1. Vị trí của điểm trong không gian

(1)

1. Vị trí của điểm trong không gian

1. Ma trận quay

Vi ̣ trı́ duy nhất của một điểm P có thể biểu diễn trên các hệ tọa độ khác nhau:

(2)

2. Quay quanh trục toàn cục

1. Ma trận quay

Cho 2 hệ trục như sau:

OXYZ là hệ trục toàn cục

Oxyz là hệ trục địa phương chứa một vật rắn có điểm P

(3)

2. Quay quanh trục toàn cục

1. Ma trận quay

Bây giờ, quay vật rắn quanh trục Z một góc

Tọa độ điểm P trên hệ trục tọa độ toàn cục lúc này có mối quan hệ với tọa độ địa phương qua công thức sau:

(4)

2. Quay quanh trục toàn cục

1. Ma trận quay

Với:

(5)

2. Quay quanh trục toàn cục

1. Ma trận quay

Gọi là các vector đơn vị của các hệ Oxyz và OXYZ

Chứng minh:

(6)

2. Quay quanh trục toàn cục

1. Ma trận quay

Sau khi quay một góc quanh trục Z, vị trí của P lúc này là P2 và được biểu diễn theo 2 hệ tọa độ như sau:

(7)

2. Quay quanh trục toàn cục

1. Ma trận quay

Suy ra:

Hoặc:

(8)

2. Quay quanh trục toàn cục

1. Ma trận quay

(9)

2. Quay quanh trục toàn cục

1. Ma trận quay

Tương tự, nếu quay vật rắn quanh trục Y một góc

R

(10)

2. Quay quanh trục toàn cục

1. Ma trận quay

Tương tự, nếu quay vật rắn quanh trục X một góc

R

(11)

2. Quay quanh trục toàn cục

1. Ma trận quay

Nếu vật thực hiện chuyển động quay quanh các trục liên tiếp nhau theo thứ tự

Quay liên tiếp quanh hệ toàn cục

Chứng minh???

R_1, R_2, R_3, R_4, …, tọa độ của điểm P trên hệ tọa độ toàn cục sẽ là:

G

R

(12)

2. Quay quanh trục toàn cục

1. Ma trận quay

Ví dụ:

(13)

2. Quay quanh trục toàn cục

1. Ma trận quay

(14)

2. Quay quanh trục toàn cục

(15)

3. Quay quanh hệ tọa độ hiện hành (current)-cục bộ

1. Ma trận quay

G

R

(16)

4. Biến hình tương tự (Similarity Transformations)

Ma trận biểu diễn một phép biến hình tuyến tính tổng quát (vd phép

quay) được chuyển từ hệ trục tọa độ này sang hệ trục tọa độ khác

dùng phép biến hình tương tự. Ví dụ A là ma trân biểu thị phép biến

hình trong hệ tọa độ o

₀

x

₀

y

₀

z

₀

và B là ma trân biểu thị cũng phép

biến hình đó nhưng biểu diễn trong hệ tọa độ o

₁

x

₁

y

₁

z

₁

. Ta có

Example 2.4

Ký hiệu tắt: cθ = cos θ, sθ = sin θ. Giả sử tọa độ o₀x₀y₀z₀ và o₁x₁y₁z₁ Quan hệ với nhau bởi

Nếu A = Rz,θ đối với o₀x₀y₀z₀ đối với o₁x₁y₁z₁ ta có

Nói cách khác, B là phép quay quanh z0 nhưng biểu diễn theo hệ tọa độ o1x1y1z1.

B=(0R₁)-1A(0R₁)

0_R 1

B=(0R₁)-1A(0R₁)=

(17)

5. Quay hỗn hợp quanh hệ tọa độ cố định (fixed) và hệ tọa

độ hiện hành (current)

1. Ma trận quay

Example

Suppose R is deﬁned by the following sequence of basic rotations in the order speciﬁed:

1. A rotation of θ about the current x-axis 2. A rotation of φ about the current z-axis 3. A rotation of α about the ﬁxed z-axis 4. A rotation of β about the current y-axis 5. A rotation of δ about the ﬁxed x-axis

R = R_x,δR_z,αR_x,θR_z,φR_y,β

(18)

7. Tham số hóa phép quay (

Minimal representation of the orientation)

1. Ma trận quay

Euler Angles

(19)

7. Tham số hóa phép quay (

Minimal representation of the orientation)

1. Ma trận quay

(20)

7. Tham số hóa phép quay (

Minimal representation of the orientation)

1. Ma trận quay

(21)

1. Chuyển động vật rắn

2. Động học về chuyển động

(22)

1. Chuyển động vật rắn

2. Động học về chuyển động

Gọi là tọa độ của P trên hệ địa phương B

là vị trí tương đối của điểm gốc di động o so với điểm gốc cố định O

Tọa độ của P trong hệ toàn cục được tính theo công thức sau:

(23)

1. Chuyển động vật rắn

2. Động học về chuyển động

Ví dụ 2.1:

Hình sau minh họa điểm P ở tọa độ trên hệ địa phương là:

Hệ tọa độ địa phương sau đó được quay quanh Z một góc 50 độ, và dịch chuyển dọc các trục X, Y, Z lần lượt các khoảng -1, 0.5, 0.2

(24)

1. Chuyển động vật rắn

2. Động học về chuyển động

(25)

1. Chuyển động vật rắn

2. Động học về chuyển động

Ví dụ 2.2:

Giả sử điểm P của vật rắn B ở thời điểm ban đầu có vị trí trên hệ khung B như sau:

Sau đó, vật quay quanh trục x một góc 45 độ và dịch chuyển một đoạn

(26)

1. Chuyển động vật rắn

2. Động học về chuyển động

(27)

1. Chuyển động vật rắn

2. Động học về chuyển động

Ví dụ 2.3:

Cho tay máy như hình vẽ. Vị trí của P (ở đỉnh tay máy) ban đầu khi hệ khung G trùng với B (chứa P) là P1, với:

Quay tay máy một góc 60 độ và kéo dài một khoảng

(28)

1. Chuyển động vật rắn

2. Động học về chuyển động

(29)

1. Chuyển động vật rắn

2. Động học về chuyển động

Giải:

Ví trí mới của P được tính theo công thức sau:

Với:

là ma trận biến đổi từ sang trong trường hợp

(30)

1. Chuyển động vật rắn

2. Động học về chuyển động

Mà ta có vector dịch chuyển trong hệ địa phương B là:

(31)

1. Chuyển động vật rắn

2. Động học về chuyển động

(32)

2. Tổng hợp chuyển động

2. Động học về chuyển động

Cho các hệ khung G, B1, B2.

Minh họa chuyển động rắn của hệ khung B2 so với hệ toàn cục

Thay vào ta có:

(33)

3. Phép biến đổi đồng nhất (homogeneous)

2. Động học về chuyển động

Ở phần trước, vị trí của P trên hệ toàn cục được biểu diễn như sau:

Phương trình này có thể được sắp xếp một cách đơn giản bằng phương trình dạng đồng nhất sau:

(34)

3. Phép biến đổi đồng nhất (homogeneous)

2. Động học về chuyển động

Và

(35)

3. Phép biến đổi đồng nhất (homogeneous)

2. Động học về chuyển động

Trong khi đó, ở công thức tiêu chuẩn:

(36)

3. Phép biến đổi đồng nhất (homogeneous)

2. Động học về chuyển động

Ví dụ 2.4:

Cho một hệ trục B(oxyz) ban đầu trùng với hệ toàn cục G(OXYZ). Sau đó, quay B quanh trục X một góc 45 độ, và dịch chuyển tiếp B đến vị trí:

Hãy tìm vị trí toàn cục của P nếu P hiện đang có tọa độ địa phương là:

(37)

3. Phép biến đổi đồng nhất (homogeneous)

2. Động học về chuyển động

(38)

3. Phép biến đổi đồng nhất (homogeneous)

2. Động học về chuyển động

(39)

3. Phép biến đổi đồng nhất (homogeneous)

2. Động học về chuyển động

(40)

3. Phép biến đổi đồng nhất (homogeneous)

2. Động học về chuyển động

(41)

4. Phép biến đổi đồng nhất ngược

2. Động học về chuyển động

Ma trận chuyển động đồng nhất có thể biểu diễn như sau:

Khi đó, ma trận ngược của nó sẽ có dạng:

Lưu ý:

(42)

4. Phép biến đổi đồng nhất ngược

2. Động học về chuyển động

Ví dụ 2.5:

Tìm ma trận biến đổi ngược của ma trận sau:

(43)

4. Phép biến đổi đồng nhất ngược

2. Động học về chuyển động

Với:

(44)

4. Phép biến đổi đồng nhất ngược

2. Động học về chuyển động

Biến đổi ngược nhanh:

Thực tế có thể tách một ma trận biến đổi tổng quát thành tích của 2 ma trận dịch chuyển và quay rồi tận dụng đặc điểm nghịch đảo đơn giản của các ma trận này

(45)

4. Phép biến đổi đồng nhất ngược

2. Động học về chuyển động

(46)

5. Phép biến đổi đồng nhất tổng hợp

2. Động học về chuyển động

• Phép biến đổi đồng nhất liên tiếp trong hệ tọa độ hiện hành

Ma trận biến đổi từ hệ khung B sang hệ khung A như sau:

(47)

5. Phép biến đổi đồng nhất tổng hợp

2. Động học về chuyển động

Vì vậy, ma trận biến đổi từ hệ C sang hệ A có thể được tính bằng cách nhân 2 ma trận trên:

Giả sử có các hệ khung G, 1, 2, 3, 4. Phép biến đổi từ hệ 4 sang hệ toàn cục như sau:

(48)

5. Phép biến đổi đồng nhất tổng hợp

2. Động học về chuyển động

Ví dụ 2.6: Cho tay máy RPR như hình vẽ. Vị trí của P trong khung là Khung có thể quay quanh và trượt dọc phương .

Khung có thể quay quanh trục Z của hệ toàn cục, trong khi gốc ở tại

ϕ1

ϕ3

Hãy xác định vị trí của P trong hệ toàn cục nếu ban đầu khâu cuối của tay máy duỗi thẳng, sau đó tay máy quay quanh trục Z một góc và tịnh tiến dọc theo z1 một đoạn d2, sau đó quay quanh trục z2 một góc

(49)

5. Phép biến đổi đồng nhất tổng hợp

2. Động học về chuyển động

Giải:

Vị trí của P trong hệ toàn cục:

(50)

5. Phép biến đổi đồng nhất tổng hợp

2. Động học về chuyển động

Ví dụ 2.7:

(51)

5. Phép biến đổi đồng nhất tổng hợp

2. Động học về chuyển động

Giải:

Ma trận biến đổi từ hệ B1 sang hệ khung nền G:

(52)

5. Phép biến đổi đồng nhất tổng hợp

2. Động học về chuyển động

Vì vậy, ma trận biến đổi từ hệ B2 sang hệ khung nền G:

Gốc o2 trên hệ B2 là:

(53)

2. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

Một robot nối tiếp n khớp sẽ có n+1 khâu.

Đánh số khâu từ khâu 0 (đất nền) đến khâu n (tay gắp)

Đánh số khớp bắt đầu từ 1 và tăng dần đến n.

Khâu (i) nối với khâu trước đó (i-1) bởi khớp i và nối với khâu sau nó (i+1) bởi khớp i+1 như hình.

Cho trước:

Giá trị các biến khớp của robot

Tìm:

Vị trí và hướng của tất các các khâu trong robot

(54)

2. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

Hình sau minh họa các khâu (i-1), (i) và (i+1) của một robot nối tiếp cùng với các khớp i-1, i, và i+1.

Trên mỗi khâu của robot, người ta gắn cố định cho nó một hệ khung theo một phương pháp tiêu chuẩn sau (phương pháp

(55)

2. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

1. Trục đặt thẳng hàng với trục của khớp i+1 (nếu khớp quay là trục quay, khớp trượt là phương trượt), Chiều dương bất kỳ

2. Trục được xác định là trục pháp tuyến chung giữa hai trục đến + Nếu 2 trục z chéo nhau thì đường pháp tuyến chung nối giữa 2 trục này là duy

nhất

+ Nếu 2 trục z song song nhau thì sẽ có vô số đường pháp tuyến chung nối giữa 2 trục này. Trong trường hợp này, ta chọn trục pháp tuyến chung trùng với đường với đường pháp tuyến chung nối các khớp trước hoặc sau đó

+ Nếu 2 trục z cắt nhau, sẽ không có đường pháp tuyến chung giữa chúng. Trong trường hợp này, ta gán trục vuông góc với mặt phẳng tạo bởi 2 trục z_i-1 và z_i và có chiều bất kỳ

3. Trục được xác định theo quy tắc bàn tay phải

4. Gốc tọa độ 0 và trục x0 chọn tùy ý, trục tọa độ z_n không quy định cụ thể nhưng x_n phải vuông góc và cắt trục z_n-1)

(56)

2. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

Với việc áp dụng phương pháp DH, gốc của khung được xác định là giao điểm của trục khớp i+1 với đường pháp tuyến chung giữa 2 trục z

Một khung DH được xác định qua 4 thông số:

+ Chiều dài khâu là khoảng cách giữa 2 trục và dọc theo trục

+ Góc xoắn khâu là góc quay cần thiết quanh trục để trục song song với trục

+ Khoảng cách khớp là khoảng cách giữa hai trục và dọc theo trục . Khoảng cách khớp còn được gọi là độ lệch khâu

(57)

2. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

(58)

2. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

(59)

2. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

Ví dụ 3.1:

(60)

1. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

(61)

1. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

(62)

1. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

(63)

1. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

c. Khâu với (hoặc )

(64)

1. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

(65)

1. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

(66)

1. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

(67)

1. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

Ví dụ 3.2:

(68)

1. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

Giải:

Bảng tham số DH

(69)

-1. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

Spherical wrist

x₃

l₃ l₃

x₆

z₆ d₆

(70)

-1. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

Ví dụ 3.3:

Cho robot Stanford như hình. Hãy lập bảng DH

(71)

1. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

(72)

2. Ma trâ ̣n biến đổi giữa 2 hê ̣ khung liền kề

3. Động học thuận

Để di chuyển từ hệ khung s sang , ta thực hiện các bước sau: + Di ̣ch chuyển hệ dọc trục một đoạn

+ Quay hệ một góc quanh trục + Di ̣ch chuyển hệ dọc trục một đoạn + Quay hệ một góc quanh trục

(73)

2. Ma trâ ̣n biến đổi giữa 2 hê ̣ khung liền kề

3. Động học thuận

Ma trận biến đổi T

(74)

2. Ma trâ ̣n biến đổi giữa 2 hê ̣ khung liền kề

3. Động học thuận

Vı̀ thế phương trı̀nh biến đổi từ hệ khung sang hệ khung

(75)

2. Ma trâ ̣n biến đổi giữa 2 hê ̣ khung liền kề

3. Động học thuận

Vı́ dụ 3.4: Cho tay máy như hı̀nh.

1)Hãy tı̀m ma trận biến đổi từ hệ (2) đến hệ toàn cục (0)

(76)

2. Ma trâ ̣n biến đổi giữa 2 hê ̣ khung liền kề

3. Động học thuận

Giải:

Bảng tham số DH

(77)

2. Ma trâ ̣n biến đổi giữa 2 hê ̣ khung liền kề

3. Động học thuận

Giải:

(78)

3. Bài toán thuâ ̣n về vi ̣ trı́ của robot

3. Động học thuận

Bài toán thuận về vi ̣ trı́: xác đi ̣nh ma trận biến đổi trong hệ toàn cục để từ đó có thể tı̀m được vi ̣ trı́ của P (thuộc hệ n) trong hệ toàn cục

Vı́ dụ 3.5:

(79)

3. Bài toán thuâ ̣n về vi ̣ trı́ của robot

3. Động học thuận

Giải:

(80)

3. Bài toán thuâ ̣n về vi ̣ trı́ của robot

3. Động học thuận

(81)

3. Bài toán thuâ ̣n về vi ̣ trı́ của robot

3. Động học thuận

Vı́ dụ 3.6:

(82)

3. Bài toán thuâ ̣n về vi ̣ trı́ của robot

3. Động học thuận

Giải:

Bảng DH:

(83)

3. Bài toán thuâ ̣n về vi ̣ trı́ của robot

3. Động học thuận

Vı̀ vậy, ma trận đồng nhất biến đổi từ hệ 3 đến hệ khung nền:

(84)

3. Bài toán thuâ ̣n về vi ̣ trı́ của robot

3. Động học thuận

Vi ̣ trı́ của điểm P trên cánh tay 3 là

(85)

3. Bài toán thuâ ̣n về vi ̣ trı́ của robot

3. Động học thuận

Vı́ dụ 3.7:

(86)

3. Bài toán thuâ ̣n về vi ̣ trı́ của robot

3. Động học thuận

Vı́ dụ 3.8:

Cho robot như hı̀nh vẽ. Hãy tı̀m vi ̣ trı́ của đầu tay máy trên hệ toàn cục (tự giải)

θ₂

(87)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

Cho tay gắp như hı̀nh vẽ.

(88)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

Các đặc điểm:

+ Khớp cầu nối giữa cẳng tay và bàn tay

+ Trục bàn tay gọi là trục tay gắp

+ Cổ tay khớp cầu: là một chuỗi động kết hợp vài khâu và khớp để tạo thành một khớp cầu thực hiện chuyển động quay 3 bậc tự do cho tay gắp. Nó được ghép từ 3 khâu RR chiều dài 0 và độ lệch 0 tại một điểm giao cắt gọi là điểm cổ tay, các trục trực giao nhau.

+ Tại điểm cổ tay, ta xác đi ̣nh 2 hệ khung cổ khớp. Hệ khung thứ nhất nối với cẳng tay gọi là hệ cổ tay chết. Hệ khung thứ hai nối với bàn tay gọi là hệ cổ tay sống.

+ Tại điểm đầu tay gắp, ta xác đi ̣nh hệ khung tay gắp với 3 vector đơn vi ̣:

(89)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

Hı̀nh sau minh họa sơ đồ cấu hı̀nh cổ khớp cầu. Nó được tạo thành từ một khâu có 2 lỗ khớp RR vuông góc (-90 độ), nối với một khâu có RR vuông góc (90 độ), và

(90)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

(91)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

Các kiểu khớp cầu: + Roll-Pitch-Roll + Roll-Pitch-Yaw + Pitch-Yaw-Roll

Roll-Pitch-Roll wrist at the rest position

(92)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

NẾU (Quay 1 quanh trục cẳng tay): Quay 1 là Roll

Quay 2 là Pitch (vuông góc trục cẳng tay)

NẾU (Quay 3 quanh trục tay gắp): Quay 3 là Roll

HOẶC NẾU (Quay 3 vuông góc tay gắp) Quay 3 là Yaw

HOẶC NẾU (Quay 1 vuông góc trục cẳng tay) Quay 1 là Pitch

NẾU (Quay 2 quanh trục cẳng tay) Quay 2 là Roll

Quay 3 phải là Yaw

HOẶC NẾU (Quay 2 vuông góc trục cẳng tay) Quay 2 là Yaw

(93)

+ Khung thứ nhất được gắn cố đi ̣nh với cẳng tay với là trục khớp của cẳng tay và một khâu quay. Khâu quay này là khâu cổ khớp thứ nhất. Hướng của các trục và là bất kỳ.

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

+ Khung thứ hai được xác đi ̣nh sao cho theo hướng trục tay gắp và là trục của khớp thứ 2. luôn quay quanh trục một góc và quay quanh trục một góc tương đối so với

+ Khung thứ ba chı́nh là khung cổ khớp sống và được xác đi ̣nh với theo trục tay gắp. Nếu khớp thứ ba tạo ra chuyển động quay Yaw thı̀ là trục khớp. Vı̀ vậy, luôn quay quanh trục (hoặc ) một góc , so với

Có thể xác đi ̣nh các hệ khung không theo quy tắc DH như sau:

(94)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

Vı́ dụ 3.9:

Hãy xác đi ̣nh kiểu khớp cầu, cách xác đi ̣nh các hệ tọa độ phi DH và ma trận biến đổi giữa 2 hệ khung cổ khớp sống và chết của tay gắp sau:

Considering the definition and rotations of B2 relative to B1, and B1 relative to B0, there are only three types of practical spherical wrists: Roll-Pitch-Roll,

Roll-Pitch-Yaw and Pitch-Yaw-Roll

(95)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

Giải:

Kiểu khớp cầu: Roll-Pitch-Roll

được xác đi ̣nh như hı̀nh vẽ

quay quanh trục một góc và quay quanh trục một góc tương đối so với

(96)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

(97)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

Vı́ dụ 3.10:

Hãy xác đi ̣nh kiểu khớp cầu, cách xác đi ̣nh các hệ tọa độ phi DH và ma trận biến đổi giữa 2 hệ khung cổ tay sống và chết của tay gắp sau:

(98)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

Giải:

Kiểu khớp cầu: Roll-Pitch-Yaw

(99)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

(100)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

Vı́ dụ 3.11:

Hãy xác đi ̣nh kiểu khớp cầu, cách xác đi ̣nh các hệ tọa độ phi DH và ma trận biến đổi giữa 2 hệ khung cổ khớp sống và chết của tay gắp sau:

(101)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

Giải:

Kiểu khớp cầu: Pitch-Yaw-Roll

(102)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

(103)

4. Động học tay gắp

3. Động học thuận

Practical design of a spherical wrist

(104)

3. Động học thuận

l₃ x₃ l₃ x₆ z₆ d₆

4. Động học hê ̣ lắp ghép tay máy + tay gắp

4.1 Ghép trực tiếp

(105)

3. Động học thuận

Khớp cẳng tay là khớp trượt (robot Standford)

y0

(106)

1. Ký hiệu Denavit-Hartenberg

3. Động học thuận

(107)

3. Động học thuận

Hı̀nh minh họa 2 hệ chuẩn bi ̣ lắp ghép vào nhau

(108)

3. Động học thuận

(109)

3. Động học thuận

Nếu khớp cẳng tay là khớp quay, để lắp ghép 2 hê phải dùng hệ tọa độ tạm

+ Trên tay máy, đặt thêm một hệ khung tạm thời ở điểm cuối tay máy (khung takht => chair)

+ Trên tay gắp, đặt thêm một hệ khung tạm thời ở điểm gốc của tay gắp (khung neshin => sit)

+ Ghép nối sao cho hệ khung trùng với

Nếu khớp cẳng tay là khớp trượt:

+ Không cần dùng hệ tọa độ tạm

(110)

4. Động học hê ̣ lắp ghép tay máy + tay gắp

(111)

4. Động học hê ̣ lắp ghép tay máy + tay gắp

3. Động học thuận

(112)

4. Động học hê ̣ lắp ghép tay máy + tay gắp

3. Động học thuận

(113)

4. Động học hê ̣ lắp ghép tay máy + tay gắp

3. Động học thuận

(114)

4. Động học hê ̣ lắp ghép tay máy + tay gắp

3. Động học thuận

Vı́ dụ 3.

(115)

4. Động học hê ̣ lắp ghép tay máy + tay gắp

3. Động học thuận

(116)

4. Động học hê ̣ lắp ghép tay máy + tay gắp

3. Động học thuận

Lập ma trận toàn thể cho robot được ghép từ 2 hệ thống sau:

The transformation matrix of the takht frame B4 to the base frame B0 at the rest position reduces to

(117)

4. Động học hê ̣ lắp ghép tay máy + tay gắp

(118)

4. Động học hê ̣ lắp ghép tay máy + tay gắp

3. Động học thuận

Ghép nối tay gắp vào tay máy

Lưu ý: có thể loại bỏ bớt khung và để giảm bớt số khung giúp cho việc tı́nh toán đơn giản hơn.

(119)

4. Động học hê ̣ lắp ghép tay máy + tay gắp

(120)

4. Động học hê ̣ lắp ghép tay máy + tay gắp

(121)

4. Động học hê ̣ lắp ghép tay máy + tay gắp

3. Động học thuận

where

(122)

1. Giới thiê ̣u

4. Động học ngược

Bài toán:

+ Cho trước: vi ̣ trı́ của đầu cuối tay máy và hướng của tay gắp

+ Yêu cầu: tı̀m giá tri ̣ góc quay, hoặc lượng di ̣ch chuyển của các khớp quay và trượt

Những khó khăn:

+ Không có một phương pháp chung để giải bài toán (hệ PT lượng giác) + Có thể có nhiều kết quả

(123)

1. Giới thiê ̣u

4. Động học ngược

Về mặt toán học, bài toàn yêu cầu tı̀m

với các phần tử trong chı́nh là các biến khớp của ma trận biến đổi tổng quát

Ma trận tổng thể của một robot 6 bậc tự do có dạng sau:

Với 12 phần tử trong ma trận là các hàm lượng giác của 6 biến khớp quay chưa biết. Mà ta đã biết ma trận con 3x3 là một ma trận quay chı̉ có 3 phần tử độc lập (do điều kiện về tı́nh trực giao).

⇒Vı̀ vậy, chı̉ có 6 phần tử trong số 12 phần tử của ma trận trên là độc lập

(124)

4. Động học ngược

Có thể tách một bài toán động học ngược n bậc tự do thành hai bài toán nhỏ độc lập, là hai bài toán vi ̣ trı́ ngược với (n-3) biến khớp và động học hướng ngược 3 biến khớp.

Theo nguyên lý tách rời, ma trận tổng thể của một robot 6 DOF có thể được tách thành tı́ch của ma trận ti ̣nh tiến và ma trận quay

cho biết vi ̣ trı́ của điểm cuối tay gắp trong hệ khung và chı̉ liên quan đến 3 biến khớp của tay máy

cho biết hướng của tay gắp và chı̉ liên quan đến 3 biến khớp của cổ tay.

(125)

l

₆

l

₆

a

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời (decouple)

Các bước giải bài toán ngược dùng kỹ thuật tách rời như sau

y₆=s

(126)

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời

4. Động học ngược

(127)

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời

4. Động học ngược

(128)

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời

4. Động học ngược

Giải:

(129)

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời

4. Động học ngược

Công thức trên cho ta 3 phương trı̀nh với 3 ẩn cần tı̀m

Tı̀m :

Tı̀m : kết hợp phương trı̀nh 1 và 2

Sau đó, kết hợp phương trı̀nh trên với phương trı̀nh 3

(130)

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời

4. Động học ngược

Phương trı̀nh trên cũng có dạng sau:

Với:

(131)

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời

4. Động học ngược

Vı́ dụ 4.2: Cho các kı́ch thước sau. Hãy tı̀m các góc quay

(132)

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời

4. Động học ngược

Với:

Với :

(133)

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời

4. Động học ngược

Nếu :

(134)

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời

4. Động học ngược

(135)

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời

4. Động học ngược

Giải:

Động học thuận của tay máy có dạng:

Vi ̣ trı́ P trên hệ toàn cục như sau:

(136)

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời

4. Động học ngược

Và:

Nên tránh dùng hoặc vı̀ độ không chı́nh xác Dùng:

(137)

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời

(138)

Elbow example

(139)

Elbow example

(140)

Elbow example

(141)

Elbow example

(142)

Spherical Robots

(143)

Spherical Wrist

2. Kỹ thuâ ̣t tách rời (PP hình học)

(144)

(145)

(146)

(147)

(148)

(149)

3. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Xét robot 6 DOF. Giả sử ma trận biến đổi hı̀nh học của các hệ liền kề là các hàm của các biến khớp.

(150)

3. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

(151)

3. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

(152)

3. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

(153)

3. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Giải:

(154)

3. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Ma trận tổng thể:

(155)

3. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Nhân cả 2 vế cho :

(156)

3. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Và:

(157)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Thay vào ma trận cho ra một cột 4 gồm các phần tử giá tri ̣ số :

(158)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Với:

(159)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Từ 2 phần tử và của phương trı̀nh trên, ta có:

(160)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Có , giá tri ̣ của được tı́nh như sau:

Nếu thı̀:

(161)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

(162)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

(163)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Vı̀ vậy, ma trận tổng thể như sau:

(164)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

(165)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Nhân cả 2 vế cho :

(166)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Dựa vào các ma trận biến đổi hı̀nh học được cho, ta tı́nh được

(167)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Phần tử hằng số duy nhất là , vı̀ vậy:

Phương trı̀nh trên có nghiệm:

(168)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Phần tử và là những hàm của các biến và

Có thể sử dụng chúng để tı̀m :

Kế tiếp, ta tı̀m biến khớp thứ 3

(169)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Và:

Phần tử (3,4) ở 2 vế phải bằng nhau nên:

Để tı̀m , ta xét tiếp phương trı̀nh sau:

(170)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Ta có:

(171)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Từ đó ta tı́nh được :

(172)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Cân bằng phần tử (3,3) của 2 vế của phương trı̀nh trên, ta được:

Ta tı̀m được:

Hoặc

(173)

2. Kỹ thuâ ̣t biến đổi ngược

4. Động học ngược

Sử dụng các phần tử (1,3) và (2,3) như sau:

(174)