METODE FROBENIUS DAN TRANSFORMASI LAPLACE
PADA PERSAMAAN SCHRODINGER (BEBAS WAKTU)
UNTUK POTENSIAL SISTEM OSILATOR HARMONIK
(Skripsi)
Oleh
MAHMUD TRI SETIADI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRACT
FROBENIUS METHOD AND LAPLACE TRANSFORM IN THE SCHRODINGER EQUATION FOR POTENTIAL SYSTEM HARMONICS
OSCILLATOR
By
Mahmud Tri Setiadi
One problem in finding ordinary differential equations of variable coefficients is to find a solution. Solutions for ordinary differential equations of variable coefficients can be found by the Frobenius method and Laplace transform. The Frobenius method is a rank series solution at a singular point, while the Laplace transformation is an algebraic manipulation transformation method. The Schrodinger equation is a wave equation in quantum mechanics that explains the behavior of a particle or atom. In this study aims to solve the Schrodinger equation potential harmonics oscillator system with the Frobenius method and Laplace transformation. The results of both methods in solving the Schrodinger equation show the form of rank series solutions based on the roots of the indicator equation. The second form is a linearly independent solution where the difference between roots is not an integer.
ABSTRAK
METODE FROBENIUS DAN TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN SCHRODINGER (BEBAS WAKTU) UNTUK POTENSIAL
SISTEM OSILATOR HARMONIK
Oleh
Mahmud Tri Setiadi
Salah satu permasalahan dalam mencari persamaan diferensial biasa koefisien variabel adalah memperoleh solusinya. Solusi persamaan diferensial biasa koefisien variabel dapat dicari dengan metode Frobenius dan transformasi Laplace. Metode Frobenius merupakan solusi deret pangkat pada titik singular, sedangkan transformasi Laplace ialah metode transformasi manipulasi aljabar. Persamaan Schrodinger merupakan persamaan gelombang dalam mekanika kuantum yang menjelaskan perilaku suatu partikel atau atom. Pada penelitian ini bertujuan untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger potensial sistem osilator harmonik dengan metode Frobenius dan transformasi Laplace. Hasil dari kedua metode dalam menyelesaikan persamaan Schrodinger menunjukkan bentuk solusi deret pangkat berdasarkan dari akar-akar persamaan indikator. Bentuk kedua solusinya yang saling bebas linear dimana selisih akar-akar bukan bilangan bulat.
UNTUK POTENSIAL SISTEM OSILATOR HARMONIK
Oleh
MAHMUD TRI SETIADI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar SARJANA MATEMATIKA
pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
Narna Mahasiswa
Nomor Pokok Mahasiswa
nogram Studi Fakultas
(BEEASI UIAKTTJ) I.INTUK PIOTENSUTL
SISTEU OSIU(IIOK ITABJqONIK
$&torudfi"i
$etiadi
l5l705l
Il5
Matematika
Matematiha dan Ilmu Pengetahuan Alam
!TDNIETIIJUI
Komisi Pembimbing
l.
s.sl.,
!f.sl..
199905I
OO22. Ketua Jurusan Matematika
Ptrof. Dra.
uJ,
Ph.D.[to,
S.Sl.,!I.Sl.
19750,314 2000-12l.
Tton Pengqiil{ehra : Agus
Sutrlsno,
S.Sl.,ll.Sl.
Selrretaris
'
.;:Penguji
Eukan Pembimbing :
Ilrs.
$.,'![.$.,
Ir[o9c., Ph.D.Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
'& \
199005
I
OO2l'ag
bertanda tangan di bawah ini :: Mahmud
Tri
Setiadi\mor
PokokMahasiswa
: 1517031113ftnusan
hdul Skripsi
: Matematika
: Metode Frobenius dan Transformasi Laplace
Pada Persamaan Schrodinger Unfuk Potensial
Sistem Osilator Harmonik
Deogan ini menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil pekerj&m saya sendiri yang
sni
dengan kaidah penulisan karya ilmiah Universitas Lampung. Apabilakemrdian hari terbukti bahwa skripsi ini merupakan hasil salinan atau dibuat oleh
6ang
lain, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai dengan ketenfuanRIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Mahmud Tri Setiadi, anak ketiga dari tiga bersaudara dari pasangan Bapak Hadi Poerwanto dan Ibu Suyatmi yang dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 13 Maret 1996.
Penulis menempuh pendidikan di TK Sriwijaya Sukarame ijazah pada tahun 2002, melanjutkan sekolah dasar di SD Negeri 1 Kalibalau Kencana ijazah pada tahun 2008, kemudian bersekolah di SMP Kartika II-2 pada tahun 2008-2009, SMP Negeri 29 Bandar Lampung ijazah pada tahun 2011 lalu bersekolah di SMAN 6 Bandar Lampung ijazah pada tahun 2014.
Setelah lulus SMA, penulis sempat bekerja di PT. Perdana Mitra Lestari (perusahaan distribusi alat kesehatan) selama 3 bulan. Pada tahun 2015 penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa S1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
KATA INSPIRASI
“Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan”
(QS. Al-Insiyroh: 5-6)
“Matematika adalah tempat dimana Anda dapat melakukan
hal-hal yang tidak dapat Anda lakukan di dunia nyata”
(Marcus du Sautoy)
“Jika orang-orang tidak percaya bahwa matematika itu
sederhana, hanya karena mereka tidak menyadari betapa
rumit hidup ini”
(John Louis von Neumann)
“Orang yang paling bahagia di dunia ini adalah orang yang
senantiasa bersyukur dalam segala keadaan,
PERSEMBAHAN
Dengan mengucapkan Alhamdulillah,
Puji dan syukur kepada Allah Subhanahu Wata‟ala atas segala
nikmat dan karunia-Nya, dan suri tauladan Nabi Muhammad
Shallallahu „Alaihi Wasallam yang menjadi contoh dan
panutan untuk kita semua.
Kupersembahkan sebuah karya sederhana ini untuk:
Ayah, Ibu, serta keluargaku.
Terimakasih atas limpahan kasih sayang, pengorbanan, doa,
dan seluruh motivasi di setiap langkahku.
Karena atas doa dan ridho kalian,
Allah memudahkan tiap perjalanan hidup ini.
Terimalah bukti kecil ini sebagai kado keseriusanku untuk
membalas semua pengorbanan, keikhlasan, dan jerih payah
yang selama ini kalian berikan.
SANWACANA
Puji syukur penulis haturkan kepada Allah SWT yang selalu member rahmat dan karunia tak terhingga kepada umat-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Metode Frobenius dan Transformasi Laplace Pada Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Sistem Osilator Harmonik”.
Shalawat teriring salam tak lupa penulis haturkan kepada junjungan dan suri tauladan Nabi Muhammad SAW., semoga seluruh umat Islam termasuk dalam golongan yang akan mendapatkan syafaatnya di Yaumil Akhir Kelak. Aamiin Allohuma Aamiin.
Dalam penulisan skripsi ini, penulis dibantu oleh banyak pihak baik dalam hal bimbingan, dukungan, doa, maupun saran. Pada kesempatan ini penulis berterima kasih kepada :
1. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku pembimbing I yang telah bersedia member arahan, bimbingan, kritik dan saran bagi penulis selama proses pembuatan skripsi ini.
2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku pembimbing II yang telah memberikan arahan dan dukungan serta melancarkan proses akademik bagi penulis. 3. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D., selaku pembahas yang telah
akademik.
5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, MA., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
6. Bapak Drs. Suratman, M.Sc., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
7. Seluruh dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung yang telah memberikan ilmu dan bantuan kepada penulis.
8. Ibu, Ayah dan keluarga yang selalu menjadi penyemangat, memberikan doa dan dukungan bagi penulis.
9. Sahabat–sahabat penulis yang selalu menemani, terkhusus Siska Diah Ayu Larasati, S.Si. menjadi penyemangat penulis.
10.Seluruh pihak yang terlibat dalam penyelesaian skripsi ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Tentunya penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dari skripsi ini, tetapi besar harapan penulis semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua. Sekian dan terimakasih.
Bandar Lampung, Januari 2020 Penulis,
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ... i
DAFTAR GAMBAR ... iii
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah ... 1
1.2 Tujuan Penelitian ... 3
1.3 Manfaat Penelitian ... 4
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial ... 5
2.2 Persamaan Diferensial Biasa ... 5
2.2.1 Persamaan Diferensial Homogen ... 6
2.2.2 Persamaan Diferensial Tak Homogen ... 7
2.3 Persamaan Diferensial Linear Orde Dua ... 7
2.4 Persamaan Schrödinger ... 8
2.5 Sistem Osilator Harmonik ... 10
2.6 Deret Kuasa ... 12
2.7 Titik Biasa dan Titik Singular ... 16
2.8 Keanalitikan Fungsi ... 17
2.9 Perubahan Indeks Penjumlahan ... 18
2.10 Metode Deret Pangkat ... 19
2.11 Metode Frobenius ... 23
2.12 Metode Transformasi Laplace ... 32
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 40
3.2 Metode Penelitian ... 40
4.2 Mereduksi Persamaan Schrödinger dalam Bentuk Persamaan
Hipergeometrik ... 43 4.3 Penyelesaian Persamaan Hipergeometrik Dengan Menggunakan
Metode Frobenius ... 46 4.3.1 Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial Sistem
Osilator Harmonik ... 50 4.4 Penyelesaian Persamaan Dengan Menggunakan Metode
Transformasi Laplace ... 56 V. KESIMPULAN
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang dan Masalah
Matematika salah satu cabang ilmu pengetahuan yang sangat penting dan berguna dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam menunjang perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Matematika menjadi sarana berfikir untuk menumbuhkembangkan pola pikir logis, sistematis, obyektif, kritis, dan rasional, serta dapat meningkatkan kemampuan mengaplikasikan matematika untuk menghadapi tantangan hidup dalam memecahkan masalah. Oleh sebab itu, matematika juga digunakan untuk memecahkan permasalahan pada teori sains dan matematika sendiri.
persamaan diferensial tidak terdapat konstanta dapat diselesaikan dengan menggantikan nilai-nilai awal dan syarat batas yang diketahui.
Salah satu implementasi persamaan diferensial dalam persoalan fisika ialah tentang kecepatan maupun percepatan suatu benda atau partikel yang bergerak. Mekanika kuantum merupakan cabang ilmu fisika yang mempelajari perilaku materi dan interaksinya dengan energi pada skala atom dan partikel subatomik. Dalam mekanika kuantum, perilaku dari partikel dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi gelombang yang diperoleh. Contohnya pada persamaan Schrödinger yang mana menggunakan persamaan diferensial orde dua. Persamaan Schrödinger mendeskripsikan bagaimana keadaan kuantum suatu sistem fisika yang berubah terhadap posisi dan waktu. Persamaan Schrödinger merupakan jantung mekanika kuantum. Jadi, intinya bahwa hasil dari penyelesaian persamaan Schrödinger berupa fungsi gelombang yang memberikan informasi tentang perilaku partikel yang dipengaruhi oleh potensial tersebut. Dalam pemecahan persamaan Schrödinger, haruslah diketahui bentuk energi potensialnya. Peneliti mencoba menggunakan potensial sistem osilator harmonik pada suatu partikel bermassa untuk mendapatkan solusi energi dan fungsi gelombang dari persamaan Schrödinger.
linear koefisien peubah, yaitu menggunakan deret pangkat. Dengan menggunakan deret pangkat, tepat ada satu solusi yang diperoleh. Metode Frobenius merupakan metode deret pangkat dengan melihat titik singularitas dari persamaan tersebut. Peneliti mencoba menyelesaikan persamaan Schrödinger pada potensial sistem osilator harmonik dengan menggunakan metode Frobenius dan transformasi Laplace. Hal ini didasarkan pada suatu alasan bahwa dengan menggunakan metode tersebut, penyelesaian persamaan Schrödinger menjadi lebih sederhana yaitu dari persamaan diferensial orde dua direduksi ke dalam bentuk persamaan Hipergeometrik. Persamaan Hipergeometrik dapat diselesaikan dengan bantuan deret. Metode Frobenius sangat efisien digunakan untuk mencari solusi persamaan diferensial orde dua dengan koefisien berupa peubah dan terapannya dalam mencari solusi diantaranya persamaan Bessel, penyebaran suhu dalam tabung, persamaan Laguerre dan persamaan Hermite yang digunakan dalam mekanika kuantum dari atom hidrogen.
Terkait penelitian ini, penulis ingin melakukan penelitian metode Frobenius dan transformasi Laplace pada persamaan Schrödinger (bebas waktu) untuk sistem osilasi harmonik.
1.2Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang diatas, adapun tujuan penelitian ini adalah:
2. Mengetahui hasil penyelesaian fungsi gelombang dan persamaan energi dari persamaan Schrödinger antara metode Frobenius dan transformasi Laplace.
1.3Manfaat Penelitian
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih peubah terikat (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu atau lebih peubah bebas. Berikut ini contoh persamaan diferensial:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Bentuk umum persamaan diferensial orde-n dapat dinyatakan dalam:
F(x, y, y' , y'' ,..., y(n)) = 0 (2.5) (Nugroho, 2011).
2.2 Persamaan Diferensial Biasa
bebas), maka suatu persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan (2.5) atau dalam bentuk:
( )
( )
( ) ( ) ( )
Jika a0(x), a1(x), a2(x) adalah konstanta, maka persamaan diferensial tersebut
dinamakan persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan, sedangkan koefisien peubah jika a0(x), a1(x), a2(x) merupakan peubah (Nugroho, 2011).
2.2.1 Persamaan Diferensial Homogen
Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n
𝜖
R sehingga berlakuF(kx,ky) = knF(x,y), dengan n disebut order dari fungsi homogen F(x,y). Ciri umum PD Homogen adalah tiap suku derajatnya sama. Bentuk persamaan diferensial homogen sebagai berikut:
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 (2.7) atau
f(x,y) = ( )
( ) = t
0
f(x, y) (2.8)
2.2.2 Persamaan Diferensial Tak Homogen
Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n
𝜖
R sehingga berlakuF(kx,ky) = knF(x,y), dengan n disebut order dari fungsi homogen F(x,y). Jika syarat di atas tidak terpenuhi, maka disebut dengan PD tak Homogen yang mempunyai bentuk :
(ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = F(x,y) (2.9) atau
M(x,y) dx + N(x,y) dy = F(x,y) (2.10) dimana F(x,y) ≠ 0dengan a, b, c, p, q, r adalah konstanta (Darmawijoyo, 2011).
2.3 Persamaan Diferensial Linear Orde Dua
Persamaan diferensial orde dua adalah persamaan yang dapat ditulis sebagai berikut:
( )
( )
( ) ( ) ( )
atau
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dimana P, Q , R bernilai konstanta dari suatu fungsi x. Didalam penerapan fungsi
2.4 Persamaan Schrödinger
Persamaan Schrödinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan untuk memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu persamaan diferensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika kuantum. Walaupun dihalangi oleh tidak adanya hasil percobaan yang dapat digunakan sebagai bahan perbandingan. Untuk menghasilkan persamaan Schrödinger, maka haruslah memenuhi tiga kriteria, sebagai berikut:
a. Taat asas dengan kekekalan energi.
Hukum kekekalan energi adalah jumlah energi kinetik ditambah energi potensial bersifat kekal, artinya tidak bergantung pada waktu maupun posisi. Persamaan Schrödinger harus konsisten dengan hukum kekekalan energi. Secara matematis, hukum kekekalan energi dapat diungkapkan dengan rumusan:
K + V = Etot
( ) ( )
Suku pertama ruas kiri menyatakan energi kinetik, suku kedua menyatakan energi potensial, dan ruas kanan menyatakan suatu tetapan yang disebut sebagai energi total.
Dimana energi kinetik digunakan bukanlah dalam bentuk K = mv2. Karena pada persamaan Schrödinger berbicara tentang dunia atom. Sehingga digunakan ”prinsip ketidakpastian” (Δx Δp ≈ h), dengan h = 6,63 x 10-34 J.s
akurat dan pasti. Pada skala ini memberikan makna terhadap gejala fisika dalam dunia atom. Dan karena momentum itu sebanding dengan kecepatan. Ini berarti partikel tidak dapat memiliki posisi dan kecepatan yang akurat pada saat bersamaan, bahkan ketidakpastian dalam posisi dikalikan dengan ketidakpastian momentum selalu lebih besar nilainya dari konstanta Planck sangat kecil. Sehingga hanya digunakan dalam kawasan mikroskopik misalnya elektron.
b. Linear dan bernilai tunggal.
Persamaannya haruslah “berperilaku baik” dalam pengertian matematikanya. Pemecahannya harus memberi informasi tentang probabilitas untuk menemukan partikelnya, walaupun ditemukan probabilitas berubah secara kontinu dan partikelnya menghilang secara tiba-tiba dari satu titik dan muncul kembali pada titik lainnya, namun fungsinya haruslah bernilai tunggal, artinya tidak boleh ada dua probabilitas untuk menemukan partikel di satu titik yang sama. Ia harus linear, agar gelombangnya memiliki sifat superposisi yang diharapkan sebagai milik gelombang yang berperilaku baik.
λ yang sama dengan . Maka energi kinetik dari gelombang de Broglie
partikel bebas haruslah K =
= ħ 2
.
Bentuk persamaan harus taat azas dengan kekekalan energi seperti yang dijelaskan diatas (V + K = E), K muncul dalam pangkat satu dan K =
= ħ 2
, sehinggga satu-satunya cara untuk memperoleh suku yang mengandung
k2adalah dengan mengambil turunan kedua dari ψ(x,t) = Aei(kx – ωt)terhadap x. Sehingga dihasilkan Persamaan Schrödinger sebagai berikut:
( )
( )
( )
( )
( ( )) ( )
( )
( ) ( ) ( )
Persamaan Schrödinger (2.14) diatas merupakan persamaan Schrödinger tidak bergantung waktu dalam satu dimensi.
2.5 Sistem Osilator Harmonik
Gambar 1. Sistem Pegas Bermassa Sederhana untuk Suatu Partikel
Persamaan gerak beban adalah
ΣF=ma
−kx=m
( )
dengan √ adalah frekuensi anguler osilasi. Sehingga gaya yang diperoleh F =–mω2x.
Persamaan (2.15) adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar bilangan kompleks yang berlainan serta gerak osilasi berbentuk sinusoida dengan amplitudo A, solusinya adalah
x(t) =Asinωt + Acosωt (2.16) dengan gaya konservatif tersebut, energi potensial yang dimiliki benda adalah:
Sehingga energi potensial sistem adalah
( ) ∫ |
[image:27.595.209.421.112.360.2]V(x) = mω2x2 (2.17)
Gambar 2. Grafik Energi Osilator Harmonik Dalam Pandangan Klasik
Lalu tinjauan osilator harmonik dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang dari osilator harmonik diperoleh dengan.menghitung energi total sebagai jumlah energi potensial (V) dan energi kinetik (K) diperlihatkan dalam:
E = mω2A2 (2.18) Jadi, secara klasik osilator memiliki energi tunggal.
2.6 Deret Kuasa
Deret pangkat adalah deret yang berbentuk
∑
dengan x adalah suatu variabel bilangan dan an adalah konstanta-konstanta yang
disebut koefisien dari deret tersebut. Untuk setiap x tertentu deret (2.19) merupakan deret konstanta-konstanta yang dapat kita uji konvergensi atau divergensinya. Suatu deret kuasa mungkin konvergen untuk beberapa nilai x dan divergen untuk nilai x lainnya. Jumlah deret tersebut merupakan suatu fungsi
f(x) =a0+ a1x + a2x2+ ... + anxn + ... .
Yang daerah asalnya adalah himpunan semua x sedemikian sehingga serupa deret konvergen (Stewart, 2003).
Untuk setiap nilai x yang menyebabkan deret kuasa konvergen, deret itu menyatakan bilangan yang merupakan jumlah deret tersebut. Karena itu, suatu deret kuasa mendefinisikan suatu fungsi. Fungsi f yang nilai fungsinya
∑ ( )
( )
mempunyai daerah definisi semua nilai x yang menyebabkan deret kuasa (2.20) konvergen. Jelas bahwa setiap deret kuasa (2.19) konvergen untuk x = 0 (Leithold, 1991).
Teorema 2.6.1
∑ ( )
tiga kemungkinan:
1. Deret tersebut konvergen hanya ketika x =a
3. Terdapat suatu bilangan positif R sedemikian rupa sehingga deret tersebut konvergen bila |x - a| < R dan divergen bila |x - a| > R
Bukti:
Misalkan kasus 1 dan 2 salah, maka terdapat bilangan taknol b dan d sedemikian sehingga Σ cnxn konvergen untuk x =b dan divergen untuk x =d. Jadi himpunan
S= {x| Σ cnxn} konvergen tak kosong. Menurut teorema sebelumnya deret
divergen bila |x| > |d|, sehingga |x| |d| untuk semua x S. Ini mengatakan bahwa |d| merupakan batas atas untuk himpunan S. Jadi menurut aksioma Kelengkapan, S mempunyai batas atas terkecil R. Jika |x| > R, maka x S, sehingga Σ cnxn divergen. Jika |x| < R, maka |x| bukan batas atas S dan karenanya
terdapat b S sedemikian sehingga b > |x|. Karena b S, ∑ cnbn konvergen
(Stewart, 2003).
Contoh 2.6.1
Tentukan jari-jari kekonvergenan deret berikut:
∑( )
( )
Penyelesaian. Misalkan un
( )
( ) , maka
Dengan uji banding limit, deret tersebut konvergen mutlak jika |2x - 3| < 1 atau
|x - 3| < dan divergen jika |2x - 3| > 1 atau |x - 3| > sehingga berdasarkan teorema 2.6.1 diperoleh jari-jari kekonvergenan deret tersebut adalah .
Definisi 2.6.1
Hasil jumlah deret kuasa.
Dua deret kuasa dengan jari-jari kekonvergenan positif, dapat dijumlahkan suku demi suku di dalam selang kekonvergenan yang sama.
( ) ∑ ( )
( ) ∑ ( )
f(x) + g(x) = [b0+ b1(x – x0)+ b2(x – x0)2+ ...] + [c0+ c1(x – x0)+ c2(x – x0)2+ ...] f(x) + g(x) = (b0+ c0) + (b1 + c1)(x – x0)+ (b2 + c2)(x – x0)2+ ...
( ) ( ) ∑( )( )
Hasil kali deret kuasa.
Dua deret kuasa dengan jari-jari kekonvergenan positif dapat dikalikan suku demi suku di dalam daerah kekonvergenan yang sama.
( ) ∑ ( )
( ) ∑ ( )
f(x) . g(x) = [b0+ b1(x – a)+ b2(x – a)2+ ...] . [c0+ c1(x – a)+ c2(x – a)2+ ...] f(x) . g(x) = (b0c0) + (b0c1 + b1c0)(x – a)+ (b0c2 + b1c1+ b2c0)(x – a)2+ ...
( ) ( ) ∑( )( )
Definisi 2.6.2
Suatu fungsi f dikatakan analitik pada titik x0, jika terdapat suatu interval terbuka
( ) ∑ ( )
dengan suatu jari-jari kekonvergenan yang positif (Stewart, 2003).
Contoh 2.6.2
f (x) =ex, analitik untuk semua x maka
∑
2.7 Titik Biasa dan Titik Singular
Definisi 2.7.1
Sebuah titik x0disebut titik biasa dari persamaan diferensial
a2(x)y" a1(x)y' a0(x)y =0 (2.12)
jika kedua fungsi
( ) ( )
( ) ( )
analitik pada titik x0, jika paling sedikit satu fungsi dari p1 dan p2 tidak analitik
pada titik x0maka disebut titik singular dari persamaan diferensial (2.12) (Finizio
Definisi 2.7.2
Jika fungsi ditentukan dengan (x – x0)p1(x) dan (x – x0)2p2(x) keduanya analitik
pada x0 maka x0 disebut titik singular yang regular dari persamaan diferensial
(2.12) dan jika fungsi p1 dan p2 tidak analitik pada x0, x0 dinamakan titik singular
tak regular (Finizio dan Ladas, 1988).
Penyelesaian singular suatu persamaan diferensial diperoleh dengan menyatakan syarat-syarat bahwa persamaan diferensial itu mempunyai akar-akar rangkap dan primitifnya mempunyai akar rangkap. Pada umumnya, persamaan tingkat satu tidak mempunyai penyelesaian singular. Jika persamaan itu berderajat satu, persamaan itu tidak dapat mempunyai penyelesaian singular. Lagipula, persamaan
f(x, y, p) = 0 tidak dapat mempunyai penyelesaian singular jika f(x, y, p) dapat diuraikan dalam faktor-faktor yang linier dalam p dan rasional dalam x dan y (Ault dan Ayres, 1992).
2.8 Keanalitikan Fungsi
Konsep fungsi analitik merupakan konsep yang terpenting di dalam teori peubah kompleks. Fungsi-fungsi yang memiliki sifat analitik mewarisi suatu struktur dalam yang sangat kokoh dan ini dimanifestasikan ke luar oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi-fungsi yang analitik.
Suatu fungsi f(z) dikatakan analitik pada titik z0, asal turunannya ada di semua
hubungan yang sangat erat antara diferensibilitas dan analitisitas suatu fungsi pada suatu titik. Tetapi kedua konsep itu tidak sama, karena analitisitas di z0
berimplikasi diferensibilitas di z0, tetapi tidak sebaliknya yaitu diferensibilitas di z0tidak berimplikasi analitisitas (Paliouras, 1987).
2.9 Perubahan Indeks Penjumlahan
Pada operasi penjumlahan deret pangkat dapat dilakukan dalam satu langkah jika suku umum dari deret itu mempunyai pangkat yang sama. Akan tetapi jika deret-deret itu mempunyai pangkat yang tidak sama maka harus dibuat perubahan dalam indeks penjumlahan dari deret itu tanpa merubah jumlah dari deret itu, agar mempunyai suku umum dengan pangkat yang sama. Dasar pemikiran perubahan indeks, adalah penggabungan dalam identitas berikut:
∑ ( ) ∑ ( )
( )
Yang berlaku untuk setiap bilangan bulat k. Cara termudah untuk membuktikan (2.21) adalah menuliskan kedua deret itu suku demi suku. Dalam kata-kata, persamaan (2.21) mengatakan bahwa kita dapat menurunkan n dengan k dalam suku umum an(x x0)n asalkan kita naikkan n dengan k dalam lambang
penjumlahannya, dan sebaliknya (Finizio, 1988).
Contoh 2.9 Buktikan bahwa:
∑ ( )
Penyelesaian:
Kita mulai dengan memindahkan x3 kesebelah kanan sehingga
∑ ( )
∑ ( )
kemudian dirubah dalam bentuk xk , misalkan k = n + 3 maka n =k – 3 jika n = 0 maka k = 3. Kemudian subtitusikan dalam deret yang diketahui, diperoleh
∑ ( )
∑( ) ( )
dengan merubah k dengan n maka diperoleh
∑ ( )
∑( ) ( )
2.10 Metode Deret Pangkat
Metode deret pangkat adalah metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa linier dengan koefisien peubah. Deret pangkat dapat digunakan untuk menghitung nilai, menggambar grafik, membuktikan rumus, dan menjelajahi sifat dari solusi (Kreyszig, 1979).
Dalam menyelesaikan persamaan diferensial dengan bantuan deret, perlu diketahui pengertian indeks dan penggunaannya dalam notasi sigma suatu deret. Dibawah ini disajikan penjelasan sepintas beserta beberapa contoh penggunaannya dalam penyelesaian persamaan diferensial. Perhatikan deret sederhana yang ditulis dengan
Deret terhingga ini dapat dinyatakan dengan
∑
yang dibaca: jumlah dari semua suku yang mengandung bentukai dengan i dari 0
hingga n. Dalam bentuk ini i =0 dinamakan batas bawah, sedangkan n dinamakan batas atas. Jika deret tersebut diganti menjadi a0a1a2... maka notasi sigma
∑
Berikut ini terdapat beberapa deret:
∑( ) ( )
∑
∑
( )
Berikut ini terdapat dua sifat penting notasi sigma. Pembuktiannya dapat diperlihatkan dengan menulis tiap-tiap suku pada tiap-tiap ruas persamaan tersebut.
∑ ∑
∑( )
∑ ∑
Notasi sigma yang akan digunakan dalam penyelesaian persamaan diferensial dengan bantuan deret adalah
∑
( )
Misalkan terdapat sebuah deret yang dinyatakan dengan
∑
( )
Batas bawah deret (2.24) adalah 0, sedangkan batas atasnya . Jika dijabarkan deret tersebut menjadi a1x a2x2 3a3x3 ... tanxt. Pengubahan batas, baik
batas bawah maupun batas atas, harus memberikan deret yang sama pula. Dengan demikian jika diubah batas bawah deret (2.24), dengan suatu batas lain, maka nilai jumlah deret itu harus tetap, dalam arti tetap sama dengan
a1xa2x23a3x3...tanxt. Misalkan batas bawahnya diganti dengan nol. Maka
artinya dapat diubah i menjadi i + 1, sebab i + 1 = 1 menghasilkan i = 0. Pengubahan i menjadi i 1 ini harus diikuti oleh pengubahan i dimanapun i
berada pada deret tersebut. Dengan demikian hasil pengubahan tersebut memberikan ∑(i+1)at+1xt+1 dapat pula melakukan pengubahan dengan cara lain,
yaitu mengubah batas bawahnya, misal dari i =0 menjadi i =2, tanpa mengubah i
pada deret itu. Perhatikan deret:
∑
( ) ( )
Suku pertama dari deret (2.25) adalah a0. Suku keduanya adalah a1(x x0). Dapat
diubah batas bawah deret menjadi i =2, sehingga bentuknya menjadi
Berikut ini sebuah deret dengan rumus:
∑ ( )
( )
Misalkan ingin mengubah deret (2.26) menjadi deret lain yang sama namun xi2
berubah menjadi xi. Untuk itu kita ganti setiap pada deret (2.25) menjadi i 2. Penggantian i menjadi i 2 mengubah pada batas bawah. Hasilnya adalah:
∑ ( )
( )
(( ) ) ( ) ( )
atau dalam bentuk sederhana
∑( )
( ) ( )
Dapat diperiksa bahwa
∑( )
( ) ∑ ( )
( )
Sekarang perhatikan deret yang dinyatakan dengan
∑ ( )
( )
Pertama-tama masukkan x ke dalam sigma, sehingga hasilnya
∑ ( )
( )
Dalam menyelesaikan persamaan diferensial dengan bantuan deret akan banyak dibutuhkan operasi-operasi yang berhubungan dengan konsep deret.
Teorema 2.10
( ) ( ) ( )
dimana fungsi axdan bxanalitik di x =0, mempunyai paling sedikit satu solusi yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
( ) ( ) ∑
( )
Dimana s merupakan sembarang bilangan (real atau kompleks) dan dipilih sedemikian sehingga a 0(Kreyszig, 1979).
Definisi 2.10
Deret pangkat adalah deret tidak terhingga dalam bentuk
∑ ( ) ( ) ( ) ( )
( )
dimana x, a, dan koefisien-koefisien c0, c1, c2, ... adalah bilangan real (Kreyszig,
1979).
2.11 Metode Frobenius
Dalam bagian ini akan mencoba membicarakan cara-cara menyelesaikan persamaan diferensial yang koefisiennya merupakan fungsi polinom. Metode ini digunakan dengan bantuan deret. Berlainan halnya dengan cara-cara penyelesaian yang dilaksanakan dengan bantuan deret Taylor, metode yang akan dikembangkan ini lebih mudah langkah-langkah penyelesaiannya.
( )
( )
Tergolong persamaan diferensial homogen. Banyak sekali persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan (2.35). Dalam masalah-masalah fisika, misalnya terdapat persamaan Bessel dan persamaan Legendre, yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan (2.35). Kedua persamaan ini ditulis sebagai berikut:
a. Persamaan Bessel
( )
b. Persamaan Legendre
( )
( )
Nampak dengan jelas bahwa kedua persamaan ini mempunyai bentuk yang sama dengan persamaan (2.35). Selain itu fungsi-fungsi a0(x), a1(x), dan a2(x) dalam
kedua persamaan ini tergolong fungsi polinom. Sekarang persamaan (2.35) diubah bentuknya, sehingga
menjadi lambang pokok formula.
( ) ( )
( ) ( )
Jika fungsi-fungsi a0(x), a1(x), dan a2(x) mempunyai x x0 sebagai faktor
persekutuan, diasumsikan bahwa faktor persekutuan ini telah dihilangkan dari persamaan (2.36). Oleh karena itu, jika a0(x) = 0maka sekurang-kurangnya salah
satu dari a1x dan a2x ada yang tidak sama dengan nol. Jika misal sebuah nilai k
sedemikian rupa sehingga berlaku a0(k) = 0maka x =k dinamakan titik singular
∑ ( )
dapat digunakanuntuk memecahkan jenis penyelesaian tersebut. Untuk itu diubah dalam bentukpersamaan (2.36) menjadi
( )
( ) ( )
dengan ( ) ( )
( ) dan ( ) ( )
( ). Bentuk persamaan diferensial yang
dinyatakan dalam persamaan (2.37) dinamakan bentuk normal. Misalkan salah satu di antara p dan q atau kedua-duanya tidak analitis pada x0, demikian sehingga x0 merupakan titik singular dari persamaan (2.37). Jika fungsi-fungsi yang
didefinisikan dalam bentuk perkalian keduanya analitis pada x0, maka x0 disebut
titik singular teratur dari persamaan diferensial (2.35). Jika salah satu dari p dan q
atau kedua-duanya tak analitis pada x0, maka x0 disebut titik singular tak teratur
dari persamaan diferensial (2.35).
Bila persamaan diferensial berbentuk: y" Pxy' Qxy =0 maka didefinisikan: 1. Titik x0 disebut titik ordiner dari persamaan diferensial diatas jika Pxdan
Qxanalitik pada x0 = x. Jika salah satu atau kedua fungsi tersebut tidak
analitik di x0 =x maka x0 disebut titik singular.
2. Titik x0 disebut titik singular teratur dari persamaan diferensial di atas, jika x0 titik singular dari persamaan diferensial dan fungsi x = x0Pxdan
x=x02Qxanalitik di x0.
Teorema 2.11.1
Misalkan titik x0 merupakan titik singular teratur dari persamaan diferensial (2.35)
maka persamaan diferensial (2.35) mempunyai paling sedikit sebuah penyelesaian non trivial dalam bentuk
| | ∑ ( )
( )
dengan r sebagai konstanta bilangan real atau kompleks yang dapat ditentukan dan penyelesaian ini berlaku dalam selang 0 < |x – x0|< R (dengan r 0) di titik x0.
Contoh 2.11.1
Diketahui bahwa x =1 termasuk titik singular teratur dari persamaan
( )
( )
( )
Dengan demikian, persamaan tersebut penyelesaian non trivial dalam bentuk
| | ∑ ( )
Yang berlaku untuk selang 0 |x + 1| R di titik x =1. Cara menentukan koefisien a1 dan bilangan r dalam penyelesaian (2.35). Penyelesaian ini
merupakan penyelesaian di titik singular teratur x0 dari persamaan diferensial
(2.35). Prosedur ini hampir serupa dengan cara-cara yang dilakukan pada waktu mencari titik-titik singular teratur. Metode ini dinamakan metode Frobenius (Kusumah, 1989).
persamaan yang lebih umum yang metode deret pangkat tidak bekerja lagi seperti persamaan Bessel (Kreyszig, 1999).
Teorema 2.11.2
Setiap bentuk persamaan diferensial ( ) dimana fungsi a(x) dan b(x) adalah analitik pada x =0, mempunyai paling sedikit satu solusi yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
( ) ∑
( ) ( )( )
dimana r merupakan sembarang bilangan (real atau kompleks) dan dipilih sedemikian sehingga (a0 ≠ 0)(Kreyszig, 1999).
Dalam metode Frobenius akan dicari penyelesaian yang berlaku dalam selang 0|x – x0|R (selanjutnya, penulisan |x – x0| ditulis dengan x – x0 saja). Misalkan x0adalah titik singular teratur dari persamaan diferensial (2.35). Cari penyelesaian
yang berlaku dalam selang 0 x – x0 R dan diasumsikan bahwa terdapat
penyelesaian ( ). Dalam bentuk penyelesaian (2.38) dengan ai ≠ 0. Ditulis
persamaan ini dalam bentuk
∑ ( )
( )
Turunan pertama dan kedua dari y dalam persamaan (2.40) adalah
∑( ) ( )
( )
∑( )( ) ( )
( )
Substitusikan deret (2.40), (2.41), dan (2.42) dalam persamaan diferensial (2.35), sehingga diperoleh persamaan dalam bentuk
K0(x x0)r+k + K1(x x0) r+k+1 + K2(x x0) r+k+2 + ... = 0 (2.43)
dengan K bilangan bulat dan koefisien ki i 0,1,2,...merupakan fungsi dalam r,
yang merupakan koefisien ai dari penyelesaian (2.37). Berdasarkan koefisien K0
sama dengan nol, di mana K0 merupakan koefisien dari x x0 dengan pangkat r
k terendah, diperoleh sebuah persamaan kuadrat dalam r, yang disebut persamaan Indisial dari persamaan diferensial. Akar-akar dari persamaan Indisial disebut eksponen dari persamaan diferensial. Akar-akar persamaan Indisial dinyatakan dengan r1 dan r2 , dengan Re(r1) Re(r2). Re(r1) dalam hal ini
menyatakan bagian real dari r1(j= 1,2). Jika r1 termasuk real, maka Re(r1)cukup
disingkat r1.
Contoh 2.11.2
Gunakan metode Frobenius untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial
( )
Penyelesaian:
Diketahui bahwa x = 0 merupakan titik singular teratur dari persamaan diferensial. Dicari penyelesaian dari ( ) untuk selang 0 x R dengan ai ≠ 0.
∑( ) ( ) ∑( )( ) ( )
Dengan mensubstitusikan turunan pertama dan kedua dari y bersama-sama dengan y pada persamaan diferensial, menghasilkan
∑( )( ) ∑( ) ( ) ∑ disederhanakan menjadi ∑( )( ) ∑( ) ∑
Koefisien dari xr+k terendah, yaitu xr, disamakan dengan nol, sehingga diperoleh 2rr 1r 5 =0 atau r2 r =. Persamaan ini dinamakan persamaan Indisial. Akar-akar persamaan Indisial adalah r1 = dan r2 =1. Keduanya, r1dan r2 dinamakan eksponen dari persamaan diferensial. Dalam contoh ini
memperoleh relasi berulang yaitu:
[2(i + r)(i + r1) (i + r)5]ai+ ai= 0 i
Dimisalkan r =r1 = diperoleh
[2(i + )(i + 1) (i + )5]ai + ai= 0 i
atau
( )
Hasil ini memberikan nilai aiyaitu
Substitusi r = bersama-sama dengan nilai-nilai pada penyelesaian (2.40) memberikan
(
)
(
)
Hasil ini berdasarkan korespondensi dengan akar yang lebih besar, yaitu r1 = .
Untuk pemisalan r = r2 =1memberikan relasi berulang
[2(i 1)(i 1 1) (i 1)5]ai+ ai= 0 i1
atau
( )
Dalam hal ini r2dikatakan sebagai akar yang lebih kecil dalam persamaan indisial.
Relasi berulang di atas memberikan ai berturut-turut a1 , a2 , a3 , ... .
Substitusi r = 1 (sebagai akar yang lebih kecil) bersama-sama dengan nilai
a1,a2,a3,... pada persamaan penyelesaian, diperoleh persamaan penyelesaian yang
baru yaitu (
) yang berkorespondensi dengan akar r2 =1. Hasil-hasil penyelesaian keduanya yang berkorespondensi dengan dan
1, ternyata bebas linier. Karena keduanya bebas linier, maka dapat ditarik penyelesaian umum yang dinyatakan dengan
(
)
(
)
Teorema 2.11.3
Hipotesa: Misalkan titik x0 adalah sebuah titik singular teratur dari persamaan
diferensial. Misalkan r1dan r2 dengan Re(r1)Re(r2) merupakan akar-akar
persamaan Indisial.
Konklusi 1: Misalkan r1r2≠0atau r1r2 ≠B, dengan B sebagai bilangan bulat.
Maka persamaan diferensial mempunyai 2 penyelesaian non trivial yang bebas linier, yaitu y1dan y2
( ) | | ∑ ( )
( ) | | ∑ ( )
Konklusi 2: Misalkan r1 r2 =B, dengan B adalah bilangan bulat. Maka
persamaan diferensial mempunyai 2 penyelesaian non trivial yang bebas linier, yaitu y1dan y2dengan rumus:
( ) | | ∑ ( )
( ) | | ∑ ( )
( ) | |
dengan a1* ≠ 0 dan k sebuah konstanta.
Konklusi 3: Misalkan r1 =r2 = 0. Maka persamaan diferensial mempunyai
penyelesaian non trivial yang bebas linier, yaitu y1dan y2dengan rumus:
( ) | | ∑ ( )
( ) | | ∑ ( )
Ketiga penyelesaian dalam ketiga konklusi di atas berlaku dalam selang 0 |x – x0| R di titik x0. Dari konklusi-konklusi tersebut diketahui bahwa jika x0
merupakan titik singular teratur dan 0 |x – x0| R, maka selalu ada sebuah
penyelesaian ( ) | | ∑ ( )
Dalam selang 0 |x – x0| R yang berkorespondensi dengan akar r1dalam
persamaan indisial yang berhubungan dengan x0 (Kusumah, 1989).
2.12 Metode Transformasi Laplace
Misalkan F(t) suatu fungsi dari t yang ditentukan untuk t > 0. Maka transformasi Laplace dari F(t),yang dinyatakan oleh ℒ{ ( )}, didefinisikan sebagai
ℒ* ( )+ ( ) ∫ ( ) ( )
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada apabila integral konvergen untuk beberapa harga s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace-nya tidak ada.
Teorema 2.12.1
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga
≤ ≤ 𝑁 dan eksponensial berorde 𝛾 untuk t > N, maka transformasi Laplacenya
f (s)ada untuk semua > 𝛾. Bukti:
Untuk setiap bilangan positif N kita peroleh
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
Karena F(t) kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang terbatas
≤ ≤ 𝑁, hingga integral pertama dari ruas kanan ada dan integral kedua di ruas kanan ada. Misalkan F(t) adalah 𝛾 (eksponensial berorde 𝛾 untuk t >N) karena
fungsi 𝛾 merupakan fungsi non linear.
∫ ( ) ∫( 𝛾 )
Berdasarkan persamaan diatas, maka
∫ ( 𝛾 ) ∫ 𝛾
∫ ( )
[ 𝛾
( ) ]
𝛾 * ( 𝛾) +
𝛾 ( )
𝛾
Jadi transformasi Laplace ada untuk s > 𝛾.
Contoh 2.12.1
Dengan menggunakan definisi, tentukanlah transformasi Laplace, ( ) ℒ* }, dengan fungsi sebagai berikut:
Penyelesaian:
Bila F(t) = t menurut definisi transformasi Laplace dari diberikan oleh
ℒ* ( )+ ∫
Dimisalkan u =t dt maka du = dt
Dimisalkan dv = dt maka ∫ dt
sehingga
∫
( ) ∫
[ ]
[ ] [ ]
[( ) ( )]
( )
1. Invers Transformasi Laplace
Jika transformasi Laplece suatu fungsi f(t) adalah F(s), yaitu ℒ{ ( )} = ( ),
maka f(t)disebut invers transformasi Laplace dari F(s)dan ditulis
Dengan ℒ dinamakan operator transformasi Laplace invers. Fungsi invers
transformasi Laplace tunggal. Berikut diberikan pada teorema berikut: Teorema 2.12.2
Jika f dan g fungsi kontinu untuk 0 dan mempunyai transformasi Laplace
F maka f(t) = g(t)untuk setiap 0
Bukti:
Sifat transformasi Laplace juga berlaku pada invers transformasi Laplace. Suatu transformasi Laplace misalkan F(s) dinyatakan
( ) = 1( ) … ( )
andaikan 1( ) ℒ 1 { 1( )}, 2( ) ℒ 1 { 2(s)}, ... , n( ) ℒ 1{ ( )}
maka fungsi ( )= 1( ) + 2( ) … ( ) mempunyai transformasi yaitu F(s). Dengan menggunakan sifat ketunggalan di peroleh
ℒ 1{ (s)+ ℒ 1{ 1( )+ ℒ 1{ 2( )+ … ℒ 1{ ( )}
Jadi, invers transformasi Laplace ℒ juga merupakan operator linier.
2. Menyelesaikan Partial Fraction dari Transformasi Laplace
Mengubah fraction menjadi partial fraction
Jika
( )
( ) ( ) ( ) ( )
denganP(s) ( )( )… ( )
Maka terdapat tiga kemungkinan dari P(s)
a. P(s) akar-akarnya real dan berbeda. Tuliskan masing faktor P(s), dan tambahan koefisien yang sesuai (A, B, dst) pada bagian pembilang.
Contoh 2.12.2
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
b. P(s) akar-akarnya real dan sama, yaitu a1a2.... an. Jika
( )
( ) ( )
Maka uraian menjadi:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Contoh 2.12.3
( ) ( ) ( )
c. Jika akar-akarnya merupakan bilangan pasangan bilangan kompleks
, ( )
( )
Contoh 2.12.4
( )( )
3. Transformasi Laplace Dari Turunan
Transformasi Laplace dari turunan ke-n (n = 1, 2, 3, …) dari y(x) adalah
ℒ* ( )+ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
(2.45) Jika kondisi awal untuk y(x) pada x = 0 diberikan oleh
( ) ( ) … ( )( ) (2.46) maka (2.46) dapat ditulis ulang sebagai
ℒ* ( )+ ( ) (2.47)
(Bronson dan Costa, 2007).
Contoh 2.12.5 Jika n = 2 maka
ℒ*
+ ∫
( ( )
)
Misalkanu = –stdandu = –s –stdtmaka ( )
dan
( )
ℒ* ( )+ ( ) | ∫ ( )
( ) ∫ ( )
( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )
Jika kondisi awal untuk y(x) pada x = 0 diberikan oleh ( ) ( ) . Persamaan menjadi ℒ* ( )+ ( )
Sifat-Sifat Transformasi Laplace
Adapun sifat-sifat transformasi Laplace adalah sebagai berikut: 1. Terbatas Eksponensial
Fungsi ( ) disebut terbatas eksponensial pada interval [a, b] bila terdapat bilangan real M dan r sehingga berlaku | ( )| ≤ 𝑀 untuk setiap 𝜖 [ , ].
2. Sifat Keberadaan Transformasi Laplace
Transformasi Laplace dari ( ) dengan ada bila ( ) kontinu bagian demi bagian dan terbatas eksponensial untuk .
3. Sifat Ketunggalan Transformasi Laplace
Transformasi Laplace dari suatu fungsi adalah tunggal yaitu bila 1( ) dan 2( ) merupakan transformasi Laplace dari ( ) maka 1( ) = 2( ).
4. Sifat Linier Transformasi Laplace
Dengan menggunakan definisi didapatkan bahwa transformasi Laplace mempunyai sifat linier,
ℒ* ( ) ( )+ ∫ ( ( ) ( ))
∫ ( ) ∫ ( )
Invers dari tranformasi Laplace juga mempunyai sifat linier, karena:
ℒ 1{ (s) + 𝐺( )+ ℒ 1*ℒ* ( ) + ( )}}
= ( ) + ( )
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil Tahun Ajaran 2019/2020 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan studi literature secara sistematis yang diperoleh dari buku-buku penunjang, jurnal dan juga media lain seperti internet untuk mendapatkan informasi sebanyak mungkin dalam penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang pada sistem osilator harmonik.
Adapun tahapan yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Mengumpulkan bahan literature serta studi kepustakaan yang berhubungan
dengan penelitian ini.
2. Menentukan model persamaan Schrödinger.
4. Mensubtitusikan potensial pada sistem osilator harmonik ke persamaan Schrödinger.
5. Mereduksi persamaan Schrödinger ke bentuk persamaan Hipergeometrik. 6. Mendefinisikan persamaan Schrödinger dalam bentuk persamaan
Hipergeometrik.
7. Menyelesaikan persamaan Schrödinger dengan metode Frobenius.
8. Menyelesaikan persamaan Schrödinger dengan metode transformasi Laplace.
9. Diperoleh hasil persamaan Schrödinger untuk fungsi gelombang dan energi yang telah direduksi.
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan bahwa penyelesaian persamaan Schrodinger pada potensial osilator harmonik
( )
diperoleh nilai energi dan fungsi gelombang yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Frobenius dan transformasi Laplace. Kedua metode tersebut diperoleh hasil yang sama dan saling berkaitan. Persamaan energi dinyatakan dalam bentuk
En= (n + ½)ħω; untuk n= 0, 1, 2, 3, ...
dan bentuk persamaan gelombang dinyatakan dalam bentuk
= [A1F1( ; λx2) + B√ 1F1( ; λx2)];untuk n= 0, 1, 2, ....
Dengan λ = , A dan B konstanta,1F1( ; λx2) = ∑
* +
( )
dan1F1( ; λx2) = ∑
(* + )
( )
DAFTAR PUSTAKA
Asrijal. 2016. Aplikasi Metode Transformasi Laplace Pada Dinamika Sistem Fisis-Massa Pegas Dengan Shock Absorber. Skripsi. Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Alauddin Makassar, Makassar.
Ault, J.C., dan Ayres, F. 1992. Persamaan Diferensial dalam Satuan SI Metric. Erlangga, Jakarta.
Bayin, S. 2006. Mathematical Methods in Science and Engineering. John Willey and Sons, USA.
Bronson, R., dan Costa, G.B. 2007. Schaum’s Outline Persamaan Diferensial
Edisi Ketiga. Erlangga, Jakarta.
Darmawijoyo. 2011. Persamaan Diferensial Biasa Suatu Pengantar. Erlangga, Jakarta.
Degeng, I.W. 2007. Kalkulus Lanjut Persamaan Diferensial dan Aplikasinya. Graha Ilmu, Yogyakarta.
Eisberg, R. dan Resnick, R. 1970. Quantum Physics. Jhon wiley and Sons Inc, California.
Finizio, N., dan Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Erlangga, Jakarta.
Krane, K. 1992. Fisika Modern (Modern Physics). Penerbit UI-press, Jakarta.
Kusumah, Y. 1989. Persamaan Diferensial. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Jakarta.
Leithhold, L. 1991. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Erlangga, Bandung.
Nugroho, D.B. 2011. Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya. Graha Ilmu, Salatiga.
Paliouras, J.D. 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Erlangga, Jakarta.
Pimentel, D.R.M. dan de Castro, A.S. 2012. A Laplace Transform Approach to the Quantum Harmonic Oscillator. To appear in European Journal of Physics Vol.1 No. 7011.
Sholihah, F.M., Suparmi, dan Variani, V.I. 2012. Analisis Energi Osilator Harmonik Menggunakan Metode Path Integral Hypergeometry dan Operator. Indonesian Journal of Applied Physics Vol.2 No.1.
Spiegel, M.R. 1999. Teori dan Soal-Soal Transformasi Laplace. Erlangga, Jakarta.
