On an Extension of the Generalized Apostol-Euler Polynomials

(1)

Revista Del Programa De Matem´aticas I (2014) 52–57

c

Programa de Matem´aticas Vol. I , No 1, (2014)

Sobre una Extensi ´on de los Polinomios de Apostol-Euler

Generalizados

On an Extension of the Generalized Apostol-Euler

Polynomials

Pedro L. Hern´andez Llanos1

1_{Programa de Matem´aticas} Universidad del Atl´antico, Colombia E-mail: phernandezllanos@mail.uniatlantico.edu.co

Alejandro Urieles Guerrero2

2_{Dpto. Matem´aticas Puras y Aplicadas} Universidad Sim´on Bolivar, Venezuela

Programa de Matem´aticas Universidad del Atl´antico, Colombia E-mail: alejandrourieles@mail.uniatlantico.edu.co Received / Recibido: 18/12/2013. Accepted / Aceptado: 25/01/2014

Resumen

En este art´ıculo se estudia una extensi ón conocida de los polinomios de Apostol-Euler generalizados y algunas de sus propiedades, su relaci ón con los n úmeros de Stirling de segundo orden, los polinomios de Genocchi y los polinomios ortogonales clásicos.

Palabras claves: Polinomios de Genocchi; funciones generatrices; polinomios de Apostol-Euler generalizados; Polinomios de Jacobi, Laguerre y Hermite; n ´umeros de Stirling de segundo orden.

Abstract

In this article is studied an known extension of generalized Apostol-Euler polynomials and some properties, its rela-tionship with the Stirling numbers of the second kind, Genocchi polynomials and the classics orthogonal polynomials. Keywords: Genocchi polynomials; generating function; generalized Apostol-Euler polynomials ; Jacobi, Laguerre and Hermite polynomials; Stirling numbers of the second kind.

1. Introducci ´on

Denotamos por Eα

n(x)los polinomios de Eu-ler generalizados de orden α∈N. Siguiendo las

ideas de Apostol en el estudio de los polinomios de Bernoulli [1], Luo y Srivastava estudian los polinomios de Apostol-Euler [8]; en un trabajo

posterior Luo [9] introduce una generalizaci ´on de los polinomios de Apostol-Euler E(α)_n,λ(x)con

λreal o complejo. En el presente trabajo

realiza-mos inicialmente un estudio de una extensi ´on de los polinomios E(α)_n,λ(x) tomando como base un trabajo reciente de Chen, Cai y Luo (ver [2]),

(2)

di-cha extensi ón la notamos por E[m−1,α]_n,λ (x). En la secci ón 2 damos algunos resultados y observa-ciones conocidas que serán utilizados en el tra-bajo.

Finalmente, en la secci ón 3 estudiamos las re-laciones entre los polinomios E[m−1,α]_n,λ (x) y los n úmeros de Stirling de segundo orden, los po-linomios de Genocchi y los popo-linomios clásicos de Jacobi, Hermite y Laguerre.

2. Resultados Previos y Notaci ´on

Sea En(x)el n-ésimo polinomio de Euler. Pa-ra α∈ C, denotamos por En(α)(x)el n-ésimo po-linomio de Euler generalizado, S(n, k)los n úme-ros de Stirling de segundo orden, Gn(x)el n-ési-mo polinomio de Genocchi, Pn(α,β)(x), L(α)n (x)y Hn(x)el n-ésimo polinomio de Jacobi, Laguerre y Hermite respectivamente. En la presente sec-ci ón damos algunos resultados conosec-cidos, nece-sarios para nuestro estudio, los cuales pueden consultarse en [3, 4, 5], entre otros.

DEFINICION´ 2.1. Los polinomios de Euler En(x) est´an definidos por la siguiente funci ´on genera-triz: 2 et₊₁e xt₌

∑

∞ n=0 En(x)t n n!, (|t| <π). (1) DEFINICION´ 2.2. Los polinomios de Euler gene-ralizados Eα

n(x)de orden α∈ Z est´an definidos por las siguiente funci ´on generatriz:

2 et₊₁ α ext= ∞

∑

n=0 E(α)n (x)t n n!, (|t| <π). (2) OBSERVACION´ 2.1. Para α = 1 tenemos En(1)(x) =En(x).

DEFINICION´ 2.3. Los polinomios de Apostol-Euler generalizados E_n,λ(α)(x)de orden α∈N son definidos mediante la siguiente funci ´on genera-triz: 2 λet+1 α ext= ∞

∑

n=0 E_n,λ(α)(x)t n n!, (3) (|t| <πcuando λ=1;|t| < |log(−λ)|, donde λ , 1).

DEFINICION´ 2.4. Los polinomios de Apostol-Euler generalizados E(α)_n,λ(x)de orden α∈ C son

definidos mediante la siguiente funci ´on genera-triz: 2 λet+1 α ext = ∞

∑

n=0 E(α)_n,λ(x)t n n!, (4) (|t| < |log(−λ)|).

OBSERVACION´ 2.2. Los polinomios de Apostol-Euler En,λ(x) = E_n,λ(1)(x) y polinomios de Apostol-Euler generalizados En(α)(x) =E(α)n,1(x). DEFINICION´ 2.5. Los polinomios de Euler gene-ralizados E[m−1,α]n (x), m ∈N est´an definidos en un entorno de t =0, mediante la funci ´on gene-ratriz:      2m et₊m−1_∑ l=0 tl l!      α ext= ∞

∑

n=0 E[m−1,α]n (x) tn n!. (5)

OBSERVACION´ 2.3. Si tomamos m=1, en (5) ob-tenemos (2).

DEFINICION´ 2.6. Para parámetros arbitrarios reales o complejos λ y los n úmeros m, α ∈ N, los polinomios de Apostol-Euler generalizados E[m−1,α]_n,λ (x)están definidos en un entorno de t=

0, mediante la funci ´on generatriz:      2m λet+ m−1 ∑ l=0 tl l!      α ext= ∞

∑

n=0 E_n,λ[m−1,α](x)t n n!. (6)

OBSERVACION´ 2.4. Si hacemos m=1, en (6) ob-tenemos (3).

DEFINICION´ 2.7. Para n úmeros α ∈ C, m ∈ N, los polinomios de Euler generalizados E[m−1,α]n (x), están definidos en un entorno de t=0, mediante la funci ón generatriz:

     2m et₊m−1_∑ l=0 tl l!      α ext= ∞

∑

n=0 E[m−1,α]n (x) tn n!. (7)

(3)

OBSERVACION´ 2.5. Si tomamos m=1, en (7) ob-tenemos (2).

DEFINICION´ 2.8. Los polinomios de Genocchi Gn(x) son usualmente definidos a trav´es de la siguiente funci ´on generatriz:

2text et₊₁ = ∞

∑

n=0 Gn(x)t n n!,(|t| <π). (8) LEMA1. Los polinomios de Genocchi Gn(x) ve-rifican la siguiente relaci ´on:

xm= 1 2(m+1) × " _m

∑

k=0 m+1 k+1 Gk+1(x) +Gm+1(x) # . (9) DEFINICION´ 2.9. Los n ´umeros de Stirling de se-gundo orden S(n, k) est´an definidos por las si-guientes funciones generalizadas:

k

∏

n=1 (1−nt)−1 = ∞

∑

n=k S(n, k)tn−k, (10) (et+1)k = k! ∞

∑

n=k S(n, k)t n n!, (11) zn = n

∑

k=0 S(n, k)(t)k, (12) con(|t| <k−1),(t)_k=t(t−1) · · · (t−k+1). S(n, k)denota el n ´umero de formas de particio-nar un conjunto de n elementos en k subconjun-tos no vac´ıos.

LEMA2. Los n ´umeros de Stirling S(n, k) verifi-can la siguiente relaci ´on:

xm= m

∑

k=0 x k k!S(m, k). (13) DEFINICION´ 2.10. Los polinomios de Jacobi Pn(α,β)(x)se definen a trav´es de la siguiente ex-presi ´on: Pn(α,β)(x) = 1 (−2)n_n!₍₁₋_x₎α₍₁₊_x₎β × d n (dx)n[(1−x)α+n(1+x)β+n], (14) con x∈ (−1, 1).

LEMA3. Los polinomios de Jacobi Pn(α,β)(x) ve-rifican la siguiente relaci ´on:

xm=m! m

∑

k=0 (−1)km+α m−k × α+β+2k+1 (α+β+k+1)m+1 P_k(α,β)(1−2x). (15)

DEFINICION´ 2.11. Los polinomios de Laguerre L(α)n (x)son definidos a trav´es de la siguiente ex-presi ´on: L(α)n (x) = e x n!xα dn (dx)n[e−xx n+α_]_. ₍₁₆₎

LEMA4. Los polinomios de Laguerre L(α)n (x) ve-rifican la siguiente relaci ´on:

xm=m! m

∑

k=0 (−1)km+α m−k Lα k(x). (17)

DEFINICION´ 2.12. Los polinomios de Hermite Hn(x) son usualmente definidos a trav´es de la siguiente funci ´on generatriz:

e2xt−t2 = ∞

∑

n=0 Hn(x)t n n!. (18)

y pueden ser generados mediante la f ´ormula:

Hn(x) = (−1)nex 2 dn

(dx)n[e −x2

]. (19)

LEMA5. Los polinomios de Hermite Hn(x) ve-rifican la siguiente relaci ´on:

(2x)m= [m/2]

∑

k=0 m 2k (2k)! k! Hm−2k(x). (20) Los siguientes teoremas establecen relacio-nes entre la base can ´onica de los polinomios y la extensi ´on de los polinomios E_n,λ[m−1,α](x)(ver [2]). TEOREMA 1. Los polinomios de Apostol-Euler generalizados E_n,λ[m−1,α](x)satisfacen las siguien-tes relaciones: E[_n,λm−1,α+β](x+y) = n

∑

j=0 n j E_j,λ[m−1,α](x)E_n[m−−j,λ1,β](y), (21) E_n,λ[m−1,α](x+y) = n

∑

j=0 n j E[m−1,α]_j,λ (y)xn−j. (22)

TEOREMA 2. Los polinomios de Apostol-Euler generalizados E_n,λ[m−1,α](x)satisfacen la siguiente relaci ´on: 2 n

∑

k=0 n k E[_k,λm−1,α](x)E_k,λ(−1)(0) = λE[_n,λm−1,α](x+1) +E[_n,λm−1,α](x). (23)

(4)

3. Algunas F ´ormulas De Conexi ´on De Los Po-linomios E[_n,λm−1,α](x)

En esta secci ón estudiaremos algunas conexiones existentes entre los polinomios E_n,λ[m−1,α](x) y otras familias de polinomios co-mo los de Genocchi, Jacobi, Laguerre y Hermite, además estudiaremos la relaci ón de los polino-mios E[m−1,α]_n,λ (x)con los n úmeros de Stirling de segundo orden. Para llevar a cabo todo lo ante-rior seguimos las mismas ideas utilizadas en la demostraci ón del Teorema 1, además usamos las siguientes propiedades básicas de las sumato-rias: n

∑

j=0 An−jBn = n

∑

j=0 AjBn−j, (24) n−k

∑

j=0 Aj = n

∑

j=k An−j, (25) n

∑

j=0 n

∑

k=0 ajak = n

∑

j=0 aj ! _n

∑

k=0 ak ! , (26) n

∑

j=0 n−j

∑

k=0 ajk = n

∑

k=0 n−k

∑

j=0 ajk. (27)

TEOREMA 3. Los polinomios E[m−1,α]_n,λ (x) y los polinomios de Genocchi Gn,λ(x)definidos en (8) verifican la siguiente relaci ´on:

E[m−1,α]_n,λ (x+y) = 1 2 n

∑

k=0 1 k+1 ×A(α,λ)(x, n, k) +B(α,λ)(x, n, k)Gk+1(x), (28) con A(α,λ)(x, n, k) = n k E[m−1,α]_n−k,λ (y), B(α,λ)(x, n, k) = n

∑

j=k n j j k E[m−1,α]_n−j,λ (y).

Demostraci´on. Por sustituci ´on de (9) en el miem-bro de la derecha de (22), tenemos

E[_n,λm−1,α](x+y) = n

∑

j=0 n j E[_j,λm−1,α](y) 1 2(n−j+1) × "_n₋_j

∑

k=0 n−j+1 k+1 Gk+1(x) +Gn−j+1(x) # = n

∑

j=0 n j E[_j,λm−1,α](y) 1 2(n−j+1) n−j

∑

k=0 n−j+1 k+1 Gk+1(x) + n

∑

j=0 n j E[_j,λm−1,α](y) 1 2(n−j+1)Gn−j+1(x)

usando (26) se sigue que

= n

∑

j=0 n−j

∑

k=0 n j E[_j,λm−1,α](y) 1 2(n−j+1) n−j+1 k+1 Gk+1(x) + n

∑

j=0 n j E[_j,λm−1,α](y) 1 2(n−j+1)Gn−j+1(x)

aplicando (27) en la primera suma y cambiando j por k tene-mos = n

∑

k=0 n−k

∑

j=0 n j E[_j,λm−1,α](y) 1 2(n−j+1) n−j+1 k+1 Gk+1(x) + n

∑

k=0 n k E_k,λ[m−1,α](y) 1 2(n−k+1)Gn−k+1(x)

ahora, usando (25) en la primera suma y (24) en la segunda suma, se sigue que

= n

∑

k=0 n

∑

j=k n n−j E[_j,λm−1,α](y) 1 2(j+1) j+1 k+1 Gk+1(x) + n

∑

k=0 n n−k E[_nm₋−_k,λ1,α](y) 1 2(k+1)Gk+1(x)

finalmente amplificando por j k

en la primera suma, desarrollando los combinatorios y factori-zando Gk+1(x)finalizamos la prueba.

TEOREMA 4. Los polinomios E[m−1,α]_n,λ (x) y los polinomios de Jacobi Pn(α,β)(x)definidos por (14) satisfacen la relaci ´on:

E[_n,λm−1,µ](x+y) = n

∑

k=0 (−1)k n

∑

j=k j! j+α j−k n j × α+β+2k+1 (α+β+k+1)j+1 E_n[m₋−_j,λ1,µ](y)P(α,β) k (1−2x). (29)

Demostraci´on. Por sustituci ´on de (15) en el miembro de la derecha de (22), tenemos

E[_n,λm−1,α](x+y) = n

∑

j=0 n j E[_j,λm−1,α](y)(n−j)! n−j

∑

k=0 (−1)kn−j+α n−j−k × α+β+2k+1 (α+β+k+1)n−j+1 P(α,β) k (1−2x) aplicando (26), se sigue que

= n

∑

j=0 n−j

∑

k=0 n j E[_j,λm−1,α](y)(n−j)!(−1)kn−j+α n−j−k × α+β+2k+1 (α+β+k+1)n−j+1P (α,β) k (1−2x) usando (27) tenemos = n

∑

k=0 n−k

∑

j=0 n j E[_j,λm−1,α](y)(n−j)!(−1)kn−j+α n−j−k × α+β+2k+1 (α+β+k+1)n−j+1 P(α,β) k (1−2x)

nuevamente por uso de (26), aplicando despu´es (25) y ordenando los combinatorios finalzamos la prueba.

(5)

TEOREMA 5. Los polinomios E[m−1,α]_n,λ (x) y los polinomios de Laguerre L(α)n (x) definidos por (16) satisfacen la relaci ´on:

E[m−1,µ]_n,λ (x + y) = n ∑ k=0 (−1)k n ∑ j=k j!n j  j + α j − k E_n−j,λ[m−1,µ](y)L(α)k (x). (30)

Demostraci´on. Si hacemos m = n−j en (17), te-nemos: xn−j= (n−j)! n−j

∑

k=0 (−1)kn−j+α n−j−k Lα k(x). (31) Ahora, al sustituir (31) en el miembro de la derecha de (22) se sigue que: E[_n,λm−1,α](x+y) = n

∑

j=0 n j E[_j,λm−1,α](y)(n−j)! n−j

∑

k=0 (−1)kn−j+α n−j−k Lα k(x) por aplicaci ´on de (26), obtenemos

= n

∑

j=0 n−j

∑

k=0 n j E[_j,λm−1,α](y)(n−j)!(−1)kn−j+α n−j−k Lα k(x) usando (27), tenemos = n

∑

k=0 n−k

∑

j=0 n j E[_j,λm−1,α](y)(n−j)!(−1)kn−j+α n−j−k Lα k(x).

Finalmente al aplicar nuevamente (26) y luego (25) concluimos la prueba.

TEOREMA 6. Los polinomios E[m−1,µ]_n,λ (x) y los polinomios de Hermite Hn(x)definidos por (18) verifican la relaci ´on:

E_n,λ[m−1,µ](x+y) = n

∑

j=0 [(n−j)/2]

∑

k=0 2n−jn j n−j 2k ×(2k)! k! E [m−1,µ] j,λ (y)Hn−j−2k(x). (32)

Demostraci´on. Consideramos la expresi ´on (20), despejamos xmy hacemos m=n−j tenemos:

xn−j= [n−j/2]

∑

k=0 2−(n−j)n−j 2k ₍_2k₎_! k! Hn−j−2k(x), (33) luego al sustituir (33) en el miembro de la dere-cha de (22) y haciendo uso de (26) concluimos la prueba.

TEOREMA 7. Los polinomios E[m−1,α]_n,λ (x) y los n ´umeros de Stirling S(n, k) de segundo orden definidos en (12) satisfacen la relaci ´on:

E_n,λ[m−1,α](x+y) = n

∑

k=0 k!x k n

∑

j=k n j E_n[m₋−_j,λ1,α](y)S(j, k) (34) Demostraci´on. Al sustituir (13) en el miembro de la derecha de (22), tenemos E_n,λ[m−1,α](x+y) = n

∑

j=0 n j E[_j,λm−1,α](y) n−j

∑

k=0 x k k!S(n−j, k)

por (26), se sigue que

= n

∑

j=0 n−j

∑

k=0 n j E[_j,λm−1,α](y)x k k!S(n−j, k)

ahora por (27), entonces

= n

∑

k=0 n−k

∑

j=0 n j E[_j,λm−1,α](y)x k k!S(n−j, k).

Finalmente usando de nuevo (26) y luego (25) finalizamos la prueba.

OBSERVACION´ 3.1. Si hacemos m = 1 en (28), (34), (29), (30) y (32), entonces obtenemos los re-sultados correspondientes de los polinomios de Apostol-Euler generalizados E_n,λ(α)(x).

OBSERVACION´ 3.2. Si hacemos m = 1, λ = 1 en (28), (34), (29), (30) y (32), entonces obtene-mos los resultados correspondientes de los poli-nomios de Euler generalizados En(α)(x).

Referencias

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Para citar este art´ıculo: Hernández P. et all, 2014, ”Sobre una Extensi ón de los Polinomios de Apostol-Euler Generalizados”. Disponible en Revistas y Publicaciones de la Universidad del Atlántico en: