Text ABSTRAK pdf

(1)

TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG b-METRIK

(Skripsi)

Oleh Zulfi Aprindo

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(2)

TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG b-METRIK

Oleh

ZULFI APRINDO

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(3)

(4)

(5)

ABSTRAK

Ruang b-metrik merupakan ruang yang dikembangkan dari ruang metrik biasa dan menarik untuk dibahas, khususnya teorema titik tetap pada ruang b-metrik. Ada beberapa metode dalam menentukan ketunggalan teorema titik tetap pada ruang b-metrik. Penelitian ini membahas tentang kelengkapan dan ketunggalan titik tetap pada ruang b-metrik dengan metode iterasi titik tetap(fixed point). Dalam penelitian ini akan ditunjukkan bahwa terdapat pemetaan kontraktif yang berbeda pada ruang b-metrik

Pemetaan akan mempunyai titik tetap tunggal apabila syarat berikut terpenuhi, misal ( , ) ruang b-metrik lengkap. T merupakan pemetaan : → , sedemikian rupa sehingga

( , ) ≤ max{ ( , ), ( , ), ( , )} + { ( , ) + ( , )}

Dengan , ≥ 0sehingga + 2 ≤ 1 ∀ , ∈ dan ≥ 1maka T mempunyai titik tetap yang tunggal.

(6)

ABSTRACT

B-metric space is a space developed from ordinary and interesting metric spaces to be discused, specifically the fixed point theorem in b-metric space. There are several methods of determining the singularity of fixed point theorems in b-metric spaces. This paper discusses the completeness and uniqueness of fixed point in b-metric spaces with fixed point iteration methods. In this paper it will be shown that there are different contractive mapping in b-metric space.

T mapping will have a unique fixed point if the following conditions are met, let ( , )a complete b-metic space. Let T be a mapping : → such that

( , ) ≤ max{ ( , ), ( , ), ( , )} + { ( , ) + ( , )}

Where , ≥ 0such that + 2 ≤ 1 ∀ , ∈ and ≥ 1 then T has a unique fixed point.

(7)

(8)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Desa Gisting, 19 April 1996, sebagai putra pertama dari dua

bersaudara dari Bapak Suroso dan Ibu Nani Suwarni.

Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SDN 6 Gisting Atas pada tahun

2008, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Muhammadiyah Gisting pada tahun 2011, Sekolah Menengah Atas (SMA) Muhammadiyah Gisting pada tahun 2014.

Tahun 2014 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, FMIPA UNILA melalui jalur SBMPTN. Selama menjadi mahasiswa penulis menjadi bagian dari keluarga dan anggota aktif Himpunan

Mahasiswa Matematika (HIMATIKA). Pada tahun 2017 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Perusahaan Daerah Air Minum Kota Bandar Lampung. Penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Tegal binangun,

(9)

KATA INSPIRASI

Belajar hiduplah seperti pion dalam permainan catur, yang pantang mundur apapun yang akan dia hadapi didepan.

(Anonim)

Belajarlah dari bola yang ditaruh pada grafik , selama bola itu diberi usaha maka bola itu tidak akan berada pada titik 0(nol) dan

hasilnya pun akan selalu positif walaupun bola tersebut tidak selalu berada di atas.

(Zulfi Aprindo)

Yaa muqollibal quluub, tsabbit qolbi ‘alaa diinik

“Wahai Dzat yang Maha membolak-balikkan hati, teguhkan hatiku di atas agama-Mu”

(10)

PERSEMBAHAN

Dengan Mengucap puji dan syukur kehadirat Allah SWT

Kupersembahkan karya kecilku ini untuk :

Ibu dan ayahku tercinta yang selalu mendukung dan menyemangatiku,

adikku terkasih yang menjadi sosok inspirasiku dalam bertingkah laku.

Keluarga Besarku tercinta yang selalu memberikan

semangat untuk menyelesaikan skripsi ini

Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa,

(11)

SANWACANA

Alhamdulillah dengan rasa syukur kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan karunia-Nya skripsi ini dapat diselesaikan.

Skripsi dengan judul “Teorema Titik Tetap Pada Ruang b-Metrik”disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.S.i.) di

Universitas Lampung.

Selesainya penulisan skripsi ini, adalah juga berkat motivasi dan pengarahan serta bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati

penulis ingin menyampaikan terima kasih banyak kepada:

1. Bapak Amanto, S.Si., M.Si. selaku pembimbing I, atas segala bantuan dan waktunya untuk membimbing serta memberi arahan dalam penyelesaian

skripsi ini.

2. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing II, atas

bimbingan, kritik dan saran selama penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Agus Sutrisno, S. Si., M. Si. selaku Dosen Penguji, atas saran dan kritik yang membangun dalam proses penyelesaian skripsi ini.

4. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si selaku pembimbing akademik, atas segala bantuan dan waktunya untuk membimbing serta memberi arahan

(12)

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, MA., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 6. Mamak dan Bapak tercinta yang telah membesarkan penulis dan selalu

mendoakan, memberikan perhatian dan tak pernah lelah memberikan semangat untuk bisa menyelesaikan skripsi ini.

7. Mbahku tersayang, bulekku tercinta serat adikku yang menjadi inspirasi untuk bisa mengejar skripsi ini.

8. Sahabat seperjuangan Rio Rinaldo, Julian, Ayub, Fadjar, Bang Apredi, Bang

young, Bang Wahid, Bang Musa, yang selalu berbagi suka dan duka selama bimbingan dalam menyelesaikan skripsi ini.

9. Sahabat-sahabat FIM Yudandi, Kiki, Fadjar, Arif, Syafa, Ecy, Wika,

Magdalena, Yola, Ananda, Caroline, Fransiska, Margaretha, Putri, Dea, yang selalu membantu penulis selama menjadi mahasiswa di Universitas Lampung

10. Abror dan Arisca yang selalu menyempatkan waktunya untuk mengajarkan beberapa materi yang telah didapat di kampus.

11. Anggota keluarga Sagoler Caka, Gani, Andri, Aji, Melfan, Akbar, Galih,

Angga yang selalu berbagi suka dan duka selama tinggal di Bandar Lampung.

Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan,

akan tetapi besar harapan semoga skripsi yang sederhana ini dapat berguna dan bermanfaat bagi kita semua.

Bandar Lampung, November 2018

Penulis

(13)

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penelitian ... 4

1.3 Manfaat Penelitian ... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik ... 5

2.2 Ruang Metrik-2…... 10

2.3 Ruang Metrik-D ... 11

2.4 Ruang Metrik-G ... 13

2.5 Ruang b-Metrik ... 16

2.6 Teorema Titik Tetap... 18

BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 21

(14)

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Teorema Titik Tetap Pada Ruang Metrik Lengkap ... 22

4.2 Teorema Titik Tetap Pada Ruang b-Metrik………30.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan ... 39

5.2 Saran ... 40

(15)

DAFTAR TABEL

(16)

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Seiring dengan perkembangan teknologi dalam era globlalisasi saat ini, konsep-konsep matematika juga mengalami perkembangan. teori titik tetap

merupakan salah satu objek penelitian dalam matematika analisis yang terus mengalami perkembangan dan berperan penting baik di bidang matematika itu sendiri maupun dalam bidang-bidang lain, seperti bidang ekonomi dan

kesehatan. Salah satu kegunaan teori titik tetap dalam bidang matematika adalah untuk menyelesaikan persamaan linear dan persamaan integral.

Penelitian mengenai teori titik tetap berawal dari munculnya Prinsip

Kontraksi Banach (Banach Contraction Principle) pada tahun 1922, yang menjamin eksistensi dan ketunggalan titip tetap untuk pemetaan kontraksi

(Contraction) yang terdefinisi pada ruang metrik lengkap. Selanjutnya, para ahli mengembangkan penelitian tentang teori titik tetap pada umumnya terfokus pada dua hal, yaitu jenis fungsinya dan ruang yang merupakan

domain dari fungsi tersebut.

Ruang merupakan salah satu konsep penting yang dipelajari dalam ilmu matematika, khususnya dalam bidang analisis. Dikenal berbagai macam

(17)

2

himpunan tak kosong X, yang dilengkapi dengan fungsi yang memetakkan setiap anggota × ke suatu bilangan real tak negatif dan memenuhi

aksioma-aksioma tertentu. Fungsi inilah yang kemudian dinamakan metrik pada X .

Banyak ahli yang mencoba untuk mengembangkan konsep ruang metrik. Misalnya saja, Gahler yang pada tahun 1963 mengenalkan tentang ruang metrik-2, Gahler mengklaim bahwa ruang metrik-2 merupakan perumuman

dari ruang metrik biasa. Akan tetapi tahun 1984, Dhage dalam tesisnya mengidentifikasi kelemahan teori Gahler tentang ruang metrik-2. Sebagai

solusi masalah tersebut, Dhage kemudian mengenalkan konsep ruang metrik-D .

Tahun 2003, Mustafa dan Sims dalam jurnalnya yang berjudul“Someresult concerning D-metric spaces”menjelaskan kelemahan ruang metrik-D . Selanjutnya tahun 2006, Mustafa dan Sims mempublikasikan jurnalnya yang berjudul“A New Approach to Generalized Metric Spaces”tentang

ruang metrik-G yang merupakan generalisasi dari ruang metrik dan mengenalkan teorema titik tetap pada pemetaan kontraksi dalam ruang metrik-G.

Penelitian selanjutnya dilakukan oleh Sedghi, dkk tahun 2007 tentang ruang metrik-D*, yang merupakan hasil modifikasi dari definisi ruang metrik-D. Lebih lanjut, pada tahun 2012 Sedghi, dkk menemukan kelemahan dari

(18)

3

yang berjudul“A Generalization of Fixed Point Theorems in S-Metric Spaces”. Jurnal tersebut juga menjelaskan mengenai teorema titik tetap

untuk pemetaan terhadap dirinya sendiri (self-mapping) pada ruang metrik-S

lengkap.

Selanjutnya, pada tahun 2014 Sedghi, dkk mengembangkan penelitiannya tentang teorema titik tetap yaitu tentang ketunggalan dan sifat kekontinuan

di titik tetap pada ruang metrik-S lengkap. Hasilnya, banyak didapatkan kesamaan mengenai teorema titik tetap dari ruang metrik untuk ruang metrik-S. Pada tahun 2016 K. Prudhvi dalam jurnalnya yang berjudul

“Some Fixed Point Result in S-Metric Spaces”membuktikan beberapa teorema titik tetap pada ruang metrik-S lengkap yang merupakan

pengembangan dari jurnal sebelumnya.

Berdasarkan perkembangan penelitian ruang metrik dan teori titik tetap, menarik untuk dipelajari lebih lanjut tentang ruang b-metrik yang dijelaskan olek Swati Agrawal, dkk pada tahun 2016 dalam jurnalnya

tentang“A Fixed Point Theorem For b-Metric Space”.Dalam jurnalnya tersebut Swati, dkk menjelaskan tentang teorema titik tetap yang

pertama kali dipresentasikan oleh Czerwik dalam materinya yang berjudul“A Generalization of Banach Fixed Point Theorem in b-Metric Space”yang merupakan hasil dari pengembangan konsep ruang

b-metrik yang pertama kali dikenalkan oleh Backhtin pada tahun 1989. Penelitian ini merupakan penjabaran dari jurnal yang ditulis oleh Swati

(19)

4

teorema titik tetap pada ruang b-metrik dan sifat apa saja yang mendukung pembuktian tersebut.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji dan menjelaskan langkah-langkah pembuktian teorema titik tetap di ruang b-metrik dan sifat-sifat

yang mendukung pembuktian tersebut.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah:

1. Menambah pengetahuan dan pengalaman penulis agar dapat mengembangkan ilmu yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

2. Menambah wawasan tentang materi Analisis Fungsional, khususnya ruang b-metrik.

3. Mempelajari lebih dalam lagi tentang teorema titik tetap di ruang

b-metrik beserta langkah-langkah pembuktiannya.

4. Memberikan pengetahuan pembaca tentang teorema titik tetap di ruang

(20)

6

II. TINJAUAN PUSTAKA

Dalam bab ini disajikan definisi-definisi tentang Ruang Metrik, Ruang b-Metrik, serta definisi Titik Tetap yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.

2.1. Ruang Metrik

Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental

dalam analisis fungsional, sebab memegang peranan yang sama dengan jarak pada real line R.

Definisi 2.1.1 (Kreyszig, 1989).

Misal X adalah himpunan tak kosong, suatu metrik di X adalah suatu fungsi : × → [0, ∞), sehingga untuk setiap pasangan( , ) ∈ × berlaku:

1. ( , ) ≥ 0untuk setiap , ∈

2. ( , ) = 0jika dan hanya jika =

3. ( , ) = ( , )untuk setiap , ∈ (sifat simetri)

4. ( , ) ≤ ( , ) + ( , )untuk setiap , , ∈ (ketidaksamaan

(21)

6

Selanjutnya pasangan (X,d), dengan d adalah metrik pada X disebut ruang

metrik. Setiap anggota X disebut titik dan nilai ( , )disebut jarak

(distance) dari titik x ketitik y atau jarak antara titik x dan y.

Contoh:

Diberikan himpunan ≠ ∅dan didefinisikan fungsi: : × →

Dengan ( , ) = 1, ≠ 0, =

Maka d adalah metrik pada X. Fungsi jarak d biasanya disebut

metrik trivial pada X atau metrik diskrit pada X.

Bukti:

(i) ( , ) = 1 ≥ 0,jika ≠ dan ( , ) = 0jika dan hanya jika =

(ii) ( , ) = 0, = , = 1, ≠ , ≠

( , ) = ( , )

(iii) ( , ) + ( , ) = 0 + 0 = 0 1 + 1 = 2

( , ) + ( , ) ≥ ( , ) = 0, =_{1, ≠}

Jadi ( , ) ≤ ( , ) + ( , ), < <

(iv) ( , ) = 0, = 1, ≠

( , ) = 1 > 0jika ≠

(22)

7

Suatu barisan ( )dalam ruang metrik( , )dikatakan barisan Cauchy

jika untuk setiap bilangan > 0terdapat bilangan asli = ( )sehingga ( , ) < untuk setiap , > . Ruang X dikatakan lengkap jika

setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen.

Definisi 2.1.3 (Maddox, 1970).

Suatu ruang metrik( , )dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap

barisan Cauchy di dalamnya konvergen. Dengan kata lain jika ( , ) → 0( , → ∞)maka terdapat ∈ sehingga ( , ) → 0( → ∞).

Definisi 2.1.4 (Suwarno, 2011).

Diberikan( , )adalah ruang metrik. Pemetaan : → disebut

kontraktif pada( , )jika terdapat bilangan0 < < 1untuk setiap , ∈ yang memenuhi

( , ) ≤ ( , )

Misalkan( , )dan( , )masing-masing adalah ruang metrik, dan suatu

titik limit dari( , ). Perhatikan fungsi : → . ( )dikatakan

konvergen ke untuk menuju , jika untuk setiap > 0terdapat > 0 sehingga

0 < ( , ) < berimplikasi ( ( ), ) <

(23)

8

Dan disebut limit dari ( )untuk menuju .

Definisi 2.1.6 (Berberian, 1996).

Misal( , )adalah suatu ruang metrik. Suatu barisan( ) ∈ dikatakan

konvergen jika terdapat suatu titik ∈ sehingga ( , ) → 0untuk → ∞(yaitu untuk setiap > 0, ( , ) < ). Titik X adalah unik,

sebab jika ( , ) → 0maka0 ≤ ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) → 0

menunjukkan bahwa = . Dapat dikatakan konvergen ke limit x

(dalam X), sehingga dapat ditulis = lim _→ .

Contoh:

( , ) = | − |

Misalkan ( , )memiliki limit yaitu _→ | − | = maka|( − ) − | < . Diambil > , berarti y adalah limit dari ( , ) = | − |,

dengan _→ = . Terlihat| − | < , > . Jadi, terbukti ( , )

konvergen.

Definisi 2.1.7 (Maddox, 1970).

Barisan( )dalam( , )dikatakan konvergen (ke x) jika dan hanya

jika terdapat ∈ sehingga ( , ) → 0( → ∞). Dapat ditulis = lim atau → dan x disebut limit dari barisan( ).

(24)

9

⊂ terbuka jika dan hanya jika untuk setiap ∈ terdapat

bilangan real > sehingga berlaku ( , ) ⊂ .

b. Misalkan( , )ruang metrik. Himpunan ⊂ dikatakan tertutup

jika terbuka.

Contoh:

= [ , ∞)himpunan tertutup, sebab = [ , ∞) = (−∞, )

terbuka.

Teorema 2.1.1 (Kreyszig, 1989).

Jika = ( , )adalah ruang metrik, maka:

a. Suatu barisan konvergen di X adalah terbatas dan limitnya adalah unik.

b. Jika → dan → di X, maka ( , ) → ( , ).

Teorema 2.1.2 (Kreyszig, 1989).

Setiap barisan konvergen di dalam ruang metrik merupakan barisan

Cauchy.

Bukti:

Jika → maka untuk setiap > 0terdapat = ( )sehingga

( , ) < 2untuk setiap > . Berdasarkan pertidaksamaan segitiga untuk , > ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) < 2 + 2 = . Hal ini

(25)

10

Teorema 2.1.3 (Berberian, 1996). Setiap barisan Cauchy adalah terbatas.

Bukti:

Jika{ }barisan Cauchy maka untuk = 1ada bilangan asli N sehingga | − | < 1dimana , > . Perhatikan bahwa untuk > maka

| | = | − + | ≤ | − | + | | < 1 + | |untuk setiap > . Jika

= (| |, | |, … , | |, 1 + | |)jelas| | ≤ untuk setiap

bilangan asli N sehingga{ }barisan terbatas.

2.2. Ruang Metrik-2

Definisi 2.2.1 (Z. Mustafa and B. Sims, 2006)

Misal adalah sebuah himpunan tak kosong, pemetaan ∗: × × →

yang bersifat bahwa untuk semua , , , ∈ berlaku:

a. Untuk , , dengan ≠ , terdapat ∈ , sedemikian sehingga ∗_{( , , ) ≠ 0}_.

b. ∗( , , ) = 0jika = atau = atau = .

c. ∗( , , )= ∗( , , ) = ∗( , , ) = ∗( , , ) = ∗( , , ) = ∗_{( , , )}

d. ∗( , , ) ≤ ∗( , , ) + ∗( , , ) + ∗( , , )

Maka pemetaan ∗ disebut Metrik-2 pada , dan pasangan( , ∗)disebut

Ruang Metrik-2.

Contoh:

(26)

11

Bila ∈ , ∈ dan ∈ maka akan terbentuk segitiga , dan( , ∗)

adalahh sebuah ruang Metrik-2. Bukti:

Untuk menunjukkan bahwa pemetaan ∗ adalah sebuah Metrik-2 maka

harus memenuhi 4 sifat berikut

a. Untuk ∈ , ∈ dengan ≠ , maka pasti terdapat ∈ ,

sedemikian sehingga ∗( , , ) ≠ 0.

b. Jika = atau = atau = maka ∗( , , ) = 0

c. ∗( , , ) = ∗( , , ) = ∗( , , ) = ∗( , , ) = ∗( , , ) = ∗_{( , , )}

d. ∗( , , ) ≤ ∗( , , ) + ∗( , , ) + ∗( , , )untuk sembarang ∈

Karena keempat sifat tersebut terpenuhi maka pemetaan ∗merupakan

sebuah Metrik-2 dan( , ∗)adalah sebuah Ruang Metrik-2.

2.3. Ruang Metrik-D

Bila adalah sebuah himpunan tak kosong, pemetaan : × × →

yang bersifat bahwa untuk semua , , , ∈ berlaku:

a. ( , , ) = 0jika dan hanya jika = =

b. ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , )

c. ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , )

(27)

12

Maka pemetaan disebut Metrik-D pada , dan pasangan( , )disebut

Ruang Metrik-D.

Contoh:

Misal( , )adalah sebuah Ruang Metrik dan : × × → dengan ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )}untuk ∈ , ∈ , ∈ .

Maka dapat dibuktikan bahwa( , )adalah Ruang Metrik-D.

Bukti:

Untuk menunjukkan bahwa adalah sebuah Metrik-D, maka harus memnuhi 4 sifat berikut

a. ( , , ) = 0

( , ) = ( , ) = ( , ) = 0

= =

b. ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )}

( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )}

Maka berdasarkan sifat uraian diatas maka jelas ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , )

c. ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )}

(28)

13

( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )}

Kemungkinan nilai ( , , )adalah

(i) ( , , ) = ( , )

(ii) ( , , ) = ( , )

(iii) ( , , ) = ( , ) Untuk (i) berdasarkan sifat

( , ) ≤ 2 ( , ) = ( , ) + ( ( , ) + ( , ))

≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , )

Dengan cara serupa dapat juga dibuktikan untuk (ii) dan (iii).

Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ).

Maka sifat ketiga terbukti.

d. ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , )

( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , )

Maka diperoleh

( , ) ≤ ( , ) + ( , )

Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Maka sifat keempat terbukti

Karena keempat sifat diatas terpenuhi, maka merupakan Metrik-D, dan ( , )adalah sebuah Ruang Metrik-D.

2.4. Ruang Metrik-G

(29)

14

syarat berikut, untuk semua , , , ∈ :

a. ( , , ) = 0jika = =

b. ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , )

c. ( , , ) > 0untuk ≠

d. ( , , ) ≤ ( , , )untuk ≠

e. ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )untuk semua , , , ∈

Maka pemetaan disebut Metrik-G pada , dan pasangan( , )disebut

Ruang Metrik-G.

Contoh:

Misalkan( , )adalah sebuah Ruang Metrik, dan : × × →

dengan ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ), untuk , , ∈ , maka

dapat dibuktikan bahwa( , )adalah sebuah Ruang Metrik-G

Bukti:

Untuk menunjukkan( , )adalah sebuah Ruang Metrik-G, maka akan

ditunjukkan bahwa : × × → memenuhi lima sifat berikut

a. Akan ditunjukkan bahwa ( , , ) = 0jika = =

Jika = = maka ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) = 0

Maka ( , , ) = 0jika = = Maka sifat 1 terpenuhi.

b. Akan ditunjukkan bahwa sifat simetri berlaku pada( , ) ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , )

(30)

15

( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , )

Berdasarkan sifat ( , ) = ( , ), ( , ) = ( , )dan ( , ) = ( , )

Maka diperoleh ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , )

Jadi sifat simetri berlaku pada( , ). Jadi sifat terpenuhi.

c. Akan ditunjukkan ( , , ) > 0untuk ≠

( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) = 2 ( , )

Maka didapat ( , , ) > 0, bila ≠ Jadi sifat ketiga terpenuhi.

d. Akan ditunjukkan ( , , ) ≤ ( , , )untuk ≠

Diperoleh ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) = 2 ( , ) = ( , ) + ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) + ( , ) = ( , , ).

Maka ( , , ) ≤ ( , , )untuk ≠ .

Jadi sifat keempat terpenuhi

e. Akan ditunjukkan bahwa sifat ketaksamaan segiempat berlaku pada ( , )

( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , )

( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) = 2 ( , )

(31)

16

Didapat ( , ) ≤ ( , ) + ( , )dan ( , ) ≤ ( , ) + ( , )

Maka ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) + ( , ) + ( , ) + ( ( , ) + ( , ) = 2 ( , ) + ( , ) +

( , ) + ( , )

≤ ( , , ) + ( , , )

Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Maka sifat ketaksamaan segiempat berlaku pada( , ) Maka sifat kelima terenuhi.

Karena kelima sifat diatas terpenuhi, maka : × × → adalah

sebuah Metrik-G dan( , )merupaka Ruang Metrik-G.

2.5. Ruang b-Metrik

Definisi 2.2.1 (Agrawal dkk., 2016).

Misalkan X adalah himpunan tak kosong dans ≥ 1bilangan real

tertentu. Fungsid: X × X → disebut b-metrik jika memenuhi sifat

berikut untuk setiapx, y, z ∈ X.

1. d ( x, y ) = 0jika dan hanya jikax = y;

2. d x, y = d y, x ;(sifat simetri)

3. d ( x, z ) ≤ s [ d ( x, y ) + d ( y, z )]; (sifat ketidaksamaan segitiga)

Pasangan( X, d )disebut ruang metrik. Jelas bahwa definisi ruang

b-metrik adalah perpanjangan ruang b-metrik yang biasa. Contoh:

(32)

17

Dimana ( ) = {( ) ⊂ |∑ | | < ∞}, bersama dengan fungsinya : ( ) ( ) → ,

( , ) = | − | /

Dimana = , = ∈ ( )adalah ruang b-metrik. Dengan

perhitungan dasar kita dapatkan bahwa ( , ) ≤ 2 / [ ( , ) + ( , )] (Boriceanu, 2009).

Contoh:

Misalkan = {0, 1, 2}dan (2, 0) = (0, 2) = ≥ 2, (0, 1) = (1, 2) = (1, 2) = (1, 0) = (2, 1) = 1

dan (0, 0) = (1,1) = (2,2) = 0

kemudian ( , ) ≤ [ ( , ) + ( , )]untuk semua , , ∈ .

Jika > 2maka ketidaksamaan segitiga tidak berlaku (Boriceanu, 2009).

Contoh:

Diberikan ruang [0,1](dimana0 < < 1) dari semua fungsi nyata

( ), ∈ [0,1]seperti yang∫ | ( )| < ∞, adalah ruang b-metrik jika

kita ambil ( , ) = ∫ | ( ) − ( )| / , untuk setiap , ∈ [0,1]

(Boriceanu, 2009).

Definisi 2.2.2 (Boriceanu, 2009).

Misal( , )ruang b-metrik. Lalu barisan{ }di X disebut barisan Cauchy

jika dan hanya jika untuk semua > 0terdapat ( ) ∈ seperti itu untuk

(33)

18

Definisi 2.2.3 (Boriceanu, 2009).

Misal( , )ruang b-metrik kemudian barisan{ }di X disebut barisan

konvergen jika dan hanya jika ada ∈ seperti itu untuk semua ada ( ) ∈ seperti itu untuk semua ≥ ( )kita punya ( , ) < . Pada

kasus ini dapat ditulislim _→ = .

Definisi 2.2.4 (Agrawal dkk., 2016).

Ruang b-metrik dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchynya konvergen.

2.6. Teorema Titik Tetap

Metode iterasi titik tetap disebut juga metode iterasi sederhana, atau metode

substitusi beruntun. Metode iterasi titik tetap adalah metode yg memisahkan

dengan sebagian yang lain sehingga diperoleh = ( ).

Teorema 2.3.1 (Salusu, 2008).

Kesederhanaan metode ini karena pembentukan prosedur iterasinya yang

mudah dibentuk sebagai berikut.

1. Ubah persamaan ( ) = 0menjadi bentuk = ( ),

2. bentuk menjadi prosedur iterasi = ( ),

3. terka sebuah nilai awal ,

4. hitung nilai , , , …, yang konvergen ke suatu titik s,sedemikian

(34)

19

( ) = 0dan = ( ).

Kondisi iterasi berhenti apabila | − | <

atau bila menggunakan galat relatif hampiran, kriteria berhentinya iterasi

dinyatakan

| − |

<

dengan dan telah ditetapkan sebelumnya.

Contoh :

Cari akar positif dari persamaan + 2 − 1 = 0

Penyelesaian:

[image:34.595.147.516.343.739.2]

Persamaan diubah menjadi = , ambil perkiraan akar 0,2

Tabel 2.6.1. Hasil iterasi = dengan = 0,2

n p

0 = 0,2

1

=1 − 2(0,2 )₂ = 0,48

2

= 1 − 2(0,48 )₂ = 0,348

3

=1 − 2(0,348 )₂ = 0,42596

4

(35)

20

.

15

=1 − 2(0,414213 )₂ = 0,414213

Teorema 2.3.2 (Salusu, 2008).

Diketahui kontinu pada[ , ]dan paling sedikit memiliki satu akar pada

[ , ]jika|g′(x)| ≤ < 1, ∀ ∈ [ , ]maka iterasi = ( )

dengan ∈ [ , ]menghasilkan barisan{ }konvergen yaitu:

lim_→ = ↔ { } → 0

Contoh:

= = ( )

′( ) = 3 2_{, dimana}₃ _{≥ 0}_{, maka menurut Teorema diatas}

( )divergen.

Jadi dalam teorema titik tetap, ( )harus konvergen. Jika divergen, maka

(36)

III. METODE PENELITIAN

3.1. Waktu dan Tempat

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester genap tahun ajaran 2017/2018.

3.2. Metode Penelitian

Langkah-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan tugas akhir ini adalah:

1. Mengumpulkan dan mempelajari materi tentang Teorema Titik Tetap Pada Ruang b-metrik

(37)

40

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, dapat ditunjukkan pemetaan pada ruang b-metrik memiliki titik tetap yang tunggal dengan menggunakan metode iterasi fixed point(titik tetap). Syarat cukup agar diperoleh titik tetap untuk

pemetaan kontraktif tersebut adalah:

1. Dimisalkan( , )merupakan ruang metrik lengkap dan merupakan

pemetaan dari ke . Jika untuk setiap > 0terdapat > 0sedemikian

sehingga

≤ ( , ) < + ( ) ⟹ ( , ) <

Maka memiliki titik tetap yang tunggal.

2. Misal( , )ruang b-metrik lengkap. T merupakan pemetaan : → ,

sedemikian rupa sehingga

( , ) ≤ max{ ( , ), ( , ), ( , )} + { ( , ) + ( , )}

Dimana , ≥ 0sehingga + 2 ≤ 1 ∀ , ∈ dan ≥ 1maka T

(38)

40

5.2 Saran

Pada penelitian ini hanya membahas Teorema titik tetap pada ruang b-metrik dengan metode iterasi fixed point. Disarankan pada penelitian selanjutnya akan membahas Teorema titik tetap pada ruang b-metrik dengan metode iterasi yang

(39)

41

DAFTAR PUSTAKA

Agrawal, Swati., K. Qureshi dan Jyoti Nema. 2016. A Fixed Point Theorem For b-Metric Space. International Journal of Pure and Applied Mathematical Sciences. Vol. 9 number 1.

Bakhtin, I. A. 1989. The Contraction Mapping Principle in Almost Metric Spaces. Funct. Anal. Unianowsk, Gos. Ped. Inst.

Boriceanu, M. 2009. Fixed point theory for multivalued generalized contraction on a set with two b-metric. Babes-Bolyai University. Romania. Vol. LIV number 3.

Kreyszig, Erwin. 1989. Introductory Functional Analysis With Applications. John Wiley & Sons. University Of Virginia.

Maddox, I. J. 1970. Element Of Functional Analysis. Cambridge University Press.

Prudhvi, K. 2016. Some Fixed Point Result in S–Metric Spaces. Journal of Mathematical Sciences and Applications.

S. Sedghi., N. V. Dung. 2014. Fixed Point Theorems on S–Metric Spaces. Mat. Vesnik. Vol. 66 number 1.

S. Sedghi., N. Shobe., A. Aliouche. 2012. A Generalization of Fixed Point Theorem in S–Metric Spaces. Mat. Vesnik. Vol. 64.

(40)

42

Salusu, A. 2008. Metode Numerik. Yogyakarta.

Sterling Khazag Berberian. 1996. Introduction to Hilbert Space. Oxford University Press. New York.

Suwarno. 2011. Teorema Titik Tetap Bersama Dari Pemetaan-Pemetaan Pada Ruang Seragam. Tesis. Universitas Gajah Mada. Yogyakarta.