APPLICATION OF MATHEMATICAL THEORY IN THE ECONOMIC PRACTICE N. M. Kuljashova, I. A. Karpjuk

Full text

(1)

Ñåðèÿ

«Гуманитарные, социально-экономические и общественные науки»

Применение математиЧеСкоЙ теории

в ЭкономиЧеСкоЙ Практике

н. м. куляшова, и. а. карпюк

В статье рассматривается широкий спектр экономических задач, при решении которых акцент был сделан на построении математических моделей и применении методов, по

-зволяющих проникнуть в суть изучаемых процессов, вскрыть логику их развития; ука

-зывается, что при построении идеальных моделей экономических процессов нередко ис

-пользуются функциональные зависимостеи между факторами; приводятся предельные экономические показатели. Кроме этого, в работе представлены математические модели закономерностей общественно-экономических процессов, основанные на дифференци

-альных уравнениях; особое внимание уделено математическому аппарату теории веро

-ятностей, теории случайных функций и математической статистике как инструменту мо

-делирования процессов, протекающих в условиях некоторой неопределенности. Также в статье рассмотрено применение основных разделов математического программирова

-ния в качестве методов оптимизации экономических показателей.

Сделан вывод о том, что математика является инструментом количественного расче

-та в современной экономике, средством формулировки и методом решения исследо

-вательских задач. Математический аппарат позволяет корректно излагать и научно обосновывать положения экономической теории.

Ключевые слова: математика, экономика, экономическая система, моделирование,

экономико-математический метод.

APPLICATION OF MATHEMATICAL

THEORY IN THE ECONOMIC PRACTICE

N. M. Kuljashova, I. A. Karpjuk

The article considers a wide range of economic problems, and the solution for them is made on the basis on the construction of mathematical models and the application of mathematical methods allowing to penetrate into the essence of the studied processes, to reveal the logic of their development. The authors pointed out that the building of an ideal model of economic process is quite often based on usage of functional relationships between factors. The paper considers the marginal economic indicators, presents math

-ematical models, which are based on the differential equations, which leads to the study of the regularities of social-economic processes. Special attention is paid to the mathemati

-cal apparatus of the theory of probability, theory of random functions and mathemati-cal statistics as a tool for modeling of processes in the conditions of some uncertainty. The article considers application of the main topics of mathematical programming methods of optimization of economic indicators.

The authors draw the conclusion that mathematics for a modern economics is the instru

-ment of quantitative calculation, means of formulation and method of decision of research tasks. A mathematical framework allows the correct expounding and scientific explanation from the positions of economic theory.

Keywords:mathematics, economic systems, modeling, economic-mathematical methods. уДК 303.4

© Куляшова Н. М., Карпюк И. а., 2014 DOI: 10.15507/VMU.024.201403.185

Экономическая наука об объективных причинах функционирования и развития общества использует различные количе-ственные характеристики, математиче-ские модели и методы как необходимые,

(2)

ÂÅÑÒÍÈÊ

Ìîðäîâñêîãî óíèâåðñèòåòà | 2014 | ¹ 4

данных и соотношений сделать адек-ватные изучаемому объекту выводы. С другой, методы математики позво-ляют индуктивным путем оценить вид и параметры зависимостей, адекватно отображающих данные наблюдений. Кроме того, абстрактный характер мате-матического языка позволяет корректно и сжато формулировать экономические понятия и теоретические положения.

В экономической практике широко используется аппарат элементарной ма-тематики: определение долей и процен-тов материальных ресурсов; размеще-ние производства, вычислеразмеще-ние прибы-ли, налогов, рентабельности и т. д.

Многие экономические явления представляют собой устойчивые коли-чественные закономерности, которые можно описать в виде экономико-мате-матических моделей при помощи по-нятия функции. В качестве примеров таких зависимостей приведем спрос

у

от цены

х

товара; предложение неко-торого товара от его цены, полезности; суммарную выручку z, равную произве-дению количества

х

проданного товара на его цену

у

, если цена представляет собой функцию спроса; выпуск

у

про-дукции от затрат

х

ресурсов.

При построении идеальных моделей экономических процессов нередко ис-пользуется линейная зависимость фак-торов. Так, для расчетов межотраслевого баланса, как правило, предполагается, что выпуск продукции пропорционален прямым затратам труда. Если в произ-водстве определенной продукции уча-ствует несколько отраслей, то ее выпуск является линейной функцией всех пря-мых затрат (линейность принимается условно для упрощения расчетов).

учитывая, что большинство эконо-мических объектов подвержены дейст-вию разнообразных факторов, для их из-учения широко применяются функции многих переменных y f x x= ( , ,..., )1 2 xn : производственная функция, связываю-щая объемы затрачиваемых ресурсов и выпуска продукции; функция полез-ности набора из нескольких товаров

ит.п. Отметим также мультипликатив-ные функции, зависимая переменная ко-торых является произведением фактор-ных переменфактор-ных, обращающих ее внуль при отсутствии воздействия хотя бы одного фактора. Это, например, про-изводственная функция вида y a x x= a a

0 11 22, частным случаем которой является функция Кобба-Дугласа y a x x= aa

0 1 21 . Значимые утверждения экономики основаны на том, что многие функции, описывающие экономические показа-тели, являются непрерывными. В част-ности, основываясь на понятии непре-рывности, можно сделать вывод, что величина подоходного налога граждан с мало отличающимися доходами будет отличаться незначительно. Так же за-висят от цены функции спроса и пред-ложения: при небольших изменениях цен они колеблятся незначительно, хотя вфинансовом анализе можно встретить ситуацию скачкообразного изменения спроса.

Однако в рамки элементарной ма-тематики не укладываются кредитные операции, банковская деятельность, долговременное прогнозирование, ин-вестиции и оценка рисков. При реше-нии подобных задач требуется не только эффективное экономическое мышление, но и привлечение специальных матема-тических методов.

(3)

Ñåðèÿ

«Гуманитарные, социально-экономические и общественные науки»

одной единицы товара дает производная функции полезности. Производная про-изводственной функции – добавочная продукция, которую будет производить новый сотрудник в единицу времени (если аргумент функции – это число работников фирмы). указанные функ-ции могут быть как одномерными, так и многомерными.

рассмотрим дифференцируемую од-нофакторную производственную функ-цию y f x= ( ), которая выражает зависи-мость объема производимой продукции за единицу времени от объема затрачен-ного ресурса х, например, количества че-ловеческого труда, выраженного в виде человеко-часов или числа работников. Посколькуf a( + ≈1) f a( )+ ′f a( ), где а – число работников фирмы на текущий момент, то f a( ) – добавочная

продук-ция, производимая новым сотрудником предприятия за единицу времени.

Если с – цена единицы продукции, а р – зарплата работника за единицу времени и с∙ f a′( )>p, то фирма может нанять еще одного сотрудника, который принесет больше прибыли, чем фирма затратит на него средств. Это называет-ся золотым правилом экономики, кото-рое имеет универсальный характер.

В качестве примера многофактор-ных функций рассмотрим функцию прибыли:

Π = −

=

Px S x xi i x i

m

m

1 1 2

( , ,..., ),

где x x1, ,...,2 xm – количества произво-димых разновидностей товара m,

P P1, ,...,2 Pm – цены соответствующих това-ров (все Pi – постоянные величины),

C S x x= ( , ,..., )1 2 xm – затраты на

производ-ство товаров (функция издержек).

Максимум прибыли целесообразно искать как условие локально го экстре-мума функции многих переменных, если xi ≥0 (при отсутствии других ог-раничений). Это условие приводит к си-стеме алгебраических уравнений отно-сительно переменных xi:

P S x

i

∂ =0, i=1,m.

Полученная система уравнений реа- лизует известное правило эконо мики: предельная стоимость (цена) товара равна предельным издержкам на его производство.

В экономической практике аппа-рат дифференциального исчисления применяется также для определения мгновенных расхода воды, энергопотре-бления, производственной мощности. апри определении дневной выработки по функции производительности труда, объема производства, экономической эффективности капитальных вложений, суммарного количества оборудования, выпущенного за промежуток време-ни и т. д. используются элементы ин-тегрального исчисления. При этом для применения определенного интеграла составляют идеализированную модель, использующую непрерывные функции.

Исследование закономерностей дол-говременных социально-экономических процессов не представляется возмож-ным без построения математических моделей, базирующихся на дифферен-циальных уравнениях. Подобные моде-ли эффективно используются в эконо-мической динамике.

Так, модель естественного роста вы-пуска некоторой продукции представля-ет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися пе-ременными:

′ = Q kQ,

где k lmP= , Q t( ) – количество про-дукции, реализованной в момент време-ни t, 1

l – норма акселерации, m – норма инвестиции, Р – фиксированная цена.

рост выпуска в условиях конкуренции определяется нелинейным дифференци-альным уравнением первого порядка от-носительно Q с разделяющимися пере-менными: Q′ =αP Q Q( ) , где α =lm.

(4)

(наци-ÂÅÑÒÍÈÊ

Ìîðäîâñêîãî óíèâåðñèòåòà | 2014 | ¹ 4

ональный доход Y(t), государственные расходы E(t), потребление S(t) и инвес-тиции I(t)) представляет собой систему уравнений. Она отражает балансы рас-ходов и национального дохода, общего потребления части национального дохо-да с потреблением и внутренним, а так-же зависимость размера инвестиций от произведения нормы акселерации, характеризуемой уровнем технологии и инфраструктуры государства, на пре-дельный национальный доход:

Y t S t I t E t S t a t Y t b t I t k t Y t

( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),

= + +

= +

= ′

  

 

где a(t) – коэффициент склонности кпотреблению (0 < а(t) < 1), b(t) – ав-тономное (конечное) потребление, k(t)– норма акселерации. При этом функци-онирование и развитие государства ха-рактеризуются известными величинами a(t), b(t), k(t) и E(t). В этом случае дина-мика национального дохода определяет-ся ли нейным неоднородным дифферен-циальным уравнением первого порядка [1, с. 114–115]:

′ = − − +

Y a t

k t Y b t E t k t 1 ( )

( )

( ) ( ) ( ) .

Изучение модели рынка с прогнози-руемыми ценами приводит к дифферен-циальному уравнению второго порядка, поскольку спрос и предложение в ре-альных ситуациях зависят не только от текущей цены на товар, но и тенденции ценообразования, а также темпов изме-нения цены (первая и вторая производ-ные функции цены сооответственно).

Вероятностный характер изменения некоторых объектов экономики, изуче-ние их по ограниченному объему на-блюдений предопределили применение математического аппарата и методов те-ории вероятностей, тете-ории случайных функций и математической статистики при их исследовании.

Вероятностно-статистические ме-тоды описания экономических явлений

и процессов являются инструментом построения соответствующих моделей в условиях неопределенности, позволяя определить закономерности их протека-ния, выявить главные факторы и уста-новить влияние искажающих обстоя-тельств на результаты статистических наблюдений.

Значительное число факторов, из-меняющих поведение экономического объекта, оценивается только с качест-венной стороны. Это обстоятельство оправдывает применение методов экс-пертных оценок, дисперсионного и ко-вариационного анализа при исследова-нии реальных объектов. При изучеисследова-нии явлений, имеющих случайный характер, например, в теории принятия решений или в портфельном анализе, использу-ется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).

разработка эффективных рекомен-даций по организации работы систем обслуживания и расчеты оптимальных производственно-экономических пока-зателей являются предметами изучения теории массового обслуживания.

Изучение более глубоких экономи-ческих проблем определяет необходи-мость введения новых понятий и услож-няет исследовательский аппарат.

(5)

мето-Ñåðèÿ

«Гуманитарные, социально-экономические и общественные науки»

ды математического программирования (планирования).

Для выработки оптимального ре-шения экономической задачи, условия и ограничения которой описываются уравнениями или неравенствами первой степени, предназначены методы линей-ного программирования. К таким зада-чам относятся: составление плана ра-боты станков, обеспечивающего мини-мальные затраты на производство всей продукции; определение наилучшего плана распределения ограниченных однородных ресурсов в целях реше-ния поставленной задачи; составление дневного рациона с минимальной сто-имостью и ограниченным содержанием питательных веществ и т. п.

Математическая модель задачи име-ет вид:

F x c xj j j

n

( )= →max

=

1

(min) при следующих условиях:

a xij j b ii k k m

j n

≤ = ≤

=

1

1

, , ; ,

a xij j b i ki m

j n

= = +

=

1 , 1, ,

xj ≥0, j=1, ;s s n ≤ .

Содержательный смысл некоторых экономических задач линейного програм-мирования приводит к задачам, решения которых должны быть целыми числами, то есть они относятся к целочисленному программированию. Например, это зада-чи об оптимальном распределении судов по навигационным линиям; станочном парке предприятия; числе турбин в энер-госистеме, и многие другие, в которых переменные описывают количество еди-ниц неделимой продукции. Задачами целочисленного программирования яв-ляются также транспортная задача иее модификации (задачи о назначениях, о потоках в сетях); задача нахождения минимального порожнего пробега авто-мобилей; об оптимизации машинного парка и его оптимального распределе-ния по указанным работам.

Экстремаль-ные комбинаторЭкстремаль-ные задачи (календарное планирование и теория расписания; об оптимальном назначении; задача комми-вояжера также решаются методами цело-численного программирования.

В реальных условиях производства такие показатели как капитальные за-траты, себестоимость, прибыль и другие показатели нелинейно зависят от расхо-да ресурсов и объема производства, то есть решение оптимизационных задач в этом случае приводит к нелинейному программированию. Математическая мо-дель таких задач имеет вид:

f x x

(

1, , ..., 2 xn

)

→max (min)

при условии, что

g x x x b i k

g x x x b i

i n i

i n i

1 2

1 2

1

, , ..., , , ,

, , ..., ,

(

)

≤ =

(

)

= =kk+ m

   

1, , ,

где f 8 gi – некоторые известные

функции n переменных, хотя бы одна из которых нелинейна, а bi – заданные

чи-сла. Если f – квадратичная функция, а gi – линейные функции, то задача

отно-сится к квадратичному программирова-нию; если f – отношение двух линейных функций, а gi – линейные, то к дробно-линейному; если f – вогнутая (выпу-клая) функция, область допустимых ре-шений является выпуклым множеством – выпуклому програмированию.

В отличие от линейного программи-рования для задач нелинейного програ-мирования отсутствуют универсальные методы решения. Задачи распределения неоднородных ресурсов, планирования производства сучетом издержек, макси-мизации функции полезности инвестора и минимизации риска при формирова-нии инвестиционного портфеля и т. д. Можно решать графическим методом, классическим дифференциальным исчи-слением (в частности, методом лагран-жа), градиентными методами (например Франка-Вульфа, штрафных функций иЭрроу-Гурвица).

(6)

некото-ÂÅÑÒÍÈÊ

Ìîðäîâñêîãî óíèâåðñèòåòà | 2014 | ¹ 4

рые параметры. Их наличие свидетельст-вует, например, о сезонном характере при-были от реализации некоторой продукции; о том, что объем запасов, нормы их затрат и технология производства могут изме-няться с течением времени ит. д. Такие задачи являются предметом изучения па-раметрического программирования. Если указанные параметры – случайные вели-чины, более полно отображающие эконо-мическую действительность, то перечи-сленные выше задачи решаются методами стохастического программирования.

Модели линейного и нелинейного программирования, как правило, при-меняются для принятия плановых круп-номасштабных решений. Для менее масштабных задач, например, при рас-пределении дефицитных капитальных вложений между возможными новыми направлениями их использования, раз-работке правил управления запасами, устанавливающими размер пополняю-щего заказа и момент пополнения за-пасов, разработке долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов, определении прин-ципов календарного планирования про-изводства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию, составлении календарных

планов текущего и капитального ре-монта, замены сложного оборудования ит. д. применяются модели динамиче-ского программирования.

Для рационального ведения хозяйст-венной деятельности (достижения наи-лучших результатов в кратчайший срок) используются математические методы сетевого планирования.

В условиях рыночной экономики ижесткой конкуренции производителей товаров и услуг необходимо уметь выра-батывать эффективные решения, а также быть готовым к действиям конкурентов, или неосознанному влиянию «природы». Для решения подобных задач в матема-тике сформировался раздел, называемый теорией игр, в котором рассматривают-сяметоды решения задач с конфликтны-ми ситуацияконфликтны-ми.

резюмируя сказанное выше, от-метим, что современная математика является для экономики, управления и финансов не только инструментом количественного расчета, но и методом исследования, а также средством фор-мулировки задач исследования. Кроме того, она позволяет точно определять понятия экономической теории, кор-ректно излагать ее положения и делать обоснованные выводы.

СПÈСÎÊ ÈСПÎËЬЗÎВÀÍÍЫХ ÈСТÎЧÍÈÊÎВ

1. красс, м. С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании / М. С. Красс, Б. П. чупрынов. – Москва : Дело, 2001. – 688 с.

Поступила 18.03.2014 г.

Об авторах:

куляшова наталья михайловна, доцент кафедры фундаментальной информатики факультета

математики и информационных технологий ФГБОу ВПО «Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва» (россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), кандидат физико-математических наук, kafivt@mail.ru

карпюк ирина алексеевна, доцент кафедры фундаментальной информатики факультета

математики и информационных технологий ФГБОу ВПО «Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва» (россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), кандидат педагогических наук, kafivt@mail.ru

Для цитирования: Куляшова, Н. М. Применение математической теории в экономической пра

(7)

Ñåðèÿ

«Гуманитарные, социально-экономические и общественные науки»

REFERENCES

1. Krass M. S., Chuprynov B. P. Osnovy matematiki i ee prilozhenija v jekonomicheskom obrazovanii [Beginnings of mathematics and its application in economic education]. Moscow, Delo Publ., 2001, 688 p.

About the authors:

Kuljashova Natal’ja Mihajlovna, Associate professor of Fundamental Informatics chair of Mathetatics and Information Technology faculty, Ogarev Mordovia State University (Russia, Saransk, 68 Bolshevistskaya Str.), Candidate of Science (PhD) degree holder in Physical and Mathematical Sciences, kafivt@mail.ru

Karpjuk Irina Alekseevna, Associate professor of Fundamental Informatics chair of Mathetatics and Information Technology faculty, Ogarev Mordovia State University (Russia, Saransk, 68 Bolshevistskaya Str.), Candidate of Science (PhD) degree holder in Pedagogy, kafivt@mail.ru

For citation: Kuljashova N. M., Karpjuk I. A. Primenenie matematicheskoj teorii v jekonomicheskoj

praktike [Application of mathematical theory in the economic practice]. Vestnik Mordovskogo

Figure

Updating...

References

Updating...

Download now (7 pages)