Research on Dynamic Conditional Correlated Copula Model Based on Kendall’s tau

学校编码：10384 密级 学号：27720071152229

硕 士 学 位 论 文

基于

_Kendall’s

τ

的

动态条件相关

Copula 模型研究

Research on Dynamic Conditional Correlated Copula Model

Based on Kendall’s

τ

陈妙琼

指导教师姓名： 陈蓉 教授

专 业 名 称： 金融学

论文提交日期： 2010 年 4 月

论文答辩日期： 2010 年 月

答辩委员会主席：

评 阅 人：

2010 年 4 月

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基 于 Kenda ll‘s τ的 动 态 条 件 相 关 Co pula 模 型 研 究 陈 妙 琼 指 导 教 师 陈 蓉 教 授 厦 门 大 学

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年 月 日

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年 月 日

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摘要 相关性的模拟和预测对最优投资组合选择、资产定价和风险管理等诸多金融 问题的研究具有重要意义。动态条件相关 Copula 模型突破了常相关、线性和正 态分布假设的限制，为刻画时变、非线性、非对称性和尾部相关等复杂的相关模 式提供了新方法。然而，现有动态条件相关 Copula 模型的关键——参数演化方 程在内外生变量的选择上却存在一些缺陷。为此，本文基于 Kendall’s _{τ 秩相关} 系数的优越性和定义，提出了新的具有明确经济意义的参数演化方程，将常用的 Gaussian, Clayton 和 Gumbel 函数统一根据该演化方程实现动态化，构造出三种 Kendall’s _{τ -动态条件相关 Copula 模型，用于刻画不同的相关模式。这些模型不} 仅参数少、容易估计，避免了现有动态条件相关 Copula 模型构建方法各异导致 的在实证中不利于比较的缺点，而且能够进行多步向前预测，有效地减少了进行 样本外预测时的计算量。 我们将此模型用于研究中国和世界多个股市之间相关性随时间变动的情况。 本文以风险值（VaR）的预测准确性作为判断标准，从 Kendall’s _{τ -动态条件相} 关 Copula 模型、常数条件相关 Copula 模型、动态条件相关模型（DCCE）和常 数条件相关模型（CCC）中挑选最适合的模型来拟合各样本数据间的相关性。结 果表明，基于正态分布和线性相关的DCCE 和 CCC 模型不能很好地刻画这些数 据的相关性。Kendall’s _{τ -Gaussian 和 Clayton 动态条件相关 Copula 模型在刻画} 我国内地、台湾和韩国这三者之间以及其各自与香港、日本、新加坡之间的股市 相关性上具有显著优势。而我国内地、台湾、韩国各自与美英之间的股市相关性 则以常相关为主，相关性还比较低，常数条件相关Clayton Copula 模型就能很好 地拟合它们间的关系。 关键词: 动态条件相关 Copula；相关性；Kendall’s _τ

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Abstract

The simulation and prediction of correlation are important for optimal portfolio selection, asset pricing, risk management, and many other financial issues. Dynamic Conditional Correlated Copula model broke the assumptions of constant correlation, linear correlation and normal distribution, providing a new approach to characterize the time-varying, nonlinear, non-symmetry, tail dependence and other complicated correlation. However, there are still some shortcomings in the selection of the endogenous and exogenous variables of the existing parameter’s evolution equation which is the core of Dynamic Conditional Correlated Copula model. Therefore, based on the superiority and definition of Kendall's _{τ rank correlation coefficient, we put} forward a new parameter’s evolution equation which is of economic significance. And we constructed out of three kinds of Kendall's _{τ - Dynamic Conditional Correlated} Copula model to describe different correlations by applying this evolution equation to Gaussian, Clayton and Gumbel copula. These models not only have fewer parameters and are less time-consuming in calculation, but also overcome the shortcoming of the existing Dynamic Conditional Correlation Copula models that it is not convenient to evaluate them because of their different constructing methods. Moreover, they can carry out multi-step ahead prediction with less time-consuming in out-of-sample prediction.

With the new models we further explore the dynamic linkage among China and other countries’ stock markets. According to the prediction’s accuracy of value at risk (VaR), we select the most suitable model to characterize the correlation of the samples from the Kendall's _{τ -Dynamic Conditional Correlation Copula model, Constant} Conditional Correlated Copula model, Dynamic Conditional Correlation model (DCCE) and Constant Conditional Correlation model (CCC). We can find that DCCE and CCC, which are based on normal distribution and linear correlation, can not fit the samples well. Kendall's _{τ -Gaussian and the Clayton Dynamic Conditional} Correlated Copula models have significant advantage to depict the correlations among

the Mainland of China, Taiwan, Korea and between the three ones with Hong Kong, Japan, Singapore respectively. The correlations between the Mainland of China, Taiwan, South Korea and the United States, Britain respectively are mainly constant and maintain in a low level. Constant Conditional Correlated Clayton Copula model can fit well the relationship between them.

Key Words: Dynamic Conditional Correlated Copula; Correlation; Kendall’s _{τ .}

目录

1.

引

言... 1

2.

文献回顾 ... 4

2.1.多维 GARCH 模型... 4 2.2.随机波动性模型和已实现波动率模型 ... 6 2.3.条件Copula 模型... 7

3.

模型与方法 ... 14

3.1.条件Copula 简介... 14 3.2. Kendall’s _{τ 秩相关系数 ... 15} 3.3. Kendall’s _{τ -动态条件相关 Copula 模型 ... 16} 3.3.1.新 Kendall’s _{τ 秩相关系数演化方程...16} 3.3.2.多步向前预测...17 3.4.模型优劣评价标准 ... 19 3.4.1.VaR 基本概念和计算方法...20 3.4.2.VaR 准确性检验方法...22 3.5.研究方法和实现过程 ... 22

4.

样本和数据描述 ... 26

5.

Kendall’s

τ

-动态条件相关 Copula 模型在股市中的实证研究 . 32

6.

结论... 43

参考文献 ... 45

致

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谢 ... 48

Content

1. Introduction ... 1

2. Literature Review ... 4

2.1. Multi-dimensional GARCH Model ... 4

2.2. Stochastic Volatility Model and Realized Volatility Model ... 6

2.3. Conditional Copula Model ... 7

3. Model and Methods ... 14

3.1. Introduction to Conditional Copula ... 14

3.2. Kendall’s τ Rank Correlation Coefficient ... 15

3.3. Kendall’s _{τ - Dynamic Conditional Correlated Copula Model . 16} 3.3.1. New Evolution Equation of Kendall’sτ Rank Correlation Coefficient ...16

3.3.2. Multi-Step Ahead Forecasting ...17

3.4. Model Evaluation Ctriteria ... 18

3.4.1. The Concept and Calculation Method of VaR ...20

3.4.2. The Testing Method of VaR’s Accuracy ...22

3.5. Research Methods and the Implementation Process ... 22

4. Sample and Data Description ... 26

5. The Empirical Study of Kendall’s

τ

-Dynamic Conditional

Correlated Copula Model in the Stock Market ... 32

6. Conclusion... 42

Reference ... 44

Thanks ... 47

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1. 引言 1

1.

引 言

在金融市场上，相关性是一个长期被人为简化的领域。一直以来，人们都采 用简单的线性常相关系数来描述金融资产间的相关性。动态条件相关模型（DCC） 等模型的出现以其参数较少、意义明确、容易估计的优势第一次使动态相关在金 融领域得以推广应用。然而，这些模型所能捕捉的仍然是基于线性和正态分布等 假设下的相关特征，在面对日趋复杂和一体化的全球金融市场所呈现出来的非线 性、非对称性和尾部相关等复杂的相关模式时，往往显得力不从心。 Sklar的Copula理论则为研究变量间的相关关系提供了新的视角。Copula一词 原意为连接，它把多个随机变量的边缘分布连接在一起形成联合分布。变量间的 相关结构完全由Copula决定，而各变量的统计特征由其边缘分布确定。与我们描 述变量间相关关系常用的相关性测度——线性相关系数相比，Copula方法有其突 出的优点。首先，如果对变量作非线性的严格单调增变换，线性相关系数的值会 发生改变，而由Copula函数导出的一致性和相关性度量则不会改变，这一性质有 利于我们对金融数据实行对数变换。其次，通过使用Copula的一些非参数相关性 测度（如Kendall’s _{τ 和Spearman’s} ρ）我们可以放松正态分布和线性相关等常 用的相关性前提假设。再次，Copula函数可以捕捉到不同形式的相关关系，特别 是极值间的相关关系。最后，运用Copula理论建立金融模型时，可将随机变量的 边缘分布和它们之间的相关结构分开研究，其中相关结构可由Copula函数完全描 述。目前Copula已经成为流行的多变量建模工具，它可用于资产定价、风险管理 和金融市场相关结构分析等诸多方面。 然而，传统的Copula模型通常使用常数条件相关参数来描述市场间的相关 性，这在很大程度上限制了它的应用。动态条件相关Copula模型的引入，使得 Copula模型也可以用来刻画变量间的动态相关性，大大拓展了Copula模型的适用 范围，促进了相关性研究的发展。至今已有许多国外学者对动态条件相关Copula 模型的发展和应用进行了很多尝试。Patton（2001）[1]提出一个类似于ARMA（1， 10）的过程来描述二元Gaussian Copula函数和Joe-Clayton Copula函数的参数演化 方程，以研究汇率间的动态相关性。Goorbergh，Genest and Werker（2003[2]，2005[3]）

基于Kendall’s τ 的动态条件相关Copula 模型研究

2

用Kendall’s _{τ 秩相关系数的演化方程确立动态条件相关Copula模型来研究多元} 期权定价问题。Ane et al.（2008）[4]利用不同于Goorbergh，Genest and Werker （2003[2]，2005[3]）的Kendall’s _{τ 秩相关系数演化方程确立动态条件相关Copula} 模型来研究波动溢出问题。Bartram，Taylor and Wang(2007) [5]则指出Patton(2001) [1]_{提出的动态条件相关Gaussian Copula 的演化方程存在滞后阶数任意选择的问} 题，为了克服这个缺点，他们采用了包含自相关和历史项之差的绝对值的演化方 程。Zhang and Guegan（2008）[6]利用动态条件相关t-Copula模型研究了二元期权 定价问题。Ane et al.(2008) [4]在Kendall’s _{τ 秩相关系数演化方程中加上了世界和} 地区因子来描述金融资产相关关系的变化过程。与国外的研究相比，目前国内对 动态条件相关Copula的研究还比较少，很多文献只停留在对国外学者提出的模型 的简单应用上。 总的来说，构建动态条件相关Copula模型的关键在于给出Copula函数参数的 演化方程，以明确变量间相关性的变化过程，但是，目前动态条件相关Copula 模型存在以下几个问题：（1）演化方程内生变量经济意义不明确，常用的椭圆 族Copula中的相关系数_ρ通常只是概率转换后变量的线性相关系数，并不能度量 我们研究对象的线性相关程度，没有明确的经济意义；（2）为了改善前一个问题， 一些学者以Kendall’s _{τ 秩相关系数为基础设定演化方程，和线性相关系数相比，} Kendall’s _{τ 秩相关系数具有单调增变换不变性、稳健性和对相关关系的描述程} 度更广等优点，但是，现有Kendall’s _{τ 演化方程仍然存在没有考虑自相关性或} 外生变量经济意义不明确等缺陷；（3）由于前两个问题的存在，现有动态条件相 关Copula模型不适于进行样本外预测，模型的应用受到约束。 基于以上问题，本文提出了新的Kendall’s _{τ 演化方程，并以二元序列为例} 构造出Kendall’s _{τ -动态条件相关Copula模型，并将其用于用于研究中国和世界} 多个股市之间相关性随时间变动的情况。结果表明，基于正态分布和线性相关的 DCCE 和CCC模型不能很好地刻画这些数据的相关性。Kendall’s τ -Gaussian和 Clayton动态条件相关Copula模型在刻画我国内地、台湾和韩国这三者之间以及其 各自与香港、日本、新加坡之间的股市相关性上具有显著优势。而我国内地、台 湾、韩国各自与美英之间的股市相关性则以常相关为主，相关性还比较低，常数 条件相关Clayton Copula模型就能很好地拟合它们间的关系。

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