Matematika za prvi razred gimnazije

r:'

t,,

R.

ta, ha

je trottana.

se

.

Ha p;aToj

ane AC

eAC11

i

BC,

p,

aP"

"

1ma,u;ajy

BEKTOPM

YcMepeHe .n;y)l(u: u: BeKTopu: (214)

A

IlojaM ycMepette A)T)Kl1; je,u;ttaKOCT ycMepeHJ1X A)')KH; nojaM BeKTopa; BeKTop IIOJIO)l(aja (214)

Onepau;u:je ca BeKTopHMa (217)

A Hyna-BeKTop; cynpoTHJ1 BeKTop; ca811palhe BeKTopa (rrpaBHJio rpoyrna H

rrpaB11no rrapanenorpaMa); MHO)l(elhe seKTopa cKanapoM (217

)

E 0CHOBHe ocoOHHe MHO)l(elha BeKTopa CKanapoM (222)

Jlu:HeapHa 3aBU:CHOCT BeKTopa (224)

E Jfatteaptta 3as11cttocT BeKTopa; pa3naralhe BeKTopa (224) Koopµ;u:HaTe BeKTopa y paBHH (228)

B

Koop,u;11ttaTe BeKTopa y paBHJ1 11 ocHOBHe orrepa.Q11je ca BeKTOpHMa 3ap;aTHM IIOMohy Koopp;HHaTa

(228)

IlpKMenrre mt~ AB MOJKelofO 03Ha'IJITH H ca B..\, aiJJt Kaua je peq 0 YCMf?eHKM .ayxHMa, Re CM:eM:O IlepM)'TOBaTif 03Ha.Ke KpajeBa. ---+ A_. .. -·-··

--

~

E

D

~

-·

-· - - t

~

EF

,,.,.. CD H_ ••••

--

~

Ha Gnnm ce yo'laBajy Cilel!elrn o;:rnocn: --+ --+ t -ABll CD

II

EF " GH, --+ - - t --+ ----+ .1.B C.F, CD i GH, ---+ --+--+ -.4.B

i

CD,AB

i

GH, --+ - - t CD EF. IlpH)(enrre ;ia cy ---+ --+ O;:ul~""H AB i CD, ---+ --+ Kao uAB

!

CD Aeqnmuca.HH ca.Mo y --+ --+ c,l}"iajy ~a je AB

1

CD.

3a pa3mn<y o;::i; ,!{y)!(H Koje

cy o,u;pel)eHe rrapoM TaqaKa, ycMepeHe 11m1 op11jeHTHcatte

JlYJKl1

cy o~el)eHe

ypel)eHHM rrapoBKMa TaqaKa, rrp11 qeMY ce rrpBa Koopp;HHaTa rrapa rrpornarnaBa rroqeTKOM, a ,u;pyra KpajeM o.n;roBapajyhe ycMepette p;y)KM. YcMepeHy .n;y)K

--+

'llrju

je rroqeTaK Ta~a

A,

a Kpaj Ta~a

B

03HaqaBaMO ca

AB.

Ha cn11KaMa ycMepeH>e lzy)Kll J[CTJtqeMO crpe~aMa.

A B

PenaI.\JrjOM rro~apHOCTI1 Hp;eHTM<i>HKOBaJrn cMo CBe ,lJ;y)Kl1 q11je cy .n;y)KHHe Mel)yco5tto jeAHaKe.

Yo1epette ApKM Hp;eHTH<!>mcyjeMo BehMM 8pojeM 3aXTeBa. 3aXTeBy .n;a op;roBapajyne .!zy)l<Jl 5y.n;y rro,izy;n;apHe .n;o.n;ajeMo M 3axTeB .n;a ,,op11jeHTau;11ja" .n;y)KH 8y.n;e M y HCTOM rrpaBQY l1 y HCTOM cMepy. Hape.n;HHM .n;e<i>MHHu;MjaMa rrpeu;11311paMo oBe 3axTeBe.

--+----+

YcMepeHe .u:}')Kff

AB

H

CD

cy HCTor npaim;a YKOJIMKO je rrpaBa o.n;pel)etta TaqKaMa --+ ----+ A H B napaneJIHa rrpaBoj op;pel)ettoj ca CM D, IIITO 03HaqaBaMo ca AB 11

CD.

IlpaBa

Ha Kojoj ce ttana3H ycMepetta ,IJ;y)K tta3JIBa ce H>eHHM rrpaBu;eM.

--+ ----+ --+ ----+

YcMepeHe Jzy)Klf

AB

l1

CD

cy HCTor CMepa, y 03Hau;M

AB

i i

CD,

aKo cy HCTor --+ ----+ rrpaBu;a " aKo nocrnj11 paBatt ttopMaJIHa Ha rrpaBu;e ycMepettmc Af)KH AB M

CD

TaKBa p,a ce nonyrrpaBe

[AB)

M

[CD)

ttana3e ca HCTe cTpaHe Te paBHH.

--+ ----+ --+ ----+

YcMepeHe .n;:yJKJt

AB

M

CD

cy cyrrpornor cMepa, y 03ttau;11 AB

i

!

CD,

aKo cy HCTor IIpaB.Qa J1 aKO He IlOCTOjH paBaH TaKO p;a Ba)Ke npeTXO,lJ;HJ1 ycJIOBH.

--+ ----+ --+ ----+

YoiepeHe A)')IGf

AB

M

CD

cy

jeAJiaKe, y 03Hau;11

AB =CD,

YKOJIHKO je

• AB=CD (TO jecT

IABI =ICDI)

11

--+ ----+

·AB

i i

CD.

t .

-IlpeTXOp;HOM .n;e<t>MH~HjoM ysep;eHa je jep;HaKOCT Mel)y ycMepeHHM .n;y)KHMa y rrpocTopy. YKOIDfKO ce 0rpaHJ1qJ1MO CaMO Ha ycMepette ,lJ;y)KJ1 jep;He paBHH, IIITO neMO y HaCTaBKY J1 qJ1HJ'ITJ1, OHp;a ce op;HOCM

i i

J1

i

! Mory jep;HOCTaBHHje OKapaKTep11caTH:

)'MeCTO peqff nPaBaH~ y p;e<t>l1HJfl.J;HjaMa IlOMettyTJ1X O,D;HOCa MO)Ke p;a CTOjH ,,npaBa':

3a;:i;araK

KojH op;Horn cyTaqffff (BHAJf CJIJ1Ky p,erno)? --+ ----+ --+ ----+

:

AB

II

CD;

2

AB

i i

CD;

3

AB=CD;

4

;

AB

ll

EF;

5

AB i!EF;

6)AB=EF;

7

AB

II

GH;

&

AB

i!

GH;

9

AB=GH;

lO

A:B

11

I/;

:1

AB

i i

I/;

12

AB=IJ.

Koje p;Be ycMepeHe ,D;y)Kl1 cy jep;HaKe?

'

J

I

I

I

A

c

B

'

'

I

I

I

'

I

F

I

I

D

E

'

'

J

I

H

I

I

\

I

I

•

\

I

\

I

'

G

J

~·e;:uia'l -OBO~ =ope:Me] ~W AKO AKO HHTe - IIpaBi

CMep.

_a.Klie,: CH3J aiepe1 -3aTO

fie:

aHe rraRa iyAy)I( elhe lycoc5Ho

jyhe

roM CTor neMo ;an1:

8a':

J

J

I

I

I I

.

_r

~faje,n;HaqaBalhe ycMepemtx ~11 Koje je ,n;eqrnHHCatto Ha rrpen:o,n;ttoj crpaHM

3a,n;oB0JhaBa cBe yoc5J1qajeHe ococSHHe je,n;HaKOCTH (ococSHHe ~ ,

2

M

3

H3 Hape,n;He

TeopeMe).

---+ ---+

) CBaKa ycMepeHa ,n;y)I( je je,n;HaKa caMoj cecSH,

AB =AB.

---+ ----+ --+ ---+

2)

AKo je

AB

=CD, OH,n;a je H

CD =AB.

---+ ----+ ----+ -;::;-::! ---+ -;::;-::!

i AKo je

AB =CD

H

CD =Er,

oH,n;a je

AB =Er.

---+ ----+ ---+ ----+

) AKo je

AB

=CD, OH,n;a je

BA

=DC.

---+ ---+

.,)

AB

iJ,

BA.

:lpHJIHKOM rrpoyqaBalha ycMepeHHX ~H rrocec5HO cy KOpHCHa CBOjcTBa

:iapanenorpaMa, IIITO rroKa3yje Hape,n;Ha TeopeMa.

HeKa TaqKe

A, B,

CH

D

HHcy KOJIHHeapHe. ---+ ----+

AKo je

AB =CD

H ,n;y)l(H

AB

H

CD

HHCY Ha HCTHM rrpaBaMa, oH,n;a je qeTBopoyrao

ABDC

rrapanenorpaM.

---+ ----+ -;::-:::7 ----+ • AKo je

ABCD

rrapanenorpaM, oH,n;a je

AB =DC

H

Be =AD.

---+ ----+ ---+ ----+

AKo je

AB

=DC, OH,n;a je

HBC =AD.

CKyrr CBHX ycMepeHHX ,n;~ Koje cy Mel)ycoc5Ho je,n;HaKe Ha3HBaMO BeKTopoM.

BeKTope, TO jecT cKyrroBe Me1)ycoc5Ho je,n;HaKHX ycMepeHHX ,ll;y)l(J1, 03Ha<Iasahe:\rn --+ .,-+ -+

.MaJIHM JiaTJ1HJ1qHJ1M CJIOBHMa Ha,n;ByqeHHM CTpemni;oM: a' b'

c' ...

J1aKO CBaKH BeKTOp ca,n;p)l(H cSecKOHaqHo MHOro ycMepeHHX ,ll;y)l(J.1:, AOBOJhHO je 33.,IJ;aTJ.1: caMo je,n;tty o,n; IDHX. AKo je ,n;aTa HeKa ycMepeHa

~

W,

OH,ri;a CBe ycMepeHe ,ll;y)l(J.1:

e,n;HaKe ca

W

oc5pa3yjy je,n;aH BeKTop - BeKTop o,z:i;pel)eH ca

W.

IIpHMeTJ1MO ,z:i;a CBaKa ycMepeHa ,n;y)I(

xY

je,n;HaKa ca

W

HMa HCTe TPH KapaKTepHcTitKe:

• HHTeH3HTeT, ,n;y)l(HHa ,n;y)l(J.1:

XY

je,n;ttaKa je ,ll;y)f(}1}ll ,ll;y)l(J1

UV (UV

~XY);

., . rrpaB~,

UV

11

XY;

CMep,

W

i i

xY.

--+

,IJ;aKJie, ,n;a c5HCMO ,n;eqrnHHCaJIH HeKH BeKTOp x' IIOTpecSHo je JJ;a rrpe~3MpaMO H>eroB

--+

HHTeH3HTeT

Ix

I,

rrpaBaii; H cMep, mTo ce MO)l(e yqttHHTI1 33.,IJ;aBaJDeM ca.\io je}J;He ycMepeHe ,n;y)l(J.1:.

3aTO neMO TIHCaTH J1 ,z:i;a je BeKTOp je,n;ttaK HeKOj ycMepeHoj ,ll;y)l(J.1:, Ha npm1ep-; =

ml,

--+

rrpH qeMy OBY je,n;HaKOCT TpecSa c:rnaTHTH Ha cneJJ;drn. Ha'IHH: "BeKTop

a

KojH ----+

,n;eqnrnHIIIe (qHjH je je,n;aH npe,n;cTaBHHK) ycMepeHa TJ,y>K.

UV."

Taxol)e, Ka)'.l;a Ka)l(eMo ,,BeKTOp

W':

MHCJIHMO Ha BeKTOp o,z:i;pe})eH ycMepeHOM ,ll;y)l(J.1:

U1l

TeopeMa

..

..

...

..

A TeopeMa ;aeqmHJrn;111a -+ v -+

a

~'l

~~

~~

~~

t

~;'a Bau

~'l

~~

~

~

~~

a

reoP6Ia

Pa.3mucyjre mpa3e

---+ ,, ya1epeHa ;{}')I( AB" u

---+ ,,BeuopAB".

,..,,e<fimmn;uja

Baaop no;m:r..:aja Ta"IKe

x ,.

O.J.HOCV Ha Ta~·-y 0.

•

• • •

216

-+

Hexa je a ,1J;arn BeKTop H

0

HeKa TaqKa. Tap;a nocToj11 je,n;11HCTBeHa

-+ ---+

rn~a A TaKBa ,n;a je

a

= OA.

/l,o

-~.:;

HeKa je

xY

rrpott3BOJbHa ycMepeHa

fI.'PK

TaKBa ,n;a je

C: =xY.

HeKa je

p

(je;urncTBeHa) npaBa Koja ca,n;p)l(JI[

0

11 napaneJrna je ca XY, rrp11 qeMY ,n;orryrnrnMo

H µ;a ce

p

noKJiana ca rrpaBn;eM ycMepeHe ,ll;y)l(JI[

xY

(YKOJIHKO cy rnqKe

0,

X 11 Y

KommeapHe). J.13a8epJiMO 3aTHM rronyrrpaBy Op₁

C

p TaKO ,n;a je OP

i i

xY,

3a HeKy

Taqxy

PE

Op

1• HeKa je A je,ll;J1.HCTBeHa TaqKa rronynpaBe Op1, TaKBa ,n;a je OA ~XY. ---+ =7 -+ ---+

O'!Jrrnewm je

OA

=Xr, na je 11 a = OA. •

Ha ocHoBy rrpen:op;He TeopeMe 3aKJbyqyjeMo ,n;a rrpHnHKOM 1138opa ycMepeHe ,n;y)K11

Koja he rrpep;CTaBJbaTif BeKTOp rrp0113BOJbHO MO)KeMO 811paTJ1 lbeH rroqeTaK.

ITpnMeTIDrn H p;a cBe yCMepette p;y)KJ1 ca <!>11Kc11paH11M rroqeTKOM rrpep;cTaBJbajy 11 me

BeKTope: aKO <!>HKCHpaMO Hery TaqKY

0,

Tap;a CBaKJ1 BeKTOp rrpep;CTaBJba ycMepeHa

A}'JK

OX

3a HeKY Taqry X. Ha oBaj HatfHH je ycrrocTaBJbeHa o8ocTpaHo jep;H03HaqHa

KopecnoHp;em:i;aja H3Mel)y cKyna CBHX TaqaKa 11 cKyrra CBHX BeKTopa.

3a

Ta~y

x

BeKTOp

ox

ce Ha3l1Ba BeKTOp IlOJIO)Kaja TaqKe

x

y Op;Hocy Ha TaqKy

0.

L

-J.13jep;HaqaBaJhe ycMepemix ,ll;y)l(JI[ Ha rrp11pop;aH Haq11H rrpollll1pyjeMo 11 Ha BeKTope.

-+ -+

BeKTopH

x

11 y cy 11crnr rrpaBn;a aKo cy 11cTor rrpaBn;a (811rro Koje p;Be)

. -+ -+

yo.1epette A}'JKH Koje KX npep;cTaBJbajy. AKo BeKTop11

x

11 y 11Majy 11cT11 rrpaBan;,

Ka)KeMO J1 p;a cy KOJIHHeapHH.

-+ -+

BeKTopH

x

u

y

cy HCTor HHTeH3HTeTa aKo cy 11cTor HHTeH3HTeTa (811rro Koje p;Be)

ycMepeae p;~ Koje HX rrpep;cTaBJbajy.

-+ -+

BeKTOpl1

x

J1 y cy HCTOr CMepa aKO cy J1CTOr CMepa (811rro KOje p;Be) ycMepeHe p;y)KH

-+ -+

Koje HX npeJJ.CTaBJbajy. BeKTopH

x

11 y cy cyrrpoTHHX cMepoBa aKo cy TaKBe ( 811rro

Koje gBe) ycMepeHe Ar*" Koje J1X rrpep;cTaBJbajy.

-+ -+

-+

v

-Ha Cillfl.V1 cy rrpm<a3aHJ1 KomraeapHH BeKTop11

u

11

v,

Koj11 cy cyrrpoTHHX cMepoBa .

aKO .:a.MO

_\yrn?.C

aeKeo ea He IIOA ;:te "aO 3 owo~ UC,Ka3)

0 eKy

IT.

ri<*

J.1 CBe rna AH

a

yO. ope. Ban;, .n;Be) AY)l(H HJIO ::rna.

Onepan;11je ca seKTop11Ma

Ilpe Hero IllTO }'Be.n;eMO OCHOBHe orrepa1v-r:je ca BeKTOpHMa, CK)'IIY CBHX BeKTopa

.n;o.n;aheMo je.n;aH HOBJ.1 BeKTop. CBHM BeKTopHMa .n;o.n;ajeMo BeKTop o.n;pel)eH ,,ycMepeHOM .n;p1rn" qJ.1jH ce rroqeTaK H Kpaj rroKJiarrajy. TaKBe ,,ycMepeHe .n;)')KJ.1" 03HaqaBaheMo ca

XX

3a 8m10 Kojy TaqKy X. 3HaKe HaBo.n;a KopHCTHMO jep oB.n;e HKje peq o ycMepemiM .n;y)lrnMa y yofo.r:qajeHoM CMHCJIY (IllTO BH)l;HMO H rrpH rrOKYillajy .n;a Han;pTaMO OBY ycMepeHy .n;y)I(), Benje peq o jolll je.n;Hoj MaTeMaTJ.1qKoj arrCTpaK.4KjH CJIJ{qlioj oHoj Kojy CMO rrpHMeHJ.1JIJ.1 Ka.n;a CMO CKyrrOM rrpornaCJ.1JIJ.1 rrpa3aH cKyrr.

y

HaCTasry, Ka.n;a 8y.n;el\.i0 roBopHJIJ.1 o OBaKBHM ycMepeHHM .n;y)l(J.1Ma, J.130CTaBJbaheMo 3HaKe HaBo.n;a.

CMaTpaheMO .n;a cy CBe ycMepeHe .n;y)l(H

xx

3a 8HJIO Kojy TaqKy

x

Mel)yco8HO --+ je.n;HaKe. BeKTop o.n;peljeH OBHM ycMepeHHM A)')KJ.1Ma 03HaqaBahel'>10 ca 0 J1

Ha3J.1BaTJ.1 ra JIY71a-BeKTOpOM.

O.n; TPH KapaKTepHcTHKe BeKTopa, Hyna-BeKTopy rrpHm1cyjeMo caMo HHTeH3HTeT:

--+

HHTeH3J.1TeT Hyna-BeKTopa je Hyna,

IO

I=

0.

IIpolllHpyjeMo H .n;ecpmun_\Hjy KOJIJ.1HeapHOCTJ.1: Hyna-BeKTOp je KOJIJ.1HeapaH ca CBaKHM BeKTOpOM.

--+ ---+ ---+

AKo je

a

=AB, oH.n;a ce BeKTOp o.n;pel)eH ycMepeHOM .n;~u BA Ha3HBa cyrrpoTHJw

-+ -+

BeKTopoM BeKTopa

a

H o8eJie)l(asa ce ca ~.

- . -+ -+ .

e.n;HOCTaBHO Je yoqJ.fTH .n;a BeKTOpH

a

H

-a

MMa)y:

-+ --+

HCTe HHTeH3HTeTe, I~

I=

la

I.

jep je IABI

=

IBAI,

HCTe rrpaBI~e H

---+ ---+ cyrrpoTHe CMepoBe, jep je AB

i

!

BA.

- -

·

TaKol)e, HHje TernKo 3aKJbyqHTH .n;a je Hyna-BeKTop je.n;HHH BeKTop Kojn je cynpornH

--+ -+ CaMOM ce8H,

-0

=

0 .

JipHMep

1.

AyTOM08HJIH, paKeTe, Tena Koja rra.n;ajy, cpy.n;8ancKe norrTe - CBH ce Kpehy rro.n; .n;ejcrnoM HeKe CHJie. A CHJie cy BeKTopcKe BenwrnHe, jep cy rrope.n; HHTeH3J1Ta KojJrn ce .n;ejcrnyje Ha HeKH o8jeKaT, Ba)l(HH H rrpasan; H CMep .n;eJIOBalba. 0CHOBY 3a rrpoyqasa.H>e KpeTalba rro.n; .n;ejcTBOM CHJia qJ.iHe TPH ~eHa fhyTHOBa 3aKoHa. TpeliH fhyrttoB 3aKoH II03HaT

~

Kao 3aKOH aK.4Hje H peaK.4Hje), rpy8o peqeHo, Ka)l(e .n;a ,,cBaKoj cnmr: aKI..\Uje

F

~

-o.n;roBapa rnna peaKn;Hje F₂ Koja je je.n;HaKOr HHTeH3HTeTa H cyrrpornor 01epa': nrro ce HCKa3yje je.n;HOCTaBHOM cpopMynOM

~ ~ F1 =-F2.

>

A

.e¢:rn1UIH-.:i

~

--+ - - . a =AB i\

~

B

~=BA

~

13

---reope'la

-+---+.,,..+~ -+~ -+.,,..+

AKo je

a =AB

u

b =BL.,

OH.D;a ce BeKTOp

c

=AC Ha3HBa 30.Hp BeKTopa

a

H

b

H

-+ -+ .,,..+ IIKIIIe ce c =a

+

b .

L

-Y1axo ce Ha npBu norne.n; MO)Ke )"D.fHHTM ,n;a npeTXO.D;Ha ,n;eqmHHIJ;Hja He Ka)Ke KaKo ca8pan1 forno Koja .D;Ba BeKTopa, mrje TaKO.

-+ ~ ---+ --+

IlocMaTPajMo BeKTope

a

H

b

o,n;pel)eHe ycMepeID1M ,ll;y)KJ1Ma

AB

11

CD

(cn11Ka ,n;one). -+ .,,..+

Kaxo ogpewrrn 3811p

a

+

b?

HajBa>KHJtje je cenfT11 ce .n;a cBaKM BeKTop npe,n;cTaBJba 8ecKoHaqHo MHoro Mel)yco8Ho je.D;HaKKX ycMepemcr ,ll;)1)KM H ,n;a ce cBaKa TaqKa MO)Ke 113a8paT11 3a rroqeTaK je,n;Hor npe,n;cTaBID1Ka yoqeHor BeKTopa.

-+ .,,..+

TaKo, ,n;a fofCMO ca8paJIM BeKTope a 11

b, H3a8paheMo noro,n;H11je rrpe,n;cTaBHHKe

--+

OBHX BeKrnpa. Ha npm1ep, YMecTo ycMepeHe ,ll;y)KJ1

CD,

3a rrpe,n;cTaBHHKa BeKTopa

~

b

H3a8paheMo ycMepetty ,ll;y)K qJ1j11 je rroqeTaK TaqKa

B (

TaKBa ycMepeHa ,n;y)K je

jewmcTBeHo o,n;pel)eHa npeMa TeopeM11 ca cTpaHe

216).

HapaBHO, MO)KeMo rrocTyrr11T11 u ,n;pyraqJ.ije - 8poj MoryhHocTH je HeorpaHHqeH.

-+

a

0BaKaB HaqJIB ca811pa1Da ce Ha3HBa caOHpa11>e Haµ;oee3HBae.eM no npaBHJIY Tpoyrna. Ha Hape.D;Hoj CJIHIJ;J1 HJIYCTpoBaHo je ca8Hpalbe KOJI11HeapHHX BeKTopa y ,n;Ba rnyqaja -Ka,n;a cy ca8MpIJ;H HCTor CMepa H Ka,n;a cy cyrrpoTHHX cMepoBa.

-+

a -+

a

-+.,,..+ -+~-+ ~

AKo

cy

BeKTOpH

a

H

b

KOID1HeapH11 H HCTor cMepa, oH,n;a je

la

+

b

I=

la

I+

lb

I·

HeK

c

Be

-

c

H

3

Be _ajex :i:paHe - Heia _ Hex.a ~llO::IE

.,,

Axo

j

-;-<-x

T!u.

lKO ~me). yco8tto t1or opa rynHTH

poyrna.

riaja

-t

fl.

-+-+ -+

HeKa cy x, y H z npoH3BOJbHH BeKTopu..

-+ -+ -+. -+ -+ -+

Ca8u.paH>e BeKTopa je acoQHjaTHBHO, TO jeCT x + (y + z) = (x

+

y)

+

z, 3a cBe -+-+ -+

BeKTope

x,y

Hz.

-+ -+ -+ -+ -+ -+

Ca8u.paH>e BeKTopa je KOMYTaTHBHO, TO jeCT

x

+

y = y

+

x,

3a CBe BeKTope

x

11 y.

-+ -+ -+ -+

Hyna-BeKTop je tteyTpan 3a ca8u.paH>e, TO jecT

x

+O

=x,

3a CBa!Gf BeKTop

x.

-+ -+ -+

3811p p;Ba cynpOTHa BeKTopa je ttyna-BeKTOp, TO jeCT x

+ (

-x) =

0,

3a CBa1m

-+

BeKTOp X.

01'a3.

-+-+ -+

1. Jifaa8ep11MO npep;CTaBHHKe BeKTopa

x'

y l1

z

TaKO p;a bYAY HaAOBe3aHe ycMepeHe

n;y)l(H.

vfa

npeTxop;HHX pa3MaTpaH>a JiaKO 3aKJbyqyjeMo p;a je OBaKaB H38op YBeK Moryh.

-+ ----+ -+ ~ -+ ---+ -+ -+ -+ -+ -+ -+

D,aKne, HeKa je

x =AB,y =Be

11

z

=CD

.

HeKaje

a =y +

z

H

b =x +

y.

Tpe8a noKa3arn

-+ -+ -+ -+

.n;a je

x

+a

=

b

+

z.

0By jep;HaKocT p;o8u.jaMo npu.MeH>yjytm p;eqmtt11Q11jy ca rrpen:op;He

cTpatte:

-+ -+ -+ ----+ -+ -+ ---+ -+ -+ -+ --;-;:t -+ -+ ---+

a =y +z =BD, x +a =AD, b =x +

y

=Ac

11

b +z

=

AD.

-+

x

D

c

B

c-;+J>

+i

-+

x

D

B

-+ ----+ -+ ----+ -+ -+ ----+ -+ -+

HeKa je

x =AB Hy =BC.

Tap;a je

x +y =AC .

.D,a 8u.cMo op;pep;HJIH 3bHp

y +

x

,

c

-+

H3a8paheMo npep;cTaBHHKa BeKTopa

x

qHjH je noqeTaK TaqKa C. HeKa je

D

Ta'!Ka TaKBa

-+ ---+ -+ -+ ----+ ----+ ----+

n;a je

x

=CD

.

.D,aKJie,

y

+

x

=

BD.

Me~yTHM, BeKTOpH

AC

H

BD

cy jep;HaKH no n:pyroj

TeopeMH ca CTpatte 215.

-+ ----+ ----+

J. HeKa je

x =AB.

3a npep;cTaBHHKa HYJia-BeKTopa H3a8epK.'1:0 ycMepeay

AY* BB

.

Ta,n;a

-+ -+ ----+ -+

je no p;e¢11HHQHjH ca npeTXop;He CTpatte

x

+

0

=AB =x

.

-+ ----+ -+ ----+

4. AKO je

x =AB'

OHp;a je

-x =BA'

rra je no p;e¢IDIMQMjH ca rrpeTXO,ll;He crpaHe,

-+ -+ ---+ -+

220

~

--+ c --+ b

~

a Teoporn --+ --+ - --+ a +-

-b

= a -

b

AcounjarnBHOCT ca6Mpa1na BeKTopa (TBpl)eibe rro)l, ~-y npeTXO,lJ;HOj TeopeMH)

mmryhaBa HaM ,n:a JITHopmrreMo 3arpa,!l,e rrpIDIHKOM OAPel)J1Ba!ha 3fo1p0Ba BHIIIe op; p;Ba BeKiopa. Jifa OBOr IBpljelba ce lf3BO,ll;Ji i1 TaK03BaHO npaBHJIO IIOJIJU'OHa 3a ca5Hpalbe BJIIIle BeKiopa.

Je,iUIOCTaBHOM rrp1n1eHml IIpaBIDia IIOJilITOHa ,ll;OOJ1jaMO )l,a je 3a CBaKe TPJ1 Ta'I.Ke A, B J1 C ra'llia je)l,HaKOCT

- + - + ----+ --+

AB +BC +CA =0.

Ammorna je)l;HaKOCT BaJKJl K 3a OIDio KOjJ1 5poj Ta'laKa.

c

B

e

CA

B

---+

A

AB

Ilocne~a TBpljelba

2.

y rrperxo)l,Hoj TeopeMH je TaK03BaHo npaBHJIO naparrerrorpaMa

3a cabKpalbe )l;Ba BeKTopa. });Ba BeKTOpa caOKpaMO ITO OBOM rrpaBHJIY TaKO IIITO 3a JDJfXOBe rrpe,IlCTaBHMKe OKp:h'.iO ycMepeHe A)')KH ca J1CTJ1M rroqeTKOM, a 3aTHM o.rwe)ll1Mo BeKTop rrono:>Kaja, y o)l,Hocy Ha 3aje)l,HWIKJ1 rroqernK, qeTBpTor TeMeHa napaneJiorpaMa o.n;peljeHor J13a5pattl1M rrpe,!l,CTaBHH~HMa.

--+ --t --t

0.1zy3er11 BeKTOP

x

0)1, BeKTopa y 3HaqI.f BeKTOp y ca5paTJ1

--t --t --t --t --+

ca

cyrrpoTHJfM BeKropoM BeKTopa x. ,IJ,aKJie, y -x =y +(-x).

--t --t --t --+

BeKTop

y

-x

Ha3J1Ba ce pa3JIKKa eeKTopa y l1

x.

IlpKMep2.

--+ --t --t

Ha cm~ 'AOJie )l,ecHo )l,aTJ1 cy BeKTop11

x,

y J1

z.

KottCTpYI.fIIIHMO BeKTop

--t --+ --t --+ --+ --t --+

v =(x +y -z) +(x -y +z).

ilpnM:enrre .n;a je oBaj 3ap;aTaK nma ,,o)l,peAJ1Bpe,n;HOCT113pa3a aKo cy p;aTe Bpep;HOCTH

rrpoMeHJbHBHX. . .': PernaBa ce Kao J1 ocTaJII.f CJIJi'lHH 3ap;a~H vt3 aJire5pe ca KojvtMa CTe ce Behcpemt.

YrrpocTKMO Hajrrpe ,n;aTJ1 BeKTOPCKJ1 l13pa3 KOpHCTellli oco5vtHe

orrep~ja HaBe)l,eHe Ha rrpeTXo)l,Hoj cTpattJ1:

--+ --+ --+ --+ --+ --+ --+ v = (x

+

y

-

z)

+

(x

-y

+

z) --+ --t --+ --+ --t --+ =x+y-z+x-y+z --+ --t --t --t --t --+ =x+x+y-y-z+z --+ --+ =x+x. --t --+ --+

,IJ,aKJie, BeKTop v He 3aBJ1CJ1 O)l, BeKTopa y J1

z.

Kao IIITO ce oqeKyje,

--+

p;oforjeHJ1 pe3yn:T~T 03Ha'laBaMO Kpahe ca 2x.

+

'::"ax

ol)t:

pojeB <

:'.F

e

•

• aKO IICTe •a.KO •a.KO ~ilrje7 - + -__,,-

.

.l'l .. .J.. = .... "'} yYa3yj Cmi'IB ettaa

cpajlhe

CeTID!

e

o,n; ,n;Ba palh'e --+ BC

>B

prpaMa la ~HOCTJ.1 rn cTe ce

"

IlpmBBo,n; BeKTopa rrp11po,n;HHM 8pojeM

n

~

1

,n;eqmIDrnie ce Ha oqeKHBaHM Haq1rn:

~ ~ ~ ~

nx =x +x

+ ...

+x.

'---v--'

n rryTa

TaKol)e, rrp11po,n;Ho ce )'BO,ll;H 11 rrpoH3Bo,n; BeKTopa HYJIOM 11 HeraTHBHHM QeJJ:HM 8pojeBHMa: ~~ ~ ~ ~ ~ ~ Ox =0 11 (-n)x =n(-x) =(-x) +(-x)

+

...

+(-x), n ~ 1. \.. .I "V"

n

rryTa

MHO)l(elbe BeKTopa QeJIHM 8pojeM je CaMO crreQHjarraH crrrrnj MHO:>KeH>a BeKTopa pearrHHM 8pojeM.

~ ~

HeKa je x rrpoH3BOJbaH BeKTop 11

k

HeKH pearraH 8poj. IlpoH3BO,n;

kx

8poja

k

11

~ ~

BeKTopa x je je,n;HHCTBeH BeKTOp y o,n;pel)eH ycrrOBHMa:

~ ~ ~ ~

I HHTeH3HTeT BeKTopa y je,n;ttaK je rrpoH3Bo,n;y 8pojeBa

lkl

11

jx

j,

TO jecT

jy

I=

lkl

·

Ix

I;

~ ~

" rrpaBaQ BeKTopa y HCTH je Kao rrpaBaQ BeKTopa x;

~ ~

~ CMep BeKTopa y HCTJ.1 je Kao CMep BeKTOpa

x

aKO je

k

>

0, a cyrrpoTaH aKO je

k

< 0.

~ ~ ~

AKo je

x

=AB,

oH,n;a ycMepetty ,ll;y)I( Koja rrpe,n;cTaBJba BeKTop

kx

je,n;HOCTaBHO

o,n;pel)yjeMo:

~~

• aKo je k

> 0,

ott,n;a je kx =AC, rrp11 qeMY je

C

TaqKa KOJIHHeapHa ca A 11 B, HaJia3M ceca HCTe CTpatte TaqKe

A

ca Koje je Ta':IKa

B

11 Ba:>KH

jACj

=

k

·

jABj;

~~

aKo je k

<

0,

ott,n;a je kx =AC, rrp11 qeMY je

C

TaqKa KOJIHHeaptta ca A Jt B, Harra311 ceca cyrrporne CTpaHe Ta':IKe A y o,n;Hocy Ha Ta':IKY B 11 Ba:>KH

jACj

= (-k) ·

IABI;

~ ----+

aKO je k=O, OH,n;aje

kx =AA.

H11je TernKo yo':IHTH ,n;a 3a cBaKy ycMepetty ,ll;y)I(

XY

Koja rrpe,n;cTaBJba

h

BaJKJi

xY

=AC. Il11caheMo 11

XY

= kAB.

fipHMep3.

Y rrp11Mepy Ha CTpaHH 223, ,n;eqmHJ1QHja BeKTopa cpeAJbe 8p311He ---+

1

---+

1

----+ ~

v

=-P₁P₂ =-(OP, -OP₁)

sr

M

M

-YKa3yje Ha 3Ha':Iaj MHO)l(elba BeKTopa 8pojeM.

Crr11':IHHX ,n;eqmH11n;11ja HMa ,n;ocTa y tPH311QH. Ha rrpKMep, BeKrnpoM cpe,4H>er y8p3a!ba ce Ha aHarroratt Ha':IHH Mep11 rrpoMeHa BeKTopa TpeffYTHe 8p311He

y

noqernoM u KpajlheM TpettyTKY BpeMeHCKOr J1HTepBarra

tit.

CernMo ce 11 <l>opMyn:e Kojy HaM ,n;aje ,n;pyrn IhyrnoB 3aKOH:

F=m-;.

+

-4x ---+ x 4x IlpomBOJ. Opoja n seICTopa je BeKTop. .rre4>nHIUIH0 a II pnMenrre ;:ra KOplfCTUMO

ncry

03Ha.b.] 3a HHTeH3JITeT seKTopauanconyr:Hy Bpe.:UiOCT

Opoja.

k·

E

reope. a

i~

-Y

~

--+ --!

x-

/ 3a CBaKe rpH Ta'IKe A .. B n C ra<rna je je.JHaKOCT ---+ ---+ ---+ -+ AB . BC -CA =0.

222

-+

3a CBaim BeKTOp X Ji CBe peaJIHe bpojeBe

k

H f B<l)Ke jep;HaKOCTH: --+ --+ --+

i (k+e;x

=kx

+ex;

--+ --+

2 k(fx; = k · f)x.

j(01,a3. Hehe~m }:lam AeT<UbaH p;oKa3 Ben ra ocTaBJba.MO Ba.Ma Kao 3ap;aTaK. Kao

mrycrparµi:jy HaBOAJfl>fO caMO p;eo ,ll;OKa3a jep;HaKOCTH IIO,ll;

1

.

--+ --+

J

egHaKOCT : je OlfiITJiep;HO Ta'!Ha )'KOJilfKO je

x

=

0 .

TaKolje, aKO je

k

+

e

=

0,

HMaMO p;a je

--+ --+ --+ --+ --+ --+ --+ --+ --+

(k+e)x

=0,

Kao H

kx

+ex

=kx

+(-k)x

=kx -kx

=0,

jep je f =-k.

Pa3Morpit:Mo ]J,aJbe crryqaj Kap;a je

k

>

0

H

e

>

0.

Jep;HOCTaBHO ce 3aKJb)"lyje p;a cy

--+ --+ --+

BeKTOpJ.I (k

+

f)X H

kx

+ex

HCTOr IIpaBQa H CMepa, Ila OCTaje CaMO p;a Ce IIpOBepH p;a JIH

cy

Ji J.fCTOr HHTeH3HTeTa:

--+ --+ --+ --+ --+ --+ --+

l

(k+f)xl

=lk+fl

· lxl

=(k+e) ·

lxl

=k ·

lxl

+e ·

lxl = lkxl

+

lfxl

--+ --+

=lkx

+exi.

AHanorno ce pa3Marpajy H OCTaJIH crryqajeBH, KaAa cy

k

H

e

HeraTHBHH, O,ll;HOCHO Kap;a

cy

pa3IDftUITOT 3HaKa. •

--+ -+

3a CBaKH peanaH

5poj k

H CBe BeKTOpe

x

Hy

Ta':IHa je jep;HaKOCT

--+ --+ --+ -+

k(x +y) =kx +ky.

CneqHjaJIHe crryqajeBe oBe jep;HaKOCTH, Kap;a je

k

Qeo 8poj, HHje TeIIIKO p;oKa3aTH. CrryqajeBH KaAa je

k

=

0

HJilf

k

=

1

cy Tp11B11:janH11.

YKOIDfi<O je

k

=

2,

jep;HaKOCT TaKolje Ba)l(M Ha ocHoBy

TeopeMe o cpeAJ:boj JIHHHjH Tpoyrna (cTpaHa

171).

KopHcTehH cJIWIBe JfAeje OHHM 113 p;oKa3a IIOMeHJTe

TeopeMe, IIOKa3yje ce Aa jep;HaKOCT Ba)l(J1 H 3a

ocTane ~ene 8pojeBe. ,lJ;oKa3 p;a je jep;HaKocT TaqHa

3a CBaKH peanaH

5poj k

p;aneMO Ha CTpaHH

325.

0BOM IIpJfJIJfl<OM HCTJfqeMO Ca.MO TO p;a je jep;HaKOCT

cyrrrTHHcKH IIOBe3aHa

ca

TanecoBoM TeopeMoM.

--+-+ -+

--+ --+ --+ --+

2x +2y=2(x+y)

HeKa

cy

Aam rrpo113BOJblill BeKTopH

x,

y H

z.

KoHCTpJHIIIH BeKTope:

--+ -+ 1 -+ --+ -+ -+ --+ -+ -+ --+ --+ --+ --+

~,

x

-2y +-z; 2 2(x -y +z)-(x -2y +z);

3)

-(-x +y)-2(-x -z).

2

IIpHMep4.

,IJ;aT je Tpoyrao ABC H HeKa cy A', B' J1I

C'

cpeAJ1IIITa CTpaHHQa BC, CA H AB. ,lJ;oKa)l(HMO

---+ - - + ---+ --+

AajeAA'+BB'+CC'=O. C

---+ --+ ---+ ---+ ---+ ~ ----+ ---+ ---+

AA' +BB'

+CC'

=(AB +BA') +(Be +CB') +(CA +AC')

--+

1

---+ --+

1

---+ ---+

1

---+

=(AB +-BC) +(BC +-CA) +(CA +-AB)

2

2

2

3

--+ ---+ ---+ --+ =-(AB +BC +CA)

=0.

+

2

A

c·

B

.

-

ca

"'KTO • -KO;JJ ~Mel

·;:pm

S-eKTO J:O OJ:IP ::IOA3a'

:\>

iH

he

1/

M,

0Baj

KJ

ysep;e

p

IMO ,n;a je

f'I ,n;a JIM

fo Ka,n;a !ff.

2y

~

I

--+)

+y

"'

~ ~

).

)Ka)l(MMO

~

--~

\

Y Hape,n;HoM rrpMMepy YKa3abeMo Ha seKTope y cseTy oKo Hae, o,n;ttocHo Ha noja.Be Koje je caCBMM rrpMpO,ll;HO OIIMCMBaTM BeKTOpMMa. HapaBHO, He MO)l(eMO ,n;a )l;aMO HCIJJJIIaH rrperne,n; osaKBMX rrojasa jep mc je 3aMCTa MHoro, an11 MCTWieMo ,n;a ce rrp0}7'la.Balbe BeKTopa ca MaTeMaTJiqKor CTaHOBMIDTa 3arrpaso O)l;HOCJ.1 Ha cse IbHX HCTOBpeMeHo. To je yje,n;Ho M cyrnT»Ha ,,CHare" Kojy rroce,n;yjy MaTeManrn<e Teop11je.

IlpHMepS.

OrrMCMBalbe KpeTalba je HajoqMrne,n;ttMj» rrp11Mep rrp11MeHe seKTopa. Ka,n;a Hae 3amfMa caMO KpeTalbe, OH,n;a je IIOTrryttO HeB<UKHO KOjH J.1 KaKa.B ocSjeKaT ce Kpehe, na 3aTO 3aHeMapyjeMo cse lberose KapaKTep11cTMKe 1111,n;eHTMcpm<yjeMo ra ca (TaK03BaHO~f MaTepMjaJIHOM) TaqKoM.

KpeTalbe TaqKe ( ocSjeKTa) je rrpoMeHa rroJio)l(aja y O)l;HOCY Ha HeKy pecpepeHTtty TaqKy.

-

--

--AKO ca

0

03HaqMMO pecpepeHTHY TaqKy, OH,n;a IIOJIO)l(aj p HeKe ,n;pyre TaqKe OIIMcyjeMO

--BeKTopoM rroJIO)l(aja OP. YKOJIHKO ce yoqeHa TaqJ<a Kpehe y o,n;Hocy Ha

0,

OH,n;a hey

,~ - - +

CBaKOM Hape,n;HOM TpettyTKY lbeH IIOJIO)l(aj p uHTJ.1 OIIHCaH BeKTOpOM OP'. BeKTOp

--IIOMepaja PP' rrpe,n;cTaBJba rrpoMetty rroJio)l(aja TaqKe y o,n;rosapajyheM speMeHCKOM

--:ilHTepsany. Kao IIITO heMo s11,n;eTM, seKTop rroMepaja PP' rrpe,n;cTa.BJba pa3JIMKY seKTopa

--+ - -

_{OP' MOP.}

YKOJIMKO cy seKTop11 rroMepaja KOJIHHeapH» y 811no KojMM TpeH)'l\HMa HeKor

:speMeHcKor MHTepsana, ott,n;a je KpeTalbe Tena y o,n;ttocy Ha

0

rrpa.BoJIB.HMjCKo, J1Haqe e KpMBOJIHHHjCKO. (IlpMMeTHTe ,n;a ose B<UKHe spcTe KpeTal:ha ,n;ecpHHJ.1IlleMO IIOMohy 3eKTopa rroMepaja.)

IlOIIITO ce CBaKa rrpoMeHa IIOJIO)l(aja perncTpyje y HeKOM speMeHCKOM HHTepsany, Heorrxo,n;Ho je y3eTH y ofo11p J.1 )l;~HY speMeHCKOr HHTepsaJia TOKOM KOjer je )l;OIIIJIO :::io o,n;pel)ettor rroMepaja. Pa3n11q11TMM spcTaMa cp113WIKHX seJIJf'IliHa, Koje cy II03HaTe rro,n; 3aje,n;H11qK11M Ha3MBOM 8p311Ha, Mepe ce rrpoMeHe rroJio)l(aja y jewunUVf speMeHa.. ~fa heMo rroMettyTH caMo je.n;tty Kaja je seKTopcKa senwnrna. Cpewna 8p31raa KpeTalba raqKe M3 IIOJIO)l(aja

P

₁ y TpettyTKy t₁ ,n;o rroJIO)l(aja

P

₂ y TpettyTKy

t

₂ je rrpomso,n; cSpoja

---+

1/

M,

r,n;e je

M

=

t

₂ -

t

1, M seKTopa noMepaja

Pl

2: -+

1

---+

1

----+ ----+

v

=-Pl

₂

=-(OP

₂

-OPJ

+

ST

M

M

Osaj KpaTaK rrpMKa3 rrp11MeHe seKTopa, H3Mel)y ocTanor, unycrpyje u norpecSy ,na ce

yse,n;e paqytt ca seKTOpMMa.

Benopu

y

rrpnpo:w:

p

I

0 0 p

~p

·

~p

n

0 ~ ~ v

223

-

E

reopeM

-+ -+

BeICTOpll X H J cy KO,TIIBeapIDI )'KQ;n{KQ

m.tajy HCTII npasm.

3y;1a-sei..'Top je .i;::o,Tiraeapaa ca CBaKHM BeicropoM. IlpuMenne ;ta je -+ -+ -+ -+ -+

y

=kx ~Jex +(-l)y =0 H -+ -+ -+ -+ -+ x

=k)

~ lx -'-(-kJY =0.

JlHHeapHa 3aBHCHOCT BeKTOpa

-+

TpJ£BJ.fj<l.JTIIa noc;ie;um;a ,n;eqnnrn1zy1je npmi3so,n;a 8poja J.f BeKTopa je p;a cy BeKTOpH

x

J.f

-+ -+

kx

Kommeapmt, 3a CBaKH 8poj

k

J.f CBaKH BeKTop

x.

,UoKa3aheMo p;a Ba)I(J.f J.f CBojeBpcmr

o8pT.

--+ -+ -+ -+

Ilpen10craBnMo ,n;a

x

J.f

y

HJ.Icy H)'Jla-seKTOpH. AKo cy seKTOPH x l1

y

KOJIJ.IHeapHtt,

-+ --+

OHp;a IlOCTOjH 8poj k :;t: 0 TaKaB p;a je

y

=

kx.

-+ -+ --+ -+

: : a2 AKo BeKTopH

x

J.f

y

HHcy Hyna-BeKTOpH, oHp;a je

lxl

:t:O HI.YI -:J:.0. Pa3JIHKosaheM~

p;Ba cny<rnja.

-+

--+ -+

lY I

·-

-+ -+

1. CJl)"Ia .

x

i i

y. HeKa je

k

=~· Tap;a je

k

>

0,

ha cy seKTOpH y l1

kx

ttcTor cMepa (na J

lxl

npasqa). TaKol)e, HCTH cy

HM

J.f HHTeH3HTent:

-+ -+

1h1=j~ ~=~ 1~1=LY1.

-+ --+

,UaKJie, BeKTopH y H

kx

cy je,n;HaKH.

-+

--+ -+ I.YI -+ --+

2. Cll}"I~

x

i

J.

y. HeKa je

k

= - ~· Ta,n;a je

k

<

0, na cy seKToptt y H

kx

HCTOr cMepa (na

lxl

J1 npasn;a), a J.f J1HTeH3J1TeTJ1 cy HM jep;HaKH:

-+ -+

lhl=I-:~ ~=:~ 1~1=LY1.

--+ --+

J.1

y OBOM crryqajy ,n;o8HjaMO p;a je

y =

kx.

I1p11MeTJ1MO p;a IIOp; npeTITOCTaBKaMa npeTXOp;He TeopeMe IlOCTOjH J1 8poj f :;t: 0 TaKaB ,n:a

-+ -+

jex =fy. •

)lOKa3aJia TeopeMa p;aje je,n;tty je,n;HOCTaBtty Be3y (,,3aBJ1CHOCT") Mel)y KOJIJ1HeapHHM

BeKTopHMa: KOTIHHeapHM BeKTopH cy JIJ1HeapHo 3aBHCHJ1. )];a 8ttcMo YKJby<IHJIH y npw1y

J1 H)'Jla-BeKTop, nojaM JIMHeapHe 3aBJ1CHOCTJ1 p;Ba BeKTOpa yso,n;HMO y OIIIIITHjoj <PopMH

op; OHe Ha Kojy YKa3yje npeTXo,n;Ha TeopeMa.

L

--+ -+

BeKTopH

x

J1

y

cy JDmeapHO 3aBHCHH aKO IlOCToje 8pojeBJ1

k

J1

e,

o,n; KOjMX je 8ap --+ -+ --+

je;n;aH pa3JIWIHT op; Hyne, TaKBH p;a je

kx +ey

=0.

J13 IIpeTXO,n;He ,n;e<P.111Ufl_\Hje p;ttpeKTHO 3aKJby<lyjeMO ,n;a je HyJia-BeKTOp TIJ1HeapHO

-+

3aBJ1CaJl ca CBaKHM

,n;pyrHM

BeKTOpOM

x

(Kojtt TaKol)e MO)l(e 8ttTJ1 HyJia-seKTop): Ha

--+ --+ --+

ripJiMep, 3a

k

=

1

J.f f

=

0

Ba)I(J1

kO

+

fx

=

0.

,lJ;aKJie, ,D;Ba BeKTopa cy mrneapHo 3aBHCHa aKKo cy KOJIHHeapHa.

0'1

-:-a:ra

T

Z=---+ XH

PC

1!1!

e.Mo (nan (rra KaB,'! ~wry ~pMJ1

"

ap 1a

AHanorHo )'BO)J;HMO nojaM JIHHeapHe 3aBHCHOCTH TPH BeKTopa.

--+--+ --+

BeKTOpH X,

y

H Z cy JIHHeapHO 3aBHCHH aKO IIOCTOje bpojeBH

k,

f H

m,

op; KOjHX je

--+ --+ --+ --+

bap jep;aH pa3JIJ1qJ1T Op; Hyne, TaKBH p;a je

k.x

+

fy

+

mz

=

0.

L-

~

Kao IIITO neMO IIOKa3aTH Hapep;HOM TeopeMOM, JIHHeapHa 3aBHCHOCT TPH BeKTopa je eKBHBaJieHTHa lhHXOBOj KOMIIJiattapHOCTH.

--+--+ --+

I

BeKTOpH

x,

y H

z

cy KOM1mauapJm YKOJIHKO cy

HM npaB~H naparreJIHH HCTOj paBHH.

L .,,--- -

---~~~

--TpH BeKTopa cy KOMIIJiaHapHa aKKO cy JIHHeaptto 3aBHCHa.

--+--+ --+

(01ca3.

(=>)

IlpeTnocTaBHMO p;a cy BeKTopH x, y Hz KOMIIJiattapHH. HeKa je 7t paBaH Kojoj cy naparrerrHH npaB~H OBHX BeKTopa.

--+--+ --+

AKO Mel)y BeKTOPHMa x'

y

H z IIOCTOje p;Ba KOja cy KOJIHHeapHa, OHp;a TBpl)elhe BaJKJ1.

--+ --+

3aHcTa, aKo cy, Ha npHMep,

y

H z KOJIHHeapHH, ottp;a nocrnje 8pojeBH

k

H

e,

op; Kojmc je

--+ --+ --+ --+ --+ --+ --+

8ap jep;aH pa3JI}fqHT op; ttyrre, TaKBH p;a je

ky +ez

=0.

Mel)yTHM, np;a je Ox

+ky +ez

=0.

--+--+ --+

IlpeTnocTaBHMO p;a Mel)y BeKTOpHMa

x,

y H

z

HeMa KOJIHHeapHHX. HeKa je 0

npoH3BOJbHa nqKa paBHH Jt, a nqKe

X, Y, Z

E n TaKBe p;a je--;

=OX

,

y

=

oY

H

""J

=OZ.

HeKa je

X'

npeceK npaBe Kpo3 Z naparrerrtte ca

DY,

a Y' npeceK npaBe Kp03 Z

naparrerrtte ca

OX.

Tap;a je

OZ= OX

'

+

OY'.

TaKol)e, BeKTopH

OX

H

OX

'

cy KOmIBeapIDt,

na IIOCTOjH bpoj

k

:f;

0

TaKaB p;a je

OX

'

=

kOX.

IlocTOjH H bpoj

e

:f;

0

TaKaB p;a je

OY'

=

foY.

,lJ;aKJie,

"'J

=OZ =OX' +OY

'

=kOX +loY,

--+--+ --+

op;aKJie CJiep;H p;a cy

x'

y

H

z

JIHHeaptto 3aBHCHH. --+--+ --+

( ¢) IlpeTIIOCTaBHMO p;a cy BeKTOpH x' y H z JIHHeaptto 3aBHCHH.

Tap;a nocrnje 8pojeBH

k,

e

H m, op; KojHX je fop jep;att pa3mf'IBT op; HYJie, pe~m.m m ::1;

0

,

--+ --+ --+ --+

TaKBH p;a je

k.x

+ ey +

mz =

0.

Mel)yTHM, op;aBp;e CJiep;H JJ,a je

--+

k-+

f-+ --+ --+--+

z = - -x - -

y,

IIITO 3HaqH p;a je z 3bHp JJ,Ba BeKTopa KomrneapHa ca x

Hy

,

rra je Kao

m

m

TaKaB KOMIIJiattapatt ca lhHMa (no p;e¢HHHqMjH cabHpaiba). •

JlBHeapHa 33.BJICHOCT

rpn

Bei..•opa ;ieqmmum iieQJ1HJllDfJa TeOpeMa }J,sa mrneaptto He3aBHCHa BeKTopa cy yseK KOMIIJiaHapHa.

:r~

~

noG1eam1a

226

~fa rrpen:o~ TeopeMa H3BOAJfMO BeOMa B<UKHY IIOCJiep;JU.J;y.

--+ --+

HeKa

cy

x

u

y

BeKTopH KOjH mKy KomrneapH11 (na T11Me H11cy Hl1 Hyna-BeKTop11).

--+ --+ --+

Ta;ua 3a CBaKH BeKTop z Koj11 je KOMTIJiaHapaH ca x 11

y

IIOCTOje jep;11HCTBeH11 --+ --+ --+

OpojeBH

a

11

b

TaKBl1 p;a je

z =ax

+by.

;10Ka3.

,noKa3alieMo rrpBo p;a OBaKB11 8pojeB11 nocToje.

• --+ --+ --+ --+ --+

A.Ko je

z

=

0,

oHp;a 3a a=

b

=

0

BaJKM z =ax

+

by.

--+ --+

IlpernoCTaBHMO .n;a je z

*

0.

Tap;a IIOCToje 8pojeB11

k,

e

11 m, op; Kojmc je Oap jep;aH

--+ --+ --+ --+

pa3JIWrn:T op; HYJie, TaKBl1 .n;a je kx

+

ey +

mz =

0.

Ilp11 YBep;eHl1M npeTIIOCTaBKaMa npBO

--+ --+ --+

IIITO 3aKJbyqyjeMo jecTe p;a je

m ;eO

,

jep aKo 811 forno

m =0

,

HMaJIH OHCMo .n;a je

kx

+ey

=0

--+ --+

(rrpH qeMY je fop jep;aH op; OpojeBa

k

11

e

pa3JIWIHT op; Hyne), na OH BeKTOpH x l1

y

OHJIH KOIDIBeapHK cyIIpOTHO rrpernOCTaB.qH.

--+ --+ --+ --+ --+

Y3KMajyhH y ofoHp p;a je m

*

0,

H3 jep;HaKocrn kx

+

ey +

mz =

0

113pa)l(aBaMo

z:

--+

k

--+

e

--+

z=--x

-

- y

.

m

m

k

e

--+ --+ --+

.[(aKJie, 3a

a

= - -

H

b

= - -HMaMo p;a je

z

=ax

+by

.

m

m

Ocraje jom p;a ce IIOKa)l(e p;a cy OBaKBl1 8pojeB11

a

11

b

jep;HHCTBeHH. 3a11crn, aKo 811 --+ --+ --+

OKJio

z

=

a

₁

x

+

b

iY,

3a HeKe

a

₁ 11

b

₁, np11 qeMy je

a

;e

a

1 11n11

b

*

b

1, HMaJI11 811cMo p;a je

--+ --+ --+ --+ --+ --+ --+

ax

+

b

y

=a

₁

x

+b

1

y

,

op;HOCHO

(a-a

1

)x

+(b-b

1

)y =0

,

--+ --+

o.n;aKJie 811 rnep;KJio p;a

cy

x

11 y JI11HeapHo 3aB11cH11. •

--+ --+ --+

IlpKKa3J1Baihe BeKTOpa z KOMITJiaHapHor ca HeKOJil1HeapH11M BeKTop11Ma x 11

y

y

--+ --+ --+ --+ --+ --+

OOJIKKY

z =ax

+by

Ha3HBa ce pa311ara11>e BeKTopa

z

no

x

11

y.

L-- -,...,....

----IlpBllep

I.

Ilpl1Jll1XOM KpeTalba Tena HH3 CTPMY (Kacy) paBaH, c11na Te)Ke

F

ce pa3Jia)l(e Ha

--+

Ta.K03BaHY aKTHBlfY KOMITOHeHTY F , napanentty ca cTpMoM paBHl1, 11 TaK03BaHy

--+ a

HopMaJIHY KOMIIOHeHTY F", Kaja je HOpMaJIHa Ha CTPMY paBaH.

+

Ilp :leKa

cy

?a3JIO)K] :Jp11MeJ · OJil1He1 -aje.n;:i1 7 7

.:;·

I

11

J

'-'

·

"'

:mo P

<

OJIHHd .:>eKTOpl 3Saq11 ,1

::a

HeKOI ::::peMaJ --+ :=ax~ -+ ~

"'

2i

+j

meapj flpHMel :-nryp~ :poyma ReKaje A',B. ] OKCDIQ 3eKTOp1 seKH pe TaKol)e :rn:HHjK :i;o811jru.

a-

2

)

0

jep Hl1C jep;HaKo

p11). J1 B: rrpBo -+ -+

ey

=O

-+ 8mm 511 je

"

~{::._._:-tt"nnn<'n>.nu_..-. .. "-''-"-=--...= - -

-IlpHMep2.

-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+

HeKa cy

i

11

j

JIHHeapHo He3aBHCHH BeKTop11 11 HeKa je

x =

i

+

j, y =

i -j

H

z

=

2i

+

j.

-+ -+ -+

Pa3JIO:>KHMO BeKTop z no x 11

y.

--+ -+

IIp11MeTHMO Hajrrpe ,n;a BeKTop11

x

11 y HHcy KomrneapHH. 3aHcTa, aKo bH fa.um

~ ~ ,--+

b'-+

--+ ~ I

b

'

KOJIHHeapHH, OH,n;a uH uHJIO

ax

+

y

=

0,

3a HeKe pea11He upojeBe

a

H Koj11 HMCY

o8a je,n;HaKH HYJIH. Mel)yTHM, Ta,n;a bMcMo HMaJIH 11

(a

'

+ b')i +(a

'

-b

')

J

=0,

rra rrornrn

-+ -+

cy

i 11j

JIHHeapHO He3aBHCHJ1, cne,n;11 ,n;a je

a

'

+b

'

=O, a

'

-b

'

=O.

0Baj CHCTeM HMa Ca.MO --+ --+

je,n;Ho pernelbe

a'=

b'

=0,

IIITO je y KOHTpa,n;H~HjH ca rrpeTXO,n;HHM. ,ll;aKJie, x J1 y

HHcy

KOJIHHeapHH.

--+ -+ -+ -+ -+

BeKTop11

x,

y

11

z

cy JIHHeapHe KOM811mui;11je ,n;Ba HeKOJIHHeapHa BeKTopa

i

11

j,

IIITO

-+

3Ha'IJ1 ,n;a je CBaKH o,n; lbl1X KOMIIJiaHapaH ca OBHM BeKTOpHMa. ,ll;aKJie,

z

je KO~mmrnapaa

--+ -+

ca HeKOJIHHeapHHM BeKTOpHMa

x

J1

y.

IIpeMa rrpeTxo,n;Hoj TeopeM11, rrocToje je,n;11HCTBeH11 peaJIHH 8pojeB11

a

11

b

TaKBH ,n;a je

-+ --+ -+ --+ -+ -+

z

=ax +by.

AKo Y3MeMo y ofo11p KaKo cy ,n;eqmH11caH11 BeKTop11

x,

y

H

z,

,n;ofarjaMo ,n;a

-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ --+ -+ -+

je

2i +j =a(i +j) +b(i -j),

O,Il;HOCHO

(2-a-b)i

+

(l -a +b)j

=0.

IloIIITO cy

i Hj

iIHHeapHO He3aBJ1CHJ1, rne,n;11 ,n;a je

2 -

a - b

=

0, 1

-a+ b

=

0.

0Baj CHCTeM HMa

3 1 -+ 3--+ 1--+

ie,n;11HCTBeHo pernelhe

a=-,

b =-. ,ll;aKJie,

z =-x

+-y.

IIp11MeT11Mo ,n;a 113 ,n;o811jeHe

2

2

2

2

k,n;HaKOCTH o,n;Max ,n;o811jaMo 11 pa3naral:ba:

--+ 1 -+ 2 -+ -+ --+ -+

x

=--y +-z

HY

=-3x +2z.

+

3

3

IlpHMep3

.

IIp11MeHoM pa'lytta ca BeKTop11Ma Mory ce ,n;oKa3aT11 MHoro8pojHe ocofame

qmrypa. Kao 11nycTpau;11jy ,n;oKa3aheMo HeKe Be3e Mel)y 3Ha'lajHHM Ta~a.Ma

rpoyrna.

HeKa je

ABC

rrpo113BOJbaH Tpoyrao,

0

u;eHrnp orr11catte Kp~e,

H

opTon;eHrap

11

A', B'

11

C'

cpe,n;11rnra CTpaH11u;a

BC, CA

11

AB.

,ll;oKa:>KHMO ,n;a je

AH= 20A ',EH= 20B',

cH

=

20C'.

BeKTop11

AH

11

OA

'cy KOJ1J1HeapH11 (jep cy HopMaJIHH Ha

BC),

rra je

7Jl

=

aOA

'

3a

HeKH peanaH 8poj

a.

AHanorno 3aKJbyqyjeMo ,n;a je

EH= bOB

'

3a HeKH peanaa 8poj

b.

---+ -;-;? ---+ ---+ ---+

TaKol)e, HMaMo ,n;a je

AB

= A1i

+

HB

=

aOA' - bOB'.

Ha ornoBy TeopeMe o cpe.AH>oj

---+ --+ --+ ---+ ---+

JIHH11j11 Tpoyrna (CTpaHa

171)

3HaMO ,n;a je

AB =2B

'

A

',

a KaKO je H

B'A

'

=

OA

'

-OB

',

---+ ---+ ---+ ---+ ---+ ---+ ---+

,n;o811jaMo ,n;a je

AB

=

20A' -20B'.

,ll;aKJie,

aOA

'

-bOB

'

=

20A

'

-20B

',

TO jecT

---+ ---+ -+ ---+ ---+

(a-2)0A'

+

(2-b)OB' =0.

IIornTo cy BeKTop11OA'11

OB

'

J1J1HeapHo He3aBHCHJI (jep H11cy KOJIHHeapmt), cne,n;M ,n;a je

a - 2

=

0

H

2

-b

=

0,

o,n;aKJie AObHj~10

up

Be ,ll;}Je je,n;HaKOCTl1. •

...

-2 -1

-2

_..,

X(2,3)

KoopAJ1HaTe BeKTopa

y

paBHH

Il03HaTe cy rrpe.J;JIOCTJ.i IIOCTaBJhlllba KOOpAIDfaTHOr CHCTeMa y paBaH. 3HaqajHo heMO o;raK.rnani u

P<lfl

ca BeKiopuMa Ka):la OHH ,,,qo811jy Koop,q}rnaTe".

Y

OBOM o,qeJbKY heMo ce orpaHWil1rn Ha BexTope Koju cy MeljycoOHo KOMIIJiattapm'I.

Ilpep:CTa.BJbajy!rn OBaKBe BeKTope ycMepeHHM ,lJ;y)KHMa q11ja je rroqeTHa TaqKa Koop,;:umaTHJ1. rroqeTaK

0,

3aKJbyqyjeMO ,qa BeKTope MO)f(eMO H,qeHTH<pHKOBaTH ca 3 x napoBJIMa peanHux opojeBa.

Ilperp13HJfje, CBaK.J1 BeKiop je BeKTOp IlOJIO)f(aja

(y o;urncy Ha KOOpAHffaTHM noqeTaK) HeKe

Ta~e

y

paBHH, na ce Koop,qMHaTe Te TaqKe Mory CMaipaTM H KOOpAJ'lliaiaMa TOr BeKTOpa.

----+ 3a Ta'IKY

x

BeKTOp

ox

Ha3HBa ce BeKTOp IIOJIO)l(aja Ta'IKe

x

y o,n;Hocy Ha Ta'IKY 0. -+ -+ ---+

3anMc

a

= (x, y) 3Ha'lli ,qa BeKTop

a

npe,qcTaBJba ycMepeHa AY)f(

OA,

r,qe cy (x, y) Koop,qJrnaTe TaqKe A.

-+ -+

HeKa cy

i

=

(1, O)

11 j =

(O,

1)

je,qMH:HqHM

BeKiopH (BeKTOpH 'Iltjl1 je J1HTeH3J1TeT je1waK

je,quID1Ipi) KommeapHH ca Koop,qHHaTHHM ocaMa.

O~ITJieAJIO, OBH BeKTOPH cy HeKOJIHHeapHH, rra

-+ 7 7

ce CBaK.J1 BeKiop

a

MO)f(e pa3JIO)f(J1TJ1 IIO l J1

J

Ha

jelllfHCTBeH Ha'Ulli, TO jecT IlOCToje je,qHHCTBeHJ1

-+ -+ -+

OpojeBH x 11 y TaKBH ,qa je a =xi

+

yj. HHje TeIIIKO

x

3aKJbyqin:tt Aa cy OBH OpojeBH

x

Hy

yrrpaBo

-+ .

KOOpAIDfaTe BeKTopa a .

AKO 3HaMO KOOp,D;HHaTe BeKTOpa -+

a

=

(x, y), ott,n;a o,n;Max ,n;o011jaMo H pa3naraH>e oBor BeKTopa rro

-+

BeKTOpHMa i = (1, O) H

-+ -+ -+ -+

j =(0, 1): a =xi +yj,

H oOpttyTO.

Onepau;Mje ca BeKTop11Ma CBo,qe ce Ha onepau;Hje ca Koop,q1rnaTaMa:

-+ -+

a.KO je a

=

(x, y) Jilk je HeKU Opoj, oH,qa je ka

=

(kx, ky);

---+ ---+ ---+ ---+

• a.Ko je a

1 = (x1, y1) 11 a2 = (x2, y2), oH,qa je a1

+

a2 = (x1

+

x2, y1

+

y2).

OcoOJit:He onepal.V'fja ca BeKTOpl1Ma (o KojHMa je OHJIO peq11 Ha CTpaHH

223)

,qHpeKTHO

cy

rroBesatte ca ocoforna.Ma ca811pal:ba J1 MHO)l(el:ba peaJIHHX OpojeBa. Ha rrpHMep,

-+ -:-+ -+ -+ -+ -:-+

x pa3MOipKMO jeAJia.KOCT k( a

+

b) =

ka

+kb. )J;o,qeJIHMO Hajnpe BeKTOpHMa a l1 b

~~---;<--<>=+~~~~- -+ -+ Koop,qMHaTe: a = (x₁,

y)

11

b

= (x 2,

yJ

Ta,qa je X(-1,-2)

228

-+ -+ k(a

+

b) = k((x 1, y1)

+

(x2,

y

2)) = k(x1

+

x2, y1

+

y2) =(k(x

1

+x

2), k(y1 +y)) =(kx1 +kx2, ky1 +ky2)

= (kx

1, ky1)

+

(kx2, ky2) = k(x1, y1)

+

k(x2, y2)

>neMO 'ne~i:o ca

5X

0. KTOpa H

;..

>eKTHO

:p,

I \

3HajyhH KOOpAHHaTe BeKTopa, jeAHOCTaBHOM rrpHMeHOM IlinaropHHe TeopeM:e HaJia3HMO HHTeH3HTeT Tor BeKTopa.

AKO je-; = (x, y), OHAa je

1<J1

=...Jx2

+

j.

IlpHMep 1.

HeKa cy AaTe KOOPAHHaTe ABe Ta'!Ke

A(x

₁,

y

1) H ...;;...+

B(x

₂,

y

2). 0ApeAHMO KOOpAHHaTe BeKTopa

AB

TO jecT KOOPAHHaTe BeKTopa OApel)eHor OBOM

vcMepeHoM AY:>KH). ----+ ----+ ----+

AB =OB -OA

a~ =

(x2, Y2) -(x1, Y)

=(x2-x1,Y2-YJ

•

y

0

----+ ----+ AKo je

A(O,

-4) H

B(-2,

3) OApeAH KoopAHHaTe BeKTopa

AB

H

BA.

IlpHMep

2.

--+ --+ --+

J;aTH cy BeKTOpH

x

=(-1,

2),y

=(2, 2) Hz =(0,

3).

--+ --+ --+

Tpeba HallH 8pojeBe

a

H

b

TaKBe Aa je

z =ax +by.

AKo rroCJieAibY jeAHaKocT 3arrmneMo y KOOpAHHaTHOM oOJIHKy, AOOHjaMo Aa je

0, 3) =a(-1, 2)

+b(2,

2)

=(-a, 2a) +(2b, 2b)

=(-a+2b, 2a+2b),

rra je

-a+ 2b

= 0 H

2a

+

2b

=

3,

OAaKJie AOOHjaMo

1

--+ --+

1

--+

a=

1,

b

=-. ,lJ;aKJie,

z =x

+-

y.

2

2

--+ -+ -+ --+ -+ -+ --+ -+

IlpHMeTHTe Aa je

x =-i

+2j,

y =2i +2j

Hz

=3j,

rrpH

7 7 .

'leMy cy t H; KOOPAHHaTHH BeKTOpH, H yrropeAHTe oBaJ

rrpHMep ca rrpHMepoM 2 HaBeAeHHM Ha CTpaHH 227 . •

~":a

-2

-1

0

1

--+ --+ -+ --+ --+

}.J,aTH cy BeKTOpH

x = (1, -2) Hy =

(3,

2). Pa3JIO:>KH BeKTop

z

no

x

Hy' a.KO je:

-+ -+ -+ z=(-4,0); _ z=(0,-4); _, z=(9,-2).

B(X2,

Yi)

x

2

3

y

x(x,y)

x

0 x )

2L

A

0

E

0

A

p

3ap;a~H

Orrepan;1t:je ca BeKTop11Ma

-+ -+

l )J,arn:

cy

BeKTopH

x

Hy.

KoHCTPym:IDI BeKTope:

--+ --+ -+ .,,.+b --+ 1-+ -+ --+-+

1

a=x+2y;

2

=2.x--y;

3

c=-2x-y.

2 --+-+ -+

2. JJ;ant

cy

BeKTopH

x,

y Hz. KoHcTpyJmrn BeKrnpe:

-+ -+ -+ --+ --+ -+ --+ -+ -+

2x

-y

-z; 2)

(x +2y-z)-(x +y-z).

3 .

.lJ;pK

AB

je Ta'IKaMa

C

l

, C2, C3,

c4

H

cs

rrop;eJbeHa Ha rnecT rrop;y;n;apHHX p;enoBa.

"-+ -="

HeKa je

0

rrpoH3BOJbHa Ta'll<a H

a

H

b

BeKTOpH rrono:>Kaja Ta'laKa

A

11

By

----+

O,!µiOCY Ha TalfKY 0. vfapa3H BeKTOpe

0Ck,

k

= 1, 2, 3, 4, 5, IIOMOil)' BeKTOpa

--+ .,,.+

a

Hb.

--+ ---+ --? ---+ ---+ ---+ ---+ ---+

4

.

.IJ:aT je KBaAPaT

ABCD. Al<o

je

a

=AB

Ha

=AC,

mpa311 BeKTope

BC, CD, DA

11

BD

upeKO BeKTOpa -; H

d.

5. )J;aT je rrapa.JienorpaM

ABCD

11 rrpoH3BOJbHa Ta'll<a

S.

HeKa je

0

rrpeceK p;MjaroHana

---+ ~ ---+ ---+ -;-;:? ---+ --+ --+

napa.JienorpaMa. vfapa3H BeKTope

AB' Be' CD' DA'

Ac'

AO' SD

J1

so

IIOMohy

--+ --+ .,,.+ --+ -+ --+

BeKTopa a

=SA,

b

=SB

11 c

=SC.

6.

)J;oKa:>KH rrpm.1eHoM BeKTopa p;a je cpep;H>a mrnHja Tparre3a rrapanenHa ocHOBHIJ;aMa H jep;HaKa lbJ.1XOBOj apHTMeTH'll<Oj cpep;l1HJ1.

--+ .,,.+

7.

HeKa cy a H

b

BeKTOpH rrono:>Kaja Ta'laKa

A

l1

By

op;Hocy Ha rrpol13BOJbH)' Ta'IKy

0.

-+

)J;oKa:>KH p;a je Ta'IKa

S

cpep;HrnTe p;y:>1rn

AB

aKKO je H>eH BeKTop rrono:>1<aja

s

y op;Hocy

--+ .,,.+

0

.

a

+b

Ha Jep;HaK - - . 2

B

--+-+ -+

8. HeKa je

P

Ta'IKa ,ll;pKH AB, pa3Jrn'IJ1Ta

op;

KpajeBa

A

l1

B

l1 TaKBa p;a je

--+ .,,.+

I

API

:

IPBI

=

k. Al<o

cy

a

11

b

BeKTop11 rrono:>Kaja Ta'laKa

A

11

B

y op;Hocy Ha

rrpo113BOJbtty Ta'IKY

0,

OAPep;11 BeKTop rrono:>Kaja Ta'!Ke

Py

op;Hocy Ha

0

y

--+ .,,.+

3aBHCHOCTH

op; a

H

b.

---+ --+ --+

1

---+

YuyiUciU8o. IlpHMeTH p;a je

AP

=

kPB,

op;HOCHO

PB =-AP,

rra je

k

---+ ---+ --+ ---+

1

---+

k

+

1

---+ ---+

k

---+

AB =AP+PB =AP +-AP

=--AP, Op;HOCHOAP =--AB.

k

k

k+l

Ilp6£a 3a;:iancy 10. aI<O cy a' b J1 c BeKTOpH IlOJIO:>K:aja 9.

Al<o

je

T

Te)KJ1IIITe Tpoyrna

ABC,

113paqyHaj

---+ --+ ---+

HeKomrneapHliX raqaKa A, B u Cy OWfocy Ha

-+

npOH3BOJbHf Ta'IK}' 0, Ta,!J.a je BeKTOp IIOJIO:>Kaja t

TeJKJIBITa T rpoyma ABC

y

owrncy Ha 0 jeJIHaK

230

-+ -+ -+

a b +c

3

TA +TB

+TC.

YuyiUciU8o. Ilornep;aj rrp11Mep 4. Ha cTpaHH 223.

..

10.

Al<o

je

0

rrpo113BOJbHa Ta'!Ka, a

T

Te:>KHIIITe Tpoyrna

=::::t

1

---+ ---+ ---+

ABC,

p;oKa:>KH p;a je

01

=-

(OA +OB

+OC).

3

(

y

_

'

.

H

__J

~

y

~JIOBa.

r

pa • ----+ HBD !Hana

hy

~aMa M

tKy 0.

,n;Hocy ra

y

"

rna

11. Te)ftllJ1IIITe cKyna o.n;

n

TaqaKa A

1, A2, ... , A je TaqKa T TaKBa .n;a je

---+ ---+ ---+ -+ n TA1

+

TA

2

+ ...

+TA" =

0.

AKo je

0

npoH3BOJbHa Ta~a, p;OK<UKM .zi;a je

=-;;tl~~ ~

Ul _{=-(OA1 +OA2}

+ ...

+OA ).

n n

12. J.13ac5ep11 qeT11p11 TaqKe J1 KOHCTpywnm lbIDCOBO Te)l(HIIITe.

B

-+ ~ --+ --7

13. HeKa cy a,

b,

c w a BeKTopw noJio)l(aja Taqai<a

Te)lomITe ,IUle Ta'Il<e A₁ H A₁ je cpezumrre T ;zyxi1 A₁A:

~ ~-+

jep je TA1

+

TA2 =0. IlpIDieTif .n:a je npeMa 3a!Iancy 7.

----+ 1 ---+ ---+

OT = -( OA₁

+

OA, ). Taxot)e, TeJKJmITe rpu

2 •

A, B, C w D y op;Hocy Ha npoH3BOJbHY TaqKy

0,

rrpw qeMY Meljy TaqKaMa A, B, C w D He rrocTOje TPM Koje cy

KOJIHHeapHe. )];0Ka)l(11 .zi;a je qeTBopoyrao ABCD -+ --+ ~ --7

napa11e11orpaM aKKO je

a

+

c

= b

+a.

HeKommeapHe Til'Il<e A₁, A

2, A3 je T(!)l(Jmrre T rpoyrna

A

₁

A~

₃

(3a,n;arax 9). Ilpe~ia 3a;:i;ancy IQ. je

14. HeKa cy P, Q, R w S cpe.zi;mma cTpamu.1;a AB, BC, CD

----+ 1 ---+ ---+ ---+

OT

=3

(OA₁ +OA₂ +OA₃).

w DA qeTBopoyrna ABCD. )];oK<UKM (npHMeHoM BeKTopa)

.zi;a je PQRS napa11e11orpaM.

YuyiUciUBo. Tip11MeH11 7. 3ap;aTaK w rrpeTxop;Hw 3ap;aTaK.

15. HeKa je ABCDEF HeKM rnecToyrao J1 HeKa cy Al, Bl,

cl,

DI, El J1 Fl Te)l(MIIITa Tpoyr110Ba ABC, BCD, CDE, DEF, EPA w FAB. )J;oKa)l(H .zi;a cy rrapanemrn H

rro.zi;y.zi;apHw rrapoBw cTpaH111.1;a _{A 1B1} 11 D₁

E

₁, B

1C1 11 El1,

C

1D1 w F1A 1 mecToyrna

A1B1CP1El1·

16. )J;aT je qeTBopoyrao ABCD. HeKa cy A', B', C' HD' Te)l(}lllITa TpoyrnoBa BCD, CDA,

DAB w ABC. )J;oKa)l(H .zi;a cy cTpaHHI.l;e A 'B ', B'C', C'D' H D'A' qeTBopoyrna A 'B'C'D'

Tpw nyTa Kpahe o,n; o.zi;rosapajyhwx cTpaHHI.l;a AB, BC, CD H DA qeTBopoyrna ABCD.

17. HeKa je ABCD npoH3BOJbaH qeTBopoyrao HP, Q, R w S cy Ta~e Ha CTPaHJ1I\a.Ma AB,

BC, CD H DA TaKBe .zi;a je

IAPI

:

IPBI =

ICQI

:

jQBj

=

jCRI

:

IRDI

= IASI : jSDj. )J;oK<UKM .zi;a je PQRS napa11e11orpaM.

YuyiUciUBo. J1cKop11cT11 3ap;aTaK

8.

JIHHeapHa 3aBHCHOCT BeKTopa

-+ -+ --+ -+ -+ -+ -+ .,,..+

18. Pa3JIO)l(H BeKTope x, y,

z,

u,

v

11

w

no a 11

b

(Ha octtosy c1111Ke .zi;ecHo ).

1~

)J;aTw cy 1111HeapHo He3aB11ctt11 BeKTop11 -; w

T!.

O.zi;pe,ll;H

J

-+ -+ .,,..+

peanatt cSpoj

m

TaKO .zi;a BeKTop11

x

=

-2a

+

3b

11

-+ -+ .,,..+

y

=Sa

+

mb

cSy.zi;y KOJIHHeapttw.

eKa cy a J1

b JIHHeapHO He3aBHCHJ1 BeKTOpH.

)J;oK<UKM

~

-+ .,,..+

-+ -+ .,,..+

.zi;a cy JIHHeapHo He3aBJ1CHJ1 J1 BeKTOpH

x =-a

+

b

J1

-+ -+ .,,..+

y

=2a -b.

--- -

-E

f21

y .

?:

.

.

.

.

.

.

o

!x

B

B

B

232

G

--+ -+ --+ --+ -+ --+ --+ -+

;r:(ant

cy

mmeapHo He3aBMCHH BeKTOPM

a

M

b.

HeKa je

x

=-a

+

b,

y =

-2a

+

b,

--+ --+ -+

z=a-2b.

--+--+ --+

1

,UoKIDKJt ~a cy CBaKa ~a o.n; BeKTopa

x,

y M

z

mIBeaptto He3aBl1CHa.

--+--+ --+

2 Pa3JI02KH CBaKH o.n; BeKTopa

x,

y l1

z

no npeocTarra ,n;Ba.

22.

HeKa je

D

npeceK cTpaIDU_\e

AB

H rnMeTparre yrna Ko,n; TeMeHa C Tpoyrrra

ABC.

IlpIDteHoM BeKTopa ,n;oK<UKJ1 .n;a je !ADI :

IDBI=

ICAI : ICBI.

~T-;iiicurno.

AKo je fOXI = IDYI H OZ= OX+

DY,

npHMern ,n;a ycMepetta ,n;y)I( OZ

rronoBu yrao KojM o8pa3yjy ycMepette ,ll;y)l(J1

OX

H

DY .

--+ -+

--+ ---+ -+ ----+ a

b

TaKol)e, 3a 8HJio Koja ~a BeKTopa

a

=

OA

l1

b

=OB,

BeKTop11 ~ H ~ cy

lal

lbl

--+ --+ -+ -+

KOJIJ1HeapHH ca

£1

M

"t

M HCTor cy l1HTeH3l1TeTa: I,;, I=

:~:

= 1,

j

1~

1

j

=

:~:

=

1.

O.n;aB,n;e

---+ cnewi .n;a je 3a CBaKf Ta'll<f

S

cHMeTpane yrna KojH 08pa3yjy ycMepette ,n;y)l(11

OA

11

--+ -+

----+ ---+

a

b

OB

BeKrnp

OS

KommeapaH ca~+~.

la! lbl

23.

HeKa je

ABC

npoH3BOJbaH Tpoyrao,

0

u;ettTap on11catte Kpy)l(ttHn;e 11

H

opTOn;ettTap . .D;oK<UKJ1 je,n;HaKOCTJf:

11

OA +OB

+OC=oH;

2)

AH

+BH +cH=2(0A +OB

+OC).

/uyiUciUBO.

----t ---+ ~ --;-;? ~

1 J1cKopHCTl1 je.n;ttaKocT

OB +QC

=

20A

11 je,n;ttaKOCT

AH

=

20A

,n;oKa3atty y npHMepy

3

Ha CTpattl1 227.

)

~o

,

----+ --7 ----fr ---+ --7

2 I1p11Mett11 je,n;ttaKocT no,n; 1 l1 je,n;ttaKocrn

A =OB +BA , OB

= OC

+CB

11

oc;)

=OA

+AC'.

2-± .

.D;oK<UKJ1 .n;a cy u;ettTap on:Hcatte Kpy)l(ttHn;e

0,

Te)l(HIIITe

T

l1 opTon;ettTap

H

Tpoyrrra

ABC

Komrneaptte Ta'lKe M .n;a je IHTI =2jTOI.

~'uy-'ciUBo YrcKop:HcT.H 3a,n;aTaK 10. H npeTxo,n;tt11 3a,n;aTaK no,n;

1).

Koopp;HHaTe BeKTopa y paBHH

l

25

aTe cy Ta'lKe A{l, 2),

B(2,

-3)

M C(-1, 1). O,n;pe,n;11 Koop,n;11ttaTe TaqKe

D

TaKo ,n;a

\____.,,

ABCD

8y,n;e napanenorpaM.

~

--+ --+ --+

6.

)J;aT.H cy BeKTOpH x = (

-5, 3

),

y = (

1,

0) J1I z = (

-1, 1).

Pa3JIO)l(JII CBaKJII o,n; ,n;arnx BeKTopa npeKo npeoCTana ~a BeKTopa.

17 )J;aTe cy ,n;Be TaqKe

A(x

1,

y)

l1

B(x

2,

y

2). A.Ko je P TaqKa ,IJ;y)l(JII

AB

TaKBa ,n;a je IAPI : IPBI =

k,

o,n;pe,n;H Koop,n;HHaTe Ta'lKe P.

~T·:l_ ... ,...ciUBO. J1CKOpHCTJII 3a,n;aTaK

8.

28 O,n;pe,n;H KOOpAJf.HaTe Te)l(}U]]Ta

T

Tpoyrna

ABC

aKo je

A(x

₁,

y),

B(x

2,

y)

M

C(x

3

,y).

_ ·u,,nuciUBo. J1CKop:HcTJ1I 3ap;aTaK 10.

.

..