BiBLIOTEKA PRIMIJENJENE MEHANIKE - Svezak 2
Znak: 8925 Sv
Izdanje:
Prof. dr. STJEPAN JECI Č
MEHANIKA (KINEMATJKA I DINAMIKA)
Urednik biblioteke:
Prof. dr. Ivo Alfirević Stročni recenzenti:
Prof. dr. IVO ALFIREVIĆ Prof. dr. ANTUN VUČETIČ Izdavač:
Izdavačka radna organizacija TEHNIČKA KNJIGA Zagreb, Jurišićeva 10 Za izdavača ođgov(l]'a:
Ing. ZVONIMIR VISTRIČKA Urednik izdanja:
Ing. TOMISLAV STRUJi Č Lektor: Mr. EUGENIJA BARIČ Tisak: BIROGRAFIKA, Subotica Tiskano 2000 primjeraka Tisak dovrfen: U RUJNU 1989. © S. Jecić, 1989. YU ISBN 86-7059 -057-3
Prof. dr. STJEPAN JECIĆ
redovni profesor Fakulteta strojarstva i brodogradnj~. Sveučilgta u Zagn:bu
MEHANIKA II
(KINEMATIKA I DINAMIKA)
TEHNIČKA KNJIGA ZAGREB
--.-.~.--
",---.-..
- o·;0'-SADRŽAJ
PREDGOVOR .. " " " " ... "
ZADATAK I POVIJESNI RAZVOJ MEHANIKE
I. DIO (KINEMATIKA)
I. UVOD ..
2. KINEMATIKA TOCKE. 2.1. PUlanja, bmna i ubmnje. 2.2. Pravo<:rtno gibanje ..
2.3. Posebni zadaci s pravocrtnim gibanjem . . . . 2.4. Jednostavno pravocrtno harmonijska gibanje ..
2.5, Krivoertno gibanje •• " , . " " .• _, ... _.. ,., . . . . 2.5,1, Prikuivanjc gibanja u Descanesovu koordinatnom SUStavu .... . 2.5.2. Prika:tivanje &ibanja pomoću polarnih koordinata
2.5.3. Prikazivanje gibanja pomoću cilindričnih koordinata . . . .
2.5.4. Prikazivanje gibanja pomoću sfemib kQQrdinata
2.S.S. Transfonnaeija vektora brzine i ubmnja ... 2.5.6. Prirodne komponente vektora bf4ine i ubrzanja.
Zadad uz poalavlje 1: .•.. ' .•••••.••.•.• _ • _ " •. 3. KlNEMATIKA KRUTOG TIJELA ....
3.1. Translacija .•••.•... , . . . , • , , ••• , ...•••• 3.2. Rotacija 01<0 nepomične osi . . . , , .••..• , , , . . . , • • . . . . . . 3.3 Ravnins.kQ gibanje tijeja ..• , . .. . . . , , ...• , •••...•... _ .. ,
3.3,1, Prikazivanje ravninsKog gibanja pomoću translacije i rotacije" . . . • . . . 3,:;,2. Brzina i ubrzanje točke na tijelu ... " " ' , . . . _ . . . . . . .. , .. _ 3,3.3. Trenutni pol brzina i trenutni pol ubrzanja ... , . . . , 3.3.4. Poloide ...•. " ... , . . . , . , , , .. _ .. , ... ,., .. 3.3.5. Plan brzina i plan ubrzanja . " . . . _ ... , , .. " . . . , , , , .... , . 3.3.6. Svojstva vektora brzina kod ravninskog gibanja. , , ... ,
3.4. Sferna gibanje ... , . . . , .... _ .... , • , .... , , • , ... . l.4.I. Konačni i beskQnačno mali kutni pomaci tijela .... , . , , , .... ' ,. , 3.4.2. Kutna brzina j kutno ubrzanje, .. _ .. , , _ . , , , , .. 3.4.3. Dmna i ubna.nje točke na tijelu ... , . • • . . .
3.4.4. Aksoide... . . . . . . .. . ... .
3.$, Opće gibanje slobodnog tijela . . . ' ... ,. , .. Zadaci uz. pogta-vtje 3 ..••••••.• , ,
5 II IS 19 19 22 29 31 3J 3J J6 40 43 41 SI 55 S9 59 61 67 67 68 71 77 80 84 86 86 9iJ 94 97 99 JOt '/
4. KINEMAllKA SLOŽENOG GIBANJA.
,U. Složeno gibanje točke . 4.2, Slaganje dviju rotacija. , .• _ 4.3. Slaganje translacije i rotacije .... Zadaci uz poglavlje 4 .. , " .
II. DIO (DINAMIKA)
5. UVOD, ...
6. DINAMIKA (:ESTICE .. 6.1. Jednadžbe gibanja _ , 6.2. O'Alembertov princip. _ 6.3. Mehanički rad i snaga ...• "
6.4: -Kinellt:ka energija. Zakon kinetičke energije •. " 6.5. POlencijalna energija ..
6.6. Zakon održanja mehaničke energije _ 6.7. Impuls i koJR~ina gibanja.
6.8. Moment količine gibanja, Zada<:i uz vogIavlje , _ . " ,
7. DINAMIKA SUSTAVA ČESTICA.
7.1. Vanjske i unutrašnje sile sustava,
7.2. Osnovni zakoni dinamike sustava čestica, •. _"
Zadaci uz poglavlje 1 ,
8. DINAMIKA kRUTOG TIJELA. . .. , . . . _ . , • . . . . .. " .... .
lU, Dinamički momenti tromesti, , . . .,
8.1.1, Aksijalni i centrifugalni moment tromosti ....• ' , __ " " , . , ..
8.1.2. Momenti tromosti za paralelne osi __ ... , " . . . " . " _ , . .. .. _ .. .." .. S. 1,3. Momenti tromosti za zakrenutI! osi. .... , .. , .. , • . . . . _ ...• " . 8. t.4. Glavni momenti tromosfi. _ " .. , . . . " , .. _ . . . _ . , , . _ . , ... "-3.1.5. Momenti tromosti složenih lijeta ..•. , ... ' .. , .. " .. _ .. , .. .
8..2. Ttanslacija ... , .•. _ .. _ .. , . __ .. , .. _ ... , .. ,
8.3. ROlaeija oko nepomične osi ..•.•. _ .•• , ... _ , .. • _ . . . , . . . , • . . .. • ... . 8.3.1. Jednadžba gibanja. ", . . . • . , ...•... , ... _ .. ,."., . . . _". 8.3.2. Kinetitka energija .. " , ... , , _ ... , ... " .. __ .. , 8.3.3. Reakcije u osloncima kod rotacije tijela . . . " •.•....•... _ •... _ •••... 8.3.4. Kinetičkimomenl ," .""., .. _." .. , .••... , •••.. 804. Ravninsko gibanje tijela •.. , ,. . .. " . . . . , . . . . _ ..••.. _ .. . 8.4.1. Jednadžbe gibanja. .. ..,... . .... "... . ... , ... , ... ". 8.4.2. Kinetička energija ... , ..•..• , . . . •• ' . . . • ' . " ••. 8.4.3. Kinetičkimoment •. __ .. "",.. . _ .. ,.,.. . ..•..•. _ ...•.• , 8.5. Sferna gibanje . . . . . . , . . . . •. , .. , . . . " ••...• , .. .
g.5.1. Jednadžbe gibanja. '.' . . . . .. • . . . . • . . . ,.. . . . . • 8,:;.2. Sfemo gibanje rotacijsko simetričnog tijela ." . . .. " . . . . ...
85.3. PriblIžna teorija girosko-pa . _ • , • , ' . " , . , • ' • " Zadaci uz poglavlje 8 . 8 .. IS 106 109 114 115 .21 123 1::3 121 l3l 134 136 139 142 I.S 149 15.$ 155 156 160 163 16;,i 163 165 169 172 l74 178 179
.8.
182 18' 18'1 19. 19' 200 203 206 206 208all
214!
l
9. SUDARI9.1. Sudar tijela bezdjelo-vanja vanjskih si}:.! • • • • . • • • • _.
9.2. Centrlčni sudar. . , , " ... - ... , .... ' 9.3, Udat če5ttee o nepomični zid ...
9.'1. Sudar čestice i totiraju6:g lijela . 9.5. Sudar rOlirajueih lijela . Zadad Ul. poglavlje 9 ' ....
LITERATURA KAZALO 221 221 223 230 234 238 242 245 247
I
I. DIO
l. UVOD
Kinematika kao dio mehanike krutih tijela proučava geometrijska svojstva gibanja. Služi kao uvod u dinamiku i temelj je kinematičke analize u teoriji mehanizama. Budući da je gibanje promjena položaja tijela ti prostoru~ često se kinematika naziva geometrijom gibanja. U koordinatnom sustavu koji nije vezan uz tijelo što se giba položaj tijela zavisi od vremena. Stoga su prostor i vrijeme osnovni pojmovi od kojih se polazi u kinematid. U klasičnoj mehanici prostor i vrijeme smatraju se apsolutnim veličinama. A. Einstein uveo je drugačiji način gledanja. koji dolazi do izražaja kad se brzine približavaju brzini svjetlosti. Tehničke zadatke. gdje su brzine tijela mnogo manje od brzine svjetlosti. zadovoljavaju II potpunosti
postavke klasične mehanike. koja je i predmet ovoga gradiva.
Vrijeme se smatra pozitivnom promjenljivom veličinom koja se za sve proma-trače, bez obzira na··način kojim se tijela gibaju, mijenja jednako. Sva gibanja tijela promatraju
se s
obzirom na koordinatni sustav, koji može biti pomičan Hi se pretpostavlja da je nepo!ničan. Često se nepomični sustav vezuje uz Zemlju, te se takvo mirovanje treba shvatiti samo uvjetno. l j kinematicj se upotrebljavaju različiti koordinatni sustavi. Već prema gibanju odabire se najpovoljniji, npL Descartesov sustav, polarni, cilindrični i sferni. a posebno je u mehanici važan prirodni koordina tni sustav.Položaj točke u prostoru mOže se odrediti .. na više načina. no uvijek su potrebna tri međusobno nezavisna podatka. Kada su ti podaci skalami parametri. nazivaju se koordinatama položaja, pa je u tom slučaju položaj tučke određen s tri koordinate.
Uobičajeno je da se broj stupnjeva slobode gibanja poistovjećuje S brojem nezavi-snih koordinata, te će slobodna lučka u prostoru imati tri stupnj. slobode gibanja.
Često je gibanje točke vezano uz neku ravninu ili pravac. U takvim se slučajevima broj koordinata potrebnih za određivanje položaja smanjuje, pa je i broj stupnjeva slobode gibanja tako vezane tučke manji. Tako, npr .• bilo koja tučka klipa motora s unutrašnjim izgaranjem može se gibati samo po praveu paralelnom s osi klipa. što predstavlja jedan stupanj slobode gibanja.
Položaj slobodnog tijela II prostoru određen je sa šest podataka, te u tom
slučaju tijelo ima šest stupnjeva slobode gibanja. Dok se za opisivanje gibanja točke
upotrebljavaju različiti koordinatni suslavi, položaj i gibanje tijela opisuje se
najčešte u sustavu koji koristi pored Descartesovih koordinata i tri Eul.rova kuta (sl. I.l). Prva tri podatka su koordinate položaja neke proizvoljno odabrane tučke
A. U nepomičnom sustavu x, J. z to su koordinate
x...,
YAo i ZA'~-::.; .~ / ' .:
Preostali podaci su tri kuta: kut precesije "', kut rotacije lP i kut nutacije 9. Ravnina ~, Tl koordinalnog sustava
e,
ll. 'vezanog uz tijelo presijeca ravninux'.
y'po nodalnoj iH čvomo) liniji n. Osi x'. y't zr paralelne su s osima x. y, z. Kut precesije
'" pokazuje otklon nodatne linije n od osi x~ i mjera je zakreta tijela oko osi ~. Kut
r~tacije (lJ određuje zakret osi
c;
II odnosu na nodalnu Iiniju n i predstavlja rotacijutuela oko osi
C,
dok je kut nutacije S mjera zakreta oko nodalne linije. Možda sena
prvi pogled čini da uvođenjem čvorne linije postaje određivanje polož.ja tijela složenijim, no EulerQvi kutovi
!fr.
rp j 9 imaju znatne prednosti kod opisivanja gibanja tijela jer dovode do jednostavnijih jednadžbi.Vezanjem tijela tako da mu neke točke miruju ili da se gibaju po zadanoj putanji smanjuje
se
broj slupnjeva slobode gibanja tijel •. Tako npr. kod dječjegzvrka kojemu šiljak miruje na stolu dovoljna su samo tri Eulerova kuta, kako bi se u svakom trenutku odredio položaj zvrka. U tom slučaju zvrk ima
tri
stupnja slobode gibanja. Rotoru elektromotora kojemu kod rotacije miruju sve točke na uzdužnoj osi može se odrediti položaj poznavanjem samo kuta zakreta u odnosu namirujući rotof. Kaže se da kod takvog gibanja rotor ima jedan stupanj slobode gibanja.
z
x
Slika LI, Koordinate položaja tijela u prostoru
Toćke tijela pri gibanju izjednog.položaja u drugi opisuju zakrivljene ili pravo ert:. koje se n~vaju putanja'!la. Položaj točke na ~u"tanji određen je orijentiranom dUZlnom S obzirom na neki
pol.
Takav vektor položaja funkcija je vremena io~nit~ se mijenja po iznosll i smjeru. Promjena vektora položaja podijeljena s pripadnIm vremenom jest vektor brzine točke. Dijeleći ukupni prirast vektora brzine s pripadnim vremenom, dobiva se vektQr ubrzanja točke koji pokazuje kako se mijenja brzina po iznosll i smjeru. Poznavanje vektora položaja (putanje točke),
vektora brzine i ubrzanja pojedinih toćaka tijela ključni je problem kinematike. . U nekim posebnim slučajevima kada se dimenzije tijela s obzirom na promatra-m problepromatra-m promatra-mogu zanepromatra-mariti dovoljno je poznavati gibanje sapromatra-mo jedne točke tijela, pa se tada položaj tijela poistovjećuje s položajem jedne njegove točke u prostoru. Stoga se u kinematici, radi lakšeg razumijevanja, razlikuje kinematika točke ili
čestice i kinematika krutog tijela, Prema obliku putanje kinematika točke razmatra
. pravocrtna i k.rivocrtno gibanje. U kinematici tijela razlikuju se dva osnovna načina
gibanja: translacija i rotacija. Kao posebni slučajevi gibanja tijela, koji su česti u tehnici, proučavaju se rm.'/linskQ ili planarno gibanje te sferno gibanje ili gibanje oko
nepomične točke.
Sva gibanja krutog tijela nQgu se zamisliti sastavljena od osnovnih nacma gibanja. Tako su komponente ravninskQg gibanja translacija i jedna rotacija~ a
16
sfernoga tri rotacije. Opee gibanje tjjela opisuje se radi jednostavnosti pomoću
translacije i sfernog gibanja. Takvo gibanje rijetko je u tehničkoj praksi. Gibanja koja nastaju lako da se na osnovno gibanje prenosi gibanje nekog drugog tijela promatraju se kao sds/avijcfJa gibanja. Pritom se razlikuje relativIJo i prijenosna
gibanje koje rezultira apsolutnim gibanjem. Da li se radi o takvom gibanju ili o gibanju koje se zamii;lja sastavljeno od osnovnih načina gibanja više je pitanje fizikalne slike, a manje principijelnog pristup"
Budući da su temeljni pojmovi u kinematici prostor i vrijeme. i temeljne veličine kojima se ovdje barata jesu dužina i vrijeme. Sve ostale veličine koje dolaze u kinernatid izvedene 'Su iz ovih osnovnih, tako da će se met(fr (m) kao jedinica za duljinu i sekunda (s I kao jedinica za vrijeme javljati u s\"im 'jedinicama ostalih veličina. Jedinice metra i sekunde definjral)e su u fizici. Tako je jedan metar duljina jednaka 1650763,73 "alne duljine zračenja II vakuumu, koje odgovara prijelazu izmedu razina 2pIO i Sd, .toma kriplOna, a sekunda je lr.janje 9192631770 perioda zračenja, koje odgovara prijelazu između dviju hipertinih razina osnovnog stanja atoma cezija.
2. KINEMATIKA
TOĆKE
2.1. Putanja, brzina i ubrzanje
Za vrijeme gibanja točka mijenja položaj li prostoru. U odsječku vremena Ar preselit će se točka iz položaja AI II položaj A, (sl. 2.1
l·
U trenutku t po1ožaj točke određen je vektorom r, a II trenutku l
+
tll taj položaj određuje vektor r+.a.r. Vektor r mijenja se s vremenom i njegova je funkcija. Geometrijsko mjesto svih položaja točke pri gibanju jeste II općem slučajukrivulja li prostoru koja se naziva putanjom. Prema tome šiljCI vektora r opisuju
putanju, pa vektorska jednadžba putanje glasi
r~r(tl. (2.ll
Slika 2.1. Putanja tocke, vektor brzine j vek.tor ubrzanja
Putanje su iH zamišljene krivulje II prostoru (npr. putanja bačenog kamena) ili se
fizički izvode da bi se po njima, nekim svojim točkama, gibala Ujela (željezničke
tračnice. žlijebovi klizača kod mehanizama itd.).
~~~
~apomena: Oznake vektora u slikama (npr. r, v, tl ••• ) označavat čemo II tekstu masnim slovima r.
v, ll ... bez siretica iznad.
Unutar vremena 8.t promijenit će se vektor r za veličinu 6.r. Omjer te vektorskc promjene i pripadnog vremena naziva se vektorom sredIIje ili prosJečne brzine:
M
"s=~'
!J.r (2,2)
Jedinica te brzine jest ms-I, a vektor \'s poklapa se po pravcu s vekwrom I:1r. Što je
odsječak vremena D.t kraći, to je položaj točke ..12 bliži položaju Al" Za beskonačno
mali dio vremena: I:1r=dt, razlika vektora položaja beskonačno je malena: Ar=dr, pa vektor srednje brzine prelazi II rtemllnu br=inu v, koja odgovara trenutku e i položaju AI. Taj prijelaz može se matematički ovako izrazili:
tu dr v=lim-=-.
~_o 8.C dr (23)
Jedinica vektora trenutne brzine, ili kratko veklOra brzine, također je ms - I . Prema
ovom razmatranju vektor brzine v je prva derivacija vektora položaja r po vremenu. Njegov pravac poklapa se uvijek s pravcem tangente na putanju u onoj točki u kojoj se promatra vektor brzine. To slijedi iz definicije tangente. Derivacija po vremenu često se označava točkom iznad veličine koju treba derh·irati. Tako je
dr v=-=r.
dr (2.4)
Slika 2.2. Promjena veklOra brzine
Nakon što protekne vrijeme .6.t, promijenit će se vektor brzine v za
tn.
Kada se brzina v koja odgovara trenutku t i brzina v+.6.v (u pripadnom trenutku t+6.r) nacrtaju s istim početkom vektora, ali sa stvarnim smjerom u prostoru (sl. 2.2), razmak između šiljaka vektora odgovara promjeni brzine. Omjer te vektorske promjene i vremena .6.t jednak je sred,ljem ili prosječnom ubrzanju (akceleraciji):!J.v
a = - (2,5)
, !J.t
koje ima jedinicu ms-2
, a smjer mu je jednak smjeru vektora Av. Vektor trenutnog
ubrzanja a ili kratko vektor ubrzanja definiran je slično kao i vektor brzine:
20
!J.v dv a=lim = -41_0.6.t dt' (2,6)'i
,II
,
,Ii!
~:-~
~; ~ i ,< odnosno dv • oo a=di=v=r. (V)Jedinica ubrzanja jest ms-2. Po smjeru taj vektor uvijek gleda prema konkavnoj (uleknutoj) strani putanje, kako je to prikazano na slici 1.1.
Prema definicijama (2.3) i (2.6) vektor brzine v prva je derivacija po vremenu vektora položaja r, a vektor je ubrzanja njegova druga derivacija, tj.
v=r.
a=·r.
Svakom trenutku l odgovara određeni vektor položaja točke na putanji r. vektor brzine v i vektor ubrzanja 3. Kod grafičke predodžbe šiljci svih vekwra brzina upoj~dinim točkama putanje leže na krivulji koja se zove velocida (sl. 2.3). Vektori
br~ma preneseni paralelno u zajednički početak određuju svojim šiljcima krivulju kOJa se zove hodografbrzina, kOjega su tangente pravci pripadnih vektora ubrzanja.
,
"
putanjaI
"1,
a,
aJo
bJ hodogrof ubrzanja hodograf brzinaa,
Slika 2.3. Putanja i velocida (a), hodograf brzina (b) i hodograf ubrzanja {cl
Svi šiljci vektora ubrzanja, pomaknuti paralelno u zajednički početak, opisuju hodograf ubrzanja. Hodografi brzina i ubrzanja grafički su prikaz promjene vektora v i 3. Kod gibanja točke u ravnini može se grafički pomoću vektora brzine i tangenti na velocidu i hodograf brzina odrediti ubrzanje, čime se ovdje nećemo baviti.
Prva derivacija vektora ubrzanja po vremenu daje ubrzanje drugog reda ili tzv.
trzaj:
(2,8) Ta veličina rijetko dolazi u tehničkoj praksi, a upotrebljava se II posebnim
izučavanjima udobnosti vožnje u dinamičkoj analizi vozila te II kine:n3tici štapnih mehanizama.
Primjer 2.1
Točka nekog tijela giba se konstantnim iznosom brzine v po kružnoj putanji polumjera R. Odrediti velocidu, hodogr:af brzina i hodograf ubrzanja.
Bu~ući da su po iznosu svi vektori brzina jednaki, nacnani su na slici 2Aa
tangeneIJalno na kružnu putanju s ,;ednakim dužinam. vektora, Šiljci vek.ora brzina leže na velocidi (sl. 2.4.), koja je Z'Jog konstantnog iznosa brzine također kružnica. Vektori brzina preneseni sa slike ;2.4a paralelno u zajednički početak O opisuju svojim šiljcima hodograf brzina koji je kružnica. Polumjer te kružnice odgovare II
ii, l, / ~
( t,
ii,t,
ft
ii I,f'
\ ir,
,
vi
,
""dogra! I, " rodogml ii,/,-,~'
. / l, ubrzanja velodda ...--~
brzina al bl clSlika 2.4. Grafički prikaz vektora brUna il ubrzanja kod gibunja točke jednoHkim iznosom brzine N
• kružnici .
nekom mjerilu iznosu brzine. Tangente na hodograf brzina pravci su pripadnih vektora ubrzanja. Budući da su vektorski prirasti brzina konstantni (promjenIl
br~ne samo po smjeru),
t?
j~ i ~odograf ubrzanja takoder kružnic~ spolumjeromkOJi odgovara u nekom
mjenJu
iznosu vektora ubrzanja.2.2, Pravocrtno gibanje
Gibanje točke kojemu je putanja pravac (sl. 2.5) čest je slučaj u praksi a zbo. jednostavnosti oblik,,: putanje za njegovo prikazivanje nije potrebna ';potreba vektora. Ako se IShodIšte vektora položaja r odabere u jednoj točki putanje (npr. na mjestu pOčetka gibanja), tada se taj vektor mijenja samo po iznosu, dok mu se
Sllka 25. Prave<:rtna putanja
22
pravac tokom svog gibanja poklapa s ,pravocrt"",!, pu!anjom .(sl. 2.6a). Položaj
ločke na putanji može se jednostavno pokazalI udaljenošću s ad IshodIšta (sl. 2.6b),
Ta udaljenost, za koju je uobičajen naziv put. skalaI'na je veličina koja se mijenja s vremenom, tako da je
5=5(1). (2.9)
Prema definic1jama (2.3) i (2.6, za brzinu i ubrzanje vrijede ti tom slučaju skalarne jednakosti ds , v=-=s dt (2,10) dv d1s . ,. a=-=-=v=s. dl dl' (2.11 ) al O
r
A,•
Ai' A,•
t
t+flt >s bl O A,A,
I
sI
flsj
.s
t
i+AtSlika 2.6. Vektorski (al i sblami (b) prikaz pravocnnog gibanja. Izbor ishodišta O na putanji
Kod praktičnog računanja treba razlikovati put s, koji .~a sv~ki ~~!lul~k t ,pokazuje položaj točke na putanji, od ukupn,~ prijedenOfj puta ~OJI :noze blt~ l.veceg IznOsa ~~
puta s, već prema ka:-akteru funkcije s(t). NaIme, tockaJe u.pol~zaJ
1
mogla d?Cll tako da je gibajući se od početnog položaja O prešla položaJ AI I zatim se vrallla u položaj A"za
sve vrijeme I put (položaj na putanji) točke jest s. ali je Ukupnoprevaljeni put bio veći.
Gledano iz ishodišta O, jedall je smjer gibanja (npr. desno) pozitivan, a drugi negativan. Predznaci puta. brzine i ubrzanja odgovaraju tada predznacit;ta s~je~a
na putanji. Predznak brzine pokazuje smjer gibanja, a predznak ubrzanja, kOJe l~
pokazatelj promjene brzine. pokazuje da li brzina raste ili opada. Kada.S\~ predznacI brzine i ubrzanja jednaki, brzina se povećava, točka se ubrzava. Glbanja je
ubrzano?
bez obzira na 10 radi li se o gibanju u pozitivnom Bi negativnom smjeru putanje. Kada su predznaci brzine i ubrzanja različiti, točka se usporava, a gibanje je
usporeno. To se može napisati i ovim jednakostima: ubrzavanje usporavanje SIGN v=SIGN a SIGNv=-SIGNa, (2.12) (2.13)
II kojima SIGN (la~in~ki sjgnum) ispred !i.ili.a .~~ača~ ~a se uspo!:<!uju.~r~nru:i.
Prema tome. iz samog predznaka ubrzanja a filJ~ mo,guce us~noV1h d.a h Je ~tb~l!~ ubrzano ili usporeno. To je i razlog zbog kOjeg ~mo .pnrast. brzme
ll:
~edlnlCl vremena nazivati samo ubrzanjem ili akcele'Gcijom~ Jer ta Ista fiZIkalna vellčma bez ikakve promjene može u jednom periodu gibanja dovesti do usporavanja, a u drugom do ubrzavanja (vidi primjer 2.3).· Ces~o se u tehničkim zadacima promjene puta j brzine i ubrzanja prikazuju II
oVI~n~st1 o vreme~.u pomoću t~v. ki,!em~.tičkih dijagrama. Pri crtanju tih dijagrama
k~n~u se"geometrtJsko. značenJ~ denvaclJe. Tako je dijagram ubrzanja
a
u nekom:r
1.jenlu ?lJagram, promjene nagiba tangenti na dijagram brzina Vj a dijagram brzinaJe promjena nagIba tangenti na dijagram puta
s
(sl.2.7
J.Sz ---~---o)
" L_""'.'
jo'f-~t,---t---~~
v aa,
i
i
altIa,
-+---.11-,--:"""-~-i
ao
t,
dt
t,
t
cl
Slika 2.7, Kinematički dijagramL Tangens kuta nagiba tangenti na krivuJju u dijagramu puta s(l)
odgovara brzini II (a). a u dijagramu brzine {"(tl ubrzanju (1 u trenutku t (b)
Obrnutim postupkom mogu se integriranjem iz poznalog ubm<nj. odrediti brzina i put:
v=fadt+C,
vdt+C"
(2.14) (2.15) pri čemu
se za
odredivanje integracijskih konstanti C, i C, moraju poznavati brzina I put u nekom odredenom tre.nutku .. Obično su to. brzin. i put na početku gibanja, pa se .tada, nllZlVajU . p.očetmm uVJetima. Povrll!na ispod krivulje u dijagramu ubrzanja tl mtervalu t, -12 odgovara razlici brzina V'l i Vl' jer je24
"
~V=L)2-t'tI
adl."
(2.16) 'i.,
~-Analogno vrijedi i za dljagram brzine i za razliku putova u trenucima tl i 12:
"
As=S2- S1=jttdt."
(2.17)
U sIoženijim slučajevima kinematički dijagrami mogu se odrediti jedan iz drugoga grafičkim iH numeričkim deriviranjem i integriranjem.
Između dijagrama puta
s.
brzine tl. te ubrzanja tl i dijagrama momenata savijanja M. poprečnih silaQ
i poprečnog opterečenja q. poznatih iz statike, postoji puna analogija. Osim po fizikalnom značenju ne razlikuje se crtanje kinemaličkihdijagrama od crtanja dijagrama unutrašnjih veličina duž nosača. Dok je kod nosača
promjenljiva veličina po kojoj se deriviralo bio element dužine, II kinemalid je la vrijeme.
Primjer 2.2
Na ravnQm dijelu ceste snimljen je preko ... brzinomjera dijagram brzine autobu~
sa u ovisnosti o vremenu (sl. 2.8a). Nacrtati dijagrame j (I) i a (t) ako se autobus u
trenutku 1=0 nalazio
u
početnom položaju .=0. Odrediti mjesto na kojemse
nalazio autobus kada je nakon vožnje konstantnom brzinom počeo ubrzavati. Izmedu 15. i 21. sekunde autobus je ubrzavao po paraboli drugog reda s tjemenom
il 1=15s.
U prvom odsječku vremena
za
0<:1 <: 7 s aulabu, jednoliko usporava. Prva derivacija brzine u tom je perioqu konstantna, jednaka je ubrzanju, a iz zadanog dijagrama brzine tangens kuta nagiba pravca iznosi .2 ms-l: U drugom odsječku vremena (7 < r<
15 s) autobus vozi konstantnom brzinom, te je ubrzanje jednako nuli, dok u trečem odsječku (15<t<21) linearno raste, budući da se brzinaparabolički mijenja s pozitivnim prirastom nagiba taogenle na krivulju tl (t). U trečem dijelu gibanja brzina je porasla s lO na 14m"', pa je i površina ispod dijagrama a(r) u tom dijelu jednaka 4ms-l
. S tim podacima nacrtan je dijagram
ubrzanja
a
(r). (sL 2.Sb).Dijagram puta sfrj u prvom odsječku vremena jest parabola drugog reda s nagibom tangenti koje linearno padaju, što se vidi iz dijagrama v(t). U sedmoj sekundi je put s= 119 m, budući da je tolika i povr!in. ispod dijagrama v(t) u prvom dijelu gibanja. U drugom odsječku vremena put linearno raste (brzina je konstantna) za 80m u 8 s, pa je mjesto na kojem autobus počinje ubm<vati s,,=1l9+80=199m. Na trečem dijelu puta brzina se mijenja po p.raboli drugog reda za koju je jednadžba
10 l 2
v=35--t+-1 .
3 9 (2.18)
Integriranjem se dobiva porast puta u tom dijelu gibanja: .:n .... '''",J'':;'''''.!: - '-.
&s=
f
(35-
~O t+~t')dt=68m.
(2.19)15
S tim vrijednostima n""rtan je dijagram s (t) na slici 2.8c.
Zadatak je moguće riješiti iz zadanog dijagrama r(rl postavljanjem jednadžbi za brzine za sva tri dijeJa puta, Deriviranjem po vremenu dobivaju se zakoni ubrzanja, a integriranjem zakoni puta. Integracijska konstanta za prvi odsječak vremena izračunava se iz uvjeta da je za t=O i s=O, Na kraju prvog odsječka dobiva se iz sada poznatog sit) uvrštavanjem 7 s za 1 i 119 m za $, To se koristi kao uvjet za izračunavanje integracijske konstante kod integriranja unutar drugog odsječka vremena, a postupak se ponavlja i za treći dio puta.
y imlsl 24 l. al 10 O 7 15 21 tisi a (rus-2j 1,3 7 O
bl
15 21 tisi 14:'_m$~1 -2 s iml 267 199 cl 119Stika :u!.. Kinematićki dijagrami vožnje aUlobusu. Zadani dijagram brzine (al. diJ;agram ubrzanja (". l puta (cl
26
Jednadžbe brzina za sva tri odsječka vremena glase: "=24-21
,'=
10 10 l r=35--I+-t',3
9
(2.20) rl ;~,',ill,
'ii;I
;~Nakon deriviranja bit će ubrzanja: ~I - 2
(1=0 (2.21 :;
!o
2
a=
--+-1.
3 9
Integriranjem (2.20) dobiva St\ nakon opisanog postupka za određivanje konstanti. 5=241-12
5=49.;. lOr
S=-76+351-~I'
l " ,(2,221:
Uvrštenjem u drugu ili treću jednadžbu (2,221 za 1
=
15 s dobiva se da je SIS = 199m.
Taj drugi načinrješavanja
zadatkas
fonnalnim matematičkim pristu-pom obično je daleko duži od onoga u kojeg se promatraju prirasti nagiba tangentii površine ispod kinematičkih dijagrama.
Primjer 2.3
Za pravocrtno gibanje točke s konstantnim ubrzanjem nacrtati i analizirati kinematičke dijagrame. Zadani su početni uvjeti: za (=0. s=so. v=co, pri čemu je 50>0 i vo>O.
Brzina se dobiva integriranjem ubrzanja, pa je uz
a
konsLI'=J
adl=al+C"Kada je 1==0, v=rQ' tada je i CI
=
vo.
le izraz za brzinu glasi(2.23)
Ponovnim integriranjem dobiva se
Integracijska konstanta Cz=so, kada je (=0 j S=$o- a
(2,24)
Ako je ubrzanje veće od nule, točka se udaljuje od ishodišta O, brzina linearno raste, a gibanje je jednoliko ubrzano. Kinematički dijagrami i položaj toČke na putanji prikazani su na slie) 2.9. Tokom svog vremena točka se ubrzava, jer je SIGNv=SIGNa.
27
,
Kada je ubrzanje negativno, brzina opada linearno s Vo na nutu, a .zatim raste u negativnom smjeru. Dijagrami izraza (1.23) i (2.24) II kojima je o
<
O prikazani su na slici :!.10. Točka se uz lakvo ubrzanje do trenutka l, jedaoliko usporavala. Do tOg trenutka bio je SIGN V~ - SIGN o. Zal> 'l
SIGN f~SIGN a gibanje je jednoliko ubrzano. Do trenutka tl točka se gibala od ishodišta u pozitivnom smjeru. U trenutku lt stala je i nastavila gibanje sve većom bmnom u negativnom smjeru putanje, Kroz ishodište prolazi točka u trenutku t = Iz.s v a
"
O alt
O -v -o -sI:
s,
!(=OJt
+.
S blSlika 2,9, Kinematički .ctijagrami pravocrtnog gibanja s konstantnim ubrzanjem vecim od nule (al i položaj točke na pravocrtnoj putanji (b)
s v o s"", v, jednoliko
usporeno jednoliko ubrzano
s!t) ot---7~----~--~t
o
-v -a!.
It=O•
,
-$ si t<t, t, +s t=t, -v bl-o
Slika 2.10. Kinematički dijagrami pravocrtnog gibanja s konstantnim ub17.anjem manjim od n~lc (~) i polQžaj točke na pravocrtnoj putanji {bl Posebno Ul a;;:;:;O brzina se ne mijenjat dok put linearno raste po zakonu
s~rol+$o· Gibanje je jednoliko. Točka se udaljuje od ishodišta u pozitivnom smislu putanje s brzinom jednakom vo' Kinematički dijagrami prikazani su za taj slučaj na slici 2.1 L
o
t
Slika 2.11, Kinematički dijagrami jednolikQg pravocrtnog gibanja
28
'1
2.3. Posebni zadaci s pravocrtnim gibanjem
U posebnu grupu svrstani su u kinematici zadaci u kojima put, brzina i
ubrzanje nisu izravne funkcije ~remena ... već je zadana ~Jihova ,uzaj~n:na ~visn<:st: Tako su često brzina i ubrzanje funkcIje puta (npr. dIJagramI vOZIlJe gdje se zeb pokazati kolika je brzina na pojedinim mjestima puta) ili j~ ubrzanje funkcija brzine. Rjeđe se javljaju ostale zavisnosti u kojima jedna od kmematlčkth vehčma zavisi od ostalih dviju Hi se osim njih javlja vrijeme ka? .varijabla ... U svim tim slučajevima nije moguće iz jedne kinematičke veličine dobitI ostale. dVIJe neposre.~ nim deriviranjem ili integriranjem po vremenu, vet se takve Jednadžbe pnJe rješavanja preuređuju ili se primjenjuju uobičajeni postupci za rješavanje diferend· jalnih jednadžbi.
Kad je brzina zadana kao funkcija puta: "~v(sl. a treba odrediti s(ll, e(ll i a(r). izračunava se u prvom koraku vrijeme r kao funkcija puta:
ds
r(s)=-dl
I=J~+C=I(S).
,. (s) (2.25)Za određivanje integracijske konstante potrebno je poznavati put
s
tl nekomtrenutku I (npr. I~O, s~so). Inverzijo!", ako je moguea, dobiva se iz (2.25) s (IJle dalje deriviranjem V(I) i a(Il. ~ime je zadatak riješen. Ponekad direktna mverzlJa nije moguć., pa se zadatak rješava numerički ili grafički, što nije predmet oVIh
tumačenja.
Slično iz poznate zavisnosti ubrzanja i puta: a=a(s) određuju se analit~čki izrazi za osnovne kinematičke dijagrame. Kako je a=dt'/dt, može se preuređenjem dobiti
a
odnosno do ds vdv dt a(s)ds~vdv.Integriranjem lijeve i desne strane dobiva se
J
a(s)ds+Clrf
2(2.26)
Ovdje je
e
l zajednička integracijska konstanta lijeve i de,ne strane, a određuje s,: izbrzine v koja mora biti poznata na nekom putu s (npr. za s=so, v~vo)' Nakon sto je konstanta određena, izraz za brzinu glasi
v=.j2
U
a (s)ds+C:J - ves). (227)Dalje se zadatak rješava prema (2.2Š)~"
U slučaju daje poznato ubrzanje kao funkcija brrine a~a(v), bit će
odnosno
f
doI ; -+C,=I(V).
0(0) (2.28)
lnverzijom tog izraza dobiva se v=v(t) te dalje integriranjem s=s(r), odnosno deriviranj.m 11=11(1). Nakon integriranja prema (2.28) i kod Određivanja funkcije pUla
s=sltl
javljaju se dvije integracijske konstante: C2 i C3• koje se određujuiz
poznate brzine j poznatog puta II nekom trenutku. To npr. mogu biti početni uvjeti:
zu 1=0, 5=So. v':;;VO.
Primjer 2.4
Brzina automobila raste proporcionalno s putom, tako da je v= ks. Uz zadani k odrediti zakone promjene puta. brzine i ubrzanja u zavisnosti o vremenU. U
trenutku t =0 automobil se nalazio na mjestu So ravne ceste. Budući da je v=ds!dt = ks, vrijeme l dobiva se jz izraza
f
dSkl= -;-+C=lns+C. Kada je, a S=S(l~ konstanta
e
iznosiC= -Ins., SlO uvršteno u (2.29) i n.kon preuređenja daje
s=soe" .
(2.29)
(2.30) Uzastopnim deriviranjem po vremenu dobivaju se zakoni promjene brzine i
ubrzanja: v=soken a = So
12
ekt • (2.31 ) (2.32) Iz funkcije puta vidljivo je da početni uvjet 1=0,s=O
ne može teorijski postojati. U tom slučaju bili bi i početna brzina i početno ubrzanje jednaki nuli, pa do gibanja ne bi moglo doći. Tek nakon ubrzavanja automobila na neku konaČIlU brzinu VO moguća je vožnja s linearnim porastom brzine II odnosu na put.Projektil se giba kroz otpornu sredinu, gdje mu se početna brzina Vo smanjuje u jedinici vremena proporcionalno brzini s potencijom
a,
tako da jea=
-KtfT. Uz zadane K. ~_:~lf_te"-uz «;> 1, : odr~diti ~kone P!lta. b~l:1~.,i ubrzanja u ovisnosti o vremenU l. .30
Iz odnosa a=dv/dt= -Kv' dobiva se daje
-;o + t Kr; -
Jv--dv+C,; __
v~_+C•.
-0:+1 (2.33)
.~
~
Prema početnom uvjetu za 1=0, V= Vo bit će
V-~dl
CI=~O~_, -0:+1 što uvršteno u (2.33) daje nakon uređenja
r-f::t-u=r'o-{z-l)+K(::c_llt. odnosno
"o
1 ' = - - - - ' ---;,-[1+
"0-'
K (0:-1 ) t];::! (2.34) (2.35)Često se za gibanje kroz otpornu sredinu llz1ma da je 7..
=
2. tako da je u tomslučaju 1";1"0/(1
+'oKt).
2.4. Jednostavno pravocrtno harmonijsku gibanje
PQd jednostavnim prat1{}crrnim harmonijskim gibanjem razumijeva se takvo giabnje kod kojega je ubrzanje proporcionalno i uvijek suprotno usmjereno putu} te je definirano izrazom
(2.36) Prema definiciji tog gibanja (JJ je realan broj veći od nule. Takvo je gibanje zapravo primjer za ubrzanje koje je zadano kao funkcija puta. No kako se često javlja u tehničkoj praksi (npr. neka oscilatoma gibanja, gibanja noža blanjalice, mehaničko sito), ovdje će ono biti podrobnije protumačeno.
Ako se primijeni postupak koji je opisan II 2.3 za slučaj kada je zadano
ubrzanje kao funkcija puta, dobiva se da je
vdv=
-w
2sds, (2.37)što nakon integriranja lijeve i desne strane glasi
rl
s>
-=-ai-+C].
2
2
(2.38)Početni uvjeti mogu biti kod hannonijskog gibanja različito zadani. U principu svi dovode do jednakog gibanja, tako da je dovoljno razmotrit; samo jedan od mogućih slučajeva. Neka je početni uvjet zadan tako da je za r=O,
s=O
i ';"0. Pritom neka je "0>0. Iz (2.38) konstanta C, ima vrijednostif.
C.="2'
(2.39) pa se za brzinu ti dobiva (2.40) BudUći da jeu=ds/dt,
to je (2.41 )31
ili nakon integriranja
I (JJE
t=-arcsln-+C.
w Vo
(2.42)
Prema početnim uvjetima za t =0, 5=0 bil če i
e
=0. tako da je n.\kon inverzijes sinwt. (2.43)
w
te nadalje nakon deriviranja
(2.44)
a~ "ol.,inw/. (2.45)
Izrazi (lA3). (2.44) i (2AS) jesu zakoni puta. brzine i ubrzanja kod jednostav-nog pravocrtjednostav-nog hannonijskog gibanja. Veličina A::::=
vo/w
naziva se ampfilUdompura, a predstavlja maksimalni otklon točke na putanji od ishodišta, Ta tri zakona napisana pomoću te veličine glase:
s=A sinw! (2.46)
o=Awcoscot (2.47)
a= - Aco2 sinwt. (2.48)
Kinematički dijagrami puta ~" biLine I.' i ubrzanja
a
prikazani s.u na slici 2.12. a položaj točke na putanji u pojedinim trenucima dan je na slici 2,13. Iz tog se prikaza vidi da je hannonijsko gibanje periodično, Točka se od početnog položajaO giba do maksimalno udaljenog mjesta A. vr.ća
se
kroz početni položij i giba Se do položaj.s
~-
A, te ponovno stiže u ishodišnu točku. Vrijeme potrebno za taj ciklus gibanja iznosiA 32 5 V
•
',>-.
- -aIM"' .. 21< T~-.w
Slika 2,12. Kinem<l{ički dijagrami jednoslavnog nannonijskog gibanja
(2.49)
t
To je perioda harmonijskog gibanja. Nakon tog vremena !Očka ponavlja isti ciklus gibanja. Broj pređenih ciklusa II jedinici vremena naziva se fi'ekvencijom
f
Frekvencija ima jedinicu herc II značenju recipročne sekunde (Hz=s-!). ubriavanje usporavanje ~~~~--~--~~~-1 -a::AI!l V~O
t
-1I!'
- ZidI
t>2l!
Zw
- y - o usporavanje -At
oO 211: 'W -v;Aw a::O 00=0 - y=-Aw toKw
: I:
t< Jr. 2w - v - o ubrzavanje At
~if;;
\1;;;0 ____ a:::_Aw2 '5Slika 2..1 3. Položaj ločke na pUlaoji u različitim trenucima jednostavnog pravocrtnog harmonijskag gibanja
(2.50)
Amplituda puta, perioda j frekvencija ovise direktno o konstanti (;). Ta konstanta, pored početnih uvjeta, odreduje svojstva hannonijskog gibanja, a zove se kružna frekvencija, s jedinicom radijan II sekundi (rad s -I), Kako je radijan izvedena jedinic. za kut (rad=m!m). ponekad se uzima
za
jedinicu kružne frekven-cije samo recipročna sekunda (S-l).Svako periodično gibanje može
se
zamisliti sastavljeno od niza jednostavnih harmonijskih gibanja. Radi jednostavnosti prom'lraju se složena periodična giba-nja II komponentama, čime se bavi liarmQnijska analiza,2.5, Krivocrtno gibanje
2.5.1. Prikazivanje gibanja II Descartesovu koordinatnom sustavu
U Descartesovu koordinatnom sustavu (sl, 2.14), u kojem smjerove osi x, y, z
odreduju jedinični vektori ~ j i k. određen je položaj čestice koordinatama
x=x(t), y= y(t) i z =z(t), koje $U ujedno-i -parametar.k.jednadžbe putanje, gdje je· ~ parametar vrijeme t. Eliminacijom parametra t prikazuje se putanja i pomoću dviju jednadžbi u obliku F, (x, y, z)=O, Fz (x, J, z) ~O, Vektor položaja r točke im. u lom
koordinatnom sustavu komponente
r=xi+yj+zk, (2.51 )
a kako i~ j i k pripadaju nepomičnim osima, bit će brzina v
=
r
i ubrzanje a =v
=r
određene relacijama x v=xi+jtj+zkk
.,. OJ IL..".-_-+_-",.-_ _ , ;-- J~ l . r J ",/"x(tl ____________ J... y y(tl al v,
,
(2.52) (2.53)I
Vy~tL
Slika 2.14. Prikaz gibanja čestice u Descaneso\"U koordinatnom sustavu (a), vektori br:.dne (b) j
ubrzanja (cl
Iznos i smjer vektora brzine određuje se iz komponenata r x
=X
' ) ' v =y' i v ~=2:
kako slijedi: . v=V'-;+t~+~ (2.54) . i:
cos IX(:'=-;:
(2.55) }"coS/1,'=-1
"
(2.56)gdje su at: i
Pt!
~uto,:,i koje pravac vektora brzine zatvara s osima x i y. Kut rtl prema OSI z određen Je uVjetomCOS1:IU
+cos
2Pv
+cos
2. S~ičn~ vrijedi i ~ .ubrz:tnje kojega su komponente
a",=x, a
=y
i a_=z~ pa suIznos l smjer određem IZraZIma ~
-34
a=J~+tf,+~
=JX'
+
i""2
+
"?
X
COSct.,=-a ;~ cos (1.=:"'.a
(2.57) (258)(2.59)
Kad se čestica giba II ravnini. dovoljne su samO dvije koordinate za prikaziva~ nje gibanja (npr . .x i .t.), a vektorj brzine i ubrzanja imaju tada samo dvije komponente.
Primjer 2.6
Klizač d giba se po paraboličnom žlijebu (51. 2.15aJ kojega je jednadžba
r=O.6.e (tl metrima). Pomoću kulise B ostvaruje se gibanje klizača, tako da mu je
komponenta brzine u pravcu osi x konstantna i jednaka vx=O~3ms-l. U trenutku
( = O klizač se nalazi u tjemenu putanje. Odrediti koordinate položaja klizača x~x(,) i )'=.\"(1) te vektore brzine v i ubrzanja a u trenutku t= I,.
Y Y
a
potanju0,051.
---o
0,3 mSlika '2,15, Putanja i \'-CklOri brzine i ubrzanja u trenulku t= l s Integriranjem komponente brzine v.==x=konst. dobiva se
x=
f
"xdt=v,t+C .Uz r=O, x=O i C=O, te uz f tl sekundama j x u metrima slijedi
x=O,3t.
Prema zadanoj putanji dobiva se za drugu komponentu gibanja
p=O,054t2•
bl
x
(2.60)
(2.61) U ,renutku I l s klizač se nalazi II točki putanje x=O,3m i r=O,054m (vidi sl. 2.15b).
Komponenta vr brzine dobiva se deriviranjem izraza (2.61):
v,=
1=0,108t, (2.62)što za l I s iznosi t:,,=O,108ms-1• Iznos i smjer vektora brzine bit če prema tome _.,~. "t'",:jV;-+~ ;'JO,32+O.1082.=O,319 ms-1
vJ: 0,3
cos~.~v=O,319 =0,94,
tako
da je kut".=
19'52'28".
Komponente ubrzanja iznose:
0).=
v'$'=
y=0,108 ms-2.Prema torne vektor ubrzanja konstantnog je iznosa stalno usmjeren prema pozitivnoj poluosi y:
a=O,!08 ms-2
(ta=90? .
Položaj klizača na putanji s pripadnim vektorima v i il prikazuje slika 2. J 5 b.
2.5.2. Prikazivanje gibanja pomoću polarnih koordinata
Za gibanja II ravnini često se II kinematici upotrebljava polarni koordinatni
sustav
(st
2.16)s
radijaIllom f i drkularnom cposi.
Položaj osiu
ravnini odredujujedinični vektori
e,.
i eq>' Pozitivni smisao radijalnog pravca poklapa se sa smislompovećanja r koordinate, a za cirkularni pravac odreduje pozitivan smisao povećanje
kuta (f). Jedinični vektori el'" i ef kao vektorske veličine nisu konstante. Iznos im
se
doduše ne mijenja, jednak je jeainict ali im se mijenja smjer u ravnini, Položaj točke
na putanji određen je s dvije skalarne koordinate: udaljenost
r
od pola O i kut <p mjeren od nekog nepomičnog pravca u radijanima, Pri gibanju to su funkcije od vremenar=r(t) (2.63 )
cp=cp(t). (2.64)
Te su funkcije ujedno i jednadžbe putanje II parameta.rskom obliku.
r
o
o
al bl
Slika 2.16. Polarni koordinatni: sus\av (a) i prirasli vektora položaja tb)
36
Vektor položaja točke na putanji u tom koordinatnom sustavu može se prikazati izra70m
r=re,_ (2.65 )
Da bi se dobiJ! vektori brzine i ubrzanja, potrebno je r derlvirati po Hemenu. To je moguće izvesti na dva načina: promatranjem prirasta vektot'd r l \' ili direktnim deriviranjem (2.65) i proma:tranjem prirasta jediničnih vektora el'" i e~. Pokazat ćemo obadva način{:L
U vremenu dl mijenja. se vektor r za dr. Taj ukupni prirast ima dvije komponente: ,radijaInu i cirkularnu. Radijalni prirast vektora r jest prirast tog vektora po ve~:ičinL Po iznosu jednak je skalarnom prirastu dr, a smjer mu odreduje
jedinični vekt<ir el'"' Komponenta prirasta II cirkularnom pravcu (promjena vektora r po pravcu) iznosi rd(,;), ti pomnožena s jediničnim vektorom e" daje vektorsku komponentu ukupnog prirasta, Na taj je način
dr=dre,+rdcpe.. (2.66)
što podijeljeno s dt daj.
Budući daje crfdt=r=v, bit će
dr dr dcp
- = - e
+r-e_
dt dt' dt' (2.67)
v=re,+,q,e.. (2.681
Kako je V= !l,er
+
vq:oeot• komponente brzine v u radijalnom i cirkulamom pravcu (sL2.l7a) jesu:
ti,=r
vop=rq,.
Vektor v po iznosu i smjeru dobiva se pomoću izraza
cos
v
(2.69) (2.70) (2.71 ) (2.72J Nakon vremena dl promijenit će se svaka od komponenata vektora brzine za beskonačno moli vektorski prirast, Prirasli d., i dvo radijalne i cirkularne kompo-nente imaju također komponente u oba pravca (sl. 2.17b). Sve te komponente tvore ukupan prirast vektora v:clv= dvl'" +dv,*,=d~Ter + t'rdtpf:i! +dv~eO'.-v<pdq>er ·
.
-"".~ --;:-(2.73)
To sređeno i podijeljeno s dt dat će vektor ubrzanja:
a=d
__
V=(d_"_,_V _d_"')e
+(v
d",
+
d_V_o) •.
dt 11 dl r t dt dt lp
(2.14)
Nakon uvrštenja (2.69) i (2.701. deriviran)a i sređivanja dobiva se
a=(r r<p')e,+(rq,
+
2i',p) e •. 'l ptl~anjoo
bl o) (2.75) rSlika 2.17. Vektor bniJ'lc s komponem.!ma u po!a:nom koordinatnom sustavu ta~ i prirasli brzine (b)
Komponente vektora 1; brzanja
3=a,c
r+
II()Cq> jesu. prema tome,a,=r_rip2
a",=rq,
+
2;ip ,
a iznos i smjer daju izrazi
.j
Ci -
rq,'
J'
+
(rij>
+
2rq,)'
COS :til a (2.76) (2.77) (2.78) (2.79)Položaj vektora ubrzanja i komponente u polarnom koordinatnom sustavu prika-zuje slika 2.18. U svim izrazima
rP
ima jedinicu rads-I, aif>
rad s-'.ii
putanja.
o
Slika :tl8. Vektor ubnan.ič 5 komponentama lj polarnom koordinatnom sustavu
38
l
Na drugi način može se vektor brzine dobiti direktnim derivir.njem, gdje je
d . •
y= dt (re,.)=re,+re,. (2.80)
Da bi se ta derivacija mogla izvesti dokraja, a također i derivacija vektora brzine, pogledajmo što znači derivirati jedinične vektore
el'
i c<1' Prirasli tih vektora prikazani su na st 2.19.SlLka 2.19. Prirast i jediničnih vektora polarnog koordinalnog sustava
Budući da
su
iznosi jediničnih vektora konstantniqel'l =jeqll
== 1 t. oni imaju priraste samo po smjeru. Ti prirasti podijeljeni s vremenom dl daju prve derivacije jediničnih vektora:• d", .
e,=-e
=<pedl 'I' lP
e.=-
d 'I' e=
ipe,. dl 'Kada se (2.81) uvrsti u (2.80). dobiva se za brzinu ": v=re,.+rq,e~. Ponovnim deriviranjem dobiva se vektor ubrzanja:
a=
r
e".
+
rel'
+i-ipe;p
+rq,cft' +
rq,č<p,
što pomoću izraza (2.81) i (2.82) daje
a = (i' - rip') e,
+
(riii+
2rip) eo'(2.81 )
(2.821
(2.83)
(2,84)
Izrazi (2.83) i (2.84) jednaki su izrazima (2,68) i (2.75). Prvi način izvoda za brzinu i ubrzanje daje zamiju sliku o lome kako nastaju pojedine komponente brzine i ubrzanja, dok je drugi načinI koji je formalno matematički jednostavniji, bez mogućnosti predodžbe () fizikalnom nastajanju prirasta,
.--Lansiranje rakete prati se pomoću radara koji je povezan s računalom. Polarne koordinate
r
i <p automatskise očitavaju
i deriviraju, te se pomoću njih izračunavajuiznosi brzine i ubrzanja.
za
pravocrtni dio putanje rakete odrediti izraze pomoću kojih se izračunavaju ti iznosi.Iz slike 2.20 vidi se da je brzina v po iznosu
LI=Vr sin €p+ Pep cos rp,
što kada se uvrste odgovarajući izrazi za komponente v,. i vi' daje
,11=r
sin tp+ rip costfJ.s
Slika 2.20. Pračenje gibanja rakete pomoeu polarnih koordinata
(2.851
Jednako vrijedi i za ubrzanje a koje se po pravcu poklapa u tom primjeru s pravcem brzine 'r, tako da je
a=a,. sin cp +a<l' cos f{J, odnosno
a
=
cr -
rip') sin q> +(riP+ 2i-ip) cos rp. (2.86)Kako je putanja rake le pravocrtna, zadatak se može riješiti i tako da se put
s
rakete izrazi preko koordinata r i qJ koje računalo prima kao ulazne podatke. Tada je
s=rsiocp, ~to deriviranjem po vremenu daje brzinu
1;=$=; sin q>+rQJ cos q>. Ponovljenim deriviranjem dobiva se ubrzanje:
()=
r
sin tp+;;p
cos cp +rq, cos f{J+rq;
cos~-ril sin qJ todnosno
a
=
(r - rip') sin q> +(riP+
2i-ip) cos q>.(2.87)
(2.88)
(2.89)
2.5.3. Prikazivanje gibanja pomoću cilindričnih koordinata Cilindrične koordinate kombinacija su polarnih p, q> i jedne Descartesove, npr. a (sl. 2.2\). Bndući da se pravac vektora položaja r ovdje ne poklapa s radijainim
40
pravcem, za radijalni je pravac uvedena nova oznaka: p. Položaj točke u prostoru odreden je tokom gibanja s tri podatka:
p~p(t) rp~rp(t) z~z(t). (2.90) (2.91) (2.921 To su ujedno i parametarske jednadžbe putanje, gdje je vrijeme r parametar. Pripadni jedinični vektori jesu: ep za r(Idijalni pravac, e ... za cirkularni i k za aksij(dllll
os
z,
Vektori ep i c1O' imaju promjenu po smjeru, dok je li konsta.ntan.z
Slika 2,21. Vektori brzine t i ubr7.anjn ti u d!;ndričr.orn koordinalOom $.uSla\'U
Gibanje točke može se zamisliti sastavljeno od gibanja a ravnini p. lp j
paralelnog. pomaka te ravnine u smjeru osi
z,
Tako se može shva~itl da su i vektori brzine i ubrzanja sastavljeni odtri
konlponente: radijalne i cirkularne u ravnini p, tpi jedne koja se po smjeru poklapa s osi z. Bez izvoda moguće je, dakle. preuzeti te komponente iz pripadajućih koordinatnih "Istava. Tako je za brzinu
(2.93) kod koje su komponente analogne izrazima (2.69), (2.70) i z komponenti u (2.52),
ZlI ubrzanje će biti
a=apep
+a .. e~+a::k.gdje se komponente iz zadanih funkcija p. 'I' i z dobiju pomoču izraza
.. '2 Gp=P-P'l' (2.94) (2.95) (2.96) (2.97) (2.98) . (2.99) (2.100) 41
Po iznosu brzina
v=JV;+~+V;,
a ubrzanjea=Ja;+a!+a;.
Smjer tih vektora određuje se prema bilo kojIm osima kao i kod svakog drugog vektora. te to ovdje nećemo ponavljati.Primjer 2.8
Gibanje točke zadano je jednadžb.ma p=R,,= konst-, 'fJ=(nj21-wt i : = .,.
Naći putanju i vektore brzine i ubrzanja ako su (o i i. realne konstante veče od nule.
U ravnini p. (j) točka se giba po kružnici polumjera
Ro.
Kako istovremeno mijenja položaj i na osi !~ putanja je spirala oko plašta cilindra s polumjerom Rf(st
2.22).
Slika 2.22. Gibanje točke po plaštu cilindra
U početnom trenutku za r
=0,
rp=
,,/2. Budući da je i,>O, a kut rp opada. giba se točka po spirali prema gore. Komponente brzine iznoi:.e:,',=p=O
V:=Ž=A.
Vektor brzine ima iznos
v=JR.f,,,,'+),',
koji je konstantan, a po smjeru stalnog je nagiba prema ravnini p~ rp. Taj nagib određen je kutom (;(11' kojemu je veličina42
V: i.
",,=arctan-= arctan
--o
".
Raw
Komponente ubrzanja dobivaju se prema (2.98) do (2.100):
ap=p-
pip2= - Roail
a.=piP+pip=O
Q:=t=O,
,
I
I
te je prema tome iznos ubrzanja jednak radijalnoj komponenti
a=a,=R"ai'.
Smjer vektora ubrzanja pokiapa se s negativnim smjerom osi {J (op <O!) i gleda uvijek prema osi zamišljenog valjka oko kojega se omorava putanja.2.5.4. Prikazjvanje gibanja pomoću sfeTnih koordinata
Položaj točke II sferro11l koordinatnom sustavu (st 2.23) određen je jednom
dužinom i s dva kuta, čemu pripadaju koordinate r=r(Cl rp=rp(n 9~9(I). (2.101) (2.102) (2.103) Pripadni jedinični vektori er' ei' i es. određuju smjerove radijalne osi r i dviju
cirkularnih f{! i 8. Osi sfemog koordinatnog sustava su pomične, a jedinični vektori imaju priraste po smjeru. Radijalna os poklapa se s pravcem vektora položaja r,
o
'"
,.
nSlika 2,23, Vektori brzine
r
i ubrzanjaa
II sfernom koordinatnom SllstavuPozitivnu usmjerenost joj određuje povećanje vektora položaja. Cirkularna os CP. kao i pripadna koordinata iste su kao i kod cilindričnog sustava. Cirkularna os S
okomita je na preostale dvije osi tog sustava. Pozitivna je II smislu povećanja kuta [J koji pokazuje otklon pravca r od horizontalne ravnine.
Funkcije r (t), rp (t) i II (l) parametarske su jednadžbe putanje. Kao i kod ranijih koordinatnih sustava pomoću njihovih derivacija određuju se komponente vektora brzine i ubrzanja. Oba ta vektora odredit ćemo pomoću direktnog derivinmja vektora položaja:
r=reJO*
Prva derivacija vektora r po vremenu daje brzinu
l'=T;:::::re
,
+re"
(2.104)
(2.105)
U
sfemom koordinatnom sustavu jediniČDi vektori e, i e u vremenu dt dobivaju dvostruki prirast: zbog promjene kuta rp i zbog promjene kuta 9. Pripromjeni kuta 8 ne mijenja se vektor e~, već mu je prirast posljedica samo promjene kuta lp. Prirasti jediničnih vektora ili njihovih projekcija vidljivi su u ravninama u kojima lež< kutovi lp i 8. Štc se događa kod promjene kuta lp za dip pokazuje slika 2.24a. Na ravninu koju [\'ore cp i n projicira se vektor e~ s cos 8, a es sa sin 8. Jedinični vektor e~ vidi se u punom iznosu.
U
ravnini promjene kuta9
(r, 8 rav~ina) leže vektori e~ i es. pa su prirasti lih vektora kod promjene kuta za dS vidljivi u punom iznosu (sl. 2.24b). U pravcu n uveden je jedinični vektor en kako bi se svimr
n
n
aj bJ
Slika 2.24. Prirasli jediničnih \'ektora kod promjene kutova <p (a) i 9 (bl
veličinama na tom pravcu mogao dati vektorski smisao. Prirast vektora e~ kod promjene kuta lp jednak je prirastu njegove projekcije na os n. Taj prirast zbrojen s prirastom kod promjene kuta 8 daje ukupan prirast vektora e~. Uz ispuštene apsolutne vrijednosti jediničnih vektora, koje su jednake jedinici, bit će
de~=cos8 dlpe~+d8e.9' (2.106)
Prirast - dlpen vektora e.,. koji se u punom iznosu projicira na os n (sl. 2.24b) može se prikazati pomoću komponenata u pravcima r i 8, pa je
d e.,. = - dip cos 8e~ +dcp sin Ses' (2.107)
za
jedinični vektor es. ukupna promjena glaside.= -d8e,-sin8dlpe.. (2.108)
Prirasti jediničnih vektora podijeljeni s dl daju njihove derivacije, koje nakon sređivanja glase:
e,= lp cos 8e.
+
SeS.e.,.
= - lp cos 8e~+
lp sin8es.
es.= -Se~-ip sin8e.,.._
Uvrštavanjem (2.I09) u (2. lOS} dobiva
se
prema tome za brzinu v=;e~ +rip cos8e~ +rges..44
(2.109)
(2. liO}
(2.lll)
(2.112)
Budući daje v=l"~e~+l·4>e ... +vseS., komponen{e su brzine: l'~=r
l"",=rip cos 9 1's.=r8.
Vektor ubrzanja dobi\'a se deriviranjem izraza (2.112), što daje
d,'
a=-=re~+;.e~+;ipcos8e dr - .,. +rijJcos9-c -,.ip8singe 'I' 4>
+
,
+ripcos8e"!+;ge,,,-rge~+,.~e,).(2.113) (2.ll4) (2.115)
Kada s,; za derivacije jediničnih vektora uvrste izrazi (2.109) do (2.111), dobiva se nakon uređenja
(•• " • , 2 n [cos 3 d -,. . , .
J
3= r-r;, -r<p-cos ,;r)er
+
-r-dt ('---lp)-2r<pdsm9-er
+
[~ ~
('>91+
rip'
;in8
cos9J
e •. r dr c059 d .a =---('>';'}-1,ip95iu8
'I' r dt l d " ' Q.Q =- - (r.:1) +rq,- sin 9- cos 9. r dr 12.116) (}.lI7) (2.118) 12.ll9) Iznosi vektora brzine i ubrzanja i njihovi srnjero\i određuju se iz komponenata na poznat način.Primjer 2.9
Teleskopski nosač mehaničke ruke premjesta se iz jednog položaja u drugi programirano. Upravljanje pokretačkim mehanizmom obavlja se u sfemim koordi-natama. Za vrijeme stacionarnog gibanja (nakon završetka pokretanja i prije početka zaustavljanja l brzine promjene koordinata jesu: ;. = 0,5 ms - I • CP
=
0,8 rad s - I ,!J
=
0,5 rad s - l . Odrediti vektor brzine i ubrzanja kada je r = 1,5 m i 8=45'.Budući da komponente brzine i ubrzanja ne ovise o samom kutu rp. zbog jednostavnosti se može izabrati da je u promatranom trenutku lp=O (sl. 2.25). -Komponente-brzineprema l2.ll3), (2. II 4} i (2.115) iznose: L' r=;=O,5 ms-1 vo=rip cos 9= 1,5'0,8'0.707 =0,848 m s-' v:;=r9= 1,5'O,5=0,75m S-l. 45
Iznos i smjer brzine 'f dobivaju se iz njezinih komponenata v=
Ju;
+if.
+vl
= 1,238 m S-l ro
al,.
P,=
arc cos ~=46,766°. l' r b Io
Slika :!.:!S. Položaj vektora brzine (a) i ubrzanja (b) mehaničke ruke Prema (2.117), (2.118) i (2.119) bit će nakon deriviranja
cos9 . . , . . . h . 9 a = - -(2"'I'+''I')-2r'l''' SlD
• r
a.
=~
(2rr8 +,2 lj) + rip' sin 9 cos 9.r
Budući da su T,
cp
i /) konstantni, njihove su derivacije jednake nuli, pa jea,= - r9' - rip' cos' 9= - 0,5 '0,5' -0,5'0,8' '0,707'= - 0,285 m s-'
!?
a.= 2cos 9rip- 2rip.9 sin 9=2 '0.707 '0,5'0,8 - 2'Q,5 '0,8' 0,5'0,707 =
.
,
=0,283ms-' ,.
a. =2r9+rip' sin 9 cos 9 = 2'0,5 '0,5 +0,5'0,5' '0,707' =0,563 m s=',.
Vektor ubrzanja ima iznos
46
w
'--~ ..
-;.,
,
a smjer mu je određen kutovima
tl
Pil
= arc cos ~= 53,697°.tl
2.5.5. Transformacija vektora brzine i ubrzanja
Izml!đu komponenata vektora brzine i ubrzanja II Descartesovu. cilindričnom i
sfernom koordinatnom sustavu postoje veze pomoću kojih se komponente iz jednog sustava ;llogu transformirati u pripadne komponenle li drugom koordinatnom
sustavu. ; J z '{I '{I V, y x
Slika :!.:!6. Prijelaz iz Descanesova koordinalnog sustava x . . 1". : u cilindrični SU!'13V p. (/J_ :
Descartesov i cilindrični koordinatni sustav. Projiciranjem komponenata brzine vj( i v
na osi p i <p
cilindričnog
sustava (sl. 2.26) dobiva se veza u ovom obliku: YVp
=
Vx cos <p+
Vy sin <pvq>= -I:x sin cp+ Vy cos cp.
(2.120) (2.121) Treća komponenta v. jednaka je u oba sustava. Da bi prilagodili te jednadžbe matričnom zapisivanju, ispišimo ih sa svim članovima:
Vp =vx cos cp
+
V)_ sin <p+ v,,·Ovq>
=
V ...< -
~in cp)+ Vy cos <p +v;-Ov,,=vx-O+vy·O+v,,-l.
. ~U n1~ričnoin""ob1iku· to-glasi·:
(2.122)
Jednostllpčane matrice u vitičastim zagradama (vektori) kratko ćemo označiti s {r .... ) i
Ivx,,}'
a matricu3
x3
l. uglatim zagradama s[TJ:
[T~;= t:~:: ::~: ~]
(2.123)
Matrica
[T,,]
je marrica transformacije pomoću koje se transfonniraju komponente vektora brzine iz Descartesova sustava u cilindrični. Matrična jednadžba za trans-formaciju prema (2.122) glasi::rp.J=
[T.l Iv",~.
(2.114),
Jednako vrijedi i za komponen1e ubrzanja:
{<I, •• }
= [T.]{a
XF }. (2.125 ) Obrnuto, kod prelaza iz cilindričnog II Descartesov koordinatni sustav treba matričnu jednadžbu (2.124) pomnožit; slijeva s in,·erznom matricom(T.] -'.
Iako da je(2.116)
Buduči da je
[T.,J-
1 [T~Jjedn,:ko
jediničnojmatrici, uz vektor {v.t).J ne treba je pisati. Nadalje je. kQd transformacije iz jednog II drugi pravokutni koordinatni sustav kojima su osi međusobno zaokrenute za neke kutove. detenninanta matrice
[T.J
jednak. jedinici. Matrica[T.J
je ortogonalna, tako da je[T.r'
=[T.]'
(inverzna matrica jednaka je transponiranoj). UzimaJući to u obzir. dobiva se iz (2.126)
(2.127) odnosno
(2.128) Jednadžbe (2.124) i (2.125) te (2.127) i (2.128) uz matricu
[T.J
koja je određena s (2.123) daju potpunu vezu i2među Descartesova i cilindričnog koordinatnog sll,ta-va. Isto vrijedi za Desca.rtesov i polarni koordinatni sustav. no tada treći redak II(2.122) otpada. a također i treči redak i treči stupac u matrici
[T.J
Cilind!ični i srerni koordinatni sustav. U oba sustava jednaka je cirkularna fP
komponenta. Iz komponenata ""p i v;:: mogu se izračunati komponente Vr i r30 II sfernom sustavu prema slici 2.27, tako da je
v.=v.cos9+v,sin3
(2.129)
v,= - vp
sin,<l+o,cos.'/.
(2.130)
Uzimajući u obzir i cirkuJamu komponentu D~, dobiva se slično gornjem izrazu ···~'-·Od22)malrjčna;jedDadžba,···~ .. ... . . .
l
v'l=
[cosa
o
sm3]'10i vI$'o
o
tl . . .v,
-sin9 fi cos9 t:_ (2.131 ) 48.i
,
Matrica transformacije ovdje irna ove elemente:
tako da je odnosno r x [ cosS O Sina]
[T.]=
O l Or
-sinS O casS {t'~}{ "1'4'3}
ZII
I!
lV;
[T,] {v",,'}.
[T,]{a .. ,} .
-
ySlika 2.27. Prijelaz iz cilindril!nog koordinatne§! sustava p, rp. :: u sremi r, <P. ii
(2.132)
(2.133)
(2.134)
Sve
što je rečenoza
matricu[T.J
vrijedi iza
matricu [TJ,
pa
će obrnuti prijelaz iz sfernog koordmatnog sustava II cilindrični biti{< .. ,}
[T.]'
{v .... }
{a ...
J
[T,],
{a",,}.
(2.135)
(2.1 36)
Descartesov i sferni koordinatni sustav. Veza između ta dva sustava dobiva se iz već
ranije postavljenih jednadžbi. Ako
s. u
(2.133) i (2.134) umjesto ".,., i a,uvrste
desne strane izraza (2.124) i (2.125i dobiva se: ".
{v .... ) =
[T.][T.] (oxy,)
{a .... }
=[T.][T.]
{axy,).
Na'kon množenja matrica~·transformacije ima oveelemente: ",,
-[
COS S COS,!, cosSsin'!' Sins]
[T",,]
=
[T,] [T.]=
-sinti> cosI{! O-sin9cosl{! -sinSsinq> cos3
4 S. Jtcič': KINEMAT1KA lDISAMIKA
(2.137) (2.138)
(2.139)
