Conjugacy classes of some classical linear groups

60  Download (0)

Full text

(1)UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo. MAGISTRSKO DELO Danijela Stojko. Maribor, 2018.

(2)

(3) UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo. Magistrsko delo. RAZREDI KONJUGIRANIH ELEMENTOV V NEKATERIH KLASIČNIH LINEARNIH GRUPAH na študijskem programu 2. stopnje Matematika. Mentor:. Kandidatka:. prof. dr. Dušan Pagon. Danijela Stojko. Maribor, 2018.

(4) ZAHVALA. Iskreno se zahvaljujem mentorju prof. dr. Dušanu Pagonu za strokovno vodenje in svetovanje pri nastajanju magistrskega dela. Hvala mojemu partnerju, da me je podpiral in spodbujal k zaključku študija. Hvala sinu, da je potrpežljivo prenašal moje delo. Hvala staršema za vso pomoč in podporo v času študija. Hvala tudi vsem ostalim, ki ste pozitivno vplivali na moje življenje v času študija..

(5) UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. IZJAVA. Podpisana Danijela Stojko, rojena 27. oktobra 1986, študentka Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, študijskega programa 2. stopnje Matematika, izjavljam, da je magistrsko delo z naslovom RAZREDI KONJUGIRANIH ELEMENTOV V NEKATERIH KLASIČNIH LINEARNIH GRUPAH pri mentorju prof. dr. Dušanu Pagonu avtorsko delo. V magistrskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev.. Maribor, 12. februar 2018. Danijela Stojko.

(6) Razredi konjugiranih elementov v nekaterih klasičnih linearnih grupah program magistrskega dela. V delu naj bodo preučeni razredi konjugiranih (podobnih) matrik v nekaterih končnih linearnih grupah: posebni, simplektični, ortogonalni. Poudarek naj bo na razliki med matrikami nad končnimi polji in tistimi s kompleksnimi koeficienti, ko vsak razred konjugiranih elementov predstavlja določena Jordanova normalna oblika. Za matrike majhnih dimenzij (n < 5) in polja z največ štirimi elementi ponazorite splošne trditve s konkretnimi primeri. Osnovni viri: 1. I.G. Macdonald, Numbers of conjugacy classes in some finite classical groups, Bulletin of the Australian Mathematical Society, Vol. 23 (1981), pp. 23-48. 2. S. Sam, Conjugacy classes of a finite general linear group.. Dosegljivo na. spletu: https://concretenonsense.wordpress.com/2009/09/14/glfg-i-conjugacyclasses-of-a-finite-general-linear-group/. prof. dr. Dušan Pagon.

(7) STOJKO, D.: Razredi konjugiranih elementov v nekaterih klasičnih linearnih grupah. Magistrsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in računalništvo, 2018.. IZVLEČEK. Cilj magistrskega dela je preučiti razrede konjugiranih elementov v nekaterih klasičnih linearnih grupah. V uvodnem poglavju magistrske naloge najprej predstavimo nekaj osnovnih pojmov in definicij iz teorije grup, ki so potrebni za razumevanje nadaljnje vsebine. Definiramo pojem modula in predstavimo nekaj osnovnih lastnosti modulov. V nadaljevanju predstavimo splošne in specialne linearne grupe ter izračunamo njihovo moč. Definiramo tudi razrede konjugiranih elementov v poljubni grupi. V osrednjem delu magistrskega dela opišemo razrede konjugiranih elementov v splošni linearni grupi GLn (Fq ). Konstrukcija konjugiranih razredov GLn (Fq ) temelji na teoriji o nerazcepnih polinomih in particijah števila i ∈ {1, 2, · · · , n}. Na koncu poiščemo in predstavimo razrede konjugiranih elementov grup GL2 (Fq ) in GL3 (Fq ).. Ključne besede: grupe, moduli, linearne grupe, konjugirani razredi. Math. Subj. Class. (2010): 14L35, 16D10, 20E45, 20G40..

(8) STOJKO, D.: Conjugacy classes of some clasical linear groups. Master Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Scicences and Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, 2014.. ABSTRACT. The goal of this master thesis is to describe conjugacy classes of some classical linear groups. The introductory chapter initially includes some basic terms and definitions of group theory that are needed for further understanding of the content. We define what a module is and give some basic properties of modules. Then, general and special linear groups are presented and their order calculated. Afterwards conjugacy classes of a group are defined. In the main chapter of the thesis a complete description for conjugacy classes of GLn (Fq ) is given. Construction of conjugacy classes GLn (Fq ) is based on theory of irreducible polynomials and partitions of i ∈ 1, 2, · · · , n. Finally, the conjugacy classes of GL2 (Fq ) in GL3 (Fq ) are described and listed at the end of the chapter.. Keywords: groups, module, linear groups, conjugacy classes.. Math. Subj. Class. (2010): 14L35, 16D10, 20E45, 20G40..

(9) Kazalo. Uvod. 1. 1 Osnovni pojmi 1.1. 1.2. 3. Osnovne lastnosti grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.1.1. Homomorfizmi grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.1.2. Delovanje grupe na množico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. Definicija in osnovni pojmi o modulih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2 Klasične linearne grupe. 15. 2.1. Splošna linearna grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.2. Specialna linearna grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 2.3. Moč splošne linearne grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.4. Moč specialne linearne grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 3 Razredi konjugiranih elementov. 21. 4 Razredi konjugiranih elementov v GLn (Fq ). 24. 4.1. Particije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 4.2. Predstavniki razredov konjugiranih elementov v GLn (Fq ) . . . . . . . . . .. 26. 5 Razredi konjugiranih elementov v GL2 (Fq ). 30. 5.1. Razredi GL2 (Fq ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 5.2. Red elementov GL2 (Fq ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. ix.

(10) 6 Razredi konjugiranih elementov v GL3 (Fq ) 6.1. Razredi GL3 (Fq ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Literatura. 42 42 50.

(11) Uvod V magistrskem delu bomo preučili razrede konjugiranih elementov v nekaterih klasičnih linearnih grupah. Delo je razdeljeno na šest poglavij. V prvem poglavju predstavimo osnovne pojme iz teorije grup, ki jih potrebujemo za razumevanje vsebine v nadaljevanju. Začnemo z osnovnimi lastnosti grup, definiramo homomorfizme grup in delovanje grupe na množico. Pomembno osnovo predstavlja Lagrangev izrek, ki pravi, da red vsake podgrupe dane grupe G deli red grupe G. Na koncu definiramo še pojem modula, ki je Abelova grupa, katere elemente lahko množimo z elementi iz nekega kolobarja in navedemo nekaj osnovnih lastnosti modulov. V drugem poglavju definiramo klasične linearne grupe. Na začetku uvedemo nekaj oznak, ki jih potrebujemo v tem in ostalih poglavjih. Osredotočimo se na splošne in specialne linearne grupe in izračunamo njihove moči. V tretjem poglavju definiramo relacijo konjugiranosti elementov v poljubni grupi G in dokažemo, da je relacija konjugiranosti ekvivalenčna relacija, ki grupo razbije na razrede konjugiranih elementov. Definiramo še konjugirani razred elementa g iz grupe G in navedemo ter dokažemo nekaj osnovnih lastnosti konjugiranih razredov. V četrtem poglavju poiščemo razrede konjugiranih elementov splošne linearne grupe GLn (Fq ). Najprej na kratko predstavimo particije pozitivnih celih števil in navedemo nekaj funkcij, ki jih potrebujemo pri določanju konjugiranih razredov v tem poglavju. Podamo izrek (Jordanova kanonična forma, izrek 4.4) na podlagi katerega določimo predstavnike konjugiranih razredov grupe GLn (Fq ). Pokažemo, da so konjugirani razredi GLn (Fq ) različnih tipov in imajo vsi razredi istega tipa isto moč. V petem poglavju poiščemo razrede konjugiranih elementov grupe GL2 (Fq ) obrnljivih 2 × 2 matrik z elementi iz končnega obsega Fq s q elementi. Podrobneje si ogledamo vsakega predstavnika razreda konjugiranih elementov, določimo centralizator, velikost razreda in število razredov posameznega tipa. Na koncu poglavja določimo še red elementov v posameznem konjugiranem razredu.. 1.

(12) 2 V zadnjem šestem poglavju na podoben način kot za grupo GL2 (Fq ), poiščemo razrede konjugiranih elementov grupe GL3 (Fq ), določimo centralizatorje, velikost razredov in število razredov posameznega tipa..

(13) Poglavje 1 Osnovni pojmi V tem poglavju bomo navedli nekaj osnovnih definicij s področja teorije grup. Najprej bomo definirali pojem grupe in predstavili nekaj lastnosti, ki jih bomo potrebovali v naslednjih poglavjih, definirali bomo še homomorfizme grup in delovanje grupe na množico. Na koncu bomo definirali še pojem modula in predstavili nekaj osnovnih lastnosti modulov. Kot glavna vira sta uporabljena [2], [12].. 1.1. Osnovne lastnosti grup. Definicija 1.1 Neprazna množica G skupaj z operacijo ◦, kjer je ◦ : G × G → G binarna operacija, je grupa, če zadošča naslednjim pogojem: (i) za poljubne elemente a, b, c ∈ G, velja asociativnostni zakon: (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c), (ii) obstaja tak element e ∈ G, da za vsak a ∈ G velja: a ◦ e = a = e ◦ a in (iii) za vsak element a ∈ G, obstaja tak element a−1 ∈ G, da velja: a ◦ a−1 = e = a−1 ◦ a. Grupo s pripadajočo binarno operacijo zapišemo kot urejeni par (G, ◦) oziroma kar G, kadar je iz konteksta jasno, za katero binarno operacijo gre. Element e imenujemo nevtralni element oziroma enota, element a−1 ∈ G, ki zadošča tretjemu pogoju v zgornji definiciji, imenujemo inverzni element oziroma invez elementa a. Če je v grupi G operacija ◦ komutativna a ◦ b = b ◦ a za vsaka a, b ∈ G rečemo, da je G komutativna grupa oziroma Abelova grupa. Binarno operacijo v Abelovi grupi običajno označujemo s +, nevtralni element z 0, inverzni (nasprotni) element označujemo z −a.. 3.

(14) 1.1 Osnovne lastnosti grup. 4. Zgled. Množice Zn , Rn in Cn so Abelove grupe za seštevanje, za vsako naravno število n. Moč grupe oziroma red grupe G označimo z |G| in je enaka številu elementov v grupi G. Grupa G je končna, če velja |G| < ∞, drugače je neskončna. V grupi lahko za vsak element grupe definiramo red elementa. Definicija 1.2 Naj bo G končna grupa in a ∈ G. Red elementa a je tako najmanjše naravno število n, da velja an = e, to je red(a) = min{n ∈ N | an = e}, kjer je e enota v grupi G. V kolikor tak n ne obstaja, pravimo, da je a neskončnega reda: red(a) = ∞. V takem primeru je grupa G nujno neskončna. Definicija 1.3 Naj bo G grupa. Neprazna podmnožica H ⊆ G je podgrupa grupe G, če je H grupa za isto operacijo. To označimo kot H ≤ G. Če je H ≤ G in H 6= G, pravimo, da je H prava podgrupa grupe G in označimo H < G. Iz definicije sledi, da je podgrupa H zaprta za operaciji množenja in invertiranja. To pomeni, da sta za vsaka dva elementa a, b ∈ H tudi ab in a−1 elementa podmnožice H. Podgrupa H ima isto enoto kot grupa G. Vsaka grupa G ima vsaj dve podgrupi, to sta trivialni podgrupi {e} in G. Da ugotovimo ali je neka podmnožica H ⊂ G tudi podgrupa, moramo preveriti, ali je H zaprta za množenje in invertiranje. Naslednji izrek nam pove, da lahko ti dve operaciji združimo v en pogoj, kar nam da kriterij za obstoj podgrupe. Trditev 1.4 (Kriterij za podgrupo) Naj bo G grupa. Neprazna podmnožica H ⊆ G je podgrupa G natanko takrat, ko je: ab−1 ∈ H za vse a, b ∈ H.. (1.1). Dokaz. (⇒) Naj bo H podgrupa G in naj bosta a, b ∈ H. Ker je H podgrupa, je zaprta za množenje in invertiranje, zato je tudi b−1 element podgrupe H in od tod očitno velja ab−1 ∈ H. (⇐) Predpostavimo sedaj, da v H velja 1.1. Pokazati moramo, da iz 1.1 sledi, da je H podgrupa, torej da veljajo naslednje lastnosti: • e ∈ H,.

(15) 1.1 Osnovne lastnosti grup. 5. • ∀a ∈ H : a−1 ∈ H in • ∀a, b ∈ H : ab ∈ H, Če postavimo a = b, potem bb−1 ∈ H. Dobimo bb−1 = e ∈ H, kar je prvi pogoj. Če vzamemo a = e, potem eb−1 ∈ H. Dobimo b−1 ∈ H, kar je drugi pogoj. Naj bosta sedaj a, b ∈ H, tedaj je b−1 ∈ H, ker je H zaprta za invertiranje. Prav tako velja a(b−1 )−1 ∈ H ⇔ ab ∈ H. Od tod sledi, da je H zaprta za množenje. S tem smo dokazali, da je H podgrupa G. Pomembno vlogo v teoriji grup igrajo odseki elementov po podgrupi H ≤ G. Definicija 1.5 Naj bo H ≤ G in g ∈ G. Levi odsek elementa g po podgrupi H je gH = {gh : h ∈ H} ⇒ |gH| = |H| in podobno je desni odsek elementa g po podgrupi H Hg = {hg : h ∈ H}. Množico vseh levih odsekov po podgrupi H označimo kot G/H. Enostavno se da pokazati, da so razredi odsekov ekvivalenčni razredi naslednje relacije na grupi G a ∼ b natanko tedaj, ko a−1 b ∈ H. Različni razredi odsekov tvorijo particijo množice G in zato lahko G zapišemo kot disjunktno unijo G = ∪g gH. Če je število levih odsekov po podgrupi H končno, ga imenujemo indeks podgrupe H v grupi G in ga označimo z [G : H]. Izrek 1.6 (Lagrangeov izrek) Naj bo G končna grupa in H ⊂ G podgrupa G. Potem je moč grupe G deljiva z močjo grupe H in velja formula |G| = [G : H] |H|. Lagrangeov izrek ima pomembno vlogo pri proučevanju strukture grup. Dokaz izreka sledi iz zgoraj omenjene particije grupe G in dejstva, da je množenje s poljubnim elementom bijekcija grupe G nase. Definicija 1.7 Center grupe G, ki ga označimo z Z(G), je množica vseh tistih elementov iz grupe G, ki komutirajo z vsakim elementom iz G: Z(G) = {g ∈ G : gx = xg za vse x ∈ G}..

(16) 1.1 Osnovne lastnosti grup. 6. Za x ∈ G je centralizator Z(x) množica elementov grupe G, ki komutirajo z x: Z(x) = {g ∈ G : gx = xg}.. Center grupe in centralizator posameznega elementa iz grupe sta podgrupi, pri čemer je T center presek vseh centralizatorjev: Z(G) = g∈G Z(g). Očitno je, da v primeru, ko je G Abelova grupa, velja Z(G) = G. Trditev 1.8 Centralizator Z(g) poljubnega elementa g ∈ G je podgrupa grupe G. Dokaz. Hitro vidimo, da je enota e v Z(g), saj velja: e · g = g · e = g. Naj bosta h1 , h2 ∈ Z(g). Potem velja h1 h2 g = h1 (h2 g) = h1 (gh2 ) = (h1 g)h2 = gh1 h2 zato je h1 h2 ∈ Z(g). Naj bo h ∈ Z(g), potem velja. hg = gh h−1 hgh−1 = h−1 ghh−1 gh−1 = h−1 g in zato je h−1 v Z(g). S tem smo pokazali, da je vsak centralizator Z(g) podgrupa grupe G. Zato je tudi center Z(G), kot presek teh podgrup, podgrupa v G.. 1.1.1. Homomorfizmi grup. Definicija 1.9 Naj bosta G = (G, ◦) in H = (H, ∗) grupi. Preslikava φ : G → H je homomorfizem grup, če velja: φ(a ◦ b) = φ(a) ∗ φ(b), za poljubna elementa a, b ∈ G.. Zgornja definicija nam pove, da se produkt poljubnih elementov a, b ∈ G preslika v produkt njunih slik φ(a) in φ(b) v H. Homomorfizem φ, za kateri velja injektivnost, imenujemo monomorfizem. Če je homomorfizem φ surjektivna preslikava, ga imenujemo epimorfizem..

(17) 1.1 Osnovne lastnosti grup. 7. Definicija 1.10 Homomorfizem grup φ : G → H, ki je bijektiven, se imenuje izomorfizem. ∼ H. V tem primeru pravimo, da sta grupi G in H izomorfni. To označimo kot G = Kadar v zgornji defniciji velja G = H, potem izomorfizem φ imenujemo avtomorfizem. Izrek 1.11 Naj bosta G in H grupi s pripadajočima enotama eG ∈ G in eH ∈ H ter naj bo φ : G → H homomorfizem. Potem je: (i) φ(eG ) = eH , (ii) φ(a−1 ) = φ(a)−1 za vsak a ∈ G. Dokaz. (i) Naj bo a ∈ G. Potem je φ(a) = φ(eG ◦ a) = φ(eG ) ∗ φ(a). Z množenjem enačbe z desne s φ(a)−1 dobimo eH = φ(a) ∗ φ(a)−1 = φ(eG ). (ii) eH = φ(eG ) = φ(a ◦ a−1 ) = φ(a) ∗ φ(a−1 ). Z množenjem enačbe z leve s φ(a)−1 dobimo φ(a)−1 = eH ∗ φ(e) ∗ φ(a−1 ) = φ(a−1 ).. Izrek 1.11 nam pove, da homomorfizmi ohranjajo množenje, nevtralni element in ohranjajo inverzno operacijo x 7→ x−1 . Izomorfni grupi G in H imata enako strukturo. Definicija 1.12 Naj bosta G in H grupi. Jedro homomorfizma φ : G → H je množica Ker(φ) = {a ∈ G | φ(a) = eH } . Slika homomorfizma je množica Im(φ) = {φ(a) | a ∈ G} .. Jedro homomorfizma je neprazna množica, ker vedno vsebuje enoto..

(18) 1.1 Osnovne lastnosti grup. 1.1.2. 8. Delovanje grupe na množico. Naj bo G grupa in M poljubna množica. Definicija 1.13 Delovanje grupe G na množico M je poljubna preslikava ρ : G × M → M (g, x) 7→ g · x, ki zadošča pogojema: (i) g1 · (g2 · x) = (g1 g2 ) · x za vse g1 , g2 ∈ G in x ∈ M , (ii) e · x = x za vsak x ∈ M , kjer je e enota v G. Na delovanje grupe G na množico M lahko gledamo tudi kot na permutacije na množici M . Vsakemu elementu g iz grupe G lahko priredimo preslikavo σg : M → M, σg (x) = g · x. Hitro lahko pokažemo, da je σg bijekcija na množici M . Preslikava σg ima inverz, saj je σg σg−1 (x) = g · (g −1 · x) = (gg −1 ) · x = e · x = x, podobno pokažemo enakost σg−1 σg (x) = x. Zato je σg ∈ SM , kjer je SM množica vseh permutacij na M . Izrek 1.14 Naj grupa G deluje na množico M . Potem velja: (i) Preslikava ϕ : G → SM , definirana s predpisom ϕ(g) = σg , je homomorfizem. (ii) Vsak homomorfizem ϕ : G → SM predstavlja delovanje grupe G na množico M . Dokaz. (i) Naj bosta g, h ∈ G. Potem je ϕ(gh)(x) = (gh) · x = g · (h · x) = σg (σh (x)) = σg σh (x) = ϕ(g)(ϕ(h)(x)) za vsak x ∈ M . Ker velja ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h), je preslikava ϕ res homomorfizem. (ii) Pokažimo sedaj še, da velja tudi obratna trditev. Naj bo ϕ : G → SM homomorfizem. Potem je ϕ(g) : M → M bijekcija za vsak g ∈ G. Definirajmo preslikavo g · x = ϕ(g)(x).. (1.2).

(19) 1.1 Osnovne lastnosti grup. 9. Potem velja (gh) · x = ϕ(gh)(x) = ϕ(g)ϕ(h)(x) = ϕ(g)(ϕ(h)(x)) = g · (h · x), e · x = ϕ(e)(x) = x saj je po izreku 1.11 ϕ(e) enota v SM . Preslikava, definirana z 1.2, je torej delovanje grupe na množico M .. Za množico, na katero deluje grupa G, rečemo da je G-množica. Uporablja se tudi krajši zapis delovanja grupe na množico gb(x). Po dogovoru je ∀g ∈ G : g · x = ϕ(g)(x) = gb(x). Trditev 1.15 Naj grupa G deluje na množici M in naj bo x ∈ M . Množica Sx = {g ∈ G : g · x = x} ⊂ G je stacionarna podgrupa grupe G, to je stabilizator elementa x pri delovanju grupe G na množici M . Dokaz. Pokažimo, da je Sx podgrupa grupe G. c 1. Naj bosta g, h ∈ Sx potem velja ĝ(x) = x in b h(x) = x. gh(x) = gb(b h(x)) = gb(x) = x. d −1 g(x) = x. Od tod dobimo g −1 (b 2. Ker je ϕ homomorfizem, je eb(x) = x =⇒ g[ g (x)) = x −1 d −1 in zato, če je g ∈ Sx =⇒ g (x) = x =⇒ g ∈ Sx .. Definicija 1.16 Naj grupa G deluje na množici M in naj bo x ∈ M . Množico OrbG (x) = {g · x | g ∈ G} ⊂ M imenujemo orbita elementa x pri delovanju grupe G na množici M . Množica {ObrG (x) | x ∈ M } predstavlja dekompozicijo množice M . Orbiti dveh elementov sta bodisi disjunktni, bodisi enaki in zato orbite pokrijejo vso množico M . Naj grupa G deluje na množici M in naj bo x ∈ M . Grupa G razpade na množico levih odsekov G/Sx := {gSx | g ∈ G} po podgrupi Sx . Z [G : Sx ] označimo indeks stabilizatorja poljubne točke x ∈ M ..

(20) 1.1 Osnovne lastnosti grup. 10. Izrek 1.17 Naj bo dana poljubna G-množica M . Sliki nekega elementa x ∈ M pri preslikavah gb in b h, g, h ∈ G sovpadata natanko tedaj, ko sta elementa g in h predstavnika istega razreda odcepa grupe G po podgrupi Sx : gSx = hSx . Dokaz. Naj bo gb(x) = b h(x). Pokazati moramo, da sta g in h predstavnika istega razreda odcepa grupe G po podgrupi Sx .. gb(x) = b h(x) ⇒ −1 (b −1 (b hd g (x)) = hd h(x)) ⇒ [ −1 g(x) = h −1 h(x) = x h[. −1 h(x) = x ∈ S . Vidimo, da je h[ x [ −1 Z množenjem izraza h g(x) z leve s h dobimo g ∈ hSx .. Pokažimo sedaj še obratno. Naj bo g ∈ hSx . Velja g ∈ hSx ⇒ g = hk, kjer je k ∈ Sx . d =b c ⇒ gb(x) = hk(x) =b h(k(x)) h(x).. Izrek 1.18 (Osnovna povezava) Naj bo G končna grupa, ki deluje na M , in naj bo x ∈ M . Potem velja naslednja zveza |G| = |Orb(x)||Sx |. Dokaz.. Definirajmo preslikavo φ : G/Sx → Orb(x) s predpisom gSx 7→ g · x za g ∈ G.. Pokažimo, da je preslikava s tem predpisom dobro definirana in je bijektivna. Pokažimo, da je preslikava φ dobro definirana. Naj bosta g1 , g2 ∈ G. Predpostavimo, da velja g1 Sx = g2 Sx . Iz (g2−1 g1 ) · x = x sledi g1 · x = g2 · x. Preslikava φ je dobro definirana. Pokažimo, da je preslikava injektivna. Naj bosta g1 Sx , g2 Sx ∈ G/Sx . Predpostavimo, da velja φ(g1 Sx ) = φ(g2 Sx ). Potem iz g1 · x = g2 · x sledi (g2−1 g1 ) · x = x in g2−1 g1 ∈ Sx . Torej je g1 Sx = g2 Sx in je preslikava φ res injektivna. Vzemimo sedaj poljuben element y iz orbite Orb(x). Potem za nek z ∈ G velja y = z · x. Zato φ(zSx ) = z · x = y, kar pomeni φ je surjektivna. S tem smo pokazali, da je preslikava φ injektivna in surjektivna, torej je bijektivna..

(21) 1.2 Definicija in osnovni pojmi o modulih Imamo torej bijektivno preslikavo, kar nam da. 1.2. |G| |Sx |. 11 = |G/Sx | = |Orb(x)|.. Definicija in osnovni pojmi o modulih. Modul je Abelova grupa, katere elemente lahko množimo z elementi iz nekega kolobarja. Na primer, vektorji v Rn tvorijo modul nad obsegom R, saj lahko vektorje množimo z realnimi števili. Formalno je definicija modula enaka kot definicija vektorskega polja, le da vlogo skalarjev zamenjajo elementi poljubnega kolobarja. Definicija 1.19 Naj bo R kolobar in naj bo (M, +) Abelova grupa. Potem je M levi Rmodul, če obstaja preslikava R × M → M , (r, m) 7→ rm, ki zadošča naslednjim računskim pravilom (i) r(m1 + m2 ) = rm1 + rm2 , (ii) (r1 + r2 )m = r1 m + r2 m, (iii) (r1 r2 )m = r1 (r2 m), (iv) 1 · m = m, kjer je 1 enota kolobarja R, za vse r, r1 , r2 ∈ R in m, m1 , m2 ∈ M . Če preslikava zadošča zgoraj navedenim aksiomom, pravimo, da kolobar R linearno deluje na M . V primeru, ko je R polje, je M vektorski prostor nad poljem R. Vsaka Abelova grupa A ima naravno strukturo Z-modula, saj lahko v Abelovi grupi vsak element podvojimo, potrojimo in podobno. Abelove grupe niso tipični moduli, zato ker Z ni tipičen kolobar, ampak je glavni kolobar. Moduli nad glavnim kolobarjem so zelo podobni Abelovim grupam, saj na primer dopuščajo razcep na primarne faktorje. Na splošno velja, da struktura R-modulov odraža strukturo kolobarja R in obratno. Oglejmo si poseben primer modula. Zgled. Naj bo Rn množica vseh urejenih n-teric (x1 , x2 , . . . , xn ), xi ∈ R. Ta množica je Abelova grupa za seštevanje (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )..

(22) 1.2 Definicija in osnovni pojmi o modulih. 12. Nevtralni element je 0 = (0, 0, ..., 0), nasprotni element je definiran kot −(x1 , x2 , . . . , xn ) = (−x1 , −x2 , . . . , −xi ). Če definiramo množenje R × Rn −→ Rn kot r(x1 , x2 , . . . , xn ) = (rx1 , rx2 , . . . , rxn ) potem je Rn modul nad obsegom R. Ta modul predstavlja n-dimenzionalen vektorski prostor. Definicija 1.20 Naj bo M modul nad R. Neprazna podmožica N ⊆ M je podmodul od M , če velja (i) a − b ∈ N za vse a, b ∈ N , (ii) ra ∈ N za vse a ∈ N , r ∈ R. Podmodul je torej Abelova podgrupa od M , ki je zaprta za množenje z elementi iz kolobarja R. Očitno je, da sta {0} in M trivialna podmodula od M . Če je R polje, potem N imenujemo vektorski podprostor od M . Za vsako neprazno podmnožico S v R-modulu M obstaja najmanjši podmodul < S >≤ M , ki vsebuje S. Elementi < S > so natanko vse R-linearne kombinacije elementov S. Pravimo, da S generira (razpenja) R-modul < S >. Definicija 1.21 Za R-modul M rečemo, da je M končno generiran modul, če je M =< x1 , x2 , . . . , xn > za neke xi ∈ M , 1 ≤ i ≤ n. Elementi xi so generatorji modula M . Modul je cikličen, če ga generira en sam element m ∈ M : < m >= {r · m | r ∈ R} ≤ M . Naj bodo x1 , x2 , . . . , xn ∈ M . Izraz r1 x1 + r2 x2 + · · · + rn xn. (1.3). imenujemo linearna kombinacija elementov x1 , x2 , . . . , xn . Množico vseh takih linearnih kombinacij označimo z n X i=1. Rxi = {r1 x1 + r2 x2 + · · · + rn xn |ri ∈ R, xi ∈ M }..

(23) 1.2 Definicija in osnovni pojmi o modulih. 13. Naslednji izrek nam pove, da so v primeru, ko ima R enoto, končno generirani R-moduli sestavljeni iz linearnih kombinacij 1.3. Izrek 1.22 Naj bo R kolobar z enoto in naj bo M modul nad R. Če je M končno generiran P z elementi x1 , x2 , . . . , xn , potem je M = ni=1 Rxi . Dokaz. Pokazati moramo, da je množica. Pn. i=1 Rxi. podmodul od M in da so vsi generatorji. modula M vsebovani v tej vsoti. Pokažimo najprej, da je množica P m2 = ni=1 si xi . Potem velja. Pn. i=1 Rxi. m1 − m2 =. am1 =. n X. Zato je. i=1 Rxi. i=1 Rxi. za vsak. i=1. (ari )xi ∈. i=1. Pn. in. i=1 ri xi. n n X X (ri − si )xi ∈ Rxi i=1. in za a ∈ R. Pn. podmodul od M . Naj bo m1 =. n X. Rxi .. i=1. podmodul od M .. Vsi generatorji modula M so vsebovani v. Pn. i=1 Rxi ,. saj je xk = 1xk ∈. Pn. k = 1, 2, . . . , n. Zato je. < x1 , x2 , . . . , xn >⊆. n X. Rxi ,. (1.4). i=1. saj je < x1 , x2 , . . . , xn > najmanjši modul, ki vsebuje vse generatorje x1 , x2 , . . . , xn . Po P predpostavki je M =< x1 , x2 , . . . , xn > in zato iz relacije 1.4 sledi M = ni=1 Rxi . Vsak element m končno generiranega modula je linearna kombinacija m =. Pn. i=1 ri xi .. Ge-. neratorji niso nujno enolično določeni. Naj bo Fn [x] vektorski prostor polinomov stopnje največ n nad obsegom F. Potem sta {1, x, x2 , . . . , xn } in {1, 1 + x, x2 , . . . , xn } dve različni množici generatorjev prostora Fn [x]. Definicija 1.23 R-modul M je prost, če obstaja X ⊆ M , ki je njegova baza, to je X je linearno neodvisna in razpenja M ..

(24) 1.2 Definicija in osnovni pojmi o modulih. 14. Vemo, da ima vsak končnorazsežni vektorski prostor bazo; iz vsake množice, ki razpenja prostor, lahko izberemo bazo in vsako linearno neodvisno množico lahko dopolnimo do baze ter poljubni dve bazi imata enako število elementov. Nobena izmed teh trditev ne drži za module nad splošnimi kolobarji, veljajo pa vsa ta dejstva za proste module nad kolobarji z deljenjem. Izkaže se tudi, da je v primeru glavnega kolobarja R vsak podmodul prostega R-modula prost. Definicija 1.24 Naj bo R kolobar, M in N pa R-modula. Homomorfizem danih R-modulov je preslikava f : M −→ N , ki zadošča pogojema (i) f (x + y) = f (x) + f (y), (ii) f (rx) = rf (x), za vse x, y ∈ M in r ∈ R. Če je R polje, potem je f linearna transformacija iz vektorskega prostora M v vektorski prostor N . Naslednji izrek je analogen osnovnemu izreku o homomorfizmih grup. Izrek 1.25 Naj bosta M in N modula nad R in naj bo f : M −→ N homomorfizem modulov. Potem velja naslednja zveza M/Ker(f ) ' Im(f )..

(25) Poglavje 2 Klasične linearne grupe Uvedimo najprej nekaj oznak, ki jih bomo potrebovali v tem in ostalih poglavjih. Označimo z F poljubno polje, F∗ = F \ {0} je množica vseh obrnljivih elementov v F in Fn naj bo n-razsežni vektorski prostor n-teric nad poljem F. Množico vseh n × n matrik z elementi iz F bomo označevali z Mn (F). Naj bo In ∈ Mn (F) identična matrika velikosti n × n, katere elementi na glavni diagonali imajo vrednost 1, vsi ostali pa 0. Matrika A ∈ Mn (F) je obrnljiva matrika natanko tedaj, ko obstaja matrika A−1 , da velja enakost AA−1 = A−1 A = In . Matrika je obrnljiva natanko tedaj, ko ima neničelno determinanto. Če sta A in B dve n × n matriki, potem velja det(AB) = det(A) det(B).. 2.1. Splošna linearna grupa. Označimo z GLn (F) = {A ∈ Mn (F) : det(A) 6= 0}. Definicija 2.1 Splošna linearna grupa GLn (F) stopnje n je grupa vseh obrnljivih matrik dimenzije n × n nad poljem F z operacijo množenja matrik. Enostavno je videti, da je GLn (F) grupa. Množica GLn (F) združuje vse obrnljive matrike, to je vse matrike z neničelno determinanto. Ker je determinanta multiplikativna funkcija, je množica GLn (F) zaprta za množenje in invertiranje. Produkt dveh obrnljivih matrik je obrnljiva matrika, prav tako je inverz obrnljive matrike obrnljiva matrika. Matrično množenje je asociativna operacija, enota za množenje je identična matrika In in vse matrike iz GLn (F) so obrnljive po definiciji.. 15.

(26) 2.2 Specialna linearna grupa. 16. Zgled. Splošna linearna grupa stopnje n nad R je množica realnih obrnljivih matrik dimenzije n × n, GLn (R) = {A ∈ Mn (R) : det(A) 6= 0}, z operacijo množenja matrik. Za n = 1 je to grupa R∗ vseh neničelnih realnih števil za množenje. Grupa GLn (R) n ≥ 2 ni komutativna grupa, ker matrično množenje ni komutativno.. Trditev 2.2 Center grupe GLn (F) je množica Z(GLn (F)) = {x · In | x ∈ F∗ }. Dokaz. Vemo, da je center grupe množica vseh elementov iz grupe, ki komutirajo z vsakim elementom iz grupe. Očitno je, da vsaka matrika oblike aIn , a ∈ F komutira z vsako matriko v grupi GLn (F). Vzemimo matriko M = (ai,j ) ∈ Z(GLn (F)). M mora komutirati z vsako matriko iz GLn (F). Pokazati moramo, da je M = xIn za nek x ∈ F. Potem za elementarno matriko s(x) = diag(x, 1, · · · , 1) velja: s(x)M s(x−1 ) = M za vse x ∈ F∗ . Vrednosti v prvi vrstici matrike s(x)M s(x−1 ) so enake pripadajočim vrednostim v matriki M , pomnoženim z x, razen za vrednost a11 . Zato so vsi koeficienti a1,j , j > 1 ničelni. Podobno morajo biti vse vrednosti v prvem stolpcu razen a11 enake nič. Vrednosti v drugi vrstici in drugem stolpcu morajo prav tako biti nič, razen vrednosti a2,2 in tako naprej. V spošnem da množenje i-te vrstice matrike M z x enako matriko, kot množenje i-tega stolpca z x. Od tod sledi, da mora biti matrika diagonalna. Z zamenjavo i-te in j-te vrstice matrike M dobimo isto matriko kot z zamenjavo i-tega in j-tega stolpca matrike M , zato mora biti i-ta vrednost vzdolž diagonale enaka j-ti vrednosti vzdolž diagonale za vse i in j. Torej je M večkratnik matrike In .. 2.2. Specialna linearna grupa. Označimo z SLn (F) = {A ∈ GLn (F ) : det(A) = 1} podmožico splošne linearne grupe GLn (F ), ki predstavlja množico matrik z determinanto 1. Definicija 2.3 Specialna linearna grupa rečemo grupi SLn (F) stopnje n nad poljem F..

(27) 2.2 Specialna linearna grupa. 17. Oglejmo si primer končno generirane nekomutativne grupe. Zgled. Množica a b. G = SL2 (Z) := {A =. ! | a, b, c, d ∈ Z & det(A) = 1}. c d. je specialna linearna grupa stopnje dva nad kolobarjem celih števil. Operacija v tej specialni linearni grupi je matrično množenje definirano kot a b c d. !. a0. b0. c0. d0. Identiteta je identična matrika I =. !. aa0 + bc0 ab0 + bd0. =. 1 0. ca0 + dc0 cb0 + dd0. ! .. ! .. 0 1. Inverzna preslikava je definirana kot a b c d. !−1 =. d. −b. −c. a. ! .. Grupa SL2 (Z) je poseben primer specialne linearne grupe stopnje !2. Grupa SL2 (Z) je 1 a , a ∈ Z. števno neskončna, ker vsebuje na primer vse matrike oblike 0 1 ! 1 a in Specialna linearna grupa SL2 (Z) je generirana z vsemi matrikami oblike 0 1 ! 1 0 , kjer sta a in b iz Z. Če upoštevamo dejstvo, da je aditivna grupa Z ciklična, b 1 ! ! 1 1 1 0 dobimo SL2 (Z) =< , >. 0 1 1 1. Determinanta det : GLn (F) → F∗ je multiplikativna funkcija, ki preslika identično matriko In v 1, zato jo lahko razumemo kot homomorfizem grup. Specialno linearno grupo lahko definiramo tudi kot jedro tega homomorfizma. Trditev 2.4 Grupa SLn (F) je podgrupa edinka grupe GLn (F). Dokaz. Ker je determinanta multiplikativna funkcija, ki slika obrnljive matrike v neničelne elemente obsega F, jo lahko razumemo kot surjektivni homomorfizem grup GLn (F) → F∗ . Jedro tega homomorfizma je ravno grupa SLn (F). Zato je SLn (F) edinka v GLn (F),.

(28) 2.3 Moč splošne linearne grupe. 18. zaradi prvega izreka o homomorfizmu pa je faktorska grupa GLn (F)/SLn (F) izomorfna sliki homomorfizma det, ki je zaradi njegove surjektivnosti enaka F∗ .. 2.3. Moč splošne linearne grupe. Naj bo F = Fq končno polje s q = pm elementi, kjer je p praštevilo. Potem ima splošna linearna grupa GLn (F) končno mnogo elementov. Zanima nas, koliko elementov ima. Oglejmo si najprej dva primera. Zgled. Naj bo n = 1. Potem je GLn (Fq ) ∼ = F∗q , ki je Abelova in ima q − 1 elementov.. Zgled. Naj bo n = 2 in M =. a b c d. ! .. Da bo matrika M obrnljiva, mora veljati ad 6= bc. Če so a, b, c in d vsi neničelni, lahko fiksiramo elemente a, b in c, d pa lahko potem zavzame katerokoli vrednost razen a−1 bc. Tako dobimo (q − 1)3 (q − 2) matrik. Ko je natanko eden od elementov enak 0, lahko ostali zavzamejo poljubne neničelne vrednosti, na ta način dobimo 4(q − 1)3 matrik. Zadnja možnost je, da sta dva elementa enaka 0, to je, da sta a in d enaka 0, preostala dva koeficienta pa poljubni neničelni števili oziroma da sta b in c enaka 0, a in d pa poljubna neničelna. Takih matrik je 2(q − 1)2 . Vseh matrik v grupi GL2 (Fq ) je tako (q − 1)3 (q − 2) + 4(q − 1)3 + 2(q − 1)2 = (q − 1)2 [(q − 1)(q − 2) + 4(q − 1) + 2]   = (q − 1)2 q 2 + q = (q 2 − 1)(q 2 − q). V splošnem je računanje moči grupe GLn (Fq ) z direktnim računanjem determinante in nato določanjem takih vrednosti, da je determinanta različna od nič zamudno in na tak način lahko hitro pride do napak. Lahko pa upoštevamo lastnost, da je determinanta neničelna natanko tedaj, ko so vrstice matrike linearno neodvisne. Trditev 2.5 Moč grupe GLn (Fq ) je. n. n. n. |GLn (Fq )| = (q − 1)(q − q) · · · (q − q. n−1. )=. n−1 Y. (q n − q i ).. i=0. (2.1).

(29) 2.3 Moč splošne linearne grupe. 19. Dokaz. Preštejmo vse n × n matrike z vrednostmi iz obsega F, katerih vrstice so linearno neodvisne glede na F. Naj bo A ∈ GLn (Fq ) matrika sestavljena iz linearno neodvisnih vektorjev. Za prvo vrstico lahko izberemo poljuben neničelni vektor iz Fn , vseh možnih izbir za ta vektor je q n − 1. Za drugi vektor lahko vzamemo poljuben vektor, ki je linearno neodvisen od prvega, vseh takih vektorjev je q n − q. V splošnem je v i-ti vrstici matrike, kjer je 1 < i ≤ n, lahko poljuben vektor iz F, ki ni linearna kombinacija prejšnjih (i − 1)-ih vektorjev; vseh takih linearnih kombinacij je q i−1 . Za i-to vrstico imamo tako q n − q i−1 možnosti. Število elementov grupe GLn (Fq ) je zato (q n − 1)(q n − q) · · · (q n − q n−1 ).. Zgled. Vzemimo grupo GL2 (F2 ). Moč te grupe je po formuli 2.1 enaka |GL2 (F2 )| = (22 − 1)(22 − 2) = 6. Hitro lahko opazimo, da imamo v tej grupi naslednje elemente ( GL2 (F2 ) =. 1 0. !. 0 1. ,. 0 1. !. 1 0. 1 1. ,. !. 1 0. 1 1. ,. !. 0 1. 1 0. ,. ! ,. 1 1. 0 1 1 1. !) ,. = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 } . −1 −1 −1 −1 Opazimo tudi, da veljajo naslednje zveze x−1 1 = x1 , x2 = x2 , x3 = x6 , x4 = x4 , x5 = x5. in x−1 6 = x3 . Ta grupa je generirana z matrikama x2 =. 0 1. !. 1 1. in x3 =. 1 0. 1 0. ! .. Zapišemo GL2 (F2 ) =< x2 , x3 >. x23. =. 1 0. !. Izračunamo lahko, da je. Velja tudi x2 · x3 =. 1 1. 0 1 1 1. ! =. x6 , x33. = x5 in x23 · x2 =. =. 1 0. ! = I in x22 = I.. 0 1 ! 1 0 = x5 . 1 1.

(30) 2.4 Moč specialne linearne grupe. 2.4. 20. Moč specialne linearne grupe. V prejšnjem poglavju smo pokazali, da je specialna linearna grupa SLn (F) podgrupa grupe GLn (F) in jedro homomorfizma det : GLn (F) → F∗ , zato je podgrupa edinka grupe GLn (F). Sedaj ni težko določiti število elementov v specialni linearni grupi. Trditev 2.6 Moč grupe SLn (Fq ) je n−1 Y. (q n+1 − q i ).. i=1. Dokaz.. Homomorfizem det : GLn (F) → F∗ je surjektiven, saj je determinanta multi-. plikativna funkcija, ki slika obrnljive matrike v neničelne elemente obsega F. Na primer matrika. . a 0 ··· 0. .      .  0 1 ··· 0   .. .. . . ..  . .  . .  0 0 ··· 1. je obrnljiva n × n matrika z determinanto a. Po prvem izreku o homomorfizmih sledi, da je GL F F∗ ∼ = GLn (F)/SLn (Fq ) za poljuben obseg F. Če je |F| = q, potem je | SLnnFqq | = |F∗ | = q − 1. Po trditvi 2.5 potem sledi |GLn (Fq )| (q n − 1)(q n − q) · · · (q n − q n−1 ) = = q−1 q−1 = q n−1 (q n − 1)(q n − q) · · · (q n − q n−2 ).. |SLn (Fq )| =.

(31) Poglavje 3 Razredi konjugiranih elementov Označimo z Ia preslikavo g 7−→ aga−1 . Preslikava Ia je notranji avtomorfizem, določen z a. V grupi G sta elementa g in h konjugirana, ko velja h = aga−1 za nek a iz grupe G. Rečemo tudi, da je element h konjugiran z elementom a. Lema 3.1 Relacija konjugiranosti g ∼ h ⇔ ∃x ∈ G : h = xgx−1 je ekvivalenčna relacija v grupi G. Dokaz. Relacija je ekvivalenčna natanko tedaj, ko je refleksivna, simetrična in tranzitivna. Pokazati moramo, da za relacijo konjugiranosti veljajo te lastnosti. (i) Refleksivnost: Za poljuben h iz grupe G velja ehe−1 = ehe = h, torej je h ∼ h. Rečemo, da je h konjugiran sam sebi. (ii) Simetričnost: Naj bo g ∼ h. Potem obstaja tak x ∈ G, da velja h = xgx−1 . Torej je g = x−1 hx = yhy −1 , kjer je y = x−1 in zato h ∼ g. (iii) Tranzitivnost: Naj bo g ∼ h in h ∼ k; za neka x, y ∈ G je h = xgx−1 in k = yhy −1 . Potem je k = yxgx−1 y −1 = zgz −1 , kjer je z = yx in zato g ∼ k. S tem smo pokazali, da je relacija konjugiranosti ekvivalenčna relacija. Konjugiranje je ekvivalenčna relacija, ki grupo G razbije na razrede konjugiranih elementov (Slika 3.1).. 21.

(32) 22. Slika 3.1: Razredi konjugiranih elementov Definicija 3.2 Konjugirani razred elementa g ∈ G je množica vseh elementov, ki so konjugirani z njim Cg = {h ∈ G : h = xgx−1 |x ∈ G}. Podobno kot za elemente se relacija konjugiranosti definira za podgrupe: H1 ∼ H2 ⇔ ∃x ∈ G : H2 = xH1 x−1 . V primeru, kadar za vsak x ∈ G velja, da je xHx−1 = H, pravimo, da je podgrupa H sama sebi konjugirana ali H je edinka H / G. Podgrupe edinke so pomembne, ker lahko po njih faktoriziramo: G/H = {gH : g ∈ G} z inducirano operacijo postane grupa. Oglejmo si še nekaj osnovnih lastnosti konjugiranih razredov. Izrek 3.3 Poljubna elementa iz konjugiranega razreda imata enak red. Dokaz.. Elementa g in xgx−1 imata enak red. To sledi iz formule (xgx−1 )n = xg n x−1 .. Zato je (xgx−1 )n = 1 natanko tedaj ko je g n = 1. Razredi konjugiranih elementov niso enako velike množice, so pa si vedno tuje. Izrek 3.4 Naj bo G grupa in g, h ∈ G. Če se konjugirana razreda elementov g in h prekrivata, potem sta konjugirana razreda enaka..

(33) 23 Dokaz. Pokazati moramo, da je vsak element, konjugiran g, konjugiran tudi h in obratno. Ker se konjugirana razreda prekrivata, imamo xgx−1 = yhy −1 za neka x in y iz grupe. Velja g = x−1 yhy −1 x = (x−1 y)h(x−1 y)−1 , zato je g konjugiran s h. Vsak element, ki je konjugiran g, je oblike zgz −1 za nek z ∈ G in zgz −1 = z(x−1 y)h(x−1 y)−1 z −1 = (zx−1 y)h(zx−1 y)−1 , torej je vsak element, ki je konjugiran z g, konjugiran tudi s h. Obratno, zapišemo h = (y −1 x)g(y −1 x)−1 in naredimo enak izračun. Izrek 3.4 nam pove, da lahko vsak element iz grupe pripada samo enemu konjugiranemu razredu. Naj bodo Cg1 , Cg2 , . . . , Cgr vsi različni konjugirani razredi, potem velja |G| = |Cg1 | + |Cg2 | + . . . + |Cgr |.. (3.1). Izrek 3.5 Naj bo G končna grupa. Potem število elementov konjugiranega razreda deli moč grupe.. Dokaz.. Na konjugiranje lahko gledamo kot na delovanje grupe G same nase, orbita. elementa x ∈ G je razred konjugiranih elementov Cx = {gxg −1 | g ∈ G}. Stabilizator elementa x ∈ G je v tem primeru enak centralizatorju elementa x v grupi G. Torej trditev sledi iz izreka 1.18.. Posledica 3.6 Za vsak g ∈ G ima njegov razred konjugiranih elementov enako velikost kot indeks njegovega centralizatorja |Cg | = [G : Z(g)].. (3.2). Zgled. Konjugirane matrike so podobne matrike. Naj bosta A, B ∈ GLn (Fq ), potem je matrika A podobna matriki B, če obstaja matrika P ∈ GLn (Fq ) da velja A = P BP −1 . To označimo kot A ∼ B. Relacija ∼ je ekvivalenčna relacija in matriki A, B sta podobni natanko tedaj, ko velja CA = CB , kjer sta CA in CB njuna razreda konjugiranih elementov..

(34) Poglavje 4 Razredi konjugiranih elementov v GLn(Fq ) V tem poglavju bomo poiskali razrede konjugiranih elementov grupe GLn (Fq ) v splošnem. V prvem podpoglavju bomo na kratko predstavili particije pozitivnih števil, ki jih bomo potrebovali pri določanju konjugiranih razredov. Nato bomo poiskali razrede konjugiranih elementov grupe GLn (Fq ) in na koncu določili še velikost centralizatorjev predstavnikov konjugiranih razredov.. 4.1. Particije. V tem razdelku bomo predstavili particije pozitivnih celih števil n in definirali nekaj funkcij, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju.. Definicija 4.1 Particija λ = (λ1 , λ2 , ..., λm ) pozitivnega števila n je nenaraščajoče zapoPm redje naravnih števil λi , katerih vsota je enaka n: i=1 λi = n. Navedimo še nekaj oznak, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju • λ ` n naj pomeni, da je λ particija števila n, • {1m1 2m2 3m3 nmn } naj označuje particijo števila n, kjer imi pomeni, da se pozitivno število i pojavi mi krat, • |λ| je pozitivno število za katerega je λ particija,. 24.

(35) 4.1 Particije. 25. • P(n) naj bo množica vseh particij števila n. Definicija 4.2 Naj bo λ = (λ1 , λ2 , ..., λm ) particija števila n. Potem so λi členi particije λ in m dolžina particije λ, kar označujemo kot l(λ). Vsako particijo λ = (λ1 , λ2 , ..., λm ), urejeno po velikosti od največjega do najmanjšega števila, lahko predstavimo z grafičnim prikazom s pomočjo Ferrerovega diagrama. Ta diagram je definiran kot množica točk (i, j) ∈ Z2 , kjer velja 1 ≤ j ≤ λi . Vsak del particije torej prikažemo z vrstico med seboj enakomerno oddaljenih pik, ki je dolga ravno toliko kot je velik del particije.. Slika 4.1: Ferrerov diagram za (4, 2, 2, 1) ` 9 (levo) in (4, 2, 2, 1)0 (desno) Konjugirana particija λ0 particije λ je particija, ki nastane s transformacijo Ferrerovega diagrama, to je vrstice prvega diagrama postanejo stolpci drugega in stolpci prvega postanejo vrstice drugega diagrama. Na primer (4, 2, 2, 1)0 = (4, 3, 1, 1), Ferrerova diagrama za dani particiji prikazuje slika 4.1. Za vsako particijo λ, lahko izračunamo število n(λ), ki je dano kot l(λ0 ). n(λ) =. X. λ0i. i=1. 2. ! ,. (4.1). kjer λ0i predstavlja i-ti del particije λ0 . Zgled. Vzemimo na primer ! particijo (1, 1, . . . , 1) ` m. Potem je (1, 1, . . . , 1)0 = (m). m Zato n((1, 1, . . . , 1)) = = m(m−1) . Po drugi strani, če je λ = (m) ` m, potem 2 2 ! 1 (n)0 = (1, 1, . . . , 1). Sledi, da je n((m)) = 0, saj je = 0. 2.

(36) 4.2 Predstavniki razredov konjugiranih elementov v GLn (Fq ). 26. Za vsak m ∈ N ∪ 0 definiramo funkcijo φm kot ( Q m φm (t) =. i=1 (1. − ti ) če m ≥ 1,. 1. če m = 0.. (4.2). Naj bo λ = (λ1 , λ2 , ..., λk ) ` n in λi ≥ λi+1 za vsak i. Z mλi označimo kratnost števila λi v particiji λ. Potem definiramo φλ (q) kot. φλ (q) =. k Y. φmλi (q).. (4.3). i=1. 4.2. Predstavniki razredov konjugiranih elementov v GLn(Fq ). Konstrukcija konjugiranih razredov GLn (Fq ) temelji na teoriji o nerazcepnih polinomih in particijah.. Definicija 4.3 (Spremljevalna matrika) Naj bo f (t) =. Pd. i=0 ai ti. ∈ Fq [t], ad = 1 in. a0 6= 0. Spremljevalna d × d matrika U (f ) = U1 (f ) polinoma f (t) je definirana kot . 0. 1. 0.   0 0 1   U1 (f ) =   ··· ··· ···  . .. ..  .. . .  −a0 −a1 −a2. ···. 0. . ··· .. . .. .. 0 .. ..     .    . 1. · · · −ad−1. Potem je f (t) karakteristični polinom matrike U (f ), saj je det(tI − U (f )) = f (t). Zato je (−1)d det(U (f )) = f (0) = a0 , det(U (f )) = (−1)d a0 in U (f ) je element grupe GLn (Fq ). Za nek m ∈ N je Jordanova kletka Um (f ) velikosti md × md enaka matriki      Um (f ) =     . U1 (f ). Id. 0 ¯ ··· .. .. U1 (f ). 0 ¯. 0 ¯. ··· .. .. 0 ¯ Id. ···. ··· . · · · .. .. . . . . 0 ¯. 0 ¯ 0 ¯. .. Id. · · · U1 (f ).      .    .

(37) 4.2 Predstavniki razredov konjugiranih elementov v GLn (Fq ). 27. Če je λ = (λ1 , λ2 , ..., λm ) ` n, potem je Uλ (f ) definirana kot      Uλ (f ) =     . Uλ1 (f ) 0 ¯ ··· .. . 0 ¯. 0 ¯ Uλ2 (f ) ··· .. .. 0 ¯ 0 ¯ ··· .. .. 0 ¯. 0 ¯. ··· ··· .. . .. .. 0 ¯ 0 ¯. ... 0 ¯ · · · Uλk (f ).     M k  = Uλi (f ).   i=1  . Direktni vsoti bločno diagonalnih matrik, katerih bloki so Jordanove kletke pravimo Jordanova kanonična forma. Označimo s F množico vseh nerazcepnih polinomov stopnje manj ali enako n, kjer f (t) 6= t. Množica F je torej enaka F = {f ∈ Fq [t], deg(f ) ≤ n, f nerazcepen nad Fq , f (t) 6= t},. (4.4). kjer je deg(f ) stopnja polinoma f . Na podlagi naslednjega izreka lahko določimo predstavnike konjugiranih razredov grupe GLn (Fq ). Izrek 4.4 (Jordanova kanonična forma) Naj bo A ∈ GLn (Fq ) s karakterističnim polinomom fA = f1z1 f2z2 · · · fkzk , kjer je fi ∈ F, 1 ≤ i ≤ k in zi je kratnost fi v tej dekompoziciji. L Potem je A konjugirana matriki oblike ki=1 Uυi (fi ), kjer υi ` zi . Iz izreka 4.4 lahko vidimo, da so konjugirani razredi GLn (Fq ) določeni z zaporedjem {fi }ki=1 , kjer so fi ∈ F in deg(fi ) = di za vsak i, z zaporedjem pozitivnih števil {zi }ki=1 , za katere P velja ki=1 zi di = n in z zaporedjem particij {vi }ki=1 , kjer vi ` zi za vsak i. Vsak konjugirani razred C grupe GLn (Fq ) je torej definiran z množico podatkov ({fi }, {di }, {zi }, {υi }). Število k je moč vsake od naštetih množic. Polinom t je izključen, saj v tem primeru matrika A ne bi bila obrnljiva. Matrika A je pri tem konjugirana bločno diagonalni matriki oblike diag(Uυ1 (f1 ), Uυ2 (f2 ), . . . , Uυk (fk )), kjer so υ1 , υ2 , . . . , υk particije števil z1 , z2 , . . . , zk . Množice ({fi }, {di }, {zi }, {υi }) in ({gi }, {ei }, {wi }, {µi }) z močjo k oziroma k 0 , določajo isti konjugirani razred, če je k = k 0 in obstaja σ ∈ Sk tak da velja wi = zσ(i) , ei = dσ(i) , µi = υσ(i) in gi = fσ(i) za ∀i..

(38) 4.2 Predstavniki razredov konjugiranih elementov v GLn (Fq ). 28. Konjugirana razreda GLn (Fq ), določena z omenjenimi množicami, sta istega tipa, če je k = k 0 in obstaja σ ∈ Sk tak da velja wi = zσ(i) , ei = dσ(i) , in µi = υσ(i) (gi in fσ(i) pri tem nista nujno enaka). Naslednji izrek podaja število konjugiranih razredov c(n, q) grupe GLn (Fq ) in število tipov t(n) konjugiranih razredov grupe GLn (Fq ). Izrek 4.5. 1. Število t(n) je določeno s koeficientom pri xn v vrsti. P(x) =. ∞ Y i=1. 1 1 − xi. = (1 + x + x2 + · · ·)(1 + x2 + x4 + · · ·)(1 + x3 + x6 + · · ·) · · · .. 2. Števila c(n, q) so določena z rodovno funkcijo ∞ X n=0. kjer Im (q) =. 1 m. P. s|m µ(s)q. m s. ∞ Y. c(n, q)xn =. P(xm )Im (q) ,. m=1. in µ je Möbiusova funkcija.. Funkcija Im (q) prestavlja število nerazcepnih polinomov stopnje m nad Fq . Če je q ≤ n nimamo razreda tipa ({t − α1 , t − α2 , · · · t − αn }, {1, 1, · · · , 1}, {1, 1, · · · , 1}, {1, 1, · · · , 1}), | {z } | {z } | {z } n krat n krat n krat kjer so α1 , α2 , . . . , αn ∈ F∗q različni, saj je |F∗q | = q − 1 < n. Tipičen razred tega tipa je zato oblike. . α1. 0.      . 0 .. .. α2 · · · .. . . . .. 0. 0. ···. 0. .  0   . 0   · · · αn. V tabeli 4.1 imamo podano število tipov t(n) in število konjugiranih razredov grupe GLn (Fq ) za n = 1, 2, . . . 7.. Definicija 4.6 Naj bo C konjugirani razred podan z zaporedji ({fi }, {di }, {zi }, {υi }) dolžine k, potem je.

(39) 4.2 Predstavniki razredov konjugiranih elementov v GLn (Fq ). 29. Tabela 4.1: število tipov in konjugiranih razredov GLn (Fq ) n 1 2 3 4 5 6 7. t(n) c(n,q) 1 q−1 4 q2 − 1 8 q3 − q 22 q4 − q 42 q 5 − (q 2 + q − 1) 103 q6 − q2 199 q 7 − (q 3 + q 2 − 1). 1. C primarni razred, natanko tedaj, ko je k = 1. 2. C regularen razred, natanko tedaj, ko je l(υi ) ≤ 1, ∀1 ≤ i ≤ k. 3. C polenostaven razred, natanko tedaj, ko je l(υi0 ) ≤ 1, ∀1 ≤ i ≤ k. 4. C regularen polenostaven razred, če je regularen in polenostaven. To pa je natanko tedaj, ko je υi = 1 in ko je l(υi0 ) ≤ 1, za vsak i, 1 ≤ i ≤ k. Naj bo C primarni razred, potem je karakteristični polinom poljubnega elementa g ∈ C enak f (t) = (td + ad−1 td−1 + · · · + 1)s ) za nek s in zato deg(f ) = d|n = |g|. Iz definicije regularnega polenostavnega razreda sledi, da ima vsak g ∈ C, kjer je C regularen polenostaven razred, n različnih lastnih vrednosti..

(40) Poglavje 5 Razredi konjugiranih elementov v GL2(Fq ) V tem poglavju bomo poiskali razrede konjugiranih elementov grupe (. a b. G = GL2 (Fq ) =. c d. ). !. a, b, c, d ∈ Fq ; ad − bc 6= 0. obrnljivih 2 × 2 matrik z elementi iz končnega obsega Fq s q elementi in določili njihov red. Na G lahko gledamo tudi kot na grupo avtomomorfizmov vektorskega prostora V = Fq × Fq nad Fq , moč grupe je zato enaka številu baz vektorskega prostora V . Pokazali smo že, da je število elementov v splošni linearni grupi GLn (Fq ), kjer je Fq končen obseg enako Qn n i−1 ). Moč grupe GL (F ) je zato 2 q i=1 (q − q |GL2 (Fq )| = (q 2 − 1)(q 2 − q) = (q + 1)q(q − 1)2 .. 5.1. Razredi GL2(Fq ). Naj bo g ∈ G, pripadajoči karakteristični polinom je potem pg (x) = det(g − xI) = x2 − tr(g)x + det(g), kjer sta tr(g) sled matrike g in det(g) njena determinanta. Element g ima dve lastni vrednosti in vsak element iz konjugiranega razreda Cg ima enake lastne vrednosti: iz linearne algebre vemo, da je pg (x) invarianten za konjugacijo pg (x) = pσgσ−1 (x) za poljuben σ ∈ G.. 30.

(41) 5.1 Razredi GL2 (Fq ). 31. Vemo tudi, da so razredi konjugiranih elementov določeni s karakterističnim polinomom. Karakteristični polinom za vsak g ∈ G ima eno izmed naslednjih oblik: 1. (x − α)2 , α ∈ F∗q , 2. (x − α)(x − β), α, β ∈ F∗q , α 6= β in 3. x2 + ax + b je nerazcepen nad F∗q . Oglejmo si najprej možnosti, ko lastne vrednosti matrike g pripadajo Fq . V tem primeru je g konjugiran nad Fq neki matriki v Jordanovi kanonični obliki. Če sta obe lastni vrednosti enaki istemu elementu α ∈ Fq , karakterističnemu polinomu (x − α)2 pripadata particiji števil υ1 = (1, 1) ` 2 in υ2 = (2) ` 2, zato imamo naslednji možnosti: 1. g je diagonalizabilna matrika. Karakteristični polinom je pg (x) = (x − α)2 , pripadajoči lastni podprostor za lastno vrednost α pa je dimenzije 2. Potem je g konjugirana z matriko oblike α 0. diag(U(1) (x − α), U(1) (x − α)) = diag(U1 (x − α), U1 (x − α)) =. !. 0 α. .. Take matrike pa so neobčutljive na konjugacijo, !kar pomeni, da vsebuje stabilizator α 0 velja kar vse elemente G. Zato za dani gα = 0 α |Cgα | =. |G| |G| = = 1. |Z(gα )| |G|. To pomeni, da vsebuje vsak konjugirani razred tega tipa samo en element. Vseh takih razredov je (q − 1), torej en razred za vsako neničelno število α. Ti razredi torej prispevajo q − 1 elementov G. Označimo ta tip konjugiranih razredov s C (1) . 2. g ∈ G ni diagonalizabilna. Karakteristični polinom je pg (x) = (x − α)2 , pripadajoči lastni podprostor za lastno vrednost α pa je dimenzije 1. V tem primeru je za vsak vektor v ∈ F2q , ki ni lastni vektor g, vektor g(v) − αv lastni vektor za g. Zato v, g(v) − αv tvorita bazo F2q nad Fq in velja g ∼ diag(U(2) (x − α)) = diag(U2 (x − α)) =. α 1 0 α. ! ..

(42) 5.1 Razredi GL2 (Fq ). 32. Vseh takih razredov je q − 1, en za vsako neničelno vrednost α. ! ! a b α 1 Naj bo x = in g = . c d 0 α Zanima nas, kakšne oblike mora biti matrika x, da bo pripadala stabilizatorju matrike g. Veljati mora xg = gx: a b c d. ! ·. α 1. ! =. 0 α. aα a + bα. ! =. αc c + dα. α 1. !. 0 α. a b. ·. !. c d ! aα + c αb + d αc. αd. Dobimo sistem enačb: aα = aα + c. ⇒. c=0. a + bα = αb + d. ⇒. a=d. αc = αc c + dα = αd. Izračun je pokazal, da to velja natanko tedaj, ko je c = 0 in a = d. Zato je centralizator oblike. ( Z(g) =. x∈G:x=. d b 0 d. !. ) , d∈. F∗q ,. b ∈ Fq. ∼ = Fq × F∗q .. Ker je velikost centralizatorjev |Z(g)| = q(q − 1), so konjugirani razredi velikosti |Cg | =. |G| (q + 1)q(q − 1)2 = = (q + 1)(q − 1) = q 2 − 1. |Z(g)| q(q − 1). Ta tip konjugiranih razredov bomo označili s C (2) . Tretja možnost so matrike z dvema različnima lastnima vrednostima iz Fq . 3. Imamo diagonalizabilne matrike z dvema različnima lastnima vrednostima λ in µ iz obsega Fq . Karakteristični in minimalni polinom sta v tem primeru enaka pg (x) = mg (x) = x2 − (λ + µ)x + λµ. To so ! matrike, ki jih lahko s konjugacijo transformiramo v λ 0 diagonalno obliko , kjer je λ 6= µ. Za vsak par različnih lastnih vrednosti 0 µ (λ, µ) dobimo drug konjugirani razred, saj so diagonalna oblika in lastni vrednosti enolično določeni..

(43) 5.1 Razredi GL2 (Fq ). 33 α 0. Naj bo gα,β =. !. predstavnik razreda konjugiranih elementov za dana α in 0 β β in x ∈ Z(gα,β ). Veljati mora xgα,β = gα,β x. a b c d. ! ·. !. α 0. =. 0 β !. aα bβ. =. αc dβ. α 0. !. 0 β aα bα cβ. ·. a b. !. c d. !. dβ. Dobimo sistem enačb: aα = aα bβ = bα cα = cβ dβ = dβ. ⇐⇒ aα = aα,. b(β − α) = 0,. c(α − β) = 0,. dβ = dβ. ⇐⇒ b = c = 0 Sistem ima množico rešitev (a, b, c, d), kjer je b = c = 0 in a, d ∈ F∗q . Centralizator je zato enak. ( Z(gα,β ) =. x∈G:x=. a 0. !). 0 d. ∼ = F∗q × F∗q ,. to je pa ravno množica vseh diagonalnih matrik iz grupe G, ki jih je (q − 1)2 . Po formuli 3.2 je potem vsak tak konjugiran razred velikosti |Cgα,β | =. |G| (q + 1)q(q − 1)2 = = (q + 1)q. |Z(gα,β )| (q − 1)2. Vseh takih konjugiranih razredov, ki ustrezajo podmožici dveh elementov iz F∗q je ! q−1 . V konjugiranih razredih tega tipa je torej = (q−1)(q−2) 2 2 (q + 1)q(q − 1)(q − 2) 2 elementov grupe G. Označimo ta tip konjugiranih razredov kot C (3) . Oglejmo si še primer, ko lastne vrednosti matrike g ne pripadajo Fq ..

(44) 5.1 Razredi GL2 (Fq ). 34. 4. Zadnja preostala možnost so matrike z lastnima vrednostnima λ1 , λ2 v določeni kvadratni razširitvi Fq2 obsega Fq . Karakteristični polinom razreda je v tem primeru nerazcepen in je enak pg (x) = x2 −ax+b, kjer je a = λ+λq ∈ Fq in b = λλq = λq+1 ∈ F∗q . Po definiciji sta obe lastni vrednosti λ1 in λ2 ničli nekega karakterističnega kvadratnega polinoma. Naj bo φ avtomorfizem polja F2q , ki fiksira Fq . λ1 in φ(λ1 ) sta potem dve ničli, zato velja λ2 = φ(λ1 ). Za vsako izmed q 2 − q = q(q − 1) možnih lastnih vrednosti λ1 obstaja različen konjugirani razred. Ker vrstni red lastnih vrednosti ni pomemben imamo skupno. q(q−1) 2. različnih razredov konjugiranih elementov tega tipa. Naj bo α ničla karakterističnega polinoma pg (x). Potem g pripada konjugiranemu ! α 0 razredu g 0 = . Nadalje vzemimo tak x ∈ GL2 (Fq2 ), da velja g 0 = xgx−1 . 0 α Potem je xZ(g)x−1 vsebovan v ( Z(g 0 ) =. x ∈ G0 : x =. λ1. 0. 0. λ2. !) .. Vsebuje torej matrike v Z(g 0 ) ki zadoščajo pogoju λ1 = λ2 . Ker je Z(g) izomorfen F∗q2 , je |Z(g)| = q 2 − 1. Po formuli 3.2 je potem vsak tak konjugiran razred velikosti |Cg | =. |G| (q + 1)q(q − 1)2 = = q(q − 1). |Z(g)| (q 2 − 1). V konjugiranih razredih tega tipa je skupno q 2 (q − 1)2 2 elementov grupe G. Ta tip konjugiranih razredov bomo označili s C (4) . Na ta način smo našli in predstavili vse razrede konjugiranih elementov grupe G = GL2 (Fq ). Strnimo rezultate v naslednji tabeli 5.1. Skupno število vseh elementov v konjugiranih razredih je torej q2 − q (q − 1)(q − 2) (q − 1) + (q − 1)(q 2 − 1) + q(q + 1) + q(q − 1) = 2 2   q(q + 1)(q − 2) q 3 − q 2 = (q − 1) q 2 + + 2 2.

(45) 5.1 Razredi GL2 (Fq ). 35. Tabela 5.1: Razredi konjugiranih elementov GL2 (Fq ) Tip razreda. Predstavnik  a 0 , a ∈ F∗q 0 a   a 1 , a ∈ F∗q 0 a   a 0 , a 6= b ∈ F∗q 0 b Cp , p je nerazcepen nad Fq. Število razredov. Moč razreda. (q − 1). 1. (q − 1). q2 − 1. (q−1)(q−2) 2. q(q + 1). q(q−1) 2. q(q − 1). . C (1) C (2) C (3) C (4).  = (q − 1). 2q 2 + q 3 − q 2 − 2q + q 3 − q 2 2. . = (q − 1)(q 3 − q) = q(q − 1)2 (q + 1) = |GL2 (Fq )|.. Število vseh konjugiranih razredov je (q − 1)(q − 2) q 2 − q (q − 1) + (q − 1) + + 2  2 4 + (q − 2) + q = (q − 1) = (q − 1)(q + 1) = q 2 − 1. 2 Zgled. Vzemimo grupo GL2 (F2 ). Moč te grupe je po formuli 2.1 enaka |GL2 (F2 )| = (22 − 1)(22 − 2) = 6. V tej grupi imamo naslednje elemente ( GL2 (F2 ) =. 1 0 0 1. ! ,. 0 1 1 0. ! ,. 1 1 1 0. ! ,. 1 1. !. 0 1. ,. 1 0 1 1. ! ,. 0 1. !). 1 1. ,. = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 } Opazimo lahko, da veljajo naslednje zveze x−1 = x1 , x−1 = x2 , x−1 = x6 , x−1 = x4 , 1 2 3 4 −1 x−1 5 = x5 in x6 = x3 .. Zapišimo sedaj še razrede konjugiranih elementov v GL2 (F2 ). Izračunajmo najprej elemente konjugirane z x1 . To je diagonalna matrika, ! zato pripada α 0 razredu konjugiranih elementov, katerega predstavnik je oblike , kjer je α ∈ F∗2 0 α in zato α = 1. Ugotovili smo že, da vsebuje tak razred samo en element in da je lahko vseh takih razredov v grupi q − 1, torej v našem primeru imamo en tak razred Cx1 = {x1 }..

(46) 5.2 Red elementov GL2 (Fq ). 36. Matrika x2 pripada konjugiranemu razredu, katerega predstavnik je oblike. α 1. !. , kjer 0 α je α ∈ F∗2 in zato α = 1. Imamo natanko en tak razred konjugiranih elementov, v katerem so (q + 1)(q − 1) = 3 elementi, to so x2 , x4 , x5 . Zato velja Cx2 = Cx4 = Cx5 . Opazimo lahko, da imata preostali matriki x3 in x6 dve različni lastni vrednosti, ki nista iz F2 . Vseh takih razredov v grupi je. q(q−1) 2. = 1. Število elementov v takem konjugiranem. razredu je enako q(q − 1) = 2. Zato velja Cx3 = Cx6 . Na ta način smo poiskali vse razrede konjugiranih elementov grupe GL2 (F2 ). Na sliki 5.1 lahko vidimo, da konjugiranje grupo razbije na tri razrede konjugiranih elementov, ki so različnih velikosti in skupaj vsebujejo vse elemente iz grupe.. Slika 5.1: Particija konjugiranih razredov GL2 (F2 ). 5.2. Red elementov GL2(Fq ). Oglejmo si še red elementov v posameznem konjugiranem razredu splošne linearne grupe GL2 (Fq ). Označimo z D(x, y) največji skupni deljitelj števil x in y in naj bo v(x, y) najmanjši skupni večkratnik števil x in y..

(47) 5.2 Red elementov GL2 (Fq ). 37. Trditev 5.1 Elementi grupe GL2 (Fq ) imajo naslednje rede. red(g) =.                . q−1 D(k,q−1) ,. če je g oblike. p(q−1) D(k,q−1) ,. če je g oblike.   (q−1) (q−1)   , D(l,q−1) ), če je g oblike v( D(k,q−1)         (q 2 −1) (q 2 −1)    v( D(m,q2 −1) , D(mq,q2 −1) ), če je g oblike. α 0. ! ,. 0 α α 1. ! ,. 0 α α 0 0 β 0. ! , 1. !. −rq+1 r + rq. kjer velja • α, β ∈ F∗q in α 6= β, • r ∈ Fq2 \Fq in rq 6= Fq2 \Fq , • k in l sta celi števili, za kateri velja α = εk , β = εl in ε je generator multiplikativne grupe F∗q , • m je celo število, za katerega velja r = θm , kjer je θ generator multiplikativne grupe F∗q2 . Pokažimo sedaj, da trditev 5.1 res velja. Dokaz. Dokaz trditve bomo razdelili na štiri dele in sicer za vsak konjugirani razred grupe GL2 (Fq ). i) Naj bo g = αI2 =. α 0. ! in α = εk za nek k.. 0 α. Predpostavimo, da je red elementa g enak t. Potem je !t ! α 0 αt 0 t g = = = αt I2 = I2 ⇐⇒ αt = 1 ⇐⇒ red(α)|t. t 0 α 0 α. (5.1). Naj bo t0 red elementa α. Potem je t0. g =. α 0 0 α. !t0. 0. =. !. αt. 0. 0. αt. 0. = I2 .. (5.2). Zato red(g)|t0 . Na podlagi tega in enačbe 5.1, lahko sklepamo, da je t = t0 . To pomeni, da ima αI2 enak red kot α = εk za nek k, kjer je 1 ≤ k ≤ q − 1. Iz elementarne teorije grup vemo, da velja red(εk ) = velja.. q−1 D(k,q−1) .. Torej formula za red elementov za ta tip res.

(48) 5.2 Red elementov GL2 (Fq ) !. α 1. ii) Naj ima g =. red enak t. Potem. 0 α. gt =. 38. !. αt. t. 0. αt. = I2 ⇐⇒ αt = 1 in p|t ⇐⇒ red(α)|t in p|t.. (5.3). Ker je D(red(α), p) = 1 dobimo iz 5.3, da velja p · red(α)|t. Vidimo, da je potem. g. p·red(α). =. 1 0 0 1. ! = I2 ,. tako, da t|p · red(α). Zato t = p · red(α) = p(q − 1)/D(k, q − 1). ! α 0 iii) Naj bo sedaj g = in naj bo t red matrike g. Potem je 0 β α 0. t. g =. !t =. 0 β. αt. 0. 0. βt. ! = I2 ⇐⇒ αt = 1, β t = 1. (5.4). ⇐⇒ red(α)|t, red(β)|t ⇐⇒ v(red(α), red(β))|t. Naj bo a = red(α), b = red(β) in d = D(a, b). Naj bo še s = v(red(α), red(β)) = v(a, b). Potem je s = s. g =. ab d. =. α 0. a0 db0 d d. = a0 b0 d = a0 b = b0 a in D(a0 , b0 ) = 1. Dobimo. !s =. 0 β. αs. 0. 0. αs. !. 0. =. αb a. 0. 0. βa b. 0. ! = I2 .. (5.5). Red g, ki je enak t torej deli s. Iz 5.4 vidimo, da tudi s|t. Zato je t = s = v(red(α), red(β)) = v(red(εk ), red(εl )) = =. iv) Naj bo sedaj g =. red(εk )red(εl ) D(red(εk )red(εl )). (q − 1)2 . q−1 q−1 D(k, q − 1)D(l, q − 1)D( D(k,q−1) , D(l,q−1) ) 0. 1. −rq+1 r + rq. ! .. Karakteristični polinom g je v tem primeru λ2 − (r + rq )λ + rq+1 = (λ − r)(λ − rq ). Lastni vrednosti g sta λ = r in λ = rq ..

(49) 5.2 Red elementov GL2 (Fq ). Ker g ∼. r. 0. 39. !. r. 0. !!. je red(g) = red . 0 rq 0 rq Red g je potem enak red(g) = v(red(r), red(rq )). Če je θ generator grupe F∗q2 in r = θm , kjer q + 1 ne deli m, potem je red(g) = v(. (q 2 − 1) (q 2 − 1) , ). 2 D(m, q − 1) D(mq, q 2 − 1). Pokazali smo torej, da imajo vsi elementi grupe GL2 (Fq ) dan red in je trditev 5.1 pravilna.. Zgled. Vzemimo grupo GL2 (F3 ). Moč te grupe je po formuli 2.1 enaka q(q − 1)2 (q + 1) = 3 · 4 · 4 = 48, število konjugiranih razredov je q 2 − 1 = 8. Vemo. Fq 2. = F9 = {0, 1, θ, θ2 , ..., θ7 },. F∗q2. = F∗9 = {1, θ, θ2 , ..., θ7 } =< θ >, θ8 = 1,. F∗q = {1, θ4 } = {1, 2} =< 2 >∼ = Z2 . Pokazali smo, da lahko razrede razdelimo v štiri različne tipe. V prvem tipu konjugiranih razredov C (1) imamo (1) C1. :. 1 0. ! ,. 0 1. (1) C2. :. 2 0. ! .. 0 2. Ugotovili smo že, da vsebuje tak razred samo en element in da je lahko vseh takih razredov (1). (1). q − 1, v našem primeru imamo dva taka razreda C1 in C2 . ! 1 0 je identična matrika, zato je njen red enak 1. Pokažimo, da je red Matrika 0 1 ! 2 0 (1) q−1 elementa iz razreda C2 enak D(k,q−1) = 2. Imamo matriko g = = 2I in g 2 = I. 0 2 ! α 1 Poiščimo sedaj konjugirane razrede drugega tipa, ki so oblike , α ∈ F∗q , skupaj je 0 α teh razredov q − 1. Pri drugem tipu konjugiranih razredov C (2) dobimo (2) C3. :. 1 1 0 1. ! ,. (2) C4. :. 2 1 0 2. ! ..

(50) 5.2 Red elementov GL2 (Fq ). 40. Konjugirani razredi tega tipa so velikosti q 2 −1 = 8. Red elementov iz konjugiranih razredov tipa C (2) je po trditvi 5.1 enak. p(q−1) D(k,q−1) .. (2). p(q−1) 3·2 D(k,q−1) = 2 = p(q−1) 3·(3−1) D(k,q−1) = D(1,2) = 6.. Naj bo g ∈ C3 , red od g je potem enak red(g) = elementov iz konjugiranega razreda. (2) C4. Vseh razredov tretjega tipa C (3) je. (q−1)(q−2) . 2. (3) C5. enak. V našem primeru dobimo en razred. 1 0. :. 3. Podobno je red. ! .. 0 2. Tak razred vsebuje q(q + 1) = 3 · 4 = 12 elementov. Red elementov iz tega razreda je po (q−1) (q−1) , D(l,q−1) ) = 2. trditvi 5.1 enak v( D(k,q−1). Določili smo vse razrede, ki pripadajo prvim trem tipom konjugiranih razredov, skupno smo dobili 5 razredov. Določiti moramo še preostale tri razrede, ki so tipa C (4) . V zadnjem tipu razredov nastopajo elementi iz F9 \ F3 = {θ, θ2 , θ3 , θ5 , θ6 , θ7 } Teh šest elementov razpade na tri množice, kjer vsaka vsebuje θj in θ3j . Zato F9 \ F3 = {θ, θ3 } ∪ {θ2 , θ6 } ∪ {θ5 , θ7 }. Preostale tri konjugirane razrede tipa C (4) , torej lahko podamo z elementi θ, θ2 in θ5 . Dobimo naslednje razrede tipa C (4) (4) C6. :. 0. !. 1. −θ4 θ + θ3 (4) C8. =. :. 0 1 1 1 0. ! ,. (4) C7. 1. −θ4 θ5 + θ7. :. ! =. 0. 1. −1 θ2 + θ6 0 1 1 2. ! =. 0 1 2 1. ! ,. ! .. Vsak tak konjugirani razred je velikosti q(q − 1) = 6. Na ta način smo poiskali vse razrede konjugiranih elementov grupe GL2 (F3 ). Strnimo rezultate v naslednji tabeli 5.2..

(51) 5.2 Red elementov GL2 (Fq ). 41. Tabela 5.2: Razredi konjugiranih elementov GL2 (F3 ) Moč razreda. |Z(g)|. 1 2. 1 1. 48 48. 3 6. 8 8. 6 6. 2. 12. 4. 8 6 8. 6 6 6. 8 8 8. Tip razreda Red elementov (1) C1 (1) C2 (2) C3 (2) C4 (3) C5 (4) C6 (4) C7 (4) C8.

(52) Poglavje 6 Razredi konjugiranih elementov v GL3(Fq ) V tem poglavju bomo na podoben način kot v prejšnjem za grupo GL2 (Fq ), poiskali razrede konjugiranih elementov grupe G = GL3 (Fq ), obrnljivih 3 × 3 matrik z elementi iz končnega obsega Fq s q elementi. Moč grupe GL3 (Fq ) je po formuli 2.1 enaka |GL3 (Fq )| = (q 3 − 1)(q 3 − q)(q 3 − q 2 ) = q 3 (q 3 − 1)(q 2 − 1)(q − 1).. 6.1. Razredi GL3(Fq ). Vsaki matriki g ∈ GL3 (Fq ) pripada karakteristični polinom stopnje tri, oblike pg (t) = t3 + a2 t2 + a1 t + a0 ∈ Fq [t], ki ima nad Fq eno izmed naslednjih oblik: 1. pg (t) = (t − α)3 za nek α ∈ F∗q . 2. pg (t) = (t − α)2 (t − β) za neki α, β ∈ F∗q , α 6= β. 3. pg (t) = (t − α)(t − β)(t − γ) za α, β, γ ∈ F∗q , α 6= β 6= γ. 4. pg (t) = (t2 + b1 t + b0 )(t − α), kjer t2 + b1 t + b0 nerazcepen nad Fq . 5. pg (t) = t3 + a2 t2 + a1 t + a0 nerazcepen nad Fq . Pri tem smo izločili primere t(t2 + c1 t + c0 ), t2 (t + c0 ) in t3 , saj ima v teh primerih g ničelne lastne vrednosti in zato ni obrnljiva. Oglejmo si podrobneje vsako izmed teh oblik karakterističnega polinoma.. 42.

(53) 6.1 Razredi GL3 (Fq ). 43. 1. Naj bo f (t) = (t − α)3 za nek α ∈ F∗q . V tem primeru je f1 (t) = (t − α) in fi (t) = 1, ∀i > 1, kjer je k1 = 3 in ki = 0, ∀k > 1. Dobimo υ1 ∈ P(3) = {(1, 1, 1), (2, 1), (3)} i) Oglejmo si najprej primer, ko je υ1 = (1, 1, 1) ` 3. Imamo diagonalizabilne matrike z istimi vrednostnimi na diagonali. Karakteristični polinom je (t − α)3 , α ∈ F∗q in minimalni polinom je (t − α). Potem je g ∼ diag(U(1) (t−α), U(1) (t−α), U(1) (t−α)) = diag(U1 (t−α), U1 (t−α), U1 (t−α)). Iz definicije matrike U1 (f ) sledi U1 (t − α) = [α]1x1 = α. Zato je . α 0. 0. .   . g∼ 0 α 0   0 0 α Matrike te oblike se ohranjajo pri konjugaciji, kar da zavzame stabili pomeni,  a    velja zator kar vse elemente iz G. Zato za dani ga =  a   a |Cga | =. |G| |G| = = 1. |Z(ga )| |G|. To pomeni, da ima vsak konjugirani razred tega tipa samo en element. Vseh takih razredov je (q − 1), torej en razred za vsako neničelno število a. Ti razredi skupaj prispevajo q − 1 elementov G. Označimo ta tip konjugiranih razredov s C (1) . ii) V primeru, ko je υ = (2, 1) ` 3, dobimo g ∼ diag(U2 (f1 (t)), U1 (f1 (t))) = diag(U2 (t − α), U1 (t − α)). α 1. Ker je U1 (t − α) = α, sledi da je U2 (t − α) = z matriko oblike. . α 1. 0. 0 α. ! . Zato je g konjugiran. .   . g∼ 0 α 0   0 0 α Za vsak α ∈ F∗q dobimo drug konjugirani razred. Vseh razredov tega tipa je q − 1. Označimo ta tip razredov s C (2) ..

(54) 6.1 Razredi GL3 (Fq ). 44.     a x z Centralizator Z(g) =  a 0     y c 2 3 je |Z(g)| = (q − 1) q ..      ohranja element g. Moč centralizatorja    . Ker je velikost centralizatorjev (q − 1)2 q 3 , so konjugirani razredi velikosti |Cg | =. q 3 (q 3 − 1)(q 2 − 1)(q − 1) |G| = (q 3 − 1)(q + 1). = |Z(g)| (q − 1)2 q 3. iii) V zadnji možnosti imamo υ = (3) ` 3, dobimo g ∼ diag(U3 (f1 (t))) = diag(U3 (t − α)). . α 1. . 0.    Ker U1 (t − α) = α sledi, da je U3 (t − α) =   0 α 1  ∼ g. 0 0 α Vsaki vrednosti α ∈ F∗q pripada en konjugirani razred. Skupno imamo torej q −1 različnih konjugiranih razredov tega tipa. Označimo razrede tega tipa kot C (3) . Elementi centralizatorja Z(g) pri konjugiranju ohranjajo g, zato je to podgrupa     a x y       in |Z(g)| = q 2 (q − 1). a x        a  Konjugirani razredi so velikosti |Cg | =. |G| |Z(g)|. q 3 (q 3 − 1)(q 2 − 1)(q − 1) q 2 (q − 1) = q(q 2 − 1)(q 3 − 1).. =. 2. Naj bo f (t) = (t − α)2 (t − β) za neka α, β ∈ F∗q , α 6= β. V tem primeru je f1 (t) = (t − α)2 , k1 = 1, f2 (t) = (t − β), k2 = 1, fi (t) = 1, ki = 0 za vsak i ≥ 3. Imamo υ1 ∈ P(2) = {(1, 1), (2)} in υ2 ∈ P(1) = {(1)}. Dobimo dva podprimera. i) Prva možnost je, da imamo particiji υ1 = (1, 1) in υ2 = (1), potem velja g ∼ diag(Uυ1 (f1 (t)), Uυ2 (f1 (t))) = diag(U(1,1) (t − α), U(1) (t − β)). Iz U1 (t − α) = α, sledi da je U(1,1) (t − α) =. α 0 0 α. ! ..

Figure

Updating...

References