### Unit IV Exam

### Reviewer

### Evaluate

### Z

### cot

### x

### (

### cot

### x

### −

### tan

### x

### )

### dx

### Z

### cot

### x

### (

### cot

### x

### −

### tan

### x

### )

### dx

### =

### Z

### (

### cot

### 2

### x

### −

### 1

### )

### dx

### =

### Z

### (

### csc

### 2

### x

### −

### 1

### −

### 1

### )

### dx

### =

### Z

### (

### csc

### 2

### x

### −

### 2

### )

### dx

### Evaluate

### Z

### x

### 5

### (

### x

### 3

### −

### 1

### )

### 8

### dx

### Let

### u

### =

### x

### 3

### −

### 1

### . This implies that

### (1)

### du

### =

### 3

### x

### 2

### dx

### or

### 1

_{3}

### du

### =

### x

### 2

### dx

### and

### (2)

### x

### 3

_{=}

_{u}

_{+}

_{1}

_{.}

### Z

### x

### 5

### (

### x

### 3

### −

### 1

### )

### 8

### dx

### =

### Z

### x

### 3

### (

### x

### 3

### −

### 1

### )

### 8

### x

### 2

### dx

### =

### Z

### (

### u

### +

### 1

### )

### u

### 8

### 1

### 3

### du

### =

### 1

### 3

### Z

### (

### u

### 9

### +

### u

### 8

### )

### du

### =

### 1

### 3

### u

### 10

### 10

### +

### u

### 9

### 9

### +

### C

### =

### 1

### 3

### (

### x

### 3

### −

### 1

### )

### 10

### 10

### +

### (

### x

### 3

### −

### 1

### )

### 9

### 9

### Evaluate

### Z

### 1

### 0

### (

### |

### 2

### −

### 3

### x

### |

### +

### 1

### )

### dx

### We first take note that

### |2

### −

### 3

### x

### |

### =

###

###

###

### 2

### −

### 3

### x x

### ≤

### 2

### 3

### −2

### +

### 3

### x x

### >

### 2

_{3}

### Z

### 1

### 0

### (

### |2

### −

### 3

### x

### |

### +

### 1

### )

### dx

### =

### Z

23

### 0

### (

### 2

### −

### 3

### x

### +

### 1

### )

### dx

### +

### Z

### 1

2 3

### (

### −2

### +

### 3

### x

### +

### 1

### )

### dx

### =

### Z

23

### 0

### (

### 3

### −

### 3

### x

### )

### dx

### +

### Z

### 1

2 3

### (

### −1

### +

### 3

### x

### )

### dx

### =

### 3

### x

### −

### 3

### x

### 2

### 2

2 3### 0

### +

### −

### x

### +

### 3

### x

### 2

### 2

### 1

2 3### =

### 2

### −

### 2

### 3

### −

### 0

### +

### 1

### 2

### −

### 0

### =

### 11

### Evaluate

### Z

*π*2

_{/}

16
*π*2

_{/}

36
### sec

### 2

### √

### x

### √

### x

### dx

### Let

### u

### =

### √

### x. This implies

### du

### =

### 1

### 2

### √

### x

### dx. Also,

### x

### =

*π*

### 2

### 36

### −→

### u

### =

*π*

### 6

### and

### x

### =

*π*

### 2

### 16

### −→

### u

### =

*π*

### 4

### Z

*π*2

_{/}

16
*π*2

_{/}

36
### sec

### 2

### √

_{x}

### √

### x

### dx

### =

### Z

*π*

_{/}

4
*π*

_{/}

6
### 2 sec

### 2

### u du

### =

### 2 tan

### u

*π*

_{/}

4
*π*

_{/}

6
### =

### 2 tan

*π*

### 4

### −

### 2 tan

*π*

### 6

### =

### 2

### −

### 2

### √

### Find

### b

### such that the average value of

### h

### (

### x

### ) =

### 3

### x

### 2

### on

### [

### 0,

### b

### ]

### is equal to 1.

### Since

### h

### (

### x

### ) =

### 3

### x

### 2

_{is continuous in}

_{R}

_{R}

_{, then}

_{h}

_{is also continuous on}

_{[}

_{0,}

_{b}

_{]}

_{.}

### By the MVT for integrals,

### have

### =

### Z

### b

### 0

### 3

### x

### 2

_{dx}

### b

### −

### 0

### =

### x

### 3

### b

### 0

### b

### =

### b

### 3

### b

### =

### b

### 2

### Given

### G

### (

### x

### ) =

### Z

### tan

### x

4*π*

### x

### cos

### (t

### −

### 1

### )

### t

### dt

### . Find:

### (a)

### G(

*π*

### /4

### )

### (b)

### G

### 0

### (

*π*

### /4

### )

### (a)

### G

### (

*π*

### /4

### ) =

### Z

### 1

### 1

### cos

### (

### t

### −

### 1

### )

### t

### dt

### =

### 0

### (b)

### G

### (

### x

### ) =

### Z

### 1

4
*π*

### x

### cos

### (

### t

### −

### 1

### )

### t

### dt

### +

### Z

### tan

### x

### 1

### cos

### (

### t

### −

### 1

### )

### t

### dt

### G

### (

### x

### ) =

### −

### Z

4*π*

### x

### 1

### cos

### (

### t

### −

### 1

### )

### t

### dt

### +

### Z

### tan

### x

### 1

### cos

### (

### t

### −

### 1

### )

### t

### dt

### G

### 0

### (

### x

### ) =

### −

### cos

### (

### 4x

*π*

### −

### 1

### )

### 4x

*π*

### 4

*π*

### +

### cos

### (

### tan

### x

### −

### 1

### )

### tan

### x

### sec

### 2

### x

### Elsa threw her crown upwards with an initial velocity of 24

### ft

### /

### s

### , from a

### height of 40

### ft

### . From the same height at the same time, she released her

### cape and just let it go. Assume that no other forces except acceleration due

### gravity of -32

### ft

### /

### s

### 2

### affects the crown and cape.

1

_{What is the maximum height of the crown?}

2

### Which item is moving faster at time

_{t}

_{=}

_{1}

### . Explain your answer.

### acrown

### (

### t

### )

### =

### −32

### vcrown

### (

### t

### )

### =

### −32

### t

### +

### C

### 1

### vcrown

### (

### 0

### )

### =

### C

### 1

### =

### 24

### vcrown

### (

### t

### )

### =

### −32

### t

### +

### 24

### scrown

### (

### t

### )

### =

### −16

### t

### 2

### +

### 24

### t

### +

### C

### 2

### scrown

### (

### 0

### )

### =

### C

### 2

### =

### 40

### scrown

### (

### t

### )

### =

### −16

### t

### 2

### +

### 24

### t

### +

### 40

### Elsa threw her crown upwards with an initial velocity of 24

### ft

### /

### s

### , from a

### height of 40

### ft

### . From the same height at the same time, she released her

### cape and just let it go. Assume that no other forces except acceleration due

### gravity of -32

### ft

### /

### s

### 2

### affects the crown and cape.

1

_{What is the maximum height of the crown?}

2

### Which item is moving faster at time

_{t}

_{=}

_{1}

### . Explain your answer.

### acape

### (

### t

### )

### =

### −32

### vcape

### (

### t

### )

### =

### −32

### t

### +

### C

### 1

### vcape

### (

### 0

### )

### =

### C

### 1

### =

### 0

### vcape

### (

### t

### )

### =

### −32

### t

### scape

### (

### t

### )

### =

### −16

### t

### 2

### +

### C

### 2

### scape

### (

### 0

### )

### =

### C

### 2

### =

### 40

### scape

### (

### t

### )

### =

### −

### 16

### t

### 2

### +

### 40

### x

### y

### R

### (

### −3, 0

### )

### (

### −1, 0

### )

### (

### 1, 4

### )

### y

### =

### 2

### x

### 3

### +

### 2

### y

### =

### x

### +

### 3

### Let

### R

### be the region bounded by the

### graphs

### y

### =

### 2

### x

### 3

### +

### 2

### ,

### y

### =

### x

### +

### 3

### and

### the

### x-axis. Set-up the integral

### 1.

### the definite integral for the area

### of

### R

### 2.

### the definite integral for the

### perimeter of

### R

### 3.

### the definite integral for the

### volume of the solid generated

### when

### R

### is revolved about

### x

### y

### R

### (

### −3, 0

### )

### (

### −1, 0

### )

### (

### 1, 4

### )

### y

### =

### 2

### x

### 3

### +

### 2

### y

### =

### x

### +

### 3

### Area of

### R

### : The best method uses

### horizontal strips. So our integral is

### in terms of

### y.

### A

### R

### =

### Z

### 4

### 0

3

### r

### y

### −

### 2

### 2

### −

### (

### y

### −

### 3

### )

### !

### dy

### If we use vertical strips,

### A

### R

### =

### Z

### −

### 1

### −

### 3

### ((

### x

### +

### 3

### )

### −

### 0

### )

### dx

### +

### Z

### 1

### −

### 1

### x

### y

### R

### (

### −3, 0

### )

### (

### −1, 0

### )

### (

### 1, 4

### )

### y

### =

### 2

### x

### 3

### +

### 2

### y

### =

### x

### +

### 3

### Perimeter of

### R

### : We set-up with

### respect to

### x.

### L

### R

### = (

### −1

### −

### (

### −3

### ))

### +

### Z

### 1

### −

### 3

### q

### 1

### + (

### 1

### )

### 2

_{dx}

### +

### Z

### 1

### −

### 1

### q

### x

### y

### y

### =

### 0

### R

### (

### −3, 0

### )

### (

### −1, 0

### )

### (

### 1, 4

### )

### y

### =

### 2

### x

### 3

### +

### 2

### y

### =

### x

### +

### 3

### Volume of the SOR when

### R

### is

### revolved about

### y

### =

### 0

### using

### cylindrical shells

### V

### =

### 2

*π*

### r h w

### V

### R

### =

### Z

### 4

### 0

### 2π

### y

3

### r

### y

### −

### 2

### 2

### −

### (

### y

### −

### 3

### )

### !

### x

### y

### x

### =

### 1

### R

### (

### −3, 0

### )

### (

### −1, 0

### )

### (

### 1, 4

### )

### y

### =

### 2

### x

### 3

### +

### 2

### y

### =

### x

### +

### 3

### Volume of the SOR when

### R

### is

### revolved about

### x

### =

### 1

### using washers

### V

### =

*π*

### (

### r

### 2

_{2}

### −

### r

### 2

_{1}

### )

### h

### V

### R

### =

### Z

### 4

### 0

*π*

_{}

### 1

### −

### (

### y

### −

### 3

### )

### 2

### −

### 1

### −

### q

3### y

### −

### 2

### 2

### 2

### #

### More items for review

### I.

### Evaluate the following integrals.

### 1.

### Z

_{x}

### 5

### (

### x

### 3

_{+}

_{1}

_{)}

### 4

### dx

### 2.

### Z

### sin

### x

### (

### 1

### +

### sin

### x

### cos

### x

### )

### dx

### 3.

### Z

_{x}

_{csc}

### 2

_{(}

_{tan}

_{x}

### 2

_{)}

### cos

### 2

_{(}

_{x}

### 2

_{)}

### dx

### 4.

### Z

### 0

*π*

### /

3### sec

### x

### tan

### x

### √

3### 2

### −

### sec

### x dx

### II.

### Let

### R

### be the region bounded by the graphs of

### x

### =

### 1

### −

### y

### 2

_{,}

### x

### +

### y

### +

### 1

### =

### 0

### , and the

### x-axis. Set-up the definite integral(s) for

1