A quasi-Newton algorithm to solve the matrix quadratic equation

(1)

H

Revista Integración

Es ueladeMatemáti as

UniversidadIndustrialdeSantander

Vol. 34,No. 2,2016,pág. 187206

Un algoritmo uasi-Newton para resolver

la e ua ión uadráti a matri ial

Mauri io Ma ías

a ∗

, Hé tor J. Martínez

b

, Rosana Pérez

a

UniversidaddelCau a,DepartamentodeMatemáti as,Popayán,Colombia.

b

UniversidaddelValle,DepartamentodeMatemáti as,Cali,Colombia.

Resumen. Eneste artí uloproponemos unalgoritmo uasi-Newtonpara

re-solverunae ua ión uadráti amatri ial, el ualredu eel osto

omputa io-nal del método Newton-S hur, tradi ionalmente usado para resolver di ha

e ua ión.Demostramosqueelalgoritmopropuestoeslo alyhasta

uadráti- amente onvergente.Presentamospruebasnuméri asquerati anlos

resul-tadosteóri osdesarrollados.

Palabras lave:Fun ión uadráti amatri ial,operadordeFré het

diferen ia-ble,métododeNewton-S hur, onvergen ia uadráti a.

MSC2010:65H10,49M15,90C53,15A24,39B42.

A quasi-Newton algorithm to solve the matrix

quadrati equation

Abstra t. In this paper we propose a quasi-Newton algorithm to solve a

matrixquadrati equation,whi hredu esthe omputational ostof

Newton-S hur method, traditionally used to solve this equation. We show that the

proposed algorithmis lo aland upto quadrati ally onvergent. Wepresent

somenumeri altestswhi h onrmthetheoreti alresultsdeveloped.

Keywords: matrix uadrati equation,Fré hetderivativeoperator,

Newton-S hurmethod,quasi-Newtonmethod, uadrati onvergen e.

1. Introdu ión

Una de las e ua iones matri iales no lineales más sen illas es la e ua ión uadráti a

matri ial

Q(X) = AX

2 _{+ BX + C =}

O

,

(1)

0

∗

E-mail:mauroma uni au a.edu. o

Re ibido:01dejuliode2016,A eptado:17denoviembre2016.

Para itaresteartí ulo:M.Ma ías,H.J.Martínez,R.Pérez,Unalgoritmo uasi-Newtonpararesolverla e ua ión uadráti amatri ial,Rev.Integr.TemasMat.34(2016),No.2,187206.

(2)

on

A, B, C ∈ C

n×n

_.

Estae ua iónapare eenunagranvariedaddeapli a iones, omo

elproblemade los valorespropios uadráti o [16℄,[17℄,[32℄yproblemasesto ásti os [29℄,

y surge en áreasde estudio omo elanálisis dinámi o de me áni a estru tural y

siste-mas a ústi os [3℄,[30℄, simula ión de ir uitos elé tri os [21℄, me áni a de uidos [28℄,

pro esamiento de señales [6℄,[19℄, problemas de vibra ión y modelamiento de sistemas

me áni osmi roele tróni os [5℄,[20℄,[36℄.

Unamatriz solu ión

X

delae ua ión(1)sellamaunsolvente [2℄,[9℄,[16℄,[20℄,[32℄.Un resultadoimportantesobrelaexisten iadesolventesesqueelTeoremaFundamentaldel

Algebra noseextiende apolinomiosmatri iales.Un ejemplo deellosepresenta uando

A = I

n

, B =

O

∈ R

n×n

y

C = −D,

donde

D

esunamatrizsingular[18℄.

Un aso parti ular de la e ua ión (1), en el que existe una fórmula errada para sus

solventes tal omo su ede on lafórmula uadráti a es alar, setiene uando

A = I

n

,

las matri es

B

y

C

onmutanyla raíz uadradade

B

2 _{− 4C}

existe. En este aso,el

solvente estádadaporlamatriz

X =

1

2 h

−B + (B

2 − 4C)

1/2

i

,

(2) donde

(B

2 _{− 4C)}

1/2

denotalaraíz uadradade

B

2 _{− 4C}

[17℄.

Una ompleta are teriza ión de los solventes de (1) en términosde la generaliza ión

de lades omposi iónde S hur sepresentaen [16℄. Allísedes riben y omparan varias

té ni asnuméri asdesolu ióny,apartirdetrabajosanteriores,serealizaelpro esode

generaliza iónyuni a ión.

Con respe to a la solu ión numéri a de la e ua ión uadráti a matri ial, se desta an

algoritmos basados en la des omposi ión de S hur [7℄,[16℄, algoritmos basados en sus

propiedadesteóri as[7℄,[22℄,[29℄,[35℄,algoritmostipoNewton[10℄,[17℄ yre ientemente

algoritmosse antes [24℄,[25℄,[26℄.

Casos parti ulares de la e ua ión (1) han dado lugar al desarrollo de algoritmostipo

Newton ydesurespe tivateoríade onvergen ia[15℄,[16℄,[23℄.Un ejemplode elloesel

estudioyanálisisde onvergen iadelae ua ión

X

2 _{− A =}

O,realizadosen[14℄y[15℄.

En general,el método deNewton para resolverproblemasmatri ialesno lineales,y en

parti ular para resolverlae ua iónmatri ial (1),ha tenidounpapel entral en uanto

amétodosnuméri ossereere;perohayque desta arquelamayoríade losalgoritmos

tipoNewton propuestospara resolverlae ua ión uadráti aestán ligadosaproblemas

uadráti os parti ularesquesurgenenapli a ionesespe í as[4℄,[10℄.

Con el objetivo de redu ir el osto omputa ional que representa la solu ión de (1)

mediante el tradi ionalmétodo deNewton basado enla des omposi ión S hur [7℄,[16℄,

en este artí ulo proponemos un algoritmo uasi-Newton que onsiste en una itera ión

de Newtonsimpli ada pararesolverlae ua ión uadráti amatri ial(1),ybajo iertas

hipótesisdemostramosqueelalgoritmorespe tivo onvergelo alyhasta uadráti amente

aunsolvente de(1).

Organizamos esteartí uloen lasiguiente forma.En laSe ión 2presentamosen forma

des riptiva el método de Newton para resolver la e ua ión (1), y omo alternativa a

(3)

Además, presentamos unlematé ni oque usaremosenel desarrolloteóri ode nuestra

propuesta.EnlaSe ión3,bajo iertashipótesis,mostramosqueelalgoritmopropuesto

eslo alyhasta uadráti amente onvergente.EnlaSe ión4exploramosnuméri amente

el omportamiento lo al del algoritmopropuesto. Finalmente,enla Se ión5 ha emos

algunos omentariosnalesypropuestasdetrabajosfuturossobre eltema.

2. La itera ión de Newton simpli ada para la e ua ión uadráti a

matri ial

Una itera ióndelmétodode Newtonpara resolver(1) puede expresarseen lasiguiente

forma

L

X

k

(S

k

) = −Q(X

k

),

(3)

X

k+1

= X

k

+ S

k

,

(4)

donde

L

X

k

(S

k

)

denotaladerivadadeFré hetde

Q

en

X

k

enladire ión de

S

k

[14℄. La derivada Fré het de

Q

en

X

en la dire ión de

S

satisfa e [24℄ que, para toda

S ∈ C

n×n

_,

Q(X + S) = Q(X) + L

X

(S) + R(S),

(5) on

l´ım

kSk→0

kR(S)k

kSk

= 0.

Evaluando

Q

en

X + S,

tenemosque

Q(X + S) = A(X + S)

2 + B(X + S) + C

= Q(X) + (ASX + (AX + B)S) + AS

2 ;

(6)

porlotanto,

L

X

(S) = ASX +(AX +B)S.

Así,dadaunamatrizini ial

X

0 ,

unaitera ión del métododeNewtonpararesolverlae ua ión uadráti a matri ial(1)estádadapor

AS

k

X

k

+ (AX

k

+ B)S

k

= −Q(X

k

),

X

k+1

= X

k

+ S

k

.

(7)

Observemos que en ada itera ión se debe resolver un aso parti ular de la e ua ión

ASB + CSD = E

( ono ida omo lae ua ión de Silvester generalizada [12℄,[17℄) para en ontrarlamatriz

S

k

.

Laformausualderesolverestetipodee ua iónesatravésdela des omposi ióngeneralizadadeS hur[11℄delasmatri es

A

y

AX + B,

la ualesmuy ostosa omputa ionalmente[17℄. Esta versióndelmétodode Newtonpara resolver(1)

se ono e omo elmétodode Newton-S hur, yaque utilizael algoritmo de S hur para

al ularla solu ión

S

k

delae ua ión(7), loqueha eque elmétodo deNewton-S hur sea ex esivamente ostoso.

Por otro lado, es natural intentar simpli ar la itera ión (7). Con este propósito,

(4)

itera ióndeNewton(7),obtenemoslasiguienteitera ión

(2AX

k

+ B)S

k

= −Q(X

k

),

X

k+1

= X

k

+ S

k

.

(8)

Así,dadaunamatrizini ial

Y

0 ,

laitera ióndeNewtonsimpli adalapodemosexpresar omo

Y

k+1

= (2AY

k

+ B)

−1

(AY

k

2 − C),

(9)

la ualdeneelmétodo uasi-Newton queestamosproponiendopararesolverlae ua ión

(1). Ahora,nuestro interésesmostrar quelaitera ión (9)está biendenida yanalizar

su onvergen ia.Previo aesto, presentaremosamanerade preliminar,unresultado de

álgebralineal numéri aqueda una ondi iónsu iente para lano singularidaddeuna

matriz yuna otaparasuinversa[11℄,[34℄.

Lema 2.1 ([8℄). Sean

k · k

una normamatri ial indu ida en

C

n×n

_,

tal que

k

I

n

k = 1

y

F ∈ C

n×n

_.

Si

kF k < 1,

enton es

(I

n

− F )

−1

existe y

(

I

n

− F )

−1

≤

1 1 − kF k

·

3. Hipótesis y onvergen ia de la itera ión de Newton simpli ada

Para los resultados de onvergen ia que presentamos en esta se ión asumiremos las

siguientes hipótesis generales. Las tres primeras son análogas a las hipótesis

genera-les usadas para probar onvergen ia lo al de algoritmos uasi-Newton para sistemas

de e ua iones ve toriales [8℄. La uartahipótesis puede verse omo una versión

matri- ial de la ondi ión tipo Dennis-Moré [8℄ para onvergen ia superlineal de algoritmos

uasi-Newton.Cabemen ionarque,paralapruebade onvergen ialo aldelmétodode

Newton-S hurseusanhipótesisanálogasalashipótesisestándardel asove torial[15℄,

dosdelas ualessonlashipótesisH1yH2,quemen ionamosaseguir.

H1.

Q : C

n×n

_{−→ C}

n×n

esFré het diferen iable en un onjunto

D ⊂ C

n×n

abiertoy

onvexo.

H2. Existe

X

∗

∈ D

talque

Q(X

∗

) =

O.

H3. Lamatriz

2AX

∗

+ B

esnosingulary

β

eslanormadesumatrizinversa,estoes,

(2AX

∗

+ B)

−1

= β.

H4. Existe

θ ∈ [0, 1]

talque

l´ım

kSk→0

kL

X

∗

(S) − (2AX

∗

+ B)Sk

(5)

Equivalentemente,existe

θ ∈ [0, 1]

talqueparatodo

γ > 0,

existe

ǫ

0 > 0

talque

kL

X

∗

(S) − (2AX

∗

+ B)Sk

kSk

1+θ

< γ,

siempreque

kSk < ǫ

0 .

El lema siguiente garantiza que existe una ve indad del solvente

X

∗

de la e ua ión uadráti amatri ial(1)talquepara adamatriz

Z

enestave indad,lamatriz

2AZ +B

esnosingularyestáa otada.

Lema 3.1. Sea

Q : C

n×n

_{−→ C}

n×n

unafun ión uadráti amatri ial que satisfa e las

hipótesis H1a H3. Existeuna onstantepositiva

ǫ

1

talquesi

kZ −X

∗

k < ǫ

1 ,

enton es la matriz

(2AZ + B)

esnosingulary

(2AZ + B)

−1

≤ 2β.

Demostra ión. Sea

k · k

unanormamatri ial indu idaen

C

n×n

ysea

ǫ

1 ≤

1 4β kAk

.

(10)

Supongamosque

kZ − X

∗

k < ǫ

1 .

Enton es,

(2AX

∗

+ B)

−1

(2AZ + B) −

I

n

=

(2AX

∗

+ B)

−1

[(2AZ + B) − (2AX

∗

+ B)]

≤ 2

(2AX

∗

+ B)

−1

kAk kZ − X

∗

k

= 2β kAk kZ − X

∗

k ≤ 2β kAk ǫ

1 ≤ 2

β kAk

4β kAk

=

1

2

·

Así,

1 −

(2AX

∗

+ B)

−1

(2AZ + B) −

I

n

≥ 1/2.

(11)

PorelLema2.1yusando(11),lamatriz

(2AZ + B)

esnosingulary estáa otadapor

2β.

Enefe to,

(2AZ + B)

−1

≤

(2AX

∗

+ B)

−1

1 − k(2AX

∗

+ B)

−1

[(2AZ + B) − (2AX

∗

+ B)]k

≤

(2AX

∗

+ B)

−1

1

2 = 2β·

(12)

X

El siguiente teoremagarantizaque laitera ión(9) estábien denida y onverge

lineal-mente aunsolvente

X

∗

si

θ = 0;

superlinealmentesi

θ ∈ (0, 1),

y uadráti amentesi

(6)

Teorema3.2. Sea

Q : C

n×n

_{−→ C}

n×n

unafun ión uadráti amatri ialquesatisfa elas

hipótesis H1a H4. Existen onstantespositivas

ǫ

2

y

µ

tales que,si

kY

0 − X

∗

k < ǫ

2 ,

enton esparatodo

k = 0, 1, 2, . . .

setiene:

2AY

k

+ B

esno singular; (13)

kY

k+1

− X

∗

k ≤

2

3 kY

k

− X

∗

k ,

para

θ = 0;

(14)

kY

k+1

− X

∗

k < µ kY

k

− X

∗

k

1+θ

,

para

0 < θ ≤ 1.

(15) Demostra ión. Sea

k · k

una norma matri ial indu ida en

C

n×n

_.

La demostra ión la

haremos por indu iónendos asos,dependiendodelvalordela onstante

θ.

1. Para

θ = 0.

Sean

γ

yel orrespondiente

ǫ

0

(verH4)talesque

γ ≤

1 12β

.

Denimos

ǫ

2 = m´ın {ǫ

0 , ǫ

1 } ,

(16)

donde

ǫ

1

estádadoenelLema3.1. a) Para

k = 0.

Porhipótesis,tenemosque

kY

0 − X

∗

k < ǫ

2 ,

ydadoque

ǫ

2 ≤ ǫ

1 ,

setiene que

kY

0 − X

∗

k < ǫ

1 .

ElLema3.1garantizaquelamatriz

2AY

0 + B

esnosingular y

(2AY

0 + B)

−1

≤ 2β,

onlo ualseprueba(13).En onse uen ia,

Y

1

está biendenido,yde(9)setiene

Y

1 − X

∗

= (2AY

0 + B)

−1

(AY

0

2 − C) − X

∗

.

Sumandoy restando

AX

2 ∗

, BY

0

y

C

y teniendoen uenta que

Q(X

∗

) =

O (

−C = AX

2 ∗

+ BX

∗

),tenemosque

Y

1 − X

∗

= (2AY

0 + B)

−1

AY

0

2 − C − (2AY

0 + B)X

∗

= (2AY

0 + B)

−1

Q(Y

0 ) − Q(X

∗

) − 2AY

0 X

∗

+ AX

∗

2 − BY

0 − C

= (2AY

0 + B)

−1

[Q(X

0 ) − Q(X

∗

) − L

X

∗

(Y

0 − X

∗

)

+ (2AX

∗

+ B)(Y

0 − X

∗

) − L

X

∗

(Y

0 − X

∗

)]

= (2AY

0 + B)

−1

A(Y

0 − X

∗

)

2 + (2AX

∗

+ B)(Y

0 − X

∗

) − L

X

∗

(Y

0 − X

∗

)] .

(17)

Para una normamatri ial indu iday onsistente,usandoH4, ladesigualdad

triangulary(16)en(17),tenemos

kY

1 − X

∗

k ≤

(2AY

0 + B)

−1

A(Y

0 − X

∗

)

2 + kL

X

∗

(Y

0 − X

∗

) − (2AX

∗

+ B)(Y

0 − X

∗

)k]

<

(2AY

0 + B)

−1

h

kAk kY

0 − X

∗

)k

2 + γ kY

0 − X

∗

k

i

≤

(2AY

0 + B)

−1

h

kAk kY

0 − X

∗

k + γ

i

kY

0 − X

∗

k

< 2β

h

kAk ǫ

2 + γ

i

kY

0 − X

∗

k ≤ 2β

h

1 4β

+

1 12β

i

kY

0 − X

∗

k

≤

2 ₃

kY

0 − X

∗

k ,

(18)

(7)

lo ualpruebaque

kY

1 − X

∗

k < ǫ

2 .

b) Hipótesis indu tivas: Supongamos que (13) y (14) se satisfa en para todo

k = 0, 1, 2, . . . , i − 1.

Delo ualsetieneque

2AY

i−1

+ B

esnosingular, (19)

Y

i

estábien denida, (20)

kY

i

− X

∗

k ≤

2

3 kY

i−1

− X

∗

k .

(21) Además,de(21)tenemos

kY

i

− X

∗

k <

2

3 i

kY

0 − X

∗

k < ǫ

2 .

(22)

) Paso deindu ión: Probemosque (13)y(14)se umplenpara

k = i.

Por (22) se tiene que

kY

i

− X

∗

k < ǫ

2 ;

usando el Lema 3.1, se tiene que la matriz

2AY

i

+ B

esnosingular on

(2AY

i

+ B)

−1

≤ 2β.

Porotrolado,teniendoen uenta(20)ymedianteunpro esoanálogoal

utili-zadopara a otar

kY

1 − X

∗

k ,

sedemuestraque

kY

i+1

− X

∗

k ≤

2

3 kY

i

− X

∗

k .

(23)

Conlo ualse ompletalademostra iónparaeste aso.

2. Para

0 < θ ≤ 1.

Sean

γ

yel orrespondiente

ǫ

0

(verH4)talesque

γ ≤

kAk

θ

(8β)

1−θ

.

Tomemos

ǫ

2 = m´ın

n

ǫ

0 ,

ǫ

1

2 o

,

(24)

donde

ǫ

1

estadadoenelLema3.1.

a) Para

k = 0.

Por hipótesis, sabemos que

kY

0 − X

∗

k < ǫ

2 ;

de (24)tenemos que

ǫ

2 < ǫ

1 ;

en onse uen ia

kY

0 − X

∗

k < ǫ

1 .

Así, porel Lema 3.1, garantizamos que la matriz

2AY

0 +B

esnosingulary

(2AY

0 + B)

−1

≤ 2β,

onlo ualseprueba (13).En onse uen ia,

Y

1

estábiendenido,yde(9)setiene

Y

1 − X

∗

= (2AY

0 + B)

−1

(AY

0

2 − C) − X

∗

.

(8)

denida,ladesigualdadtriangular,yteniendoen uenta que

ǫ

2 ≤ ǫ

θ

2 ,

tenemos

kY

1 − X

∗

k ≤

(2AY

0 + B)

−1

A(Y

0 − X

∗

)

2 + kL

X

∗

(Y

0 − X

∗

) − (2AX

∗

+ B)(Y

0 − X

∗

)k]

<

(2AY

0 + B)

−1

h

kAk kY

0 − X

∗

)k

2 + γ kY

0 − X

∗

k

1+θ

i

(25)

≤

(2AY

0 + B)

−1

h

kAk kY

0 − X

∗

k + γ kY

0 − X

∗

k

θ

i

kY

0 − X

∗

k

< 2β

h

kAk ǫ

2 + γǫ

θ

2 i

kY

0 − X

∗

k

≤ 2β

h

1 8β

+ γ

₁

8β kAk

θ

_i

kY

0 − X

∗

k ≤ 2β

h

1 8β

+

1 8β

i

kY

0 − X

∗

k

≤

1

2 kY

0 − X

∗

k .

(26)

Lo ualpruebaque

kY

1 − X

∗

k < ǫ

2 .

Porotraparte,de(25)setiene

kY

1 − X

∗

k ≤

(2AY

0 + B)

−1

h

kAk kY

0 − X

∗

k

1−θ

+ γ

i

kY

0 − X

∗

k

1+θ

< 2β

h

kAk ǫ

1−θ

2 + γ

i

kY

0 − X

∗

k

1+θ

< 2β

h

kAk

₁

8β kAk

1−θ

+

kAk

θ

(8β)

1−θ

i

kY

0 − X

∗

k

1+θ

≤

1 ₂

(8β kAk)

θ

kY

0 − X

∗

k

1+θ

= µ kY

0 − X

∗

k

1+θ

,

(27) donde

µ =

1

2 (8β kAk)

θ

_{> 0.}

b) Hipótesis indu tivas: Supongamos que (13) y (14) se satisfa en para todo

k = 0, 1, 2, . . . , i − 1.

Delo ualsetieneque

2AY

i−1

+ B

esnosingular, (28)

Y

i

estábien denida, (29)

kY

i

− X

∗

k <

2

3 kY

i−1

− X

∗

k .

(30) Además,de(21)tenemos

kY

i

− X

∗

k <

2

3 i

kY

0 − X

∗

k < ǫ

2 .

(31)

) Paso deindu ión: Probemosque (13)y(14)se umplenpara

k = i.

Por (31), se tieneque

kY

i

− X

∗

k < ǫ

2 ;

usando el Lema 3.1, se tiene que la matriz

2AY

i

+ B

esnosingular on

(2AY

i

+ B)

−1

≤ 2β.

Porotrolado,teniendoen uenta(29)ymedianteunpro esoanálogoal

utili-zadopara a otar

kY

1 − X

∗

k ,

sedemuestraque

kY

i+1

− X

∗

k <

1

2 kY

i

− X

∗

k ,

(32)

(9)

donde

µ =

1

2 (8β kAk)

θ

_.

Conlo ualse ompletalademostra ión.

X

En general, el Teorema 3.2 garantiza la onvergen ia de la itera ión (9) a un solvente

X

∗

de lae ua ión (1)para problemasen los uales

θ ∈ [0, 1];

enparti ular, si

θ = 0

tenemos onvergen ia lineal; para

θ ∈ (0, 1),

onvergen ia superlineal; y si

θ = 1,

la onvergen iaes uadráti a.

Antesdenalizarestase iónpresentamosunresultadoquegarantizaquelaitera iones

(7) y(9)sonigualesbajo iertashipótesisde onmutatividad.

Lema 3.3. Consideremos las itera iones (7) y (9). Supongamos que la matriz ini ial

X

0 = Y

0

onmuta on

A, B

y

C;

que las matri es

A, B

y

C

onmutan entre sí y que la itera ión de Newton (7) estábien denida. Enton es la matriz

X

k

onmuta on

A, B

y

C

,y

X

k

= Y

k

paratodo

k = 0, 1, 2, . . .

Demostra ión. Probaremospor indu iónenforma onjuntaque

AX

k

= X

k

A, BX

k

= X

k

B

y

CX

k

= X

k

C,

(34)

X

k

= Y

k

,

(35)

para todo

k = 0, 1, 2, . . .

a) Para

k = 0,

(34)y(35)soninmediatasporhipótesis.

b) Hipótesis indu tivas: Supongamos que (34) y (35) se satisfa en para

k = 0, 1, 2, . . . , i − 1.

Lo ual impli a que las matri es

A, B

y

C

también on-mutan on

(2AX

k

+ B) = (2AY

k

+ B)

yportanto, onmutan on

(2AX

k

+ B)

−1

_;

además,setieneque

X

k

(2AX

k

+ B) = (2AX

k

+ B)X

k

.

Portanto,

X

k

(2AX

k

+ B)

−1

= (2AX

k

+ B)

−1

X

k

.

(36) Denimospara

k = 0, 1, 2, . . . , i − 1,

F

k

= −(2AX

k

+ B)

−1

(AX

k

2 + BX

k

+ C).

(37) Usando(36),tenemos

AF

k

X

k

= −A(2AX

k

+ B)

−1

(AX

k

2 + BX

k

+ C)X

k

= −A(2AX

k

+ B)

−1

(AX

k

3 + BX

k

2 + CX

k

)

= −A(2AX

k

+ B)

−1

X

k

(AX

k

2 + BX

k

+ C)

= −AX

k

(2AX

k

+ B)

−1

(AX

k

2 + BX

k

+ C)

(10)

Probemosahoraque

L

X

k

(F

k

) = L

X

k

(S

k

).

En efe to,de(38)tenemosque

L

X

k

(F

k

) = AF

k

X

k

+ (AX

k

+ B)F

k

= AF

k

X

k

+ AX

k

F

k

+ BF

k

= 2AX

k

F

k

+ BF

k

= (2AX

k

+ B)F

k

= −(2AX

k

+ B)(2AX

k

+ B)

−1

(AX

k

2 + BX

k

+ C)

= −(AX

k

2 + BX

k

+ C) = −Q(X

k

).

(39)

Luego

F

k

essolu iónde(7);porlotanto

F

k

= S

k

para

k = 0, 1, 2, . . . , i − 1.

) Paso de indu ión: Probemosque(34)y(35)se umplenpara

k = i.

A tualizandoelpaso deNewtonen(7),tenemos:

X

i

= X

i−1

+ F

i−1

= X

i−1

− (2AX

i−1

+ B)

−1

(AX

i−1

2 + BX

i−1

+ C)

= (2AX

i−1

+ B)

−1

(2AX

i−1

+ B)X

i−1

− AX

i−1

2 − BX

i−1

− C

= (2AX

i−1

+ B)

−1

2AX

i−1

2 + BX

i−1

− AX

i−1

2 − BX

i−1

− C

= (2AX

i−1

+ B)

−1

AX

i−1

2 − C

= Y

i

,

(40)

lo ualdemuestra (35).Veamos ahoraque(34)se umple para

k = i.

Usando(40) tenemos

AX

i

= A(2AX

i−1

+ B)

−1

(AX

i−1

2 − C) = (2AX

i−1

+ B)

−1

A(AX

i−1

2 − C)

= (2AX

i−1

+ B)

−1

(AX

i−1

2 − C)A = X

i

A.

Así,

X

i

onmuta on

A

, y de forma análoga se prueba que

BX

i

= X

i

B

y

CX

i

= X

i

C.

Conlo ualse ompletalademostra ión.

X

Observa ión:paraunamatrizini ial

Y

0

quesatisfagalashipótesisdelLema3.3yque se en uentre en laregión de onvergen ia dadapor elTeorema3.2, tendríamosque la

su esión generadapor(9) onverge uadráti amenteaunsolventede

X

∗

.

Eneste aso,

L

X

∗

(S) = (2AX

∗

+ B)S,

ylahipótesisH4se umplepara

θ = 1.

4. Experimentos numéri os

En esta se ión analizamosnuméri amente el omportamiento lo al del método

uasi-Newton propuestoen(9).Paraello, onsideramosdose ua ionesmatri ialesydos

pro-blemasdeapli a ión;unodeestosesunsistema masa-resorte amortiguador [16℄,[24℄, y

elotroesunproblema deruido de Wiener-Hopf [1℄,[13℄.

Es ribimos los ódigos del algoritmo y de las fun iones que denen los problemas en

Matlab

r

y realizamoslos experimentos numéri os en un omputador Intel(R) Core

(TM) i5-3450de2,8GHz.

Lasmatri esini ialessonde laforma

X

0 = 10

p

I

n

,

donde

p ∈ Z

y I

n

denotalamatriz identidad deorden

n.

El riteriodeparadaeselsugeridoen[16℄,[27℄,[32℄.Usamos

(11)

Res(X

k

) =

kQ(X

k

)k

F

kAk

F

kX

k

2 F

+ kBk

F

kX

k

F

+ kCk

F

,

(41)

y de laramos onvergen ia si

Res(X

k

) < n ∗ eps,

donde

eps

denota el épsilon de la máquina, que en nuestro aso, orrespondea

eps = 2

,

22044604925031 × 10

−16

[16℄ y

n

el ordende las matri esen la e ua ión (1). De laramosdivergen ia si el número de itera ionesesmayorque

200.

Con el propósito de omparar el desempeño de nuestra propuesta algorítmi a,

imple-mentamos también losmétodosse ante yNewton-S hur; Elprimero,unmétodo

uasi-Newton queusaunaaproxima iónse antealamatriz

L(X, S)

[24℄,[25℄,[27℄;elsegundo, usaelalgoritmo de S hur paraen ontrar

S

k

en(7) [7℄,[16℄, que onsisteen al ularla des omposi ióngeneralizada de S hur delasmatri es

A

y

AX + B

[11℄.

Los resultados obtenidos los presentamos en 4 tablas. Para los problemas, ada tabla

tiene uatro olumnas onlasiguienteinforma ión: laprimera olumnaindi alamatriz

ini ialutilizada

(X

0 )

;lasegunda olumnaindi aelnúmerodeitera iones

(N )

;later era olumna ha e referen ia alvalor de Res denido por (41)

(Res),

y la uarta olumna indi a el tiempo de eje u ión medido en segundos

(tiempo);

para medir el tiempo y quitar el efe to aleatorio de los omputadores multitareas, realizamos el promedio de

repetir

100

ve eselalgoritmo onlamismamatriz ini ial.

Además, alnalizarestase ión, presentamosuna tabla que ontiene losresultados de

un experimento teóri o y numéri o donde, para ada problema onsiderado, primero

en ontramos el valor del parámetro

θ

para determinar el tipo de onvergen ia teóri a (Teorema3.2) y, segundo,determinamos la onvergen ia numéri aha iendo el análisis

deerrorrespe tivo.

Problema1. Cal ularunsolventede

Q(X) = AX

2 _{+ BX + C =}

O

,

donde

A =

"

2

2 −2 2

#

, B =

"

−1 −1

1 −1

#

y

C =

"

0 1

−1 0

#

.

En este asolasmatri es

A, B

y

C

onmutanentresí.Un solventedelae ua iónes

X

∗

=

"

0

1 ₂

−

1

2

0 #

.

En el Cuadro 1 presentamos los resultados obtenidos al apli ar los tres algoritmos al

(12)

Método uasi-Newton propuesto

X

0 N

Res

tiempo

10 −2

I

2

7 2,57074828832357e-017 0,000509

10 −4

I

2

7 6,60437193294431e-017 0,000444

10 −5

I

2

7 5,63222730873046e-017 0,000448

10 −10

I

2

7 0 0,000483

10 −15

I

2

7 5,14149657664714e-017 0,000645

10 −20

I

2

7 0 0,000352 Métodode Newton-S hur

X

0 N

Res

tiempo

10 −2

I

2

41 1,69980707267349e-015 0,006028

10 −4

I

2

35 2,03661033158416e-015 0,004995

10 −5

I

2

33 7,90186303390576e-016 0,004934

10 −10

I

2

19 8,22719784225286e-016 0,003160

10 −15

I

2

6 7,49407299022261e-016 0,000784

10 −20

I

2

3 2,22038849852706e-016 0,000608 Métodose ante

X

0 N

Res

tiempo

10 −2

I

2

11 0 0,001350

10 −4

I

2

11 5,14149657664714e-017 0,001951

10 −5

I

2

11 2,57074828832357e-017 0,001562

10 −10

I

2

11 1,14967358514655e-017 0,001690

10 −15

I

2

11 1,14967358514655e-017 0,001557

10 −20

I

2

11 0 0,002113

Cuadro1:Resultadospara elProblema1.

Observemosque en todos los asos seobtiene onvergen ia al solvente

X

∗

.

Para este problema,eldesempeñodelmétodo uasi-Newton propuesto esmejorqueelde

Newton-S hur yelmétodo se ante en uantoanúmerodeitera ionessereere.Resaltamosque,

además,eltiempodeeje u ióndemétodo uasi-Newtonpropuestoesmenorqueeltiempo

empleadoporlosotrosmétodos.Enefe to,paraesteejemplo,esteesaproximadamente

un

14 %

deltiempoqueusaelmétododeNewton-S hur yun

35 %

deltiempoqueusa elmétodo se ante.

(13)

Problema2 ([17℄).Cal ularunsolventede

Q(X) = AX

2 _{+ BX + C =}

O, donde

A =

"

1

0

1 #

, B =

"

−1 −1

1 −1

#

y

C =

"

0

1 −1 0

#

.

Para este problema, lasmatri es

A, B

y

C

onmutan entre sí. La e ua ióntiene dos solventesreales,

X

∗

1 =

"

1

0

1 #

y

X

2 ∗

=

"

0

1 −1 0

#

.

LosresultadosobtenidoslospresentamosenelCuadro2.

X

0 N

Res

tiempo

10 −1

_I

2

9 0 0,000634

10 −2

I

2

12 0 0,000917

10 −4

I

2

19 0 0,001137

10 −5

I

2

22 0 0,001515

10 −6

I

2

26 0 0,001564 Métodode Newton-S hur

X

0 N

Res

tiempo

10 −1

_I

2

8 3,5108334685767e-017 0,001404

10 −2

I

2

8 3,84592537276713e-017 0,001175

10 −4

I

2

8 4,44089209850063e-017 0,001412

10 −5

I

2

8 4,44089209850063e-017 0,001649

10 −6

I

2

8 2,22044604925031e-017 0,001518 Métodose ante

X

0 N

Res

tiempo

10 −1

_I

2

13 6,2803698347351e-017 0,002255

10 −2

I

2

15 0 0,002880

10 −4

I

2

15 2,71947991102104e-017 0,002172

10 −5

I

2

15 0 0,002171

10 −6

I

2

15 1,57009245868377e-017 0,001641 Cuadro2:Resultadospara elProblema2.

(14)

Enesteejemplo, adaunodelosmétodosutilizados onvergealsolvente

X

1 ∗

.

Observamos que, dependiendodel valor delapoten iade 10en lamatriz ini ial, la onvergen iase

ha eligeramentemáslentaenelmétodo uasi-Newtonpropuesto onrespe toalosotros

métodosen uantoanúmerodeitera ionessereere;peroresaltamosqueeltiempode

eje u ión del método uasi-Newton propuesto es aproximadamente el

48 %

del tiempo queusaelmétododeNewton-S hur yel

35 %

delqueusaelmétodo se ante.

En losdos problemassiguientes,las matri es

B

y

C

no onmutan; esde ir, vamos a analizarel omportamientodelmétodo uasi-Newtonpropuestoparael ualnose umple

una delashipótesisdelLema3.3.

Problema 3.Sistemamasa-resorteamortiguador one tado [16℄,[24℄,[27℄,[31℄.

κ

1 τ

1 m

1 k

1 d

1 x

1 · · ·

· · ·

κ

i

τ

i

m

1 k

i

d

i

x

i

k

i−1

d

i−1

· · ·

κ

n

τ

n

m

1 k

n−1

d

n−1

x

n

Figura1.Sistemamasa-resorteamortiguador one tado.

Enesteproblemase onsideraunsistemamasa-resorteamortiguador[33℄,dondelamasa

i-ésima depeso

m

i

está one tadaasu

(i + 1)

ve inoporunresorteyunamortiguador on onstantes

κ

i

y

d

i

,

respe tivamente. La masa i-ésima también está one tada a tierra porunresorte y unamortiguador on onstantes

κ

i

y

τ

i

,

respe tivamente (ver Figura 1). La vibra ión de este sistema está des rita por una e ua ión diferen ial de

segundoorden

A

d

2 _x

dt

2 + B

dx

dt

+ Cx = 0,

donde

A = diag(m

1 , . . . , m

n

)

es la matriz de las masas,

B = tridiag(−τ

i

, 3τ

i

, −τ

i

)

es la matriz de amortigua ión y

C = tridiag(−κ

i

, 3κ

i

, −κ

i

)

es la matriz de rigidez, respe tivamente.

En laspruebasnuméri as,tomamos

n = 10, m

i

= 1,

paratodo

i,

losresortes ylos amortiguadores onun mismo valor onstante;esde ir,

κ

i

= κ = 5

y

τ

i

= τ = 10,

para todo

i,

ex epto

B(1, 1) = B(n, n) = 2τ = 20.

(15)

X

0 N

Res

tiempo

10 −1

I

10

8 6,01162776560417e-017 0,000869

10 −2

I

10

9 1,1900844327981e-015 0,000965

10 −4

I

10

9 1,15763568151991e-015 0,000874

10 −8

I

10

9 1,15719882431618e-015 0,000937

10 −10

I

10

9 1,15719891909909e-015 0,000947 Métodode Newton-S hur

X

0 N

Res

tiempo

10 −1

I

10

6 2,47165569954525e-017 0,003472

10 −2

I

10

5 1,80436425295183e-015 0,002878

10 −4

I

10

6 3,13323221652392e-017 0,003546

10 −8

I

10

5 1,31401644418059e-015 0,002802

10 −10

I

10

6 2,31236752049169e-017 0,003407 Métodose ante

X

0 N

Res

tiempo

10 −1

I

10

n matrizsingular

-10

−2

I

10

12 1,09115415620959e-016 0,002581

10 −4

I

10

12 2,96191146017478e-015 0,002478

10 −8

I

10

15 9,2448388308868e-016 0,002764

10 −10

I

10

14 1,68473486378222e-015 0,002732

Cuadro3:Resultadospara elProblema3.

En elCuadro3 presentamoslosresultadosobtenidos porlostresmétodos.Observamos

que,paralasdiferentesmatri esini iales,losmétodosdeNewton-S huryel uasi-Newton

propuesto onvergenentodoslos asos onsiderados;elmétodose ante onvergepara asi

todaslasmatri esini iales,ex eptoparalamatriz

X

0 = 10

−1

I

10 .

En esteproblema,el métododeNewton-S hurtienemejordesempeñoen uantoanúmerodeitera iones on

respe toalosotrosmétodos.En uantoaltiempodeeje u ión,resaltamosqueelmétodo

uasi-Newton propuesto empleaaproximadamenteel

38 %

deltiempoqueusaelmétodo se ante yel

28 %

deltiempoqueusaelmétododeNewton-S hur.

(16)

Problema 4.Problemasde ruido Wiener-Hopf[1℄,[13℄.

EnelestudiodeCadenasdeMárkovparaproblemasdeRuidoWiener-Hopf,ne esitamos

en ontrarmatri es

Z

∗

quetenganelementosfueradeladiagonalprin ipalnonegativos, yquelasumadelas omponentesdesuslasseamenoroiguala ero,paraunamatriz

diagonal

V

yunnúmeropositivo

ǫ

dadosquesatisfa en

1

2 ǫ

2 _Z

2 ∓ V Z + Q =

O

,

(42)

donde

V

tieneelementospositivosynegativos;elnúmero

ǫ

se ono e omoelnivelde ruido delmovimientoBrownianoindependiente dela adenadeMárkov[1℄,[13℄.

En la e ua ión(42)sepuede suponerque

ǫ =

√

2;

así,sepueden onsiderardos e ua- iones uadráti asmatri iales

Z

2 − V Z + Q =

O

,

(43)

Z

2 + V Z + Q =

O

.

(44)

Como asoparti ular, onsideramoslae ua ión(44) on

V =

aI

10

0

0 bI

10

y

Q =







−1

1 −1

. . . . . . . . . . . .

1

1 −1







,

donde

a = 1

y

b = −3.

Lamatri es

V

y

Q

sees ogierondeorden

20.

A ontinua ión,presentamoslatabladeresultados.

X

0 N

Res

tiempo

O 45 1,324485371079e-015 0,003713

10 −2

I

10

45 1,35467661806983e-015 0,003885

10 −10

I

10

45 1,324485371079e-015 0,003862 Métodose ante

X

0 N

Res

tiempo

O n

10 −2

I

10

n

10 −10

I

10

n

(17)

Métodode Newton-S hur

X

0 N

Res

tiempo

O 14 9,11880622078644e-016 0,006637

10 −2

I

10

15 1,59376163239596e-016 0,007007

10 −10

I

10

15 7,07023695066298e-016 0,006933 Cuadro4:Problema4.

En el Cuadro 4sepuede observarquelos métodos uasi-Newton propuesto y

Newton-S hur entodoslos asos onvergen,adiferen iademétodose ante.Eltiempodeeje u ión

que empleaelmétodo uasi-Newton propuesto esaproximadamenteel

55 %

deltiempo queusaelmétododeNewton-S hur.

A ontinua ión,presentamosun uadroresumenquenosindi aelordende onvergen ia

para los4problemasquehemos onsiderado.

Tipode onvergen ia

Problema Valorde

θ

enH4 Teóri a Numéri a

1 1 Cuadráti a Cuadráti a

2 1 Cuadráti a Cuadráti a

3 0,04 Superlineal Superlineal

4 0 Lineal Lineal

Cuadro5:Análisis teóri oynuméri ode onvergen ia.

ElCuadro5 ontiene4 olumnas onlasiguienteinforma ión:laprimera olumna

(Pro-blema) indi a el número del problema onsiderado; la segunda (Valor de

θ

en H4) ontiene, para ada problema, el valor de la onstante

θ

men ionada en la hipótesis H4; enlater era y uarta olumnas sepresenta la tasade onvergen ia,tanto teóri a

omo numéri a,del algoritmopropuestode a uerdo onel valorde

θ

(Teorema3.2) y elanálisisdeloserrores,respe tivamente.

Observamosque,paralosProblemas1y2,elmétodopropuestotiene onvergen ia

ua-dráti a.Valelapenamen ionarqueparaestosproblemas,lamatriz ini ial

Y

0

onmuta on

A, B

y

C

yestasmatri es onmutanentresí,lo ualteóri amentetambién ondu e a onvergen ia uadráti a.En losProblemas3y4nose umple lahipótesis de

onmu-tatividad delLema3.3; numéri amente la onvergen iaal anzadaessuperlinealparael

Problema3ylinealparaelProblema4.

5. Comentarios nales

Lae ua ión uadráti a matri ial

Q(X) = AX

2 _{+ BX + C =}

O apare een numerosos

(18)

eldesarrollo,entreotros,demétodostipoNewtonparaen ontrarunasolu iónnuméri a

delae ua ión uadráti amatri ial.

En este trabajo proponemos un algoritmo uasi-Newton, obtenido omo una itera ión

de Newtonsimpli ada, pararesolverlae ua ión uadráti amatri ial,el ualredu e el

alto osto omputa ionaldelmétodoNewton-S hur,tradi ionalmenteusadopararesolver

di hae ua ión.Además,bajo iertashipótesisdemostramosqueelalgoritmopropuesto

eslo alyhasta uadráti amente onvergente.

Para ontribuir onlaexplora iónnuméri adelmétodo uasi-Newtonpropuesto,

analiza-mosy omparamossudesempeñonuméri o onlosmétodosdeNewton-S huryse ante,

usandodose ua ionesmatri ialesydosproblemasdeapli a ión.Enella,elmétodo

pro-puesto muestra un buendesempeño numéri o y además una disminu ión en uanto al

tiempo de eje u ión omparado on los dos métodos men ionados. Adi ionalmente, se

ompruebannuméri amentelosresultadosobtenidossobrelatasade onvergen iadada

porelTeorema3.2entérminosdelvalorde

θ

involu radoenlahipótesisH4.

Finalmente, en búsqueda de ampliar elespe trode trabajo onrespe to ala e ua ión

uadráti amatri ial,pensamosquevalelapenaglobalizarelalgoritmoyha erel

orres-pondienteestudioteóri odelalgoritmoglobalizado.

Agrade imientos

Agrade emosalaUniversidaddelCau aporeltiempo on edidoparaestainvestiga ión,

medianteelProye todeinvestiga ióntituladoOptimiza iónenApli a ionesFaseII,VRI

ID4189,yanuestro olegaFaviánArenasporeltiempobrindadoparadis utiraspe tos

numéri osdenuestrotrabajo.

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