1 Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ
Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1.1 Newton’s law A. Newton′s law: Περιγράφει τη κίνηση υλικού σημείου μάζας m σε χωρο-χρονικά μεταβαλ-λόμενο πεδίο δυνάμεων F. Σε Αδρανειακό Σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή: mI d2x(t) dt2 =F(x, t) (1) Σχόλιο (i): Η αδρανειακή μάζα mI εξαρτάται από τις δυνάμεις που δρουν ανάμεσα στα συστατικά του σώματος. Αρα εξαρτάται από τη σύσταση του σώματος. Θυμηθείτε, για παρά-δειγμα, πώς υπολογίζαμε τη μάζα ενός πυρήνα με Ζ πρωτόνια και Ν νετρόνια. Λέγαμε Mnucleus = Zmp+ N mn− Eb/c2, όπου η ενέργεια σύνδεσης οφειλόταν στις θεμελιώδεις δυνάμεις ανάμεσα στα συστατικά του πυρήνα και με βάση το μοντέλο της υγρής σταγόνας δινόταν από την πολύ επιτυχημένη σχέση Eb = a1A− a2A2/3− a3Z(Z− 1)A−1/3− a4(N − Z)2A−1± a5A−2/3. Προ-φανώς η σχέση αυτή έχει να κάνει με την ισχυρή και με την ηλεκτρομαγνητική δύναμη ανάμεσα στα νουκλεόνια. Σχόλιο (ii): Υλικό σημείο χωρίς την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων έχει ως προς αδρανειακό παρατηρητή επιτάχυνση μηδέν. Πράγματι, η (1) για F = 0 δίνει a ≡ d2x/dt2 = 0. Ως πρός μή αδρανειακό παρατηρητή αυτό ΔΕΝ ισχύει. Για παράδειγμα, ως προς τον μή αδρανειακό παρα-τηρητή με σταθερή επιτάχυνση x′ = x + gt2 η επιτάχυνση του παραπάνω ελεύθερου σώματος είναι a′= d2x′/dt2 = 2g̸= 0. Σχόλιο (iii): Το πέρασμα από ένα σύστημα αναφοράς σε άλλο γίνεται με ένα μετασχηματι-σμό των συντεταγμένων. Σε άλλες περιπτώσεις ο αντίστοιχος μετασχηματιμετασχηματι-σμός είναι γραμμι-κός (στροφές, μετασχηματισμός Lorentz, ...) ενώ σε άλλες είναι μή γραμμιγραμμι-κός (π.χ. πέρασμα σε επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς). Εφαρμογή 1: Φορτίο σε ηλεκτροστατικό πεδίο: Η δύναμη που ασκεί ένα ηλεκτρικό πεδίο Ε σε σώμα με ηλεκτρικό φορτίο q είναι F(x) = q E(x) =−q ∇ϕ(x) (2) όπου q είναι το ηλεκτρικό φορτίο του σώματος και ϕ το ηλεκτροστατικό δυναμικό. Συνεπώς, η εξίσωση κίνησης σώματος μάζας mIκαι φορτίου q στο ηλεκτρικό πεδίο είναι d2x(t) dt2 =− q mI∇ϕ(x) . (3) Τέλος, η εξίσωση που δίνει το ηλεκτρικό πεδίο που παράγει μία κατανομή πυκνότητας ηλεκτρι-κού φορτίου ρQείναι ∇ · E = −∇2ϕ(x) = 4πρQ(x) (4)1.2 Κίνηση σώματος σε βαρυτικό πεδίο - Η Νευτώνεια Θεωρία της Βαρύτητας Οι βασικές εξισώσεις της Νευτώνειας Θεωρίας της Βαρύτητας είναι αντίστοιχες των παρα-πάνω, που αναφέρονται σε φορτία και ηλεκτροστατικά πεδία. Συγκεκριμμένα, η δύναμη που ασκεί το πεδίο βαρύτητας σε σώμα μάζας mGδίνεται από τη σχέση: F(x) = mGg(x) =−mG∇Φ(x) (5) όπου η βαρεία μάζα mGείναι αυτό που θα ονομάζαμε “βαρυτικό φορτίο”, κατ’ αναλογίαν του ηλεκτρικού φορτίου του ηλεκτρομαγνητισμού. Η βαρυτική δύναμη που ασκείται σε σώμα είναι κατ’ αρχήν ανάλογη του “βαρυτικού του φορτίου”, με τον ίδιο τρόπο που η ηλεκτροστατική δύναμη είναι ανάλογη του ηλεκτρικού φορτίου. Επομένως, η εξίσωση κίνησης του σώματος στο πεδίο βαρύτητας είναι: d2x(t) dt2 =− mG mI ∇Φ(x) , (6) ενώ η εξίσωση που δίνει το βαρυτικό δυναμικό που οφείλεται σε δεδομένη κατανομή πυκνότη-τας μάζας είναι: ∇ · g = −∇2Φ(x) = 4πG NρM(x) . (7) Ομως, mG= mI (8)
με εξαιρετική ακρίβεια, όπως δείχνουν τα πειράματα των Galileo Galilei, E otv os, Dicke και πολ-λών άλλων μεταγενέστερων και σύγχρονων. Οπότε, η εξίσωση κίνησης σώματος στο πεδίο βαρύτητας γράφεται d2x(t) dt2 =−∇Φ(x) ! ! ! ! ! (9) η ίδια για όλα τα σώματα !!! (με κάποιους περιορισμούς που θα γίνουν σαφείς στο μάθημα). Αρα όλα τα υλικά σώματα με τις ίδιες αρχικές συνθήκες θα κάνουν ακριβώς την ίδια κίνηση μέσα στο δεδομένο βαρυτικό πεδίο. Ο μύθος των πειραμάτων του Galileo Galilei από τον πύργο της Πίζας λέει ακριβώς αυτό. Ολα τα σώματα ανεξάρτητα από τη σύστασή τους, τον όγκο τους ή το μέγεθός τους, που άφηνε από το ίδιο ύψος έφταναν στο έδαφος ταυτόχρονα ή σχεδόν ταυτόχρονα, με την τυχόν διαφορά να μπορεί να αποδοθεί στην διαφορετική αντίσταση του αέρα που ασκείτο στο καθένα από αυτά. ΔΕΝ ισχύει, φυσικά, το ίδιο για την κίνηση μέσα στο ηλεκτροστατικό πεδίο. Για παράδειγμα, ένα πρωτόνιο ή ένα ηλεκτρόνιο λόγω του ηλεκτρικού τους φορτίου επιταχύνονται από το ηλε-κτρικό πεδίο, σε αντίθετες κατευθύνσεις και με πολύ διαφορετικές κατά μέτρο επιταχύνσεις. Αντίθετα τα (ουδέτερα) νετρόνια δεν αντιλαμβάνονται το ηλεκτρικό πεδίο και κινούνται μέσα σε αυτό με σταθερή ταχύτητα.
1.2.1 Τα πειράματα των Galileo, E otv os, Dicke. A. Περιγραφή του πειράματος του E otv os1.
(α) Κίνηση σώματος σε κεκλιμένο επίπεδο. (β) Εκκρεμές στο πεδίο της Γης.
1ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: Να μάθετε για τα πειράματα τύπου E otv os και να παρουσιάσετε τα σημερινά
B. Αποτελέσματα δAB ≡ (mI/mG)A− (mI/mG)B (mI/mG)A+ (mI/mG)B ≤ 1.5 × 10−13 (10) δAB ≤ 10−3 Galileo− Newton ≤ 10−9 R. Dicke
≤ 1.5 × 10−13 Earth− moon in the solar system (11) 1.2.2 Παρατήρηση: Η γεωμετρική διατύπωση του Νόμου του Νεύτωνα σε βαρυτικό πεδίο. Θεωρείστε τον χωρόχρονο με στοιχειώδες μήκος που δίνεται από τη σχέση ds2 =−c2 ( 1 +2Φ(x) c2 ) dt2+ ( 1−2Φ(x) c2 ) (dx2+ dy2+ dz2). (12) Πρόκειται για ένα “παραμορφωμένο” χωρόχρονο Minkowski λόγω της παρουσίας της συνάρτη-σης Φ στη μετρική. Για Φ = 0 έχουμε το χωρόχρονο Minkowski. Το μήκος της τροχιάς LABανάμεσα σε δύο δεδομένα γεγονότα A και B είναι LAB = ∫ B A ds = ∫ B A dtL (13) όπου L(x, v) =√(1− 2Φ(x)/c2)v2− c2(1 + 2Φ(x)/c2) . (14) Η εξίσωση της γεωδαισιακής στο χωρόχρονο αυτό, δηλαδή η εξίσωση της καμπύλης που ελαχιστοποιεί την απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία Α και Β του χωρόχρονου, είναι η εξίσωση Euler-Lagrange: d dt ∂L ∂v = ∂L ∂x (15) Υπολογίζω τις μερικές παραγώγους ∂L ∂v = (1− 2Φ/c2)v L (16) και ∂L ∂x =− (1 + v2/c2)∇Φ L ≃ − ∇Φ L (17) Οπότε, για|dx/dt| = v << c και |Φ(x)|/c2 ≪ 1 η εξίσωση της γεωδαισιακής (15) στη γεωμετρία αυτή γίνεται d2x(t) dt2 ≃ −∇Φ(x) , ! ! ! ! (18) που ταυτίζεται με την εξίσωση (9), που είδαμε παραπάνω. Το συμπέρασμα από τα παραπάνω είναι οτι πράγματι μπορούμε να αναπαράγουμε την εξί-σωση κίνησης ενός σώματος σε δοσμένο Νευτώνειο βαρυτικό δυναμικό Φ(x) σαν την εξίεξί-σωση της γεωδαισιακής σε κατάλληλη γεωμετρία, που καθορίζεται από το βαρυτικό αυτό δυναμικό. Ετσι, ακριβώς όπως κάναμε στην περίπτωση του χωρόχρονου Minkowski, έχουμε επιβεβαιώ-σει την δυνατότητα γεωμετρικής περιγραφής της Νευτώνειας βαρύτητας. Βέβαια, η παραπάνω απόδειξη έγινε στο όριο της μή σχετικιστικής μηχανικής και για ασθενή βαρυτικά πεδία. Γνω-ρίζουμε οτι αυτό δεν είναι αρκετό. Στα επόμενα κεφάλαια θα γενικεύσουμε όλα τα παραπάνω συμπεράσματα σε μιά πλήρως σχετικιστική θεωρία, που θα ισχύει χωρίς τους περιορισμούς μι-κρών ταχυτήτων και ασθενών πεδίων.
1.3 Η Αρχή της Ισοδυναμίας 1. Ολα τα σώματα έχουν την ίδια εξίσωση κίνησης μέσα στο βαρυτικό πεδίο. Ας πάρω λοιπόν το ίδιο το εργαστήριό μου και τα σώματα μέσα σε αυτό να “πέφτουν” ελεύθερα μέσα σε τυχόν βαρυτικό πεδίο. Μπορείτε να φανταστείτε για παράδειγμα ένα ασανσέρ να πέφτει και εσάς μέσα να κάνετε πειράματα. Ή αντίστοιχα, να βρίσκεσθε σε ένα διαστημόπλοιο που κινείται στο χώρο με σβηστές μηχανές χωρίς να περιστρέφεται περί τον εαυτό του. Είναι φανερό ότι δεν διαπιστώ-νετε την ύπαρξη βαρυτικής δύναμης. Οι νόμοι που θα διατυπώσετε κάνοντας τα πειράματά σας μέσα στο ασανσέρ θα είναι οι ίδιοι με αυτούς που ισχύουν απουσία βαρύτητας, που διατυπώνει δηλαδή ένας αδρανειακός παρατηρητής κάπου μακρυά από οποιοδήποτε ουράνιο σώμα. Διατυπώνουμε, λοιπόν υπό μορφή Αρχής ότι Οι Νόμοι της Φυσικής σε ένα σύστημα αναφοράς που πέφτει ελεύθερα στο πεδίο βαρύτη-τας είναι ισοδύναμοι με αυτούς σε ένα αδρανειακό σύστημα χωρίς βαρύτητα. 2. Ισοδύναμα, φανταστείτε ότι βρίσκεστε σε ένα εργαστήριο κάπου μακριά από κάθε ου-ράνιο σώμα, δηλαδή απουσία βαρύτητας. Φανταστείτε ότι επιταχύνετε το εργαστήριό σας με επιτάχυνση g. Η δύναμη που θα αισθάνεσθε θα είναι η ίδια με αυτήν που αισθάνεσθε ακίνητος σε πεδίο βαρύτητας−g2. Οι Νόμοι της Φυσικής σε ένα σύστημα αναφοράς με μηδενική επιτάχυνση σε πεδίο βα-ρύτητας g είναι ισοδύναμοι με αυτούς σε σύστημα χωρίς βαρύτητα, αλλά επιταχυνόμενο με επιτάχυνση−g. 3. Οπως θα δείξουμε παρακάτω, μπορεί κανείς να κατανοήσει σαν συνέπειες της παραπάνω “Ισχυρής Αρχής της Ισοδυναμίας” (IAI) τα φαινόμενα της βαρυτικής μετατόπισης στο ερυθρό, της καμπύλωσης της τροχιάς του φωτός σε πεδίο βαρύτητας, της εξάρτησης του ρυθμού των ρολογιών από το βαρυτικό πεδίο, και άλλα. 4. Ασθενής Αρχή της Ισοδυναμίας (AAI) είναι απλά η δήλωση ότι mG=mIκαι ισοδυναμεί με τη δήλωση ότι: Οι Νόμοι της Μηχανικής σε ένα σύστημα αναφοράς που πέφτει ελεύθερα στο πεδίο βαρύτητας είναι ισοδύναμη με τους Νόμους της Μηχανικής σε ένα αδρανειακό σύστημα χωρίς βαρύτητα. 5. Η Αρχή της Ισοδυναμίας αντιστοιχεί στη ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ δήλωση οτι κάθε ομαλή επιφά-νεια μπορεί σε αρκετά μικρή περιοχή να προσεγγισθεί με ένα επίπεδο. Σκεφτείτε οτι ενώ η Γη ολόκληρη ΔΕΝ μπορεί να παρασταθεί σε έναν Ευκλείδειο χάρτη, η πόλη του Ηρακλείου σχεδιάζεται πολύ ικανοποιητικά. Ολες τις αποστάσεις πάνω στο χάρτη του Ηρακλείου μπορούμε να τις μετράμε χρησιμοποιώντας Ευκλείδεια γεωμετρία. Η Ευκλείδεια έννοια της παραλληλίας ισχύει με πολύ καλή προσέγγιση. 6. Εφαρμογή: Θα αποδείξουμε παρακάτω ότι με αφετηρία την εξίσωση κίνησης ελεύθερου σώματος και την Αρχή της Ισοδυναμίας μπορούμε να παράγουμε την εξίσωση κίνησης του σώ-ματος σε οποιοδήποτε δεδομένο βαρυτικό πεδίο! Οι δύο εξισώσεις συνδέονται απλά με το μετα-σχηματισμό των συντεταγμένων που οδηγεί από το ένα σύστημα στο άλλο. Την γενική απόδειξη θα την συζητήσουμε σε επόμενο κεφάλαιο. Εδώ ας κάνουμε μία απλή εφαρμογή της ιδέας, στα πλαίσια της Νευτώνειας Θεωρίας. 2ΠΡΟΣΟΧΗ: Ολα αυτά ισχύουν υπό τις εξής προϋποθέσεις: (α) Οτι μιλάμε για πολύ μικρό εργαστήριο και για πειράματα που διαρκούν λίγο. Οταν ένα εργαστήριο είναι μεγάλο ή όταν παρατηρούμε σώματα στο ασανσέρ πού “πέφτει” για μεγάλο χρονικό διάστημα, θα δούμε αποκλίσεις (παλιροιακές δυνάμεις). (β) Οτι μελετάμε τις κινήσεις “μικρών” σωμάτων τα οποία μπορούμε να θεωρήσουμε οτι δεν παραμορφώνουν το βαρυτικό πεδίο γύρω τους, οτι δηλαδή πρόκειται για αυτό που ονομάζουμε test particles.
Απλό παράδειγμα: Ποιά είναι η εξίσωση κίνησης σώματος ως προς σύστημα αναφοράς Σ ακίνητο στη Γη; Απάντηση: (α) Η εξίσωση κίνησης του σώματος στο αδρανειακό σύστημα Σ’, που πέφτει ελεύθερα μέσα στο πεδίο βαρύτητας της Γης είναι d2x′ dt′2 = 0 (19) (β) Η σχέση των συντεταγμένων που συνδέει τα δύο αυτά συστήματα (το αδρανειακό Σ’ και το ακίνητο στην επιφάνεια της Γης) είναι x = x′+1 2g t ′2, t = t′ (20) (γ) Αρα, η εξίσωση κίνησης στο πεδίο βαρύτητας της Γης είναι d2x dt2 = d2x′ dt′2 +g = g , (21) όπως ακριβώς περιμέναμε.
2 ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΗΣ ΙΑΙ
2.1 Η καμπύλωση της τροχιάς του φωτός Φανταστείτε ένα εργαστήριο / ασανσέρ σε ελεύθερη κατακόρυφη πτώση στο πεδίο βαρύτη-τας της γης και ένα φωτόνιο να πέφτει κάθετα στις κατακόρυφες πλευρές του ασανσέρ, ακριβώς τη στιγμή που το τελευταίο αφήνεται να πέσει με μηδενική αρχική κατακόρυφη ταχύτητα. Ο πα-ρατηρητής ΜΕΣΑ στο εργαστήριο δεν αισθάνεται βαρυτική δύναμη, καμμία δύναμη δεν ασκεί-ται στο φωτόνιο και επομένως συμπεραίνει οτι το φωτόνιο θα χτυπήσει την απέναντι έδρα του εργαστηρίου του και στο ίδιο ύψος. Ο παρατηρητής στη ΓΗ ξέρει οτι το εργαστήριο επιταχύνε-ται με επιτάχυνση g. Αρα κατά το χρονικό διάστημα ∆t, που έκανε το φωτόνιο να φτάσει στον απέναντι τοίχο του εργαστηρίου, το εργαστήριο μετακινήθηκε στην κατακόρυφη κατεύθυνση κατά ∆z = g ∆t2/2. “Ιδια φυσική” ως προς τους δύο παρατηρητές σημαίνει οτι και ο παρατηρη-τής στη γη θα πρέπει να συμπεράνει οτι το φωτόνιο θα χτυπήσει στο ίδιο σημείο, που ισχυρίζεται και ο παρατηρητής στο ασανσέρ. Αρα, το φωτόνιο κάνει καμπύλη τροχιά με επιτάχυνση g. 2.2 Βαρυτική μετατόπιση στο ερυθρό (Ερυθρόπηση) Θεωρείστε πάλι ένα εργαστήριο με ύψος h στο πεδίο βαρύτητας της Γης. Στο δάπεδο υπάρχει ένας πομπός ακτινοβολίας και στην οροφή ένας δέκτης. ΕΡΩΤΗΣΗ: Ενα σήμα με συχνότητα ωeεκπέμπεται από το δάπεδο και φτάνει στην οροφή. Τί συχνότητα ωrέχει το σήμα όταν φτάνει στην οροφή; ΜΕΘΟΔΟΣ: Θα χρησιμοποιήσω την ΙΑΙ για να προβλέψω και θα κάνω το πείραμα για να ελέγξω την πρόβλεψη. (α) Παρατηρώ το πείραμα της εκπομπής και απορρόφησης από το σύστημα Σ, που πέφτει ελεύθερα στο πεδίο βαρύτητας της Γης. Σύμφωνα με τον ΙΑΙ θα ισχύει ό,τι και απουσία βαρύ-τητας, δηλαδή (ωr− ωe)Σ = 0 (22) (β) Προφανώς στο ίδιο συμπέρασμα πρέπει να καταλήγει και οποιοσδήποτε άλλος παρατη-ρητής, όπως για παράδειγμα ο Σ’, που είναι ακίνητος στη Γή. Ο Σ’ επιχειρηματολογεί ως εξής:Εστω ωe η συχνότητα του σήματος που εκπέμπεται από το δάπεδο τη στιγμή που το εργαστή-ριο αφήνεται να πέσει ελεύθερο στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Το σήμα κάνει χρόνο ∆t ≃ h/c να φτάσει στην οροφή. Τη στιγμή που το σήμα φτάνει στην οροφή ο δέκτης κινείται προς τον πομπό με ταχύτητα ∆v = g∆t. Οπότε λόγω φαινομένου Doppler η συχνότητα ˜ωrστον δέκτη θα είναι μεγαλύτερη κατά (∆ω/ω)Doppler≃ ∆v/c. Αρα, για να καταλήξει ο Σ’ στο συμπέρασμα που του υπαγορεύει η ΙΑΙ, πρέπει να συμπεράνει οτι λόγω του πεδίου βαρύτητας το σήμα θα υποστεί μείωση της συχνότητάς του ακριβώς ίση με την αύξηση λόγω Doppler. Ητοι, (ωr− ωe ωe )gravity≃ −∆v c ≃ − gh c2 =− Φr− Φe c2 (23) όπου Φe και Φr είναι οι τιμές του βαρυτικού δυναμικού στη θέση του πομπού και του δέκτη, αντίστοιχα.
2.3 Το πείραμα των Pound - Rebka - Snider (Harvard University, 1960, 1964.)
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ: Πώς είναι δυνατόν να επαληθεύσει κανείς πειραματικά μια τέτοια πρόβλεψη; (α) Φως από αστέρα. |∆ω| ω ≃ |∆Φ| c2 = GNM Rc2 ∼ 10−6 (24) πολύ μικρό για να μην εξαλείφεται από τις θερμικές κινήσεις του εκπομπού ή από σκεδάσεις στην ατμόσφαιρα του αστέρα. Ισως από λευκό νάνο, για τους οποίους το μέγεθος αυτό είναι 100 φορές μεγαλύτερο. (β) ΓΗΙΝΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ: Για διαφορά ύψους h≃ 22.5m στην επιφάνεια της γης ο τύπος (23) δίνει (ωr− ωe ωe )gravity≃ 3 × 10−15 !!! (25) Χρειάζεται μιά πολύ λεπτή φασματική γραμμή, με εύρος αρκετά μικρότερο από το παραπάνω ποσοστό. Παίρνω ένα διεγερμένο άτομο σιδήρου, που αποδιεγείρεται 57F e∗→ 57F e + γ (26) εκπέμποντας μια ακτίνα γ. Το εύρος ∆E = ~∆ω της γραμμής επηρρεάζεται από πολλούς πα-ράγοντες (θερμοκρασία, ανάκρουση του πυρήνα, κ.τ.λ). Αν καταφέρω να εξαλείψω όλους τους άλλους πλήν, φυσικά, της αρχής της αβεβαιότητας, που είναι αδύνατον να εξαλειφθεί, τότε ίσως μπορώ να πραγματοποιήσω το πείραμα και να επιβεβαιώσω ή να απορρίψω την πρόβλεψη της θεωρίας.
Αυτή ήτανε η στρατηγική που ακολούθησαν οι Pound, Rebka και Snyder. Για να εξαλείψουν τη διαπλάτυνση της γνωστής πολύ λεπτής φασματικής γραμμής του διεγερμένου57F e∗ χρησι-μοποίησαν το φαινόμενο M ossbauer3. Τοποθέτησαν διεγερμένα άτομα57F e∗μέσα σε κρύσταλο σε πολύ χαμηλή θερμοκρασία. Σύμφωνα με το φαινόμενο M ossbauer ο εκπομπός μέσα σε κρύ-σταλλο είναι τότε “στέρεα” συνδεδεμένος με όλο τον κρύκρύ-σταλλο. Αυτό δίνει ενεργό μάζα στο άτομο που αποδιεγείρεται ίση με την συνολική μάζα του κρυστάλλου. Αυτό εξαλείφει την ανά-κρουση και η μόνη αιτία διαπλάτυνσης της φασματικής γραμμής είναι η αρχή της αβεβαιότητας. Σύμφωνα με αυτήν το πλάτος ∆E της γραμμής και ο χρόνος ζωής ∆t του διεγερμένου πυρήνα συνδέονται με τη σχέση ∆E∼ ~/∆t και για αρκετά ευσταθή πυρήνα, όπως ο παραπάνω, μπορεί να εξασφαλιστεί πολύ μικρό πλάτος γραμμής. Αρα, το εκπεμπόμενο φωτόνιο έχει πρακτικά μία συγκεκριμμένη συχνότητα. 3ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: Το φαινόμενο M ossbauer. Η αρχή και η χρησιμότητα του φαινομένου στο πείραμα
To φωτόνιο στη συνέχεια απορροφάται από άτομο57F eστον δέκτη στην ταράτσα, ο οποίος προς το σκοπό αυτό πρέπει να κινείται πλησιάζοντας τον πομπό, που βρίσκεται στο υπόγειο του κτηρίου, με ταχύτητα v≃ gh c ≃ 10× 22.5 3× 108 m sec ≃ 7.5 × 10 −7 m sec ≃ 2.7 mm h , (27) όση χρειάζεται για να καλύψει λόγω Doppler τη μείωση που υπέστη λόγω της βαρυτικής ερυ-θρόπησης, που δίνει ο παραπάνω τύπος (23). Το πείραμα επιβεβαίωσε τον τύπο (23) της βαρυτικής ερυθρόπησης. 2.4 Ο ρυθμός ρολογιού σε πεδίο βαρύτητας Δεδομένου οτι ο αριθμός των μεγίστων του κύματος, ή ο αριθμός των ταλαντώσεων του εκ-κρεμούς δεν αλλάζει από θέση σε θέση στο πεδίο βαρύτητας, η σωστή ερμηνεία της εξάρτησης της συχνότητας από την τιμή του βαρυτικού πεδίου είναι οτι αυτό που εξαρτάται από το βαρυ-τικό πεδίο είναι ο ρυθμός ροής του χρόνου. Αν dN είναι ο αριθμός των κύκλων της ταλάντωσης σε χρόνο dτ, η κυκλική συχνότητα του σήματος είναι ω≡ 2πdN dτ . (28) Οπότε, η παραπάνω σχέση γράφεται 2πdN dτr − 2πdN dτe 2πdN dτe = Φe− Φr c2 (29) ή ισοδύναμα dτe= ( 1 +Φe− Φr c2 ) dτr ≃ ( 1 + 2Φe− Φr c2 )1/2 dτr (30) από την οποία γενικά για τις θέσεις 1 και 2 στο πεδίο βαρύτητας και για τους χρόνους τ1και τ2 που μετράνε οι αντίστοιχοι παρατηρητές ανάμεσα π.χ. σε δύο μέγιστα της ακτινοβολίας, ισχύει τ1= ( 1 +Φ1− Φ2 c2 ) τ2 ≃ ( 1 + 2Φ1− Φ2 c2 )1/2 τ2 (31) Με άλλα λόγια, ο χρόνος κυλάει γρηγορότερα εκεί που το βαρυτικό πεδίο είναι ισχυρότερο. Για παράδειγμα: οι ένοικοι του 4ου ορόφου μιάς πολυκατοικίας γερνάνε γρηγορότερα από αυτούς που κατοικούν στο ισόγειο!!! 2.5 H καμπύλωση της τροχιάς του φωτός Αφού ο χρόνος κυλάει διαφορετικά σε διαφορετικά σημεία του βαρυτικού πεδίου, οι μετρή-σεις ταχυτήτων θα εξαρτώνται από το ρολόϊ που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση των χρονικών διαστημάτων. Είπαμε παραπάνω οτι οι ιδιο-χρόνοι dτ1και dτ2, που μετράνε δύο παρατηρητές σε σημεία στα οποία το βαρυτικό δυναμικό είναι Φ(r1)και Φ(r2)αντίστοιχα, σχετίζονται με τη σχέση dτ1 = ( 1 +Φ(r1)− Φ(r2) c2 ) dτ2 (32) Φανταστείτε τη Γη και το πεδίο βαρύτητάς της, και θεωρείστε δύο σημεία με r1 = r και r2 =∞, αντίστοιχα, με Φ(∞) = 0. Ας ονομάσουμε t = τ(∞) τον ιδιοχρόνο του παρατηρητή στο άπειρο, εκεί που δεν υπάρχει βαρυτικό πεδίο, και τ τον ιδιοχρόνο στη θέση r. Τότε dτ = ( 1 +Φ(r) ) dt (33)
Φωτεινή ακτίνα που κινείται κατά την ακτινική κατεύθυνση και αλλάζει θέση από r σε r+dr, θα έχει ταχύτητα κατά τον τοπικό παρατηρητή στη θέση r ίση προς dr dτ ≡ c (34) ενώ κατά τον παρατηρητή στο άπειρο, του οποίου το ρολόϊ μετράει χρόνο t, η ταχύτητά του θα είναι c(r)≡ dr dt = ( 1 +Φ(r) c2 ) dr dτ = ( 1 +Φ(r) c2 ) c (35) Με άλλα λόγια, για τους παρατηρητές στο άπειρο γύρω από ένα σώμα (Γη, αστέρας,...) το φως κινείται σε ένα χώρο με χωρικά μεταβαλλόμενο δείκτη διάθλασης n(r)≡ c c(r) = ( 1 +Φ(r) c2 )−1 ≃ 1 −Φ(r) c2 (36) και κατά συνέπεια η τροχιά του δεν θα είναι ευθεία. Στην ειδική περίπτωση ενός αστέρα, όπου το βαρυτικό δυναμικό στο εξωτερικό του σε από-σταση r από το κέντρο του είναι Φ(r) =−GN M r (37) η τροχιά, που θα ακολουθήσει μια φωτεινή ακτίνα θα είναι καμπύλη με τα κοίλα προς τον αστέρα. Αυτό το καταλαβαίνει κανείς εύκολα, παίρνοντας μια στενή δέσμη φωτός να πέφτει στον αστέρα από μακριά. Αφού το έξω μέρος της δέσμης βρίσκεται σε μεγαλύτερο δυναμικό από ό,τι το μέσα, το έξω μέρος θα κινείται πιό γρήγορα και έτσι η δέσμη θα καμπυλωθεί προς τη μεριά του αστέρα. Mπορείτε χρησιμοποιώντας “έξυπνα” διαστατική ανάλυση να συμπεράνετε οτι η γωνία σκέ-δασης δ της φωτεινής ακτίνας θα είναι της μορφής δ = κGNM c2r min (38) Η σταθερά κ θα υπολογιστεί σε επόμενο κεφάλαιο, με βάση τις εξισώσεις της τροχιάς του φωτός σε τυχόν πεδίο βαρύτητας, που θα αποδείξουμε σε άλλο κεφάλαιο.
