IFT 6150
EXAMEN THÉORIQUE
Max Mignotte
DIRO,Départementd'InformatiqueetdeRe her heOpérationnelle
http://www.iro.umontreal. a/∼mignotte/ift6150 e-mail:mignotteiro.umontreal. a
Date : 03/12/2007
I ..................... TransforméedeFourier(32pts)
II .................... Représentation&FiltrageSpatial(22pts)
III ................... Représentation&FiltrageFréquentiel(22pts)
IV ................... Mis .(44pts)
Total ................ 120points
Tous do uments, al ulatri es et al ulateurs personnels autorisés
I.TransforméedeFourier(32pts)
1. (a) SoitF (ν) =F[f(x)](i.e.,F (ν)représentantlatransforméedeFourier(TF)def (x)).
Cal ulerparlaméthodedevotre hoix
<3 pts>
F[ x2f (x) ]
(b) Utiliserlarelationdéniepré édemmentpour al ulerlaTFdex2exp(−x) (pourx > 0).
<4 pts>
2. (a) Soith(x)lafon tion(pourx > 0)solutiondel'équation diérentiellesuivante
h′′(x) + 2h′(x) + h(x) = exp(−x) (1)
Quedevientl'Eq. (1)sionluiappliquelatransforméedeFourierF ?
<3 pts>
(b) En déduireH(ν),solutionde etteéquationdansledomainespe tralpuissasolutionh(x),dans
ledomainespatial.
<4 pts>
( ) Comment pourrait oné rire h(x)si onvoulait l'exprimersous formede produit de onvolution d'unemêmefon tion?
<3 pts>
(d) Sionremplaçaitlemembrededroitedel'Eq. (1)par δ(x) − δ′(x)
(aulieudeexp(−x)),quelle
seraitànouveaulasolutionde ette équationdiérentielle?
<5 pts>
Nota :On rappellequeδ′(x) ∗ f(x) = f′(x).
3. Retrouverla élèbrepropriétésuivantedelaTF
F[ f′(x) ] = (2πjν) F (ν) (2)
enutilisantlefaitque1-) f′(x) = limǫ→0f(x+ǫ)−f (x)
ǫ , 2-) latransforméedeFourierd'unefon tion dé aléeet3-) lefaitque,quandx→ 0,exp(x)≈ 1 + x.
<5 pts>
4. Trouverlerésultatdel'expression idessous,danslaquelleaetbsontdeuxréelspositifset∗représente
l'opérateurde onvolution
sin πax
πax ∗sin πbx πbx
<5 pts>
Réponse
1.(a)
(i)Laméthodelaplussimple onsisteàappliquerlaformuledelatransforméedeFourierd'unefon tion
dérivéese onde,i.e.
F[ f′′(x) ] = (2πjν)2F[ f(x) ] = −4π2ν2F (ν)
F[ x2f (x) ] = − 1
4π2F′′(ν) < 3 pts >
(ii)Uneautreméthode onsisteraitàserappeler(ouendéduireàpartirduNota donnédansl'énon é)
queF[ δ′(x) ] = 2πjν etdon ,parlapropriétédualequeF[ x ] = −2πj1 δ′(ν).
Compte tenude efait,ontrouveensuite
F[ x2f (x) ] = − 1
2πjδ′(ν)∗ − 1
2πjδ′(ν)∗ F (ν) = − 1
4π2F′′(ν)
1.(b)
Ontrouvefa ilement(pourx > 0)F[ exp(−x) ] = 1+2πjν1 (faiten lasseou f.Examendel'année2005).
Don ,enutilisantlarelationpré édemmenttrouvée
F[ x2exp(−x) ] = − 1 4π2
1
1 + 2πjν
′′
=− 1 4π2
−2πj (1 + 2πjν)2
′
= 2
(1 + 2πjν)3 < 4 pts >
2.(a)
h′′(x) + 2h′(x) + h(x) = exp(−x) ⇋F (2πjν)2H(ν) + 2(2πjν)H(ν) + H(ν) = 1
1 + 2πjν < 3 pts >
2.(b)
Delarelationpré édente,onendéduit
H(ν) = 1
(1 + 2πjν)3
Etenseservantdelaquestion1.(b),onendéduitqueh(x) = 12x2exp(−x)(pourx > 0)estunedessolutions
de etteéquationdiérentielle. <4 pts>
2.( )
h(x) = F−1h 1 (1 + 2πjν)3
i=F−1h 1 (1 + 2πjν)
1 (1 + 2πjν)
1 (1 + 2πjν)
i
h(x) = exp(−x) ∗ exp(−x) ∗ exp(−x) (pourx>0) < 3 pts >
2.(d)
Enserappelant(ouendéduisantàpartirduNotadonnédansl'énon é)queF[ δ′(x) ] = 2πjν,ona ette
fois i
h′′(x) + 2h′(x) + h(x) = δ(x)− δ′(x) ⇋F (1 + 2πjν)2H(ν) = 1− 2πjν
Et,sionrevientaudomainespatial
h(x) = F−1h 1− 2πjν (1 + 2πjν)2
i=F−1h 2
(1 + 2πjν)2− 1 1 + 2πjν
i
= 2 exp(−x) ∗ exp(−x) − exp(−x) pourx>0 < 5 pts >
NOTA 1
1
Siledeuxièmemembredel'équationavaiété[δ(x) + δ′(x)],onauraiteu h(x) = F−1h 1
1 + 2πjν i
= exp(−x) pourx>0
F f′(x)i
= 1
ǫ lim
ǫ→0 Ff (x + ǫ) − f(x) = 1 ǫ lim
ǫ→0
nF (ν) exp(2πjνǫ) − 1o
= 1
ǫF (ν)(1 + 2πjνǫ) − 1
et don F f′(x)i
= (2πjν) F (ν) < 5 pts >
4
Leplusfa ileestdetélé-porter etteexpressiondansledomainedeFourier,larésoudredans etespa e
puisrevenirdansledomainespatial,i.e.
sin πax
πax ∗ sin πbx πbx
F
⇋ 1
|a|Π ν a
1
|b|Π ν b
= =
1
|ab|
sin πcx πx
F
⇋ 1
|ab| Π ν min(a, b)
danslaquellec = min(a, b).
<5pts>
II.Représentation&FiltrageSpatial(22pts)
1. Ae teràl'imagereprésentantun iseau,l'undestroishistogrammesreprésenté idessousenjustiant
sommairementvotreréponse.
(a) (b) ( )
<5 pts>
2. Entraitementd'image,ilexisteunemultitudedevariantedeltrepasse-bas,plusoumoinsdiérents.
Parmi eux- i,il existeleltrequel'onappelleleFiltreolympiquequi onsisteàfairelamoyenne
(dansunvoisinage onsidéré,e.g.,unefenêtre [3× 3])detouteslesvaleursdeniveauxdegrissaufles
deuxvaleursextrêmes(minetmax).Dis uterl'e a itéde etypedeltre( omparéaultremédian
etGaussien)suruneimageenta héedebruitGaussienetsuruneimageenta héedebruitseletpoivre.
<5 pts>
3. Quelle densité de probabilité aurait le bruit poivre et sel? Tra er sommairement à quoi il pourrait
ressembler.Quelestleparamètrequi ara térisel'importan e de ebruit?
<5 pts>
4. Ae ter à haque è he le traitement (ltre ou opération pon tuelle) qui lui orrespond parmi les
traitementssuivant:
( ) Filtre médian
(d) Rehausseurde ontour
(e) Filtre dePrewitt
(f) Rehaussementdeluminan e(i.e.,ajoutd'une onstantesurl'image)
<7 pts>
Nota :Vousn'avezpasbesoinde justifiervotre réponse,donner seulementlabonneréponse.
Réponse
1
C'est l'histogramme (b) qui représente l'image du iseau. L'histogramme doit être for ément bimodal
puisque unobjetd'une ertaine ouleursedéta heduba kground. Deplus, il existeun peu plus(enpro-
portion)de pixelsappartenantauba kgroundque depixel appartenantàl'objetet lesniveaux degrisdu
ba kgroundontunevarian efaible(plus faibleque elleappartenantàl'objet),nousrenseignantde efait
quele deuxièmepi del'histogrammeest plusimportanten hauteuret moins importanten largeurquele
premier pi asso ié au pixels appartenant à l'objet. De plus, il existe des niveaux de gris sur l'objet (au
niveaudeslames) qui serappro hent beau oup duba kgroundnous indiquant que es deux pi ssonttrès
pro hel'undel'autre.
<5 pts>
2
Pour une image enta hée de bruit Gaussien, e ltredevrait se omporter de façon similaire au ltre
Gaussien ave les mêmes défaut de e dernier, lorsqu'onaugmente la taille duvoisinage; les ontours de-
viennentdeplusenplusou(pourunefenêtre[3× 3],lefaitdefaireunemoyennesur9valeursou9− 2 = 7
pourunbruitoùlesagrégatsnesontpasplusgrosqu'unpixel.Par ontrelorsquelesagrégatsdebruitsont
uneépaisseur supérieursàunpixel, e ltredevraitse omporter ommeleltreGaussien, 'estàdirepas
trèsbien,etrienn'y hangerait,mêmesionaugmentaitlatailleduvoisinage.
<3 pts |1 pts| 1pts>
<Raisonnement|TailleVoisinage|Tailleagrégats>
3
Deuxpi splusoumoinslargea haqueextrémitédel'histogramme.<2.5 pts>
Leparamètrequi ara térisel'importan ede ebruit estsoit:
laproportiondespixels ae tée(expriméenpour entage,parexempleunbruit poivreet selde 10%
ae terait10%despixelsdel'image).
soit lagrosseurdesagrégatsde es ta hespoivreset sel.
<2.5 pts>
Nota:L'uneoul'autredes deuxréponses donnelatotalitédes points,lesdeuxréponsesensembledonneraient
unBONUS+2
4
1. (3-a)Égalisation
2. (4-b) Filtremoyenneur
3. (2- )Filtremédian
4. (1-d) Rehausseurde ontour
5. (5-e)FiltredePrewitt(1 dire tion)
6. (6-f)Rehaussementdeluminan e(ajoutd'une onstantesurl'image)
<7 pts>
III. Représentation&FiltrageFréquentielle (22pts)
1. (a) Rappeler quelle est la propriété de la Transformée de Fourier (TF) qui permet de dire que le
spe trede etoiseauen age(voirgure(a) idessous)est onstitué duspe tredel'oiseauplus
lespe tre rééparla agedel'oiseau(i.e.,lasu essiondelignesblan hesverti aleséquidistantes).
<2 pts>
(b) Quelspe treva réerla agedel'oiseaudansledomainespe tralets'additionneraauspe trede
l'oiseau?Pluspré isément,faireungraphiqueou(au hoix)donneruneexpressionmathématique
simpliée du spe tre réé par ette age (représentée par ette su ession de lignes blan hes
verti aleséquidistantesetquel'onsupposerad'épaisseursupérieureàunpixel).
<8 pts>
( ) En déduire letraitementdansledomaine spe tralpermettantd'enleverla age del'oiseau (i.e.,
quel est le type de ltre dans le domaine fréquentiel qui permettrait de retrouver l'image de
l'oiseausans age).
<2 pts>
l'on appelletramage et qui est enfait une dégradationde l'image réée parlarépétition d'un motif
périodiquehautefréquen es'appliquantsurl'image.Dans le asleplussimple(et 'estle asi i),le
tramage estunpeigne deDira en2D(quelquefoislatrameestunpeuplus ompliquéequ'unsimple
peignedeDira ).L'opérationdedétramage onsistedon àrestituerlesniveauxdegrisavantque eux
inesoientae téspar ettedégradation.
(a) Indiquerunltresimplequipourraitéliminer etypedeproblème.Est- equeleltremédianest
appropriépourrestaurer etyped'image?Justiervotreréponse.
<5 pts>
(b) A quoi ressemblerale spe tre de l'image dégradée omparativementau spe tre de l'image non
dégradée?
<5 pts>
(a) (b)
Réponse
1.(a) Linéarité. <2 pts>
1.(b)
Sion onsidèrequel'axedesxreprésentelesdiérentes olonnesdel'imageetl'axedesy, eluideslignes,
onpourraitdonneràla age lareprésentationmathématiquesuivante;Suivanty, esbarresverti alessont
des onstantes (C
st(y)) et enx onre onnaîtle signalportede largeura qui serépète toute lespériodeT
(don Π(xa)∗ ∐∐T (x)).Ensupposantla orrespondan ex ⇋ uet y ⇋ ν
Fon tion Cage=Cst(y)· Π(x
a)∗ ∐∐T (x) ⇋F δ(ν)∗ asin (au)· ∐∐T1 (u)
∝ δ(ν) · sin (au)· ∐∐T1 (u)
Lespe tredela agereprésentedon unsinus ardinaldontonaprisdesvaleursrégulièrementespa ées
(de1/T)et entréeenu(lignehorizontale)et delargeur1 pixel.
<8 pts>
<4ptspouru | 4ptspourν>
1.( )
Sionréussitàenleverlespe tredela age,sansenlevertropdebassesfréquen esqui onstituentaussila
formedel'oiseau,onréaliseraleltragequipermettraderetrouverl'imagedel'oiseausans age.Celtrage
seraitunltre ombinantunltreàreje teurdebandeetunltrepasse-basdontl'appli ationsurlespe tre
del'imagedel'oiseau ave ageressembleraitàlagure i-dessous.
<2 pts>
parla agesurl'axe horizontal)etl'opérationpermettantd'enleverla agedansledomainespe tral.
2.(a)
UneopérationsimpleseraitunltremoyenneurouGaussien<3 pts>.
Unltre médianne seraitpasappropriépour e typedeproblème aril existe lamoitiédespixels qui
sontdégradédansl'image.Lavaleurmédianepriseparleltremédianseraitdon souventunevaleurdela
trameet nonunniveaux degrisdel'image.<2 pts>
2.(b)
Imgtramée=Img· ∐∐T=2pixels(ν) ⇋F Spe tredel'Imgtramée=Spe tredel'Img∗ ∐∐T1=moitiédel'img(ν)
Laprésen edehautefréquen esduesau hangementabruptesd'intensités<3 pts>. Pluspré isément,
le spe tre de l'image tramée se répétera 2 fois en u et en ν omparativementau spe tre de l'image non tramée<3 pts>.On omprendbien(question pré édentedon pourquoiUn ltrapasse-baspermettrade
supprimer etterépétitionetderetrouverla ontinuitédesniveauxdegrisdel'imageoriginale).
IV.Mis .(44pts)
1. Expliquer enune phraseàquoiestdulerepliement(oure ouvrementou hevau hement)spe tralet
lere ouvrement(ou hevau hementoure ouvrement)spatial.
<5 pts>
2. On veutfaireunltrage spatialadaptatif surune image dégradéeparunbruit Gaussien devarian e
égaleàσ2= 100.A quellesvaleursseraitil judi ieuxdexerleseuilde eltreadaptatif?
<5 pts>
3. L'image(a) i-dessousestunevraieimageSAR(Syntheti ApertureRadarouenfrançaisradaràsyn-
thèsed'ouverture)priseparunsatellitedelasurfa ed'uno éan.L'imageestbruitéemaisonpeutvoir
lairementave l'oeillesdiérentesvaguespériodique(vued'enhaut)quiapparaissentàsasurfa e.
On vousdemande detrouverun système detraitementd'image qui vous permettraitde trouverau-
tomatiquement (et defaçon leplus robuste possible), àpartirde e typed'images,la période, oula
largeur(enmètres)desvagues.(Cetteinformationestimportantepourlamétéopoursavoirsilamer
est almeoudé haîné(plusunevagueestlarge,pluselleesthaute:informationimportanteaussipour
lessurfers!).
Essayer d'être le plus pré is possible et on supposeraque la résolution spatiale (= ∆x) ou période
d'é hantillonageestde2 mètresetquel'imageestdetaille128× 128pixels.
<10 pts>
(mort en 1976). Une de es photographie élèbre s'intitule le violon d'ingres (1924)et représente la
photographied'unefemmenueassisededos.Parquelques oupdepeinturenoire,l'auteurs'estamusée
à transformer le orps de ette femme en violon, (jouant ainsi ave l'expressionpopulaireavoirun
violond'ingres,l'auteur révèleàtraverssonart, l'érotisme de e orpset sa proprepassionpourun
de esmodèle(Ali eprinditekikide Montparnasse)).
Donner unete hniquedetraitementd'imagequi permettraite a ementd'ea er lesdeux oups de
pin eauxdel'auteur(i.e.,retrouverlaphototelle qu'elleétaitavant es oupsdepin eaux).
<5 pts>
5. Imaginonsque l'onait uneimage debruitblan Gaussiendemoyenne(enniveauxdegris) 128et de
varian eσ2= 800,i.e,unbruitquisuit unedensitédeprobabilitéGaussienneN (µ = 128, σ2= 800).
(a) Donnerl'intervalledesniveauxdegrisdanslequelsera ompris99.5%despixels?
<2 pts>
(b) Si onltre etteimagede bruitparunltremoyenneur[3× 3]et quel'onre al ulelamoyenne
etlavarian ede ebruit (surl'imageltrée).Indiquer1)silamoyenneetlavarian ede ebruit
seraitidentique,supérieurouinférieur?Justiervotreréponse.2)quelleseraitvraisemblablement
uneestimationdesamoyenneetsavarian e?Justiezvotreréponseparrapportà equiàétédit
en oursendisantaussilenomdelapropriétéquivouspermettrade on luresur ette dernière
question.
<8 pts>
6. L'image( )estune imagesatellitairedelasurfa edelaterrepriseparGoogle earthreprésentant
une haîne montagneuseen Amériquedusud. Queproposeriezvous, ommetraitementsimple, pour
améliorer la visibilité des détails de l'image dans e qui semble être l'oeil et le sour ilde e visage
(d'indien?)pourensavoirplus?Justierbrièvementvotreréponse.
<4 pts>
7. Donner(s hématiquement)lareprésentationfrontière(Boundaryrepresentation)dutriangleéquilaté-
ral(Figure(d))représentantuneformedontles ontoursontétépréalablementbinarisée.
<5 pts>
(a) (b) ( ) (d)
Réponse
1
Lerepliementspe tralest duàunepériode d'é hantillonagetroppetite(nerespe tantpaslethéorème
deShannon).
<2.5 pts>
laTFdis rètequiimpliquelapériodisationdusignaldedépart).
<2.5 pts>
2
seuil=3 σ
permettantainsideprendreleszonesderégionhomogèneltréeave uneprobabilitésupérieureà99.5%.
<5pts>
NOTA:Laréponseseuil=2 σaété onsidéréaussi ommevalableetjuste.
3
Pouridentier lapériode desvagues, lafaçonlapluspré ise est, dans unpremier tempsde al ulerle
spe trede etteimage.Celui imontrerait lairementdeuxvaleursmaximalesdepartetd'autredel'origine
quel'onpeutfa ilementtrouverautomatiquement.Lavaleurmaxduspe tre, orrespondantàlafréquen e
desesvaguessesitueraitdepartetd'autredel'origine,<5pts>dansnotre asàNp = 24pixelsou24∆u
ave ∆u,larésolutionspe traleégaleà∆u = 1/(N· ∆x),don
Fréquen edesvagues= Np
N· ∆x ou Périodedesvagues=N· ∆x Np
enmètres < 5pts >
NOTA1-:Dansnotre as,onobtiendraitlespe tre idessus,lavaleurdeNp= 24etdon laPériode
des vagues= 128×224 = 10.66enmètres.
NOTA2-:Aprèsavoirdébruitél'image,ave unltrepassebande entrésurlesdeuxvaleursmaximales
duspe tre(de partet d'autredel'origine), onpourraitensuiterevenirdans ledomainespatial,puisaprès
binarisationde etteimage,et après érosion ave unélémentstru turantde plusenplus grandjusqu'à e
quel'imageérodéedevienneblan he.Latailledel'élémentstru turanttrouvédans e asave lefaitquela
grosseurdespixels est,pardénition,∆x = 2mpourraitpermettreune bonneestimationde lalargeurdes
vagues.
4
Une opération d'ouverture et fermeture (morphologie mathématique) lo alement et sur l'image en
niveau de gris (i.e., sur l'imagette en er lant et entrée autour de haque dégradation [fa ilement
trouvable puisque onstitué de pixels essentiellement noir℄) ave unélément stru turantde grosseur
supérieur à la taille de la dégradation appliqué sur l'enveloppe de ette image (en niveaux de gris)
permettraitd'enlever lesdeux traits noirsfaitpar l'auteuret permettraitderetrouver (dans une
ertainemesure)lesniveauxdegrisdans ettezone.
De même, un traitement lo al, du style ltrage médian ave un voisinage ( arré ou ir ulaire) qui
serait supérieur à deux fois la grosseur de ette dégradation permettrait d'obtenir des résultats de
restauration onvenable.
Laplussimpleetpeutêtrelamoinse a erestauration onsisteraita al ulerlavaleurmoyennedes
5
l'intervalle des niveaux de gris dans lequel sera ompris 99.5% des pixels serait [128− 3σ , 128 + 3σ]
= [≈ 43 ≈ 213].
<2 pts>
Après ltrageparunmasquede onvolutionmoyenneur[3× 3], lamoyenneseraitidentique(leltrage
passe-basdoit onserverlamoyennedel'image) <1 pts> maissa varian eseraitplusfaible ( arle bruit
moinsimportant)<1pts>.
PlusPré isément,l'é arttypedubruitseraitapproximativementdivisépar
√
Nb.de oe ientdultre=
√9 (ou sa varian e divisée par 9) et on trouverait approximativement un bruit distribuée selon N (µ = 128, σ2≈ 89),i.e.,uné arttypedubruit ≈ 9.4. <4 pts>
Lapropriété d'ergodi itépermet derappro her etteexpérien eave ellesurlemoyennaged'ensemble
d'imagesenta héesd'unbruitGaussien. <2 pts>
NOTA: Dans notre as,on trouverait pourle bruitgénéré parl'ordinateur utilisé en
TPune valeur deσ al ulée sur l'image filtrée égaleà σ = 9.59.
6
L'information ouleurn'étantpastrèsimportantedans etteappli ation,ilseraitpréférabledetravailler
ave l'imagedesniveaux de gris.Uneégalisation d'histogrammeserait untraitement quinous permettrait
d'avoir un peu plus de pré ision au niveau de e que sont réellement les ontours de e soit-disant oeil
d'indien. Pourvisualiserplus de détails dansles ontours (représenté pardes niveaux degris sombre),un
étirementd'histogrammeauxniveauxdeszonesdeniveauxdegrissombrenouspermettraitd'avoirunpeu
plusde ontrastedes ontouretpeutêtreappré ierplusjustementlaressemblan ede e ontourave elle
d'unvéritableoeil.
Une transformation linéaire par mor eaux ave une pente plus abrupte pour les niveaux de gris plus
sombresseraitaussiune bonneréponse etamélioreraitlavisibilitédesdétails.
Onpourraitaussiutiliserunrehausseurde ontourpouraugmenterlavisibilitédesdétailsde etteimage.
<4 pts>
7
f. ours.
<5pts>