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(1)

IFT 6150

EXAMEN THÉORIQUE

Max Mignotte

DIRO,Départementd'InformatiqueetdeRe her heOpérationnelle

http://www.iro.umontreal. a/mignotte/ift6150 e-mail:mignotteiro.umontreal. a

Date : 03/12/2007

I ..................... TransforméedeFourier(32pts)

II .................... Représentation&FiltrageSpatial(22pts)

III ................... Représentation&FiltrageFréquentiel(22pts)

IV ................... Mis .(44pts)

Total ................ 120points

Tous do uments, al ulatri es et al ulateurs personnels autorisés

(2)

I.TransforméedeFourier(32pts)

1. (a) SoitF (ν) =F[f(x)](i.e.,F (ν)représentantlatransforméedeFourier(TF)def (x)).

Cal ulerparlaméthodedevotre hoix

<3 pts>

F[ x2f (x) ]

(b) Utiliserlarelationdéniepré édemmentpour al ulerlaTFdex2exp(−x) (pourx > 0).

<4 pts>

2. (a) Soith(x)lafon tion(pourx > 0)solutiondel'équation diérentiellesuivante

h′′(x) + 2h(x) + h(x) = exp(−x) (1)

Quedevientl'Eq. (1)sionluiappliquelatransforméedeFourierF ?

<3 pts>

(b) En déduireH(ν),solutionde etteéquationdansledomainespe tralpuissasolutionh(x),dans

ledomainespatial.

<4 pts>

( ) Comment pourrait oné rire h(x)si onvoulait l'exprimersous formede produit de onvolution d'unemêmefon tion?

<3 pts>

(d) Sionremplaçaitlemembrededroitedel'Eq. (1)par δ(x) − δ(x)

(aulieudeexp(−x)),quelle

seraitànouveaulasolutionde ette équationdiérentielle?

<5 pts>

Nota :On rappellequeδ(x) ∗ f(x) = f(x).

3. Retrouverla élèbrepropriétésuivantedelaTF

F[ f(x) ] = (2πjν) F (ν) (2)

enutilisantlefaitque1-) f(x) = limǫ→0f(x+ǫ)−f (x)

ǫ , 2-) latransforméedeFourierd'unefon tion dé aléeet3-) lefaitque,quandx→ 0,exp(x)≈ 1 + x.

<5 pts>

4. Trouverlerésultatdel'expression idessous,danslaquelleaetbsontdeuxréelspositifsetreprésente

l'opérateurde onvolution

sin πax

πax ∗sin πbx πbx

<5 pts>

Réponse

1.(a)

(i)Laméthodelaplussimple onsisteàappliquerlaformuledelatransforméedeFourierd'unefon tion

dérivéese onde,i.e.

F[ f′′(x) ] = (2πjν)2F[ f(x) ] = −4π2ν2F (ν)

(3)

F[ x2f (x) ] = − 1

2F′′(ν) < 3 pts >

(ii)Uneautreméthode onsisteraitàserappeler(ouendéduireàpartirduNota donnédansl'énon é)

queF[ δ(x) ] = 2πjν etdon ,parlapropriétédualequeF[ x ] = −2πj1 δ(ν).

Compte tenude efait,ontrouveensuite

F[ x2f (x) ] = − 1

2πjδ(ν)∗ − 1

2πjδ(ν)∗ F (ν) = − 1

2F′′(ν)

1.(b)

Ontrouvefa ilement(pourx > 0)F[ exp(−x) ] = 1+2πjν1 (faiten lasseou f.Examendel'année2005).

Don ,enutilisantlarelationpré édemmenttrouvée

F[ x2exp(−x) ] = − 1 4π2

 1

1 + 2πjν

′′

=− 1 4π2

 −2πj (1 + 2πjν)2



= 2

(1 + 2πjν)3 < 4 pts >

2.(a)

h′′(x) + 2h(x) + h(x) = exp(−x) ⇋F (2πjν)2H(ν) + 2(2πjν)H(ν) + H(ν) = 1

1 + 2πjν < 3 pts >

2.(b)

Delarelationpré édente,onendéduit

H(ν) = 1

(1 + 2πjν)3

Etenseservantdelaquestion1.(b),onendéduitqueh(x) = 12x2exp(−x)(pourx > 0)estunedessolutions

de etteéquationdiérentielle. <4 pts>

2.( )

h(x) = F1h 1 (1 + 2πjν)3

i=F1h 1 (1 + 2πjν)

1 (1 + 2πjν)

1 (1 + 2πjν)

i

h(x) = exp(−x) ∗ exp(−x) ∗ exp(−x) (pourx>0) < 3 pts >

2.(d)

Enserappelant(ouendéduisantàpartirduNotadonnédansl'énon é)queF[ δ(x) ] = 2πjν,ona ette

fois i

h′′(x) + 2h(x) + h(x) = δ(x)− δ(x) ⇋F (1 + 2πjν)2H(ν) = 1− 2πjν

Et,sionrevientaudomainespatial

h(x) = F1h 1− 2πjν (1 + 2πjν)2

i=F1h 2

(1 + 2πjν)2− 1 1 + 2πjν

i

= 2 exp(−x) ∗ exp(−x) − exp(−x) pourx>0 < 5 pts >

NOTA 1

1

Siledeuxièmemembredel'équationavaiété[δ(x) + δ(x)],onauraiteu h(x) = F−1h 1

1 + 2πjν i

= exp(−x) pourx>0

(4)

F f(x)i

= 1

ǫ lim

ǫ→0 Ff (x + ǫ) − f(x) = 1 ǫ lim

ǫ→0

nF (ν) exp(2πjνǫ) − 1o

= 1

ǫF (ν)(1 + 2πjνǫ) − 1

et don F f(x)i

= (2πjν) F (ν) < 5 pts >

4

Leplusfa ileestdetélé-porter etteexpressiondansledomainedeFourier,larésoudredans etespa e

puisrevenirdansledomainespatial,i.e.

sin πax

πax ∗ sin πbx πbx

F

⇋ 1

|a|Π ν a

 1

|b|Π ν b



= =

1

|ab|

sin πcx πx

F

⇋ 1

|ab| Π ν min(a, b)



danslaquellec = min(a, b).

<5pts>

II.Représentation&FiltrageSpatial(22pts)

1. Ae teràl'imagereprésentantun iseau,l'undestroishistogrammesreprésenté idessousenjustiant

sommairementvotreréponse.

(a) (b) ( )

<5 pts>

2. Entraitementd'image,ilexisteunemultitudedevariantedeltrepasse-bas,plusoumoinsdiérents.

Parmi eux- i,il existeleltrequel'onappelleleFiltreolympiquequi onsisteàfairelamoyenne

(dansunvoisinage onsidéré,e.g.,unefenêtre [3× 3])detouteslesvaleursdeniveauxdegrissaufles

deuxvaleursextrêmes(minetmax).Dis uterl'e a itéde etypedeltre( omparéaultremédian

etGaussien)suruneimageenta héedebruitGaussienetsuruneimageenta héedebruitseletpoivre.

<5 pts>

3. Quelle densité de probabilité aurait le bruit poivre et sel? Tra er sommairement à quoi il pourrait

ressembler.Quelestleparamètrequi ara térisel'importan e de ebruit?

<5 pts>

4. Ae ter à haque è he le traitement (ltre ou opération pon tuelle) qui lui orrespond parmi les

traitementssuivant:

(5)

( ) Filtre médian

(d) Rehausseurde ontour

(e) Filtre dePrewitt

(f) Rehaussementdeluminan e(i.e.,ajoutd'une onstantesurl'image)

<7 pts>

Nota :Vousn'avezpasbesoinde justifiervotre réponse,donner seulementlabonneréponse.

Réponse

1

C'est l'histogramme (b) qui représente l'image du iseau. L'histogramme doit être for ément bimodal

puisque unobjetd'une ertaine ouleursedéta heduba kground. Deplus, il existeun peu plus(enpro-

portion)de pixelsappartenantauba kgroundque depixel appartenantàl'objetet lesniveaux degrisdu

ba kgroundontunevarian efaible(plus faibleque elleappartenantàl'objet),nousrenseignantde efait

quele deuxièmepi del'histogrammeest plusimportanten hauteuret moins importanten largeurquele

premier pi asso ié au pixels appartenant à l'objet. De plus, il existe des niveaux de gris sur l'objet (au

niveaudeslames) qui serappro hent beau oup duba kgroundnous indiquant que es deux pi ssonttrès

pro hel'undel'autre.

<5 pts>

2

Pour une image enta hée de bruit Gaussien, e ltredevrait se omporter de façon similaire au ltre

Gaussien ave les mêmes défaut de e dernier, lorsqu'onaugmente la taille duvoisinage; les ontours de-

viennentdeplusenplusou(pourunefenêtre[3× 3],lefaitdefaireunemoyennesur9valeursou9− 2 = 7

(6)

pourunbruitlesagrégatsnesontpasplusgrosqu'unpixel.Par ontrelorsquelesagrégatsdebruitsont

uneépaisseur supérieursàunpixel, e ltredevraitse omporter ommeleltreGaussien, 'estàdirepas

trèsbien,etrienn'y hangerait,mêmesionaugmentaitlatailleduvoisinage.

<3 pts |1 pts| 1pts>

<Raisonnement|TailleVoisinage|Tailleagrégats>

3

Deuxpi splusoumoinslargea haqueextrémitédel'histogramme.<2.5 pts>

Leparamètrequi ara térisel'importan ede ebruit estsoit:

 laproportiondespixels ae tée(expriméenpour entage,parexempleunbruit poivreet selde 10%

ae terait10%despixelsdel'image).

 soit lagrosseurdesagrégatsde es ta hespoivreset sel.

<2.5 pts>

Nota:L'uneoul'autredes deuxréponses donnelatotalitédes points,lesdeuxréponsesensembledonneraient

unBONUS+2

4

1. (3-a)Égalisation

2. (4-b) Filtremoyenneur

3. (2- )Filtremédian

4. (1-d) Rehausseurde ontour

5. (5-e)FiltredePrewitt(1 dire tion)

6. (6-f)Rehaussementdeluminan e(ajoutd'une onstantesurl'image)

<7 pts>

III. Représentation&FiltrageFréquentielle (22pts)

1. (a) Rappeler quelle est la propriété de la Transformée de Fourier (TF) qui permet de dire que le

spe trede etoiseauen age(voirgure(a) idessous)est onstitué duspe tredel'oiseauplus

lespe tre rééparla agedel'oiseau(i.e.,lasu essiondelignesblan hesverti aleséquidistantes).

<2 pts>

(b) Quelspe treva réerla agedel'oiseaudansledomainespe tralets'additionneraauspe trede

l'oiseau?Pluspré isément,faireungraphiqueou(au hoix)donneruneexpressionmathématique

simpliée du spe tre réé par ette age (représentée par ette su ession de lignes blan hes

verti aleséquidistantesetquel'onsupposerad'épaisseursupérieureàunpixel).

<8 pts>

( ) En déduire letraitementdansledomaine spe tralpermettantd'enleverla age del'oiseau (i.e.,

quel est le type de ltre dans le domaine fréquentiel qui permettrait de retrouver l'image de

l'oiseausans age).

<2 pts>

(7)

l'on appelletramage et qui est enfait une dégradationde l'image réée parlarépétition d'un motif

périodiquehautefréquen es'appliquantsurl'image.Dans le asleplussimple(et 'estle asi i),le

tramage estunpeigne deDira en2D(quelquefoislatrameestunpeuplus ompliquéequ'unsimple

peignedeDira ).L'opérationdedétramage onsistedon àrestituerlesniveauxdegrisavantque eux

inesoientae téspar ettedégradation.

(a) Indiquerunltresimplequipourraitéliminer etypedeproblème.Est- equeleltremédianest

appropriépourrestaurer etyped'image?Justiervotreréponse.

<5 pts>

(b) A quoi ressemblerale spe tre de l'image dégradée omparativementau spe tre de l'image non

dégradée?

<5 pts>

(a) (b)

Réponse

1.(a) Linéarité. <2 pts>

1.(b)

Sion onsidèrequel'axedesxreprésentelesdiérentes olonnesdel'imageetl'axedesy, eluideslignes,

onpourraitdonneràla age lareprésentationmathématiquesuivante;Suivanty, esbarresverti alessont

des onstantes (C

st(y)) et enx onre onnaîtle signalportede largeura qui serépète toute lespériodeT

(don Π(xa)∗ ∐∐T (x)).Ensupposantla orrespondan ex ⇋ uet y ⇋ ν

Fon tion Cage=Cst(y)· Π(x

a)∗ ∐∐T (x) ⇋F δ(ν)∗ asin (au)· ∐∐T1 (u)

∝ δ(ν) · sin (au)· ∐∐T1 (u)

Lespe tredela agereprésentedon unsinus ardinaldontonaprisdesvaleursrégulièrementespa ées

(de1/T)et entréeenu(lignehorizontale)et delargeur1 pixel.

<8 pts>

<4ptspouru | 4ptspourν>

1.( )

Sionréussitàenleverlespe tredela age,sansenlevertropdebassesfréquen esqui onstituentaussila

formedel'oiseau,onréaliseraleltragequipermettraderetrouverl'imagedel'oiseausans age.Celtrage

seraitunltre ombinantunltreàreje teurdebandeetunltrepasse-basdontl'appli ationsurlespe tre

del'imagedel'oiseau ave ageressembleraitàlagure i-dessous.

<2 pts>

(8)

parla agesurl'axe horizontal)etl'opérationpermettantd'enleverla agedansledomainespe tral.

2.(a)

UneopérationsimpleseraitunltremoyenneurouGaussien<3 pts>.

Unltre médianne seraitpasappropriépour e typedeproblème aril existe lamoitiédespixels qui

sontdégradédansl'image.Lavaleurmédianepriseparleltremédianseraitdon souventunevaleurdela

trameet nonunniveaux degrisdel'image.<2 pts>

2.(b)

Imgtramée=Img· ∐∐T=2pixels(ν) ⇋F Spe tredel'Imgtramée=Spe tredel'Img∗ ∐∐T1=moitiédel'img(ν)

Laprésen edehautefréquen esduesau hangementabruptesd'intensités<3 pts>. Pluspré isément,

le spe tre de l'image tramée se répétera 2 fois en u et en ν omparativementau spe tre de l'image non tramée<3 pts>.On omprendbien(question pré édentedon pourquoiUn ltrapasse-baspermettrade

supprimer etterépétitionetderetrouverla ontinuitédesniveauxdegrisdel'imageoriginale).

IV.Mis .(44pts)

1. Expliquer enune phraseàquoiestdulerepliement(oure ouvrementou hevau hement)spe tralet

lere ouvrement(ou hevau hementoure ouvrement)spatial.

<5 pts>

2. On veutfaireunltrage spatialadaptatif surune image dégradéeparunbruit Gaussien devarian e

égaleàσ2= 100.A quellesvaleursseraitil judi ieuxdexerleseuilde eltreadaptatif?

<5 pts>

3. L'image(a) i-dessousestunevraieimageSAR(Syntheti ApertureRadarouenfrançaisradaràsyn-

thèsed'ouverture)priseparunsatellitedelasurfa ed'uno éan.L'imageestbruitéemaisonpeutvoir

lairementave l'oeillesdiérentesvaguespériodique(vued'enhaut)quiapparaissentàsasurfa e.

On vousdemande detrouverun système detraitementd'image qui vous permettraitde trouverau-

tomatiquement (et defaçon leplus robuste possible), àpartirde e typed'images,la période, oula

largeur(enmètres)desvagues.(Cetteinformationestimportantepourlamétéopoursavoirsilamer

est almeoudé haîné(plusunevagueestlarge,pluselleesthaute:informationimportanteaussipour

lessurfers!).

Essayer d'être le plus pré is possible et on supposeraque la résolution spatiale (= ∆x) ou période

d'é hantillonageestde2 mètresetquel'imageestdetaille128× 128pixels.

<10 pts>

(9)

(mort en 1976). Une de es photographie élèbre s'intitule le violon d'ingres (1924)et représente la

photographied'unefemmenueassisededos.Parquelques oupdepeinturenoire,l'auteurs'estamusée

à transformer le orps de ette femme en violon, (jouant ainsi ave l'expressionpopulaireavoirun

violond'ingres,l'auteur révèleàtraverssonart, l'érotisme de e orpset sa proprepassionpourun

de esmodèle(Ali eprinditekikide Montparnasse)).

Donner unete hniquedetraitementd'imagequi permettraite a ementd'ea er lesdeux oups de

pin eauxdel'auteur(i.e.,retrouverlaphototelle qu'elleétaitavant es oupsdepin eaux).

<5 pts>

5. Imaginonsque l'onait uneimage debruitblan Gaussiendemoyenne(enniveauxdegris) 128et de

varian eσ2= 800,i.e,unbruitquisuit unedensitédeprobabilitéGaussienneN (µ = 128, σ2= 800).

(a) Donnerl'intervalledesniveauxdegrisdanslequelsera ompris99.5%despixels?

<2 pts>

(b) Si onltre etteimagede bruitparunltremoyenneur[3× 3]et quel'onre al ulelamoyenne

etlavarian ede ebruit (surl'imageltrée).Indiquer1)silamoyenneetlavarian ede ebruit

seraitidentique,supérieurouinférieur?Justiervotreréponse.2)quelleseraitvraisemblablement

uneestimationdesamoyenneetsavarian e?Justiezvotreréponseparrapportà equiàétédit

en oursendisantaussilenomdelapropriétéquivouspermettrade on luresur ette dernière

question.

<8 pts>

6. L'image( )estune imagesatellitairedelasurfa edelaterrepriseparGoogle earthreprésentant

une haîne montagneuseen Amériquedusud. Queproposeriezvous, ommetraitementsimple, pour

améliorer la visibilité des détails de l'image dans e qui semble être l'oeil et le sour ilde e visage

(d'indien?)pourensavoirplus?Justierbrièvementvotreréponse.

<4 pts>

7. Donner(s hématiquement)lareprésentationfrontière(Boundaryrepresentation)dutriangleéquilaté-

ral(Figure(d))représentantuneformedontles ontoursontétépréalablementbinarisée.

<5 pts>

(a) (b) ( ) (d)

Réponse

1

Lerepliementspe tralest duàunepériode d'é hantillonagetroppetite(nerespe tantpaslethéorème

deShannon).

<2.5 pts>

(10)

laTFdis rètequiimpliquelapériodisationdusignaldedépart).

<2.5 pts>

2

seuil=3 σ

permettantainsideprendreleszonesderégionhomogèneltréeave uneprobabilitésupérieureà99.5%.

<5pts>

NOTA:Laréponseseuil=2 σaété onsidéréaussi ommevalableetjuste.

3

Pouridentier lapériode desvagues, lafaçonlapluspré ise est, dans unpremier tempsde al ulerle

spe trede etteimage.Celui imontrerait lairementdeuxvaleursmaximalesdepartetd'autredel'origine

quel'onpeutfa ilementtrouverautomatiquement.Lavaleurmaxduspe tre, orrespondantàlafréquen e

desesvaguessesitueraitdepartetd'autredel'origine,<5pts>dansnotre asàNp = 24pixelsou24∆u

ave ∆u,larésolutionspe traleégaleà∆u = 1/(N· ∆x),don

Fréquen edesvagues= Np

N· ∆x ou Périodedesvagues=N· ∆x Np

enmètres < 5pts >

NOTA1-:Dansnotre as,onobtiendraitlespe tre idessus,lavaleurdeNp= 24etdon laPériode

des vagues= 128×224 = 10.66enmètres.

NOTA2-:Aprèsavoirdébruitél'image,ave unltrepassebande entrésurlesdeuxvaleursmaximales

duspe tre(de partet d'autredel'origine), onpourraitensuiterevenirdans ledomainespatial,puisaprès

binarisationde etteimage,et après érosion ave unélémentstru turantde plusenplus grandjusqu'à e

quel'imageérodéedevienneblan he.Latailledel'élémentstru turanttrouvédans e asave lefaitquela

grosseurdespixels est,pardénition,∆x = 2mpourraitpermettreune bonneestimationde lalargeurdes

vagues.

4

 Une opération d'ouverture et fermeture (morphologie mathématique) lo alement et sur l'image en

niveau de gris (i.e., sur l'imagette en er lant et entrée autour de haque dégradation [fa ilement

trouvable puisque onstitué de pixels essentiellement noir℄) ave unélément stru turantde grosseur

supérieur à la taille de la dégradation appliqué sur l'enveloppe de ette image (en niveaux de gris)

permettraitd'enlever lesdeux traits noirsfaitpar l'auteuret permettraitderetrouver (dans une

ertainemesure)lesniveauxdegrisdans ettezone.

 De même, un traitement lo al, du style ltrage médian ave un voisinage ( arré ou ir ulaire) qui

serait supérieur à deux fois la grosseur de ette dégradation permettrait d'obtenir des résultats de

restauration onvenable.

 Laplussimpleetpeutêtrelamoinse a erestauration onsisteraita al ulerlavaleurmoyennedes

(11)

5

l'intervalle des niveaux de gris dans lequel sera ompris 99.5% des pixels serait [128− 3σ , 128 + 3σ]

= [≈ 43 ≈ 213].

<2 pts>

Après ltrageparunmasquede onvolutionmoyenneur[3× 3], lamoyenneseraitidentique(leltrage

passe-basdoit onserverlamoyennedel'image) <1 pts> maissa varian eseraitplusfaible ( arle bruit

moinsimportant)<1pts>.

PlusPré isément,l'é arttypedubruitseraitapproximativementdivisépar

Nb.de oe ientdultre=

√9 (ou sa varian e divisée par 9) et on trouverait approximativement un bruit distribuée selon N (µ = 128, σ2≈ 89),i.e.,uné arttypedubruit ≈ 9.4. <4 pts>

Lapropriété d'ergodi itépermet derappro her etteexpérien eave ellesurlemoyennaged'ensemble

d'imagesenta héesd'unbruitGaussien. <2 pts>

NOTA: Dans notre as,on trouverait pourle bruitgénéré parl'ordinateur utilisé en

TPune valeur deσ al ulée sur l'image filtrée égaleà σ = 9.59.

6

L'information ouleurn'étantpastrèsimportantedans etteappli ation,ilseraitpréférabledetravailler

ave l'imagedesniveaux de gris.Uneégalisation d'histogrammeserait untraitement quinous permettrait

d'avoir un peu plus de pré ision au niveau de e que sont réellement les ontours de e soit-disant oeil

d'indien. Pourvisualiserplus de détails dansles ontours (représenté pardes niveaux degris sombre),un

étirementd'histogrammeauxniveauxdeszonesdeniveauxdegrissombrenouspermettraitd'avoirunpeu

plusde ontrastedes ontouretpeutêtreappré ierplusjustementlaressemblan ede e ontourave elle

d'unvéritableoeil.

Une transformation linéaire par mor eaux ave une pente plus abrupte pour les niveaux de gris plus

sombresseraitaussiune bonneréponse etamélioreraitlavisibilitédesdétails.

Onpourraitaussiutiliserunrehausseurde ontourpouraugmenterlavisibilitédesdétailsde etteimage.

<4 pts>

7

f. ours.

<5pts>

References

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