USHTRIMI 1. l q⋅ l q⋅ x 1 y
y
I
M
pk xx=
σ
; 12 ) 2 ( c 3 l I =I.
Përcaktimi i sforcimeve që mungojnë, σ
xx, σ
xy.Nga të σxx na jepet me shprehjen
y lc M y c l M y I Mpk pk pk xx 3 3 2 3 12 ) 2 ( = = = σ
. Nga figura e dhënë plane
përcaktojmë momentin përkuls.
2 2 2 2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 ql qlx ql qlx qx x l q x l ql Mpk = − − − = − − + −
duke thjeshtuarë kufizat me vlera të njëjta mund
të shkruajmë: ) ( 2 1 2 1 2 1ql2 qx2 q l2 x2 Mpk = − = −
. Pra, si përfundim σxx mund të shkruhet:
Varianti q (N/cm2) c (cm)
l (cm)
y lc x l q y lc x l q xx 3 2 2 3 2 2 ) ( 4 3 ) ( 2 1 2 3 − = − = σ (1-1)
Nga ekuacionet diferenciale të ekuilibrit mund të shkruajmë: 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y x xy xx σ σ (1-2)
Zëvendësojmë tek ekuacioni (1-2) dhe do të kemi:
⇒ ∂ = ∂ ⇒ = ∂ ∂ ⇒ = ∂ ∂ + − xy xy xy xy y lc qx y y y lc qx σ σ σ σ 3 3 2 3 0 4 3 ) 2 ( ) ( 2 3 1 2 3 y c x lc qx xy =τ = + σ (1-3) 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ x y xy yy σ σ (1-4)
Duke zëvendësuarë tek formula (1-4) dhe të bëjmë derivatet përkatëse do të kemi: ⇒ ∂ + − = ∂ ⇒ = + + ∂ ∂ y x c lc qy x c lc qy y yy yy ) ( ' 4 3 0 ) ( ' 4 3 1 3 2 1 3 2 σ σ ) ( ) ( 2 1 2 ' 1 3 3 y c y x c lc qy yy =− + + σ (1-5) – Përcaktimi i kostanteve “c”. M1 q x
nga kushtet statike në kontur mund të themi që: Pika M1 c y x x − = = 1 − = = m o l q P P y x − = =0
[ ]
= xy xx T σ σ σ yy xy σ σ = xy xx q σ σ 0 yy xy σ σ −1 0 q yy xy xy xx = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ σ σ σ σ 1 0 0 1 0 q yy =− σ ) ( 2 3 0 2 1 3 y c x lc qx xy =− + − = σ 3 2 1 2 3 ) ( lc qxy x c = ) ( 2 3 3 1 2 3 3 3 y c lc qxy lc qy q yy =− = + + σ y x c lc qy y c = =+ ( )⋅ 2 1 ) ( ' 1 3 2 2 Po të derivojmë c1(x) me x ∂ do të kemi: 3 2 1 2 3 ) ( lc qy x x c = ∂ ∂ atëher q lc qy lc qy y c2 = 32 + 32 − 2 1 2 1 ) ( q lc qy y c2( )=2 32 − Në qoftë se bëjmë zëvendësimet përkatëse do të marim:lc qx c lc qx lc qx x c 1.5 2 3 2 3 ) ( 2 3 3 1 = = =
− = − = − = − =2 2 2 2 1 ) ( 3 2 3 2 2 lc q q lc q q lc qc q lc qy y c
Atëhere përfundimisht mund të themi që sforcimet janë si më poshtë: ⇒ − = y lc x l q xx 3 2 2 ) ( 2 1 2 3 σ y lc x l q xx 3 2 2 ) ( 4 3 − = σ (1-1) ⇒ + + = 33 3 2 3 3 1 lc qx lc qy yy σ − − = x lc xy lc q yy 3 2 3 3 σ (1-6) ⇒ + = = lc qx y lc qx xy 2 3 2 3 3 3 τ σ lc qx y lc qx xy 1.5 2 3 3 3 + = =τ σ (1-7)
I.
Vija e përbërë me sforcim tangentciale të njëjtë.
Sforcimi tangantcial ka trajtën:
lc qx y lc qx xy 1.5 2 3 3 3 + = =τ σ = = = = ) / ( 5 ) / ( 5 ) ( 10 ) ( 50 2 2 cm N cm N q cm c cm l τ y -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x -37 -81 -287 925 362 333 308 195 105 54 30
II.
Përcaktimi i sforcimeve maksimale për pikën e cfarëdoshme u
(x,y).
x l q⋅ l q⋅ x u(x,y) 1 y Pika u(x,y) y y x x = =Sforcimet kryesore për një pikë në apsirë janë:
zx yx xx T σ σ σ σ = yz yy xy σ σ σ zz yz xz σ σ σ
me qënë se jemi në plan, atëhere kemi:
0 yx xx T σ σ σ = 0 yy xy σ σ 0 0 0 = xy xx σ σ yy xy σ σ 0 3 2 2 1 3 −Iσ +I σ −I = σ (1-8)
Nga zgjidhja e ekuacionit (1-8) marim 3 rrënjë të σ, ku vlera më e madhe i përket sipas radhës σ3, σ2, σ.
zz yy xx
I1 =σ +σ +σ
invarianti i parë i tenzorit të sforcimeve.
xy xx I σ σ = 2 yy xy σ σ + xz xx σ σ zz xz σ σ + yz xy σ σ zz yz σ σ
zx yx xx I σ σ σ = 3 yz yy xy σ σ σ zz yz xz σ σ σ
invarianti i tretë i tenzorit të sforcimeve.
• Përcaktojmë vlerat e invarianteve.
zz yy xx I1 =σ +σ +σ = lc qx lc qy lc lc q y lc x l q 5 . 1 2 1 ) 2 ( ) ( 2 3 3 3 3 2 2 − − + + −
[
]
[
]
lc x lc q lc y x l qy I (2 ) 1.5 2 ) ( 3 3 2 2 2 1 − − + − − = yz yz zz xy xz xz zz xx xy xy yy xx I2 =σ ⋅σ −σ ⋅σ +σ ⋅σ −σ ⋅σ +σ ⋅σ −σ σ[
]
2 4 2 2 2 4 2 2 2 6 2 2 2 3 2 4 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 25 . 2 2 5 . 4 4 9 ) ( 5 . 4 ) 2 2 ( 3 2 5 . 1 2 3 5 . 1 2 1 ) 2 ( ) ( 4 3 0 0 0 0 0 0 c l x q y c l x q c l x q x l x lcx x c l l c l y q I lc qx y lc qx lc qx lc qy lc lc q y lc x l q xy xy yy xx xy xx xy xy yy xx + + − − − − − − = + − + − − ⋅ − = − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ zx yx xx I σ σ σ = 3 yz yy xy σ σ σ zz yz xz σ σ σ 0 yx xx σ σ = 0 yy xy σ σ 0 0 0 = 0 . 0 1 = σ0 2 1 2 +Iσ +I = σ (1-8’)
Po të zëvendësojmë tek invariantet vlerat përkatëse do të kemi:
= = = ) / ( 5 ) ( 10 ) ( 50 2 cm N q cm c cm l
[
]
100 5 . 1 498 10 2 ) 7500 ( 4 2 2 1 x y y x I + − ⋅ − − = dhe[
]
2 6 2 ( 37500 35256 ) 11250 6.75 10 2 x x x y I − − + + ⋅ =[
]
[
]
− − + + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − = − = 2 6 2 4 2 2 2 ( 37500 35256 ) 11250 6.75 10 2 1 4 10 2 ) 7500 ( 4ac x y y y x x x b D[
]
[
]
[
]
= = ⇒ ⋅ − − + + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ± ⋅ ⋅ − − = ± = 2 1 2 6 2 4 2 2 4 2 2 2 , 1 1 2 75 . 6 1 1250 ) 3 525 6 3 750 0 ( 1 0 2 1 4 10 2 ) 7 50 0 ( 1 0 2 ) 7 500 ( 2 σ σ σ x x x y y y x y y x a D bUSHTRIMI 2. Y E = 2 * 10 5 (N/mm2) x µ = 0.25 2 3 x y x Q =λ⋅ +β⋅ ⋅ a a
I. A është i vërtet funksionni i dhënë?
2 3 4 2 x x y Q= ⋅ + ⋅ ⋅Që një funksion të jetë biharmonik duhet që derivati i katërt të jetë zero. 0 4 = ∇ Q (2-1) 0 2 4 4 2 2 4 4 4 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ y Q y x Q x Q (2-2) 0 + 0 + 0 = 0 Funksioni është biharmonik, pra i vërtetë.
II.
Përcaktimi i sforcimeve për një pikë të cfarëdoshme u
(x,y).
a) Sforcimet e kryesore.
Varianti α β λ =a /b
y y x Q x x Q x y Q xy yy xx 8 12 8 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = σ σ σ
Atëhere tenzori i sforcimeve do të jetë:
yx xx T σ σ σ = yy xy σ σ = y x 8 8 x y 12 8 dhe në formë vektoriale do të ishte: = y x x T 8 12 8 σ b) Deformimet.
Nga ligji i përgjithshëm i Huku-t do të kemi:
) 1 ( 2 µ σ γ σ µ σ ε σ µ σ ε + = − = − = E E E E E xy xx yy yy xx xx (2-3)
Duke bërë zëvendësimet në formulën (2-3) dhe duke patur parasysh që, koficenti i Pausonit dhe moduli i elasticitetit janë përkatësisht
µ = 0.25, E = 2 * 10 5 (N/mm2) deformimet do të jenë: ) 1 ( 16 ) 1 ( 2 8 ) 8 12 ( 8 12 ) 12 8 ( 12 8 µ µ γ µ µ ε µ µ ε + = + = ⋅ − = − = ⋅ − = − = E y E y x E E x E x x E E x E x xy yy xx
c) Zhvendosjet. y v x u E y x f y x E v dy E x v y v E x y f x E u y f x E u dx E x u x u x E xy yy xx ∂ ∂ + ∂ ∂ = + = + ⋅ ⋅ − = ⇒ − = ⇒ ∂ ∂ = − = + ⋅ − = ⇔ + ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ ∂ ∂ = ⋅ ⋅ − =
∫
∫
) 1 ( 16 ) ( ) 8 12 ( ) 8 12 ( ) 8 12 ( ) ( ) 6 4 ( ) ( ) 12 8 ( 2 1 ) 12 8 ( ) 12 8 ( 2 1 1 µ γ µ µ µ ε µ µ µ µ εDuke derivuarë funksionet përkatëse të zhvendosjeve do të marim:
+ − = ∂ ∂ + = ∂ ∂ ) ( ) 8 12 ( ) ( 0 ' 2 ' 1 x f y E x v y f y u µ 0 ) ( ) 8 12 ( ) ( ' 2 ' 1 = + − + = ∂ ∂ + ∂ ∂ = y f x E y f x v y u xy µ γ
• Gjejmë kostantet f1 dhe f2
Zëvendësojmë: )] ( ) 8 12 ( ' 2 x f y E A= − µ +
(
)
2 2 2 2 2 1 1 1 1 12 8 8 12 8 12 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( α µ α µ µ α + − − = + + − = ⇒ − + = ⇒ = + − = ⇒ − = ⇒ − = E xy Ax xy E xy E Ax f dx y E y E A x df A dx x df Ay y f Ady y df A dy y dfPër të gjetur kostantet marim x dhe y si më poshtë:
0 =
Pra koficentët α1 dhe α2 janë të barabartë me zero. 0 ) 8 12 ( = − + = ∂ ∂ y E A x v A µ
A = 0 , siç shihet edhe kostantia “A” është e barabartë me zero.
Trajta përfundimtare e funksionit të zhvendosjes është:
xy E v x E u ) 8 12 ( ) 6 4 ( µ µ − = − =
I.
Forcat që veprojnë në konture.
y
M6 M5 M4 M3
M7 M2 x
Pika M1 − = = 20 y x x = xy xx T σ σ σ − − = x x yy xy 12 80 80 8 σ σ − − = x x p p y x 12 80 80 8 = = ⇒ = − 12 ( ) ) ( 80 12 80 1 0 N x p N p x y x Pika M2 − = = y y x 40 − − = 480 8 8 320 y y Tσ − − = 480 8 8 320 y y p p y x − = = ⇒ − = ) ( 8 ) ( 320 8 320 0 1 N y p N p y y x Pika M3 = = y y x 40 = y T 8 320 σ 480 8y
= y p p y x 8 320 480 8y = = ⇒ = ) ( 8 ) ( 320 8 320 0 1 N y p N p y y x Pika M4 = = 20 y x x = 80 8x Tσ x 12 80 = 80 8x p p y x x 12 80 = = ⇒ = ) ( 12 ) ( 80 12 80 1 0 N x p N p x y x Pika M5 = − = 20 y x x − − = x x T 12 80 80 8 σ − − = x x p p y x 12 80 80 8 − = = ⇒ − = ) ( 12 ) ( 80 12 80 1 0 N x p N p x y x Pika M6 = − = y y x 40
− − = 480 8 8 320 y y Tσ − − = 480 8 8 320 y y p p y x − = = ⇒ − = − ) ( 8 ) ( 320 8 320 0 1 N y p N p y y x Pika M7 − = − = y y x 40 − − − − = 480 8 8 320 y y Tσ − − − − = 480 8 8 320 y y p p y x = = ⇒ = − ) ( 8 ) ( 320 8 320 0 1 N y p N p y y x Pika M8 − = − = 20 y x x − − = 480 8 8 320 y y Tσ − − − − = x x p p y x 12 80 80 8 = = ⇒ = − 12 ( ) ) ( 80 12 80 1 0 N x p N p x y x
II.
Përcaktimi i pikave:
u = 0, v = 0, 0 = ∂ ∂ y u , 0 = ∂ ∂ x v . y x Pika O i plotëson që të gjitha kushtet e shtruara më lartë. u = 0, v = 0,0 = ∂ ∂ y u , 0 = ∂ ∂ x v .
