METHOD FOR OPTIMAL PLANNING MODEL-BASED ON FUZZY TRANSPORTATION PROBLEM

УДК: 519.876.5

В. В. СКАЛОЗУБ, О. В. ВЄТРОВА (ДІІТ)

МЕТОД

ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНУВАННЯ

НА

ОСНОВІ

МОДЕЛІ

НЕЧІТКОЇ

ТРАНСПОРТНОЇ

ЗАДАЧІ

Дослідженопроблемиплануваннязвикористанняммоделейлінійногопрограмування, щомаютьнечіткі

коефіцієнтицільовоїфункціїтачіткіобмеження, встановленовластивостірозв’язківтакихзадачтапідходи

до їх рішення. Детально розглянуто транспортнузадачу у нечіткій постановці та запропоновано метод її

зведеннядозадачізазначеноготипуіалгоритмрозв’язання.

Исследованыпроблемыпланированиясиспользованиеммоделейлинейногопрограммированияснечет

-кимикоэффициентамицелевойфункцииичеткимиограничениями, установленыподходыкрешениютаких

задачисвойства самихрешений. Детальнорассмотренатранспортнаязадачавнечеткой постановке, пред

-ложенметодеесведениякзадачеуказанноготипаиалгоритмрешения.

In the article planning problems which use linear programming models with fuzzy coefficients and strict con-straints are considered. Properties of solutions of such problems are defined and possible approaches to solving these problems are proposed. Also transportation problem in fuzzy formulation is considered. A method of reduction of transportation problem to models of above mentioned type is proposed together with solution algorithm.

Численніпроблеми плануванняроботи залі

-зничного транспорту можуть бути описані мо

-делями, подібними долінійногопрограмування

(ЛП). Однак використаннякласичнихзадачЛП

на практиці обмежене додатковими вимогами

щодо можливості побудови адекватних моде

-лей. Одна з причин труднощів застосування

класичнихмоделейЛПполягаєу недетерміно

-ваному, стохастичномуаборозмитому характе

-рі даних реальних ситуацій планування. У та

-ких випадках широке застосування набули не

-чіткімоделіЛП [1].

Залежно від форми нечіткого описання ви

-хідної інформації серед задач нечіткого ліній

-ного програмування (НЧЛП) можна виділити

такіосновнітипи [1].

А. Задачаізчіткоюцільовоюфункцієюура

-зінечіткихобмеженьнадопустимірозв’язки.

В. Задачаізцільовоюфункцієюзнечіткими

коефіцієнтамитачіткимиобмеженнями.

С. Задачаз нечіткоюцільовою функцієюта

нечіткимиобмеженнями.

ЗадачаНЧЛПможенематирозв’язків, якщо множина допустимих розв’язків порожня (об

-меження задачі несумісні). В іншому разі, оп

-тимальний розв’язок задачі НЧЛП може бути

детермінованим або нечітким, тобто нечіткою

підмножиноюмножинидопустимихпланів.

Задачі НЧЛП у загальному випадку не ма

-ють універсальних аналітичних методів знахо

-дженнядетермінованогооптимальногорозв’яз

-ку або побудови функції належності нечіткого

розв’язку [1]. Розв’язаннязадачАіС у загаль

-ному випадку зводиться до розв’язання ряду

задач ЛП. Для цього вводяться дискретні

α

-рівні. Якщоплан x₀ єоптимальнимрозв’язком

вихідної задачі на множині рівня

α

, то можна

вважати, що число

α

є ступенем належності

плану x₀ нечіткій множині розв’язків вихідної

задачі. Вихідна задачаНЧЛПнаведенау вигля

-ді сукупності звичайних задач ЛП, які

розв’язуються для різних

α

-рівнів множини

допустимих розв’язків. Перебравши різні зна

-чення

α

, отримаємо функціюналежності нечі

-ткогорозв’язку [1].

ЗадачаЛПзнечіткимикоефіцієнтами

цільовоїфункції тачіткимиобмеженнями

Окремі моделі задач НЧЛП можуть бути

розв’язані аналітично. До таких моделей нале

-житьзадачаВ – задачаЛПзнечіткимикоефіціє

-нтамицільовоїфункції (функціїналежностіяких є кусково-лінійними) та чіткими обмеженнями.

ДосліджуєтьсятакапостановказадачіВ:

( )

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

= ≥

∈ →

= =

∑

, , 1 , 0

; min; ~

1 1

n i x

X x

x c

i n i i n

i i i

(1)

де _{X ⊂R}n _{– замкнений, опуклий багатогран}

-ник; у (1) c~ – _i нечіткітрикутні величини, фун

[

]

[

]

α

, якщо α ;β ;

β α

γ

µ ( ) , якщо β;γ ;

γ β

0, в іншому разі.

i

i

i i

i i

i

c i i

i i

x

x

x

x x

−

⎧ _∈

⎪ − ⎪ ⎪ − ⎪

=_⎨ ∈

− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩

(2)

Функція ( )

i

c x

µ на інтервалі

[

α

i

;

β

i

]

є ліво

-сторонньою функцією належності (ЛСТ), а на

інтервалі

[

β

_i

;

γ

_i

]

– правосторонньою (ПСТ) [1]. Для дослідження розв’язання задачі В роз

-глянемотакізадачі:

( )

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

≥

∈

→

= =

∑

,

,

1

,

0

;

min;

1 1

n

i

x

X

x

x

i n i i n

i i i

α

(3)

де

α

_i – значення коефіцієнтів

c

~

_i, заякихЛСТ функції µc_i

( )

x набуваютьнульовогозначення.

( )

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

= ≥

∈ →

= =

∑

, , 1 , 0

; min;

1 1

n i x

X x

x

i n i i n

i i i β

(4)

де β_i – значення коефіцієнтів c~ , _i за яких

ЛСТ функції

( )

x

i

c

µ набувають максимально

-гозначення.

Теорема 1. Якщо задачі ЛП (3) та (4), що відповідають задачі (1), мають однакові детер

-міновані оптимальні розв’язки

( )

x_i* n_i=1, тоді для

)

1

,

0

(

∈

∀

p

задача

( )

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

= ≥

∈ →

= =

∑

, , 1 , 0

; min;

1 1

n i x

X x

x c

i n i i n i

i p i

(5)

де

( )

p n_i

[

_{i i}

]

n i

c ₌₁∈ α ,β – значення нечітких величин

( )

n i p i

c ₌₁: i n

( )

cp p

i ci =

=

∀ 1, µ , має такий самий

детермінованийоптимальнийрозв’язок

( )

x_i* n_i=1.

Доведення..Нехай

( )

x_i* _in₁

= – детермінований

оптимальний розв’язок задач (3) і (4). Розгля

-немо задачу (5) при довільному фіксованому

)

1

,

0

(

∈

p

. Згідно з означенням функцій належ

-ності (2), дляЛСТфункційвиконується:

(

i i

)

i p

i p

c −α = β −α , c_ip = pβ_i +

(

1−p

)

α_i.

Задача (5) приймаєтакийвигляд:

(

)

( )

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

= ≥

∈

→ −

+ =

=

= =

=

∑

∑

∑

. , 1 , 0

;

min; 1

1

1 1

1

n i x

X x

x p x

p x c

i n i i

n

i i i n

i i i n

i i p

i β α

(6)

Якщорозв’язок

( )

x_i* n_i1

= :

∑

∑

= ∈ =

α

=

α

=

n

i i i X x n

i i

i

x

x

n i i) 1

( 1

*

min

1

та

∑

∑

= ∈ =

β

=

β

=

n

i i i X x n

i i

i

x

x

n i

i) 1

( 1

*

min

1

,

тоді у точці

( )

x_i* n_i1

= кожен з доданків цільової

функції задачі (5) досягає свого мінімального

значення на Х, а отже

( )

x_i* _in₁

= буде оптималь

-ним розв’язком задачі (5) для ∀p∈

( )

0,1 . Кі

-нецьдоведення.

Узагальнення теореми 1. Якщо задача (5)

має однакові детерміновані оптимальні

розв’язки

( )

x_i* _in₁

= при p= p1∈

[

0,1

)

та при

(

₁,1

]

2 p

p

p= ∈ , то такий самий оптимальний

розв’язокмаєзадача (5) при ∀p∈

[

p₁,p₂

]

.

Доведенняаналогічне.

Теорема 2.Якщозадачі (3) і (4), щовідпові -даютьЛСТ функціям µ_ci

( )

x , маютьоптималь

-ні розв’язки

( )

α

1

n i _i

x

= та

( )

β

1

n i _i

x

= відповідно і

( )

α

( )

β

1 1

n n

i _i i _i

x x

= ≠ = , тоді існує і притому тільки

одне число 0< p<1 таке, що оптимальними

розв’язкамизадачі (5) єобидвавектори

( )

α

1

n i _i

x

=

та

( )

β

1

n i _i

x

= ібудь-який вектор, щоє їхлінійною

комбінацією; тобто задача має безліч розв’яз

множини допустимих розв’язків, яке з’єднує

вершини

( )

α

1

n i _i x

= та

( )

β

1

n i _i x

= .

Доведення. Нехай

( )

α

1

n i _i

x

= – оптимальний

розв’язок задачі (3), а

( )

β

1

n i _i

x

= – оптимальний

розв’язокзадачі (4) і

( )

α

( )

β

1 1

n n

i _i i _i

x x

= ≠ = . Розгляне

-морівняння:

∑

∑

= β

=

α

₌

n

i

i p i n

i

i p

i

x

c

x

c

1 1

. (7)

Оскільки c~ – _i трикутні нечітківеличиниви

-гляду (2), то c_ip = pβ_i+

(

1− p

)

α_i. Такимчином,

рівняння (7) приймаєвигляд:

=

−

+

∑

∑

∑

= =

=

n

i i i n

i i i n

i i

i

x

x

p

x

p

1 1

1

α α

α

_α

_α

β

;

1 1

1

∑

∑

∑

= =

=

− +

= n

i i i n

i i n

i i

ix x p x

p β β

i α

α β β

(

)

(

)

_⎟⎟=

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− −

−

∑

∑

= =

n

i

i i i n

i

i i

i x x

p

1 1

β

α _{β α}

α β

∑

∑

= =

−

=

n

i i i n

i i

i

x

x

1 1

α

β

_α

α

;

(

)

(

)

_∑

(

)

∑

= =

− =

−

− n

i i i i n

i i i i i

x x x

x p

1 1

α β β

α _α

α

β . (8)

Рівняння (8) єлінійним, вньому

(

)

(

α β

)

1

β α 0

n

i i i i

i

x x

=

− − ≠

∑

,

оскільки c~ – _i нечіткітрикутні величинивигля

-ду (2) та

( )

α

( )

β

1 1

n n

i _i i _i

x x

= ≠ = . Отже, рівняння (8)

маєрівноодинрозв’язок:

(

)

(

)

(

)

β α

1

αβ

β α β α

1 1

α

α β

n

i i i

i

n n

i i i i i i

i i

x x

p

x x x x

=

= =

−

= =

− − −

∑

∑

∑

(

)

(

)

β

α αβ

1

β α

1

1 1

1

β

1

α

n

i i i i

n

i i i i

M

x x

x x

=

=

= =

+ −

+

−

∑

∑

; (9)

(

)

(

)

β α

1

αβ

β α

1

β

α

n

i i i i

n

i i i i

x x

M

x x

=

=

−

= =

−

∑

∑

1 1

1 1

n n

i i i i

i i

n n

i i i i

i i

x x

x x

α β

= =

β α

= =

β − β =

α − α

∑

∑

∑

∑

. (10)

Оскільки

( )

1

β

1 arg ( )minn ₁β i i

n n

i _i i i

x _{X i}

x x

=

= ∈ ₌

⎛ ⎞

= _{⎜⎜ ⎟⎟} ⎝

∑

⎠

та

( )

1

α

1 arg ( )_{i i}minn ₁α

n n

i _i i i

x _{X i}

x x

=

= _{∈ =}

⎛ ⎞

= ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝

∑

⎠,

очевидно, що M_αβ >0, аотже _p*_∈(0,1)_{. Таким}

чином, за теоремою 1, для _∀p∈

[ ]

_0,p*

розв’язкомзадачі (5) є

( )

α

1

n i _i

x

= , адля

[ ]

,1

*

p

p∈

∀ –

вектор

( )

β

1

n i _i

x

= . За властивостями розв’язків за

-дач ЛП точки

( )

α

1

n i _i

x

= та

( )

β

1

n i _i

x

= є вершинами

множиниХ. Оскількипри

p

=

p

* оптимуму за

-дачі (5) досягаєтьсяудвохвершинахмножиниХ,

то оптимальним розв’язком буде будь-який

розв’язок, щоналежить ребру

( )

α

( )

β

1, 1

n n i _i i _i

x x

= =

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦. Кі

-нецьдоведення.

Зауваження. Якщо у (10) знаменник M_αβ

дорівнюєнулю, цеозначає, що

( )

β

1

n i

i

x

= єоптима

-льним розв’язком задачі (3). Отже, за теоремою

1, можна вважати цейрозв’язокдетермінованим

оптимальнимрозв’язкомзадачі (5) для∀p∈(0,1)

(для ЛСТ функцій µ_ci

( )

x ). Якщо ж нуль

з’являєтьсяу чисельникувеличини M_αβ, обчис

-леної за (10), це означає, щорозв’язок

( )

α

1

n i _i

x = є оптимальнимрозв’язкомзадачі (3). Отже, затео

-ремою 1 можна вважати цей розв’язок детермі

-нованим оптимальним розв’язком задачі (5) для

) 1 , 0 (

∈

∀p (дляЛСТфункцій µ_ci

( )

x ).

( )

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

≥

∈

→

= =

∑

,

,

1

,

0

;

min;

1 1

n

i

x

X

x

x

i n i i n

i i i

γ

(11)

щовідповідаютьПСТфункціям µ_ci

( )

x , мають

детерміновані оптимальні розв’язки

( )

β

1

n i _i

x

= та

( )

γ

1

n i _i x

= відповідно, і

( ) ( )

γ β

1 1

n n

i _i i _i

x x

= ≠ = , тодііснує,

іпритомутількиодне, число 0<p<1 таке, що

оптимальними розв’язками задачі (5) є обидва

вектори

( )

γ

1

n i _i

x

= та

( )

β

1

n i

i

x

= ібудь-якийвектор, що

є їх лінійною комбінацією. Тобто задача має

безліч розв’язків, які становлять собою ребро

багатогранника множини допустимих розв’яз

-ків, яке з’єднує вершини

( )

α

1

n i _i

x

= та

( )

β

1

n i _i

x

= . При

цьомучислорзнаходитьсязаформулою

1 1 p

M

βγ

βγ =

+ , (12)

де

(

)

(

)

γ β

i 1

βγ

β γ

1

β

γ n

i i i

n

i i i

i

x x

M

x x

=

=

− =

−

∑

∑

. (13)

Доведеннятвердженьаналогічнетеоремі 2.

Зауваження. Якщо у формулі (13) у зна

-меннику

M

_βγ виходить нуль, це означає, що

розв’язок

( )

x_iβ n_{i=1 є оптимальним розв’язком за} -дачі (11). Отже, за теоремою 1 можна вважати

( )

n i i

xβ _{=1 детермінованимоптимальнимрозв’язком} задачі (5) для ∀p∈(0,1) (для ПСТ функцій

( )

x

i

c

µ ). Якщож нульз’являєтьсяучисельнику

величини

M

_βγ, обчисленоїза (13), цеозначає,

щорозв’язок

( )

x_iγ _in_{=1 єоптимальним розв’язком}

задачі (4). Отже, за теоремою 1 можна також вважати

( )

x_iγ n_{i=1 детермінованим оптимальним}

розв’язком задачі (5) для ∀p∈(0,1) (для ПСТ функційµ_ci

( )

x ).

Наслідок 2. Якщо оптимальні розв’язки

( )

n

i i

xα _{=1 та}

( )

n i i

xβ _{=1 задач (3) і (4) відповідно такі,} що

( ) ( )

x_iα _in₌₁≠ x_iβ _in_{=1, тоді вони є суміжними вер}

-шинами п – вимірного багатогранника Х, та

) 1 ; 0 ( ! *_∈

∃ p : при

_p

₌

_p

*_{задача (5) має множину}

оптимальних розв’язків, що становить собою

ребро

( )

α

( )

β

1, 1

n n

i i

i i

x x

= =

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦. Аналогічно, різні детер

-мінованіоптимальнірозв’язки

( )

γ

1

n i _i x

= та

( )

β

1

n i _i x

= задач (11) і (4) відповідноєсуміжними верши

-нами п – вимірного многогранника Х та

) 1 ; 0 ( ! *_∈

∃ p : при

p

=

p

*задача (5) маємножину

оптимальних розв’язків, що становлять собою

ребро

( ) ( )

β γ

1, 1

n n

i _i i _i

x x

= =

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦.

Наслідок 3.Якщодетермінованіоптимальні

розв’язки

( )

α

1

n i _i

x

= ,

( )

β

1

n i

i

x

= та

( )

γ

1

n i _i x

= задач (3),

(4) і (11) відповідно є попарно нерівними, то вони (у відповідному порядку) становлять со

-бою послідовність суміжних вершин многог

-ранникадопустимихрозв’язків.

Таким чином, якщо коефіцієнти c_i цільо

-вої функції задачі (1) – нечіткі трикутні вели

-чини з функціями приналежності (2), то для

розв’язання задачі (1) можна запропонувати

такийалгоритм. АлгоритмВ.

1. Розв’язуємозадачі (3), (4) та (11). Отри

-муємодетермінованіоптимальнірозв’язки

( )

α

1

n i

i

x

= ,

( )

β

1

n i _i

x

= та

( )

γ

1

n i _i

x

= відповідно.

2. Якщо

( )

α

( )

β

1 1

n n i _i i _i

x x

= ≠ = та (або)

( ) ( )

γ β

1 1

n n

i _i i _i

x x

= ≠ =,

то знаходимо p_αβ та (або)

p

_βγ за формулами

(9), (10) та (12), (13) відповідно.

3. Якщодетермінованіоптимальнірозв’язки

( )

α

( ) ( )

β γ

1 1 1

n n

n

i _i i _i i _i

x x x

= = = = = , вважаємо, що задача

має детермінований оптимальний розв’язок,

( )

*

( )

β

1 1

n n

i _i i _i

x x

= = = , інакше можна знайти закон

залежності оптимальногорозв’язку від значень

α

1

γ

1

β γ

1 1 βγ

α

1 αβ βγ

β

1 αβ βγ

* 1

( ) , якщо (µ ( ) та µ ЛСТ);

( ) , якщо (µ ( ) та µ ПСТ);

[( ) ,( ) ], якщо µ ( ) ;

( ) , якщо

та (µ ( ) Ψ та µ ЛСТ);

( ) , якщо

( ) та (µ ( ) Ψ

i i

i i

i

i i

i n

i i c с

n

i i c с

n n

i i i i c

n i i

c с

n i i n

i i c

x i x

x i x

x x i x p

x p p

i x

x p p

x i x

=

=

= =

=

=

=

∀ ∈Ω −

∀ ∈Ω −

∀ =

>

∀ ∈ −

>

= ∀ ∈

γ

1 αβ βγ

β

1 αβ βγ

β α

1 1 αβ

β

1 αβ βγ

та µ ПСТ);

( ) , якщо

та (µ ( ) та µ ЛСТ);

( ) , якщо

та (µ ( ) та µ ПСТ);

[( ) ,( ) ], якщо µ ( ) ;

( ) , якщо µ ( ) (max{ , },1].

i

i i

i i

i i

с

n i i

c с

n i i

c с

n n

i i i i c

n

i i c

x p p

i x

x p p

i x

x x i x p

x i x p p

=

=

= =

= ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎪ ₋

⎨ ⎪

< ⎪

⎪

∀ ∈ Λ −

⎪ ⎪

<

∀ ∈ Λ −

∀ =

∀ ∈

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Тут

Ω=[0,min

{

pαβ,pβγ

})

Ψ

=

[

p

βγ

,

p

αβ

]

]

,

[

_{αβ βγ}

=

Λ

p

p

.

Зазначену залежність проілюстровано на

рис. 1. Наосіабсцисвідкладенозначенняфункцій приналежностівхіднихданих, наосіординат – оп

-тимальнірозв’язкивідповіднихзадач.

Рис. 1. Функціязалежності

оптимальногорозв’язкувідзначеньфункцій

належностівхіднихданих

Нечітка функція цілі матиме такий вигляд

(рис. 2).

Рис.2. Нечіткафункціяцілі

На рис. 2

( )

⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =F x_{i i}n₌

F~₁ ~ α _{1 ,}

( )

_⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =F x_{i i}n₌ F~₁ ~ β _{1 ,}

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =F x_i n_i= F~₁ ~ γ _{1 .}

Наведений метод може бути узагальнений

на випадок опуклих кусково-лінійних функцій

належностікоефіцієнтівцільовоїфункції.

Будемо надалі позначати нечіткі трикутні

величини (2) такимчином:

(

β − α β γ − β_{i i}, _i, _{i i}

)

. (14)

Наприклад,

1, якщо [1,2) 13

, якщо [2,13] µ( ) 11

(2 1, 2, 13 2) (1, 2, 11)

0, в інших випадках.

x х

x

х

x

− ∈

⎧ ⎪ −

⎪ _{∈ =}

⎪ = ⎨

⎪= − − = ⎪

⎪⎩

Нечітка модельтранспортної задачі. Розгля

-немо одну з окремих моделей – транспортну

задачу лінійного програмування (ТЗ). Нагадає

-мо класичну постановку ТЗ [3]. Маємо n при

-ймачів певного продукту та m джерел цього

продукту. Відомі вартості транспортування

одиниці продукції від кожного джерела до ко

-жного приймача c_ij, i=1, ,m j=1,n. Відомі також об’єми продукції a_i, i=1,m, що знахо

-дяться у кожному джерелі, таоб’ємипродукції

, 1, j

(співвідношення між величинами

∑

=

m i

i

a

1

та

∑

=

n j

j

b

1

можуть бутирізними: якщо

∑

∑

= =

= n

j j m

i

i b

a

1 1

,

то ТЗ називається транспортною задачею за

-критоготипу, якщо

∑

∑

= =

≠ n

j j m

i i

b a

1 1

– відкритого

типу). Потрібно скласти такий план переве

-зенняпродукції, щобпотреби кожногоджере

-латаприймача були заможливістю задоволе

-ні і при цьому загальна вартість перевезення

продукції була мінімальною. Розв’язок буде

-мо шукати у вигляді матриці x={x_ij}_m×n, де ij

x – кількістьодиниць продукції, що перево

-зитьсявід і-годжереладо j-го приймача. Тоді

задачу можна сформулювати таким чином

(для визначеності розглянемо задачу відкри

-того типу, у якій

∑

∑

= =

≤ n

j j m

i

i b

a

1 1

, тобто сукупна

кількість продукції у джерелах не перевищує

сукупнихпотребприймачів).

min

1 1

→

∑∑

= =

m i

n j ij ij

x

c ;

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

= ∀ = ∀ ≥

= ∀ ≤

= ∀ =

∑

∑

= =

. , 1 ,

, 1 , 0

; , 1 ,

; , 1 ,

1 1

n j m i x

n j b x

m i a x

ij

j m

i ij

i n

j ij

(15)

Розглянемо транспортну задачу у нечіткій

постановці. Якщокоефіцієнти цільової функції

n j m i

c_ij, 1, , 1,

~ _{= = є нечіткими величинами,}

функції належності яких є кусково-лінійними,

величини a_i,i=1,m та b_j, j=1,n єдетерміно

-ваними, то задача (18) зводиться до задачі (1)

ірозв’язується задопомогою алгоритму B. Як

-що до того ж величини попиту та пропозиції

m i a_i, 1,

~ _{= та b j n}

j, 1,

~ ₌

єнечіткими, то задача

(15) перетворюється на задачу типу С. Розгля

-немонаступнупостановкуНЧТЗ.

Нехайузадачі (15) коефіцієнтицільовоїфу

-нкції c~_ij,i=1,m, j=1,n тавеличини a~_i,i=1,m

та b~_j, j=1,n єнечіткимитрикутнимивеличи

-нами, функціїналежностіяких:

( )

[

]

[

]

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

∈ −

−

∈ −

−

=

разі.

іншому в

γ β якщо β

γ γ

β α якщо α

β α

µ

, 0

; ; ,

; ; ,

ij ij ij

ij ij

ij ij ij

ij ij

c x

x

x x

x

ij (16)

( )

[

]

[

]

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

∈ −

−

∈ −

−

=

разі.

іншому в

γ β якщо β

γ γ

β α якщо α

β α

µ

, 0

; ; ,

; ; ,

a i a i a

i a i

a i

a i a i a

i a i

a i

a x

x

x x

x

i (17)

( )

[

]

[

]

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

∈ −

−

∈ −

−

=

разі.

іншому в

γ β якщо β

γ γ

β α якщо β

α

µ

, 0

; ; ,

; ; ,

α

b j b j b

j b j

b j

b j b j b

j b j

b j

b x

x

x x

x

j (18)

Нехай

( )

x_ij* _m×n – оптимальнийрозв’язокзадачі:

min

1 1

→

β

∑∑

= =

m

i n

j ij

ij

x

;

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

∀

=

∀

≥

=

∀

β

≤

=

∀

β

=

∑

∑

= =

.

,

1

,

,

1

,

0

;

,

1

,

;

,

1

,

1 1

n

j

m

i

x

n

j

x

m

i

x

ij

b j m

i ij

a i n

j ij

(19)

Для довільного

α

-переріза: α = p будемо

шукатирозв’язокзадачі (15)–(18) увигляді:

( )

~xij _m×n=

( )

xij _m×n+

(

1−p

)

( )

yij _m×n

*

. (20)

Тоді (15)–(18) перетворюєтьсяназадачу:

(

)

(

1

)

min

~

1 1

*_{+ − →}

∑∑

= =

m

i n

j

ij ij

ij x p y

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

= ∀ = ∀ ≥ −

+

= ∀

α − + β ≤ −

+

= ∀ γ − + β ≤

≤ −

+ ≤

α − + β

∑

∑

∑

∑

= =

= =

. , 1 ,

, 1 , 0 ) 1 (

; , 1

, ) 1 ( )

1 (

; , 1 , ) 1 (

) 1 ( )

1 (

*

1 1

*

1 1

*

n j m i y

p x

n j

p p

y p x

m i p

p

y p x

p p

ij ij

b i b

i m

i ij m

i ij

a i a

i

n

j ij n

j ij a

i a

i

(21)

Оскільки x_ij* =const _{для ∀i=1,m,∀j=1,n,}

тозадача (21) зводитьсядозадачі:

1 1

1

1 * min

(1 ) (1 )

(1 ) , 1,

(1 ) (1 ) ,

1,

(1 ) , 1, , 1,

m n

ij ij i j

n

a a a

i i i ij

j

a a

i i

m

b b b

j ij i i

i

ij ij

c y

p p p y

p p i m

p y p p

j n

p y x i m j n

= =

=

= →

⎧

β + − α ≤ β + − ≤ ⎪

⎪ ⎪

≤ β + − γ ∀ = ⎪

⎪⎪_{β + − ≤ β + − α} ⎨

⎪

⎪ _{∀ =}

⎪

⎪ − ≥ − ∀ = ∀ = ⎪

⎪⎩

∑∑

∑

∑

Тобто

min

~

1 1

→

∑∑

= =

m

i n

j ij ij

y

c

;

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

∀

=

∀

−

≥

−

=

∀

β

−

α

≤

=

∀

β

−

γ

≤

≤

β

−

α

∑

∑

=

=

.

,

1

,

,

1

,

)

1

(

;

,

1

,

;

,

1

,

* 1

1

n

j

m

i

x

y

p

n

j

y

m

i

y

ij ij

b i b i m

i ij

a i a i n

j ij a

i a i

(22)

Розглянемо задачу (22) без останнього об

-меження:

min

~

1 1

→

∑∑

= =

m

i n

j ij ij

y

c

;

1

1

, 1, ;

, 1, . n

a a a a

i i ij i i

j m

b b

ij i i i

y i m

y j n

=

=

⎧

α − β ≤ ≤ γ − β ∀ = ⎪

⎪ ⎨

⎪ _{≤ α − β ∀ =} ⎪

⎩

∑

∑

(23)

Задача (23) незалежитьвідзначення α- пе

-реріза, маєчіткіобмеженнятанечіткікоефіціє

-нти цільової функціїі може бути розв’язаназа

допомогою алгоритму В. В результаті отрима

-ємо нечіткий розв’язок

( )

n m ij

y* _×

~ _{. Однак цей}

розв’язок може не задовольняти обмеження

n j m i x y

p) ij ij , 1, , 1,

1

( − ≥− * ∀ = ∀ = , на яке ми

не зважаємо у задачі (27). З цих міркувань

для розв’язання НчТЗ (15)–(18) пропонуємо

такийалгоритм.

АлгоритмВ’

1. Знаходимо детермінований оптималь

-нийрозв’язок

( )

n m ij

x* _{× задачі (19).}

2. Знаходимо оптимальний нечіткий

розв’язок

( )

n m ij

y* _×

~ _{задачі (23).}

3. Якщодля

( )

y p y

n j m

i _{ij y ij}

ij =

∀ = ∀ =

∀ _{1, , 1, ,} ~ *_:µ ~*

виконується:

]

1

;

0

[

,

~

)

1

(

−

p

y

_ij*

≥

−

x

_ij*

∀

p

∈

, (24)

топереходимонап.5.

4. Інакше – для кожної пари індексів

) , 1 ( m

i∈ та j∈(1,n), дляякої

, ~

) 1 ( ] 1 ; 0

[ p y_ij* x_ij*

p∈ − ≤−

∃

додаємодозадачі (23) обмеження:

* *

~

ij

ij x

y ≥− . (25)

Розв’язуємозадачу (23), (25).

5. Нечіткий оптимальний розв’язок

( )

x_ij* _m×n

задачі (15)–(18) будуємотакимчином:

( )

~

x

ij* _m×n

=

( )

x

ij* _m×n

+

(

1

−

p

)

⋅

( )

~

y

ij* _m×n,

дер – значення функціїналежностівідповідно

-горозв’язку. Кінець.

Приклад 1. Маємо 2 джерела та 3 при

-ймачі. Відомі нечіткі вартості транспорту

-вання одиниці продукції від кожного джере

-ла до кожного приймача

c

~

_ij

,

i

=

1

,

2

,

j

=

1

,

3

,

об’єми продукції a_i,i=1,2, що знаходяться у

кожному джерелі та об’єми продукції

3

,

1

,

j

=

b

_j , які бажає прийняти кожен при

-ймач (нечіткі трикутні величини позначаємо

(1,4,2) (1,4,1) (2,4,1)

(1,4,2) (2,3,2) (1,2,1) (1,5,2) (2,6,1) (2,6,1) (1,5,1) (1,4,1)

j i b a

C_{= ⎜}⎛ ⎞_⎟

⎝ ⎠

Розв’язок шукаємо у вигляді матриці

3 2

} ~ { ~

×

= xij

x , де ~x_ij – кількість одиницьпроду

-кції, що перевозиться від і-го джерела до j-го

приймача. Тоді задачу можна сформулювати

такимчином:

min

~

2 1

3 1

→

∑∑

= =

i j ij ij

x

c

;

3 1 2

1

, 1,2;

, 1,3;

0, 1,2, 1,3.

ij i j

ij j i

ij

x a i

x b j

x i j

=

= ⎧

= ∀ = ⎪

⎪ ⎪

⎪ _{≤ ∀ =} ⎨

⎪

⎪ _{≥ ∀ = ∀ =} ⎪

⎪⎩

∑

∑

ЗастосуємодозадачіалгоритмВ’.

1. Знаходимо детермінований оптималь

-нийрозв’язок (x_ij*)_{m×n задачі:}

min

2 1

3 1

→

β

∑∑

= =

i j

ij

ij

x

;

3 1 2

1

, 1,2;

, 1,3;

0, 1,2, 1,3,

a ij i j

b ij j i

ij

x i

x j

x i j

=

= ⎧

= β ∀ = ⎪

⎪ ⎪

⎪ _{≤ β ∀ =} ⎨

⎪

⎪ _{≥ ∀ = ∀ =} ⎪

⎪⎩

∑

∑

де

( )

6 5 4 5 6

2 3 4

4 4 4

3

2 ⎟⎟_⎠

⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

×

ij

a i b j β

β β

( )

_⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

× _{0 2 4}

0 2 3

3 2 *

ij

x .

2. Знаходимо оптимальний нечіткий

розв’язок

( )

~y_ij* _m×n задачі:

min

~

2 1

3 1

→

∑∑

= =

i j ij ij

y

c

;

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

∀

β

−

α

≤

=

∀

β

−

γ

≤

≤

β

−

α

∑

∑

=

=

.

3

,

1

,

;

2

,

1

,

2 1

3 1

j

y

i

y

b i b i i ij

a i a i j

ij a

i a i

(26)

Цільовафункціянеобмеженанадопустимій

множинірозв’язків.

4. Додаємодозадачі (26) обмеження:

* *

~

ij ij x

y ≥− ∀i=1,2,∀ j=1,3.

Розв’язуємозадачу:

2 3 1 1

min;

ij ij i j

c y

= =

→

∑∑

3 1 2

1

* *

, 1,2;

, 1,3;

1,2, 1,3.

a a a a

i i ij i i

j

b b

ij i i

i

ij ij

y i

y j

y x i j

=

= ⎧

α − β ≤ ≤ γ − β ∀ = ⎪

⎪ ⎪

⎪ _{≤ α − β ∀ =} ⎨

⎪

⎪ _{≥ − ∀ = ∀ =} ⎪

⎪⎩

∑

∑

ЗастосуємодозадачіалгоритмВ.

1. Знайдемо детерміновані оптимальні

розв’язки задач, отриманих із даної задачі при

коефіцієнтахцільовоїфункції, щовідповідають

нульовимтаодиничнимзначеннямвідповідних

функційналежності.

Оптимальнийрозв’язок даної задачіприко

-ефіцієнтах:

c

~

_ij

=

α

_ij:

2 3

3 1,5 0,5 ( )

2 2 2

ij

yα _{× = ⎜}⎛− ⎞_⎟

− −

⎝ ⎠.

Оптимальнийрозв’язок даної задачіприко

-ефіцієнтах:

c

~

_ij

=

β

_ij:

2 3

2,75 1 0,75 ( )

1,75 2 1,75 ij

yβ _{× = ⎜}⎛− ⎞_⎟

− −

⎝ ⎠.

Оптимальнийрозв’язок даної задачіприко

-ефіцієнтах:

c

~

_ij

=

γ

_ij:

2 3

3 1 3

( )

2 0 4

ij

yγ × = ⎜⎛− − ₋ ⎞⎟

2. Отримані розв’язки попарно нерівні. От

-же, знаходимо величини

p

_αβ та

p

_βγ заформу

-лами (9), (10) та (12), (13) відповідно

2

=

αβ

M

;

3

1

1

1

₌

+

=

αβ αβ

M

p

;

9

4

=

βγ

M

; 1 9

1 13

p

M βγ

βγ

= =

+ .

3. Отже, оптимальнийрозв’язокданоїзадачі

є нечіткою величиною і функція залежності

оптимального розв’язку від значень функцій

належностівхіднихданихмаєвигляд (рис. 3):

Рис. 3. Функціязалежності

оптимальногорозв’язкуприкладу 1 відзначень

функційналежностівхіднихданих

5. Нечіткий оптимальний розв’язок задачі

( )

~* _{2 3}

×

ij

x будуємотакимчином:

( ) ( )

(

)

( )

* ₂₃

3 2 * 3 2

* ₁ ~

~

× ×

× = ij + − ⋅ ij

ij x p y

x ,

дер – значення функціїналежності відповідно

-горозв’язку. Тобто лівостороння функціязале

-жності нечіткого оптимального розв’язку від

значенняфункціїналежностівхіднихданих:

( )

* 2 3

3 3,5 1,5 (1 ) 0,5

,

(1 ) 2 2 2 2

1

якщо 0, ;

3 0,25 2,75 3 (1 ) 0,75

, (1 ) 1,75 2 2,25 1,75

1

якщо ,1 .

3 ij

p p p

p p p

p x

p p p

p p p

p ×

⎧⎛ − − ⋅ ⎞

⎪⎜ _{− ⋅ +} ⎟

⎝ ⎠

⎪

⎪ _{⎡ ⎤}

∈

⎪ _{⎢ ⎥}

⎪ ⎣ ⎦

= ⎨

+ − − ⋅

⎛ ⎞

⎪

⎜ ⎟

⎪_{⎝ − ⋅ + ⎠}

⎪

⎪ ⎛ ⎤

∈⎜

⎪ _⎝ ⎥_⎦

⎩

Правосторонняфункціязалежностінечітко

-гооптимальногорозв’язкувідзначенняфункції

належностівхіднихданих:

( )

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ ∈

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ ⋅

−

⋅ − − +

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∈

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

⋅ −

⋅ − +

=

×

. 1 , 13

9

, 75 , 1 25 , 2 2 75 , 1 ) 1 (

75 , 0 ) 1 ( 3 75 , 2 25 , 0

; 13

9 , 0

, 4 2

2 ) 1 (

3 ) 1 ( 1 3

~

3 2 *

p

p p

p

p p p

p

p p

p p p

x_ij

якщо якщо

Для знайденихзалежностей побудуємофу

-нкцію належності нечіткого оптимального

розв’язку (рис. 4).

Рис. 4. Функціяналежностінечіткого

оптимальногорозв’язку x₁₁* Наприклад, для

~

x

₁₁*:

[ ]

* 11

, якщо 0,1 ; 3

µ ( )

0,25 1

,якщо 1 ,3 .

2,75 6

x

t

t t

t

t

⎧ _∈

⎪⎪

= ⎨ _{− ⎡ ⎤}

⎪ _{∈⎢ ⎥}

⎪ _{⎣ ⎦}

⎩

Висновки

Досліджено проблеми планування з викорис

-таннямнечіткиханалогівмоделейзадачлінійного

програмування. Виділено основні види моделей

задач НЧЛП залежно від властивостей цільових

функцій і обмежень (детерміновані або нечіткі

функції). Розробленометодирозв’язаннянечітких аналогівтранспортноїзадачі. Розглянутіприклади

плануваннясвідчатьпроефективністьзапропоно

-ванихметодівтаалгоритмів.

БІБЛІОГРАФІЧНИЙСПИСОК

1. Згуровский М. З. Интегрированные системы

оптимального управления и проектирования. –

К.: Вищашк.,1990. – С. 151–186.

2. Юдин Д. Б. Математические методы управле

-ния в условиях неполной информации. – М.:

Советскоерадио, 1974. – 400 с.

3. АлексеевО. Г. Комплексное применениемето

-дов дискретной оптимизации. – М.: Наука,

1987. – 248 с.