Matematik-112

h I

..

_.

_~

z

_~

r

~

..

"

a

Po

~

p

j -

'

- - +y

y

_y

_~

_?-

₃

_?-

_[3x

₊

_[

₅

y

I+e.,..--.f-.--.

x

•

"

,

h '-_-_~

,

y

o

v

x

o

~p

Nyt Teknisk Forlag

Indhold

Tal

og algebra

1

Koml'lcksc lal 14 Rentesregning 23 ligninger og uligheder 28 Geometri 36

Trigonometri

46

Retvinklede trekanter 46 Vilk:1r1igc trekanter 51

Trigonometriske funktioner

56

Analytisk geometri 69 Linje i plan 73 Cirkel 86 Proportionalitet 89 Funktioner 91 Andengrads polynomiet 102 Tredjegrads polynomiet 103 Polynomier 104 Eksponentiel u(lvikling

/10

Potensudvikling //8 Spt'cicllc funktioner /22

Regression

127

Grænseværdi

129

Asymptoter

133

Infinitesimalregning

737

Differentialregning 140 Integration 151 Arealberegning 158 Volurncnbcrcgning /6/ Numerisk integration /63

Diffcrcllti:1lligningcr /68

Tabel over dirrcr~'ntialkvotienler og stamfunktioner 170

Vektorer

i

to

dimensioner 177

Vektorer

i

tre

dimensioner 192

Rumgeometri 208

Rumgeometri oversigt 2/3 Vektorfunktioner 232 Ikvægelser 235

Keglesnit 243

Sand

s

ynlighedsregning

246

Kombinatorik 250 Stokastiske v;lriablc 255 Sandsynlighcdsfordclingcr 264

Rækker

282

Matematiske tegn og symboler

290

Index

Tal og algebra

, -3 Tal og algebra

Algebra betyder bogslavregning, dier operationslære ug kommer fra del "rabiske 'II-gcbr.

Operationer

Addition: ₍₁₊₀₌₍

Subtraktion: _II-b=c

Multiplikation: (l'u=c Division:

a :

il = c eller:

a

-=c b

a

og b: Addender. c: SUlllmen. (I: Minuend.

b:

Subtrahend. c: Differensen. II Og 11: Faktorer. c: Produktet.

a:

Dividend eller tæller. li: Divisor eller nævner.

c: Kvotienten.

Regningsarternes hierarki

1

10 POlcnsoploftning og roduddragning. 2. Multiplikation og division.

3. Addition og subtmktion.

Regneregier for tal

Regel Benævnelse

a

+

b

=

b

+(1

Kommutative lov for addition. (a +b)

+

c = a + (b

+

cl Associative lov for addition.

n·

b

=

li·

(I

KOlllmutative

lov

for mul

t

iplikation.

(n· bl·c

=

(/.

(b -cl Associative lov for multiplikation. (/. (b

+

c) = ti· b

+

Il . C Distributive lov.

.-.

Tal og algebra

Regneregier for brøker

o

eration

Addition og subtraktion;

Multiplikation:

Division:

Forlængelse:

Forkortelse:

Muhiplikalion med et tal:

Division med el tal:

Kvadratsætninger

,

,

'

(x+y)·=x +y-+2·x·y (X+Y)'(X_Y)=X2 __y2

lø

s

nin

~±~ l, '/Il t n l ' ll 1/1 "l III -//1

.!.J..

.!L

=

!..!:.!..L

"1 "2 ". ' ' '2 f t . {/

- = - -

,aeR,a:;tO

'1 " . Il t I : (I - = - - , lIE R,a:;tO 1/ 11:11 t t - : 11 = - -, (lE

R,

a *0

11 1/'(/

Regneregier for numerisk værdi

I

n

l=H

I

n~

=

I

n

ll11

I~=~

jn"j=iaI"

la

+

~

:s:

lal

+

ibi

Trekantsuligheden.

ro

Regneregier for potenser

ti'" • b'" =(a·b)'"

m tf m-n

-=(1,.

,,"

Regneregier for roduddragning

'V.{;;.

'Jj;,

=

III " (I m+!I

~

",."r-;;:;;;

- = va"-'"

if;;

(a

m

r

=0'"'' -m I O = -om

(v;;j"

= O

~

q'~am-n =

V;;;;

~

= {Ia

j

for

1/

li

ge

ti for /I ulige

Regneregier for titalslogaritmen

y

30

y-ID'

25

20

15

IO

5

'0~

~

2 4 6 & 1 0

==F=~~==~

'

(I = 1010&(11) = 10g(l O") 10g(lO) '" l log(l)=0

10g(a -b) = 10g(a)+ log(b)

lo

~f)

= log(a)-Iog(b) 10g(aP) = p·log(n)

log(

tin) =.!..

-Iog(a)

q

7-0

10-12

Tal og algebra

RegneregIer for den naturlige logaritme

10

Y

y=e'

y=K

a=c1n(u)=lnkn)

&

6

4

_ - -

-

...c

-In x

log(lO)= I Jog(l)=o In«(/ -b) = In«(/)+ Jn(b) 2 4 6 6 lOK

I

n(~)

=

In(a) - In(1J) ln(aP) = p. In«(/) Jn(tIa)=..!..ln«(/) q

Sammenhæng mellem titalslogaritme n og den naturlige

logaritme

I

ln«(/)

=

log(II)· Jn{IO) log(a)

=

In«(/) ·log(e)

Mængdeoperationer og definitioner

o eration An ivelse som mæn de

Fællesmængden

A,"",U=Ix\XEA/UEU}

Hvis A

n

U =

ø

siges A og U al være disjunkte

Foren i ngsmængden

AUU=/x\XEAvXEBj

A\B=lxIXEAAXEBI

-F

Operation

An ivelse

som mængde

Komplementærmængden

C

A=lxlxeAI

Intervaller

ror Il,be

R og

(I < b : Begrænsede Abne 1(/,b[=!xeRI,/<x<b!

Halvåbne [1I,b[=!XE

RI(I:!>x<bl

[a,b]=lxe

Rla<x$bl

Ubegrænsede

]II,,,,"[=[

X

E Rla<x]

1--.bl=lxe

RI

x

<bl

]_00,00]= R

lukkede

[lI,IJ]=jxe

IRI(lSx«;ul

[(I,ool=[xE

RI

a'::;; x}

1--.bl=lxe

Rl

xSbl

1--.-1

=

R

••

- - - 0 [~b[

0 > - - - -

....

],.

bl

o

o lB,t{

•

•

["'bl

•

[B,oo[

o

],.oo[

- - - -

.

J-.oo,bl

- - - 0

J-.oo,t{

•

13-13 Tal og algebra

14-18

Tal og algebra

K

omplekse tal

Regneregier for komplekse

tal

(Xl

+

i· YI)±(XZ + i· Y2)

=

(XI +xl)+i ·(YI

+

Yz)

{XI

+i·

YI)·(X2 + i·

hl

= (XI 'X I - YI . Yl)+ i .(x_l . YI +x_{I '} YI)

Kompleks konjugering

Regneregier for

kompleks

konjugering

- -

-

-ZI ±Z2 =-ZI ±zz

Modulus af et komplekst tal

1

1'1=lx+

;

·YI=Jx'+y'

Regneregier for modulus af et komplekst tal

Regneregier for argumentet

ar

{

::

)

'"

arg

(z

I) -

a

r

g(z2)

arg(z")

'"

/I'

arg(z)

de Moivres formel

I

z" '"

Iz" I· (cos

(11 .

ar

g(z»

+

i . sin{11 .

ar

g(z»)

Den binome ligning

Eulers formler

eix =cos(x)+i'sin(x) c·ix =cos(x)-j·sin(x)

,

( .

.

)

cos(x)

=_.

l"I

'

X

+c-

1X

2 sin(x)=-'-.. (e'x

_C-I-X)

2· , 19-22 Tal og algebra

23-27

Rentesregning

Rentesregning

Gennemsnitlig rente

I

rp

="I·",·"··,,qO+r1t' '

(I+r

_{2)'" ·}

...

·(J+

r

t)"·-

I

r" r,.

" 0 '

r,

er de indgående renter med terminerne ""

II

,

. ,

..•

Il~.

Vejet gennemsnit

I

x

=

PI

'X1+Pl

·x

l+···+

P

ø

·XII

Opsparing

I

K

.=

K

, (

I+,

)·

Annuitetsopsparing

I

A=b(l+<;

·

-

l

Gældsannuitet

I

G=yI-(l;,r"

x

er det vejede gellnemsnitllf x"

x"

...

, x.

med vægtene

P

"

P

"

...

, P

.

,

K.: KlIpitalen efter" terminer. K.: Stllrtbpita!cn.

II: Ant,lnet lIf terminer.

r. Rentefoden.

II: Kapitalen efter sidste indbctllling, b: Terminsindbetalingen.

II: Antal terminer.

r. Rentefodl'n.

G:

Gælden, hovcdslolcn. )~ Ydelsen.

II: Antal terminer. r. Rentefoden.

28-28 ligninger og uligheder

Ligninger og uligheder

Regler ved løsning af ligninger

Problem Addition og subtraktion Multiplikation Division Potens Rod Log.lrill11e

,,

'

sinus, cosinus, tangens Sin

,

• cos t:1II 1 Restriktioner

Man kan addere eller subtrahere ethvert tal, p,l begge sider af lighedstegnet.

Man kan multiplicere mcd alle t;ll, undtagcn 0, på begge sider af lighedstegnet.

Man kan dividere med alle tal, undtagen 0, på begge sider af lighedstegnet.

Man kan opløfte til den 5.1mme potens, undtilgen 0, på begge sider aflighedstegnel.

Man kan tage den s;J.mrne rod, på begge sider ilf lighedstegnet. Dog kan man kun tage en lige rod, hvis begge sider består:lf positivc udtryk.

Man kan tage logaritmcn, på begge sider af IighcdstcgnN, hvis udtrykkcne består ,If posit ivc slOrrdseT.

Man kan opløftc bcggc sidcr aflighcdstcgncl med

samme grundtal større end 0, undtagcn l. Man kan anvcnde sin, cos eller tan,

, på begge sider af lighcdslegnel.

Man klin anvende sin-I eller cos I på begge sideraflighcds-tegnet, hvis udtrykkenc har værdier mellem - I og I. Der kan v,cre flere løsninger, se

Man kan anvcnde lall 1 på begge sider aflighedslegnet, hvis

ingen af udtrykkene er

~

+

p. It, pe Z.

2 Der kan være flere losninger, se

34·35

ligninger og

u

lig

h

ed

e

r

To

l

igninge

r

med to ube

k

endte

v

ed hjælp af determinantmetoden (C

r

amers rege

l

)

Har losningen:

H

V

i

sl'"

"

,

I" ,

Hvis fI~

I

'"

Hvis

",

=0/\

l"~

I I"

b2 Cl

b'l

b

,

=0: L=R =0/\

b'

l

I

"

bl (2

b'

b,

l

';I!:O:L=Ø

Tre ligninger med tre ubekendte

ved hjælp af determ

i

nantmetoden (Cramers regel)

!

n

'X+VI _Y+C,'Z=ffl

Ligningssystcmct':

(/

~.

x+ b, . y +("2 . Z = ri, (I3

·x+b

j • )'+(3'Z

=

d

_J Har losningen:

I

b, Hvis f) = "l ' •

b,

[}

I-!visl)=(II"

Ib,

-b

,

rlvis f) =11 1 "

Ib,

b

,

t i l '

r

-b

,

(/2 III" ,/

,

b

,

",'

_b

_,

"I

-bl"

I

'"

cJ IIJ

"I I'"

-bl" c_J II_J

c,

<I,

- bl"

"

<I,

_/)

"

- III'

{

,

-c,

'"

D

<I

,

_"

_,

d, - bl"

_"

_,

D

c'l I'"

+'1" c_J II;

"I I'"

+'1 . 'J II;

b

•

'l

~ O:

b,

"II~'

b,

. + Cl ' -c J II J

b,

'

:1

+

Cl"

'"

( j l/ J

<I,

,/

,

<1'1

. +

,I

" .

I'"

b

,

b,

I/J li)

&t[_o

- 1\

~_a!_11J'

_ _ _ •

I

•

_R

_ bJ dl d2 d)

b

ll

_{=OI \ - * - v _ ' I ; ,} (II 1/1

tI,!!1.

_{: 1.=}

ø

bj dl dl d

_z

d_J

-Geometri

Definition på vinkler

36-37 Geometri

DelllllfllC/I/(l/iske

lære

om rum ogjlndeSlmkfllrer.

Benævnelse

Udregnes

som

Komplementvinkel til v 90° ~ II Supplcllwntvinkd til l' 1800 - II Eksplementvinkel til I' 36(}° - II

Geometriske resultater vedrørende vinkler

Situation Topvinkjer

~

_{Ensliggende vinkler}

,

m --.,..

,

~""'--­ Centervinkel b Periferivinkel Kordcvinkcl

bQa

,

Sætning

Topvinkler er lige slore.

v= vog IV= IV

Ensliggende vinkler ved parallelle linjer er lige store.

En centervinkel er lig med den bue den spænder over. l'

=

IJ

En pt'rifcrivinkcl er h31vt sl stor som den bue den spænder over.

b 1'=

-2

En kordevinkel er lig den halve sum af dens egen og dens lopvinkds buer (Se for definition af en kordc-).

b+a

,

=

37 - 37 Geometri Situation Tangentvinkcl Sekantvinkcl Trekant

/I

v

A

~

C

Firkant

/I

/7--~C

A

D Femkant

/I

C

A

~

D

Polygon Regulær polygon

®

Sætning

En kordetangentvinkel er halvt s~ stor som den bue

den spænder over. b

1'=-2

En tangentvinkcl er lig med 1800

minus den lille bue. v=180"-b

En sckantvinkC'l eT lig med den halve forskel meJlem buerne.

b-a

,=--2 Vinkelsummen i en trekant er 1800 A+B+C=180

VinkC'lsummen i

en

firkmll er 360° .

A+B+C+O=360"

Vinkelsummen i en femkant er 5400 •

A+B+C+O+E=540'

Vinkclsummen i en polygon (II-kant) er(l1- 2)·180 Vinklerne i en regulær polygon (II-kant) er hver

11-2 180' .

"

-Cirkler

linje

Diameter Radius

Q

Sekant Tangent ---~, Korde

EJ

_{Cirkel periferi}

o

Forklaring

Ret linje, der gtlr tværs igennem cirklen

og gllr gennem dennes centrum.

Retlin;e der går fra centrum til periferien. Radius er halvdelen af diameteren.

Ret linje der går tværs igennem cirklen.

Rctlinjc der rorer cirklen i

et

punkt,

og som er vinkelret på den linje.

der går mellem røringspunktelog centrum.

Retlin;e der forbinder to punkter p;\ cirklelpcrifcricn

Linje der afgrænscr cirklen.

38-38

F

Cirkler

linje Diameter

6)

Radius

Q

Sekant TangeJlI

---

~

Korde

ES)

Cirkclpcrifcri

o

Forklaring

Ret linje, der går tværs igennem cirklen

og gar gennem dennes centruIn.

Ret linje der går fra centrum til periferien. Radius er halvdelen af diameteren.

Ret linje der går tværs igennem cirklen.

Ret linje der rører cirklen i el punkt, og som er vinkelret på den linje,

der går mellem røringspunktet og centrum.

Ret linje der forbinder IO punkter p-' cirklelperifericn

Linje der afgrænser cirklen.

38-38

Geometri

39-39 Geometri

Trekanter

linje Højde A

~

II

C

II

A,LC----7b~--~C Median

A

~

II

C

II

Definition og skæringspunktet mellem linjerne Linjen h, der gar fra en \'inkelspids til den modsatte side, hvor den skærer vinkelret på siden (eller dennes

forlængelse).

Hojderne har et fælles skæringspunkt, mcn ellers har det ingen geometrisk betydning.

Linjerne kan beregnes ved hjælp af: ,,~ =c·sinB=b·sinC

h_b =c·sinA=f/·sinC lir

=

b

sinA =n·sinB

Linjen /fI, der går fra en vinkelspids, til midtpunktet af

den modstående side.

Medianerne skærer i tyngdepunktet. Dctte dder medianerne i forholdet l :2. hvor den længste side er mellem vinkelspidsen og tyngdepunktet O.

Linjerne bn beregnes ved hjælp af:

Ul '"

"

IJ~ Cl ll~

-

+

- - - =

2 2 4 III C II 2

- +

-

- - :

2 2 4 1/2 C ll·c·cosB

- + -

+

4 4 2

-Vinkelhalveri ngslin je A

~

B

C

g

~

~

A b C Midlnormal A

~

B

C

m '"

A L...~C-">_--'lC 39~ 39 Geometri

Definition o skærin spunktet mellem lin-erne Linjen

v

der går fra en vinkclspids og deler vinklen i IO lige stoTe vinkler.

Vinkclhalveringslinjerne skærer i centrum for trekantens

indskrevne cirkel.

Linjerne kan beregnes ved hjælp af:

vII =

l.b.c·msi

l·Js·

(

s

tI)-b-c

ti

+c

lI+b+c

hvor:

s

= ::..:---'-.:.

2

{/+c

Linjen III, der er vinkelret på en side og som begynder midt på siden_

Midtnorm3lerne skærer i centrum for trekOInlens

omskrevne cirkel.

40-40

Geometri

Inddeling

af trekanter

Figur

Spidsvinklede Il AD--~---"' ... C Stumpvinklede

A

Retvinklede Ligebenede Ligesidede Il Il Il

A

D-

- -

..L

_C

Definition

Alle vinkler er under 900 •

I:n vinkel er over 90° .

~n vinkel er 900 •

To af siderne er lige lange.

Alle sider (og vinkler) er lige store. Vinklerne er alle 600

Sammenligning af trekanter

F

igur

Ensvinklede trekanter 1l

11

,

A

-/;--

---2.

C

Ligedannede trekanter

1l p

n

E

f

G

A

LL----;;- -U ·

_C

Kongruente trekanter

Definition o

g sætninge

r

Defillitioll

Alle vinkler er parvis lige store.

SællJing

Siderne er parvis proportionale

a b , k = = = -al bl

c,

a =al·k b=b_l ·k c=c] ·k

Defillitioll

41 -41

Geomet

ri

Den ene er en forSlOrrelse af den anden.

Sætning

Ligedannede trekanter er også ensvinklede.

Definition

Trekanterne skal have d(' s..1mme vinkler og

sider. Den ene trekant skal kunne bringes til, at dække den ande:n ved spejling, drejning eller parallelforskydning.

Sætning

To trekanler er kongruente hvis: I. Alle tre sider er parvis lige store. 2. De har en vinkel og to hosliggende sider

lige store.

3. De har to vinkler og den cnc side

(mellemliggende: clk'r hosliggende) lige

store.

Kongruente trekanter er også ligedannede.

42-42 Geometri

Inddeling af firkanter

Figur Trapez

;8

_

---; C

h

A

' -

-

-

- -

----'

D Parnllcllogram

INJ'

A, ,D

t

Rhombe

8

C

di7

A

D

Rektangel

g

C

.

:><:

A b D Kvadrat

:

0

'

A b

D

Definition

To modst~ende sider er parallelle.

/JcIIAD

Dc modst:lende sider er parallelle og lige lange. IJC=ADogAB=CD

Dc modst:lende vinkler er lige store.

A=CogB= lJ

Diagonalerne

ti

,

og ti, halverer hinanden.

Alle sider er lige lange.

A!J=BC=CD=J)A

Dc rnodst~ende vinkler er lige store.

Æ=CogB=D

Diagonalerne d, og flj er vinkelret p:l hinanden,

halverer hinanden og halverer rhornbcns vinkler. Alle vinkler er 90°.

A= JJ=C=D=900

Dc rnodst.knde sider er lige 1:ll1gC. AB=ClJogBC=AD

Diagonalerne d, og

(i,

er lige lange og halverer hinanden.

Alle vinkler er 90° A

=-

B

=-

C= D

=

90° Alle sider er lige lange.

AB=-HC= CD= DA

-p

Formler for omkreds (O) og areal

(A)

i to dimensioner

Figur

Cirkel

®

Cirkelbue

(]b

Cirkcludsnit

Q

Cirkclafsnit

Q

Cirkclkordc

Q

Formler O=2·/f·r=lt d 2 It 2 1 A=n:·r

=-·,

1

=- ,-Q

4

2

r er mdius og ri er diameteren.

"

/,

=2·

t[

·

r

·

-360·

!J

er buclængden, r er radius og ver udsnitsvinklen.

A=n:·,2._'_'_

360

'

l' er udsnitsvinklen og r er radius.

O

=2.

r

{

n·

3;~

.

+s

in

(

f

))

A

=

..!.

.r

2

'(~-S

in

(V»)

2 180·

r er radius og II er udsnitsvinlden.

p

er pilhojden, r er radius og v er udsnitsvink1cn.

k=2.r'Si

n

(~)

k er korden, r er radius og v er udsnitsvinklen.

43 -43

43-43 Geometri Fi ur Cirkelring 2r Ellipse -~~ -b Parabelslykke

•

b Trapez h Kvadrat b

•

·

D

b Rhombe

•

b

d ?

Formler O=2·/I·(R+r) A=t.m=1[·(R2_{_r}2₎ m=JI·(R+r) t =R-r

R, r er radierne, t er tykkelsen og /II er middclomkreds_

Ja

'+'"

0=2·1[· 2 A "" l I ' (/ ./J

(/ er den halve storakse og b den hl1lvc 1illeaksc_

2 A=--a·b

3

al

_{+ - -}

b

2

1

_n

(c

,_,::.,,::.+..:,f.:.b,

'

::.+::.

16

::.''::

''

_'

l

8·(/ b

a er højden på parabclstykkel og b er bredden_ Q=cI

+b+/

l.

(

--I-+-_I_

J

sin(v₁₎ sin(v_{2 )} 1

A =-·(a+b)-II 2

a, b er længderne af de parallelle sidcr, /, cr højden mellem cl og b. og v,> VI er vinklcrnc rra den længste af

de parallelle sider, til dc rcslcrende sider.

0=2·(tl+b) A =tI·b ti og b er sidelængderne. 0=4·(/ A = (/2 ti er sidelængden. O=2.Jd1 2 +d/ 1 A =--d, ,d, 2 -d, og d, er længden af diagonalerne.

Fi ur

A'"

~

/

g

Rl'gulær po

l

ygon

med ti sider

@

T~bmtr bchandl~ sdvslændigl i

Formler

O

=2.(g+-

.

-"-)

sm(v) A =/,. g 44-44

Geometri

g er grund længden, II er højden og l' er den spidse

vinkel mellem de hosliggende sider.

Q=/I·b l 2 cos(~) A =-'II.b. n sin(ll:Q...)

"

4

b

er sidelængden.

Formler for krumme overfladeareal (0.l. areal

(A)

og volumen

(V)

i tre dimensioner

Figur

Kugle >--~ Kugleskive ~-~ Kugleudsnit

h

f

r _r d r

Formler

A =4·7[·,2 =1T d2 4 , V=-·7[·r 3

r er radius og d er diameter.

O"

=2·7[·r·"

A

=

7[.(4. r.(x+II)-x2 _(x+II)2)

V

=

1t

.

"

{

r.x+

(

h+X

).(

r

-x)_

/~

ll

II er højden af stykket,

r

er radius og

x

er stykket til toppen fra ski\'ens endepunkt.

O"

=2'1T'r'/'

A = 7[ .

r

-(

Jr, -. ,-.

C-,,-_-'-,,"'"l

+

2 . /, )

V=3.'

7[

.

r

2

_.

_h

3

44-44 Geometri Fi ur Kuglckalol Kuglcafsnit

...L

h

l

r d Ellipsoide r

_-r-_

_c

Parabol ide a Cylinder h Cylinderrør r h

R

Sphærisk trekant

8

.

r

fj

A C b Formler O" =2·n·r h=n·(t/!+/,2) A=n·/I·(4·r- h) l > l 2 ' V =-·n·!J- ·(6·r-2·h)=-·n·!,·(3·{j +h-)

6

6

It er højden af stykket, {j er radius af cirklen i afsnittet og

r

er

radius.

4

V=--1!:'ll'/"C

3

(I, b og

c

er halvdelen af akserne.

V=..!.·n·b! -ti l (/ er højden og b er brc.'dden.

O"

=2·/I·r·l, A =2·/I·r·(h+r) V=n·r1 ·1I

rer radius og II cr højden.

O" =2·n-(R+r)·I, A =2'n-(R+rH R- r+/J) V=/I.".(R 1 _r 1) R, r er radierne og" er højdcn. A=/t.r1(A+H+C

I

l

180

Fi ur Kt'glc udfoldet , ~~- -Keglestub Keglcstub

,

udFoldet

~

G;

Torus Formler

O

...

=lt·r·s

A=n·r·(s+r) l , V=-·n·r ·11 3

k=2.s.s

in

(~)

I' =

S

i

n(%).

360 0 = 3600

.~

44-44 Geometri

r er radius,

s e

r sidelængden, II er Iwjden, rI er lopvinklen, k er kordelængden og I' er udsnilsvinklen.

0

.0\

=n·s·(r+R)

A=n (R2+s.(r+R)+r2)

1'=360

R

r. R er radierne, s er sidelængden, s, er sidelængden af

hele keglen, l, er højden, k er kordc1ængden og I' er udsnitsvinklen.

A = n1 _{.(/?2 _r}1₎

l , ,

\I ;:;-·n ·(I~+r) (U- r) 3

rer den indre radius og R er den ydre radius.

V;:;G·lr

45·45 Geometri

Fi

ur Kasse

a

Pyramide b Pyramideslub

Guldin. regler

h Formler A =2·(a·b+a·I1+b·/I) V=n·b·h

ti, b er sidelængderne og" er hojdcn.

A=G+2.

G

{

~+11

2)

(Med kvadratisk grundflade)

l

V=_·G·/i

3

G er grundfladen og II er højden.

(Med kvadratisk grundflade) V

=~"'(

G+g+h

)

3

, G g

~

il

+-+----4 4 2

G, ogg er grundfladerne og II er højden.

Del krumme overfuldeareal kan bestemmes ved:

"

/ . _

-3600

Trigonometri

46-49 Trigonometri

Ordet trigonometri betyder trekantsm31ing. Dette er læren om forholdet mellem siderne og beregninger af vinkler og sider i en trekant.

Retvinklede trekanter

Pythagoras sætning

A

b

c

c

L-

- - - - -

:::".

•

For en retvinklet trekaIlI gælder: (/2 +bl =c1

(/ og b kaldes for kateterne og

c

for hypotenusen,

Pythagoras omvendte sætning

I

Hvis der for en trekant gælder, at sammenhængen mellem siderne kan udtrykkes:

a!+b 2 =c!

Da er trekanten retvinklet.

Trigonometriske formler

A

b

c

c

--

- - - -

--=».

11

Formler med hypotenusen

c,

c

c

,

. modstdcnde katete a smA= =-hypotenusen (:

eosA hosliggl.'nde katl.'te b

hypotenusen c

m ,,~o~d~"~'~,·,~,d~,~k~at~""" "

50·53

Trigonometri

Areal

In

af retvinklet trekant

A

b

c

h

C

" ' - -

- - - : -

- - " -

8

a

Vilkårlige trekanter

Sinusrelationen

Cosinusrelationerne

8

L

A b

C

Tangensrelationerne

8

L

A b

C

" b , - - = - - = - - = 2 - R sinA sinlJ sine sinA sin fj sine = = = -b

,

(/2 =// +,2 -Z.b.c-eosA b2 =(12 +c1 -2-"-'.C05B cl =(12

+b

1

-Zo

a.b.cose

b2 _{+,2 -al} eosA = '---:-':----"-Z-b-c ~'~in~B~'~",--- sin C· (I tanA =-Z·R c-COSlJ-tl

h-cose-n

B

si

n

A-b _~,~;,~, Co:..;' I~' .,-lan = = c-eosA-b (I cosC.b C sinA-,

_~'~

;

'

~'~B~":-lan =

=

b-cosA

-,

a

cos8·(

-De fem trekantstilfælde

Kendte størrelser 3 sider 2 sider, I vinkel

Anvend

I. Cosinusrclation (Se ) til, al finde en vinkel.

2. Sinusrclalion (Se

3. Vinkclsum (Se

) til, al finde endnu ('Il vinkel

) til, al finde den sidste vinkel.

(Siden overfor vinklen kendes)

I. Sinusrcl<ltion (Se ) til, al finde en vinkel.

(Ocr er muligvis 2 løsninger. Se l.

2. Sinusrclation til, al finde den sidste side.

3. Vinkelsulll (Se ) til, at finde den sidste vinkel.

Altemm;v:

54-54

Trigonometri

I. Cosinusrclation (Se ) til, al finde den sidste side. (Der er muligvis 2 losninger til andengradsligningen Se under )

2. Sinusrelalion (Se ) til, al finde en vinkel

3

.

Vinkclsulll

(S

e

)

t

i

l

, a

t

finde den

sidste

vi

n

kel.

2 sider, l vinkel (Siden overfor vinklen kendes ikke)

I. Cosinusrclation (Se ) til, at finde sidste side. 2. Sinusrclalion (Se ) til, al finde en vinkel.

3. Vinkclsum (Se ) til, al finde den sidsle vinkel.

I side

+

2 vinkler (Begge hosliggende)

I. Vinkclsum (Se ) lil, at finde den sidste vinkel.

2. Sinusrclation (Se ) til de sidste sider.

l side

+

2 vinkler (En hosliggende, en modstående)

I. Vinkclsum (Se ) til, at finde den sidste vinkel.

55-55 Trigonometri

Areal

m

A·~---~bL-~C !I

L

A b

C

~----'--~C b !I

LGL

A b

C

. l 7 ==_·IJ·g 2 J l l T==--h '(1=-·1" ·b=-,/, -c 2~ 2 ' 2 ( T

=..!...

(I-b -sine

=2.·

b ·

c

·sin A 2 2 Eller: l . (I.

c· s

in Il

2

T

==

L

~,,

_'~.

~';~"~IJ~·~';~

,,

~C

2

s

i

nA

I bl -sinA ·sine = 2 sin H I c!'sinA'sinH 2 sine

Areal ved hjælp af omskreven cirkel: /l-b·c

T=

-4·U

Areal ved hjælp af indskreven cirkel: (I+b+c

T == r -s, hvor: $ = ~C"-'-'

2

Areal ved hjælp arHerons formel: T= s·(s-(l)·(s-b)·(s-c),

hvor:s=="+h+c 2

-56-58

Trigonometriske funktioner

Trigonometriske

funktioner

Om

r

egning mellem grader og radianer

I

gradta l = rnclian!al . [80 rr grad!al radian!3l = - - _. rr 180·

Omløbsretning

I

Positiv omløbsretning er mod uret.

Negativ omløbsretning er med uret.

Trigonometriske funktioner

Trigonometrisk funktion Sinus

y

(0,0

"w

(-1.0)

v

~~---~---~,

0,0)

(0-0

Defineret ved Grader:

sin(y) = Projektionen af

r(·tningsvekloren

p3

y-3ksen. R3dianer:

sin (x) = Projektionen af cirkelbuen p:'l

-58 -58

Trigonometriske funktioner

Trigonometrisk funktion Defineret ved

Cosinus

y

_Grader:

(QD

cos( \1) = Projektionen af

retningsvektoren på x-:aksen.

V

Radianer:

(-1.0)

cos(x_x-aksen. ) = Projektionell af cirkelbuen

p

å

x

ro,"

0.0)

(Q

-D

Tangens

y

_Grader:

(QD

)

sin

(v) • o

Z

tan(v = - - ,v:t90 +p·180 ,PE

V

la" Radianer: cos(v)

(-1.0)

sin(x) 1t tan(x)=--,x~-+p·1[,pe

Z

x

(05(X) 2

0.0)

(Q-D

Cotangens

y

_Grader:

(o.D

_cct&

cot(v)=-.--,v;ep·180 cos(v) • ,peZ

I

V

Radianer: sm(v)

(-1.0)

(05(X) (OI(X)=-.--,x", p-n.peZ

x

sm(x)

0.0)

-

_(Q-D

r

Trigonometrisk funktion Defineret ved

58-58 Trigonometriske funktioner CosecallS Grader: Se<ans ExseC3ns Versin (oversin Haversin

csc(I')=_I_ .

v

*

p-ISO·, pE Z sin(v) Radianer: l esc(x)= -,- -, x

*"

p-1f,

p

E

Z

SIll(X) Grader: sec(v)=_I_ ,v*90"+p.180 ,peZ cos(l') Radianer: l , see(x) = - - ,x

*

~+

p

-rt

p

E

Z

cos(x) 2 Grader:

exscc(v) = sec(v)-l,

11"*

90·

+

p·ISO·, pE Z Radianer:

,

cxscc(x)=sec(x)-I, x;to-+p

rr.pe

lL

2 Grader: vers(v) = l- cos(l') Radiancr: versCx) = I- cos(x) Gr,ulef:

cm

'

cr

s(

v) = 1-

s

in

e

v) Radianer: covers(x) = J - sin(x) Grader: havCv)= versCv) 2 Radi:ll1cr: havCx) = vcrs{x) 2

59-59

Trigonometriske funktioner

Specielle funktionsværdier

Grader Radianer sin

cos

tan

00 O O ] _O 150 rr

.J6-.fi

.J6+.fi

2-.,[3

]2

_{4 4} rr 300

-

.,[3

.,[3

6

2

₂

3 450 rr

.fi

.fi

4

₂

₂

rr

.,[3

]

.,[3

600

-3

₂

2

750 5-rr

.J6+.fi

.J6

-.fi

2+.,[3

12 4 4 900 rr O Ikke defineret

2

1050 7-rr

.J6

+

.fi

.fi-.J6

-2

-.,[3

12 4 4

2

-

rr

_.,[3

-.,[3

1200 3

₂

2

1350 3-rr

.fi

.fi

- ] 4

₂

₂

1500 5-rr

.,[3

.,[3

6

2

₂

3 1650 II .;r

.J6-.fi

.J6+.fi

-2+.,[3

-12 4 4 1800 rr O - ] O 1950 13·n

.fi-.J6

.J6

+.fi

2-.,[3

12 4 4 7 -rr ]

.,[3

.,[3

210°

--6

2

2

3 2250 5 rr

.fi

.fi

4

₂

₂

4-rr

_.,[3

]

.,[3

2400

--3

₂

2

2550 17·n

.J6+.fi

.fi-.J6

2+.,[3

-12 4 4 2700 3-rr O Ikke defincrct - ]

2

Grader Radianer sin 2850

--

19·11:

.J6+J2

-12 4

3

00"

-

5 -rr

_--

,[3

3

₂

3150

_-

7 -rr

J2

--4

₂

33

0'

- -

II . 11:

--

[ 6

2

345'

- -

23· It

J2

-

.J6

12 4

3

60

'

2-rr

O Sinusfunktionen

y

1~

~

/

_x

~

-"-

°

' - J

2

rr

2

Cosinusfunktionen

y

~ø

_~

_~

OX T angensf u nktiollen

y

18'«)

orr

~

:r )

x

(

orr

O

:2

co,

.J6

-

J2

4 [

-

₂

.J2

-2

,[3

-2

.J6

+

.J2

4 [ tan 59 -59 Trigonometriske funktioner

-

2

-

,[3

-

,[3

- [

,[3

--

₃

-

2

+,[3

O

60·60 Trigonometriske funktioner

Trigonometriske

overgangsformler

cos(-v)= cos(v)

y

(Ou

co''"

(-1.0)

'"

=(-v)

(O-u

sin(-v)=-sin(l')

y

(Ou

!>!nv

(-1.0)

,

-v

"o(-v)

(O-u

lane -I') = -Ian( v)

y

(Ou

(-1.0)

(o

-u

cos(90 - v) = sin (v)

P

0.0)

Q p

0.0)

Q

x

x

sin(90° - I') =

cos(v)

y

(Ou

=fjd'-v)

(o-u

cos(J80

-v)=-cos(v)

•

(05(180"

+

v) = -cos( v)

r

(00

(0-0

sin{l80· - v) = sin (v)

r

(00

(0

-

0

sin{l80'

+

II) = -sin(v)

1.

(00

(0-0

p

0.[..)

0,0)

60·60 Trigonometriske funktioner tao(l80 -v)=-Ian(v)

r

(00

(-to)

(0-0

tan(180· +v) = t,m(ll) (00

•

""ø

1

""""'

-

"

~4-

--+-~~--

~~

~

O'

(o-i)

I

cos(v+p·360·)=cos(v),peZ sin(ll+ p. 3600) =

s

in

(v). pe Z tan(v + p.180·) = tan(v). pe

Z

61·63

Trigonometriske funktioner

Grundrelationen (Idiotformlen)

COS 1{v)+sin2(v) = l

Y

(oD

(-to)

"'(v)

I

-'----'-t--

~~

;;;;r

x

""'(v)

0.0)

(o-D

Additionsformler for sinus og cosinus

For vinklerne v og II gælder:

COS(II - v) = cos{II)· cos{ v) + sin (/I) . sine v) COS(II + v) = COS(II)· cos( v) - sineII) . sine v) sin(1I - I') = sin(II)· cos( v) - cos(/I)· sine v) sin(1I

+

v) = sin (u) . cos( v) + COS(II)· sine v)

Logaritmiske formler

I

COS(II)· cos( v) = _. (COS(II

+

v)

+

COS(II - v)) 2 sin(II)' sine v) =

_L

,

(COS(I/ + v) - COS(/I - v» sin(II)· cos( v) =

L

,

(sin(1I + v) + sin(u- v»

{U+'l {

u

-'l

COS(II)+cos(v)=2·co - , - '<0 ,

-(

U

+"l (

u

-'l

cos(u)-cos{v)=-2·sin - , - ·sin ,

-. () -. ()

,

. (u+'l (

u

-

"

l

Sltl /I +SlIl V = ·S1I1 - , - ·cos ,

-. () . () 2

(

uH

l' (

"

-'l

SII1 /I -Slll V = ·cos - , - ·SI1l ,

-Additionsformler for tangens

I

lanll+V

( )

= "n(u)+',"(,) I tan(Il)-lan(v) ( ) _",,:::no:( ',,'

)_-,:

':::""t

(""'-c) lan II-V =

\

+

t,m(lj)-tan(v)

Formler for den dobbelte vinkel

_ _ 2 -l:m(ll)

sm(2-11)=2-sm(II)-coS(Il)= l

I

+

lan (Il) cos(2 -II) = cos1(u)-sin1 (u) = \-2 -sin 2 (u)

'( ) cl_-.c"c.n,'.c( u-'C)

=2-cos Il - 1=

1+lan2(1I)

Formler for den tredobbelte vinkel

I

sin(3 -u) = -4 -sin j (Il) + 3 -sin(lI) cos(3· II) = 4 . cos) (Il) - 3 -COS(II)

Formler for tangens

I 1+ lilnl (Il) =

-7--,

COS2(1I)

()

,-1--,'-m,::',,(2,-'-:,U~) sin(2 '11) lan Il = sin(2-1I) l+cos(2-u) 64-67

68-68

Trigonometriske funktioner

Løsning af trigonometriske ligninger

Li nin Losn;n er

sin(lI) = a, - 1:5 a:51 1'1 =5in-I«(I)+ p-360· 1\

1'2 =180"-sin-l

(a)+p-360

"

,peZ

r

(00

B

(-1.0)

~~----~~---4~'

0.0)

(0-0

(os(v)=a,-I $(1:51 VI =COs-l(lI)+p-360" A

lan(V)=Il,tIER

V 2 = -COS-I (a)+ p. 360· ,PE Z

r

(00

(-LO)

~~----~~~~,

(lO)

(Q-O

11

=

tan-I

«

(1)+

p-ISO·,

pE

Z

r

(QO

B

(Q-O

~O)

-69-71 Analytisk geometri

Analytisk geometri

Afstandsformlen

y

y.

+---;;---;;--

-+

x

O

~ ~

Midtpunktsformlen

y

M

, f - - - -

-

- -

- -

+

x O

Trekants areal

In

y

T

c(",rJ

Afstanden IAUlmcllem punkterne A(x_1, Yl) og 8_{(x z,} Yz):

Midtpunktet M(x, y) mellem punkterne A(XI'Yl)og H(xz,Yz):

Areal T

af

trekant i koordinatsystem, med hjornerne A(.\: l ' )' 1 ) , U(x l' Y2) og C(x 3' )'3) :

Xl

YI

T=:".X2 Y2= IXI"Y2+Xl"y,+Xj"YI-XI"Y3-Xj"Y2-X!,yd 2

x,

Yj 2

72·74 Analytisk geometri

Trekants

tyngdepunkt

(T

,

l

y

o

Linje i plan

Vandret linje

y

y=-

-

-

-+

-- -- -- . , . ! -- -- --

--+

x

O

lodret linje

y

x=b -~-+_x

o

Koordinaterne for en trck<lnts tyngdepunkt 1~(x,y) ,

med h

jø

rn

erne

A(x"

Y,

)

.

B(x_z' yz)

og

C(X 3'Y3):

Vandret linje gennem (O. al:

y=a

Lodret linje gennem (h, O):

x=b

---75 ·78

Analytisk geometri

Beregning af hældningstal

(

st

i

gningst

al)

y

A~.y)

,

"!"

X,'X,

•

-'O~--~---+X

Forskr

i

ft

y

(åb)

b

o

•

Ortogonale linjer

y

m

m

Parallelle linjer

y

•

la.

m 7~---X

O

Hældningstallet (I for en ret linje igennem

A(x_{l ,} ri) og B(x_2, r2) kan bestemmes af:

Forskriften fOf en fet linje, med hældning (I og

som går igennem Po(xo')'o) kan bestemmes af:

)'

=

a _"(x-xo)+ ro

=

(j "x

+

ro

- a"x_o"

,

=(j"x+b Der gælder: Linjerne I:

r

= (i,' X

+

b, og 111:

r

=

"

.. '

x

+

b

..

er ortogonale e:> (1/"(1", = -] Der gælder: Linjerne l: y =

a

,

'

x

+

b, og 111:

r

=

"

..

'

x

+

b .. er pamlIcIle e:>

79-82

Analytisk geometri

Vinklen til vandret

y

--o~----~--~x

Vinklen mellem linjer

y

m

o

Vinklen v mellem en linje y = (/, x

+

b og vandret

(x-ilksen), regnet med fortegn kan bestemmes ilf:

Vinklen l' mellem linjerne I: y = (I,' x

+

b, og 111:

y = (I .. ' X

+

b .. regnct med fortcgn kan bestemmes af:

v=tan-'( (1",-(11

l

J+al_{-a m}

Afstandsformlen på explicit form

y

o

P(X.,yJ

Afstanden Dist(P" I) fra et punkt PI (Xl ,Y\) til en

linjel:Y=(I·x+b kanbeslemmesaf:

Afstandsformlen på

implicit

form

I

Afstanden Daf: isl(P" I) fra et punkt p. (x.' y\) til en linje I: a -x

+

/,

.

y +c =0 kan bestemmes

la·

x

\

+b-y,

+cl

Dist(p,.l) = '---'rc=~,--!

83-84

Analytisk geometri

Skæringspunkt mellem to linjer

linjerne I: al . x+b_{1 •}

y

= Cl og 111: (/2 'x+b₂ • y = c₂ har losningen:

y

m

(xy)

o

I

m

---

H

v

i

sl"'

"

,

I

"

,

Hvis

a

,

m b,

I

*-O: er linjerne parallelle

b

,

b,

I

= O: er linjcrncs,1mmcnfaldende

b

,

Linje

i

plan beskrevet ved vektor

y

----,;l-- --

-

x

O

Ligningen foren linje I gennem Po(xo' ro)' med normalvektor

li

=

(

~

)

(Se for vektorer) kan

85·88

Analytisk geometri

Parameterfremstillingen

for linje

y

- I

/P;&

"",J

---,d----_

_o

x

Cirkel

ligning for cirkel periferien

y

@

---,0,+----

-+

X

Tangentligning

o

Parameterfremstilling

y

e

----;;f----

_o

--+

x

Parameterfremstillingen for linjen I gennem

Po(xo' Yo)' med retningsvektor

r

=GJOg

parameteren I kan skrives:

(;)=(;:)+

1

(;:}

/

E

R

(x_a)l +(y-b)! =rl

C(a, b) er centrum og rer radius_

Ligningen for en tangent i punktet Po(x_o' Yo) tit cirklen. med centrum i C(a, b) og radius r kan bestemmes af:

(x_o - a)-(x-xo)+(Yo - b)-(y-Yo) = O

Eller man kan bruge:

(_{xo -II) -}(x - II) +(Yo - b) -(y - bl = r2

Parameterfremstillingen for en cirkel, med centrum i C(II, b), radius rog parameteren I kan

skrives:

= +r- ,leR

(

x

y

) (

"

b

)

(

mslt

sin(t)

l)

Proportiona I itet

Ligefrem proportionalitet

y

o

Omvendt proportionalitet

y

o

Funktioner

Definition på funktion

f

y

x ogy er ligefrem proportionale hvis:

y=k·x

eller det kan skrives:

x og y er omvendt proportionale hvis:

y-x=k

eller det kan skrives:

l

y=k·-x

89 -91

Funktioner

En funktion! er en forskrift, hvor der til ethvert clement x i en mængde A kan knyttes Cl, og kun et element

y

i en mængde B. A er

definitions-mængden og H er værdimængden. y kaldes for

92·96 Funktioner

Sumfunktion

I

(j

+

g)(x) = f(x)

+

g(x)

Differensfunktion

I

(j - g)(x) = f(x) - g(x)

Produktfunktion

I

(j. g)(x) = f(xj.g(x)

Kvotientfunktion

I

(

i}x) = f(x) ,g(x). O g g(x)

Lige og ulige funktion

y

----,0><1---

-+

x

y

~)

fix) er lige, hvis:

f(-x) = f(x) Ifx e Dm(/).

Grafen for en lige funktion er symmetrisk

om )'·aksen.

fix) er ulige, hvis:

!(-x) =-!(x) 'Vxe Dm(f).

Grafen for en ulige fUllktion er symmetrisk om (0, O).

97

·

98

Funktioner

Voksende, aftagende og konstant funkt

i

o

n

y

fix)

er voksende hvis:

t(x)

/

XI <X_{1:::>!{X1)<!(X1)}·

t(,,)

~

o

_~

<

,

x

o:

1(.'

,,---1(.)

fix)

er aftagende hvis:

XI <Xl::> [(x,» [(x_{2 )·}

x

O

_~

<

,

y

16<,)

16<)

fix}

er konstant hvis:

x.

< _{X 2} -:::>

f(x

l)=

[(x

2 ).

I

fix)

er monoton, hvis den enten er voksende eller aftagende i hele definitionsmængden.

El monotoniinterval er cl inlen'al. hvori! er monoIon eller konstant.

Injektiv funktion

y

J

"

---,o.+-

/

--+-

-

--+

x

. /

[(x)

er injektiv hvis: XI

'*

Xl ::>

f(x

1 ) cl:-

[(x

2 )

Enhver linje paral1c1mcd x-aksen skærer grafen i

maksimalt ct punkt.

99-101 Funktioner

Sammensat funktion

I

Ek.empd, Hv;s f(x)

~

3x

+

2 og g(x)

=~.

x'

+

3 '" g o [(x) = g(f(x» = _. (3x

+

2)2

+

3 2

Omvendt funktion

y

fI>9

1='

f

(x)

Der gælder:

f-l

(x) er en omvendt funktion til f(x) hvis:

r'·

f(x)

=

f·

r'(x)

=

x

Drn( rl) = Vm(nog Vm( rl) = Dm(/).

Graferne for

f

og

t-L

er hinandens spejlbillede i linjen y -= X.

f

-

I

findes ved i ligningen y

=

fix), al isoler" x, og derefter ombytte x ogy.

Newton-Rhaphson-metoden til bestemmelse af nulpunkt

y

t(x)

Man vælger

x

.

tæt pil nulpunkiN, og beregner

XI' Xl ' ... indtil cifrene ikke ændrer sig mark.1nt

længere, hvor: f(x, ) x = \: -n+l ' n f'(X n)

p

102·102

Funktioner

Andengradspolynomiet

Oversigt over egenskaber for

andengradspolynomiet

Situation

Andengradspolynomiet

Betydning af koefficienter

y

--=+-,>,---+-

-->

X

O

Rødderne

y

r,

r,

(,

O

'<81

d<

Y

"8

d<

x

løsnin

y=n.xl _+b

_x+

_c.

_h

_v

_or:

_(/~o

"'

{

(I

>

o:" Ben" vender opad {/ < O:" Ben" vender nedad

Toppunktet T_p ligger i 2. eller 3. kvadrant

/, :

!

n,

bsammc fortegn:

(I, b modsatte fortegn:

Toppunktet

T

_p ligger i I. eller 4. kvadrant

c

:

Skæring med

y -

aksen

Diskrimin<1ntcn er

givel

ved:

ti = b2

-

4·

(I' c

Rødderne

'

,>

'

,

er givel ved:

-

b

"=

'

2

= - ,hvisd=O

'-

a

102 -102 Funktioner Situation Toppunktet

y

-o'+-+--I-

_

x

Opløsning i faktorer

Egenskaber for rødderne Andengradsuligheder y o - -

t(x»O

o

o

t(xJ<O

o

l

øs

n in

( b d ) T (x,y)= ; -p 2,(1 4·(/ To forskellige rødder y = t/· (x - rI)' (X- '2) To ens rødder y=a.(x-r_l)2 Ingen rod

Man kan ikke faktorisere udtrykket

l. Los forst andengradsligningen ved at sa'lIe udtrykket lig med

O.

2. Tegn en skitse af IXlrablen lid fra de fundne rødder, og ud (ra kendskabet til koefficienten t/. Hvis t/

>

O

tegnes parablen med benene opad, ellers nedad. 3. Løsningsmængden aflæses ved, at S(' pli skitsen.

103-103

Funktioner

Tredjegradspolynomiet

Oversigt over egenskaber

for tredjegradspolynomiet

Situation Tredjegradspolynomiet Rodderne

y

50

-C-+--~'c---j'--.

,

-5

-50

Lokale ckslrclllulllspunktcr Opløsning i faktorer

Egenskaber for rodderne

Løsnin

Roddcrnc er da givet ved:

b ri =S+T

-3-"

r

=_

~

(S+T)-~+

j

.J)

·(S-T) l

2

J'Q

2

I ..

b

i-,fJ

'l =-- (5+ I ) - - - · ( S - T ) 2 J·a

2

Diskriminanten defineres ved: D=Q)

+

R2

Da gælder:

D> O: En reel rod og to komplekse.

D = O: Alle rodder er reelle. Ocr er maksimalt

to forskellige.

D < O: Ocr er tre reelle og forskellige rødder.

-b±Jbl -3'Q'( . 2

x=

,llVlSh -)

a-c

2:0

J.{j

L=0,hvisbl -3·{j·c<O d

'I -'2 -'3

=--"

104·109

Funktioner

Polynomier

Definition

I

Et ,,'te grads polynomium er et udtryk afformen:

I'() _{X = 11" 'x} " _{+1l,,_I'X} II-l

₊

_...

2 ... 0 +1l 2 'X +tll ·X+1l0 ,lIp Il2, .•. ,lInE n.,

ti

,,""

Rod

I

En rod (nulpunkt) i Cl polynomium P(x) er et tal Il e R, hvor p(a) = O.

El polynomium af ulige gr:ld (højeste pOlens) har mindst en rod.

Divisionsligning (Euklids algoritme)

P(x) = D(x)' Q(x)

+

R(x) D(x): Divisionspolynomicl.

Q{x): Kvotientpolynomicl.

R(x):

Restpol

y

nomic1.

Grad

I?(x)

<

Grad

D(x),

eller

R(x) =

O.

Restpolynomiet ved division med førstegradspolynomium

I

Der gælder:

D(x) = x - (I

=>

R(x) = P(a)

Rødder for polynomier

I

Der gælder falgende:

(/ er rod i I'(x) e::> x - (I g,h op i P{x) ~ R(.'I:)

=-

O

Maksimale antal rødder

I

Om del maksimale anlal reelle mdder, gælder:

Antal rødder S graden af polynomiet.

,..

I

I

Eksponentiel udvikling

110-111 Funktioner

Eksponentialfunktion

~<IaIa

Y

Forskriften for en eksponentialfunktion er givet

ved:

----,~---

__

x

f

(

x

)

=-

a

X

,

a

e

R + '

x

e

R

Skæringspunkt med y-aksen er (0, 1)_

{

jO,oo[ for a:;l:. l

Vm(j)

=-l fora=-I

Forskrift for eksponentiel udvikling

y

a>[

O

x

y

0< .. <1 b

x

x

O

O

Forskriften for en eksponentiel udvikling, med grundtallet

n

og

skæring

på

y-aksen i (0, b) er givet ved:

!(x)=-b-lIx,tI,beR+

,x

eR

Alternativt kan forskriften ogs.~ skrives som: !(x)= b-(I

+

r)X

=-

b_ekx ,k

=-

In (a), r

=-

n- I

{

1

0,

00

1

for tl :tf:. 1

V

m

(f)

=

112· 114 Funktioner

Grundtal

Iogaritrnk:t

s:1:81a

y

y.

y

--~--~---~.

,

O

x,

x-'

Bestemmelse af forskrift

IogortlmiS.t

da.

Y

y

,

---k---

.

,

O

Fordoblingskonstant

logortImiS.t

da.

2y

,

Y

Y

---k---

_O

_,

~

,

Grundtallet (frcmskrivningsf<lktorcn) (/ for

en eksponentiel udvikling gennem

A(x1'YI) og JJ( .... Z'Y2) kan bestemmes af:

a

=

l

;<

l·

"Æ

Forskriften for l'n l'ksponcnticl udvikling med grundtallclll og som går igennem

Po(xo,Yo) kanbeSlemmesaf:

y=Yo·,,

-;r,,

·

,,

"=b·a r

~

,

For en eksponentielt voksende udvikling, er fordoblingskonslanlen bestemt vcd:

T1 =xl-xln~rY2 =2YI

T, = log2 = In2

- loga In(I

Halveringskonstant

bgartlmlrt

_Y

"""

y

~Y

o

x

,

x, 115-117 Funktioner

For en eksponentielt aflagende udvikling, er halveringskonstanten bestemt ved:

'J' ₁₌

,

l

x 1 -xl,n.rY2=-YI , 2 log~ In~ T1

=--'

=--'

logo Inn

Forskriften kan da ogs~ angives som:

•

Sammenhæng mellem

a

og

T

.

og

T

,

I

aT, =2for f(x) voksende T, l 1/ ' = - for f(x)artagende 2

Vækstrate

Vækstratc (relativ vækst, rentefod) for en eksponentiel udvikling, er bestemt ved: r=I/-\

Der gælder:

r> O:

Funktionen er voksendc, r

<

O: Funktionen af aftagende,

118-118

Funktioner

Potensudvikling

Potensfunktion

Iogatitmist st.:ata Forskriften for el1 potellsfunktioll er givel ved:

y

j(x)=xØ,tleR,xeR+

Specialti/fil!ltle afforskriftcII;

Betin else

å

Q Bemærknin

aeZ+, (luligc Graferi l. og3. kvadrant.

fi

x

)

er voksende.

fix) er ulige.

a E

Z _, (I ulige Graf er i \. og 3. kvadrant.

(lE

Z+

,

(/

lige

aeZ_, Il lige

a

=

O

fix) er aftagende for x

<

O og x

>

O.

x-aksen (r = O) er vandret asymptote.

y-aksen (x = O) er lodret asymptOH.',

fix) er ulige.

Graf er i I. og 2. kvadrant.

fix) er aftagende for x

<

O.

fix) er voksende for x

>

O. fix) er lige.

Graf er i I. og 2. kvadrant. fix) er voksende for x

<

o.

[(xl er aftagende for x

>

O.

x-aksen (y

=

O) er vandret asymptote.

Y-ilkscn (x = O) er lodret asymptote.

Jtx) er lige.

Graf er i l. og 2. kvadrant.

fix) =

logflx)

er

lige.