• No results found

Langlands reciprocity principle

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Langlands reciprocity principle"

Copied!
16
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

itüdergisi/c

fen bilimleri Cilt:5, Sayı:1, 3-18 Kasım 2007

*Yazışmaların yapılacağı yazar: Kazım İlhan İKEDA. ilhan@bilgi.edu.tr; Tel: (212) 311 54 17.

Bu derleme çalışması, ikinci yazar (K.İ.İ) tarafından Antalya Cebir Günleri (2004) ve YTÜ Matematik Bölümü

Seminer-leri (2005) çerçevesinde sunulmuş olan seminerSeminer-lerin birinci yazar (S.B) yardımı ile hazırlanmasından oluşmuştur.

Ma-Özet

Bir K global cisminin abelyen genişlemeleri ve bu genişlemelerin aritmetik yapıları tamamen ta-ban cisim K ve buna bağlı değişmezler yardımıyla Artin karşılıklılık yasası ile betimlenmektedir.

K global cisminin abelyen olmayan Galois genişlemelerini de içerecek şekilde genel bir kuram hi-potetik olarak inşa edilecek olursa Langlands’ın karşılıklılık ilkesine, daha genel olarak da Langlands’ın fonktörsellik ilkesine varılır. Bu derleme çalışmasında sayı cisimleri için Langlands’ın karşılıklılık ilkesinin ne olduğunu kısaca özetlemeye çalışacağız. İlk olarak, K sayı cismi için, ve bu cismin henselsel ν yerlerindeki kapanışlarından elde edilen Kν lokal cisimleri için, sınıf cisim kuramlarının ne olduğunu, ve bu kuramların temelini oluşturan Θ global ve K

θ

ν

lokal Artin karşılıklılık yasalarını, kısaca özetleyeceğiz. Çalışmanın geri kalan kısmında, K sayı cismi için tanımlı olan Artin karşılıklılık yasasının analitik formülasyonunu kullanarak, global sınıf cisim kuramının G mutlak Galois gurubunun K 1-boyutlu sürekli temsilleri ile K sayı cisminin belli

tip Hecke karakterleri arasında “doğal” bir eşleme olduğunu göreceğiz. Burada “doğal” eşleme ile, karşılık gelen objelere bağlı L-fonksiyonlarının aynı olması anlaşılmaktadır. Sonuç olarak, Pontrjagin ikilik teoreminin abelyen-olmayan genellemesi, Tannaka ikilik teoremini kullanarak, abelyen-olmayan sınıf cisim kuramının inşası için G mutlak Galois gurubunun K n-boyutlu sürekli temsillerini K sayı cismine bağlı Hecke karakterlerinin belli çeşit genellemesi olan analitik objeler ile parametrize etmemiz gerekmektedir. Langlands, 1967 yılında, Hecke karakterlerini genelleyen otomorf temsiller kuramını ortaya atmıştır. Çalışmanın geri kalan kısımlarında, bu kuram ve abelyen-olmayan sınıf cisim kuramını, yani Langlands karşılıklılık ilkesini özetleyeceğiz.

Anahtar Kelimeler: Karşılıklılık yasası, Galois temsilleri, otomorf temsiller, L-fonksiyonları, motifik Galois

gurupları, Langlands gurupları.

Langlands karşılıklılık ilkesi

Sevan BEDİKYAN1, Kazım İlhan İKEDA2*

1Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, Matematik Bölümü, Çırağan Cad., Çiğdem Sok. No. 1, 34349, Beşiktaş, İstanbul 2İstanbul Bilgi Üniversitesi, Matematik Bölümü, Kurtuluş Deresi Cad. No. 47, Dolapdere, 34440, Beyoğlu, İstanbul

(2)

Langlands reciprocity principle

Extended abstract

Class field theory studies the arithmetic of abelian extensions of a given global or local field K through the algebraic invariants of the base field K via global or local Artin reciprocity law respec-tively. If K is a local field with finite residue class field

κ

K, the local class field theory over K is then described by a unique “natural” topological and algebraic homomorphism

θ

K, which is called the local Artin reciprocity law of K. By the naturality of the map

θ

K, we should understand certain func-torial properties of this mapping. If K is a global field, where we always assume that K is a number field in this text, the class field theory over K is then described by a unique “natural” topological and algebraic homomorphism ΘK, called the global Artin reciprocity law of K, which satisfies certain functorial properties and which should be compati-ble with the local Artin reciprocity laws of Kν , the completions of the global field K at places ν . Thus, the remaining problem is to extend class field theory to a general theory that includes the arithme-tic description of non-abelian extensions of global and local fields in terms of the ground field. This general theory has a conjectural description, called the Langlands reciprocity law, or more generally the functoriality principle of Langlands. The aim of this survey article is to describe the reciprocity principle of Langlands.

In order to describe the reciprocity principle of Langlands, we reformulate the Artin reciprocity law

K

Θ over the global field K, so that, 1-dimensional representations of the absolute Galois group GK of the global field K are parametrized by certain Hecke characters of K, which depend on the ground field K only. Taking into account the Pontrjagin duality theorem for locally compact abe-lian groups, 1-dimensional representations of GK determines the group GKab. Moreover, the naturality of the parametrization, the arithmetic of GKab (that is, the arithmetic of each finite abelian extension over K) which is encoded in the Artin L-function is encoded in the corresponding Hecke L-function

de-fined over K as well. Therefore, in order to de-scribe the absolute Galois group GK and the arith-metic of each finite Galois extension over K, fol-lowing the above recipy, and in view of Tannaka duality for non-abelian compact groups, we would like to parametrize all irreducible n-dimensional representations of the absolute Galois group GK in terms of certain objects that generalize Hecke char-acters of K in a natural way.

Langlands, in 1967 (cf. Langlands 1970) made a fantastic discovery and realized that the objects gen-eralizing Hecke characters are certain type of repre-sentations of the adèlic groups GL n A

(

, K

)

, called the cuspidal automorphic representations of the group GL n A

(

, K

)

.

The reciprocity principle of Langlands asserts a natural assignement from n-dimensional irreducible representations

ρ

of GK and cuspidal automorphic representations Λ( )Kn

( )

ρ of G A

( )

K . By the natu-rality of this assignment we should understand the equality of the Artin L-function L s

( )

and the standard L-function

(

, ( )n

( )

)

K

L s Λ ρ of Godement and Jacquet.

There is also the most general form of the reciproc-ity principle, which involves the motivic Galois group MK over K and the Langlands group LK

over K. However both of these universal groups are still conjectural in nature.

Keywords: Reciprocity law, Galois representations,

automorphic representations, L-functions, motivic Galois groups, Langlands groups.

(3)

Langlands karşılıklılık ilkesi

Giriş

Modern aritmetiğin en önemli temel kuramı ola-rak niteleyebileceğimiz ve temeli Euler, Legendre ve Gauss’un çalışmalarına dayanan,

(abelyen) sınıf cisim kuramı, Kronecker, Weber, Hilbert, Artin, Chevalley, Hasse ve Takagi başta olmak üzere, pek çok önemli matematikçinin katkılarıyla, 20. yüzyılın ilk yarısında inşa edil-miştir.

Günümüzde artık pek çok “görünürde farklı” (analitik, kohomolojik, soyut-aksiyomatik gibi) formülasyonu bulunan sınıf cisim kuramını lo-kal ve global olmak üzere iç içe geçmiş iki alt-kuramın bileşkesi olarak inceliyoruz. Bu kuram, bir K global cisminin (ve bu cismin her sonlu ve sonsuz ν asal ideallerinde tamlanışı olarak ta-nımlanan Kν lokal cisimlerinin) E abelyen ge-nişlemelerinin (µ şartı altında, ν E µ abelyen

genişlemelerinin) aritmetik yapılarını sadece

taban cisim K ve K global cismine bağlı değiş-mezler yardımıyla (sadece taban cisim Kν lokal cismi ve bu cisme bağlı değişmezler yardımıyla) global (lokal) Artin karşılıklılık yasası altında tamamen betimler. Burada, bir global cismin

aritmetik yapısı ile, bu cisme ait tamsayılar hal-kasındaki ideallerin bu halkadaki asal ideallere parçalanışı; lokal durumda ise, lokal Galois ge-nişlemelerinin yüksek dallanma yapısının ince-lenmesi anlaşılmalıdır.

Bu durumda, doğal olarak şu soru ile karşılaşı-rız:

Abelyen sınıf cisim kuramını K global, veya lokal, cisminin her E /K Galois genişleme-lerini (bunlara elbette abelyen-olmayan Galois genişlemeleri de dahil) de kapsaya-cak şekilde genelleştirmek, yani abelyen-olmayan global ve lokal sınıf cisim kura-mını inşa etmek mümkün müdür?

Bu soru, Langlands’ın karşılıklılık ilkesi ile (hi-potetik olarak) fazlası ile cevaplanmaktadır, bkz. Langlands (1970). Karşılıklılık ilkesini de özel bir durum olarak içerisinde barındıran Langlands’ın fonktörsellik ilkesi (bkz. Arthur 2003) daha ilerideki bir sayıda tartışılacaktır.

Son zamanlarda, Langlands fonktörsellik ilkesi, sayılar kuramının yanısıra cebirsel topolojiden matematiksel fiziğe önemli uygulama alanları bulmuştur. Bu günlerde pek çok fizikçi de bu önemli kuramın ne olduğunu merak etmektedir. Biz, bu derleme çalışmamızda, temeli R. P. Langlands tarafından, 1967 yıllarında, atılmış olan fonktörsellik ilkesinin özel bir hali olan karşılıklılık ilkesinin ne olduğunu, olabildiğince basit bir şekilde, matematikçi veya fizikçilere anlatmaya çalışacağız. Ayrıca, bu konu ile ilgili herhangi bir Türkçe kaynak olmadığı da gözönüne alınırsa, bu derleme çalışmasının bu yönde de bir eksikliği gidereceğine inanıyoruz. Bu konuda daha derin bilgi sahibi olmak isteyen veya bu çalışmada kullanılan teorem ve kuram-ların ispatkuram-larını öğrenmek isteyen okuyucular için pek çok temel çalışmayı Kaynaklar kısmın-da ayrıca belirttik. Her derleme çalışmasınkısmın-da olduğu gibi, bu çalışmada da, gözden kaçmış veya olası hataların tamamı yazarlara (özellikle ikinci adlı yazara) aittir.

Lokal ve global sınıf cisim kuramları

Langlands karşılıklılık ilkesini iyi bir şekilde anlamak için, ilk olarak, lokal ve global Artin karşılıklılık yasalarının ne olduğunu bilmeliyiz. Bu bölümde, lokal ve global sınıf cisim kuram-larını kısaca, ispat vermeden, tekrar edeceğiz. Detaylar için, Cassels-Fröhlich (1967), Lang (1994), Neukirch (1999) ve Poonen (2006).

Lokal sınıf cisim kuramı

K bir henselsel (=arşimetsel olmayan) ve sonlu

K

K p

O / kalan-sınıf cismine sahip bir lokal ci-sim olsun. K cismine bağlı (her zaman normal-leştirilmiş olarak kabul edeceğimiz) değerlen-dirme fonksiyonunu

{ }

:

K K

ν → ∪ ∞ (1)

ile göstereceğiz. Burada, OK ile K cisminin

tamsayılar halkasını ve p ile bu halkanın K maksimal idealini gösteriyoruz. Bu K cismine

temel örnek olarak, p p-sel sayılar cismini

veya Fp

( )

( )

T Fp -katsayılı Laurent serileri

(4)

K üzerinde tanımlı lokal sınıf cisim kuramı ile lokal Artin karşılıklılık yasası olarak

adlandırı-lan

(

)

: ab

K K Gal K K

θ

× (2)

“doğal” gurup homomorfizmasını anlıyoruz.

Burada, θK okunun doğallığı, bu okun aşağıda

sıralayacağımız özelliklere sahip olması anla-mındadır.

1. Her sonlu L /K genişlemesi için,

α

∈ L×

olması kaydıyla,

( )

ab

(

/

( )

)

L K K NL K

θ α

=

θ

α

(3)

eşitliği sağlanır. Burada, NL/K :L× → K×

norm homomorfizmasını göstermektedir;

2. Her sonlu L /K genişlemesi için,

α

∈ K×

olması kaydıyla,

( )

(

)

( )

K L G G K L V

θ α

=

θ α

(4) eşitliği sağlanır. ab L ab K G G G G V K L : → ile

gösterilmiş olan ok, guruplar kuramında

ta-nımlı olan transfer “Verlagerung” okudur;

3. Her σAut

( )

Ksep için,

α

∈ K× olması

kaydıyla,

( )

( )

1 K Kσ σ

θ

α

=

σθ α σ

(5) eşitliği sağlanır;

4. Her sonlu abelyen genişleme L /K için,

(

)

(

)

: / / / res ab K L K Gal K K Gal L K L K θ θ ×→ → (6)

bileşkesi olarak tanımlı olan ok sürjektif bir homomorfizmadır, ve bu bileşke

(

)

=N L×

Çek

θ

L/K L/K eşitliğini sağlar;

5. İzdüşümsel tamlama alarak, (2) numaralı

denklem ile tanımlı homomorfizmayı

(

)

ˆ : ˆ ab/

K K Gal K K

θ

× (7)

topolojik gurup izomorfizmasına yükselt-mek mümkündür;

6. (2) numaralı denklem ile tanımlanmış olan

homomorfizma ve sonsuz Galois kuramı yardımı ile Şekil 1’de görülen

(

/

)

(

/

)

/

ab L K

Çek

θ

Gal K LL K (8)

eşlemeleri vardır.

7. (Dallanma teoremi). (2) numaralı denklem ile tanımlı homomorfizma Şekil 2’de

görü-len eşleşmeyi verir. Burada, 1 ≤ i ∈ için

tanımlı yüksek birim gurubu i

K U ,

( )

{

: 1

}

i i K K K U = u Uup (9)

olarak tanımlıdır. Galois gurubunu G olarak

göstereceğimiz sonlu Galois genişlemesi

K

L / için ve her −1 ≤ v ∈ sayısı için, v.

üst-dallanma gurubu Gv,

( )

( )

{

: / / 1

}

v L K L K G =

σ

G i

σ

ψ

v + (10)

(

)

içindeki içinde bulunan

sonlu indeks içindeki (sonlu indeks) cisminin sonlu

açık altguruplar açık altguruplar abelyen gen.leri

ab sep Gal K K K K K × ↔ ↔

(5)

S. Bedikyan, K. İ. İkeda

olarak tanımlıdır. Burada, O /L OK halka

ge-nişlemesi monojen bir genişleme olduğundan

dolayı, OL =OK

[ ]

x eşitliğini sağlayan bir

L

O

x vardır. Bu x yardımıyla, her σ∈G

için, iL/K

( )

σ =νL

(

σ

( )

xx

)

olarak

tanımla-nabilir.

ψ

L/ K : ≥−1≥−1 ile de L /K

ge-nişlemesine bağlı Hasse-Herbrandt

fonksiyo-nunu gösteriyoruz. Eğer −1 ≤ v ∈ sayısı, her 0 <δ ∈ için, Gv Gv şartını

sağlı-yorsa, bu v sayısına bir kırılma sayısıdır

de-nir. L /K abelyen bir genişleme olduğu için,

Hasse-Arf teoremi ile kırılma sayılarının

tamsayılar kümesinde yer alacağını biliyoruz.

Eğer L /K genişleme derecesi sonsuz bir

Galois genişlemesi ise, üst-numaralandırma

“bölüm alma” altında korunduğu için, Gv

gurubu izdüşümsel limit alarak,

(

/

)

lim v v K E L G Gal E K ⊆ ⊂ = (11)

limiti olarak tanımlanır. Bu durumda, G to-polojik gurubu için, aynı şekilde tanımı olan

v ∈ ≥−1 kırılma sayısı, KEL şartını

sağlayan sonlu bir E /K Galois

genişlemesi-ne karşılık gelen Gal

(

E/K

)

gurubunun

kı-rılma sayısıdır. Şekil 2’deki eşleme, her 0 i≤ ∈ ve her i−1<vi için

(

/

)

v i ab K UGal K K (12) şeklinde tanımlıdır.

Global sınıf cisim kuramı

Bu paragraftan itibaren bir K global cismi

ola-rak sadece sayı cisimlerini ( K = veya

cisminin sonlu bir K genişlemesi) anlayacağız.

K bir global cisim ise, K üzerinde tanımlı global

sınıf cisim kuramı ile global Artin karşılıklılık

yasası olarak adlandırılan

(

)

: / ab /

K K K Gal K K

× ×

Θ A → (13)

“doğal” gurup homomorfizmasını anlıyoruz.

Burada, A ile K global cisminin adeller hal-K

kası, ve AK× ile K global cisminin ideller

guru-bu gösterilmektedir. A adeller halkası, K

(

)

' :

v v

K O

ν

kısıtlamalı direkt çarpımı olarak,

ve A×K ideller gurubu '

(

:

)

v v

v

K U×

kısıtlamalı

direkt çarpımı olarak inşa edilir. Bu iki cebirsel

yapı, tanımladıkları kısıtlamalı direkt çarpım

topolojisi altında sırasıyla bir yerel kompakt to-polojik halka ve bir yerel kompakt toto-polojik gu-rup yapılarına sahiptir. Bu durumda, K halkası

ve K gurubu, sırasıyla her × α∈K ve

α

∈ K×

için,

α

(

α

,

α

,… ,,

α

)

biçiminde tanımlı

K

K ∆→A ve K×∆→A×K diagonal

gömme-leri altında, A adeller halkasının ve K A×K

ideller gurubunun kesikli birer althalkasıdır ve

altgurubudur. Lokal durumda olduğu gibi, Θ K

okunun doğallığı ile, bu okun şimdi sıralayaca-ğımız özellikleri sağladığını anlıyoruz.

1. Her sonlu L /K genişlemesi için,

/ L L

α

∈ A× × olması kaydıyla,

( )

ab

(

/

( )

)

L

α

K K NL K

α

Θ = Θ (14)

eşitliği sağlanır. Burada, AL ≅AKK L

izomorfizması neticesinde, A serbest bir L

K A -modülüdür, ve NL K/ :AL →A K

{

}

(

)

(

)

0 1

/

içindeki

yüksek-dallanma

altgurupları

/

ab i K K i v ab v

Gal K

K

U

U

K

Gal K

K

× ≤ ∈ − ≤ ∈

↔ 

(6)

norm tasviri mevcuttur. Bu ok yardımı ile,

/ : / /

L K L K

NL×→A× K×homomorfizması

tanımlıdır;

2. Her sonlu L /K genişlemesi için,

/ K K

α

∈ A× × olması kaydıyla,

( )

(

)

( )

K L G G K L V Θ

α

= Θ

α

(15) eşitliği sağlanır. ab L ab K G G G G V K L : → ile

gösterilmiş olan ok, guruplar kuramında

ta-nımlı olan transfer “Verlagerung” okudur;

3. Her

σ

Aut

( )

Ksep için, /

K K

α

∈ A× × olması kaydıyla,

( )

( )

1 K Kσ σ

α

σ

α σ

− Θ = Θ (16) eşitliği sağlanır;

4. Her sonlu abelyen genişleme L /K için,

(

)

( )

: / / / / res ab K L K Gal K K Gal L K L K K Θ × × Θ A





(17)

bileşkesi olarak tanımlı olan ok sürjektif bir homomorfizmadır, ve bu bileşke

(

L K/

)

L K/

(

L/

)

Çek Θ =N A× L× eşitliğini

sağ-lar;

5. İzdüşümsel tamlama alarak, (13) numaralı

denklem ile tanımlı homomorfizmayı topo-lojik gurup izomorfizmasına yükseltmek mümkündür;

(

)

ˆ ˆ : / ab/ K K K Gal K K ≅ × × Θ A → (18)

6. (13) numaralı denklem ile tanımlanmış olan

homomorfizma ve sonsuz Galois kuramı yardımı ile Şekil 3’ te görülen

(

)

(

ab

)

L K

Çek Θ ↔Gal K LL K (19)

eşlemeleri vardır

.

7. (Dallanma teoremi). Hemen hemen her

ν

yeri için eν = ve her reel 0 ν yeri için

{ }

0,1

eν ∈ ve her kompleks ν yeri için

0

eν = şartlarını sağlayan 0 e≤ tamsayıla-ν

rından oluşturulan yapısal eν

ν

ν

=

M çar-pımı için lokal olarak: eğer 0eν = ise

:

UM,ν =Uν ; 0eν > ve

ν

sonlu bir yer ise

: e

U U ν

ν = ν

M, ; 0eν > ve ν reel bir yer ise

UM,ν := >0 guruplarını tanımlayalım ve , K U U ν ν × =

M M A global gurubunu inşa

edelim. Bu durumda K K K × × × → A A doğal

homomorfizması altında UM gurubunun

UM imgesi, K

K

× ×

A gurubunun açık ve

son-lu-indeks bir alt gurubudur. Dolayısı ile Şe-kil 3 yardımı ile gösterilmiş olan eşlemeler

altında öyle bir RM K sonlu ve abelyen

ge-nişlemesi mevcuttur ki, global Artin kaşılıklılık yasası neticesinde

(

)

K K C Gal R K U K U × × M M M A (20) izomorfizmaları vardır.

K global cismi için tanımlı olan CK = A×K /K×

gurubuna K’nin idel sınıf gurubu denir.

(

/

)

/ içindeki içinde bulunan

sonlu indeks içindeki (sonlu indeks) cisminin sonlu

açık altguruplar açık altguruplar abelyen gen.leri

ab sep K K Gal K K K K × × ↔ ↔                        A

(7)

S. Bedikyan, K. İ. İkeda

Lokal ve global kuramlar arasındaki bağıntı

Yukarıda kısaca özetlediğimiz lokal ve global sınıf cisim kuramları arasındaki ilişkiden kısaca

bahsedelim. K global cisminin herhangi

henselsel yeri

ν

olsun. Bu durumda,

ν

yerine

göre K global cisminin tamlanışı K , bir lokal ν

cisimdir. Her

α

Kν× için, α

(

1,…,1,α,1,…

)

şeklinde tanımlı Kν×→ A×K gömmesi ile

/

K K K

× × ×

A A doğal morfizmasının bileşkesini

alarak, g Kν : ν× A×K A×K /K× gömmesini

elde ederiz. Bu durumda, her ×

ν

α

K için,

( )

(

gν

α

)

θ α

ν

( )

Kab

Θ = (21)

eşitliği sağlanır. Sonuç olarak, K üzerinde

ta-nımlı global Artin karşılıklılık yasası bize, her

ν

için, K üzerinde tanımlı olan lokal Artin ν karşılıklılık yasalarını verir. Diğer taraftan, K

global cisminin tüm

ν

henselsel yerleri için,

ν

K üzerinde tanımlı

θ

ν lokal Artin karşılıklılık

yasaları verilsin. Bu durumda, L /K sonlu

abelyen genişlemesi için,

( )

aν ∈ A olması ×K

kaydıyla,

( )

v aν ν

θ

çarpımı sonludur ve

(

L K

)

Gal / içinde bir eleman tanımlar.

Gerçek-ten de, hemen her ν yeri, L /K genişlemesi

içinde dallanmamış olduğundan, ve hemen her

ν

yeri için aνUν şartı sağlandığından dolayı,

( )

aν =idL

ν

θ

eşitliği hemen her

ν

yeri için

sağ-lanır. Sonuç olarak, her sonlu abelyen genişleme

K

L / için,

( )

aν ∈ A olması kaydıyla, ×K

( )

( )

( )

/ L K aν ν aν ν

θ

Θ =

(22)

çarpımı olarak tanımlı

(

)

/ : /

L K K Gal L K ×

Θ A → (23)

homomorfizması inşa etmiş olduk. Bu durumda, izdüşümsel limite geçerek,

(

)

/ : / lim sep ab L K K K L K Gal K K × ⊂ ⊂ Θ A → (24)

homomorfizmasını elde ederiz. Bu

homomorfiz-manın çekirdeği K gurubunu kapsar. Elde edi-×

len homomorfizma, K global cismi için tanımlı

olan Θ global Artin karşılıklılık yasasıdır. So-K

nuç olarak, her

ν

için, K üzerinde tanımlı ν

olan lokal Artin karşılıklılık yasaları bize K üze-rinde tanımlı global Artin karşılıklılık yasasını verir.

Langlands karşılıklılık ilkesi

Bu noktada, K lokal veya global cisminin

abelyen-olmayan Galois genişlemelerinin

arit-metik yapılarını da betimleyen, K üzerinde

ta-nımlı, genel lokal veya global karşılıklılık yasası

nasıl inşa edilmelidir sorusu doğal olarak karşı-mıza çıkar. Bu soruya en doğru şekilde yaklaşa-bilmemiz için, abelyen Artin karşılıklılık

yasa-sını farklı, fakat denk, bir biçimde formüle edip

yorumlamamız gerekmektedir.

Global Artin karşılıklılık yasasının farklı bir formülasyonu

K global cismi için tanımlanmış olan Artin

kar-şılıklılık yasası Θ , bize K Gal

(

Kab/K

)

topolo-jik gurubunun üzerinde tanımlı olan

(

K K

)

GL

( )

V

Gal ab/ sürekli indirgenemez

temsillerinin kümesi ITem(1) G

K

( )

ile K global

cismi üzerinde tanımlanmış olan

{

}

/ : 1

K K z z

× × → = ∈ =

A T (25)

sonlu mertebeli Hecke karakterleri kümesi

(

)

(

1,

)

Gal

K

Oto GL A arasında bir bijektif eşleme

tanımlar. Gerçekten de, üzerinde tanımlı bir

(

)

( )

:Gal Kab/K GL V

ρ

→ (26)

sürekli indirgenemez temsili 1-boyutlu olmak

zorundadır. Sonuç olarak,

(

ρ,V

)

temsili bir

(

)

:Gal Kab/K

ρ

× sürekli gurup

homomor-fizmasıdır. Bu durumda, global Artin karşılıklı-lık yasası yardımı ile tanımlı olan

(

)

: / K ab/ K K K Gal K K ρ

ρ

Θ A× ×→Θ × (27)

(8)

bileşke morfizması, K üzerinde tanımlı sonlu

mertebeli bir Hecke karakteridir. Gerçekten de

(

)

:Gal Kab/K

ρ

× sürekli bir

homomorfizma olduğu için, Im

( )

ρ

imge

küme-si T’nin sonlu bir altgurubu olmak zorundadır.

Sonuç olarak, inşa edilmiş olan

: /

K K K

ρ

Θ A× ×T (28)

tasviri üniter ve sonlu mertebeden bir Hecke karakteridir. Her

ρ

∈ITem (1) G K

( )

için, K

ρ

ρ

Θ (29) olarak tanımladığımız ITem (1) G K

( )

→ OtoGal GL 1,A

K

( )

(

)

(30)

eşlemesi ayrıca “doğaldır”, yani

( )

,

(

,

)

Artin Hecke K

L s

ρ

=L s

ρ

Θ (31)

eşitliğini de sağlar. Burada LArtin

( )

s,

ρ

ile,

Re( ) 1s > yarıdüzlemi üzerinde tanımlı

(

K K

)

GL

( )

V Gal ab/

:

ρ

indirgenemez

temsi-linin Artin L-fonksiyonunu gösteriyoruz.

(

K

)

Hecke s

L ,

ρ

Θ ise, inşa edilmiş olan

: /

K K K

ρ

Θ A× ×T Hecke karakterine bağlı

olan Hecke fonksiyonudur. Bu iki çeşit

L-fonksiyonunu detaylı olarak ve en genel haliyle, bu bölümün 3. ve 4. kısımlarında inceleyeceğiz. Diğer taraftan, eğer

( )1 : (1)

( )

Gal

(

(

1,

)

)

K ITem GK Oto GL K Λ → A (32) her (1)

( )

K ITem G

ρ

∈ için

( )

,

(

, ( )1

( )

)

Artin Hecke K L s

ρ

=L s Λ

ρ

(33)

şartını sağlayan bir eşleme ise, bu eşleme tek bir tanedir ve Artin karşılıklılık yasası aracılığıyla yukarıda inşa edilmiş olan eşlemedir. Sonuç

ola-rak, global sınıf cisim kuramını (32) numaralı

doğal eşleşme olarak düşünebiliriz.

Global sınıf cisim kuramını artık (32) numaralı

doğal eşleşme olarak düşünelim. Pontrjagin

iki-lilik teoremi neticesinde Gal

(

Kab/K

)

kompakt

abelyen topolojik gurubu,

Gal K

ab / K

(

)

ile

göstereceğimiz Gal

(

Kab/K

)

gurubunun

üzerinde tanımlı karakter gurubu tarafından,

(

)

(

Gal Kab/K

)

Gal K

(

ab/K

)

(34)

izomorfizması altında, tam olarak betimlenip

geri elde edilir. Bu durumda, Gal K

(

ab / K

)

= ITem(1) G

K

( )

eşitliği sonucu,

(32)numaralı eşleşmenin Gal

(

Kab /K

)

gurubu-nun üzerinde tanımlı indirgenemez sürekli

temsillerini sadece taban cisim K üzerinde

ta-nımlı sonlu mertebeli Hecke karakterleri ile

parametrize ettiğini görüyoruz. Bu parametrizasyon, (32) numaralı eşleşmenin

do-ğallığı neticesinde, her E /K sonlu abelyen

ge-nişlemesine ait olan aritmetik bilgiyi de taban cisim K üzerinde tanımlı Hecke karakterleri cin-sinden betimler. Sonuç olarak, Artin karşılıklılık

yasası, Pontrjagin ikililik teoreminin ve Hecke karakterleri kuramının özel bir durumudur.

Tannaka felsefesi

Abelyen ve yerel-kompakt topolojik guruplar için geçerli olan Pontrjagin ikililik teoremi, Tannaka ve Krein tarafından abelyen-olmayan

ve kompakt topolojik guruplar için

genelleşti-rilmiştir. Sayılar kuramının en önemli gurubu olarak niteleyebileceğimiz, bir K lokal veya global cismi için (veya genel olarak herhangi bir

soyut K cismi için) Gal

(

Ksep/K

)

=GK mutlak

Galois gurubu, Krull topolojisi altında, bu çeşit

topolojik guruplara temel bir örnek oluşturmak-tadır.

Herhangi bir G gurubunun bir F cismi üzerinde tanımlanmış sonlu-boyutlu temsillerinin

katego-risini TemF

( )

G ile gösterelim. Bu kategorinin

(9)

Langlands karşılıklılık ilkesi

soyutladığımız zaman “Tannaka kategorisi” tanımını elde etmiş oluruz. Eğer G gurubu kom-pakt bir topolojik gurup ise, Tannaka ve Krein,

G gurubunun TemF

( )

G kategorisi tarafından,

TemF

( )

G VekF unutkan fonktörü vasıtasıyla,

tam olarak betimlenip geri elde edilebileceğini

ispat etmişlerdir. Burada, Vek ile, sonlu boyut-F

lu F-vektör uzaylarından oluşan kategoriyi gös-teriyoruz. Bu teoreme Tannaka-Krein ikililik

teoremi denir, ve bu teorem, Pontrjagin ikililik

teoreminin, kompakt guruplar için,

abelyen-olmayan genellemesidir. Detaylar için, bkz.

Hewitt ve Ross (1970).

Sonuç olarak, K global cisminin abelyen-olmayan Galois genişlemelerinin aritmetik yapı-larını da betimleyen, K üzerinde tanımlı, genel karşılıklılık yasasının, bu bölümün 1. kısmında,

K üzerinde tanımlı, global Artin karşılıklılık

ya-sasına denk olduğunu gördüğümüz

ΛK 1

( )

: ITem(1)

( )

GK → OtoGal GL 1,A K

( )

(

)

doğal

eşleşmesininin, Tannaka-Krein ikililik teoremi yardımıyla genelleştirilmesi suretiyle elde edile-ceğini öngörürüz.

Galois temsilleri ve Artin L-fonksiyonları

Bir K global cismi için, ITem(n) G

K

( )

ile, G K

mutlak Galois gurubunun üzerinde tanımlı

( )

V GL

GK n-boyutlu sürekli indirgenemez

temsillerinin oluşturduğu kümeyi gösterelim. Ayrıca,

ITem G

( )

K ile de, ITem( n) G K

( )

n

bir-leşimini gösterelim. Bu durumda, G topolojik K

gurubunun üzerinde tanımlı GKGL

( )

V

sürekli temsillerinden oluşan Tem G kate-

( )

K

gorisindeki objeler, temsiller üzerinde tanımlı

olan ⊕ işlemi altında, ITem G

( )

K kümesinde

bulunan objeler tarafından üretilir. G gurubu K

izdüşümsel olarak sonlu olduğu için, bir

( )

:GK GL V

ρ

→ temsilinin sürekli olması için

gerek ve yeter şart Im

( )

ρ

≤ GL V

( )

altgurubunun sonlu olmasıdır. Sonuç olarak

( )

:GK GL V

ρ

→ sürekli temsili, E Kρ sonlu

bir Galois genişlemesi olması kaydı ile,

(

)

injektif

( )

K

GGal E Kρ →GL V (35) biçiminde parçalanır (Galois temsilleri hakkında

detaylı bilgi için bkz. Taylor 2004).

Bir

ρ

Tem G

( )

K için, Artin’in inşa ettiği, ve

Artin L-fonksiyonu olarak adlandırılan, analitik

objeyi inşa edelim (detaylar için bkz. Rogawski

1997). Öncelikle iυ : Ksep

Kνsep aracılığı ile

tanımlanan j :υ GKυ GK gömmesini alalım.

Bu gömme vasıtası ile GKυ lokal mutlak Galois

gurubunun

ρ

υ =

ρ

jυ sürekli temsilini elde

ederiz. Bu temsil, i gömmesinin seçimine bağ-υ

lıdır. Fakat her bir i gömmesine birbirinin eş-υ

leniği olan j gömmeleri karşılık gelecektir. υ

Dolayısı ile,

ρ

ν temsilinin denklik sınıfı sadece

ν

yerine bağlıdır ve iyi tanımlıdır. Elde edilmiş

olan

ρ

ν temsilleri yardımı ile,

ρ

temsiline

bağ-lı L

( )

s Artin L-fonksiyonunu, Re( ) 1s > ol-ması kaydı ile

( , ) ( , )

L s L s ν

ν

ρ

=

ρ

(36)

Euler çarpımı şeklinde tanımlanır. Şöyle ki, lo-kal )L(s,

ρ

υ çarpanları:

1. ν , K global cisminin bir sonlu (henselsel) yeri ise: kν ve ksep

ν cisimleri, sırası ile Kν

ve Ksep

ν cisimlerinin kalan-sınıf cisimlerini

göstermesi kaydı ile, GKυ mutlak Galois

gu-rubu ksep

ν cismi üzerine etki eder ve böylece

1 I GK Gk 1

ν ν

ν

→ → → → kısa tam dizisi

el-de edilir. Burada Iν ile GK

ν lokal

gurubu-nun atalet altgurubu gösterilmektedir.

qν = kν olmak üzere, Gk

ν içindeki

görüntü-sü, her x ksep

ν

∈ için x xqν şeklinde

tanım-lı otomorfizma olan Fr GK

ν

ν ∈ elemanına

K

G

ν mutlak Galois gurubunun bir Frobenius

elemanı adı verilir. GK

ν mutlak Galois

gu-rubunun bir Frν Frobenius elemanının V

(10)

olu-şan VIν alt uzayına yaptığı (Fr)

ν

ρ

etkisi,

Frobenius elemanının seçiminden

bağımsız-dır. Sonuç olarak, ν değerlendirmesinde

ta-nımlı olan L s

(

,

ρ

ν

)

yerel çarpanı,

(

)

1 ( , ) det 1 ( ) I s V L s

ρ

ν qν

ρ

ν Frν ν − − = − (37)

şeklinde tanımlanır.

ρ

:GKGL V

( )

temsili

eğer

ρ

ν

( )

Iν = şartını sağlıyor ise, 1 ( , )

ρ

V

temsili

ν

sonlu yerinde dallanmamıştır

de-nir. Bu şart sağlanmıyor ise ( , )

ρ

V temsili ν

sonlu yerinde dallanmıştır denir. ( , )

ρ

V

tem-sili ancak sonlu sayıda ν sonlu yerinde

dal-lanır. Bu dallanmış sonlu yerler ile sonsuz

(arşimetsel) yerlerden oluşan kümeyi S

( )

ρ

ile gösterelim. Eğer

ν

S

( )

ρ

ise,

( )

Fr GL V

( )

ν ν

ρ

∈ elemanı herhangi bir

K

FrνG ν Frobenius elemanının seçiminden

bağımsızdır. Sonuç olarak

ρ

ν

( )

Frν , V

üze-rinde tanımlı sonlu mertebeli bir lineer

opera-tördür. V vektör uzayının üzerinde sıralı

bir bazının sabitlenmesi ile, GL V ile

( )

(

,

)

GL n gurupları arasında elde edilen

izomorfizma altında

( )

1 n Fr ν ρ

ζ

ρ

ζ

          ∼ (38)

eşlenikliği mevcuttur. Burada n ile V temsil

uzayının üzerindeki boyutunu,

ζ

1, ,

ζ

n

ile de belli birim kökleri gösteriyoruz. Bu

gözlem neticesinde,

(

ρ

,V

)

Galois temsili,

( )

S

ν

ρ

kümesi tarafından indekslenmiş,

(

,

)

GL n içinde, yarı-basit

{

ρ

ν

( )

Frν

}

eşle-nik sınıflarından oluşan kümeyi tanımlar.

Chebotarev yoğunluk teoremi sonucu bu

kü-me,

(

ρ

,V

)

Galois temsilini tek türlü olarak

betimler.

2.

ν

sonsuz (arşimetsel) ise:

Kν ≅ veya

olur. Kν ≅ olması durumunda, c

komp-leks eşlenik fonksiyonunu göstermesi kaydı ile GK

ν Gal( / )= 1,c

{ }

olur. Diğer

ta-raftan

ρ

υ

( )

c temsilinin özdeğerleri de +1

veya −1 olur. m+ ve m sırasıyla +1 ve −1

özdeğerlerinin sayısını göstermek üzere

(

,

)

L s

ρ

ν yerel çarpanı

(

)

( )

(

)

( )

(

( )

)

, _ 1 2 /2 / 2 1 2 L s m m s s s s ρν π π = − + + − ΓΓ +      (39)

eşitliği olarak tanımlanır. Eğer Kν ≅ ise,

{ }

1

K

G ν ≅ olur. Bu durumda n=dim V

olmak üzere L s

(

,

ρ

ν

)

yerel çarpanı,

(

,

)

(

2 2

( ) ( )

s

)

n

L s

ρ

ν =

π

− Γ s (40)

olarak tanımlanır. Artin L-fonksiyonlarının

arşimetsel lokal çarpanları genel olarak

Hodge kuramı aracılığı ile tanımlanır.

Artin L-fonksiyonlarının, lokal Euler faktörleri

yardımı ile inşa edildiğini, ancak sonlu lokal faktörler ile sonsuz lokal faktörlerin çok farklı şekilde inşa edildiklerini gördük. Deninger’in çalışmaları (bkz. Deninger 1994), sonlu lokal faktörler ve sonsuz lokal faktörlerin regülarize

determinantlar kuramı yardımı ile aslında aynı

formül ile elde edilebileceğini göstermiştir.

Galois temsillerine bağlı, Artin L

-fonksiyon-larının inşasını gördükten sonra, şimdi bu fonk-siyonların temel özelliklerini inceleyelim. Bu-nun için ilk olarak temsiller üzerinde tanımlı işlemleri özetlememiz gerekmektedir.

Temsiller üzerinde tanımlı işlemler: 1. Direkt toplam: 1 2 1 2 ρ ρ ρ ρ

χ

=

χ

+

χ

2. Tensör çarpım:

χ

ρ ρ1 2 =

χ χ

ρ1 ρ2 3. Kısıtlama: ReG H H s ρ ρ

χ

=

χ

. Burada Re G H

s

ρ

ile G için tanımlanmış olan

ρ

temsilinin H altgurubuna kısıtlanmasını

(11)

Langlands karşılıklılık ilkesi

4.

χ

ρ∨ =

χ

ρ . Burada

ρ

∨ temsili, her

g G∈ için

ρ

( )

g = t

ρ

( )

g−1 eşitliği ile

tanımlıdır.

5. Yaptırılmış temsiller:

ρ

Tem H

( )

ol-sun. G

( )

H

Ind

ρ

Tem G ile her h H∈ ve

g G∈ için f hg

( )

=

ρ

( ) ( )

h f g şartını

sağlayan f G: →Vρ fonksiyonlarından

oluşan uzayı G

H

Ind Vρ ile gösterelim. Bu

durumda G :

(

G

)

H H

Ind

ρ

GGL Ind Vρ

yaptırılmış temsili, her g G∈ için,

( )

(

)

( )

(

G

)

( )

'

(

'

)

H Ind

ρ

g f g = f g g , (41) ' gG, fG H

Ind Vρ şeklinde tanımlanır.

Bu işlemler altında Artin L-fonksiyonu aşağıda

sıralayacağımız şekillerde davranır: 1. Direkt toplam:

(

) (

)

1 2 1 2

( , ) , ,

L s

ρ

ρ

=L s

ρ

L s

ρ

(42).

2. Yaptırılmış temsiller: 'KKK'' ge-nişlemeleri ve bu genişlemelere karşılık

gelen G Gal K K=

(

''

)

ve

(

'' '

)

H =Gal K K gurupları ve

( )

Tem H

ρ

∈ için,

(

, G

)

( )

, H L s Ind

ρ

=L s

ρ

(43) 3. Enflasyon: 'KKK'' genişlemeleri

ve bu genişlemelere karşılık gelen

(

''

)

G Gal K K= ve H =Gal K K

(

'

)

gurupları ve

ρ

Tem H

( )

için, G

gu-rubunun

( )

'

' :G resK H ρ GL V

ρ

→ → (44)

temsili vardır. Bu durumda

(

, '

)

( )

,

L s

ρ

=L s

ρ

(45)

eşitliği sağlanır.

Artin L-fonksiyonlarının meromorf devamını

elde etmek için Brauer yaptırım teoremi ile

problem 1-boyutlu temsillerin Artin L

-fonksiyonlarına indirgenir. Önceden özetledi-ğimiz global Artin karşılıklılık yasasının analitik

formülasyonu yardımı ile de 1-boyutlu Artin L

-fonksiyonları sonuç olarak birer Hecke L

-fonksiyonudur. Hecke L-fonksiyonlarının

anali-tik devamı yapılabildiği için de genel Artin L

-fonksiyonlarının meromorf devamını elde

ede-riz. Detaylar için bkz. Brauer (1947). Artin L

-fonksiyonu L s

( )

,

ρ

yardımı ile, Re( ) 1s > ol-ması kaydı ile

( )

( )

{

1

}

2

( )

( )

, : , s K d χρ N L s s ρ

χ

ρ

= Λ

ρ

f (46)

fonksiyonunu tanımlayalım. Burada d ile K K

cisminin diskriminantını ve f

( )

χ

ρ ile

ρ

temsi-line bağlı

χ

ρ karakterinin kondüktörünü (bu,

K

O tamsayılar halkası içinde bir idealdir, ve

lo-kal cisimlerin yüksek dallanma kuramı yardımı ile tanımlanmaktadır) gösteriyoruz.

Teorem. Re

( )

s >1 için tanımlı olan Λ

( )

s,

ρ

fonksiyonunun tüm kompleks düzleme meromorf devamı vardır ve

(

1 s,

ρ

)

W

( )

ρ

(

s,

ρ

)

Λ − = Λ (47)

fonksiyonel denklemini sağlar. Daha önce de belirtildiği gibi, G gurubunun K

ρ

temsili her

K

g G için

ρ

( )

g =t

ρ

( )

g−1 eşitliği ile

tanım-lıdır. W

( )

ρ

×sayısı da W

( )

ρ

=1 şartını

sağlar, ve bu sayıya Artin kök sayısı denir.

Yukarıdaki teoremde bahsi geçen W

( )

ρ

Artin

kök sayısı, L s

( )

,

ρ

Artin L-fonksiyonunun son

derece önemli ve ilginç bir değişmezidir. Bu değişmezin temel özellikleri:

(12)

2.

(

G

)

( )

H W Ind

ρ

=W

ρ

3. W

( )

ρ∨ =W

( )

ρ şeklinde sıralanabilir. K

G gurubunun

ρ

temsiline bağlı L s

( )

,ρ Artin

L-fonksiyonu için tanımladığımız Λ

( )

s

fonksiyonunu tanımlamadan, fonksiyonel denk-lemi

( )

,

( )

,

(

1 ,

)

L s

ρ

=

ε

s

ρ

L s

ρ

(48)

şeklinde de tanımlanabilir. Burada ε

( )

s

fonksiyonuna ρ:GKGL V

( )

temsiline bağlı

epsilon faktörü denir. Detaylar için bkz. Tate

(1979).

(

, K

)

GL n A grubunun otomorf temsilleri ve standart L-fonksiyonları

K sayı cisminin her ν yeri için Kν, K sayı

cisminin ν yerine göre tamlanışı olsun. A K K

sayı cisminin adeller halkası olsun. Bu bölümde

G ile genel lineer gurup GL n cebirsel guru-

( )

bu, G A

( )

K ile de G cebirsel gurubunun A -K

rasyonel noktalarından oluşan gurup

anlaşıla-caktır. G A

( )

K gurubu, adel topolojisi altında

yerel kompakt bir topolojik guruptur ve

( )

: G K

G A

( )

K gömmesi altında G K ,

( )

( )

K

G A adel gurubunun kesikli bir altgurubu

olur. Yerel kompakt topolojik gurubumuz

( )

K

G A üzerinde tanımlı bir d

µ

Haar ölçümü

sabitleyelim. Sabit ettiğimiz bu d

µ

ölçümü

al-tında

G K

( )

G A

( )

K bölüm uzayı sonlu

hacime sahip değildir. Fakat, G A

( )

K adel

gu-rubunun merkezi

( )

K : K z Z z z ×       =     A A (49) yardımı ile, Z A

( )

K G K

( )

G A

( )

K olarak

ta-nımlanan bölüm uzayı, d

µ

ölçümü altında

son-lu hacime sahiptir.

Bir

ψ

:K×\A×K → × Hecke karakteri için,

( ) ( )

(

)

2 \ , ; K H =L G K G A d

µ ψ

ile 1. her g G K G

( ) ( )

\ A , K z Z

( )

A için K

( )

zg

( ) ( )

z g ϕ =ψ ϕ ; 2.

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 \ K K Z G K G

ϕ

g d

µ

g < ∞

A A

şartlarını sağlayan ϕ:G K G

( ) ( )

\ AK

ka-re-integrallenebilir fonksiyonlardan oluşan

Hilbert uzayını gösterelim.

( ) ( )

(

)

2 \ , ;

o o K

H =L G K G A d

µ ψ

ile de H

Hilbert uzayı içinde

3. G A

( )

K gurubunun her P parabolik

altgurubu için, ve her g G

( )

A için, K

ϕ

( )

ng d

µ

( )

n = 0 NP( )K

NP( )AK şartını sağlayan

ϕ

: GK G A

( )

K

fonksi-yonlarından oluşan Hilbert altuzayını

göstere-lim. Burada G GL n= ( ) gurubunun 1,

s

n n

P

stan-dart parabolik altgurupları ile, n tamsayısının

1 s

n n= + + parçalanışları arasında, n

(

,

)

j

n j K

MM n A olması kaydı ile

(

1

)

1, 1 * * , , * s s n s n n n M n n P M     ↔ =        (50)

şeklinde bire-bir eşleme vardır. G gurubunun

1, s

n n

P altgurubunun herhangi bir eşleniğine de

G gurubunun parabolik altgurubu denir.

( )

K

G A adel gurubunun H uzayı içindeki sağ

regüler temsili ile, her x x G0, ∈

( )

A , K

ϕ

H

(13)

Langlands karşılıklılık ilkesi

( ) ( ) ( )

0

(

)

(

( )

0

)

R x

ϕ

G K x

ϕ

G K xx   =   (51) şeklinde tanımlı

( )

( )

: K R G A →GL H (52)

homomorfizmasını anlıyoruz. Bu

(

R H temsi-,

)

li, G A

( )

K adel gurubunun üniter bir temsilidir.

Tanım. G A

( )

K adel gurubunun

(

R H sağ ,

)

regüler temsilinin herhangi bir π altbölüm tem-siline bir otomorf temsil denir.

Genel temsil kuramından hatırlayacağımız gibi,

bir M gurubunun

(

ρ,V

)

temsilleri ile

[ ]

M -modülleri aynı objelerdir. Bir

[ ]

M

-modülü V verilsin ve W bir alt modül olsun.

Bu durumda V W doğal bir

[ ]

M -modülüdür

(bölüm modülü). İnşa ettiğimiz bu modülün

herhangi bir Q ile göstereceğimiz

[ ]

M

-altmodülüne de V modülünün bir altbölüm

modülü denir.

( )

K

G A adel gurubunun H uzayı içindeki sağ o

regüler temsili benzeri şekilde tanımlanır. Şimdi

( )

K

G A adel gurubunun otomorf temsillerinin

özel bir hali olan uç otomorf temsillerini tanım-layalım.

Tanım. G A

( )

K adel gurubunun

(

R H sağ , o

)

regüler temsilinin herhangi bir π alt temsiline bir uç otomorf temsil denir.

Bir π:G

( )

AKGL W

( )

temsili eğer G A

( )

K

gurubunun her maksimal kompakt altgurubu C için

π C =

λ∈ITem C

( )

m

( )

λ λ (53)

şartını sağlıyor ise, G A

( )

K gurubunun

(

π,W

)

temsili makuldür denir. Makul temsillerin son derece basit bir karakterizasyonu vardır.

Teorem.(Flath) G A

( )

K adel gurubunun her indirgenemez makul temsili

(

π,W

)

için,

ν ν

π ⊗′π (54)

olacak şekilde Gν =GL n K

(

, ν

)

lokal gurubunun

ν

π indirgenemez temsilleri mevcuttur ve

ν ν ν ν ν ν

π ⊗′π ⊗′ ′π ⇒π π′ (55)

tekillik şartını sağlar.

Eğer

(

π,W

)

temsili indirgenemez, makul bir

temsil ise, Flath’ın teoremi neticesinde elde edi-len

ν ν

π ⊗′π (56)

tensör çarpımı ayrışımındaki G K

( )

ν lokal

gu-ruplarının πν temsilleri, hemen hemen her

son-lu ν için, dallanmamış esas seri temsilleridir.

(

1,..., n

)

n

z= z z ∈ olması kaydı ile, G K

( )

ν

lokal gurubunun

( )

1

( )

* 0 n b B K G K b ν ν       =     (57)

üst-üçgensel matrislerden oluşan Borel

altgurubunun 1 1 1 * : 0 n z z z n n b b b b ν ν χ           (58)

karakterinden elde edilen

( )( ) , G K z IndB K z ν ν ν π = χ (59)

yaptırılmış temsilinin, Langlands

sınıflandırma-sı sonucu, tek bir tane indirgenemez

π

ν,z bölüm

temsili mevcuttur. G K

( )

ν lokal gurubunun bu

(14)

Sonlu bir ν yeri için, G K

( )

ν lokal gurubunun

bir

π

ν =

π

ν,z

(

z n

)

dallanmamış esas seri

temsilini alalım. Bu temsilden, GL n

(

,

)

guru-bu içinde

( )

1 0 0 n z z q q ν ν ν

σ π

− −     =       (60)

diyagonal matrisinden elde edilen eşlenik

sınıfı-nı türetelim. Bu sısınıfı-nıfa πν temsilinin Langlands

sınıfı denir ve bu eşlenik sınıfı sadece πν temsi-linin denklik sınıfına bağlıdır ve denk olmayan

dallanmamış esas seri temsilleri GL n

(

,

)

için-de farklı eşlenik sınıfları tanımlar. Bu gözlem

neticesinde, G A

( )

K adel gurubunun bir

ν ν

π = ⊗′π indirgenemez, makul otomorf temsili

için L-fonksiyonu (bunlara standart

L-fonksiyonu denir), Re

( )

s > olması kaydı ile, 1

( )

,

( )

, S S L s L sν ν

π

π

∉ =

(61)

Euler çarpımı olarak tanımlanır. Burada S ile

K global cisminin sonsuz ve sonlu dallanmış

yerlerin kümesini gösteriyoruz. Flath’ın teoremi

neticesinde S sonlu bir kümedir. ν ∉ duru-S

munda, lokal L-fonksiyonu

( )

(

( )

)

1

, det 1 s

L sν

π

= −

σ π

ν qν− − (62)

karakteristik polinomu ile tanımlanır.

Teorem(Godement-Jacquet). Verilen

( )

K ( , K)

G A =GL n A adel gurubunun aşikar

olmayan bir uç otomorf temsili π olsun.

( )

Re s > için tanımlı olan 1 L sS

( )

fonksiyo-nunun tüm kompleks düzleme meromorf devamı vardır ve

( )

,

( )

,

(

1 ,

)

S S S

L s

π

=

ε

s

π

Ls

π

(63)

fonksiyonel denklemini sağlar. Burada

π

ile

π temsilinden elde edilen G A

( )

K adel

guru-bunun belli bir temsilini gösteriyoruz. Dahası,

1

n≠ ise, tüm düzleme devam edilmiş olan

( )

,

L s π fonksiyonu tam bir fonksiyondur. n= 1

ise, L s

( )

fonksiyonu Hecke L-fonksiyonudur. Global Artin karşılıklılık yasasının farklı bir formülasyonu olarak (32) numaralı doğal eşle-meyi görmüştük. Burada, daha önce de belirtti-ğimiz gibi, bu eşlemenin doğallığı ile iki farklı rejimde (Galois rejimi ve Hecke rejimi) inşa

edilen L-fonksiyonlarının (33) numaralı

denk-lemdeki eşitliğini anlıyoruz. ( ,GL n AK) adel

gurubunun otomorf temsiller kuramı, n= du-1

rumunda, GL(1,AK)=A×K idel gurubunun

Hecke karakterleri kuramıdır. Langlands

karşı-lıklılık ilkesi Verilen her indirgenemez aşikar olmayan ve n -boyutlu Galois temsili

( )

:GK GL V

ρ → için GL n A( , K) adel

gurubu-nun öyle bir

π

ρ uç otomorf temsili vardır ki,

( )n : K ρ πρ Λ (64) eşlemesi

( )

,

(

,

)

L s

ρ

=L s

π

ρ (65) ve

( )

s,

(

s, ρ

)

ε

ρ

=

ε

π

(66) eşitliklerini sağlar.

Bu ilkenin doğruluğu, Godement-Jacquet teo-remi sonucu, bize meşhur Artin holomorfi

sanıtının da doğruluğunu verir. Bu sanıt, G K

mutlak Galois gurubunun indirgenemez aşikar

olmayan ve n -boyutlu Galois temsili

ρ

için

tanımlı L s

( )

,ρ Artin L-fonksiyonunun tüm

kompleks düzleme holomorf devamının

varlığı-nı öngörmektedir. Bu doğrultuda, n= duru-2

References

Related documents

RESTAURANTS: Besides restaurants in the hotels, the following recommendable restaurants may be mentioned: Rosendal, Pyynikki, Phone 4711. —

Credit points: 6 Teacher/Coordinator: Dr Thomas Doougherty Session: Semester 2 Classes: 2x1-hr lectures/week, 1x1-hr tutorial/week Prohibitions: PHIL1010 Assessment: tutorial

Given a nonnegative matrix as well as row and column marginals the IPF procedure generates a sequence of matrices, called the IPF sequence, by alternately fitting rows and columns

In the paragraph quoted, “value” could have two different interpretations: either monetary value, or subjective value. Let us analyze these possibilities and see if they could lead

the target property to make a more emphatic point. This enabled a definition of hyperbole not just in terms of its form, but in terms of its effects and its purpose. We

Though, when Pt is used to detect spin currents in an attached magnetic film, a spin polarization in the Pt generated by a static magnetic proximity effect (MPE) might occur and

Environmental Program Manager: Creation of a position for the department to develop a sustainable community model that may be implemented within University Housing for

The final passage of the story reminds us of the beginning where the profile drawn by Ruliang’s left hand is described as looking like a person who has “just survived a