ,n;pyre ,n;Be rrpa.Be a Ha'.

,[(a 8wc)

n

apa

m;

a

IlOCT( yX',cM Orrwcai EBO HG

1.

AKO! ,n;ofo11

2.

IIour J1HT) MepJt rrapa

3

Pa3 ,n;y)l(J

H

'e,n;HOC1 o8pa3)

ilpeTIIO

Kpo3 HeKaje !IpaBe ::JpHMe·1

YCY3

najeA

,JJ;a 511cMo rroje,n;HocTaB11JIB 113pa)KaBaFDe, TaqKe

A

'

, B

'

,

C',

D

'

HE' npaBe a' 3BaheMo

napaneJIHKM npojeKD;HjaMa

TaqaKa A, B,

C,

D

H

E.

IIornTo Kp03 CBaK)' Ta'IK)'

X

npaBe

a rrocTOj11 je,n;11HcTBeHa rrpaBa Koja je rrapaneJIHa ca npaBa.Ma p₁,

p

2, p3, ••• H Koja ceqe a'

y

X',

CMaTpaheMo ,n;a CBaKa TaqKa

X

npaBe a HMa cBojy rrapaneJIHY npoje~y

X'

Ha a'.

01mcaHo rrp11,n;p)l)Kl1Balhe TaqaKa

X

>-+

X

'

Ha311BaheMo

naparrenuo npojeKTOBaJbe.

EBO 11 orrrnTHX o,n;roBopa Ha rr11Talha

1-3.

1.

AKo cy ,n;Be ,n;p1<11 Ha rrpaBoj

a

rro,n;y,n;apHe, oH,n;a cy rro,n;y,n;apHe 11 o,n;roBapajyhe .n;pKH

,n;o511jeHe riapanenH11M rrpojeKTOBalbeM.

2.

IIornTO je

AB

je,n;11H11qHa ,n;y)K, lhOMe Mep11Mo pacTOjalha Mel)y TaqKaMa npaBe

a.

J.1HT~11ja HaM r0Bop11 ,n;a aKo ,n;y)K

A'B'

113a5epeMo Kao je,n;HHIDzy Mepe KojoM heJ.m

Mep11T11 pacTOjalha Mel)y TaqKaMa rrpaBe a', oH,n;a he MepHH 5pojeBH owoBapajylrn:x

rrapoBa ,n;y)K11caa11a'511rn 11crn:

BC=2AB

11

B

'

C'=2A

'

B

'

, DE=3AB

11

_D

_'

_E

_'

_=3A

_'

_B

_'

_.

3.

Pa3Mepa ,n;y)K11Ha ,n;Be ,n;y)K11 ca rrpaBe

a

je,n;HaKa je pa3Mep11 ,Il;)')KIDfa owoBapajylrn:x

,n;y)K11 ,n;o511jeHHX rrapanenH11M rrpojeKTOBalbeM.

+

HeKa rrapanenHe rrpaBe p₁, p

2,

p

3 11

p

4 ceKy rrpaBy

a

y TaqKaMa

A

1,

A

2,

A

3 11

A

4, a

rrpaBy

by

TaqKaMa

B

₁,

B

2,

B3

11

B

4• AKo je

A

1

A

2 ~A

3

A

4

, oH,n;a je

B

1

B

2 ~B

3

B

4

•

/1,oK.a3.

YKon11Ko je

a

11

b,

OH,n;a je rnpljelhe

je,n;HOCTaBHa rrocne,n;m~a TeopeMe o ,n;y)K11Ma Koje

o5pa3yjy ,n;Ba rrapa rrapanenH11x rrpaBHX ( CTpaHa

170).

IIpeTrrocTaB11Mo ,n;a a~

b.

Kpo3

A

₂ 11

A

₄ KOHCTPYJ1IIIl1MO rrpaBe rrapanentte cab.

HeKa je

A'

rrpeceK rrpaBe Kpo3

A

₂ cap ₁, a

A"

rrpeceK

rrpaBe Kp03

A

₄ ca p₃•

IIp11MettoM TeopeMe o carnactt11M yrnoB11Ma 11 cTaBa YCY 3aKJbyqyjeMo ,n;a je

. A'A -A"A

na Je n.₂

=

n.₄•

MIA

'A2

~

M

3

A

''A4,

p

.

P

2

P

1

P

4

a

b

B

.

p

.

P

2

P

1

p

,

c?

b

"

b

Haj3a,n;, rrpeMa TeopeM11 o ,Il;)')Kl1Ma Koje o5pa3yjy ,n;Ba rrapa rrapaneJIHJiX IIpaBI1X,

3aKJbyqyjeMo ,n;a je

B

₁

_B2

~A

'A

₂

H

B

₃

B

₄ ~A"A

₄

, rra je

B

₁

B

₂

~B

₃

B

₄

• •

+-i-!-LL

I

L

11

!1

I I I I I I

~

-

-/

I

I

I

~ I 0 0 ~·

X'

Y

u·

'

V

kXY

~

'

I I

t

~

X'

Y' U'

1'-...,--A

1.r

kXY reopeMa a

b

P

i

A

i

l

b

1

p

,

+-f

A..A

₂

~B B 2

il.B.

~A .•

B,

.l

b

B

Ia:1eco.B.l reopeMa Je:i;Haxocr AB=kCD

3Ra'lli

~a

je

k repHH

bpo

·

=<)'JIGIBe .J)ifGf

AB

axo

je

CD je;:i;:mnma

Mepe.

/

/!!/////1

1

--320

Az

AKo napa,'Ie;rne npaae

p

₁

,p

₂, •••

,p"

ceKy npaBe

a

H

b

H Ha jeAHOj OA lbHX

o8pa3)'jy IIO~apHe }:()')KJf, OHAa

cy

IIOAYAapHe H AJ")KH Koje OBe rrpaBe o8pa3yjy Ha APyroj rrpaBoj.

Ilo3Hara KOHcrpyKnnma noAeJia Ap<H Ha IIOAYAapHe AeJioBe 8a311pa ce Ha npeTXOAHOj Teope.MH.

IIpHMep

1.

Ilop;emfMo ;:i,aTy A}')K Ha 11eT IIOAYAaPIDfX AeJIOBa. KoHcTp~11jy q11He cJieAetrn Kopau;11: 1 Kp03 je}:(aH Kpaj Ap<H

AB

,

Ha rrpHMep

A,

KOHCTPYffIIIeMo rrpoH3BOJbHY rrpaBy Koja He •

ca;q>)f(Jf AaTy A)')K, 3aTHM

2.

Ha rnj npaBoj ogpeA:HMO Taql(e

A

₁,

A

2,

A

3,

A

4 H

A

5 TaKO Aa je

AA

₁ ~A

₁

A

₂

~A~

₃

~A~

₄

~A~

₅

, H Ha Kpajy

.:: KOHCTpYffIIIeMo rrpaBy

A,B

H rrpaae Kp03

A

₁,

A

2,

A

3 H

A

4 napaneJIHe ca

A

5

B;

oBe

qenq>H npaae AeJie

AB

Ha 11eT rroAYAapHHX AeJioBa.

+

HeKa 11apaneJIHe npaBe

p

1,

p

2,

p

3 H

p

4 ceKy rrpaay

a

y TaqKaMa

A

1,

A

2,

A

3 H

A

4, a

rrpaay

by

raqKa.'daB

1,

B

2,

B

3

H

B

4• AKo je

A

3

A

4:

A

1

A

2

=k,

OHAa je

B3B

4:

B

1

B

2

=k.

j1o1'

'13. :H3 A~

4

:

A

1

A

2

=

k

, TO jecT

A

3

A

4

=

kA

1

A

2, 3aKJbyqyjeMo Aa je

k

MepHH 8poj

~e Ap<H A~

4

aKo je

A

₁

A

₂ jeAHHHn;a Mepe.

Tpe8a IIOKa3aTH Aa je

B

₃

B

₄

=kB

₁

B

₂

,

TO jecT Aa je

k

MepHH 8poj A~HHe APKH

_B3B

₄ aKo je

B

₁

B

₂ je)J.JffiHD;a Mepe.

Cymnma AOKa3a je: MepelbeM AY)l<H A~

4

jeAHHHIJ;OM Mepe

A

₁

A

₂ H KOHCTPYKD;HjoM OWOBapajyhH:x rrpa:BHX Koje cy 11apaneJIHe ca npaBaMa

pi

HCTOBpeMeHO MepHMO H

B3B4

jeWIBJfl\OM Mepe

B

1

B

2•

1

1111111/

I • I • • I

r

Mepelbe Apat:He A}')KH AaTOM jeAHHHIJ;OM Mepe BpIIrn ce rrpeHmnelbeM jeAHHffqHe AY)l(H H lbeHHX

(AeCeTHX, CTOTHX, XIDbaAHTHX ... ) AeJIOBa. IlpeMa rrpeTXOAHOj TeopeMH, rrpHJIHKOM CBaKe noAeJie AY)l(H

A

₁

A

₂ Ha AeJioBe A0811jaMo OAroBapajyhy rroAeJiy Ap<H

B

l

B

2

H

B

3

B

4

KOHCTp~HjOM rrpaBHX Koje ~y rrapaneJIHe ca

P

r

CIDIKOM HJIYCTpyjeMo oBa orrrnTa 3arra)l(alba Ha KOHKpeTHOM npHMepy: aKo je

A

3

A

4 :

A

1

A

2 =

1,3,

OHAa je H

B

₃

B

₄:

B

1

B

2

=1,3.

Y1HTynTwB:i;o je jarno Aa be YBeK pe3yJITaT Mepelba

B

3

B

4 jeA:HHHIJ;OM Mepe

B

1

B

2 foITll JfAeHT:HqaH pe3ynTary Mepelba A~

4

ca

A

1

A

2• CTporn AOKa3 OBe q11lbett11u;e

Jf30CTaBJbaMO. Tanec

IT

Hapero

IT

-j1oKaJ Ocrnje KoHcr] rrpaBe TaAan CYAY~ KaKoj

tO)l;HOj lpau;H: oja He o je

B~4

n

~ lry)l{H

:y

HJJ;a

TanecoBy TeopeMy MO)l(eMo cpopMymrcaT11 H Ha cneµ;eliM Ha<UIB.

HeKa rrapanenHe rrpaBe

p

₁

, Pi'

_p3

H

p4

ceKy npaBy

a

y Ta'IKa.Ma

A

_1,

A

₂,

A

₃

H

A

₄

,

a rrpaBy

by

Ta'IKa.Ma

_{B1, B}

i

, B

₃ H

B

₄• Taµ;a je

A

3

A

4:

A

1

A

2

=B

3

B

4:

B

1

B

i

.

IlpaBe

a

H

b

Koje ce ceKy y Ta'IKH

0

ceKy H npaBe

p

1 H

p

2: npaBa

a

ceqe

p

1 H

P

i y

Ta'IKaMa

_{A 1}

H

A

2, a rrpaBa

b

ceqe

p

1

H

p

2 y

B1

u

Bi.

AKo je

p

1

II

p

2, OH)l;a je

OAI

=

OA2

=

A1A

2

OB

I

OB

2

B

I

B

2

Hape,n;Ha rrocne,n;Hu;a ce 'IeCTo y JIHTepaTyp11 TaKol)e Ha3HBa TanecoBoM TeopeMoM.

II

paBe

a

H

b

Koje ce ceKy y Ta'IKH 0 ceKy 11 npaBe

p

1

Hp

i=

rrpaBa

a

ceqe

p

1

Hp

2 y Ta'IKaMa

A

₁

u

A

_2,

a rrpaBa

b

ceqe

p1

H

p

₂

y

B

₁

u

B

₂

.

AKo je

p

₁

II

p

₂

,

ottµ;a je

OAI

=

OBI

=

A

1

B1

OA

₂

OB

₂

A

i

B

i

OA

OB

.

J{01,a3. Je,n;ttaKocT--1 = - -1

Je µ;upeKTHa norneµ;uu;a TanecoBe TeopeMe.

OA

₂

OB

₂

AB

Ocrnje jorn ,n;a IIOKa)l(eMo ,n;a je - 1 -1 je,n;HaKa OBHM pa3Mepa.Ma.

A

1

B

2

KottcTpYfflllMMO npaBy

b

' Kpo3 Ta'IKY

A

i

rrapanentty cab. HeKa je

B

'

rrpeceK npaBe b

'

H rrpaBe

p

₁•

P1 -Qo~~

...

~--Q~~

o-~~-P

1 ~

o

'°'

a

b

a

b

Taµ;a rrapallfJIHe npaBe

bub

'

ceKy rrpaBe a H

p

₁, na npeMa TanecoBoj TeopeMH rnep;u Aa

cy ,n;y)l(M ca

a

rrponopu;uottantte o,n;rOBapajyhM Jzy)KMMa ca

p

₁:

OA

I

A

l

B

l

=

-0A

₂

B'B

₁

KaKo je

B

'

B

₁ ~A

₂

B

₂

(3arnTO?), ,n;oKa3 je 3aBprneH. •

rroc1e,rt1ll(a I rrocnewma :!

P

i

_ __..,_...,...._ _ _

A.

P:·--o----~ a OA1

=

OA:

=

,-\:.-i:

O

B

I

OB

:

BIB: IlOCile)µ{Ua 3

P

1

_

_____..,,___ Q -p,.--o----~

,-a

OAI

=

OB!

=

.-\,B, OA: OB: .-\~: b

p

,

--o-

-

.o----b

P:- -6--- ---...a

-a

b

3an:aTaK

Ha ornoBy nop;arnxa p:anu Ha c~11 OJJ:PeJl:H ,l\)')KI1He Jzy)KI1 03HaqeHHX 3HaKoM IDITaH.a.

3a;xuaK

Ha ocHoBy nop;aTa.Ka p;anu Ha CJII1KaMa OJJ:Pe.n;11 ,ll;Y*J.fHe ,n;y)KJ1 03HaqeHHX 3HaKoM

IDITaJDa.

1)

2

)

3

)

Ilp1D1ep2.

TanecoBa TeopeMa 11 lheHe rrornep;m.J;e HaM OMoryhaBajy p;a KOHCTPYKTHBHO ,,MHO)KHMo"

u ,,p;emtMo" Jzy)KH. I1pe~M3HHje, aKO je p;aTa jep;11HH~a Mepe, KOHCTpYJ1caheMo p;y)K q11ja je lzy)KHHa je,D;HaKa rrpo113Bo,n;y, Op;HOCHO KOJIWIHHKy Jzy)KHHa HeKe p;Be p;aTe Ar*H.

1

0 - - - 0

x

)

•

3a;J;anu:

J113a8epH rrpoH3BOJbHO je,zµrnmzy Mepe 11 ABe Jzy)KI1

a

11

b.

KoHCTPYJ1llll1 3aTHM p;y)K11:

1

a+b

a b

1)

a

2 ; 2J- ;

3J

- - ;

~

-+-.

a

a

2

_{b a}

n

I1pHM~ IIOJiyr\ fp;e je, Macy3 p;eCHO:

AKom

.

jep;Ha!I p;y)K ll CBaKOJ

forn,

q rrpoMe je oqK paBHO Macy1 jacaH l cypac MeCTa o8piry TepeTI UeHT~ KOMej

3

Op;pep

----

---Mi;iiiliiiii _____ _,,,

_,,,,,,, ..

,,,,,,1;;u;HHllJHJJ

IX:

u.'l~l,

IlpHMeHOM Tanecose TeopeMe je,n;HocTaBHO o,n;pel)yjeMo QeHTap pasHoTe)l(e HeKe rmnyre. IIo,n;ceTHMO ce yi<paTKO o,n;rosapajyher 3aKOHa pasHoTe)l(e.

f,n;e je QeHTap paBHOTe)l(e rronyre ( qHjy Macy 3aHeMapyjeMo) rrpHKa3aHe Ha CJIHQH ,n;ecHo?

AKo rro,n;enHMO csaKH o,n; Tepern Ha je,n;HaKe Malbe ,n;enose H pacrrope,n;HMO HX ,n;y)I( IIOJiyre TaKO ,n;a QeHTap paBHOTe)l(e csaKor TepeTa rroce8Ho oCTaHe r,n;e je H bHO, QeHTap paBHOTe)l(e IIOJiyre ce Hehe rrpoMeHHTH. Mel)yTHM, y ,n;pyroM cnyqajy je oqHrne,n;Ho r,n;e ce HaJia3H QeHTap paBHOTe)l(e - TO je TaqKa Kaja IIOJIOBH Macy Tepern. TaKo rrocrnje HHTYJfTHBHO jacaH 3aKOH paBHOTe)l(e, rrpeMa KOMe

cy pacTOjalba QeHTpa paBHOTe)l(e ,n;o

MeCTa Ha KOjHMa cy yqsprnheHH TepeTH o8pHyTo rrporropQHOHaJIHa MacaMa Tep em.

9kg

6lkg

2

UeHrnp paBHOTe)l(e

C

KOHCTPYJfIIIeMo TaKo ,n;a je

AC : CB=

m₈ : m A' r,n;e je MeCTo

A

Ha KOMe je yqsprnheH TepeT Mace

m

A H

B

MecTo TepeTa Mace

m

8•

CnHqHo rrocTyrraMo aKo cy ,n;aTH BeKTopH Te)l(HHa TepeTa.

~-

..

i

...

:

....

.

'•

c

A; ' B

1

·

·

,·,...

k

.

' ...

:

.

·:iv 3aµ;aTaK

O,n;pe,n;H HeII03HaTe Mace aKo ce 3Ha ,n;a cy ,n;aTH cHcTeMM y pasHoTe)l(JL

?

2kg

(

_?

_2kg

( (

6lkg

2

9

P

:

a • .\xrnova (TI4) ca crpa.He 140.

c

:I

I

0 0 ,:\. B

32-n

;

b

HeKa ce rrpase a H

b

Koje HHcy HOpMamie ceKy y Ta'IKYI

0

11 tteKa npaBe

p

1 11

p

2 ceKy npasy

a

y rnqKaM:a

A

₁ 11 A₂, a rrpaBy

by

Ta'IKaMa

B

1 11

B

2• AKo je

OA

OB

AB

.

_ _ I =--1 =-1 _1,0Hlf.aJepl llP2·

OA

₂

OBi

AiBi

jl,oKa3. ITpeTIIOCTaBHMO lf.a

p

₁ H

Pi

HHCY rrapanentte rrpase.

HeKa je

p

;

je,ll.JrncTBeHa rrpasa Koja calf,p)KH Ta'IKY

Ai

H rrapanentta je cap _1.

ITpasa

p

;

ceqe rrpasy

b

jep je ceqe 11

p

₁• HeKa je

B

;

rrpeceK npaBHX

b

11

p;.

Ta'IKe

Bi

11

B

;

cy

pa3llfqJfTe jep a.Ko bH bHJie HCTe, OHlf.a bH H npaBe Pi 11

p;

b11ne

HCTe, UITO je cyrrporno rrpernocrasKaMa.

TaAa je rrpe.Ma nocne~

1

lJ.aTOj Ha cTpairn

321

OA

l

=

OB

I

=

AIB

I

OA

i

OB;

A

₁

B;'

.

OA

I

OB

I

A

I

B

I

.

.

I I

na Ka.Ko Jen - - = - - = - - , 3aKJb)"l)'JeMo p;a Je

OBi

=

OBi

11

AiB

₂

=:A

₂

B

₂•

OA

₂

OB

₂

A

₁

B

₂

ITorrno cy ra'IKe

B

₂ H

B

;

pa3JIWrnTe, npeMa aKCHOMH ca cTpatte 140, Mopajy b11T11 ca pa3JIWIJITJIX CTpatta rrpase

a,

na CaMHM THM ca pa3JIH'IHTHX CTpatta Ta'IKe

0

npaBe

b.

Me1)yn1M, TalJ.a rrpKMeHOM cTaBa

CCC

OB

2

=:0B

;

}

ccc

A

₁

B

₂ ~AiB;

::;.ilOA

i

B

2

=:ilOAiB;::;.

<rApB

2

=:<rApB;

0A

i

-OA

2

µ;oforja.Mo lJ.a cy ttarropep;HH yrnoBH

A

₂

0B

₂ 11

A

i

OB;

nolf,yp;aptt11, na THMe 11 npaBH, cyrrporuo rrpernocTaBI.\H p;a

a

11

b

tt11cy ttopMaJIHe npaBe .

.iJ,aKJie,

P

1

II

P

i

·

YKOJIHKO cy

a

n

b HopMaJIHe rrpase, Mopajy

ce YBeCTH p;olJ.aTtte npeTnocTaBKe.

HeKa ce HopManHe rrpase a H

b ceKy

y rnqKJ1

0

H HeKa npaBe

p

₁ H

p

₂ ceKy npaBy

a

y Ta'IKa.Ma

A

₁ 11

A

₂, a rrpasy

by

Ta'IKaMa

B

1 i.1

B

2, rrp11 qeMy cy

A

1 11

A

2 ca HCTe cTpatte

Ta'IKe

0

aKKo cy

B

₁ 11

B

2 ca HCTe cTpatte Ta'IKe

0.

OA

OB

AB

AKoje--1 = - -1 = -1-1,0HlJ.ajep1 llp2•

OA

2

OBi

AiBi

3anaTaK

Ha ocRoBy rrop;aTaKa

ca

cJIHKe 11cnHTaj p;a JIM cy rrpaBe p 11

q

rrapaneJIHe.

- - -'

,lfoKa

I CBaKJ ITpeT YKOJil Teo pc

I1pe1

Ba)KM p;oKru

Jfaa8

jep;ml Tap; a X11~ ITO JI~ Ta'IKC KaKq

rro

Pa3MI

Kalf.a

I

~

I

jl~

~

J

Ilp11MeHoM TanecoBe TeopeMe p;oKa3ah.eMo je,n;HaKocT Kaja je cpopM)7ID1CaHa y ,n;pyroj

TeopeMH Ha CTpaHH

222.

-+ -+

3a cBaKH peanaH 8poj

k

11 me BeKTope

x

11

y

TaqHa je je,n;HaKocT

-+ -+ -+ -+

k(x

+

y)

=

kx

+ky.

-+ -+

,lfoKa3. AKO je HeKH o,n; BeKTopa x HJIH

y

Hyna-BeKTOp, TpaJKeHa je,n;HaKOCT BaJKH 3a

cBaKH peanaH 8poj

k.

Ilo,n;cehaMo ,n;a je Hyna-BeKTop HeyTpan 3a cafofpalhe BeKTopa.

-+ -+

IlpeTIIOCTaBHMO ,n;a cy o8a BeKTopa

x

HJIH

y

pa3JIHqJ1Ta o,n; H)'Jla-BeKTopa. -+ -+

YKoJIHKO cy BeKTop11

x

11

y

KOJIHHeapHH, je,n;HaKOCT ce je,n;ttocTaBHO ,n;oKaJyje Ha ocHoBy

TeopeMa Koje CMO HaBeJIH Ha MaprnHH, rra ,n;oKa3 rrperrynrrnMo KopHCHJIT{JiMa yv6em1Xa.

-+ -+

IlpeTrrocTaBHMO Haj3a,n; ,n;a BeKTop11

x

11

y

HMcy

KOJIHHeapHM. Je,n;ttaKocT O'IM!'Jie,n;tto

Ba)l(H aKO je

k

=

0.

,!J;OKaJKHMO ,n;a je TaqHa Ji 3a

k

"#

0.

,!J;OKa3 neMO CIIpOBeCTH 3a

k > 0,

a

,n;oKa3 y cnyqajy Ka,n;a je

k

<

0

ocTaBJbaMO 3a Be)l(6y.

J13a8epHMO rrpoH3BOll>HO TaqKy 0. IlpeMa TeopeMH ca CTpaHe

216,

IIOCTOjH

je,n;HHCTBeHa TaqKa

X

TaKBa p;a je--; =

OX,

Kao 11 je,n;HHCTBeHa

rn~a

Y

p;a je

y

=

KY.

~ -+ -+ , -+ -;:;-;;;t

Ta,n;a je

Or

=

x

+

y

(cJIHKa ,n;ecHo). HeKa je ,n;all>e

X

TaqKa TaKBa p;a je

kx

=OX

.

Ta~e

X

11

X'

cy KOJIHHeapHe ca

0

11 HaJia3e ce ca HCTe cTpaHe TaqKe

0.

HeKa je

Y

'

rrpeceK

rronyrrpaBe [

OY)

11 rrpaBe Kpo3

X'

Kaja je rrapanenHa ca rrpaBOM

XY.

IlpHMeTHMO .u:a cy H

TaqKe

Y

11

Y'

ca HCTe CTpaHe TaqKe 0. IlpeMa TanecoBoj TeopeMH l1MaMo p;a je

OX'

OY'

X'Y'

= =

-ox

OY

XY

OX'

OY'

X'Y'

KaKo

je--=k,

811he

w--=--=k,

op;aKJie

cnep;H

,n;a je

OX

OY

XY

X'Y'

=

kxY

=

ky

Kao M

OY'

=

koY

=

k(-;

+

y).

~ ~ ---;--?

kx-+ k-+

IlornTo je 11

OY

=

OX

+

X Y

=

+

y,

Tpa)l(eHa je,n;HaKOCT je ,n;oKa3aHa. • --+

--+ ----+

AB

Pa3Mepa ycMepemuc ,n;y)l(H

AB

11

CD

y 03Hau;11 ---+, ,n;ecpHHHIIIe ce caMo y cnyqajy

CD

--+

. . t

p

AB .

Ka,n;a cy o,n;roBapaJyuw BeKTop11KOJIHHeapHH11 Hwcy Hyna-BeKTOp.H. a3Mepa ---+ Je

__,. ---+

CD

(je,n;HHCTBeH) 8poj

k

TaKaB ,n;a je

AB

=

kCD.

,!J;a OBaKaB 8poj

k

IIOCTOjH, ,n;oKa3aJIJi CMO Ha

CTpaHH

224.

Ilp11Menue ,n;a pa3Mepa p;Be ycMepeHe ,ll;y)l(J1 (,n;Ba BeKTopa) MO)l(e bJfTH n

II03HTHBaH J1 HeraTHBaH 8poj.

IlpaBe

a

11

b

Koje ce ceKy y Ta~

0

ceKy H rrpaBe

p

₁ H

p

₂: rrpaBa

a

ceqe

p

1 n

p

2 y TaqKaMa

A

₁ 11 A₂, a rrpaBa b ceqe p

1 H

p

2 y B1 H B2• AKo je

p

1

II

p

2,

. OA

OB

AB

oH,n;aJe ~ = ~ =~.

OA

₂

OB

₂

AiB

₂ TeopeMa TeopeMa (crpaHa 224). -+ -+ AKo

cy

BeKToptt

x

H )' KOJIHHeapHH

n

mtcy ttyna-BeKTopn, mua

IIOCTOjH bpoj k ~ 0 TaKaB

-+ -+ 11ajey =

kx.

Teope~rn (crpaHa 222). -+ 3a CBaK.Jt BCKTOp X H CBC pean:He bpojeBe k JI f BruKC je;µIaKOCTit: -+ -+ -+ l

(k+t)x=kx ...

fx; -+ -+ 2. k(lx) = (k · l)x.

0

t~-;

x

~

I

kx.c

{

...

,_

-

':1----X1

x

---;

~~

-~~

···

....

BeKToparn oOJIJIK

Ta.aecoBe reopexe

;:;,eqmmu.vtja XoMOTentja ce Ha3HBa 11 nepcneKTimRa C:Ilf'IROCT.

0

x

0

B

326

B

'

XoMoTeTHja

HeKa je

0

qnracHpaHa TaqKa paBHH TC H

k

HeKH peanaH 8poj pa3nHqHT OA Hyne.

XoMOTeTJlja paBHH TC ca n;eHTpOM

0

H Koe<!>Hn;HjeHTOM

k

je npecnHKaBaH>e

'H.o~

:

rr-+n,

Koje CBaKoj TaqKff

x

paBHH 1t AOAeJbyje Ta'IKY

X'

HCTe paBHH

TaKBY Aa je

OX'

=

kOX.

----+ 0

0

ox x

~

0 0 0

t

t

t

t

1{ Ch

(X)

'H.0.-1

(X)

'H.

0.1

(X)

'H.

o.3

(X)

~

o:ux

KopHcrehH KOHCTp~jy noAeJie Jzy)KJ1 Ha jeAffaKe Aenose, jeAHOCTaBHO ce

KOHCTPymne CJIHKa bHJIO Koje Ta'IKe x XOMOTernjoM

'H.O,k

qffjH je Koe<l>Hn;HjeHT

k

pan;HOHaJiaH 8poj.

3aHcTa, aKO je k

=±min, m, n

E

N,

~

OX

Tpe6a ITOAelIHTH Ha

n

jeAHaKHX Aenosa, a

3aTJ1M noqeBrrrn. OA

0

HaAOBe3aTH m A08HjeHHX ):(elIOBa ca OHe CTpaHe ca Koje je TaqKa

X, )'KOJIHKO je k

=m

i

n,

OAffOCHO ca cynpoTHe CTpaHe, aKo je

k

=-min.

m

AenoBa

x

- - -- --- .... ~--<.>0--<>0 --<0>----<.0--<.>0--<>-~ ---.o----<>

3auaTaK

,[{aTe

cy

TP" KomrneapHe Ta~e

A,

B

H C TaKBe Aa je

A

-B

-C"

AB: BC

=4: 7.

0ApeAH

Koe<l>~eHT

k

XOMOTeTHje

'H.B.k

aKO je 'H.B,k(A) =

c.

3a;i;aTaK

Ha cmmH AeCHO cy KOHCTPYJ.f CaHe crrHKe HeKOJIHKO TaqaKa xoM0Ten1joM 'H.

0

.~.

Ha ocHoBy oBor npHMepa, IIOK)'Illaj Aa H3BeAeIII HeKe onIIITe 3aKJbyqKe. 3

OAPeAH pa3Mepe

A

'

B

'

: AB,

B'C': BC, B'D': BD .

.., .Ua JIH ce XOMOTeTHjOM KOJIHHeapHe TaqKe npeC7IHKaBajy y KOlIHHeapHe TaqKe?

3

)la JIH ce npaBe

AB

H

A'B'

ceKy?

A

npaBe

BD

H

B'D'?

08pa37IO:>KJ1 OAroBope.

4

J

YnopeAH

4:BAD

11

<ti3'.A

'D'.

YnopeAH" 8Hno KOjH Apyrn nap OAroBapajyli.Hx

.

•

.a."'' ...

"<\'.ll'~lll.l\1\\1

AKo je

H

₀

./X)

=X'

H

H

₀

/Y)

=

Y',

OHAa je

X'Y' =kXY.

TeopeMa

----+----+

OX'=kOX

X'

/{oKa3.

Jfa

H

₀

k(X)

=X'

H

H

₀

/Y)

=

Y

'

CJieAH Aa je

OX

'

=kOX

H

~ =-:? . ---+ ---==+ ~

OY' =

kOY.

KaKo je

X'Y' =

OY' -

OX',

HMaMo Aa je

IT

=OY'

-OX'

=koY -kOX =k(oY-OX) =kXY

.

•

_y

----+ ----+

OY'=

k

OY

Y'

AKO je

X-

Y -Z

l1

H

₀

/X)

=X', H

₀

/Y)

=

Y'

H

H

₀

/Z)

=Z',

OHAa je

X'-Y' -Z'.

TeOpeMa

/{oKa3. }fa

X - Y

-

Z

CJieAH

IXYJ

+

I

YZI

= IXZI.

II

peMa rrpeTXOAHOj TeopeMH

HMaMo Aa je

IX'Y'I = lkl · IXYJ, I Y'Z'I = lkl · I

YZI

H

IX'Z'I =

lkl

·

IXZI.

,[(aKJie,

IX'Z'I = lkl · <IXYJ

+

IYZI) = IX'Y'I

+

IY'Z

'

I,

OAaKJie cJieAH Aa je

Y'

H3Mel)y Ta'IaKa

X'

H

Z',

IIITO je H Tpe8ano AOKa3aTl1. •

..

y

\,

~

a-~

r

J.13

AOKa3aHHX ocobHHa cJieAe cJieAetia rnpl)elha.

• XoMoTernja AY)I( rrpecJI11KaBa y AY)I(: aKo je

H

₀

/A) =A

'

H

H

₀

/B) =B,

OHn;a

je

H

₀

/AB) =A'B';

XoMoTeTHja rrpaBy rrpecJIHKaBa y napaneJIHY rrpaBy: aKO cy

A

l1

B

.llBe Ta'IKe rrpaBe

pH

aKo je

H

₀

/A) =A'

11

H

₀

/B) =B',

OHAa je

H

_0/p)

=

p

',

rrptt qez.ry je

p'

rrpaBa OApel)etta Ta'IKaMa

A'

11

B'

l1

p

11

p

'.

Cm1Ka qrnrype

<I>

xoMoTernjoM

H

₀

.k je qmrypa

<I>'=

H

_0/

<I>)=

{H

₀

.k(X)

IX

E

<I>}.

Ha ocHoBy OBHX oco8tttta l1 TeopeMe o yrnoBHMa ca rrapaneJIHHM Kpau;ttMa AOJia3ttMo H AO cJieAeher 3aKJbyqKa.

XoMOTeTHjoM ce yrao rrpecJIJ1KaBa y IIO.zzyJJ:apa.H yrao.

z

·

Teope1o1a

y

B

,il;eqmHHUJtia

.

n

.

XoMOTenrja ie

non:ryHo o:rrpel)eHa axo je no3HaT H.eH

rremap

0

n c11cxa

X

je;:me Tif'IKe X.

328

KoHcrpyicwrja cJlliKe HeKe qmrype AaToM xoMoTenijoM ce MO)f(e 3HaTHO

rroje)lHOCTrunmt aI<O ce KOpHCTe JI! onmTa CBOjCTBa XOMOTeTHje. IIoce8HO je KOpHCHa

rrpm.1eHa TBpl)eH>a Aa ce rrpaBa xoMoTeTiljOM rrpec1n1KaBa y napanemiy rrpaBy. Ha cmnp1 ucnoA KOHCTPYKTHBHO je OA}Jel)etta CJIHKa

MBC

xoMoTeTHjOM Ho.-~'

'H

0

_!(

MBC)=M

'

B

'

C

'

.

2

2

IIpID.teTHTe ~a je AOBOJhHO Ha!rn: cnHKy CaMO jeAHOr TeMeHa, Ha rrpHMep

'H

o,_!

(A)

=A'.

CnHKe

B'

H

C'

2

rrpeocran:a JlBa reMeHa cy rrpeceQH rrpaBHX OB H

OC

ca rrpaBaMa Kp03

A

'

Koje cy napaneJIHe ca

AB

H

AC.

•

c

B

3arraxaH>a Kaja CMO KOpHCTJl[JIJII y rrpeTXOAHOM rrp11Mepy MO)f(eMO yorrllITHTH. Ha11Me,

axo 3Ha.'do ~eHTap xoMoTentje 11 CJIHKY X' jeAHe Ta'!Ke X (rrp11 'leM)' HapaBHO Ta'!Ke

0,

X

n

X

'

~mpajy fomt Kommeaptte), OHAa MO)f(eMo OA}JeAHTH CJIHKY 811no Koje Apyre Ta'!Ke

TOM xoMorenrjoM (KOHcrp~Hja je npHKa3aHa Ha CJIHKaMa 11crroA). KoeqmQ11jeHT

OBaI<O o,upel)eHe xoMoTeTHje je pasMepa

k

=OX' :

OX.

IIp11MeT11Te Aa aKo )f(eJIHMO Aa

OA}Je,[J;JlMO CJIHKY Ta'IKe

u

Kaja je KOJIHHeapHa ca

0,

x

JI!

X' (

CJIJ1Ka AOJie AeCHO ), MOpaMO

Rajrrpe Aa OA}JeAJtMO CJIHKY HeKe ,,ITOMohHe" Ta'IKe KOja HHje KOJIHHeapHa ca HaBeAeHHM

T<l'IKaMa.

0

~X'

0

1{ 3ai:i;aTaK

P'= 'H(P)

\.P

•'

:

\

:

~X'

1{

IIpmt3BOihHO 113a8epH TPH KommeapHe Ta'IKe

0,

Xu

X'

TaKO Aa je X -

0

-X'.

AKo je

H

w

xmmrern:ja TaKBa Aa je

'H

o,x.

(X)

=X',

KOHCTPYHIIIH Ta'IKY

'H

₀

iT),

aKo je Ta'!Ka

T

HeKa Ta'IKa Kaja:

i mrje KomrneapHa ca

0

,

Xu X

'

;

2

)

jecre KomrneapHa ca

0,

X

H

X'.

3ati;aTaK

IIpecmtKaj rrpo113BOJbaH

MBC

xoM0TeT11joM

1i

A.

Ji'

~ -.- ,, .. -.. ~ ""'iso. IIorneAaj CIDfKY AeCHo.

A

B

Taq

k

.

=i

Ha

npo

Ko11

bHO jewi

H

o

,

I

Hai

3aje Ta'lj

C'

re· 1{ '

r-rrpe

M

t

M.J

}la.JI II pi

Om

Ha.31

aq

TPH

C

H

.

3ap;aTaK

,lJ;aTe cy ,n;Be rrpmt3BOJbHe ,n;}')KJ1 AB H

CD

H ,n;Be Ta"l!Ke

0

l1 X. KoHcrppmm Ta'Il<Y

'H

₀

/X)

aKo je

k =AB:

CD.

Yuyiiiciiiao.

Han;pTaj rrpoH3BOJbtty rronyrrpaBy

Op

Koja He ca,n;p:>Irn

X,

a 3anru Ha lhoj

o,n;pe,n;H TaqKe

Ytt Y

1

TaKO ,n;aje

OY=CD

H

OY'=:AB.

Ilp

HM

ep 2.

TaqKa X je xoMoTeTttjoM

'H

₀;; rrpecmfKatta y Taqry

X'. ,lJ;aKJie,

k=OX':OX.

E

\A

Ha rrpeTxo,n;oj cTpaHH je 06jarn.1Detto KaKo ce KOHCTpYJirne cJnfKa

rrpOl13BOJbHe TaqKe rrptt OBaKO 3a,n;aToj XOMOTeTHjH.

KottcTpYJiIIIHMO ca,n;a

'H

₀

_!_

(A),

rrpH qeMY je

A

rrpott3BOJbHa Ta'!Ka. ,IJ;a

'k

-..

.

/

A"~1f,,1(A

0

--.,

·--'<l -c

-bHCMO J13BeJrn Tp<l)l(etty KOHCTp~ttjy, ,ll;OBOJbHO je 3HaTif CillfKJ 8ap

je,n;He TaqKe rrptt OBOj XOMOTeTHjH. Httje TeIIIKO 3aKlbY"l£11TI1 ,n;a je

'Ho_!_(X')

=X.

+

'k

HaBO,ll;HMO HeKe OITIIITe je,n;HaKOCTJ1 y Be3J1 ca KOMI103l1QlfjaMa XOMOTeTifja ca 3aje,n;HJ1qKJ1M n;ettTpOM.

l 'HO,k o 'HO,/ ='HO,/.k;

'H₀k o 'H₀

_!_

=£ (£

je KOHHQH,n;em~ttja: CBaKy TaqKy rrpeornKaBa y ce8e);

• 'k

'HO,k o 'HO,/= 'HO,/ o 'H_O);

IlpHMep3.

Ha Kpajy OBOr o,n;eJbKa, KOpttcTeilli ce XOMOTeTHjOM, IlOKa3aheMO HeKe 3aHJ1MJbJ1Be Be3e Mel)y 3HaqajHJt1M TaqKaMa Tpoyrna. HeKa je

T

Te)KJ{IIITe ~C, a

A

'

, B

'

H

C'

cpe,n;ttrnTa cTpaHHQa

BC, CA

H

AB.

ITpeMa Teope!'.rn o Te)l(HIIITY Tpoyrna (CTpatta

174),

3aKJby-qyjeMo ,n;a je

'H.r._.!.

(MBC)

=

M

'B'C',

rra ce opTOQettTap

H

Tpoyrna

ABC

' 2

X\..

1

L

,

P

X

0

-

~~

'H

af

Ilo:rcehaMo .aa cmn<y

HeKe Ta~e

X

npH

rpa.HccpopMamrjH

.A

o

B

o:rpet}yje.Mo

TaKO IIITO IIpBO

o.:i:pe:urno B(.\1, a

33TI1M

n

c.rnuy

Ie

Ia'IKe npu

A

rrpernttKaBa y opTOn;ettTap

M'B'C'.

Mel)yTttM, opTOn;ettTap

M'B'C'

je ttcToBpeMeHo H QettTap

0

orrttcatte KPY)l(HHQe

MBC.

,lJ;aKJie, HMaMO ,n;aje

H-T-0

H

HT=2TO.

ITpaBa Koja ca,n;p)KJ{

H, TH 0

tta3HBa ce

Ojrrep

oea

npaBa.

OrrHcatttt Kpyr oKo

M'B'C',

qJijH je n;ettTap

O

'

='H

₄

___!_

(0),

~

..

.

.

~

·

J

2

Ha3HBa ce H

Ojrrepoe Kp

yr,

aIDt H Kpyr ,n;eBeT TaqaKa jep

ca,n;p)KJ{ cpe,n;ttrnTa cBe TPH cTpattm.i;e ~C, IIO,ll;HO)l(ja CBe

TPH BHCHHe oBor Tpoyrna, Kao H cpe,n;JfIIITa Jzy)Klt AH, BH H

A

.neqnmru~uja

330

CJI

Jl'IHOCT

HeKa je

k

no3HTIIBa.H peanatt 8poj. Cmr<IHOCT paBHJ1 7t ca Koecpm_\11jeHTOM

k

je cpymrn;Hja

Pk

:

n-+n TaKBa ,n;a 3a cBaKe ,n;Be Ta'IKe

A

11

B

paBHJ1 n,

aKo je

P/A) =A'H Pk(B) =B',

oH,n;a je

IA'B'I

=k · IABj.

CBaxa H30Merpnja HeKe paBH11 je cJrnqHocT Te paBHH ca Koecpm_\11jeHTOM

l;

• CBaKa XOMOTernja

1-l

₀Jc HeKe paBHH je cnwrnocT Te paBHJ1 ca Koecp111 . .\11jeHTOM

jkj.

IlpK11

ep

l.

CJIWIHocnt ,n;o8HjaMo H axo H30MeTpHje CJia)l(eMo ca xoMOTeni:jaMa. TaKo, aKo je

ri;aTa HeKa rrpaBa

s

H HeKa Ta'IKa

0,

Ta,n;a je TpaHccpopMal.\11ja 1-£₀,_₂ o

S,

cn11qJiocT ca

Koecp~jeHTOM

2.

.Ua je 1-£0.-2 0

s

.

3aHCTa CJIWIHOCT

ca

Koecp~jeHTOM

2,

Irnje TeIIIKO

rrp0Bep11T11. HeKa cy

X

11

Y

rrpoH3BOJhHe

Ta'iKe H HeKa J·e

S

(X)

=X

"

,

S

(Y)

=

Y",

Kao

s s

11

7-l

o.-2

(X')

=X',

1-l

o,

_zCY'}

=

Y

'

.

B'

KaKo je

S

,

H30MeTpHja, HMaMo ,n;a je

IXYJ =

IX"Yl

)XaJhe, rro311Bajyh11 ce Ha rrpBy

ocofomy xoMOTernja Kojy CMO ,n;oKa3aJI11 Ha cTpaH11

327,

,n;o811jaMo ,n;a je

IX'Y'I = 2IX"Yl

)XaKJie,

jX'Y1

=2IXYJ.

+

J1CIIOCTaBJha ce }I.a CBaKy CJIWIHOCT MO)l(eMO rrpe,n;CTaBHTJ1 Kao KOMil03111.\11jy HeKe

J130Merpaje H HeKe XOMOTeT11je.

CBaKa CJrnqHOCT ce MO)l(e rrpe,n;cTaBJ1TH Kao KOMII03111.\11ja HeKe H30MeTp11je J1 HeKe XOMOTeT11je.

;JoKa.3 TeopeMe 0 pa3JiaraIDy CJrnqHOCTH HeheMO HaBO,ll;J1TJ1 ca CBJ1M ,n;eTaJhJ1Ma Ben

.he;\fO ~o HaBecTH ocHOBHe H,n;eje. HeKa je

Pk

CJIJ1qffOCT ca Koecp111.\HjeHTOM

k.

3a 811no

KOjy

rnqxy

0,

KO~ffi03lf.l.µ1ja

7-lo

..

i-

0

pk

je TaKol)e CJIJ!lqHOCT ca Koecp111.\11jeHTOM

~

.

k

=

1

(,nOKa3 OBe 'IJ.UbeHHI.\e l130CTaBJhaMO, aJIJ1 BepyjeMO ,n;a je J1HTYJ1Tl1BHO jacHO 3aIIITO je

oHa Ta'Il:la). CJlJf'Il:IOCT 'Illj.11 je Koecplil.\HjeHT

1

jeCTe 3anpaBo HeKa 1130MeTp11ja

I,

rra

je

1-l

o,!_

o

P

t

=I.

KopHcTelil1je,n;HaKOCTH1-l₀Jc o

1-lo,!_

=

£, £ o

Pk= Pk

11 acol.\11jaT11BHOCT

l k KOMII03~je ,,pa'f)'HaMO":

1-l

₀,1c o

I=

1-l

₀,1c o

(1-l

o,!_

o

P

k

)

=

(1-l

₀,1c o

1-lo,D

o

Pk=£

o

Pk= Pk.

•

k k I

-Omm

,n;ecpm

J

J1aKO IIITO

M

Ka,n;a• HT,ll;.), je CJIH IIITO

U

Kaou CTaBd 0 P,oK

A'

B

'

:

He Ka na je Ilpe IlOG

Ko

...

ABCn

Y13B)'ll;J1MO HajBIDKHHje IIOCJiegm_\e.

HeKa je

Pk

cn11qHOCT paBHH ca Koecpm~11jeHTOM

k.

AKo je

A-B-C11 Pk(A) =A', Pk(B) =B'

11

Pk(C)

=C', OHga

jeA

'

-B

'

-C'.

AKO

jeAB=CD

11

Pk(A) =A', Pk(B) =B', Pk(C)

=C'11

Pk(D)

=D', oHgaje

A'B'=C'D'.

~.AKO je

Pk(A)=A', Pk(B) =B', Pk(C)

=C'11

Pk(D)

=D', oHgajeAB:

CD=A'B':

C'D'.

DOC'"!e;tl!..Q3

Cse nrro

.

qyBa

jy"

"

H30MerpKje H XOMOTeTitje, ,,'f)'Bajy" K CJIH'IBOCTH.

OnuITa gecp11H11n;11ja cn11qHocT11 gBe cp11rype aHanorna je ornurnj

gecpHHHQHjH IIOA)'AapHOCTJ1 ABe cp11rype.

Ase qmrype <I> n '¥ cy no;:rynapHe,

y

03Hat(H <I> ~ '¥, axo IlOCTOjH H30MerpHja

I

Koja rrpeCJDU<asa <I> Ha

'¥

,

TO jecr axo ie

I (<I>)

=

'¥.

,[l;Be cp11rype

<I>

11

'I'

cy c11H11ee, y 03Han;11

<I>

-

'!', aKo 11ocToj11

crrKqHocT

P,

Koja 11pecn11KaBa

<I>

Ha '!', TO jecT aKo je

P(

<I>)

='I'.

Y1aKo ce AHMeH3Hje (Ben11q11He) gBa rn11qHa o8jeKTa Mory gocTa pa3JIHKOBaTH, OHO

IllTO HM gaje J1CTJ1 ObJIHK jecy caqYBaHe pa3Mepe J13Mel)y bHJIO KOje µBe .lzy)KJ1.

Kaga Tpe8a HanpaBHTH 811no Koj11 BeJIHKH o8jeKaT (3rpagy, MOCT, ayrnMobHJI

11Tg.), BeoMa je Kop11ctto rrpBo KOHCTPYJ1CaT11 YMalbeH Mogen Tor o5jeKTa Koj11

MY

je CJIJ1qaH y MaTeMaTJ1qKoM CMHCJIY. HapaBHO, ga 811 MOgeJI KMaO HCTJ1 obJIKK, Kao

IllTO he ra J1MaTJ1 J13rpal)eHJ1 o8jeKaT, AOBOJbHO je ,,CaqyBaTH" pa3Mepe.

_Oopanrre

_{naJKH.y Koje}

CTaBOBe nony;iapHOCTII

Kao 11 y rnyqajy nogygapHOCTH, goKa3HBalbe cn11qttocT11 TpoyrnoBa 3HaTHO OJiaKIIlaBajy Kop11CTID40

y

.JJ;0Ka31w:a

CTaBOBH CJIJ1qHQCTJ1 Koje heMO y HaCTaBKY AOKa3aTJ1. . CBaKOr o.::r CTaBOBa

,[l;Ba Tpoyrna cy cn11qHa aKo cy ABe cTpattHn;e jegHor Tpoyrna rrponopn;uoHanHe

ogroBapajyh11M CTpatt11n;aMa Apyror Tpoyrna J1 yrJIOBH 3axBaileHH THM CTpaHHQ~la

cy IIOAygapHH.

CIDNHOCTH.

npBH (T.:11 t.IlJl'IH()( r

,LJ1•i.a' HeKa cy

ABC

11 A'B'C'TpoyrnoBH TaKBH gaje

A 'B': AB =A

'C':

AC=

k

11

.:rCAB

=

.:rC'A

'B'.

HeKa je

1tA/B) =B

₁

H1tA/C)

= C₁• TaAa je

AB

₁

=kAB

H AC₁

=kAC

,

na je

AB, =A

'B' H

AC₁

=A

'C'.

~

~

A

'

B~1i

u

~

B

'

1t

A..

l---

·

--~-

c

'

B

I

c

I

IlpeMa cTaBy nogygapHOCTH

CYC,

3aKJbyqyjeMo ga je

MB

₁C₁

=M

'

B

'

C',

IIITO 3Ha'IJ1 )la

nocrnjH H30MeTp11ja

I

TaKBa ga je I(MB₁C₁) =M

'B'C'.

D

A

.IlBa -rpoyrna cy CJIH'IHa axo cy ,!:{Ba yrna jewmr Tpoyrna nop;yp;apHa op;roBapajyhuM yrnoBKMa APyror Tpoyrna •

... .., . .. J HeKa

cy

ABC

H

A

'

B

'C

TPoyrnoBH TaKBH p;a je 4:

CAB

=

4:

CA 'B'

H

4:ABC

=

4:A

'

B

'C'.

ITpeMa TeopeMH o 38upy yrnoBa y Tpoyrny, 3aKJbyqyjeMo p;a je H

<ti3CA

=:

4:B

'CA'.

B

'

kAB

c

A'

HeKa

jeA'B':

AB =k, HA/B) =B

₁ H

HA}C)

=C

₁• Tap;aje

AB

₁

=:A

'

B

',

4:ABC=:4:AB

₁

C

₁

=:4:A'B'CH4:C

₁

AB

₁ =:4:C'.A'B'naje,

npeMa CTaBY nop;y,u;apHocrn YCY,

MB

₁

C

₁

=:M'B'C'.

Kao Hy p;oKa3y rrpeTXop;He TeopeMe, cnwrnocT

P=I

o

HA

,k

npecJIHKaBa

MBC

y

M

'B'C,

na cy OBH TpoyrnoBH cnHqHH._ •

,UBa 'Ipoyrna cy CJIHqtta aKo cy cBaxe p;Be CTpamn.\e jep;Hor Tpoyrna uponopqHoHanHe op;roBapajyheM napy cTpaHHl.\a p;pyror Tpoyrna.

A'

;Jo rn HeKa cy

ABC

HA

'B'C

TpoyrnoBH TaKBH p;a je

A'B':

AB=B'C

':

BC=C

A':

CA =k.

HeKa je

1{A,k(B) =Bl

H

1{A,k(C)

=Cl.

Tap;a H3 TeopeMe Kojy CMO

p;oKa3aJIH Ha CTpattH 327 cnep;H p;a je

B

₁

C

₁

=kBC.

IIpeMa CTaBY nop;y,u;apHoCTH CCC, 3aKJbyqyjeMo p;a je

ME

I

cl=

M

'

B'C,

rra IlOCTOjH H30MeTpHja

I

TaKBa p;a je

I(MB

₁

C) =M'B'C.

Kao

y

iWKa3KM:a npeTXop;HKX CTaBOBa, rromTo CJIH'IHOCT

P=I

o

HA

.k

rrpecnHKaBa

MBC

y M'B'C,

3aKlb)rcryjeMo p;a cy OBH TpoyrnoBH CJIJiqHJI. •

,UBa 'IpOyrna cy cJIH'llia axo cy p;Be CTpaHHJ.\e jep;Hor Tpoyrna rrponopQHOHanHe

ABeMa C'IpaHHl.\aMa p;pyror Tpoyrna H aKo cy yrnoBH HacnpaM p;Be op; OBHX

op;roBapajyhmc CTPaHKl.\a nop;y,u;apHH, a yrnoBH HacnpaM p;pyre p;Be op;roBapajyhe

,

CTpaHHJ.\e cy HJIH o8a omTpa, npaBa HJIH Tyna.

3

He Ka

CTaBOBH CJIH'IHOCTH TpoyrrroBa

.Il:Ba Tpoyrna cy cm1qtta aKo cy p;Be CTpamm;e jep;ttor Tpoyrna nporropqHOHaJIHe op;roBapajyhHM cTpam1I.{aMa p;pyror Tpoyrna H yrnoBH 3a.XBaheHH nL"1 cTpamll\<llta

cy nop;y.n;apHH.

AB :AC=A'B':A'C'}

~MBC-

M'B'C

'

<rCAB

=

<rC'A

'B'

.IJ:Ba Tpoyrna cy CJIJ1qHa aKo cy p;Ba yrna jep;Hor Tpoyrna nop;y.n;aptta op;roBapajyhH."1

yrnoBHMa p;pyror Tpoyrna.

<rCAB=.:rC'A'B'}

~MBC-M

'B'C'

<rABC

=

<rA

'B'C'

.IJ:Ba Tpoyrna cy CJIJ1qHa aKo cy cBaKe p;Be cTpaHHI.{e jep;nor Tpoyrna

rrponopI.{HOHaJIHe op;roBapajyheM napy cTpamrn;a p;pyror rpoyrna.

AB: BC: CA =A'B': B'C':

C'A'~MBC-

M'B

'

C'

3a;11;aTaK

_c

HeKa cy a, ~ H

y

Mepe yrnoBa Tpoyrna qHje cy cTpaHHI.{e

6,

3

H

5

(cJIHKa p;eetto).

~

A

6

B

.IJ:oKa)l<H p;a je CBaKH op; TpoyrnoBa npHKa3amuc Ha CJIHI.l;H MCIIO)l; CJIWlaH p;aTOM

Tpoyrny, a 3aTHM op;pep;H HeII03HaTe )J;y)l(HHe CTpaHHI.{a, Kao J1 HeII03HaTe yrnoBe (Tj. p;a

JIH cy jep;HaKH a,~ HJIH

y).

~

4

~

1

.

.

1

2--::=

2

.

6

10

~

y

?

9

6

6

A

A

kAB(/

>----

·

---4>

C

B' C Q

;\,

: ,\

c

·

.

\

f

\"

?, I ' I II.

~

•

! \,,

.,.

....

_._,

e

:

\.

A

Bi

_.

.

\

_.

'

.

\

A

•

__

_ .

A' B'

..

B _A

~c

_' B

'

'---v---'

C'

k.BC