• No results found

TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN - TRẦN PHƯƠNG

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN - TRẦN PHƯƠNG"

Copied!
435
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

TRẦN PHƯƠNG

ã .

X

TUYỂN TÂP

CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỲ THUẬT ĨÍN11

T

Í

C

H

P

H

Â

àfes.

50 chuyên flề, 50 kỹ thuệiỉ

200 dạng bài ẳ 2Ũ09 bài toán

Dành cho:

-Học sinh lớp 12 ẳ và sinh vlê

-Giáo viên giảng dạyỉoán PTTH

-SV thi sau đại học và nghiên cứy sì

-Cẩm nang tra CÚII

cho c á c

Iff

Si

vã \

Jpi

MỂÌEỉạÌ

1

I

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(2)

T U Y Ể N T Ậ P C Á C C H U Y Ê N Đ Ể & K Ỹ T H U Ậ T T ÍN H

TÍCH PHÂN

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(3)

TRẦN PHƯƠNG

T U Y Ể N T Ậ P C Á C C H U Y Ê N Đ Ể

& K Ỹ T H Ư Ậ T T Í N H

TÍC H PHÂN

■0Ầm tễ

5 0 € ầ ẩ £ ụ ê M đ ề ỹ 5 0 3 C ậ i h u à t

2 0 0 < D 'a jn jạ , ấ à £ đ 2 0 0 0 ( B à i tõÚ M L

N H À X U Ấ T 1SẢN 0 Ạ I I 1 Ọ C í ị U Ố C G I A H À N Ộ I WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(4)

fỳu < ’ kJT^j ữj?íi Ỳ5Í 'ế * * * . Ẩ ( /Á c - ó ỉ ầ

**! ^í~

-be ^

íp&x-ỳ :

ẽ>*ỹjt-éỷ c4 c&ỷ-

V? fci& cu íùlp 'fid ỷ U

~ "

ớ ổ t, C&&U ^4<ỹ ^*y ‘^ e ~^aỆ' ^^(3

^(J

t

^ -ểccij -Ẩv

cẨị

lêCc ý tĩ* Yĩ

t i 'tẹ ỹ A * / ■

"

Hr ạ ừ .

05-WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(5)

Ù?~£Knỹ yJtieZ . ^ « » 1 'T/x' c*r ĩ^Áùẻđc ot*ữ*í ỉ*zcA,

/<ẢđÁ? r ẽ è / 7~»ẽịy >s~ r £icA.ỵ>Ăã&s’ " CẤÃrtxrỵ* r~Ể~J°??Tg "/leÁ ~^ãã?z Ẩa£J s’ CữC~ "Ở^c-Ậl-Ị^ TĩrttTtýr p l‘rí-~) f* Ả f

_ / / - SZ-) . / / . t f ‘ d v ' < r , ' r £ Ỉ Z h

CJ./ỹS l\J^ ~ỉh&ìy* 'éì^ỵ) “ỷírờti. ù&jỳ ~p^*3ĩy-> pTVtỷyS 4s2eẠ 'l2rSJĩ!ỷ~' /^-^ợ#ìS. Ấữ-C . ^/!-/jir&f ^ G^ỹ Tj*^

7rt<ữ^ %,Â*T /j?&Tf> Ẵ & c é Ắ ô Aa- c**&£ i ĩ ỹ '£*"' &*J & ỉ ĩX ^ S ^ <éth^ ỵ>Ắé£k \

1—JL Jhvz* SiScJ^ ỉ<?t&£> h&u p^&*zn , isẨitớTĩp 'êỹì' /& ^

/~>

V

/

}'jtẠ y& 'giAíẴd. ù& ~fãc.'r ằ %r^ * z i &** 4 ệ / ~fc }->->* 1/Í~: c ^ * í í ty/CzM. . 'ĩề>àr/~;£Ậ , i W T / c 4 ỉ r-ã^, tr>ĩ£ /&<& ~l'Ẩtié. tữ-iS^^ /x,ế jỷĩ2Ỉ < ậ s r rỳ J^ '-■^ , VH&nẨ "{/**> £i£r> ỹp&b, £<&*- /*■£» '& z ỉ/' ^ r

ỉ / f ~ ỵ à ^ CU£&? Sa^Ếỷ 3 ~& £a cẬ*<jỵ <ắ->- t £ / eJL~

T è / V rí C aS ~ĨẨ -áỹ 7 ^ ) ? G & ' ù u a ^ ỵ t h&i. n Ấ * i ' ' ị ^ ằ / A ^ c / 0 / . ứ£ĩ> ầ~ỉ> y ắ 6£~£ hữxt. Si'riJf l)ẩc- ^ / í á p g h ữ u yà ý?ằ<' /lữr:

^~~£a->ztK

^)-2

ổs

S-? siẴsr' -<?ữtS~

Ạ ỷ - ít^ L ' ^ ứ y

-ìA jC ~ ịỹ ^ / f ^ ^ y /-{à- ữ*tứ~z' -— ' rỉ*-Tr4r*vỉfra, WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(6)

■LỜI N Ó I ĐẨU ỈP ấ n y, ẻ ỉọÁ m {fá i,f

co m ô ỉ ỉ m n làw<Ỹ

Qềế là m ỹ ỉ e m Ũ êẦ Á Á ãriỹ?

(JỀ ê ỹ ì ó c tứ m đ i...

- (ấ Ấ ỹ n Ẩ *ip<mỹ

-Trước hết tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo và các em học sinh từ mọi

miền đất nước đã gửi thư đóng góp ý kiến về các cuốn sách đã được xuất

bản. Do phải hoạt động trên nhiều lĩnh vực khác nhau nên tác giả không có

thời gian viết thư để trả lời cụ thể cho từng bạn đọc mà những ý kiến của các

bạn sẽ được tác giả đúc rút kinh nghiệm cho việc xuất bản các cuốn sách

mới. Quá trình xuất bản sách của tác giả được chia thành 2 giai đoạn giống

như sự chuyển đổi cơ chế tuyển sinh Đại học của Bộ Giáo dục & Đào tạo.

Giai đoạn 1: Từ năm 1993 đến năm 2002: Các cuổn sách được viết theo

chủ đề ỉuyện thi Đại học. Tiêu biểu cho thời kỳ này là các cuốn sách:

1. Các phương phap'va kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức (1993).

2. Phương pháp mới giải đề thi tuyển sinh Đại học (1995).

3. Tuyển tập các chuyên để ỉuyện thi Đại học môn Toán: Hàm sổ' (2001).

4. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi ĐH môn Toán: Hệ thức lượng giác (2001).

5. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi ĐH môn Toán:: PT lượng giác (2002).

Giai đoạn 2: Từ năm 2003 trở đi tác giả đã, đang và sẽ viết các cuốn

sách theo phong cách tổng kết những vấn đề cơ bản của Toán học sơ cấp.

Gác cuốn sách đã xuất bản và dự kiến được xuất bẳn trong thời gian tới ỉà:

ỉ. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải -toán (đã xuất bản năm 2004)

2. Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân (xuất bản nãm 2006)

3. Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật chứng minh BĐT Đại số (2006)

4. Tuyển tập các chuyên đề phương pháp giải PT và BPT Đại số (2007)

Trong giai đoạn ỉ , tác giả đã nhận ỉời giúp đúng tên cho sự ra đời của

cuốn sách “Đ ại s ố sơ cấp ” - một tác phẩm đầu tay của tác giả Lê Hồng Đức

Trong cuốn sách này tác giả chỉ viết 10 trang tóm tắỉĩi gồm s vấn đề sau

đây:

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(7)

- Những bài giãi ấn

tư ợ n g

(trang 9, 10)

- Sừ dụng BĐT Côsi để GPT, GBPT

(trang 623, 624)

- S ừ dụng BĐT Bunhiacôpski để GPT, GBPT

(trang 625, 626)

- Sừ dụng BĐ T Bernoulli đê GPT, GBPT -

(trang 627, 628)

- Sừ dụnẹ Định lý Lagrange để GPT, GBPT

(trang 629, 630)

'Những vấn đề này sẽ được đề cập trong cuốn sách "Tiuyển tập các c h u y ê n

đề, p h ư ơ n g p h á p g iả i P T và B P T Đ ạ i s ố ” - một cuốn sách rất chi tiết và đồ

sộ với khoảng 5000 b à i t o á n m à tác giả đã dành công sức viết tronẸ 3 năm. Tro n g tay các bạn là cuốn sách được viết trong giai đoạn 2. C ó thể nói đây là m ột cuốn sáeh đầy đủ và chi tiết nhất viết về tích phân hàm 1 biến số và được trình bày trên từng c m2 giấy. Nó vừa kế thừa những tinh hoa của các bậc tiền bối vừ a đư ợ c phát triển tiếp nổi, đặc biệt là sự sáng tạo "K ỹ th u ậ t

n h ả y tầ n g lầ u " trong biến đổi tích phân hàm phân thứ c hữu tỉ bậc cao.

Phép tính tích phân bắt nguồn từ nhu cầu sáng tạo ra p h ư ơ n g pháp tổng quát để tim diện tích, thể tích và trọ n g tâm . T ừ 200 năm trư ó c c ô n g nguyên A rchim ède (2 87-212) đã khởi nguồn cho sự ra đời của phép toán này. Đến thế kỉ X V I - X V I I nỏ đã được Cavalieri (1598-1647), Torricelli (1 6 0 8-1647), Fermat (16ÓI-1665), Pascal (1623-1662), phát triển m ột cách có hệ thống. Tiếp đó vào nhũng năm 70 cùa thế kỉ XVII. Newton (1642-1727) và Leibniz ( t 646-1716) đã thiết lập mối quan hệ giữa phép tính vi phân và tích phân.

C à n g vói sự phát triển của ngành Vật lý, lý thuyết tích phân theo nghĩa tổng quát và hiện đại đirợc phát triển theo 2 hình thái sau đây.

1 . Độ đo các tập hợp: Được xây dựng bởi Riemann (1826-1866); Jordan

(] 838-1922), Borel (1871 -1956), Lebesgue ( 1875-1941), Carathéọdory (1873-1950)

2. Tích phân các hàm số: Các nhà toán học Pascal, Ferm at, N ew ton, Leibniz đã đặt nền m ỏ n g tính tích phân cho các hàm số liên tục. Khái niệm tích phân suy rộng được các nhà toán học Euler (1707-1783), C au ch y (1789- 1857), Riemaim , Lebesgue, Radon (1887-1956), Frigyes Riese (1880-1956), Marcel Ri.ese (1 8 8 6 -1 9 6 9 ) phát m inh và pliát triển tiếp nối.

Phép tính tícl’ phàn của một hàm số đặt ra 2 kiếu bài toán sau đây: 1. K iể u 1: Xét tính khả tích của m ột hàm số ?

2. K iểu 2: Tính giá trị tích phân nếu nó tồn tại

Phép tính tích phân được bắt đầu íiiói thiệu cho các học sinh lớp 12, sau đó được phổ biến tại tất cà các trư ờng Đại học cho khối sinh viên năm thứ nhất, năm thứ 2. Phép tính tích phân cũniĩ là một trong nhữ ng nội dung để thi tuyền sinh đầu vào hệ thạc sĩ và nghiên cửu sinh.

4

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(8)

Ở bậc phổ thông, tích phân xác định được định nghĩa chì cho các hàm số liên tục. Vì thế m u ố n tính tích phân xác định thì phải tìm đ ư ợ c nguyên hàm rồi sử dụ n g c ô n g thứ c N e w to n -L eib n iz. C ách làrrt này có thể đưa đến một nhận thứ c sai lầm là đ ồ n g nhất sự tồn tại cùa tích phân xác định và nguyên hàm. Ở bậc Đại học, ch ú n g ta sẽ thấy: "M ột hàm s ố kh ô n g liên tục vẫn cỏ

tích phân xác định trên một khoảng mà nó không cỏ nguyên hàm; hoặc có

những hàm số có nguyên hàm mà không cỏ tích phân xác định".

N g ày nay phép tính tích phân chiếm một vị trí'rất quan trọng trong Toán học. nó vừa là đối tư ợ n g nghiên cứu cùa giải tích, vừa là c ô n g cụ nền tảng trong ]ý th u y ế t hàm, lý th u y ế t p h ư ơ n g trình vi phân, p h ư ơ n g trình đạo hàm riêng. Ngoài ra phép tính tích phân còn đ ư ợc ứng d ụ n g rộ n g rãi trong X á c suất,

T h ố n g k ê , V ật lý, C ơ h ọ c , T h iê n văn h ọ c, Y h ọ c , tro n g các ngành côn (Ị

nghiệp n h ư Đ ó n g tàu, S ả n x u ẩ t Ôtô, M á y bay và n g à n h H ù n g k h ô n g vil trụ. C uốn sách này đ ư ợ c viết theo quan điểm thiên về p h ư ơ n g p h á p , k ỹ th u ậ t nên sau phần m ở đầu tóm tắt nguyên hàm, tích phân xác định, tác giả dã

gộp chung cả 2 loại bài tập nguyên hàm và tích phân xác định (được tính

bằng c ô n g thứ c N e w to n -L e ib n iz ). Sau đó các phần tích phân của các hàm số hữu tỉ, lư ợ n g giác, vô tỉ đư ợ c giới thiệu phát triển th e o hình xoắn ốc. Phần ứng d ụ n g tích phân để tính diện tích, thể tích, ... tác giả đã phân loại chi tict 3 dạng hàm sổ: D ạng y = y(x); D ạng phư ơng trình tham số; D ạng phư ơng trình trong tọa độ cực. Tác giả cũng đưa vào tuyến tập này tích phân suy rộng; tích phân phụ th u ộ c tham số với nhữ ng ví dụ và bài tập đặc sắc. Phần cuối c u ố a / s á c h lả sự tổ n g kết chi tiết và hệ th ố n g để tra cứ u 134 đạn<í N g u y ên hàm th ô n g dụ n g cho 8 loại h à m số sơ cấp với k h oản g 1500 bài.

C uốn sách này là tấm lòng cùa tác giả dành cho các em học sinh, các thày cô giáo dạy Toán và Liên hiệp các hội K hoa học & Kỹ th u ật Việt Nam.

N hẩn dịp này tác giả xin chân thành cám ơn G iáo s ư P h a n H u y K h a i - Giám đốc T ru n g tâm Đ ào tạo sau Đại học Viện Toán học Việt Nam đà đọc và viết lời tự a ch o cuốn sách, xin cảm 011 N h à g iá o N g u y ễ n T h ư ợ n g Võ (Nguyen giáo viên Toán trường T Ị iP T Hà N ội-A m sterdam ) đã sử dụng tài liệu dưới dạng bản th ảo c ủ a cuốn sách để giảng dạy và viết lời tựa. Tác ụiá cũriiì xin cảm 011 Nhà xuất bản Tri Thức đã giới thiệu cuốn sách đến với bạn dọc.

Khi thự c hiện viết một cuốn sách đồ sộ sẽ không thể tránh khỏi nhfrim thiếu sót, tác già m ong bạn độc lượng thứ và góp ý nội du n g cuốn sách theo đja c h I:

s õ 3 Hàng Tre, Hoàn Kiếm, Hà Nội

Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2005

T r ầ n P h ư ơ n g

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(9)

yâa tập cức chuyên đề và k ĩ thuật tính tích phân - Trần Phương

M ỤC LỤ C

Nội dung T ran g

Những bài toán ấn tư ợ n g ... ... í 1

ong ỉ CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN... 13

§ f . Nguyên hàm và Tích phân... ... ... 13

§2. Các bài toán sử dụng định nghĩa nguyên h à m ... 19

!. Dạng 1: Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f ( x ) ... 19

li. Dạn? 2: Xác định nguyên hàm với điều kiện ràng buộc... ... 24

ill Dane 3: Tìm giá trị tham số để F(x) là một nguyên hàm cùa f(x). 26 S3. Nguyên hàm của các dạng hàm số đặc b iệ t... 29

! ũạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, thương... 29

li. Dạng 2: Các dạng nguyên àhm đơn giàn chứa hàm ex ... 32

§4. Tích phân đon giản ứng dụng írực tiếp công th ứ c ... 35

§5. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2 ... 41

r dx i. Dang 1 : A = — 7— -... ... 41 J ax + b x + c r ( m x + n ) . , . II. Dạn« 2: B = — ---——— đx ... 43

J ax + bx + c

r dx Dạng 3: c = 1—7 = = = = = = = ... 49 V ax + b x + c ^ r (m x + n ) d x IV. Dạng 4: D = j ..— ... 51 Vax + bx 4- c

ĩ

dx.

V. D ạ n g 5 : E = U --- - = • ... 53

(px + q)vax +bx + c

_ f ( ,Ĩ1X + n^dx VI. D ạ n g6: F = J - --- - = r ... 55 (px + q )V a x + b x + c V!l. Dạng 7: G = --- — ■ ... ... 59 ( a x 2 + b) VCX2 + d WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(10)

M ục lục - Trần Phương

X. Dang 10: J = j

r

Pn (x)d x

. , với degPn(x) = n > 2 ...

Vax2 + b x + c

65

XI. Dang 1 ỉ : Các. phương pháp thế Euler... 69

§6. Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ... 73

§7. Phư ong plỉáp Ô xtrô g ratx k i vói các hàm phân thức hữu t í ... 87

§8. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hãm. phân thức hữu tỉ... 97

i. Dạng 1: Tách các mẫu sổ chứa các nhân từ đồng b ậ c ... 97

II. Dane 2: Tách cốc mẫu số chứa các nhân tử không đồng b ậ c ... 99

III. Dạng 3: Kĩ thuật nhày tầng lầu khi mẫu sổ là hàm đa thức bậc 4 ... 101

ỈV. Dạng 4: Kĩ thuật nhảy tầng lầu khi mẫu số là hàm đa thức bậc 3 ... 104

V. Dạng 5: Kĩ thuật nhảy tầng lầu khi mẫu.số là hàm đa thức bậc 6 ... 106

VI. Dạng 6: Sủ dụng khai triển Tayior... ]09

v u . Dạng 7: Kĩ thuật nhày tầng lầu khi mẫu số là hàm đa thức bậc cao 1 1 1 VIII. Dạng S: Kĩ thuật chồng nhị t h ứ c ... 113

§9. 1J5 1. Dạnsí 1 : A ị! = | ( s i n x ) ” dx ; A12 J ( c o s x ) n d x ... 115

11. Dane 2: B - Jsin'" X cos" xdx (m, n s N ) ... 118 III. Dạng 3: C3 , = j ( t g x ) n d x ; C32 = j( c o tg x ) n d x ( n e N ) ... 121

ỈV. .Dạng 4: D4 c ( t g x ) ”' d x ; D 42 - Ị f ( c o tg x ) mdx ... (cos x) (,sin x) 124 V. Dạnií 5: Sử dụna công thức biến đổi ’ách thành t ổ n g ... 127

§10. Các phép đỗi biến số CO' băn tích phâu hàm !u'Ọ'ng giác ... 129

]. D ạ n s 1: Đ ổ i biến s ố t ổ n g q u á t ... ... 129

2. D ạ n g 2: r( -sìiix,cosx) = -R(sinx.cosx)... 130

3. D ạ n g 3: R (sill X, -COS x) = -R (sill X,COS x) ... 132

4. D ạ n s 4 : R ( - sill X, - COS x) = R (sin X, COS x ) ...... • 132

§1 1 . Piến đỗi và đỗi biến nâng cao tích phân hàm số lượng g i á c... 133

I. Dang 1: Mau số là biểu thức thuần nhất của Sin ... 133

11. Dang 2: Mầu số là biểu thức thuần nhất cùa Cosin ... 136

III.

Dạng 3: M a u số là biểu thức đẳng cấp bậc 2 của Sin, C o s i n... 139

IV. Dang 4: Mau số là biểu thức đẳng cấp bâc nhất của Sin, C o sin... 141

V. 143

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(11)

Tuyển tập các chuyên đề và k ĩ thuật tỉnh tích phân — Trần Phương

rasinx + bcosx .

VI. Dạng 6: F = --- --- đx ... ... ... 146

Jmsinx + ncosx

_

_ _

asinx + bcosx + c

VII. Dạng 7: G = I--- — d x ... . 147 J m sin X + n COS X + p ~ r a s i n x + b c o s x VIII. Dạng 8: H = J --- --- d x ... 149 (m sin X + n COS x) TV « T r a ( s i n x ) 2 + b s i n x c o s x + c ( c o s x ) 2 ,

1

«!

Ì*- Dạng 9: 1= --- — —--- dx ...

J m s in x + n c o s x

,

r

msinx + ncosx

,

, „

X. Dạng lô : J = I--- J— — -— ---:-- d x ... 153 a ( s in x ) + 2 b s in x c o s x + c (c o s x ) XI. D ạng 11: C ác p h ép đôi biến sô tổ n g hợ p ... ... 155

§12. Phưcrag pháp Iu'Ọ'ng giác hóa tích phân hàm vô t ỉ ... ... 159

1. Dạng 1: J f ( x ,V a2 - X 2 ) d x ... ... ... 159 2 . Dạng 2 : Jf ( x .V x 2 - a 2 ) d x ... ... 162

3.

Dạng 3: Jf (x,Vx2 + a 2 )d x ... ...

164

4.

Dạng 4: J f Ị ^ x ,^ ĩ ^ j d x ...

168

5. Dạng 5: | f ( x , V ( x - a ) ( b - x ) ) d x ... 168 313. Tích phân hàm vô tỉ ... ... ... 169 1. Dạng 1: I = J x m (a + bxn ) dx với m, n, p e Q ... 169 2 . Dạng 2 : 1 = j l l ( x , x r'A\ . . . !x rj/qj )dx ... 173

...

>"

§14. Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đ ổ i ... 181

§15. Tích phân các hàm Hypebolic ... 195

§16. Phưong pháp tích phân từng phần ... ... 201

1 . Dạng 1: J p (x ){ s in (a x + b );c o s(a x + b) ;e ax+b;m ax+b}dx ... . 202

2.

Dạng 2: Jp(x)Ịancsinu;arccosu;arctgu;arccotgu;lnu;logmuịu = ax+bỊdx 205

3- Dạng 3: Tích phân từng phần luân h ồ i ... ... ... 212

\ 4. Dạng 4: Các bài toán tổng h ợ p ... ;... ... 218

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(12)

M ục lục — Trần Phương

§17. Phương pháp hệ số bất định của tích 2 loại hàm sổ ... 223

I. Dạng 1: I= |p ( x ) sin(ax + b)dx;J= j p ( x ) COS(ax + b)dx ...

223

II. Dạng 2 : 1 — j" p (x )e ax+b dx; J = J p ( x ) r a ax+b d x ... 224

III. Dạng 3 :1 = Jeax+b sin (ax + p)dx; J = j"eax+b COS(ax + p)dx ...

226

§18. Tích phân trụy h ồ i ... 229 §19. Kỹ thuật sử dụng sé phức trong tích p h â n ... 241 §20. Tính tích phân xác định bằng định nghĩa ... 251 1. Dạng 1: Sừ dụng định nghĩa tính tích phân xác định... ... 252 2. Dạng 2: Xét tính khả tích cùa hàm s ố ... 256 §21. Các dạng đặc biệt của tích phân xác đ ị n h ... ... 261 I. Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm chẵn, hàm lẻ... 261

II. Dạng 2: Hàm số dưói dấu tích phân là thựơng cùa hàm chẵn và hàm mũ 264 III. Dạng 3: Tính bất biến cùa tích phân khi biến số thay dổi cận cho nhau 268 IV. Dạng 4: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm tuần h o à n ... 269

V. Dạng 4: Hàm số dưới dấu tích phân có trục đối xứng thẳng đứng .. 271

VI. Dạng 6 : Tích phận cùa các hàm số đối xứng n h a u ... 272

VII. Dạng 7: Biến đổi tách đôi hàm số và co cận tích p h â n ... 274

VIII. Dạng 8: Khử đạo hàm bậc 2 của hàm số đặc b iệ t... 275

IX. Dạng 9: Tích phân cùa cảc hàm số đặc biệt k h á c ... 276

§22. Phưong trìn h chứa tích phân ... 277 §23. Tìm giới hạn của tích p h â n ... ... 283 t 1. Dạng 1: lim íf ( x ) d x ... 283 t—»co J 0 b II. D ạng2: lim i f ( x ,n ) đ x , Vn e N ... 286 n-»00 J a Chưong II: CÁC ỨNG DỤNG TÍCH P H Ẳ N ... 299 §24. ứ n g dụnẹ tích phâr. tính gió’i hạn ... ... 299

§25. Sử dụng đạo hàm và tích pliân chứng minh đẳng thửc của cỊỉ 305 1. Dạng 1: Chứng minh bất đảng thức cỊ; bằng đạo h à m .... 305

ỉỉ. Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức c|ị bằngtích p h â n ... 307

§26. ứ n g dụng tích phân trong phuong t r ì n h ... 309

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(13)

Tuyến tập các chuyên đề và k ĩ thuật tinli tích phân — Trần Phương

§ 2 7 . D i ệ n tíc h h ì n h p h ẳ n g ... 3 J 5

!. Diện tích hinh phẳng xác định bời đường cong y = f(x) ... 315

II. Diện tích hình phang của đường có phương trình tham s ố ... 333

ill. Diện tích hình phẳng của đường cong trong tọa độ Cực... ... 335

§28. Thể tích kliối tròn xoay ... 341

§29. Tính thể tích theo íhiết diện thẳng ... ... 357

§30. Độ dài đivòng cong p h ẳ n g ... ... 363

1. Dạng 1: Eộ dài của đường cong có phương trình y = f(x)... . 363

2 . Dạng 2: Độ dài của đường cong có phương trình tham s ố ... . 366

3. Dạne 3: Độ dài của đường cong trong hệ tọa độ cự c ... ... ... 369

§31. Diện tích mặt tròn x o a y ... 371

1. Dạng 1: Diện tích mặt tròn xoay của đường còng y = f(x) ... 371

2. Dạng 2: Diện tích mặt tròn xoay của đường cong có phương trinh tham số 377 3. Dạng 3: Diện tích mặt tròn xoay cùa đường cong trong hệ tọa độ cực 382 §32. Tính gần núng tích phân xác định... ... 383

Cluỉcmg III: BẤT ĐẲNG T H Ứ C T ÍC H P H Â N ... ... 397

§33. Đánh giá theo hàm số và cận tícli p h â n ... ... 397

§34. Bất đẳng thúc cỗ điển tích phân và ứng d ụ n g ... 415

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(14)

Nhữitg bài toán ấn tượng - Trần Phương

N H Ữ N G B À I T O Á N Ấ N T Ư Ợ N G

N h ữ n g bài toán dưói đây được trích từ ỉcĩ thuật nhảy tầng lầu của tích phân. K ĩ thuật này íà tách m ộ t tích phân có khoảng cách giữ a bậc của tử và mẫu rất lớn thành 2 tích phân có khoảng cách giữa 2 bậc nhỏ hơn được mô tả theo sơ đồ: .

(• dx _ 1 f

x » + a - - 2b

M ậ t số học sinh và giáo viên khi ch ư a hiểu biết đầy đủ thì cho rằn g tên gọi k í th u ậ t " n h ả y tầ n g l ầ u " chí là câu chữ để tạo cảm xúc khi g iả n g bài n h ư n g họ c h ư a b iết điều quan trọ n g nhất của k ĩ th u ật chính là nghệ thuật chọn hàm u(x). Ví dụ về ngu y ên tắc ch ú n g tá có thể tính — bằng phương pháp hệ số bất định có lời giải khoảng 2 tra n g giấy, nhưng nếu giải nó bởi 5 biển đổi dấu b ằn g .v ớ i k h oảng 3 d ò n g thì lại là m ộ t đẳng cấp k h á c ...

r u { x ) + b ^ rw u ■* x n + a u { x ) - b X + a VD 1

: I, - f- Ề L ^ L ị U + Ù - U - Ù ^

ỉ ị ị ị i ± 4 x - i ị = ± d x )

> x 4 + l 2 * x 4 + l 2 \ 1 X + 1 i x 4 + l

V + J?

f I - “ T X + - ý X + V x x : \ 1

f dH )

r

d(x + i)

2

)

(»i]f

• 1 1 V2 arCtgXxV2

2

J

2

ln iyỊĨ + \ + c x ‘ + X y Ị Ĩ + 1 J V D 2: / , = f - f c . - = ệ ______ - = f __________

J x s - J

h x - M x 2

+ X

+ ])

J(j£- / ) ' [ ( * - / ) * + i U - j ,) + 3]

dt ___ r ( t2 + 3 t + 3 ) - ( t 2 + 3 t) , 1 /

fd t_

r_(t + 3 )dt

_ 3 ự t

->t2

t(t2 +3t + 3)

t (t2 + 3t +

3

)

1

/ fdt 1 f(2t+3)dt 3 r

dt

+ 3t + 3

_ u fd t_2 r(2t+3)dt 3 f

“ s ự t 2 J

t2 +3t+3

2 ^t2

+3t+3.

i 1f rdt 1 fd(t2 +3t+3) 3 r

dt

'I

3 ■>t

2

J t2 +3t+3

2-1 /

3Ì2 3

V ( 2) 4J

-Ill

t + 3 t 4"3 + c = - l n Ó -2x + l X + X + 1

2sj3

— -T=arctg:2x + l

s

• + c WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(15)

Tuyển tập các chuyên đề và k ĩ thuật tinh tích phân — Trần Phương VD 3: / = f- j £ — f_____ - g ______ = f__________ ^ U + / ) :

J x j + i

K x + ù i x 2 - x + i )

J Gt+ ; ) [ ( * + 7)2 - 3 U + /)+ .? ]

r dt _ 1 f ( t 2 — 3t +

3

) — ( t 2 - 3 t ) ^ t _ ì í r d t _ r ( t - 3 ) d t ^ - M t 2 - 3 t + 3 ) ~ 3 ■> t ( t 2 - 3 t + 3> • ~ 3 V ■* t J t 2 — 3t + 3 J

ư rdt_ I |<2t-3)dt 3 f

dt

Ỵ \ ị fdt_Ị_ rd(t2 -3t+3) 3 f___ đt

3

U t 2->t2'- 3 t + 3 + 2 J t 2 - 3 t + 3 j 3 J t 2 ■> t2 - 3 t + 3 + 2 - > Ị _ 3 j : _ 1 f 1 t2 / r ^ 2 t - s ) 1 , X2 + 2 x + 1 1 2x

= - — In —— ---+ V3arctg-— — + c = — In —-— --- e —-= arctg—

4J

1

_ 2 x - 1

+ử

g V3

c

1

(

1

, X2 - 2 x + l 1 _ 2 x +1 f l , x 2 + 2 x + 1 1 . _ 2 x - l ì

= — —ln ——— --- -prarctg - ■

=!■

- —ln —-— :---- + -

7

=-arctg - —

2 1_^6 x 2 + x + l 2v/3 y ịỉ J ( 6 x2 - x + l 2V3 s ) _ ] . . (x2 - 2x + i) (x2 - x + i) 1 ( 2x + l 2x - Ị ì

n

- ĩ M " 8 J3

r

.

_ Ị

d x 1 Ẵx4 + ỉ ) - { x 4

T'ì) , ■_ ỉ

Ả x 4 ~ x 2+ j ) + x 2 - ( x 2+ j ) ( x 2 - j ) d c VD 5: :■ h u i ‘- 2 ĩ ( J +m 7 -s

. . .

f l - J J W '

f dx f x 2dx f ( x 2 - l ) d x 1 r dx 1 r d ( x ’ ) Ị ( ' X3 y dx J x 2 +1 1 J x 6 +1 J.XJ - X 2 +1J 2 J * > + 1 3 J x ‘ + 1

arctgx +

arctgíx3)

M ỉ

K )

_3arctgx+arctg(x3)

1

6

x2 - xV3+1

( x , i ) A S )

_ f Ox . _ rjcosxdx _ f d(sinx) _ f

dKsinx)

COS' x~" COS4 X ~ > ( j _ sin 2 x y ~ [ ( / + s in *) ( / _ s in x )]

x2+x>/3+1

d (sin x)

+c

_ 1 | f (1 + sin x ) + (1 -/sin x) - 4 j|_ (1 + s i l l x ) ( l - s i n x ) d ( s i n x )

= i j f

4 J u - s i

>

- + ■ 1

1

if k £ 1 2

4 L O -sinx)2 ,(l+ s in x )2

l- s in 2 x

s i n x 1 + s i n x y

d(sinx) = _

^

+ i ln

2 cos X

2

-1 d(si

d(sin x)

1 + sin X

1 - sin X

+ c

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(16)

§1. Nguyên hàm và tích phân — Trần Phương

CHƯƠNG !: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN

§ 1. N G U Y Ê N H À M V À T ÍC H PH Â N

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÁT ĐỊNH 1. Đ ịn h n g h ĩa :

• Giả sử V = f i x ) liên U‘C trên khoảng (a, b), khi đó hàm số y = F(x) là một

nguyên hàm cùa hàm số =f(x) khi và chi khi F'(x) =f{x), Vxe(a, b).

• N ếu y = F(x) là m ộ t nguyên hàm c ủ a hàm số y =J{x) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số y =J( x) là tập hợp I =1 F ( x ) + C I c e / ? j và tập hợp

này còn được kí hiệu dưới dấu tích phân bất định / = ị f( x ) c ìx = F ( x ) + c

2. Vi p h â n :

2.1 Giả sử

7

= f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm xe(a,b).

Cho .X m ột số gia ầ x sao cho (x + Ax) 6 (a,b), khi đó ta có: , , \ d y - y ' ( x ) A x

C ông thúc

vi phân theo sô gia:

\

'

.

i [df { x ) = f { x ) b x • C ô n g thứ c biến đổi vi phân:

Chọn hàm so y = -V => dy = dx = x \A x = Ax

dx = Ax.

• N ếu hàm s ố / ( x ) có vi phân tại điểm X thì ta nói f ( x ) khả vi tại điểm X. Do d f ( x ) = f i x ) ầ x nên j { x ) khả vi tại điểm X <=>./(*) cỏ đạo hàm tại điểm .V 2.2. Tính chất: G iả sử u và V là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm X. Khi đó:

dy = y ' ( x ) d x d f { x ) = f ' ( x ) c i x

d{u±v) = du

±

dv ; d

(

IIV

) =

adv

+

vdu ; d\ —

I =

2.3 Vi phân của hàm hợp

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(17)

CkirỠMĩ 1; Các kĩ'thuật-tịnh tích phân: — Trần p/titơttg

3. Qu^n-;hậ,gii«|..^p..hàm. - nguỵên hàm và vi phận:

ị f [ x ) d x = F [ x ) + c<^>F' {x) = f { x ) o d F { x ) = f ị x ) d x 4. Cắ c tín h c h ấ t 'cua n g u y ê n h à m và- tíc h p h â n

4.1. Neu /(x) là hàm số có nguyên hàm .-thì..,.

,

( Ị f ( x ) d x j = f ( x ) ; d ị Ị f ( x ) c ừ j = f ( x ) t ừ 4.2 . Nêu F(x) có đạo hàm thi:

4.3. P h ép cộng: Nẹiì/(A:) và.g(x) cp ngu y ên hàm thì:

ị [ f { x ) + g { x ) ] đ x = ị f { x ) d x + ị g { x ) d x

4.4 . Phép trừ :

N ếu/[x)

v à g( x ) c ó ngu y ên hàm thì:

\ [ f { x ) - s ị x ) ] d x = ị f ( x ) d x - ị g ( x ) d x

4.5. P h é p n h â n với m ộ t hằrsg s õ t h ự c k h á c 0:

ị k f ị x) dx = k ị f (;t)dx , Vk ^ 0

4.6. công thức đổi biến số: Cho =_/(u) và u = g(x).

Nếu |/( x ) t ủ : = F (x ) + c thì ịf( ^g{ xỹ ^g' {x )dx = ị f { ù ) d u = F ị u ) + c

5. Nhận xét: Nếu ị f ( x ) d x - = F ( x ) + c với F(x) là hàm sơ cấp thỉ ta nói tích

phân bất định ịf. {x)iìx ibiểudiễivđược dưới dạng hữu hạn. Ta eó nhận xét:

Nếu một tích..phân, bất định biểu (diẹn đựợc dưới dạng.hữu hạn thì hàm số

dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp và điều n g ư ợ c lại k h ô n g đ ú n g , tứ c là có nhiều hàm số 'dírới dấu tích phân là hàm s ơ cấp n h ư n g tích p h â n bất định không biểu diễri đ ư ợ c dư ới d ạn g hữ u h ạ n m ặ c dù n ỏ tồ n tại. C h ẳ n g h ạ n các tích phân bất định sau tồn tại fe"*’ dx; Í-^L; \yjsinx dx; ĨĨ1HĨ-dx; \- 0Sx dx

J

JInx J

’ X

“ J X

như ng c h ú n g k h ô n g thể biểu diễn đ ư ợ c d ư ớ i d ạ n g h ữ u hạn,

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(18)

§1 . Ngụyên hàmv àt i ẹ h phận - Trận Phựợng II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1. Đ ị n h n g h ĩ a :

Giả sử hàm số/(x ) xác định,và bị chặn trên đọạn [<3, ổ]. Xét một phân hoạch

n bất kì của đóạn [ứ, b], tức ỉẩ chia đoạn [á, b\ thánh 'ri phần túy ỷ bởi cẩc

điểm chịa; a = x0 <X/ < ...< x n_j < x n =b . Trên m ỗi đ o ạn \ x k_!, % ] .lấy bất kì điểm Ị,k e , x k ] và gọi At = x k - xk,ị là độ dài c ủ a \ xk_ị, xk ] . K h i đó:

/ ( 4 ) 4 = /(< ? ,)4 ■ + /(& )4 ? + - + / ( 4 ) 4 gọi là tổng tích phân của

hàm f { x ) trên đoạn [a, 6], T ổ n g tích phân này phụ thuộc vào phân h oạch 71, số k h oảng chia n và phụ th uộc vào cách chọn điểm

ệit-N ếu tồ n tại lim (là m ộ t số xác định) thì giới hạn này gọi là tích phân xác định của ham sốjf(x) tíêniđoạh [a, ồ] v ằ k í h iệu ' í á : <&

a

Khi đó hàm số y = f i x) được goi Ịà khả tích trên đoạn [a, ồ]

2. Điều kiện khả tích:

Các hàm liên tục trên [a, ỏ], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn

trên

[ứ,

£]

v à

các hằm đơn điệu bị chặn trên [a, ồ] đều khả tích trên-[ứ, ồ]. <

3. Ý n g h ĩa h ìn h h ọ c :

b

N ế u /ộ c) > 0 trền đoặn [a, b] thi ị f { x ) d x tà diềh tích của hìhh th á h g èohg a

giới hạn bởi các đư ờng: y =f ( x ) , X = a, X = b, y ~ :ữ • ' - V .

-WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(19)

Chương I: Các k ĩ thuật tinh tích phân - Trần Phương

4. C á c đ ịn h lý , tín h c h ấ t v à cô n g th ứ c c ủ a tíc h p h â n x á c đ ịn h :

4. 1 . Định lý 1: N eu /(a:) liên tục trên đoạn [a, b} thì nó khả tích trên đoạn [a, ỏ] 4 .2 . Định lý 2 : N ếu J(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] vàj(x) < g( x) , Vxe[a, b]

b 6

thì ị f ( x ) d x < J g ( x ) í / . v . Dấu bằng xảy ra <=> J{x) = ơ(x), V x e [a, b~\

a a 4.3. Công thức N ew ton * Leipnitz: b Nếu ị f [ x ) d x = F (-v) + c thi J / ( j r ) í f e = JF.(j:)|6 = F { b ) - F ị a ) <1 h b b

4.4. Phép cộng: Ị[/('V) + £ (x)]<ừ = ị f ị x ) c ì x + ị g ( x ) d x

a a a b b ò 4.5 . Phép trừ: J [ / ( * ) - g(.v)]rfv = j' f ( x ) d x - J g ( x ) íử a a b b 4 .6 . P h é p n h â n vởi m ộ t h ằ n g sô' k h á c 0: ị k f (,v)ứừ = k ị f { x ) d x , V k * 0 a a b . a a 4.7 . Công thức đảo cận tích phân: ị f { x ) d x - = ^ ị f ị x ) d x ; ị f { x ) d x = 0 a b a h c b 4.8 . Công thức tách cận tích phân: ị f { x ) d x = ị f [ x ) d x + ị f ( x ) d x a a c 4.9 . Công thức đổi biến số:

Clro y = f(x) liên tục trên đoạn [ứ, ỏ] và hàm X = (p(t) khả vi, liên tục trên

đoạn [/;/, M] và Mi n ọ ( í ) = a; Max ọ ( í ) = b ; <p( m) - a; <p( M) = b . íe[/«.^/Ị te[i»M] b M Khi dó ta CÓ: J'f ( x ) d x = ị f [( p( t ) \ <p’( t ) dt m 4 .1 0 . Công thức tích phân từng phần:

Giả sử hàm số It(x), v(x) khà vi, liên tục trên [a, ỗ], khi đó:

b b

jĩi (.v) v' (x)dx =

11

(x) V Cr)|* - Jv(*) ù (x)dx

a

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(20)

§7. Nguyên hàm yặ tích phân - Trần Phương ill. BẢNG CÕNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG

(«+4)“

a

=ÌÍS

í

ỊT

a V a +1 ) + c , a ^ - l c o s ( a x + b ) d x = — s i n ( a x + b ) + c

a

a x + b a sin ( ơ x + b ) d x = — cos (ax + b) + C' a e ax+b d x = - e m+b + c t g i a x + b ) d x = ~ — ỉ n \c o s { a x + /)>! + c m r * b d x = — Ị— m ay+b + c a ỉ n n i c o tg ( a x + b ) d x =

— /77

|jw? ( a x + b)\ + c dx 1 X ~ - T = - a r c t g - + c a + x Cl a s in 2 ---^ = — c o t g ( a x + b) + c {ax + b ) a

dx

1 ,

r

- = — ln

a - X 2a J CI + X a - X + c = — t g ( a x + b ) + c COS1 ( a x + b) a dx \lx 2 + a2

-— - = In (x + yjx2 + a 2 ) + ( a r c s in — dx = X arcxin — 4- yjir - X 2 + c

dx . X . - = arcs in r-7 + c

4 0 ^ ?

w

Y

^

r~

a r c c o s — d x = X a r c c o s — — V a 2 - X 1 + c d x

1

: — arccos

C-Jx2 - a2

, a

+ c a rc tg—ax = X arctg — - — l n \ a + x ) + c X , X a , ( 2 2 \ a a 2 a + y j x 2 + a 2

+ c arccotg—ax=xarccotg— H— Ini cr +A' ì +c X , Jt fl, / 1 2\

a a 2 I n i c i x + b ) d x = f X + —i/w (ax + b ) - X + c K a ) d x 1 - — In s i n ( a x + b ) a

tg-a x + b + c Ị ~ ĩ— 7 , X - J c r - X 2 ' cr . X

SCI —XT c k = - — ---h-— arcs in—

d x 1 + — a r c s m — + c

2

2

a

s i n ( a x + b ) — —Ina

tg-a x + b + c ... . , , e m( a s i n b x - b COS b x )

e sin bx ax = — ---r

- —7

--- —+ c

a +b

r ax , , eax ( a c o s b x + b s m b x ) \ e c o s b x d x =---:— :--- ;— — — + c a 2 + b 2 17 WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(21)

Chương ỉ: Các k ĩ thuật tinh tích phân Trân Phương

IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI s ử DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG G Ớ T R O N G S G K 12

Các công

thức có mặt trong Iỉ. mà không có trong SGK. 12 khi sử dụng phải

c h im e m i n h lại b ằn g cách t r ì n h bày dư ới dạng bổ đề. c ổ nh iều cấch chứng

m i n h bổ

đề nhưng.cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách ỉấy đạo hàm

:i. ví d u 1 : C h ứ n g m inh: í ^ - = — ln J X - a 2a . . f dx 1 if 1 C h ứ n g m i n h : Ị— --- — = — I ---X — a 2a J v x - a X r a ; z,dLV'A—a - A - r a y | í - ! _ + - L A ) x = - Ư f - Í L - r ẩ í i ^ ẩ L J _ l „ - x j '2a V J a + X J a - X ) 2a x - a x + a dx -in dx = I f f £ * 0 = 1 . 2a l J x - a J x + a J 2a a,+ x a - x + c lnx - a 1 i f 1

I.

2a J\ a + x a x + a a + X +c + c a - X 2 . ví dụ 2 : Chứng minh rằng: J--jp==L = = ln (x + Vx2 + a2 ) V ? + a" + c C h ứ n g mi nh: Lây đạo hàm ta . , c ó : I J n ^ x + v x + a J + C J = --- , , i , ( I 2 . '2 ì

T

l + Ụ x 7 + a 2 )= r X + V x2 + a ? . 1 + -1 x + a/x2 + a 2 _ ■ V x2 + a 2 ■ \ / x2 + a 2 ' / X -T- VX + 3 ”. ^ v X + 3 . Ví dụ 3 : Chứng m inh r + a J X + Vx + a" ■ v x ' + a ' ' __ r dx 1 . ,. ■, _ X rang: - = - u + c (với t g ù = — ) J a2 + X2 a a , X . / -

7

t \ _ r d x f d ( a t g ' u ) 1 .r

Đăt tgu = — , u e

=>

,

- = -r-p—

—r = — fdii = —u + c .

a I 2 21. -*a + x ■ a (l + tg u) a à

4 . ví dụ 4: Chứng mirih rằrig: f ~ ' - i ^ = r:= u + c (với sin u = —, a > 0)

• J / 2 2 a

v a - X

DỊ, ... . ĩ l

= í , ‘K asin“)

° [du = lỉ + c

Bì nh

luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm

í— 7 = — arctg— + c và [—= = = = = arcsin — + c (a > ồ) nhưng sau đó không

a~ + X' ÍI a - v a 2 —X2 ^

g i ống bất cứ nươc nào trên thế giới' họ,lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngưọ'c arctg A% arcsin-xv Cách trình bàý trên để khắc phục lệnh cấm yận. này.

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(22)

§2. Các bài toáỉt sử dụng định nghĩa ngụyên. hàM - Trần Phưưttg

§ 2 . CÁC BÀI TO ÁN SỬ DỤNG ĐỊNH NG H ĨA NG UYÊN HÀM

I. DẠNG 1: Chứng minh F(x) là một nguyên hạm của f{x) trên D c R Bài 1. K iểm tra F(x) có phải là nguyên h àm của f(x) hay không a. F ( x ) = I n ( l n ( ! n x ) ) ; f ( x ) = —- — 1 - ■

x.lnx.lnUnx;

b. F ( x ) = In (in (sin x ) ) ; f ( x ) = x '•

ln(sinx)

Giãi

a. F ' ( x ) = [ i n ( i n ( i n x ) ) ] = — Y • [ in (in x )] •= “V-1- • •—^—( i n x ) ' ■ ; ! :■ l n ( l n x ) l n ( l n x ) ln x = 1 = f ( x ) - ' ; In (In x )

111

X X X. In X. In (.In x) V ậy F (x ) là m ộ t n g u y ê n hàm của f(x) b . S a i lầm th ư ờ n g g ă p : F ' ( x ) = [ l n ( l n ( s i n x ) ) ] = — —-— - - [ i n ( s i n x ) ] ■ - ■ ; . In (sin x) _ 1 ( s in x ) _ c o sx _ co tg x ) l n ( s i n x ) s in x s i n x l n ( s i n x ) In (s in x )

N g u yê n n h â n sa i lầ m : l n ( s i n x ) < l n l = 0 => không tồn tại In(ln(sin x ))

Vậy F(x) không tồn tại nên không thể là nguyên hàm cùa f(x)

,

, : '

Bài'2. Kiểm tra F(x) có phải là nguyên hàm của f(x) hay không ;

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(23)

Chương I: Các k ĩ t/tuật tinh tích phân - Trần Phương

Giải

a. F'(x) =

8 8 (ỗx2

+a2)Vx2 +a2

+ x ( 2 x 2 + a 2) - = ẫ : Ị 0 " 2 VX + a 8 X + - /X2 + a 2 1 +

Vx2 +a2

(óx~+a2)(x2 +a2) + x2(2x2 +a2)

a4

_ (x2 +a2)(?x2 + a2) + x4 - a

X2 + a 2

8Vx2 + a 2 8\/x2 + a 2 8-v/: _ ( x2 + a 2)[(7 x 2 + a 2) + ( x 2 - a 2)] 8x2 (x? + a 2) 2 [ 7 7 7 ^

~ ,-r, I . — I X V X â

í \ X/

8>/x2 + a 2 8v X2 + a 2

Vậy F(x) là một nguyên hàm của f(x)

3

b. F'(x) =

2

, x + a X' X = X ln — —— I- —— —

x - a

3 x + a V x - a

X3 , .X + a a 3 . ( 2 a x 2 — III'— -— + — InVx - a j + - ~

3

X -

a

3

3 .

x - a f x + a Y

a3 (x2 - a 2) . 2ax

x + a ^ x - a j

3

X2

- a 2

3

• X -

a

-2a

a3

2x

2ax

,

, X

+ a

X

X

- a

-2a

a

2x

2aa

= X In —— + — ■ --- r + --- + — x - a 3 x + a ( x - a ) '3 X - - a 3

r-X

\ 2,. x + a

-2ax3

2a3x

2ax

F vx) = X In — -— + —;-----r + —r— :— r + ——

x - a

3(x + a)(x - a )

3(x2 - a 2)

3

2 t A T a —z.a<v T 4.<x A T ^dA \A —a J 1 , A T a - / \

= X in---+ --- r— --- -r---= x* In--- = f U )

x - a

3(x - a )

x - a

ì một nguyên hàm cùa f(x)

f — ì i n ( x + 7 ? \ 4 32 ; V 32 1 6 ; = X3 I n ( x

+ -v/x2

+ a 2 ) +

í 3à2

3x2

V

32

16

I

X4

3a4 I

'

1

f

X

V 4

32 J x + Tx2 + a 2

V.

-v/x2 + a 2

l 32

■*» WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(24)

§2. Các bài toán sử dụng định nghĩa nguyên hàm — Trần Phương

r 'í 'I

31

í

rr~,

T'i

8x4 - 3 a 4

3a2 - 6 x 2

I

■>."

2

3a2x 2 -2x"

F (x) = x‘ ln U + VX + a j + —

= = + --- %/x" +a- + - -r=___ =

32-v/x2 + a 2 3 2 3 2 > / x 2 + a 2

3

, (

n 8x4 - 3 a 4 +(3a2 - 6 x 2)(x 2 + a 2) + 3a2x 2 - 2 x 4

w

= X I n U + V x + a ; + ---7= --- = f ( x

32 Vx2 + a2

Vậy F(x) là một nguyên hàm của f(x)

Bài 3.

Cho

2

hàm số F(x) =

2

X2

r

.

^ • l n x - — ;V x>0

, %

íx ln x ;V x > 0

2

4

; f (x ) =

• « 0 ;x = 0

0

;x = 0

L

C hứng m inh rằng: H àm số

F(x)

là một nguyên hàm của

f(x)

Giải

Bước 1: Chứng minh F'(x) = f(x), Vx > 0

í

2 2

Y

Thât

v â y

Vx

>

,0 ta có: F' (x)

= —

in

X — —

. V 2 ■

4

J

<=> F'(x) = f(x), Vx > 0 (1).

Bước 2: Chứng minh F'

(o+

) = f

(o)

= 0

= X In X + —— — = x l n x = f ( x )

2 x 4

F (x )-F (0 ):

l f x 2

— In

X - —-

2

4

Ta có:

F'(o+)

= l i m ---... — 0* X — 0 ! X-ÍO* X

= — lim ( x in x) - lim — = — lim (x In x ) = — lim f ( x )

2 x-»0+

, x->0* 4 : 2 x->0+

2 x-»0+

Do X - > 0+ nên với 0 < X < e ta cp: 0 < |x In x| = X |ln xl < X |ln el = X

Mặtkhác lim x = 0 = > lim |xlnx| = 0=> lim (xlnx) = O=3-F'(0+) = 0 = f(0) (2)

x-»0+

x-*0+

^ x-»0+

Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra: F'(x) = f(x), Vx > 0

B ài 4.

Cho F(x) =•

1

X sin—, Vx * 0

x

và f(x)=

0 ;x = 0

2x sin — - COS—; Vx * 0

X X

0

;x = 0

Chứng minh rằng: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R

Giải

21

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(25)

Ch li on s /■• Các k ĩ thuật tính tích phân - Trần Phiíờng S ư ớ c 1:

Chứng minh F'(x)

=

f(x), Vx

5*0 Vx * 0 t a c ó :

F'(x) = Ịx2 sin^Ị

= 2 x s i n — + X 2 COS— • = f

(x)

B ư ớ c 2:

Chứng minh F'(0) = f(0) = 0

r • F ( x ) - F ( 0 ) _ , . ( . 1 I n . . la có: F ( 0 ) = lim—7--- --- = lim Ị x s i n — |. Do 0 < X—>0 X — 0 x->0 . 1

1 1

.

1

xsin — = |x| sin —

X X

<|x|

1 im

|x|

=: 0 nên lim

\->0 x->0

.

1 x sin — X

=> lim

í

X

sin - I = 0 => F'(0) = f(0) = 0

x->0 V x j KẾt lu ậ n : F'(x) = f(x), V x e R

Bài 5.

Cho F(x) = |xi -

l n ( l

+ Ịx|) và f (x) =

1 + X

Chứng minh rằng: Hàm số F(x) Ịà một nguyên hàm của f(x) ừên JR.

G iả i

B ư ớ c 1:

Phá dấu trị tuyệt đối của F(x), f(x) trên R •

í X

- ln (l + x);Vx >0

Ta có: F(x) =

0

;x = 0 ; f (x ) =

- X

- ln(l - x ) ; Vx <0

; Vx >0

1 +

X

0

;x = 0

1 - x

Bước 2: Chứng minh F'(x) = f(x), Vx > 0

Vx > 0

ta

F'(x)

=

[x

-

ln(l

+ x)]

= 1

--- = —- — =

f (x) (1)

1 + X 1 + X

Sivửc 3: Chứng minh F'(x) = f(x), Vx < 0

V x > 0 t a c ó F ' ( x ) = [ - x - I n ( l - x ) ] = - 1 + —-— = — = f ( x ) (2)

1 - x 1 - x

8 ước 4: Chứng minh F'(0) = f(0) = 0

ln(l + x)

F ' ( c r ) = lim F ( x ) = lìm - = lim \ - > 0 ' X — 0 \->0~ x->ồ* X x-*0+ 1 -= 0 WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(26)

§2. Các bài toán sử dụng định nghĩa nguyên hàm - Trần Phưffi.b

lim

x-»cr

F '(0')= . = li

x-»0‘ X — 0 x-*0~ X *

-Do

F'(o+ )

=

F'(o~)

=

Ó

nên

F '(

0

)

=

0

= f Co) (

3

)

Kết luận: Từ (1), (2) vá (3) súy ra F(x) = f(x), VxeR

l n ( l - x )

= 0

Bài 6. Cho F (x) =

; Vx < 0

; f (x) =

-COS xesinx;Vx <0

1

y/ĩ

Vx >0

[2V1 + X -l; V x > 0

Chứng minh rằng: F(x) là một nguyên hàm của f(x)

Giãi

Bước 1: Chứng minh ÍF'(x) = f(x), Vx < ò

Vx < 0 ta có: F ' ( x ) = (esinx) = e sinx,c o sx = f ( x ) (1)

Bước 2: Chứng

minh

F'(x) = f(x), Vx > 0

V x > 0 t a c ó : F ' (x) = (2a/ Ĩ T 7 -i/ = - p J = = f ( x ) (2) VI + X

Bước 3: Chứng minh F'(0) = f(0) =1

r ( Q . ) = lim Ịin, :2 ( V Ũ Ĩ - I ) = „ 2* Ị x

-»0

X - 0 x->0 X x->0 x ( v T + X + l) •X-+0- x - 0 x->cr X x->ò" s i n x X

Do F'

(o+

) = F'

(o~

) = 1 nên F'(0) = l = f(0 )

(3)

Iíết luận: F'(x) = f(x), VxeR

e

;Vx <0

Bình luân: Nếu

sửa 1 chút: F (x) = -Ị ; f (x) =

{2sjl + x; Vx > 0

COS

xesinx; Vx <0

+ X

; Vx >0

Vx < 0:

F '(x ) = ( e sinx) = e si" \ c o s x

= f ( x ) ; Vx > 0: F'(x)=(2Vl +

x) = - j = L = = f ( x ) ;

... \/l - X

F'

(o+

) = F' (cr

) =

1

=>

F' (o)

=

1

=

f

(o)

nhưng F(x) không

phải là

nguyên hàm

CỊÌa f(x) trên R. Giải thích,được điều này’ bạn sẽ nhận được lời khen của tác giả.

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(27)

Chương I: Các k ĩ thuật tinh tích phân — Trần Phương

II. DẠNG 2: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện ràng buộc

Bài

1. Cho f ( x ) = x3 + x 2 sinx + 2 x c o s x và g ( x ) = x 2 cosx

Tìm hệ thức giữa f (x) và g(x). Từ đó tìm nguyên hàm G(x) của g(x) biết G(7t)=0

Giải

Ta có: f'(x) = 3x2 + 2xsinx + X2 cosx + 2 co sx -2 xsin x = 3x2 +2cosx + x2 cosx

|G(x).= f ( x ) - 2 s i n x - X 3 +c

g(x) = f '( x ) - 2 c o s x - 3 x 2 =><

f(7i) = f (tĩ) —

2sin 7t —

7t3 =0

Í

G(x)=(x2-2)sinx+2\cosx+c

=> c = 2ít

G(ti

) = -27i+c

= 0

=> 3t

=> G

( x )

= G (x) =

( x 2 -

2

)

sin

X

+ 2x

COS X

+ 2n

Bài 2. Cho f (x) = (x3 +

1

) In -s/l + X

và g(x) = x2 ln(l + x)

18

Tìm hệ thức giũa f (x) và g(x). Từ đó tìm nguyên hàm G(x) của g(x) biết G(l) = -2

Giãi

f U ) =

-3L

3x2ln(l+x) +

x+1

-X +x =x2In(l+x)+-(x2- x + l - x 2 +x) =x2ln(l+x)+-

3

3

g(x) = i'(x ) =

-G (x ) -- j x + c

G(l) = f ( l ) - ị + c = -2

=>c = -2 + -^--Ặ ln2

18 3

G (x) = I

G(x) = I

( x 3 +1) ln ( x +

1

) - + - — X

3

2

( x3 + l ) l n ( x + l ) - ^ - + — - x ] - 2 + Ặ - | l n 2 3 2 J 18 3

Bài 3. Cho f (x) = Vx2 +3 In (x + \/x 2 +

3

) ; g (x ) = ---- --- ln (x + \/x 2 +

3

)

\/x 2 +3

Tìm hệ thức giữa f (x) và g(x). Từ đó tìm nguyên hàm G(x) của g(x) biết G(l) = Ỉn3

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(28)

§2. Các bài toán sữ ílụitg định nghĩa nguyên hàm — Trần Phương

= g(x) +1

Giải

f'(x ) = —7.

■■

ln(x + ỵlx2 +

3

) + ——x ■

= = , ■

1 +

x =r

VX2 + 3

'x + Vx2 + 3 v

Vx2 + 3

ÍG(x) = f ( x ) - x + c

Íc = l - l n 3

=> g(x) = f (x) - 1 => í <=> í _ '

[G (

1

) = f (

1

) -1 + c = In 3

[G (x) = f (x)

— X

+ 1

-

In 3

Bài 4. Cho f (x) = — arctg — + — ln(x2 + a 2);g (x ) = x2 arctg —

3

a

6

a

Tìm hệ thức giữa F(x) và g(x). Từ đó tìm nguyên hàm G(x) của g(x) biết G(a) = —

Giải

■J -J

ax

\

2

X X3 1 1 a 3

2x

/ X

ax3 + a3x

_

/ X f ( x) = X ar ct g— + -- --- — ■ ,

2

= s ( x) +

.2

2

\ = g í x ) a 3 i.+ ( x ) a 6 * + a 3 ( x + a ) => g ( x ) = f , ( x ) — —— = > G ( x ) = f ( x ) — — — h c ; G ( a ) = f ( a ) — —— I-c =

3

6

6

+

7i:a3

~Ĩ2 => c = — l n (2a 2) = > G ( x ) = — arctg— + — In [ 2a 2 ( x 2 H-a2) ] - - ^ —

6

3

a

6

6

Bài 5. Cho f (x ) =

- y a r c t g - - —

i y ; g ( x ) = — r-1----JT

íl s X X VX" 4- ã.~)

Tìm hệ thức giữa f (x) và g(x). Từ đó tìm nguyên hàm G(x) cùa g(x) biết G(a) =

Giải

„ 1 1 ] 1 1 1 _ X4 + a 2 ( x 2 + a 2 )

^ ■ j 7 M r ’ã + I V _ a‘l (x2 + a2) + a2x4 " a V ( x 2 + a 2)

X2 (x2 + a") + a4 _

1

1

_

1

/ \

a x u

+a J

a x X (.X + a ) a x

=> g(x) = f '(x) - —

=> G (x) = f (x) + - ị - + c => G (a) = f (a) + -ì- + c = —

a X

a

X a a ’

r í \

~ ^

^

r* Í \

^

4. ^

^

^

=> c = - f (a) = — - — -r => G U ) = -ị-a r ctg - -

'

3

— -

—y-4a3

3a

a5

a

3a2

X3

12a5

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(29)

Chương I: Các k ĩ thuật tính tích'phân - Trần Phướng

Ui.

DẠNG 3:

Tìm

giá trị

tham

số để

F(x)

là một nguyên hàm của f(x)

Bài 1. Cho F(x) = (ax3 + bx2 + cx + d)ex ; f (x) = (2x3 +'9x2 - 2x +

5

) ếx .

Tìm a, b, c, d để F(x) là một nguỵên hàm của f(x) trên R

Giải

F ' ( x ) = ( 3 a x 2 + 2 b x + c ) e x + ( a x 3 + b x 2 -T-cx + d ) e*

= [ax3 + (3 a + b )x 2 +(2b + c)x + (c + d)]ex

F'(x) = f (x)V:

X <=>

'a= 2

ạ = 2

3a + b = 9

<=> •

cr II

2b + c = -2 .

c = -8

c + d = 5

,d = 13

Bài

2.

Cho F ( x ) = ( a x3 + bx2 + cx + d ) V x - 2 ; f ( x )

= — ---—■+ ^ s j x -

2

2

.

Tìm a, b, c, d để F(x) lâ một nguyên hàm của; f(x) trên (2, +

00

)

Giải

F’

(x) = (3ax2 + 2bx + c) \ l x - 2 + (ax3 + bx2 + cx + d )—

2 > /x -2

2(3ax2 + 2bx + c)(x - 2 ) + (ax3 + bx2 -f cx + d)

2 y Ị x - 2

7ax3 - ( l 2 a - 5 b ) x 2 - ( 8 b - 3 c ) x - ( 4 c - d )

2 ỳ / x - 2

U ) = f ( x ) v x ^ l ^ - {i2a- 5b)x2- ^ - 3c)x^ 4c- d ) =Lx 2 - 3 x + 8 4

^ 2

2 V x -2

2

o 7 a x 3 - ( l2 a -5 b )x 2 - ( 8 b - 3 c ) x - ( 4 c - d ) = ( 7 x 2 - 3 x + 8 )(x-2);V x

<=>7ax3 ~ (l2 a -5 b )x 2 - ( 8 b - 3 c ) x - ( 4 c - d ) = 7x3 -1 7x 2 +14x-16;Vx

F'

7a == 7

a = 1

a = 1

a = l

a = 1

0

12a - 5b = 17

-1=> •

8b - 3c = —14

I 2 -5 b = 17

8b — 3c = —1 4 ^

b = - l

0

8 + 3c = 14

b = - l

c = 2

b = - l

c = 2

4c - d = í 6

4 c - d = 16

4 c - d = 16

8 — d = 16

đ = -8

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

References

Related documents

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN... HÀM

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN... KỸ XẢO LẬP

LTĐH-CĐ TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN.. TRÍCH ĐOẠN SÁCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI SINH

head teacher /fhed,ti:tjs/ giáo viển chủ nhiệm BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN.. English vocabulary by topic 27. primary

Phân tích hóa học thực phẩm là việc tách, định danh hoặc xác định số lượng thành phần hóa học cần xác định trong mẫu phân tích 13. Phân

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN... SÁCH TRA CỨU VỀ CHẤT LƯỢNG