Theory of destruction of orthotropic materials as the solidified pitch residues in railway tank boilers
Full text
(2) визначається напруженнями σ x , σ y та σ z . Згідно закону Гука пружні деформації матимуть вигляд [2]:. ⎫ σy σx σ − µ xy − µ xz z ; ⎪ Ex Ey Ez ⎪ ⎪ σx σ y σz ⎪ ;⎬ ε y = −µ yx + − µ yz Ex E y Ez ⎪ σ y σz ⎪ σ ε z = −µ zx x − µ zy + .⎪ Ex E y Ez ⎪⎭. εx =. (1). ⎛ σ 2 σ2y σ2z ⎞ σ x σ y σ yσz σσ U xyz = 0,5 ⋅ ⎜ x + + µ xy − x z µ xz − µ yz ; ⎟− ⎜ Ex E y Ez ⎟ E E E y z z ⎝ ⎠. (2a). U xzy. ⎛ σ2x σ2y σ2z ⎞ σ x σ z σxσ y σzσ y = 0,5 ⋅ ⎜ + + µ xz − µ xy − µ zy ; ⎟− ⎜ Ex E y Ez ⎟ Ez Ey Ey ⎝ ⎠. (2b). U yxz. ⎛ σ2x σ2y σ2z ⎞ σ y σ x σ yσz σσ = 0,5 ⋅ ⎜ + + µ yx − µ yz − x z µ xz ; ⎟− ⎜ Ex E y Ez ⎟ Ex Ez Ez ⎝ ⎠. (2c). ⎛ σ2 σ2y σ2z ⎞ σ y σ z σ yσx σσ U yzx = 0,5 ⋅ ⎜ x + + µ yz − µ yx − z x µ zx ; ⎟− ⎜ Ex E y Ez ⎟ Ez Ex Ex ⎝ ⎠. (2d). ⎛ σ 2 σ2y σ2z ⎞ σ z σ x σzσ y σxσ y U zxy = 0,5 ⋅ ⎜ x + + µ zx − µ zy − µ xy ; ⎟− ⎜ Ex E y Ez ⎟ E E E x y y ⎝ ⎠. (2e). ⎛ σ2x σ 2y σ2z ⎞ σ z σ y σ yσx σσ = 0,5 ⋅ ⎜ + + µ zy − z x µ zx − µ yx . ⎟− ⎜ Ex E y Ez ⎟ Ey Ex Ex ⎝ ⎠. (2f). U zyx. Оскільки всі енергії в лівій частині рівнянь (2) є рівними, шість величин, які далі будуть наведені, також повинні бути рівними µ xy. +. Ey. µ yz. µ xz + ; Ez Ez. µ xy. µ zy. µ xz + + ; Ez E y E y. µ yx. µ yz. µ + + xz ; Ex Ez Ez. µ yz. µ yx. µ zy Ey. +. µ zx µ yx + . Ex Ex. µ zy. (4а) (4b). (3b). µ xz µ zx = ; Ez Ex. µ xy (3c). (3e). Ex. =. ;. µ zx µ zy µ xy ; + + Ex E y E y. Ez. µ yz Ez. (3d). +. Для цього необхідно, щоб:. (3а). µ zx ; Ex. +. де Е – модуль поздовжньої пружності (модуль Юнга); µ – коефіцієнт Пуассона. Необхідно визначити дев’ять пружних сталих матеріалу, тобто шість коефіцієнтів µ та три Е. У пружному випадку запас пружної енергії не повинен залежати від порядку прикладення напружень. Отримуємо шість рівнянь:. Ey. =. Ey. µ yx Ex. .. (4c). Це означає, що дев’ять пружних сталих не є незалежними. Достатньо шести незалежних констант матеріалу, як можна очікувати із того факту, що кожне рівняння енергії (2) має лише шість констант. Далі, розв’язуємо рівняння (4) відносно трьох коефіцієнтів Пуассона:. (3f). 65.
(3) µ yx = µ zx =. µ zy =. Ex µ xy ; Ey. (5а). ∆V = ε x + ε y + ε z .. Ex µ xz ; Ez. (5b). Такі ж зміни об’єму можна досягнути при напруженнях σ*x , σ*y та σ*z без зміни форми,. Ey Ez. µ yz .. (5c). Із рівняння (1), застосовуючи (5), отримуємо деформації:. σy σ σ ε x = x − µ xy − µ xz z ; Ex Ey Ez σy σ σ ε y = −µ xy x + − µ yz z ; Ey Ey Ez σ y σz σ ε z = −µ xz x − µ yz + . Ez Ez Ez. (7). якщо напруження, відмічені зірочками, вибрані так, що викликані ними деформації ε* у трьох напрямках є однаковими:. ε* =. εx + ε y + εz 3. .. (8). (6а). Система напружень із зірочкою визначається наступними рівняннями:. (6b). σ*y σ*x σ* ε = − µ xy − µ xz z ; Ex Ey Ez *. (9а). * σ*x σ y σ* + − µ yz z ; Ey Ey Ez. (9b). σ*y σ*z σ*x ε = −µ xz − µ yz + . Ez Ez Ez. (9c). ε* = −µ xy (6c) *. Енергію викривлення форми можна визначити, відокремлюючи від загальної енергії деформування ту частину, яка пов’язана лише із зміною об’єму наведеного на рис. 1 кубічного елемента матеріалу. Зміна об’єму від впливу напружень σ x , σ y та σ z , якщо знехтувати чле-. Енергія, яка пов’язана із зміною об’єму, становитиме:. нами другого порядку, матиме наступний вигляд. Розв’язуючи рівняння (9) відносно напружень із зірочкою, одержуємо:. ). (10). ⎛ 1 µ 2yz µ zy µ xz µ yz µ xy µ yz µ xz ⎞ − + + + + ⎜ ⎟ ⎜E Ez E y Ez Ey E y ⎟⎠ * * ⎝ y σx = ε ; ⎛ 1 µ 2yz µ 2xy 2µ xy µ xz µ yz µ 2xz ⎞ − − − − ⎜ ⎟ ⎜ Ex E y Ex Ez E y2 E y Ez E y Ez ⎟⎠ ⎝. (11a). ⎛ 1 µ 2xz µ xy µ xz µ yz µ xy µ xz µ yz ⎞ − + + + + ⎜⎜ ⎟ E Ez E y Ez Ey Ex ⎟⎠ * *⎝ x σy = ε ; ⎛ 1 µ 2yz µ 2xy 2µ xy µ xz µ 2xz ⎞ − − − − ⎜ ⎟ ⎜ Ex E y Ex E z E y2 E y Ez E y Ez ⎟⎠ ⎝. (11b). ⎛ Ez Ez µ 2xy µ xz µ xy µ xz µ xy µ yz µ yz ⎞ − + + + + ⎜ ⎟ ⎜E E Ey Ey Ey Ex ⎟⎠ E y2 * *⎝ x y σz = ε . ⎛ 1 µ 2yz µ 2xy µ xy µ xz µ yz µ 2xz ⎞ − − −2 − ⎜ ⎟ ⎜ Ex E y Ex Ez E y2 ⎟ E E E E y z y z ⎝ ⎠. (11c). Додаємо між собою всі рівняння системи (11):. 66. (. U ∆V = 0,5 ⋅ σ*x + σ*y + σ*z ⋅ ε* ..
(4) ⎡ 1 ⎤ µ 2yz µ 2xz E 1 ⎢ + + z − − − ⎥ ⎢ Ex E y Ex E y Ez Ez ⎥ ⎢ ⎥ ⎛ µ yz µ xz µ xy ⎞ ⎥ * ⎢ Ez ⎢ − E 2 µ xy + 2 ⋅ ⎜⎜ E + E + E ⎟⎟ + ⎥ ⋅ ε y y ⎠ ⎥ ⎝ x ⎢ y ⎢ ⎛ ⎞ ⎥ ⎢ +2 ⋅ ⎜ µ xy µ yz + µ xy µ xz + µ xz µ yz ⎟ ⎥ ⎜ Ey ⎢ Ey Ez ⎟⎠ ⎥⎦ ⎝ σ*x + σ*y + σ*z = ⎣ . ⎡ 1 µ 2yz µ 2xy ⎤ − − 2 −⎥ ⎢ ⎢ Ex E y Ex Ez E y ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ −2 µ xy µ xz µ yz − µ xz ⎥ ⎢ E y Ez E y Ez ⎦⎥ ⎣. (12). Деформацію ε* визначаємо із залежностей (8) і (6): ⎡ ⎛ 1 µ xy µ xz ⎞ ⎤ − − ⎢ +σ x ⋅ ⎜ ⎥ ⎜ Ex E y Ez ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎛ 1 µ xy µ yz ⎞ ⎥ ⎢ * ε = (1/ 3) ⋅ ⎢ +σ y ⋅ ⎜ − − . ⎜ E y E y E y ⎟⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎥ ⎢ ⎢ ⎥ µ ⎢ +σ z ⋅ ⎛⎜ 1 − µ xz − yz ⎞⎟ ⎥ ⎢ ⎝ E z E z Ez ⎠ ⎥⎦ ⎣. (13). Для енергії зміни об’єму із рівнянь (10), (12) і (13) одержуємо: 2. U ∆V. ⎡ ⎛ 1 µ xy µ xz ⎞ ⎤ ⎡ 1 µ 2yz µ 2xz ⎤ E 1 − − ⎥ ⎢ +σ x ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢ + + z − − ⎥ ⎢ ⎝ Ex E y Ez ⎠ ⎥ ⎢ Ex E y Ex E y Ez Ez ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎛ 1 µ xy µ yz ⎞ ⎥ ⎢ Ez ⎛ µ yz µ xz µ xy ⎞ ⎥ ⎢ ⎢ +σ y ⋅ ⎜⎜ E − E − E ⎟⎟ ⎥ × ⎢ − E µ xy + 2 ⋅ ⎜⎜ E + E + E ⎟⎟ ⎥ y z ⎠⎥ y y ⎠⎥ ⎝ y ⎝ x ⎢ y ⎢ ⎢ µ ⎞⎥ ⎢ ⎛ ⎞⎥ ⎛ ⎢ +σ z ⋅ ⎜ 1 − µ zx − yz ⎟ ⎥ ⎢ +2 ⋅ ⎜ µ xy µ yz + µ xy µ xz + µ xz µ yz ⎟ ⎥ ⎜ Ey ⎢ Ey Ez ⎟⎠ ⎥⎦ ⎝ Ez Ez E x ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎣ . = ⎡ 1 µ 2yz µ 2xy ⎤ − − 2 ⎥ ⎢ ⎢ Ex E y Ex Ez E y ⎥ 18 ⋅ ⎢ 2 ⎥ ⎢ −2 ⋅ µ xy µ xz µ yz − µ xz ⎥ ⎢ E y Ex E y E z ⎥⎦ ⎣. (14). Тоді енергію викручування форми отримаємо, віднімаючи вираз (14) із залежності (2а):. 67.
(5) 2. ⎡ ⎛ 1 µ xy µ ⎞ ⎤ ⎡ 1 µ 2yz µ 2xz ⎤ Ez 1 xz 2 ⎡ − − ⎛ σ x ⎞ ⎤ ⎢ σ x ⎜⎜ ⎥ + − − ⎟ ⎥ ⎢ + ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ Ex E y Ez ⎟⎠ ⎥ ⎢ Ex E y Ex E y Ez Ez ⎥ ⎢ ⎜ Ex ⎟⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎛ 1 µ xy µ yz ⎞ ⎥ ⎢ E z ⎛ µ yz µ xz µ xy ⎞ ⎥ ⎢ ⎜ σ2 ⎟ ⎥ ⎢ ⎢ 0,5 ⋅ ⎜ + y ⎟ ⎥ ⎢ +σ y ⎜⎜ E − E − E ⎟⎟ ⎥ × ⎢ − 2 µ xy + 2 ⋅ ⎜⎜ E + E + E ⎟⎟ ⎥ E y z ⎠⎥ y y ⎠⎥ ⎝ y ⎝ x ⎢ ⎜ Ey ⎟⎥ ⎢ ⎢ y ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎥ ⎢ µ ⎞ ⎛ ⎞⎥ ⎛ ⎢ ⎜ σ2z ⎟ ⎥ ⎢ +σ z ⎜ 1 − µ xz − yz ⎟ ⎥ ⎢ +2 ⋅ ⎜ µ xy µ yz + µ xy µ xz + µ xz µ yz ⎟ ⎥ ⎜ Ey ⎢ ⎜ + E ⎟⎥ ⎢ Ey Ez ⎟⎠ ⎥⎦ ⎝ Ez Ez Ez ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎣ z ⎠⎥ ⎝ ⎢ . U ВИКР.Ф. = − ⎢ σσ ⎥ ⎡ 1 µ 2yz µ 2xy ⎤ x y − − 2 ⎥ ⎢− ⎢ µ xy ⎥ ⎢ Ey ⎥ ⎢ Ex E y Ex Ez E y ⎥ 18 ⋅ ⎢ ⎢ ⎥ 2 ⎥ ⎢ − σ xz µ ⎥ ⎢ −2 µ xy µ xz µ yz − µ xz ⎥ ⎢ Ez xz ⎥ ⎢ E y Ez E y Ez ⎦⎥ ⎣ ⎢ ⎥ ⎢ σ yσz ⎥ ⎢− E ⎥ ⎣ ⎦ z Представлений авторами метод визначення умов руйнування ґрунтується на припущенні, що гранична величина енергії формо змінення є постійною при всіх комбінаціях напружень σ x , σ y та σ z . Для застосування критерію руйнування необхідно мати шість пружних констант і одне значення границі міцності при простому розтягу, яке дозволяє визначити величину граничної енергії. Рівняння (15) приводиться до звичайного виразу енергетичної теорії міцності ізотропних матеріалів, якщо припускати, що: Ex = Ey = Ez = E; µ xy = µ xz = µ yz = µ;. (. ). ⎡ σ −σ 2 + ⎤ y ⎢ x ⎥ 1+ µ ⎢ 2 ⎥ U ВИКР.Ф. = ⋅ + (σx − σz ) +⎥ . 6E ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎢⎣ + σ y − σ z ⎥⎦. (. (16). ). Хоча на початку даної роботи було констатовано, що пек можна віднести до ортотропних матеріалів, все ж таке твердження є суперечливим і не остаточним, оскільки за своєю природою даний матеріал має низку розбіжностей у своїй характеристиці, що ставить під сумнів поставлене нами остаточне твердження. Із ряду технічних причин досить важко чітко визначитись із характеристикою даного ізотропного. 68. (15). матеріалу, тому з метою створення «універсальності» запропонованої теорії, автори розглядають її і для напівортотропного матеріалу. Застосування теорії руйнування для напівортотропного матеріалу. В якості прикладу практичного застосовування виразу (15) розглянемо матеріал з однаковими властивостями у двох напрямах і відмінними у третьому. Припускаємо далі, що напруження є також однаковими у цих двох напрямах і відрізняються в третьому напрямі. Такі умови можуть існувати у посудинах сферичної форми, до яких можна віднести і корпус залізничної цистерни. Нехай S τ - границя міцності в тангенціальному напрямі при одновісному напруженні στ = σ x = σ y ; σr = σ z ; Eτ = Ex = E y ; Er = Ez; α = µ xy ; β = µ xz = µ yz . Граничну величину енергії викривлення форми визначаємо із рівняння (15), припускаючи,що σ x = S τ та σ y = σ z = 0 :.
(6) 2 ⎧ ⎡ ⎤⎫ Eτ ⎤ ⎡ Eτ ⎪ 1 1 2 1 2 − α − β ⋅ − α + ⋅ + β ( ) ( ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ Er ⎦ ⎣ Er Sτ2 ⎪ ⎣ ⎦⎪. ⋅ ⎨1 − U ГРАНИЧ . = ⎬ 2 Er ⎪ ⎛ ⎞ E ⎪ 9 ⋅ ⎜ 1 − α − 2β2 τ ⎟ ⎪ ⎪ E ⎝ r ⎠ ⎩ ⎭ Енергію викривлювання для напівортотропного σr = σ z також отримуємо із виразу (15): матеріалу при στ = σ x = σ y та. 2 ⎧ ⎫ ⎛ σr ⎞ Er ⎛σ ⎞E ⎪+2 ⋅ (1 + α ) + ⎜ ⎟ ⎪ − 4β ⋅ ⎜ r ⎟ τ ⎪ ⎪ ⎝ στ ⎠ Eτ ⎝ στ ⎠ Er ⎪ ⎪ 2 στ2 ⎪ ⎡ ⎛ ⎪ ⎤ ⎛ ⎞ ⎞ ⎡ ⎤ E E E σ U ВИКР.Ф. = ⎨ ⎢ 2 ⋅ ⎜1 − α − β τ ⎟ + (1 − 2β ) ⋅ ⎜ r ⎟ τ ⎥ ⋅ ⎢(1 − α ) τ + 2 ⋅ (1 + 2β ) ⎥ ⎬ . 2 Eτ ⎪ Er ⎠ Er ⎦⎪ ⎝ στ ⎠ Er ⎦ ⎣ ⎣ ⎝ ⎪− ⎪ ⎛ 2 Eτ ⎞ ⎪ ⎪ 9 ⋅ ⎜ 1 − α − 2β ⎟ ⎪ ⎪ E r ⎠ ⎝ ⎩ ⎭. Прирівнюючи значення енергії викривлення форми, згідно виразу (18), і граничну енергію з. (17). (18). виразу (17), отримуємо вираз для розрахунку шуканої величини напруження руйнування: 2. σруйнув. = Sτ ⋅ τ. ⎛ ⎤ Eτ ⎞ ⎡ Eτ ⎜ 1 − α − β ⎟ ⋅ ⎢(1 − α ) + 2 ⋅ (1 + 2β ) ⎥ Er ⎠ ⎣ Er ⎦ 1− ⎝ ⎛ E ⎞ 9 ⋅ ⎜1 − α − 2β2 τ ⎟ Er ⎠ ⎝ ⎡ ⎤ 2 ⎢ +2 ⋅ (1 − α ) ⎥ ⎡ ⎛ ⎤ Eτ ⎞ Eτ σr Eτ ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⋅ ⎜1 − α − β ⎟ + (1 − 2β ) ⎥ ⋅ ⎢(1 − α ) + 2 ⋅ (1 + 2β ) ⎥ 2 ⎢ ⎛ σr ⎞ Eτ ⎥ ⎣ ⎝ στ Er ⎦ ⎣ Er ⎠ Er ⎦ ⎢+ ⎜ ⎟ ⎥− σ E ⎛ ⎞ E ⎢ ⎝ τ⎠ r⎥ 9 ⋅ ⎜ 1 − α − 2β2 τ ⎟ ⎢ ⎥ Er ⎠ σ E ⎝ ⎢ −4 ⋅β r τ ⎥ σ τ Er ⎦⎥ ⎣⎢ Висновок. У представленому дослідженні отриманий вираз для енергії формозмінення, знехтувавши в загальній енергії деформування ту частину, яка пов’язана з однаковою зміною об’єму при відсутності явища викривлення форми. Із наведеного матеріалу видно, що руйнування відповідає досягненню границі пружності, коли зсув у деякій точці кристалографічної площини переходить границю лінійної відповідності між напруженням і деформацією. Припускається, що гранична величина енергії викривлення форми, яка описується рівнянням (15), є сталою при всіх комбінаціях σ x , σ y та σ z де застосовується дев’ять пружних сталих матеріалу, хоча традиційно прийнято вважати, що для визначення величини граничної енергії викривлення форми необхідно лише шість пружних ста-. (19). лих матеріалу і одну границю текучості. Автори вважають, що прийняті допущення сприяють полегшенню у проведенні розрахунків і нададуть можливість запропонованій теорії руйнування ортотропних матеріалів бути більш доступною при практичному застосовуванні. БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК 1.. 2.. Висновок № 2141/2385 комплексної залізнично-транспортної та хімічної експертизи за позовом Державного територіально-галузевого об’єднання «Львівська залізниця» від 26.10.2011, м. Львів [Текст]. Фесик, С. П. Справочник по сопротивлению материалов [Текст] / С. П. Фесик. – 2-е изд. – К.: Будівельник, 1982. – 280 с.. Надійшла до редколегії 08.12.2011. Прийнята до друку 14.12.2011.. © А. Я. Куліченко, А. Р. Мілянич, 2012. 69.
(7) А. Я. КУЛИЧЕНКО, А. Р. МИЛЯНИЧ. ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ ОРТОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ В ВИДЕ ОСТАТКОВ ЗАСТЫВШЕГО ПЕКА В КОТЛАХ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ЦИСТЕРН Для определения условий разрушения изотропных материалов при трехосном напряженном состоянии предложено большее количество критериев и предположено, что для определения условий разрушения ортотропных материалов можно применять энергию формоизменения. Ключевые слова: пек, разрушение, материал, напряжение, деформация, коэффициент, форма, энергия. A. Ya. KULICHENKO, A. R. MILYANYCH. THEORY OF DESTRUCTION OF ORTHOTROPIC MATERIALS AS THE SOLIDIFIED PITCH RESIDUES IN RAILWAY TANK BOILERS To determine the conditions of destructing isotropic materials under triaxial stress state more criteria are proposed and it is suggested that for determining the conditions of destructing orthotropic materials the distortion energy can be used. Keywords: pitch, destruction, material, stress, strain, factor, form, energy. © А. Я. Куліченко, А. Р. Мілянич, 2012. 70.
(8)
Related documents
Extended conjugation leads to a decrease in the energy difference between the HOMO and LUMO orbitals, which results in red or bathochromic shift (to longer
No: “Significant at α = 0.01” does mean that the null hypothesis is unlikely, but only in the sense that the evidence (from the sample) would not occur very often if H 0 were
For entries on or above the diagonal, z i,j σ keeps track of whether or not i and j are inverted in σ, and if they are not inverted, z σ i,j takes on the value of the total number
At this point, I’ve officially established myself as a prize in her eyes, so it’s now safe to “take” away my affection from her just a little.. I do so by slightly turning my
Then there exists Δ e ^ such that t o ^Σ^ if and only if there exists an orbit Φ[σ~] of type (D) such that either X to is not smooth in a point situated in Φ[σ], or X to is smooth
– Large jet suppression and charm quark suppression Î High gluon densities in partonic state. • General consensus in the field: The Quark-Gluon Plasma has been identified, but
– No suppression of hadrons in p+p or photons in all collisions Î pQCD works – Strong suppression of hadrons (jet quenching) at high p T Î energy loss in.
The reason for choosing C as roughly the square of the initial upper bounds is that the distance from a random point to a random 2-dimensional lattice can be expected to be roughly