Att mäta ränterisker

1

Föreläsningsanteckningar

Del 2

• Durationsanalys

• Immunisering och Hedgning

• Value-at-Risk

Litteratur

:

Hässel, Norman och Andersson: kap. 11

–

Risk

:

sannolikheten för en negativ avvikelse från en

viss nivå på en målvariabel på grund av en

förändring i en extern variabel, som t. ex. räntan.

– Det finns många olika sorters risker:

• Affärsrisk: försäljning av företagens produkter? • Strategisk risk: fundamentala ekonomiska eller

politiska förändringar?

–

Målvariabler

:

• _Räntenetto: hur framtida ränteförändringar påverkar nettot av

avkastningen på räntebärande tillgångar och kostnaderna för räntebärande skulder.

• _{Marknadsvärdet på tillgångar: hur ränteförändringar}

påverkar marknadsvärdet (MV) på räntebärande tillgångar och skulder. MV är nuvärdet av kassaflöden som genereras av

tillgångarna och skulderna.

• Det aktuella marknadsvärdet för en portfölj av

räntebärande tillgångar kan beräknas som

nuvärdet av alla framtida kassaflöden.

• Känsligheten i detta marknadsvärde för en

given ränteförändring är ett mått på risk i

denna målvariabel.

• Ett sätt att mäta marknadsvärdets

• Marknadsvärdet för en kupongobligation, givet

en

yield

på

Y

, kan skrivas enligt prisformeln:

t n t t n t t t n t t

n

Y

CF

Y

CF

Y

C

Y

N

P

   























(

1

)

)

1

(

)

1

(

)

1

(

_{1 1 1}

n

t

N

C

CF

n

t

C

• Obligationens pris som en funktion av dess

yield

.

Prisfunktionen är icke-linjär och konvex i Y.

P

Lutning minskar i absolutvärde när Y ökar.

Y Microsoft Excel

• Obligationens pris som en funktion av dess

yield

.

P

B A

Det innebär att ju lägre

marknadsräntan (yielden) är, desto känsligare är

obligationspriset för ränteförändringar.

Y

              



 n t t n _Y C t Y N n Y Y P

1 (1 )

) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 (

I figuren visas även den räta linje som tangerar prisfunktionen i

punkten vid (P = 100) (Y = 0.10).

Lutningen på linjen erhålls genom att derivera prisfunktionen med

avseende på (1+Y):

t n t t Y CF P   





(1 )

• Obligationens duration definieras som obligationsprisets

ränteelasticitet (

vad som händer med priset i procent om räntan förändras med 1%). Man brukar multiplicera med -1 för att ta bort det negativa tecknet från durationen.

P Y Y

P (1 ) ) 1 (     





                         



 P Y Y C t Y N n Y n t t n 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 Duration =          



 n t t n _Y C t Y N n

P (1 ) 1 (1 )

1

• Durationen,

d

, är identisk med den nuvärdesvägda

medellöptiden:

(Durationsmåttet utvecklades av Macauley på 30-talet för att bestämma livslängden på obligationer.)





  









n t t t n t t t

Y

CF

t

P

Y

CF

t

P

d

1

1

(

1

)

1

)

1

(

1





 







n t n t t t t t

Y

CF

Y

CF

t

d

1

1

(

1

)

)

1

(

Ett vägt genomsnitt av tiden till varje utbetalning, där vikterna är nuvärdet av varje betalning i

procent av det totala nuvärdet av samtliga kassaflöden

– Durationen hos en nollkupongobligation är helt

enkelt lika med obligationens löptid:

         



 n t t n kupongobl kupongobl Y C t Y N n P d

1 (1 )

) 1 ( 1 n Y N n P d _n nollkup

nollkup  _ 

) 1

• Om räntan (yielden) ökar faller priset men

samtidigt stiger avkastningen på återinvesteringen

av framtida kupongutbetalningar.



Duration kan

även tolkas som den tid (uttryckt i år) det tar att

återvinna en förlust i en obligations

Exempel: En investerare med en placeringshorisont på 5 år har två alternativ:

– Köpa en kupongobligation som förfaller precis i slutet av placeringshorisonten.

– Köpa en kupongobligation med en löptid längre än 5 år och sälja denna vid placeringshorisontens slut.

• Alternativ 1 har en återinvesteringsrisk; vilka räntor de fyra första kupongutbetalningarna kan återinvesteras till. Men ingen prisrisk.

Exempel (forts.):

Betrakta den 5-åriga obligationen. Antag att räntan stiger med 1% (enda ränteförändringen under

obligationens 5-åriga löptid). Det har två effekter:

• Initial värdeminskning (obligationens pris sjunker). • Högre avkastning på de återinvesterade

kupongutbetalningarna.

Obligationens duration talar om hur lång tid det tar innan återinvesteringsinkomsterna täcker den initiala

• Exempel (forts.): figur 5.5 i Söderlind

Det tar 4.17 år innan

reinvesteringsinkomsterna från en räntehöjning är

tillräckliga för att täcka prisfallet.

Ju mindre durationen är desto snabbare kan

förlusten täckas (risken för prisförlust minskas).

• Beräkning av duration

(ex. s. 385 i Hässel, Norman och Andersson): Betrakta en 4-års obligation med nominellt

belopp N = 100, kupongränta på 11% (C = 11), och marknadsräntan Y = 0.072

Obligationens pris idag är:

81 . 112 ) 072 . 0 1 ( 11 ) 072 . 0 1 ( 11 ) 072 . 0 1 ( 11 ) 072 . 0 1 ( 11 ) 072 . 0 1 ( 100 4 3 2 1

4  _  _  _  _ 

 

P

Durationen är lika med:

48 . 3 ) 072 . 0 1 ( 11 4 ) 072 . 0 1 ( 11 3 ) 072 . 0 1 ( 11 2 ) 072 . 0 1 ( 11 1 ) 072 . 0 1 ( 100 4 1 4 3 2 1

4  

Tid till förfall

Nom. värde

Nuvärde Nuvärdesvikt Nuvärdes vikt  Tid

1 11 10.2612 0.0910 0.0910

2 11 9.5720 0.0848 0.1697

3 11 8.9291 0.0791 0.2374

4 111 84.0512 0.7450 2.9802

P = 112.8135 Duration = 3.4783

• Durationsberäkningen kan utföras i tabellform enligt:

8135 .

112 5720 .

9

2 0848 .

0 

 2

072 . 0 1

11



• Durationen påverkas av en obligations löptid,

kupongränta samt

yield

enligt:

– Längre löptid  högre duration

– Högre kupongränta  lägre duration (större kassaflöde innan förfall  återinvesteringsrisk och

prisrisk balanseras vid en tidigare tidpunkt)

– Högre yield  lägre duration (högre

förfall 20 8.42 19 8.30 18 8.17 17 8.02 16 7.86 15 7.67 14 7.46 13 7.23 12 6.97 11 6.68 10 6.35 9 5.99 8 5.58 7 5.13 6 4.62 5 4.05 4 3.41 3 2.69 2 1.89 1 1.00

Obligationers duration ändras och är olika för olika löptider (durationsdrift). Exempel. En 20-årig obligation med en kupong på 11,875 per år och par pris:

Duration 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

10 100 6.76

9 Före 110 5.76

9 Efter 100 6.33

8 Före 110 5.33

8 Efter 100 5.87

7 Före 110 4.87

7 Efter 100 5.36

6 Före 110 4.36

6 Efter 100 4.79

5 Före 110 3.79

5 Efter 100 4.17

4 Före 110 3.17

4 Efter 100 3.49

3 Före 110 2.49

3 Efter 100 2.74

2 Före 110 1.74

2 Efter 100 1.91

1 Före 110 0.91

1 Efter 100 1.00

0 Före 110 0.00

Exempel: Om vi beräknar

durationen precis före och efter kupongbetalningar för en 10-årig obligation med ett nominellt

värde på 100 samt kupongränta och yield på 10%:

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 0 2 4 6 8 10

• Sammanfattning av diagrammet:

– Durationen minskar när löptiden kvar till förfall minskar. Durationen minskar långsammare i början och snabbare i

slutet. (Att tappa ett år när det är många år kvar till förfall har inte så stor betydelse för genomsnittet men att tappa ett år när det är bara få år kvar till förfall minskar genomsnittet

(durationen) kraftigt.)

– Durationen ökar när man betalar kupong. Ökningen är större i början och mindre när man närmar sig till förfall.

P Y P 1 ) 1 (     

• Modifierad duration definieras som procentförändring i

en obligations pris som följer av en förändring i

marknadsräntan:

) 1 ( Duration MOD Y             



 n t t n _Y C t Y N n Y

P (1 ) (1 ) ₁ (1 )

1 1

• I exemplet på s. 385 i Hässel, Norman och Andersson:

24 . 3 072 . 1 3.48 ) 1 ( Duration

MOD  

 

• Modifierad duration: Med hjälp av modifierad

duration kan en approximativ procentuell

prisförändring uttryckas enligt:

) 1 ( MOD Y P P       0 ) 1 ( om 1 ) 1 ( 1 ) 1 (

MOD   

        Y P Y P P Y P  

• Modifierad duration: Ett användbart mått för att

beräkna hur mycket en räntepunktsförändring

påverkar priset är PVBP (Price Value per Basis

Point):

P









MOD

0

.

0001

PVBP

• Konvexitet: Duration (eller modifierad duration) kan

användas vid små ränteförändringar, eftersom måttet utgör en linjär approximation av ett icke-linjärt (konvext) samband.

Y P

Y₁ Y₂ En marknadsränteförändring från

Y₁ till Y₂ minskar obligationspriset från P₁ till P₂ .

P₁ P₂ P₂'

fel Enligt lutningen i punkten Y₁ och

P₁ (duration) minskar priset till

P₂'.

Duration överskattar

• Konvexitet: Obligationer med samma duration men olika konvexitet påverkas olika av ränteförändringar.

Y P

Y₁ P₁

Ju mer buktig prisfunktionen är desto större är felet att mäta prisändringen med hjälp av duration.

Konvexitet är positivt för

• Konvexitet: mäter hur ”buktig” prisfunktionen är,

d.v.s. hur snabbt lutningen (durationen) förändras vid

en ränteförändring. Konvexitet definieras som



       n t t t

Y CF t Y

P

1

1 ) 1 (

) 1 ( 

 P Y P 1 ) 1 ( CONV 2 2                 



 n t t n _Y C t t Y N n n P

Y 2 _{1 (1 )}

• Konvexitet:

exempel s. 385 i Hässel, Norman och Andersson

– Betrakta en 4-års obligation med nominellt belopp

N = 100, kupongränta på 11% (C = 11), och där

marknadsräntan Y = 0.072. Obligationens pris har vi tidigare räknat ut till 112.81 (se slide18).

            



 n t t n _Y C t t Y N n n P

Y 2 1 (1 )

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 CONV         _   _   _   _  

 _{2 4 1 2 3 4}

3943 . 14 5417 . 16 ) 072 . 1 ( 1

CONV  ₂  

• Konvexitet: beräkningen av konvexitet kan utföras i

tabellform enligt:

Tid till förfall Nom. värde Nuvärde Nuvärdes vikt Nuvärdesvikt

 t

Nuvärdesvik

t(t+1)

1 11 10.2612 0.0910 0.0910 0,1819

2 11 9.5720 0.0848 0.1697 0,5091

3 11 8.9291 0.0791 0.2374 0,9498

4 111 84.0512 0.7450 2.9802 14,9009

P = 112.8135 Duration = 3.4783 16.5417

8135 . 112 5720 . 9 2 0848 . 0 

 2

072 . 0 1 11 

Exempel: t = 2

3 1697 ,





) 1 ln( ) 1 ln( ) 1 ln( 0 1 ) 1 ln( 1 ) 1 ln( 0 Y P e CF Y Y e CF dt dP n t Y t t n t Y t t           





     

• Obligationsprisets känslighet för en förändring i löptiden

kan erhållas genom att derivera prisfunktionen med

avseende på

t

:





        n t Y t t t n t

t Y CFe

CF P 1 ) 1 ln( 1

0 (1 )

• En investerare som vill disponera en summa pengar om

ett år kan placera kapitalet i en 1-årig

nollkupong-obligation, vilket innebär att durationen är identisk med

placeringshorisonten och ränterisken är obefintlig.

• Immunisering innebär att en obligationsportfölj har en

given avkastning över en viss placeringshorisont,

oberoende av utvecklingen i marknadsräntor. I strikt

mening kan en immun portfölj uppnås genom att

• Finns endast kupongobligationer till hands kan

durationsanalysen användas; portföljens duration borde

överensstämma med placerings-horisonten för att portföljen

ska bli approximativt immun (mot ränteändringar).

• Durationsanalysen gör det möjligt att kombinera olika

• Betrakta två obligationer med följande egenskaper:

– Obligation 1: 4 års löptid, d = 3.48, CONV = 14.39, P = 112.81, N = 100, C= 11%, Y = 7.2%

– Obligation 2: 2 års löptid, d = 1.90, CONV = 4.88

• Om en investerare har en placeringshorisont på 2 år,

duration = 2, bör han bilda portföljen med vikter som

löser ekvationerna:

2

2 2 1

1d  w d 

w

1

2

1  w 

w 06 . 0 90 . 1 48 . 3 2 90 . 1 2 2 1 2

1 _ 

       d d d w 1

2 1 w

w  

2 )

1

( _{1 2}

1

1d    w d 

w w1(d1  d2)  d2  2

94 . 0 06 . 0 1

2   

2 90

. 1 94 . 0 48 . 3 06 .

0    

47 . 5 88

. 4 94 . 0 39 . 14 06

.

0    

Portföljens duration blir:

Portföljens konvexitet blir:

Investeraren ska således inte placera bara i obligation 2, med 2 års löptid, till 100%. Portföljen som endast

innehåller obligation 2 har en återinvesteringsrisk efter ett år, vid den första kupong-utbetalningen.

I portföljen med vikterna 0.06 resp. 0.94 balanserar

• Immunisering är en dynamisk strategi (kräver ständiga revideringar) eftersom

– Obligationers duration ändras när räntan förändras; om räntan går upp minskar durationen. Portföljen måste rebalanseras. – Om icke-parallella skift i avkastningskurvan sker, måste

portföljen rebalanseras.

– Även om räntorna inte förändras ändras durationen efter kupongutbetalningar och därför bör portföljen kontinuerligt rebalanseras.

• Immunisering är för små ränteförändringar, eftersom

• Betrakta portföljen i exemplet efter 3 månader, utan att

räntan har förändrats.

– Placeringshorisonten är nu lika med 2 - 0.25 = 1.75 år. – Eftersom ingen kupong har betalats ut under perioden

minskar durationen en dag för varje dag. Portföljens duration kan därför beräknas enligt nedan:

• Obligation 1: d₁ = 3.48 - 90/360 = 3.23, • Obligation 2: d₂ = 1.90 - 90/360 = 1.65

75 . 1 65

. 1 94 . 0 23

. 3 06 .

0    



p

• Betrakta portföljen i exemplet efter ett år.

– Placering horisonten är nu lika med 2 - 1 = 1 år.

– Durationen minskar en dag varje dag till kupongbetalningen. Efter kupongbetalningen hoppar durationen upp för både

obligationerna:

• Obligation 1: d₁ = 2.73, • Obligation 2: d₂ = 1

1 1 73

.

2 ₂

1  w  

w

1

2

1  w 

w 1

, 0

2 1

 

w

w _{Portföljen måste}

•

Hedging

:

är en teknik där en investerare kombinerar

olika tillgångar för att minimera eller helt eliminera

risken för en portfölj eller ett innehav av en enskild

tillgång. I en perfekt hedge-portfölj av obligationer är

ränterisken helt eliminerad.

• Att hedga finansiella risker är att som köpa försäkring

mot händelser som man inte har kontroll över.

• Hedging kan utföras med hjälp av terminskontrakt. En

räntetermin innebär en överenskommelse om att köpa eller sälja en räntebärande tillgång, till ett i förväg fastställt pris (fastställd ränta), vid en given framtida tidpunkt, lösendagen.

 Ingen osäkerhet om framtida pris eller ränta; ingen risk.

• Om marknadsräntan sjunker (obligationspriset stiger) under perioden till terminens lösendag gör köparen av terminen en vinst (sparar till en ränta som är högre än marknadsräntan)

medan säljaren av terminen gör en förlust (lånar till en ränta som är högre än marknadsräntan). Det omvända gäller om

• Betrakta exemplet ovan igen, där en investerare har en

placeringshorisont på 2 år och följande kupongobligationer till sitt förfogande.

– Obligation 1: 4 års löptid, D = 3.48, CONV = 14.39, P = 112.81, N = 100, C= 11%, Y = 7.2%

– Obligation 2: 2 års löptid, D = 1.90, CONV = 4.88

• Om investeraren placerar i obligation 2 existerar endast

en återinvesteringsrisk; risken att räntan sjunker (eg.

räntan är lägre än obligationens

yield

) om ett år då

kupongen betalas ut.

Med ett terminskontrakt kan återinvesteringsrisken

elimineras. Obligation 2 plus lång termin (placera

kupongen med ett års löptid med början om ett år) med

terminsräntan lika med obligationens

yield

är helt

• En placering i obligation 1 (4-års löptid) innehåller en återinvesteringsrisk och en prisrisk.

Återinvesteringsrisken tar vi hand om precis som för i fallet med obligation 2.

Prisrisken kan elimineras genom en kort termin som ger

möjligheten att sälja obligationen för ett pris som bestäms idag. Om terminspriset sätts lika med värdet av obligationen givet dess

•

Hedging

med hjälp av

caps

,

floors

och

collars

:

• En ränte-

cap

är en överenskommelse mellan t.ex. ett

företag och en bank att om räntenivån, på en viss

placering med viss löptid, vid bestämda tidpunkter i

framtiden överstiger en viss nivå, ska säljaren av

kontraktet kompensera köparen för mellanskillnaden.

En ränte-cap kan ses som en portfölj av optionskontrakt på den räntebärande tillgången. (Ha möjlighet att sälja den

• Ränte-cap. Exempel: Ett företag har tagit ett lån med rörlig ränta som löper under 5 år och som omförhandlas varje

kvartal. Lånets nominella belopp är 10 milj. kronor.

Företaget har dessutom köpt en cap av en bank med en lösenränta på 10%. Denna innebär en försäkring mot att låneräntan överstiger 10%.

Om räntan under första kvartalet som cap-en gäller är 11% måste banken betala följande räntebelopp till företaget:

000 ,

25 )

10 . 0 11 . 0 ( 000 ,

000 ,

10 360

• Ett ränte-

floor

är motsatsen till en ränte-

cap

; en

försäkring mot fallande räntor.

• En ränte-

collar

är en kombination av en ränte-

cap

•

Caps

och

floors

är nyttiga

hedging

instrument:

Betrakta exemplet ovan igen, där en investerare har en

placeringshorisont på 2 år och 2 kupongobligationer (obligation 1 med 4 års löptid resp. obligation 2 med 2 års löptid) till sitt förfogande.

Om investeraren placerar i obligation 2 existerar en

återinvesteringsrisk om ett år då kupongen betalas ut. Med ett

floor-kontrakt kan risken elimineras. Obligation 2 plus floor

med lösenräntan lika med obligationens yield är en riskfri

• Observera att

floor

-kontraktet är ”bättre” än

terminskontraktet eftersom man i

floor

-kontraktet har

möjligheten, inte skyldigheten, att återinvestera till

lösenräntan. Om marknadsräntan är större än lösenräntan

förfaller

floor

-kontraktet värdelöst och om räntan är

lägre kan du återinvestera till lösenräntan.

• Definition: VaR kan definieras som den med viss

sannolikhet förväntade förlusten från ogynnsamma

marknadsrörelser över en viss period.

• VaR används för olika ändamål bl a:

– Rapportera företagens finansiella risk till aktieägarna utan behov av tekniska termer.

– För att jämföra risken på olika marknader.

– I finansiella institutioner för bl a ränte- och valutarisken.

Marknadsvärdets känslighet: VaR kan användas för i princip vilka tillgångar som helst. Oftast brukar man mäta

tillgångarnas prisförändringar med att relatera priserna till en eller flera marknadsfaktorer.

När det gäller räntebärande tillgångar beräknas

obligationernas sannolika prisförändringar med hjälp av

Volatilitet: Mått på hur mycket räntorna fluktuerar. Behövs för att få fram en sannolikhetsfördelning för förändringar i räntan. Det kan t.ex. skattas historiskt.

Volatilitet mätts som spridning i förändring av räntenivå kring medelvärdet (varians och standard avvikelse):







     T t t t Y T Y E m 1 1

• Medelvärde: är en skattning av förväntade värdet av en slumpvariabel:







        T T t

t Y m

T m Y E 1 2 2

2 _{( )}

1 1 )

(



• Standardavvikelse: är roten ur variansen

Volatilitet: Den vanliga sätt att beräkna variansen ger samma vikt till alla historiska observationer. Ett annat alternativ är en exponentiellt viktad varians:









 _

 

 

 T

t

t t T

e R m

1

2

2 _{1 ( )}  _{är en decay faktorn: 0}   ₁

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0 20

40 60

80 100

 = 0.95

 = 0.8

T-t

Val av avvecklingsperiod och urvalsperiod: Över vilken tidshorisont och tidsperiod som volatiliteten ska mätas.

Den valda tidshorisonten, avvecklingsperioden, beror på hur lång tid som bedöms vara realistiskt för att (om önskvärt) avveckla de räntebärande tillgångarna i portföljen

(likviditeten hos portföljen). 1 dag, 10 dagar, en månad...?

Val av konfidensintervall och sannolikhetsfördelning:

Konfidensintervall är ett intervall som med en viss

sannolikhet innehåller det sanna värdet för den okända slumpvariabeln (stokastiska variabeln).

För att kunna bedöma sannolikheten för portföljens prisändringar måste man ha en uppfattning om

sannolikhetsfördelningen för ränteförändringarna (marknadsfaktorn).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Fr

e

k

ve

n

s

Medel = Median = Typvärde

Förutom medelvärde och varians finns det två andra viktiga mått för att kartlägga en fördelning; skevhet och toppighet:

För normalfördelningar räcker medelvärdet och variansen för att beskriva

sannolikhetsfördelningen, eftersom för alla normalfördelningar skevhet = 0 och kurtosis = 3.









3

3

 m R

E

skevhet  t 

• Skevhet: är ett mått på hur asymmetrisk en fördelning är runt medelvärdet

• Kurtosis (toppighet): mäter toppigheten eller plattheten för en fördelning









4

4

 m R

E

Exempel. En fördelning med positiv skevhet:

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12

0 10 20 30 40 50

Medel Typvärde

fördelningen. t-fördelningen konvergerar mot standard normalfördelningen när antalet frihetsgraden ökar.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

-15 -10 -5 0 5 10 15

t-fördelad

För normal fördelning gäller det alltid att 90% av alla möjliga fall ligger mellan 1,64std, 95% ligger mellan 1,96std och 99%

ligger mellan 2.33std.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Fr

e

k

ve

n

s

95%

2.5% 2.5%

95 . 0 )

96 . 1 96

. 1

(  X   

P

Eftersom den verkliga risken utgörs av förlustrisken är vi enbart intresserade av den spridning som har negativt tecken (dvs ett ensidigt konfidensintervall).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Fr

e

k

ve

n

s

97.5%

Sammanfattningsvis består valet av konfidensintervall av följande steg:

• Bestäm med vilken sannolikhet som man vill fastställa den maximala förlusten.

• Bestäm vilken fördelning ränteförändringarna kommer från.

• Givet fördelningen för ränteförändringarna, välj det ensidiga konfidensintervallet som motsvarar den valda sannolikhetsnivån. Använd brytpunkten i

Korrelationen mellan tillgångar (mellan räntor):

Om vi har en portfölj av tillgångar för vilken vi vill

beräkna VaR så måste vi ta hänsyn till tillgångarnas

samvariation. Denna samvariation mäts av

•

Value-at-Risk för ett instrument:

Den potentiellt

maximala förlusten från innehavet av en räntebärande

tillgång (

VaR

) är en funktion av valt konfidensintervall

(

C

_

), tillgångens volatilitet (

V

) och tillgångens

marknadsvärde (

MV

) enligt:

• För obligationer kan den procentuella prisförändringen i följd av en ränteförändring approximeras med hjälp av följande

Taylor-expansion. (Obs. Vi antar att tidsintervallet är kort och ändring i obligationspris beror bara på ränteförändringarna) :

) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 2 2 0 Y Y d P d Y Y d P d P Y

P t t

t   _    _  

0 2 2 0 1 ) 1 ( CONV och 1 ) 1 ( MOD P Y d P d P Y d

dP_{t t}

     2 0 ) ( CONV 2 1

MOD Y Y

P

Man brukar approximera relationen mellan obligationspris och

räntan med hjälp av bara durationen. Modellen man då erhåller kan vi kalla för ”delta modellen”:

procent i dring ränteförän ~ 0 Y Y Y  

2 0 0 0 ) ~ ( CONV 2 1 ~

MOD Y Y Y Y

P

P_{t       }



Definiera:   MODY0   CONV Y02

2 0 ~ 2 1 ~ Y Y P P_t       _{ } Definiera: 0 0 ~ Y Y Y P

P_t  _t

VaR definieras som absolutvärdet av brytpunkten i det %-iga ensidiga konfidensintervallet för P_t :

Definiera: MV  P0 Marknadsvärdet vid t  0

Delta-Normal modell: Antag att procentuella ränteförändringar

följer en normalfördelning med medel lika med noll och varians 2



2



0

, 0 ~

~ _

N Y

Y

Y   t



2 2



0

, 0

~ N   P

P_t



MV C

MV C

VaR     _      _ 

Exempel (sid. 79 i Söderlind): En investerare har ett innehav på nominellt 20 milj. SEK av en 5-årig obligation. Obligationens

yield är 8.90% och dess marknadsvärde är 20,939,400 SEK. Den senaste månadens volatilitet (på dagsbasis) är uppskattad till

0.753458%. Obligationens modifierade duration är 3.35. Bestäm obligationens VaR på dagsbasis givet en 95%-ig konfidensnivå!

266 ,

77 400

, 939 ,

20 089

. 0 00753458 .

0 64 . 1 35 . 3

%

95      

VaR

Sannolikheten (risken) är 5% att marknadsvärdet minskar med 77,266 SEK eller mer på en dag (vänstra svansen).

Value-at-Risk för en portfölj: När man uppskattar risken för en portfölj av räntebärande tillgångar bör man ta

diversifierings-effekterna i beaktande. Risken för en portfölj bestäms både av de enskilda tillgångarnas individuella risker och hur tillgångarna

samvarierar över tiden.

) )( ( 1 1 2 , 2 1 1 , 1 2 ,

1 P m P m

T t

T

t

t   

 









• Kovariansen är en skattning av samvariationen mellan två tillgångars prisändringar ΔP₁ och ΔP₂:

• Korrelationskoefficienten är ett standardiserat mått på samma sak (ligger mellan +1 och -1):

2 1 2 , 1 2 ,

1







• Value-at-Risk för en portfölj: VaR för en portfölj av två räntebärande tillgångar kan skrivas som:

2 , 1 2

1 2

2 2

1

)

(

)

2

(















VaR

VaR

VaR

VaR

VaR

_p

Ju högre korrelation desto sämre diversifieringsmöjligheter; tvärtom ju närmre -1 korrelationen är desto bättre

Exempel: Antag att investeraren i förra exemplet även har tillgång till en 3-månaders SSVX på nominellt 20 milj. SEK,

marknadsvärde på 19,564,207 SEK, marknadsränta på 8.91% samt en modifierad duration på 0.22. Räntevolatiliteten är uppskattad till 0.312743% och korrelations-koefficienten mellan förändringar i 3-månadersräntor och 5-årsräntor är uppskattad till 0.626.

Portföljens VaR:

512 , 78 626 . 0 967 , 1 266 , 77 2 ) 967 , 1 ( ) 266 , 77

( 2 2

%

95       

p VaR SSVX VaR: 967 , 1 207 , 564 , 19 0891 . 0 00312743 . 0 64 . 1 22 . 0 %

95      

VaR

• Exempel (fortsättning)

Om korrelationskoefficienten i stället var uppskattad till 0, d.v.s. förändringar i 3-månadersräntor och 5-årsräntor sker oberoende av varandra, så blir portföljens VaR:

291 ,

77 )

967 ,

1 ( )

266 ,

77

( 2  2 



p

VaR

Ju lägre

korrelation

, desto bättre diversifieringsmöjligheter

• Bygger VaR för RBT på orealistiska antaganden?

• Är förändringar i en obligations yield den enda faktor som påverkar förändringar i obligationens pris?

• Kan parametrar skattas m.h.a. historisk data? Är parametrarna stabila över tiden?

• Följer förändringar i räntor en normalfördelning eller en annan fördelning?

• Är all risk linjär? VaR fungerar sämre för att uppskatta riskerna i optionsrelaterade instrument som caps och floors. Möjligt

Problem: Även om ränteförändringarna är normalfördelade kan prisförändringarna inte vara normalfördelade. Orsaken är att prisförändringen är en icke-linjär funktion av ränteförändringen och har en skev fördelning. Gamma-risk resulterar i en positiv skevhet i fördelningen för prisförändringarna. Det beror på den positiva effekten konvexitet har på förändringen i en obligations pris till följd av en ränteförändring (se durationsanalysen).

2

0

~ 2

1 ~

Y Y

P P_t

 

  

 _{ }

Delta-Gamma modeller: För att ta hänsyn till konvexitet i modellen:



_0, 2



~

~ _

N Y

Delta-Gamma modeller:

• En naiv lösning på problemet är att behandla ränteförändringarna och dess kvadrat som två olika faktorer som båda är

normalfördelade. Detta är dock inte är ett rimligt antagande. • En annan lösning är att estimera skevheten och justera

konfidensintervallet.

• Man kan lämpligen använda den ”empiriska fördelningen” för P_t:

– Simulera (Monte Carlo) ränteförändringen från en normal fördelning med medelvärde noll och varians 2.

• Historisk Simulering: positionen jämförs med historiska räntescenarion. Hur skulle portföljens marknadsvärde förändrats om den hållits under en tidigare period?

– Beräknar historiska prisförändringarna för varje period s och varje tillgång i under S perioder före t (idag):

i s i s i s i s P P P R , 1 , 1 , ,    

– Beräknar portföljavkastning för varje s baserad på tillgångarnas vikt i portföljen idag (dag t)

i s N i i p

s w R

R _,

1

,



 

• Stresstester: stressa positionen med olika förändringar i marknadsfaktorerna. Avsikten är att testa hur extrema

ränteförändringar hypotetiskt kan påverka marknadsvärdet på portföljen.

– För varje scenario s beräknar P_s,t .

– Välj en sannolikhet _s för varje scenario .

– Använd _s för att specificera en sannolikhetsfördelning

(framförallt svansen) för P_s,t.

– Beräkna VaR från den specificerade fördelningen.