Méthodes intrinsèques pour le contrôle et l'optimisation des coques minces

(1)

Huitiemes Entretiens du Centre Jacques Cartier URL:http://www.emath.fr/proc/Vol.2/

METHODES INTRINSEQUES

POUR LE CONTR^OLE ET L'OPTIMISATION

DES COQUES MINCES

MICHEL C. DELFOUR

Abstract. Cet article fait le tour d'un certain nombre de resultats re-cents sur une approche intrinseque de la modelisation des coques minces en vue du contr^ole et de l'optimisation de forme. Elle est basee sur le mariage de la fonction distance orientee ou algebrique et du calcul dif-ferentiel tangentiel qui sert a exprimer les notions de geometrie et de calcul dierentiel sur une sous-variete deR

N.

Mots-cles:

geometrie intrinseque, coques minces, contr^ole, optimisation de forme.

Classication mathematique:

AMS 73K15, 73K12, 49Q, 73O62.

1. Introduction

La theorie des coques minces est un sujet classique fort bien couvert dans de nombreux ouvrages. Par exemple le lecteur peut se reporter a 4, 6, 36, 51, 73, 74], mais ceci ne constitue pas une liste exhaustive. La recherche dans ce domaine est presentement stimulee par un certain nom-bre de questions provenant d'applications au contr^ole et a la conception des grandes structures spatiales, des robots exibles, des materiaux composites, etc, ou des modeles intrinseques et mathematiquement plus faciles a manip-uler seraient fort utiles.

L'objectif de cet article est de faire le tour d'un certain nombre de re-sultats recents sur une approche intrinseque de la modelisation des coques minces en vue du contr^ole et de l'optimisation de forme. Elle est basee sur le mariage de la fonction distance orientee ou algebrique et du calcul dierentiel tangentiel qui sert a exprimer les notions de geometrie et de cal-cul dierentiel sur une sous-variete de R

N necessaires en theorie des coques

minces. Ici les derivees tangentielles sont introduites a partir d'un prolonge-ment dans un voisinage de la sous-variete. Parmi tous les prolongeprolonge-ments celui obtenu par composition avec la projection sur la sous-variete est parti-culierement avantageux car la projection s'exprime explicitement en termes du gradient du carre de la fonction distance orientee. Cette approche per-met de developper et de reecrire des modeles de coques minces en termes d'operateurs dierentiels intrinseques naturels et faciles a manipuler. En fait la recherche de formulations intrinseques independantes de toute para-metrisation ou bases locales n'est pas nouvelle. Elle est d'un inter^et central en geometrie et remonte au moins a Riemann. On retrouve ce point de vue fondamental et important par exemple dans les travaux de R. Valid 73, 74] et P. Germain 46].

Notre inter^et pour les coques remonte aux travaux conjoints (25, 24, 30]) avec J.P. Zolesio presentes en juin 1992 (IFIP Workshop, Sophia-Antipolis, France) sur l'utilisation de la fonction distance pour generer des topologies sur des classes d'equivalence d'ensembles, donner un sens a la continuite des

(2)

fonctionnelles de forme et caracteriser les familles compactes d'ensembles, an d'obtenir de nouvelles formulations des problemes et des resultats d'ex-istence. Ces travaux ainsi que d'autres par les specialistes des equations geometriques (48]) revelent que la fonction distance orientee ou algebrique permet de decrire les proprietes nes d'un ensemble et de sa frontiere.

Pour illustrer ces proprietes un premier modele lineaire rudimentaire 26] fut presente par J.P. Zolesio a un \IMA Workshop" en novembre 1992 (Min-neapolis, Etats-Unis) suivi d'une version plus elaboree (27]) ou le vecteur de deplacement et le tenseur linearise des contraintes sont approches par des polyn^omes du premier ordre dans la variable normale a la surface moyenne : un modele de type

P

(1

1), ou

P

(

k`

) indique une approximation polyn^omi-ale d'ordre

k

0 pour le vecteur de deplacement et d'ordre

`

0 pour le

tenseur linearise des deformations.

Pour des raisons techniques nous sommes passes a un modele de type

P

(1

2) dans 28]. Son avantage principal est que toute la theorie statique et dynamique se fait de facon intrinseque sans jamais revenir a des parametri-sations locales. Il preserve de facon naturelle les mouvements rigides ap-proches, il donne des inegalites de Korn et Poincare globales. Tout se fait a partir des premiers principes sans reference aux modeles existants qui utilisent le calcul covariant/contravariant, les bases locales et les symboles de Christoel.

Il devint donc desirable de pouvoir comparer ces modeles avec ceux de Naghdi et de Koiter et de trouver des correspondances explicites entre les operateurs dierentiels tangentiels intrinseques et ceux du calcul co-variant/contravariant. L'autre question qui se posait etait de savoir s'il etait possible d'etendre les resultats du modeles

P

(1

2) au modele

P

(1

1) beaucoup plus repandu. Ces questions techniques recurent des reponses positives dans 29] en poussant plus a fond la partie geometrie dierentielle et en traduisant systematiquement en langage intrinseque plusieurs resul-tats. Comme pour le modele

P

(1

2) on preserve les mouvements rigides approches.

Il restait un point important a verier pour valider ces modeles. Y avait-il convergence vers les modeles asymptotiques reconnus et plus particuliere-ment le modele de coque membranaire avec les bons coecients? Ici encore la reponse est positive. Sous des hypotheses tres faibles sur le membre de droite du modele

P

(1

1), on obtient dans 33] la convergence des solutions (dans les espaces quotient associes aux operateurs et aux conditions aux lim-ites) vers celles du modele asymptotique

P

(1

0) qui donne a la fois l'equation de la coque membranaire avec les bons coecients et la condition de Love-Kirchho. Les modeles non-lineaires du type

P

(1

2) ont aussi ete abordes dans ce cadre dans 75] et 23].

Un premier eort de synthese pour regrouper tous ces resultats dans un m^eme cadre a ete fait dans 34] sous forme de notes de cours. Nous esperons que malgre leurs lacunes elles permettront de gagner des adeptes et de servir de point de depart a des applications plus ambitieuses. C'est un peu pour cela que nous ne nous sommes pas limites a la dimension 3, mais que nous avons tout fait en dimension

N

. Se limiter a la dimension

N

=3 ne simplie en rien la theorie des coques minces.

(3)

resultats annonces dans cet article. Nous avons fait un eort pour regrouper la majoritedes articles pertinents dans la liste de references, mais, etant neo-phytes dans le domaine des plaques et des coques, il y a probablement des omissions involontaires. Nous nous en excusons.

Notations. Le produit scalaire dans R N sera

x

y

= N

X

i=1

x

i

y

i

j

x

j= p

x

x:

On ecrira

v

et

A

les transposes d'un vecteur

v

et d'une matrice

A

!

A

;1 et

A

;1seront les inverses de

A

et de

A

. On associe aussi a une transformation

lineaire

A

:R N

!R

K la norme

j

A

j= max jxj

R N

1 j

Ax

j

R K

et si

A

ij and

B

ij sont les elements de la representation matricielle de

A

et

B

par rapport a des bases donnees f

a

1

:::a

N

g et f

b

1

:::b

K

g le produit

scalaire double est deni comme

A

B

= N

X

i=1 K

X

j=1

A

ij

B

ij

:

La norme j

A

jest equivalente a la norme p

A

.

2. Quelques notions de geometrie differentielle

Une coque mince est caracterisee par un domaine borne ouvert

!

dans une sous-variete ; qui est (au moins localement) la frontiere d'un domaine # de classe

C

11dans

R

N (en pratique

N

=3). On associe a # la fonction

distance

d

et la fonction distance orientee

b

d

(

x

) def

=inf

y 2

j

y

;

x

j

b

(

x

)

def

=

d

(

x

) ;

d

R N

;(

x

)

8

x

2R N

:

(1) On suppose desormais ; def

=

@

#. On a la propriete remarquable suivante : pour

k

1

# est de classe

C

k 1 ()

9un voisinage

N

(;) de ;

tel que

b

2

C

k 1

(

N

(;))

:

Le gradient r

b

co$%ncide avec la normale exterieure unitaire

n

sur ;. La

projection

p

;sur ; et la projection orthonormale

P

;sur le plan tangent

T

x;

sont donnees par

p

;(

x

) =

x

;

b

(

x

) r

b

(

x

)

P

;(

x

) =

I

;r

b

(

x

)

r

b

(

x

)

:

Pour

b

2

C

11(

N

(;)), les elements de

D

2

b

appartiennent a

W

11(

N

(;))

et les valeurs propres de

D

2

b

sont les (

N

;1) courbures principales f

g

de ; plus 0. De la, la courbure moyenne (au facteur multiplicatif (

N

;1)

pres) et la courbure de Gauss sont donnees par

H

=N;1

X

=1

= &

b

et

K

= N;1

Y

=1

:

Puisque

!

est compact il existe

h >

0 tel que

b

2

C

11(

S

h(

!

)) ou

S

h(

!

) def

= f

x

2R N :

j

b

(

x

)

j

< h p

;(

x

)

(4)

Lorsque

!

=;, la coque n'a pas de frontiere ! sinon, on designe par la frontiere de

!

dans ; et par

'h( ) def

= f

x

2R N :

j

b

(

x

)

j

< h p

;(

x

)

2 g (3)

la frontiere laterale de

S

h(

!

). On associe aussi a 0

'h( 0) def

= f

x

2R N

: j

b

(

x

)

j

< h p

;(

x

)

2

0

g

:

(4)

La regularite de est speciee par la regularite de 'h( ) dans un voisinage

de . Par exemple, est lipschitzienne ou

C

k (resp. possede la condition de

c^one uniforme) si 'h( ) est lipschitzienne ou

C

k (resp. possede la condition

de c^one uniforme) dans un voisinage de . Une autre propriete importante lorsque

b

2

C

11(

S

h(

!

)) est que l'application

(

Xz

)7!

T

(

Xz

) def

=

X

+

z

r

b

(

X

) :

!

];

hh

!

S

h(

!

) (5)

et son inverse

T

;1(

x

) = (

p

;(

x

)

b

(

x

)) sont toutes deux lipschitziennes. On

utilisera aussi la notation

T

z(

X

) def

=

T

(

Xz

) =

X

+

z

r

b

(

X

)

:

Ceci induit un isomorphisme lineaire et continu

f

7!

f

T

:

L

2(

!

];

hh

)!

L

2(

S

h(

!

))

:

(6)

Le polyn^ome suivant interviendra dans le changement de variables le long des ensembles de niveau de

b

: pour tout

j

z

j

< h

,

X

2

!

, on denit

j

z(

X

) def

=det

DT

z(

X

) =det

I

+

z D

2

b

(

X

)] = N;1

X

i=0

i(

X

)

z

i

(7)

ou les fonctions

i(

X

) sont les coecients du polyn^ome en

z

.

Puisque maintenant # et ; seront xes, nous omettons les indices de

b

,

p

et

P

. Il y a plusieurs facons d'introduire les derivees dans ;. Par e-xemple les derivees covariantes/contravariantes par rapport a un systeme de bases locales associe a une carte ou encore l'utilisation d'une connexion riemanienne. An d'eviter le phenomene de parametrisation, il est plus naturel de choisir les derivees tangentielles qui sont l'objet intrinseque sous-jacent a toutes les notions de derivees dans ;. Le gradient tangentiel d'une fonction

f

:

!

!Rest deni via un prolongement

F

:

S

h(

!

)

!Rde

f

par

r

;

f

def

= r

F

; ;

@F

@n n:

Ce vecteur est independant du choix du prolongement. Parmi tous ces prolongements

F

=

f

p

est particulierement interessant puisque

r

;

f

=

r(

f

p

)j !

:

A l'aide de cette proprietele calcul dierentiel dans la sous-variete; s'obtient du calcul dierentiel habituel dans le voisinage

S

h(

!

) par restriction a ;.

Pour le cas

C

11 on peut alors denir l'espace de Sobolev

H

1

intrinseque-ment. De plus, l'isomorphisme (6) s'etend aux espaces

H

1

f

7!

f

T

:

H

1

(

!

];

hh

)!

H

1

(

S

h(

!

))

:

En particulier,

H

1(

!

];

hh

) =

H

1(

;

hh

!

L

2(

!

))

\

L

2(

;

hh

!

H

1(

!

)). Il

y a d'autres proprietes utiles comme

r(

f

p

) =

I

;

bD

2

b

]r ;

f

(5)

La matrice jacobienne tangentielle d'une fonction

v

:

!

!Rest donnee par

D

;(

v

) def

=

D

(

v

p

)

; ou (

D

;

v

)ij = ( r

;

v

i)j (8)

Si

v

= (

v

1

:::v

M), alors

D

;

v

= ( r

;

v

1

:::

r

;

v

M), ou r

;

v

i est un

vecteur colonne. On retrouve aussi

D

(

v

p

) =

D

;(

v

)

p

I

;

bD

2

b

]

D

(

v

p

)r

b

= 0 et

D

;(

v

)

n

= 0

:

(9)

De la m^eme facon, on a la divergence tangentielle div;

v

def

=div(

v

p

)

; (10)

et le tenseur linearise tangentiel des deformations

"

;(

v

) def

= 12(

D

;

v

+

D

;

v

) et

"

;(

v

) =

"

(

v

p

)

;

:

(11)

La matrice jacobienne tangentielle de la normale

n

est particuliere, puisque

n

p

=

n

=r

b

=r

b

p

et

b

p

=0. D'ou

D

;(

n

) =

D

;(

r

b

) =

D

2

b

; =

D

;( r

b

) =

D

;(

n

) (12)

et puisqu'elle est symetrique on a aussi

"

;(

n

) =

"

;(

r

b

) =

D

2

b

;

:

(13)

L'operateur de Laplace-Beltrami d'une function

f

devient &;

f

def

=div;( r

;

f

) = &(

f

p

)

;

:

(14)

Il est naturel d'introduire la matrice jacobienne tangentielle projetee et le tenseur linearise tangentiel des deformations projete

D

P ;(

v

)

def

=

PD

;(

v

)

P "

P

;(

v

) def

=

P"

;(

v

)

P:

(15)

Il est facile de verier que

D

P

;(

v

) =

PD

;(

v

)

"

P

;(

v

) = 12 ;

D

P ;(

v

) +

D

P ;(

v

)

(16)

D

;(

v

) =

D

P

;(

v

) +

n

;

D

;(

v

)

n

:

(17)

Il sera souvent utile de parler de la composante normale et de la partie tangente d'un vecteur

v

et d'utiliser la notation

v

n def

=

v

n v

;

def

=

v

;

v

n

=

Pv

On obtient alors les identites

D

P

;(

v

) =

D

P

;(

v

;) +

v

n

D

2

b

et

"

P

;(

v

) =

"

P

;(

v

;) +

v

n

D

2

b:

(6)

3. Developpement par rapport a la variable d'epaisseur

On utilisera trois jeux d'hypotheses. Soit

!

un domaine borne ouvert dans ;. Si

!

=;,

!

est sans frontiere ! sinon on suppose que est lipschitzi-enne. Dans les deux cas on utilisera l'espace

H

1(

S

h(

!

))

N. Le second cas

correspond a des conditions homogenes de Neumann. Pour les conditions homogenes de Dirichlet sur tout 'h( ), on utilisera

H

1

(

S

h(

!

))

N avec

H

1 (

S

h(

!

)) =

f

2

H

1

(

S

h(

!

)) :

f

=0 sur 'h( ) g

:

Enn, pour des conditions homogenes de Dirichlet sur une partie 0 du

bord de (

N

;1)-capacite non nulle, on supposera

!

connexe et on prendra

H

1

0(

S

h(

!

))

N avec

H

1

0(

S

h(

!

)) =

f

2

H

1

(

S

h(

!

)) :

f

=0 sur 'h( 0) g

:

Hypothese 3.1. On se xe une transformation lineaire bijective

C

qui transforme les matrices ou tenseurs symetriques

N

en matrices ou

tenseurs symetriques

N

. On suppose egalement l'existence d'un

>

0

tel que

C

;1

k

2 pour tous

.

Par exemple, si

>

0 and

0 sont les constantes de Lame

C

;1

= 2

+

tr

I

et

= 2

:

Soit le probleme

N

-dimensionnel caracterise par l'equation variationnelle

9

V

(

h

)2

V

(

S

h(

!

))

N tel que

8

V

2

V

(

S

h(

!

))

N

Z

S

h (! )

C

;1

"

(

V

(

h

))

"

(

V

);

F

V dx

= 0

(18)

pour

"

(

V

) = 1

=

2(

DV

+

DV

) et

V

(

S

h(

!

))

Negal a

H

1

0(

S

h(

!

))

N,

H

1 (

S

h(

!

)) N

ou

H

1(

S

h(

!

))

N

=

ker

"

. Dans ce dernier cas, il faut ajouter la condition

8

V

2ker

"

Z

S

h (! )

F

V dx

= 0 (19)

pour que

F

denisse une forme lineaire continue dans

H

1(

S

h(

!

))

N

=

ker

"

.

Dans tous les cas de gure, il existe une constante

c

=

c

(

S

h(

!

))

>

0 telle

que

8

V

2

V

(

S

h(

!

))

N

j

Z

S

h (! )

F

V dx

j

c

k

"

(

V

)k L

2

(S

h

(! ))

:

(20)

On utilise l'inegalite de Poincare dans les cas de Dirichlet et le fait que la semi-normek

"

(

V

)kdevient une norme equivalente a la norme quotient dans

l'autre cas.

Comme

h >

0 va tendre vers zero, on exprime le vecteur de deplacement

V

par rapport aux coordonnees locales a l'aide du changement de variables

T

. En supposant que

v

=

V

T

est assez regulier

v

(

Xz

) = 1 X

i=0

v

i

(

X

)

z

i

v

i

:

!

!R N

V

(

x

) = (

v

T

;1

)(

x

) = 1 X

i=0

(

v

i

p

)(

x

)

b

(

x

) i

:

(7)

Hypothese 3.2. Soit ; la frontiere d'un domaine # de R

N et soit

!

un

domaine ouvert borne dans ;. Soit

h >

0 tel que

b

2

C

11(

S

h(

!

)) et que

9

0

< <

1

8

x

2

! h

k

D

2

b

(

X

) k

:

La matrice

I

+

z D

2

b

];1 peut alors s'ecrire comme une somme

I

+

z D

2

b

];1

= 1 X

i=0

(;

D

2

b

)i

z

i

:

(21) Apres substitution

DV

T

z= 1

X

i=0

z

i

(

i

+ 1)(

v

i+1

n

) + i

X

k =0

D

;(

v

k)(

;

D

2

b

)i;k

et le tenseur linearise des deformations devient

"

(

V

)

T

z =

1

X

i=1

"

i

(

v

)

z

i

(22)

2

"

i

(

v

)def

=(

i

+ 1)h

v

i+1

n

+

n

v

i+1 i

+ i X

k =0 h

D

;(

v

k

)(;

D

2

b

)i;k

+ (;

D

2

b

)i;k

D

;(

v

k

)i (23)

On utilise ensuite la decomposition de Federer de la mesure le long des ensembles de niveau de la fonction

b

pour exprimer l'energie de deformation comme une integrale sur

!

. La forme bilineaire dans (18) donne

Z

S

h (! )

C

;1

"

"dx

= 1

X

i=0 Z

!

i(

h

) i

X

j=0

C

;1

"

j

"

i;j

d

; ou

"

=

"

(f

v

i

g),

"

=

"

(f

v

i

g) et pour

n

0

n(

h

) = Z

h

;h

j

z

n

dz

=

h

n+1 N;1

X

i=0

1;(;1)

n+i+1]

h

i

n

+

i

+ 1

i

:

(24)

Ce sont des polyn^omes de puissances impaires de

h

. On suppose aussi que la force

F

est de la forme

F

=

f

T

;1

f

= 1

X

i=0

f

i

z

i

f

i 2

L

2(

!

)N

1

X

i=0

h

2i k

f

i k

2

L 2

(! )

<

1

:

(25)

D'ou

Z

S

h (! )

F

V dx

= 1

X

i=0 Z

!

i(

h

) i

X

j=0

f

i;j

v

j

dz

d

;

:

(26)

Finalement il vient de (18) 0 =Z

S

h (! )

C

;1

"

(

V

)

"

(

V

);

F

V dx

0 = 1 X

i=0 Z

!

i(

h

) i

X

j=0 n

C

;1

"

i;j

(

v

)

"

j

(

v

);

f

i;j

v

j

o

(8)

4. Les modeles polyn^omiaux

Les identites (27) sont veriees pour tous

V

et

v

. Il est d'usage de proceder par approximation polyn^omiale du vecteur de deplacement

v

et du tenseur linearise des deformations

"

T

z par des polyn^omes en

z

de degres respectifs

k

0 et

`

0. On appellera

P

(

k`

) ce type de modele. Les modeles

P

(1

2)

et

P

(1

1) correspondent a une approximation de

V

et

V

dans (27) par

V

0 =

v

0

p

+

bv

1

p V

0

=

v

0

p

+

bv

1

p

pour (

v

0

v

1) et (

v

0

v

1) denis dans

!

et de

"

(

V

0)

T

z par

"

(

V

0)

T

z '

"

0(

v

0

v

1) +

z "

1(

v

0

v

1) +

z

2

"

2(

v

0

v

1) pour

P

(1

2)

"

(

V

0)

T

z '

"

0(

v

0

v

1) +

z "

1(

v

0

v

1) pour

P

(1

1)

:

Si

v

i =0,

i

2, les expressions (23) de

"

i se simplient

"

0

(

v

0

v

1

) = 12 (

v

1

n

+

n

v

1

) +

"

;(

v

0

)

et pour

i

1

"

i

(

v

0

v

1

) = 12 1 X

k =0 h

D

;(

v

k

)(;

D

2

b

)i;k

+ (;

D

2

b

)i;k

D

;(

v

k

)i (28)

5. Le modele lineaire P(11)

Pour alleger l'expose on se limite a une coque

S

h(

!

) d'epaisseur constante,

mais presque tout ce qui suit se generalise a des coques d'epaisseur variable. Les resultats qui suivent ont d'abord ete obtenus pour le modele

P

(1

2). Leur prolongement au modele

P

(1

1) est nouveau et on trouvera le detail des demonstrations dans 29] et 34] (pour le modele

P

(1

2) voir 28]).

Hypothese 5.1. En chaque point

x

de la coque le vecteur de deplacement

V

(

x

) est de la forme

V

(

x

) =

e

p

(

x

) +

b

(

x

)

`

p

(

x

)

x

2

S

h(

!

)

(29)

ou la notation a ete changee de (

v

0

v

1) a (

e`

).

Le tenseur linearise des deformations est donne par

"

(

V

)

T

z=

1

X

i=0

"

i(

e`

)

z

i (30)

avec

"

i(

e`

) deni par (28).

5.1. Mouvements rigides approches

Le resultat suivant est central au developpement du modele.

Theoreme 1 (Mouvements rigides approches). Sous l'Hypothese 3.2 pour

e

et

`

dans

H

1(

!

)N et

V

=

e

p

+

b`

p

.,

(i)

"

(

V

) = 0 dans

S

h(

!

)

(31)

si et seulement si

"

0

(

e`

) =

"

1

(

e`

) =

"

2

(

e`

) = 0 dans

!

(32) ou encore si

!

est connexe, si et seulement si il existe un vecteur

a

2 R

N et une

N

matrice

B

tel que

(9)

avec

B

antisymetrique

B

+

B

= 0 (34)

En particulier (33) et (34) impliquent que

`

est tangentiel. (ii) Pour tous

z

, j

z

j

< h

,

X

2

!

,

"

(

V

)

T

=

"

0

+

I

+

zD

2

b

];1

z

"

1

+

"

1

zD

2

b

+

zD

2

b"

1

] +

z

2

"

2

I

+

zD

2

b

];1

:

(iii) ker

"

0

\ker

"

1 = ker

"

0

\ker

"

1

\ker

"

2.

Corollaire 2. Sous les hypotheses du theoreme ker

"

0

\ker

"

1 = ker

"

0

\ker

"

1

\ker

"

2

= ;

e

;

D

;(

e

)

n

:

e

2

H

1

(

!

)N

"

P

;(

e

) = 0

N

X

k =1

n

k

PD

2

;(

e

k) = 0

:

(35)

5.2. Les espaces H, V, N

En vertu du Theoreme 1 il est naturel d'introduire les espaces suivants

H=

L

2

(

!

)N

L

2

(

!

)N

(36)

V =

(

e`

)2H:

"

i(

e`

)

2

L

2(

!

)NN

0

i

2

(37)

N =

(

e`

):

"

i(

e`

) =0 sur

!

0

i

2

(38)

et les normes

(

e`

)

2

H= j

e

j

2

L 2

(! )+ j

`

j

2

L 2

(! )

(39)

(

e`

)

2

V =

(

e`

)

2

H+ 2

X

i=0

"

i(

e`

)

2

L 2

(! )

:

(40)

D'apres le Theoreme 1 (i)

N =

(

e`

):

`

(

X

) =

B

r

b

(

X

)

e

(

X

) =

a

+

BX

8

a

2R N

8

B

une

N

matrice telle que

B

+

B

= 0

:

(41) Le sous-espace N caracterise les mouvements rigides approches comme en

elasticite 3-D ce qui est une propriete mecanique fondamentale. Noter que la semi-norme pour l'espace V

jjj(

e`

)jjj=

2

X

i=0

"

i(

e`

)

2

L 2

(! )

1=2

(42)

devient une norme pour l'espace quotient H

=

N.

Theoreme 3. Soit

!

un domaine borne ouvert dans ; qui est la frontiere d'un domaine # de classe

C

11 de

R

N dans un voisinage de

!

.

(i) L'espace

(

e`

)2H:

"

0(

e`

)

2

L

2(

!

)NN

avec norme

k

e

k L

2+k

`

k L

2+

"

0(

e`

)

L 2

est egal a

H

1(

!

)N

L

2(

!

)N avec norme equivalente k

e

k

H

1 +k

`

k L

2

:

(ii) Les espaces suivants sont egaux avec normes equivalentes : a)

H

1(

!

)N

H

1(

!

)N avec norme k

e

k

H

1+k

`

k H

(10)

b)

(

e`

)2H:

"

i(

e`

)

2

L

2(

!

)NN

i

= 0

1

avec norme

k

e

k L

2+ k

`

k

L 2 +

"

0(

e`

)

L 2 +

"

1(

e`

)

L 2

:

c) V =

(

e`

)2H:

"

i(

e`

)

2

L

2(

!

)NN

i

= 0

1

2

avec norme

k

e

k L

2+k

`

k L

2 +

"

0(

e`

)

L 2+

"

1(

e`

)

L 2 +

"

2(

e`

)

L 2

:

d)

(

e`

) 2 H:

"

0(

e`

)

2

L

2(

!

)NN et

"

;(

`

)

2

L

2(

!

)NN

avec norme

k

e

k L

2+k

`

k L

2+

"

0

(

e`

) L 2 +

"

;(

`

) L 2

:

(iii) La semi-norme

"

0(

e`

)

L 2+

"

1(

e`

)

L 2

est equivalente a la semi-norme

"

0

(

e`

;) L 2 +

"

1

(

e`

;) L 2 + k

`

n k H 1

:

5.3. Espaces V 0,

V

0, et inegalite de Poincare globale

Dans ce paragraphe

!

est un domaine ouvert borne dans ; de frontiere lipschitzienne . Pour l'etude des conditions homogenes de Dirichlet sur toute la frontiere, on introduit les espaces suivants

V

0 =

(

e`

)2V:

e

j

= 0 et

`

; j = 0

(43) N 0 =

(

e`

)2V 0:

"

0(

e`

) =

"

1(

e`

) = 0

! (44)

lorsque, en plus,

!

est connexe et 0 est une partie de de

!

de capacite

(

N

;1) non nulle V

0 =

(

e`

)2V:

e

j

0 = 0 et

`

;

j

0 = 0

(45)

N

0 =

f(

e`

)2V

0:

"

0(

e`

) =

"

1(

e`

) = 0

:

(46)

Dans les deux cas

q

(

e`

) est dene par

q

(

e`

)2=

"

0(

e`

)

2

+

"

1(

e`

)

2

(47)

est une norme pour ces espaces. On aura besoin des lemmes suivants.

Lemme 4. Soit

!

un domaine borne ouvert dans ; de frontiere lipschi-tzienne veri ant l'Hypothese 3.2. Lorsque

h

tend vers zero, il existe

c

=

c

(

h

)

>

0 tel que pour tout (

e`

)2V

0 (resp. V

0 avec

!

connexe) Z

!

2

h

j

e

j 2+ 2

h

3

3 j

`

j 2

d

;

c

2 Z ! 2

h

"

0

(

e`

) 2

+ 2

h

3

"

1

(

e`

) 2

+ 2

h

5

"

2

(

e`

) 2

d

;

:

(48) De la il vient une inegalite de Poincare globale sans

"

2(

e`

).

Theoreme 5 (Inegalite de Poincare globale). Sous l'Hypothese 3.2 soit

!

un domaine ouvert borne (resp. connexe) dans ; de frontiere lips-chitzienne .

(i) N 0 =

(0

0)

(resp. N

0 =

f(0

0)g) et

(ii)

q

(

e`

) est une norme dans V

0 (resp. V

0) et il existe une constante

c >

0 telle que

k

e

k L

2

(! )+ k

`

k

L 2

(! )

c

k

"

0(

e`

)

k

L 2

(! )+ k

"

1(

e`

) k L 2 (! )

(49) et

"

0(

e`

) L 2 (! )+

"

1(

e`

)

L 2

(! ) est une norme dans V

0 (resp. V

0)

qui est equivalente a la norme

H

1

H

(11)

5.4. Energie de deformation et travail des forces exterieures

L'equivalence des conditions

"

(

V

)

T

= 0 et

"

0=

"

1 =0, et la

caracterisa-tion de l'espaceV en fonction des deux tenseurs suggerent l'utilisation d'une

approximation du premier ordre du tenseur linearise des deformations.

Hypothese 5.2. Le tenseur linearise des deformations

"

(

V

) sera approche par un developpement du premier ordre (en

z

)

~

"

(

V

)

T

z

def

=

"

0(

e`

) +

"

1(

e`

)

z:

(50)

Ceci conrme l'inter^et du modele

P

(1

1). On reprend le calcul de l'energie de deformation plus le travail des forces externes dans le cas statique pour l'approximation

P

(1

1). Dans le cas dynamique des petites vibrations on y soustraira l'energie cinetique et l'on caracterisera les points d'equilibre. Par forces externes il faut comprendre ici l'eet combine des forces et des moments appliques a la structure. Pour simplier on prend des forces dis-tribuees dans

S

h(

!

), mais des cas plus generaux peuvent ^etre envisages.

De facon generique, l'energie de deformation P et le travail des forces

externes W sont donnes par

P= 12 Z

S

h (! )

"

~(

V

)

dx

W = Z

S

h (! )

F

V

+ (

m

p

)(

`

p

)

dx:

(51) Supposonst que

F

dans

S

h(

!

) est de la forme

F

=

f

0

p

+

bf

1

p f

0

f

1

2

L

2

(

!

)N

(52) que

m

2

L

2(

!

)N et que le materiau obeit a une loi de comportement

symetrique

=

C

;1

~

"

(

V

)

:

(53)

Alors

T

z

"

~(

V

)

T

z =

C

;1

"

~(

V

)

T

z

"

~(

V

)

T

z

:

(54)

On utilise maintenant les expressions

V

T

z=

e

+

z`

, ~

"

(

V

)

T

z=

"

0+

z"

1,

et la decomposition de la mesure de Federer le long des ensembles de niveau de

b

. De (51) et (53)

P= 12 Z

h

;h

dz

Z !

d

;

C

;1

~

"

(

V

)

T

z

"

~(

V

)

T

z

j

z

(55)

W = Z

h

;h

dz

Z !

d

;

F

T

z

V

T

z+

m

(

`

p

T

z)

j

z

:

(56)

En utilisant l'identite (54)

(

V

)

T

z

"

~(

V

)

T

z

j

z =

1

X

ij=0

z

i+j

j

z

C

;1

"

i

"

j

] = 2 X

n=0

z

n

j

z

A

n

A

n def

= 1

X

i=0

0n;i1

C

;1

"

i

"

n;i]

:

(57)

De facon analogue pour l'integrande de (56) (

F

V

)

T

z=

m

`

+ (

f

0+

zf

1)

(

e

+

z`

)

=

f

0

e

+

m

`

+

z

(

f

1

e

+

f

0

`

) +

z

2

f

1

`:

(12)

Les expressions nales de P et de W deviennent

P = 12 Z

! Z

h

;h 2

X

n=0

z

n

j

z

dzA

n

d

; = 12 Z

! 2

X

n=0

n(

h

)

A

n

d

;

(59)

W = Z

h

;h

dz

Z !

d

;

m

`

+ (

f

0+

zf

1)

(

e

+

z`

)

j

z (60)

=Z !

0(

h

)(

f

0

e

+

m

`

) +

1(

h

)(

f

1

e

+

f

0

`

) +

2(

h

)

f

1

`d

;

:

(61)

5.5. Modele lineaire statique

5.5.1. La forme bilineaire. Les espaces H, V, et N, et leurs normes et

semi-normes associees sont denis par (36) a (40). On introduit maintenant l'operateur

A

: V ! V

0 associe a

P : pour tous (

e`

) et (

e`

) dans V et

"

i =

"

i(

e`

),

"

i=

"

i(

e`

),

A

(

e`

)

(

e`

) V

def

= 2 X

n=0 Z

!

n(

h

)

a

n ;

(

e`

)

(

e`

)

d

;

(62)

a

n ;

(

e`

)

(

e`

) def

= 1

X

i=0

0n;i1

(

C

;1

"

i

)

"

n;i

:

(63)

Il est a noter que

A

n =

a

n ;

(

e`

)

(

e`

)

, 0

n

2. On remarquera ici qu'il

n'est pas necessaire de passer par la minimisation de P - W et donc pas

necessaire de supposer que

C

est symetrique. Il sut d'utiliser le principe des travaux virtuels et Lax-Milgram. De la m^eme facon on denit l'operateur lineaire continu associe a W : pour tous (

e`

) et (

e`

) dansV,

B:

U

def

=

L

2(

!

)N

L

2(

!

)N !H

0

B(

fm

)

(

e`

)

H

def

= Z !

0(

f

0

e

+

m

`

) +

1(

f

1

e

+

f

0

`

) +

2

f

1

`d

;

:

(64)

Lemme 6 (28]). Sous les Hypotheses 3.1 et 3.2, il existe

h >

0 et

>

0 tel que pour tout 0

< h < h

et tout (

e`

)2V

A

(

e`

)

(

e`

) V

2

h

1

X

n=0

h

2n

"

n

(

e`

) 2

:

(65)

Si de plus

C

est symetrique, alors l'operateur

A

est symetrique

8(

e`

)

(

e`

)

A

(

e`

)

(

e`

) V =

A

(

e`

)

(

e`

) V

:

5.5.2. Conditions homogenes de Neumann et coque sans fron-tiere. Si les elements du dual H

0 de

H sont identies avec ceux de H,

alors par le lemme precedent l'operateur

A

estV-H coercif, c'est-a-dire

9

>

0 et

2Rtels que

A

(

e`

)

(

e`

) V +

k(

e`

)k H

k(

e`

)k 2

V

:

(13)

Theoreme 7. Sous les Hypotheses 3.1 et 3.2 soit

h >

0 comme dans le Lemme 6, 0

< h

h

. On fait l'hypothese que la condition suivante est

veri ee pour tout (

e`

)2N Z

!

0(

f

0

e

+

m

`

) +

1(

f

1

e

+

f

0

`

) +

2

f

1

`d

; = 0

:

(66)

Alors pour tout

h

, 0

< h

h

, il existe une solution unique (^

e

`

^) 2V

=

N a

l'equation variationnelle : pour tout (

e`

)2V

A

(^

e

`

^)

(

e`

) V+

B(

fm

)

(

e`

)

H= 0

:

(67)

5.5.3. Conditions homogenes de Dirichlet. Pour une coque avec fron-tiere et des conditions homogenes de type Dirichlet, les resultats sont ana-logues et se demontrent de la m^eme facon que pour le Theoreme7 en utilisant l'inegalite de Poincare globale du Theoreme 5.

Theoreme 8. Soit

h >

0 tel que speci e au Lemme 6 et

h

, 0

< h

h

. Il

existe une solution unique (^

e

^

`

)2V

0 a l'equation variationnelle : pour tout

(

e`

)2V 0

A

(^

e

`

^)

(

e`

) V+

B(

fm

)

(

e`

)

H= 0

:

(68)

Les m^emes resultats demeurent vrais pour l'espaceV

0 lorsque

!

est connexe

et 0

est de (

N

;1)-capacite non nulle.

Il est important de remarquer qu'il n'y a pas de condition frontiere sur la composante normale

`

n de

`

dans

V

0 et V

0.

5.6. Le modele lineaire dynamique

5.6.1. L'energie cinetique. Pour obtenir le modele lineaire dynamique, on suppose que la transformation

C

de la loi de comportement est symetrique et que les fonctions vectorielles

V

(

xt

),

e

(

xt

), et

`

(

xt

) dependent du temps

t

. Etant donnees

V

0,

e

0, et

`

0 les derivees par rapport au temps

t

, l'energie

cinetique est donnee par l'expression

K= Z

S

h (! )

1 2

j

V

0

j 2

dx

=Z S

h (! )

1 2

j

e

0

p

+

b`

0

p

j 2

dx

= 12

Z !

0(

h

) j

e

0

j 2 +

1(

h

)2

e

0

`

0+

2(

h

) j

`

0

j 2

d

;

(69)

ou

est la densite volumique du materiau. On denitM:H!H 0 :

M(

e`

)

(

e`

)

H def

=

Z !

0(

h

)

e

+

1(

h

)

e

`

+

e

`

] +

2(

h

)

`

`d

;

:

(70) Pour

h >

0 susamment petit, Mest symetrique, positif et inversible.

5.6.2. Le modele dynamique. On identie les elements du dualH 0 de

H

avec ceux de H, on note par *: H 0

! H l'isomorphisme canonique

corres-pondant et l'on denit les operateurs lineaires bornes

M

= *M : H!H

B

= *B :

U

!H

(71)

(14)

W ;Kverie l'equation dynamique du second ordre

d

2

dt

2

M

e

(

t

)

`

(

t

)

'

H

+

A

e

(

t

)

`

(

t

)

'

V

+

B

f

(

t

)

m

(

t

)

'

H

= 0

(72) pour tout (

'

) 2 V. Les theoremes habituels d'existence et d'unicite

s'appliquent alors (cf. 59], Thm 1.1 et Rem. 1.3, p. 294]).

Theoreme 9. Supposons que les Hypotheses 3.1 et 3.2 soient veri ees avec

C

symetrique. Soit 0

< h

h

, pour

h >

0 tel que speci e au Lemme 6.

(i) (Coque sans frontiere ou conditions homogenes de Neumann) Il existe une solution unique

(

e`

)2

C

1(0

T

]!

H)\

C

;

0

T

]!V

(73) a l'equation (72) veri ant les conditions initiales

;

e

(0)

`

(0)

= (

e

0

`

0) dans V

;

e

0

(0)

`

0

(0)

= (

e

1

`

1) dans

H

:

(74)

(ii) (Conditions homogenes de Dirichlet) Il existe une solution unique (

e`

)2

C

1 ;

0

T

]!H

\

C

;

0

T

]!V 0

(75) a l'equation (72) veri ant les conditions initiales

;

e

(0)

`

(0)

= (

e

0

`

0) dans V

0

;

e

0(0)

`

0(0)

= (

e

1

`

1) dans

H

:

(76)

Les m^emes resultats sont vrais pour V

0.

6. Le modele asymptotique P(10)

Le modele

P

(1

0) correspond a l'equation variationnelle obtenue en ne gardant que le coecient de

h

dans la seconde expression (27) soit

Z

!

C

;1

"

0(

v

)

"

0(

v

) ;

f

0

v

0

d

; = 0

8

v

0

v

1

"

0

(

v

)def

= 12h

v

1

n

+

n

v

1 i

+

"

;(

v

0

)

:

(77)

Cela donne deux equations variationnelles pour

v

0 et

v

1 Z

!

C

;1

"

0(

v

)

1 2

h

v

1

n

+

n

v

1 i

d

; = 0

8

v

1

Z

! n

C

;1

"

0(

v

)

"

;(

v

0)

;

f

0

v

0

o

d

; = 0

8

v

0

:

En decomposant les tenseurs en leur partie tangente et leur composante normale le long de

!

, il vient

C

;1

"

0

(

v

)]

n

= 0 et Z !

n

C

;1

"

0

(

v

)]P

"

P

;(

v

0

);

f

0

v

0

o

d

; = 0

8

v

0

ou

"

0P =

P"

0

P

. Pour la loi de comportement

C

;1

"

= 2

"

+

tr

"I

C

;1

"

0

(

v

)]

n

= 2

"

;(

v

0)

n

+ 12

v

1

;] +

tr

"

;(

v

0) + (2

+

)

v

1

(15)

et la condition

C

;1

"

0(

v

)]

n

=0 donne la composante normale et la partie

tangentielle de

v

1 en fonction de

v

0

v

1 n=

v

1

n

=;

2

+

div;(

v

0

)=;

2

+

H v

0 n+ div

;(

v

0

;)]

v

1 ;=

;2

"

;(

v

0)

n

= ;r

;(

v

0

n) +

D

2

bv

0

; (condition de Love-Kirchho)

:

(78) La substitution de l'expression de

v

1 dans

C

;1

"

0

(

v

)]P

= 2

"

P ;(

v

0

)

"

P

;(

v

0

) + 2₂

₊

tr

"

P ;(

v

0

) tr

"

P ;(

v

0

) donne la seconde equation pour

v

0: pour tout

v

0

C

;1

"

0(

v

)]P

"

P

;(

v

0) = 2

"

P ;(

v

0)

"

P

;(

v

0) + 2

2

+

tr

"

P ;(

v

0) tr

"

P ;(

v

0)

Z

!

2

"

P ;(

v

0

)

"

P

;(

v

0

) + 2₂

₊

tr

"

P ;(

v

0

)tr

"

P ;(

v

0

);

f

0

v

0

d

; = 0

:

(79) C'est precisement l'equation asymptotique de coques membranaires avec les bons coecients. Il est a noter que l'on obtient simultanement

v

0 et

v

1.

L'existence de solutions (

v

0 ;

v

0

n) dans

H

1

0(

!

) 3

L

2(

!

) a l'equation (79)

a ete etudiee dans 20] et Ciarlet et Lods 14] 17] ont etabli l'unicite de la solution sous l'hypothese d'ellipticite uniforme de la surface moyenne

9

>

0 tel que8

2R

N

D

2

b

(

X

)

;

j

; j

2

:

(80)

Ceci veut dire que

!

est un domaine contenu dans la frontiere ; d'un sous-ensemble strictement convexe de R

N.

On introduit les espaces quotients

V

0

=

ker

"

0

V

0=

H

1(

!

)N

L

2(

!

)N

ker

"

0

=

(

v

0

v

1

) 2V 0

:

"

0

(

v

0

v

1

) = 0

pour la coque sans bords ou les conditions homogenes de Neumann et

V 0

0

=

ker

"

0 0

V 0

0 =

H

1

0(

!

) N

L

2

(

!

)N

ker

"

0

0 = f(

v

0

v

1) 2V

0

0 :

"

0(

v

0

v

1) = 0 g

pour les conditions homogenes de Dirichlet (m^eme chose pour Dirichlet sur tout en remplacant 0 par ). Il est facile de verier que

ker

"

0

=

(

v

0

v

1

)2

H

1

(

!

)N

L

2

(

!

)N

:

v

1 n= 0

v

1

;= ;2

"

;(

v

0)

n"

P

;(

v

0) = 0

ker

"

0 0 =

f(

v

0

v

1)

2

H

1

0(

!

) N

L

2(

!

)N :

v

1

n= 0

v

1

;= ;2

"

;(

v

0)

n "

P

;(

v

0) = 0

g

et que puisque

v

1 est donne explicitement en terme de

v

0, les elements du

noyau sont completement caracterises en terme du noyau de

"

P ;

ker

"

P ; =

v

0 2

H

1(

!

)N:

"

P ;(

v

0) = 0 ker 0

"

P ; =

v

0 2

H

1

0(

!

) N:

"

P

;(

v

0) = 0

:

(16)

(i) Etant donnee

f

0 2

L

2(

!

)N veri ant la condition

9

c >

0

8

v

0

j Z !

f

0

v

0

d

;

j

c

k

"

P

;(

v

0)

k

L 2

(! )

l'equation variationnelle(77) possede une solution unique (

v

0

v

1) dans

le complete

E

0de l'espace V

0

=

ker

"

0par rapport a la norme k

"

0(

v

0

v

1) k.

(ii) Soit 0 une partie de (

N

;1)-capacite strictement positive (avec

!

connexe si 0

6

= ). Etant donne

f

0 2

L

2(

!

)N tel que

9

c >

0

8

v

0

j Z !

f

0

v

0

d

;

j

c

k

"

P

;(

v

0)

k

L 2

(! )

(81)

l'equation (77) admet une solution unique (

v

0

v

1) dans le complete

E

0

de l'espaceV 0

0

=

ker

0

"

0 par rapport a la norme k

"

0(

v

0

v

1) k.

7. Convergence de P(11) vers P(10)

On aura besoin du theoreme suivant.

Theoreme 11. Soit

!

un domaine ouvert borne dans ; veri ant l'Hypo-these 3.2.

(i) On de nit l'espace

H

1 n(

S

h(

!

)) N

def

= f

F

2

L

2(

S

h(

!

))

N :

DF

r

b

2

L

2(

S

h(

!

)) N

g

:

(82)

L'application

F

7!

F

T

:

H

1

n(

S

h(

!

))

N

!

H

1(

;

hh

!

L

2(

!

)N) (83)

est une bijection lineaire continue. (ii) L'application

F

7!

F

T

:

H

1(

S

h(

!

)) N

!

H

1(

;

hh

!

L

2(

!

)N)

\

L

2(

;

hh

!

H

1(

!

)N)

est une bijection lineaire continue. De plus (

DF

r

b

)

T

=

@f

@z

(

DF P

)

T

=

D

;

f

I

+

z D

2

b

];1 (84)

DF

T

=

@f

@z

n

+

D

;

f

I

+

z D

2

b

];1

=

@f

@z

n

+

D

;

f

I

+

z D

2

b

];1

:

(85) En fait

H

1

(

!

];

hh

) N

=

H

1

(;

hh

!

L

2

(

!

)N

)\

L

2

(;

hh

!

H

1

(

!

)N

)

:

(86) (iii) Etant donne

F

2

H

1

n(

S

h(

!

))

N et

f

=

F

T

l'application

F

7!

f

(

0) :

H

1

n(

S

h(

!

))

N

!

L

2

(

!

)N

(87) est bien de nie, lineaire et il existe une constante

c

, independante de

h

, telle que lorsque

h

tend vers zero

k

f

;

f

(

0)k L

2

(! ];hh)

ch

k

DF

r

b

k L

2

(S

h

(! )) (88)

k

f

(

0)k L 2 (! )

c

h

1=2

k

F

k L

2

(S

h

(! ))+

h

k

DF

r

b

k L 2 (S h (! )) (89) et pour tout

V

2

H

1

n(

S

h(

!

))

N et

v

=

V

T

Z S h (! )

F

V

;

1

0(

h

)

T

;1

f

(

0)

p

v

(

0)

pdx

ch

k

F

k H 1 n (S h (! )) h

k

V

k L

2

(S

h (! ))+

(17)

7.1. Coque sans frontiere ou conditions de Neumann

A la lumiere du Theoreme 11 on fait l'hypothese suivante.

Hypothese 7.1. Il existe +

h >

0 et une constante

c

=

c

(

!

)

>

0 tel que

la fonction vectorielle

F

apppartienne a

H

1 n(

S

h(

!

))

N et que pour tout

h

,

0

< h

+

h

,

8

V

2ker

"

Z

S

h (! )

F

V dx

= 0 (91)

et pour tous (

v

0

v

1) 2

H

1(

!

)N

H

1(

!

)N

1

2

h

Z

S

h (! )

F

(

v

0

p

+

bv

1

p

)

dx

c

Z

!

k

"

0(

v

0

v

1) k

2

+

h

2 k

"

1

(

v

0

v

1

)k 2

]

d

; 1

2

:

(92)

On denit

f

0 def

=

F

T

(

0)2

L

2(

!

)N.

La condition (91) est naturelle pour donner un sens aux solutions de l'equation variationnelle (18) dans l'espace quotient

H

1(

S

h(

!

))

N

=

ker

"

dans

le cas de Neumann. Le cas de Dirichlet homogene utilise la m^eme condition a la dierence que la condition (19) sur le noyau dispara^%t et que l'espace quotient devient l'espace de Sobolev des fonctions vectorielles qui sont nulles sur la partie 0 de la frontiere. Pour

V

1 =

v

0

p

+

bv

1

p

, on obtient un

membre de gauche de la forme

Z

S

h (! )

F

V

1

dx

= 2

h

Z !

F

0 h

v

0

+

F

1 h

v

1

d

;

F

0 h

def

= 12

h

Z

h

;h

j

z

F

T dz

et

F

1

h def

= 12

h

Z

h

;h

j

z

z F

T dz:

En particulier l'Hypothese 7.1 est veriee pour

F

=

g

p

avec

g

2

L

2(

!

)N

tel que

9

c >

0

8

v

0

2

H

1(

!

)N

Z

!

g

v

0

d

;

c

k

"

P

;(

v

0)

k

L 2

(! )

:

(93)

Dans ce cas

F

0 h =

0(

h

)

g

et

F

1

h =

1(

h

)

g

ou

i(

h

) def

=

i(

h

)

=

(2

h

)

:

Lemme 12. Supposons veri ee l'Hypothese 7.1.

(i) Lorsque

h >

0 tend vers zero il existe

c >

0 tel que 8(

v

0

v

1)

2

H

1(

!

)N

H

1(

!

)N

j Z

!

F

0 h

v

0+

F

1

h

v

1

d

; j

c

Z

! k

"

0(

v

0

v

1) k

2+

h

2 k

"

1(

v

0

v

1) k

2

d

;

1

2

8(

v

0

v

1

)2ker

"

0

\ker

"

1

Z

!

F

0 h

v

0

+

F

1 h

v

1

d

; = 0

:

(ii) Pour tout (

v

0

v

1) 2

H

1(

!

)N

L

2(

!

)N

j Z

!

f

0

v

0

d

; j

c

Z

! k

"

0(

v

0

v

1) k

2

d

; 1

2

8(

v

0

v

1

)2ker

"

0

Z

!

f

0

v

0

d

(18)

(iii) Lorsque

h >

0 tend vers zero

Z

!

(

F

0 h

;

f

0

)

v

0

+

F

1 h

v

1

d

; = 0

8(

v

0

v

1

)2ker

"

0

\ker

"

1

et il existe

c >

0 tel que 8(

v

0

v

1)

2

H

1(

!

)N

H

1(

!

)N

j Z

!

(

F

0 h

;

f

0)

v

0+

F

1

h

v

1

d

; j

ch

1=2

k

F

k H 1 n (S h (! )) k

"

0(

v

0

v

1) k

L 2

(! )+ k

"

1(

v

0

v

1) k L 2 (! )

:

Soit (

v

0 h

v

1

h) la solution dans

H

1(

!

)N

H

1(

!

)N modulo ker

"

0 \ker

"

1 de l'equation variationnelle Z ! 1 X ij=0

i+j(

h

)

C

;1

"

i

(

v

0 h

v

1

h)

"

j

(

v

0

v

1

); 1 X i=0

F

i h

v

i

d

; = 0 (94)

pour tous (

v

0

v

1) 2

H

1(

!

)N

H

1(

!

)N. Par coercivite de

C

;1 il existe

>

0 tel que

k

"

0 h k 2 L 2 +

h

2 k

"

1 h k 2 L 2 1 X ij=0 Z !

i+j(

h

)

C

;1

"

i

h

"

j

h

d

;

=Z ! 1 X i=0

F

i h

v

i

h

d

;

c

k

"

0 h k 2 L 2 +

h

2 k

"

1 h k 2 L 2 1 2

pour

"

i h

def

=

"

i(

v

0 h

v

1

h), et

"

i

def

=

"

i(

v

0

v

1). Alors lorsque

h

tend vers zero

k

"

0

(

v

0 h

v

1 h) k 2 L 2 +

h

2

k

"

1

(

v

0 h

v

1 h) k 2 L 2 = k

"

0 h k 2 L 2 +

h

2 k

"

1 h k 2 L 2

c

2

=

2

:

Donc

"

0(

v

0 h

v

1

h) et

h"

1(

v

0

h

v

1

h) sont bornes dans

L

2. On peut montrer que

(

v

0 h

v

1

h) 2 (

H

1(

!

)N

L

2(

!

)N)

=

ker

"

0 et conclure que (

v

0 h

v

1

h) est borne

puisque k

"

0(

v

0

v

1)

k est une norme dans

H

1(

!

)N

L

2(

!

)N

=

ker

"

0.

Lemme 13. L'injection

H

1(

!

)N

H

1(

!

)N

ker

"

0

\ker

"

1

H

1(

!

)N

L

2(

!

)N

ker

"

0

E

0

est continue et pour tout (

v

0

v

1) 2(

H

1(

!

)N

H

1(

!

)N)

=

(ker

"

0

\ker

"

1).

A la lumiere du Lemme 13 et du fait que

"

0(

v

0 h

v

1

h) et

h"

1(

v

0

h

v

1

h) sont

bornes, on a la convergence.

Theoreme 14. Sous les Hypotheses 3.1, 3.2 et 7.1 soit

!

un domaine ou-vert borne dans ;. Lorsque

h

tend vers zero, la solution

(

v

0 h

v

1

h) 2(

H

1(

!

)N

H

1(

!

)N)

=

(ker

"

0

\ker

"

1)

de l'equation (94) du modele

P

(1

1) converge vers la solution (^

v

0

^

v

1

)2

E

0

de l'equation (77) du modele asymptotique

P

(1

0) dans le sens suivant : lorsque

h

tend vers zero

Z

!

C

;1

"

0

(

v

0 h

;

v

^ 0

v

1

h ;

v

^

1

)

"

0

(

v

0 h

;

v

^ 0

v

1

h ;

v

^

1

(19)

7.2. Conditions de Dirichlet

Pour les conditions homogenes de Dirichlet l'equation variationnelle (18) en dimension

N

possede une solution unique dans l'espace

H

1

0(

S

h(

!

))

N

pour tout

F

2

L

2(

S

h(

!

))

N. En vertu de l'equivalence des normes ceci est

equivalent a la condition : il existe

c

=

c

(

S

h(

!

))

>

0 tel que

8

V

2

H

1

0(

S

h(

!

))

N

Z

S

h (! )

F

V dx

c

k

"

(

V

)k L

2

(S

h (! ))

:

On fait l'Hypothese 7.1 et l'on procede comme dans le paragraphe precedent. Evidemment le Lemme 12 et le Theoreme 11 demeurent vrais pour (

v

0

v

1)

2

H

1

0(

!

) N

H

1

0(

!

)

N. Soit (

v

0 h

v

1

h) la solution dans

H

1

0(

!

) N

H

1

0(

!

) N de

l'equation variationnelle

1

X

ij=0 Z

!

i+j(

h

) n

C

;1

"

i(

v

0 h

v

1

h)

"

j(

v

0

v

1)) o

; 1

X

i=0

F

i h

v

i

d

; = 0 (96)

pour tout (

v

0

v

1) 2

H

1

0(

!

) N

H

1

0(

!

)

N. Par la m^eme technique que

precedemment on obtient aussi la convergence faible.

Theoreme 15. Sous les Hypotheses 3.1, 3.2 et 7.1 soit

!

un domaine ou-vert borne de frontiere lipschizienne dans; (

!

connexe lorsque 0

6

= ). Lorsque

h

tend vers zero la solution

(

v

0 h

v

1

h) 2(

H

1

0(

!

) N

H

1

0(

!

) N

)

=

(ker

"

0

\ker

"

1

) de l'equation (96) du modele

P

(1

1) converge vers la solution

(^

v

0

^

v

1) 2

E

0

du modele asymptotique

P

(1

0) : pour tout (

v

0

v

1) 2

H

1

0(

!

) N

L

2(

!

)N,

Z

! n

C

;1

"

0(^

v

0

^

v

1)

"

0(

v

0

v

1) ;

f

0

v

0

o

d

; = 0

(97) dans le sens suivant : lorsque

h

tend vers zero

Z

!

"

0

(

v

0 h

;

v

^ 0

v

1

h ;

v

^

1

)

"

0

(

v

0 h

;

v

^ 0

v

1

h ;

v

^

1

)

d

;!0

:

(98)

References

1] E. Acerbi, G. Buttazzo, et D. Percivale, A variational denition for the strain energy of an elastic string, J. Elasticity 25(1991), 137{148.

2] S. M. Alessandrini, Some two-dimensional plate models: Derivation, asymptotic properties, and numerical approximation, Ph.D. thesis, Rutgers University, New Brunswick, New Jersey, 1991.

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Springer-Verlag, Heidelberg, Berlin, 1982.

6] M. Bernadou,Methodes d'elements nis pour les problemes de coques minces, Masson, Paris, Milan, Barcelone, 1994.

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