Análisis Del Factor de Fricción Por La Ecuación de Haaland en Tuberías No Circulares

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Análisis del factor de fricción por la ecuación de

Haaland en tuberías no circulares.

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Análisis del factor de fricción por la ecuación de

Haaland en tuberías no circulares

Juan Alberto Vera Herrera*

Ricardo Alberto Cavazos González*

Resumen

El análisis de factor de fricción es un parámetro muy importante en el diseño hidráulico de sistemas de alcantarillado y de abastecimiento de agua; ya que la estimación de la pérdida de carga de energía es preponderante para tener una presión solicitada y carga total a vencer. Se propusieron rangos para la rugosidad absoluta, radio hidráulico, temperatura y velocidad, en el sistema internacional de unidades, con la finalidad de obtener las curvas de fricción con respecto a la velocidad en diferentes isóclinas para observar el comportamiento del factor de fricción conforme aumenta la temperatura, lo que afecta en la viscosidad y ésta en el número de Reynolds, así como el radio hidráulico y la velocidad influyen en el número de Reynolds. Se concluye que el comportamiento de las curvas varía conforme la rugosidad absoluta aumenta y se intersectan.

Palabras clave: fricción, Haaland, rugosidad, tuberías no circulares.

Introducción

Estimar la caída de presión en una tubería o un sistema de tuberías es un tema de gran interés en la comunidad científica e industrial, siendo más importante para el sector del aceite y del petróleo. Razón por la cual se recurren a las formas adimensionales del gradiente de presión (factor de Fanning o de fricción) y del flujo másico (número de Reynolds) ya que se ha evidenciado que existe una gran correlación entre estos dos parámetros (García, García, García, & Joseph, 2007). Si el flujo que se desea estudiar es homogéneo, es posible utilizar el diagrama de Moody; las ecuaciones que se utilizan para el número de Reynolds en los flujos laminar y turbulento, están basadas en leyes de potencia y la ecuación de Blasius, respectivamente (García, García, García, & Joseph, 2007). Se ha logrado evidenciar en diversas investigaciones que se llega a confundir el factor de fricción de Fanning con el determinado por Darcy, esto ocurre con mayor frecuencia en la ecuación original de Gnielinski ya que esta se deriva del factor de fricción de Darcy. La propuesta en la comunidad científica es observar la transferencia de calor y/o energía por procesos termodinámicos para encontrar mejores respuestas al factor de fricción, para evitar una mala confusión al malinterpretar la nomenclatura de cada ecuación (Li, Seem, & Li, 2011).

Factor de fricción f

La pérdida de energía que se produce por la fricción en un fluido newtoniano, dentro de los sistemas de tuberías fue determinado por “Darcy-Weisbach” (Romeo, Royo, & Monzón, 2002), pese a que el primero solo estableció la influencia de las paredes internas, fue Weisbach el que estableció la fórmula que es conocida por los dos (Pérez Franco , 2002). El factor para medir la fricción más utilizada es el de Fanning, siendo que representa adimensionalmente al gradiente de presiones, expresándose en términos de la velocidad y la densidad del fluido (García, García, García, & Joseph, 2007); aunque también se utiliza en la caída de presión (Li, Seem, & Li, 2011). Las modelaciones computacionales que sirven para reducir el error en las aproximaciones teóricas a la ecuación de Prandtl como la fórmula desarrollada por Blasius (Li, Seem, & Li, 2011), entre otras como la de Haaland que se enuncia en la presente investigación, se determinan con base en datos empíricos. En el campo de la ingeniería química se denomina a este gradiente de presiones adimensional como factor de fricción de Fanning (Pérez Franco , 2002) (Bird, Stewart, & Lightfoot, 2011).

Es de vital importancia indicar que un desarrollo algebraico permitió determinar que factor de Darcy es cuatro veces mayor que el de Fanning, lo que hace importante la selección correcta de este número adimensional para la correcta determinación de la pérdida de energía (Romeo, Royo, & Monzón, 2002) (Pérez Franco , 2002). El factor de fricción f para flujo laminar se determina por la ecuación de Hagen-Poiseuille, la cual es usada ampliamente en por el sector privado y público, cuando se presenta este régimen (Romeo, Royo, & Monzón, 2002). El estudio del régimen turbulento es algo muy complejo, por lo que existen varias ecuaciones para determinar los parámetros existentes, entre ellos el factor de fricción; se ha determinado que este factor de Fanning depende principalmente del número de Reynolds (como ejemplo la fórmula de Karman) (Romeo, Royo, & Monzón, 2002), para que después mediante un exhaustivo análisis numérico se determine el valor de f (Li, Seem, & Li, 2011) (Romeo, Royo, & Monzón, 2002).

*Universidad Autónoma de Nuevo León, Facultad de Ingeniería Civil, Cd. Universitaria S/N, C.P. 66451 A.P. 17, San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México.

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Número de Reynolds

Para expresar el flujo másico o caudal se utiliza la formula adimensional que es representada por el número de Reynolds que se obtiene con los parámetros de velocidad y viscosidad cinemática del fluido que se analice (García, García, García, & Joseph, 2007). Los trabajos ya realizados por Darcy, Weisbach y Fanning le sirvieron a Osborne Reynolds para darles un sentido práctico en la forma de observar el comportamiento del régimen de un flujo (laminar y turbulento), estableciendo así los rangos de los fluidos y obteniendo una ecuación matemática con base en un riguroso análisis dimensional para describir la resistencia al movimiento de los fluidos en los sistemas de tuberías (Pérez Franco , 2002).

Ecuación de Haaland

Las causas del movimiento de los fluidos en una tubería son la principal razón de estudio, por lo que el determinar las fuerzas tangenciales que afectan la pérdida de energía se estudia por diferentes modelos matemáticos y físicos, debido a que no existe un modelo perfecto, se busca determinar el modelo más apropiado, en donde la ecuación de Haaland es una de las más sencillas para la obtención del factor de fricción (Anaya-Durand, Cauich-Segovia, Funabazama-Bárcenas, & Gracia-Medrano-Bravo, 2014). Se ha reportado con anterioridad que los valores obtenidos por la ecuación son los que cuentan con menor divergencia respecto a los valores obtenidos con la ecuación de Colebrook, que requiere de mayor procesamiento y la selección de un método numérico más riguroso (Camaraza Medina, Landa García, López Delgado, & García Morales, 2010).

Metodología

Se obtiene la ecuación la viscosidad de acuerdo a los parámetros teóricos presentes en la tabla 1.

Tabla 1 Parámetros teóricos de la viscosidad cinemática del agua a diferentes temperaturas

Temperatura, °C Viscosidad cinemática, Kg/m.s

0 0,001792 10 0,001308 20 0,001003 30 0,000798 40 0,000653 50 0,000547 60 0,000467 70 0,000404 80 0,000355 90 0,000315 100 0,000282

A continuación se representa, en la figura 1, el comportamiento gráfico de la viscosidad cinemática del agua en un rango de temperatura.

Figura 1. Viscosidad cinemática del agua a diferentes temperaturas

Con base en los datos de la tabla 1 se obtuvo la ecuación cuadrática que describe el comportamiento de la viscosidad cinemática del agua, en donde el coeficiente de correlación de Pearson nos da un valor de 0.9794, lo que se considera aceptable.

𝜈 = (2𝑥10−7_)𝑇2_{− (3𝑥10}−5_{)𝑇 + 0.0017}

Los valores de la rugosidad absoluta, radio hidráulico, temperatura y velocidad de los fluidos para obtener el número de Fanning (f), se enuncian en la tabla 2.

Tabla 2 Valores a usar en la ecuación de Haaland

Parámetro Rango Unidades

Rugosidad absoluta 0.0 a 1.0 m Radio hidráulico 0.1 a 0.762 m

Temperatura 0.0 a 100.0 ° C

Velocidad del fluido 0.9/Rh a 30.0 m/s

La ecuación de Haaland utilizada para la determinación del factor de Fanning es la siguiente:

1 √𝑓= −1.8 log [( 𝜀/𝐷 3.7) 1.11 +6.9 𝑅𝑒]

En donde se despejo el valor de f, el valor del diámetro se sustituyó por el radio hidráulico D=4Rh, y el número de Reynolds, Re = (V*D)/ν; que al sustituir el diámetro por el radio hidráulico y la fórmula determinada de la viscosidad cinemática se obtuvo entonces el número de Reynolds de la siguiente forma:

𝑅𝑒 = 4 ∗ 𝑉 ∗ 𝑅ℎ

(2𝑥10−7_)𝑇2_{− (3𝑥10}−5_{)𝑇 + 0.0017}

Por lo que la fórmula que se obtuvo para la determinación del factor de Fanning es la siguiente:

𝑓 = { 1

−1.8 log [(_{14.8 ∗ 𝑅ℎ)}𝜀 1.11+6.9_{𝑅𝑒 ]} }

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La obtención de los valores del factor de Fanning por la ecuación de Haaland para tuberías no circulares se obtuvo

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mediante un algoritmo de programación en Fortran 90, con la ayuda del programa Force. A continuación se muestra el algoritmo de programación.

PROGRAM FRICCIONHAALAND double precision rg,Rh,T,Vel,rel,Vis,fF double precision A,B,C

! Se determinar el valor del factor de Fanning, por medio de la ! rugosidad relativa, di metro, temperatura y velocidad; en donde la ! temperatura nos ayuda a determinar la viscosidad cinem tica del ! agua por medio de una ecuaci¢n obtenida por cuadrados m¡nimos ! con base en valores experimentales.

write(*,*)'El programa evaluar los valores del factor de Fanning' write(*,*)'con base en varias rugosidades asolutas, di metros,' write(*,*)'temperatura y velocidad del flujo.'

write(*,*) write(*,*)

write(*,*)'La rugosidad relativa var¡a de 0 a 1'

write(*,*)'El Radio hidr ulico var¡a de 1/4 in a 30 in, aprox.' write(*,*)'El valor de la temperatura var¡a de 0 a 100' write(*,*)'El valor de la velocidad var¡a de acuerdo al Rh, para' write(*,*)'valores de n£meros de Reynolds mayores a 2000' write(*,*) write(*,*) open(UNIT=1,FILE='Rugosidad_Absoluta.txt',STATUS='unknown') open(UNIT=2,FILE='Radio_Hidraulico.txt',STATUS='unknown') open(UNIT=3,FILE='Temperatura.txt',STATUS='unknown') open(UNIT=4,FILE='Velocidad.txt',STATUS='unknown') open(UNIT=5,FILE='Numero_de_Fanning.txt',STATUS='unknown') open(UNIT=6,FILE='Viscosidad_Cinematica.txt',STATUS='unknown') ! Asignar el archivo anterior a un arreglo n-dimensional.

rg=0.1 DO WHILE (rg.LE.1.0) Rh=0.1 rel=(rg)/(14.8*Rh) DO WHILE (Rh.LE.0.762) T=0.0 DO WHILE (T.LE.100.0) A=2E-07 B=3E-05 C=0.0017 Vis=(A*(T**2.))-(B*(T**1.))+C Vel=0.9/Rh DO WHILE (Vel.LE.30.0) fF=(1.0/(-1.8*LOG10((rel**1.11)+((1.725*Vis)/(Rh*Vel)))))**2. write(5,*) fF write(4,*) Vel Vel=Vel+3.0 END DO write(3,*) T write(6,*) Vis T=T+20.0 END DO write(2,*) Rh Rh=Rh+0.2 END DO write(1,*) rg rg=rg+0.2 END DO CLOSE(1) CLOSE(2) CLOSE(3) CLOSE(4) CLOSE(5) CLOSE(6) STOP END Resultados

Los valores con los que se modelo de acuerdo al programa anterior, permitieron poder tener una gran cantidad de datos que se representan en las siguientes figuras.

Figura 2. Isoclinas del factor de Fanning y Velocidad, para una

Rugosidad Absoluta de 0.1

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Página | 4 Figura 6. Isoclinas del factor de Fanning y Velocidad, para una

Discusión

En la figura 2 se puede observar que el comportamiento de las gráficas a diferentes temperaturas y radios hidráulicos es consistente, sin embargo las gráficas para diferentes temperaturas en el radio hidráulico de 0.1 m, se tiene que se encuentran en la parte superior y no se intersectan, sin embargo los valores de las curvas para los radios hidráulicos de 0.3, 0.5 y 0.7 se intersectan para velocidades menores 10 m/s, sin embargo tienden al mismo valor de Fanning cuando está tiende a 30 m/s. Se puede apreciar que todas las gráficas representan el mismo comportamiento, más no en sus valores, lo cual se demuestra en la tabla 3.

Tabla 3 Rangos del factor de fricción (Fanning)

Isoclinas Rango del factor de Fanning Rugosidad absoluta 0.1 0.015 a 0.050 Rugosidad absoluta 0.2 0.331 a 0.341 Rugosidad absoluta 0.4 0.776 a 0.791 Rugosidad absoluta 0.6 1.63 a 1.66 Rugosidad absoluta 0.8 3.510 a 3.575

Se observa que a comparación con el diagrama de Moody, los valores oscilan entre 0.008 a 0.1 en el factor de Fanning.

Conclusiones

Se concluye que conforme la rugosidad absoluta va aumentando también lo hace el factor de fricción, mientras que para velocidades menores a 10 m/s se tienen que las curvas se intersectan, por lo que obtener el valor de Fanning sin considerar esto representa un error. En la tabla 3 se confirma lo que por lógica se sabe, que entre más rugosidad relativa tenga el material, mayor será la pérdida de carga de energía en el diseño hidráulico. Así como que el rango se hace más pequeño conforme la rugosidad absoluta aumenta, es decir tiende a un valor.

Recomendaciones

Se deberán de hacer futuras investigaciones en el ámbito de la obtención del valor de Fanning, así como comparar estos valores con datos experimentales, para corroborar su veracidad. También se hace hincapié en que si se tiene un

mejor procesador computacional se podrán estimar más valores y el comportamiento gráfico de las isóclinas para la obtención de los valores de Fanning; es decir, aprovechar el avance computacional que nos brinda la tecnología en la actualidad.

Bibliografía

Anaya-Durand, A. I., Cauich-Segovia, G. I., Funabazama-Bárcenas, O., & Gracia-Medrano-Bravo, V. (2014, abril). Evaluación de ecuaciones de factor de fricción explícito para tuberías. Educación Química, 25(2). doi:10.1016/S0187-893X(14)70535-X

Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2011). Transporte de interfase en sistemas isotérmicos. In R. B. Bird, W. E. Stewart, & E. N. Lightfoot, Fenómenos de transporte (Segunda Edición ed., pp. 201-228). México, México: LIMUSA WILEY.

Camaraza Medina, Y., Landa García, J., López Delgado, D. J., & García Morales, O. (2010, enero-abril).

ECUACIÓN EXPLÍCITA PARA EL

CÁLCULO DE FACTORES DE FRICCIÓN EN LA ZONA DE TRANSICIÓN DEL RÉGIMEN TURBULENTO. Tecnología Química, XXX(1), 76-83.

García, F., García, J. M., García, R., & Joseph, D. D. (2007). Friction factor improved correlations for laminar and turbulent gas–liquid flow in horizontal pipelines. International Journal of Multiphase Flow, 33(12), 1320-1336.

Li, P., Seem, J. E., & Li, Y. (2011). A new explicit equation for accurate friction factor calculation of smooth pipes. International Journal of Refrigeration, 34(6), 1535-1541. doi:10.1016/j.ijrefrig.2011.03.018

Pérez Franco , D. (2002). Evolución histórica de las fórmulas para expresar las pérdidas de carga en tuberías. Segunda parte: Desde los trabajos de Darcy hasta los de Stanton. INGENIERÍA HIDRÁULICA Y AMBIENTAL, XXIII(3), 3-8. Romeo, E., Royo, C., & Monzón, A. (2002, abril 28).

Improved explicit equations for estimation of the friction factor in rough and smooth pipes. Chemical Engineering Journal, 86(03), 369-374. doi:10.1016/S1385-8947(01)00254-6